资源简介

24.3 数据的四分位数
教学目标
课题 24.3 数据的四分位数 授课人
教材分析 本节课是人教版初中数学统计模块的重要课时，承接平均数、中位数、方差等统计量的学习，是对数据描述方法的补充与拓展。教材以理财产品收益率情境导入，通过“平均数、方差无法反映数据具体分布范围”的矛盾，引出百分位数、四分位数的概念，进而结合图形生成箱线图，实现数据特征的直观呈现。教材注重概念生成与实践应用结合，从四分位数的计算到箱线图的绘制，再到借助图表分析数据分布，层层递进，渗透数形结合思想。本节课不仅完善了学生的统计知识体系，还为后续更复杂的数据分析奠定基础，对培养学生全面分析数据的能力、提升统计素养具有重要意义。
学情分析 学生已掌握平均数、中位数、方差等统计量，能初步分析数据的集中趋势和离散程度，具备基础的数据分析和运算能力。但学生对“数据分布范围、集中区间”的刻画缺乏认知，难以理解百分位数与四分位数的关联，且四分位数计算步骤繁琐，易出现排序、分份失误。同时，学生将数据转化为图形（箱线图）的能力较弱，难以通过箱线图精准提取数据分布信息，贴合学情来看，学生正处于从“知识记忆”向“能力运用”的过渡阶段，需通过情境探究和分层练习突破难点。
核心素养目标 1. 数学眼光：能从数据分布需求中抽象出百分位数、四分位数概念，通过箱线图直观感知数据分布特征，发展抽象能力和几何直观。 2. 数学思维：能规范计算四分位数、绘制箱线图，通过推理分析四分位数与箱线图的关联，培养运算能力和推理意识。 3. 数学语言：能用四分位数和箱线图描述数据分布信息，结合实际情境分析数据特征，提升数据观念、模型意识和应用意识。
素养目标 1.了解百分位数，并借助百分位数认识四分位数. 2.会计算四分位数，能够画出箱线图. 3.了解四分位数与箱线图的关系，能够借助箱线图分析数据的分布信息.
教学重点 四分位数与箱线图的关系，借助箱线图分析数据的分布信息.
教学难点 借助箱线图分析数据的分布信息.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 【情境引入】 某银行有A和B两个理财产品经营团队.近三年，这两个团队分别负责经营12项理财产品.两个团队的产品收益率的平均数(单位：%)和方差分别为 如果你是一位购买理财产品的投资者，会选择哪个团队的产品 答：稳健型投资者可以选择团队B经营的理财产品；激进型投资者可以选择团队A经营的理财产品. 如果投资者还想进一步了解两个团队理财产品收益率的具体情况，例如收益率大部分在什么范围，哪些范围比较集中等信息，通过今天的学习，我们将找到答案. 【教学建议】 学生自由讨论后 指定学生代表回答，引导学生分析出做出不同决策的原因，并通过新的问题引发学生思考，为新课的学习做好铺垫.
设计意图
通过实际情境，先复习平均数和方差的相关知识，再通过设问引发学生思考，为导入新课做准备.
活动二：问题引入，自主探究 探究点1 百分位数、四分位数 平均数和方差虽然可以反映产品收益率的集中趋势和离散程度，但无法反映出投资客户关心的这些信息(收益率大部分在什么范围，哪些范围比较集中等).因此，我们需要能反映产品收益率更多分布信息的统计量. 概念引入：一组数据按从小到大的顺序排列，中位数是从中间点把数据分成2等份，将数据分成100等份的每一分点处的值叫作这组数据的百分位数. 相比中位数，百分位数可以较全面地反映出数据的分布信息. 概念引入：一组数据的25%分位数、50%分位数(即中位数)和75%分位数把这组按由小到大顺序排列的数据分成四等份，所以称它们为这组数据的四分位数，从小到大分别称为这组数据的第一四分位数、第二四分位数(中位数)、第三四分位数，分别记为Q1，Q2，Q3. (1)分析教材P176问题中的相关数据，分别确定A，B两个团队产品收益率的四分位数. 解：A：2.02 2.15 3.18 | 3.21 3.64 3.85 | 3.98 4.10 4.11 | 4.77 4.89 6.44 3.195 3.915 4.44 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 B：3.18 3.40 3.60 | 3.67 3.84 3.87 | 3.91 3.99 4.10 | 4.15 4.21 4.44 3.635 3.89 4.125 第一四分位数 第二四分位数 第三四分位数 团队A产品收益率的四分位数分别为3.195(Q1)，3.915(Q2)，4.44(Q3)； 团队B产品收益率的四分位数分别为3.635(Q1)，3.89(Q2)，4.125(Q3). (2)结合四分位数，说明两个团队产品收益率的分布情况. 答：团队A：其产品收益率小于3.195%的项目数占总数的25%，产品收益率小于3.915%的项目数占总数的一半，产品收益率大于4.44%的项目数占总数的25%.产品收益率在3.195%至4.44%之间的项目数占总数的50%. 团队B：其产品收益率小于3.635%的项目数占总数的25%，产品收益率小于3.89%的项目数占总数的一半，产品收益率大于4.125%的项目数占总数的25%.产品收益率在3.635%至4.125%之间的项目数占总数的50%. 【对应训练】 1.某校18个班参加艺术节合唱比赛，通过简单随机抽样，抽得8个班的比赛得分如下：91，90，94，87，93，96，91，85，则这组数据的75%分位数为 93.5 . 2.一组数据按从小到大排列为：16，25，33，39，43，m，65，70.若这组数据的下四分位数与上四分位数的和是85，则m= 47 . 3.教材P180练习第3题. 【教学建议】 第一四分位数又称下四分位数，第三四分位数又称上四分位数. 学习相关概念后，教师可带领学生进行总结：第一四分位数是前半部分数据的中位数，第三四分位数是后半部分数据的中位数.
设计意图
在活动一问题的基础上，引入百分位数和四分位数的概念，并结合四分位数说明数据的分布情况.
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设计意图 探究点2 箱线图及其画法 概念引入：为了更加直观地观察数据的分布特征，我们可以用数据的三个四分位数及最小值、最大值这五个数值画出箱线图. 箱线图主要由矩形箱体和从箱体延伸出的两条水平线段(称为须线)构成.箱线图中最左侧和最右侧的竖直线段分别表示这组数据的最小值和最大值，中间箱体的左端竖线表示第一四分位数，箱体中部的竖线表示第二四分位数(中位数)，箱体的右端竖线表示第三四分位数，整个箱体的长度为第三四分位数减去第一四分位数的差，称为四分位距. (1)请尝试用统计图表示探究点1中A，B两个团队产品收益率的四分位数.解：如图. 由箱线图，容易看出数据分布的大致情况，如分布的范围、中位数的大小、集中的范围、分布是否对称等. 箱线图也可以按竖直方向画.为了便于比较两组数据的分布特征，可以把两个箱线图按竖直方向并列画在同一幅图中，如图. (2)请结合上面的箱线图，分析比较A，B两个团队产品收益率的分布情况. 答：观察箱线图可以发现，两个团队产品收益率的中位数几乎相等(表示中位数的水平线段差不多高)，但团队A的产品收益率波动明显比团队B的大(团队A的箱体和须线比团队B的长)，这与用平均数、方差比较的结果是一致的.团队B的产品收益率分布比团队A的更对称(中位数对应的水平线段在箱子的中间位置)，团队A有约25%的产品收益率高于团队B的最高产品收益率，也有约25%的产品收益率低于团队B的最低产品收益率，等等. 【对应训练】 教材P180练习第1题. 【教学建议】 教师提醒：箱线 图除了要表示出对应的五个数值外，还要表示出相应统计量的刻度线，且刻度线的度量单位应与数据的单位一致，起点比最小值稍小，终点比最大值稍大.
在四分位数的基础上进一步探究，将四分位数与图形结合，得到箱线图.
活动三：重点突破，提升探究 例 (教材P179例题)根据教材P173例3中的数据，分别计算甲、乙两地气温的四分位数，在同一幅图中画出箱线图，据此比较甲、乙两地的气温特点. 解：将表中两地的气温(单位：℃)分别按从小到大的顺序排列，可得 甲地 9 10 11 12 13 14 16 16 18 21 21 23 24 乙地 11 12 13 14 15 15 16 17 17 18 19 20 21 甲、乙两地气温各有13个数据.甲地气温的最小值为9，最大值为24，三个四分位数分别为.乙地气温的最小值为11，最大值为21，三个四分位数分别为 在同一幅图中画出两地气温的箱线图如图. 可以看出，甲、乙两地气温的中位数相同，但甲地气温的波动明显比乙地的大，甲地约有25%时刻的气温高于乙地的最高温度，约有25%时刻的气温低于乙地的最低温度. 【对应训练】 教材P180练习第2题. 【教学建议】 当多组箱线图在同一幅图中时，可以很方便地比较不同组数据的分布特征，包括中位数的差异(中心位置)，四分位数间距的大小(离散程度)，从而快速发现组间的差异和规律.
设计意图
进一步强化学生借助箱线图描述数据、分析数据的能力.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 如何理解百分位数和四分位数 它们有什么区别 箱线图该怎么画 它是怎样反映数据的分布信息的 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P180~181习题24.3. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计 24.3 数据的四分位数 1.百分位数. 2.四分位数. 3.箱线图.
教学反思 本节课采用了创设问题情境，启发学生思考的教学模式，引入百分位数与四分位数.同时，为了使数据的分布特征更加直观，将四分位数与最小值、最大值用图形的形式展示，得到箱线图.通过本节课的学习，让学生能够通过箱线图分析比较多组数据的分布情况.
解题大招一 百分位数的应用
一般地，一组数据的p%分位数是这样一个值，它是这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有(100－p)%的数据大于或等于这个值.
例1 下表是16~17周岁男生的体重百分位数值表.
体重百分位数/kg
m5 m10 m25 m50 m75 m90 m95
45.1 47.9 51.5 56.7 63.7 72.4 80.4
17岁的小明的体重是64kg，则他的体重超过 75% 的同龄人.
解析：观察表格可以发现，16~17周岁男生体重的75%分位数是63.7kg，90%分位数是72.4kg，64kg更接近63.7kg且大于63.7kg，所以小明同学的体重超过75%的同龄人.
解题大招二 求四分位数的方法
(1)将数据按从小到大的顺序排列；
(2)找出这组数据的中位数，作为这组数据的第二四分位数，即Q2；
(3)找出中位数左侧和右侧的数据各自的中位数，分别作为这组数据的第一四分位数和第三四分位数，即Q1和Q3.
注意：①在求四分位数之前，一定要对数据进行正确的排序；②求第一四分位数和第三四分位数时，以Q2为界，左右两侧的数据均不包含Q2.
例2 (1)数据14，10，16，30，12，18，24，26，20，22，28的四分位数分别是Q1= 14 ，Q2= 20 ，Q3= 26 .
解析：将这组数据按从小到大的顺序排列：10，12，14，16，18，20，22，24，26，28，30.这组数据的中位数为20，即Q2=20；20左侧数据的中位数为14，即Q1=14；20右侧数据的中位数为26，即Q3=26.
(2)某考生参加某高校的综合评价招生并成功通过了初试，在面试阶段中，8位老师根据考生表现给出得分，分数由低到高依次为：76，a，79，80，80，81，84，85.若这组数据的上四分位数与下四分位数的平均数恰好与中位数相等，则a= 76 .
解析：由题中数据易知.Q2=80，
因为这组数据的上四分位数与下四分位数的平均数恰好与中位数相等，
所以即解得a=76.
培优点 借助箱线图(四分位数)分析数据的分布信息
箱线图(四分位数)可以帮助我们了解数据的离散程度.通过观察箱线图(或计算Q1，Q2和Q3)，我们可以得到四分位距(即箱体的长度)，四分位距可以用来衡量数据的离散程度，相比于极差(最大值与最小值的差)，它不容易受到极端值的影响.比如在一个班级学生成绩的统计数据中，如果我们知道了成绩的四分位数，就可以了解到成绩分布的大致情况.如果Q1较低，Q3较高，说明成绩分布比较分散；如果Q1和Q3比较接近，说明中间部分的学生成绩比较集中.
例 A班和B班某次测试成绩(单位：分)如下：
A班：70，72，74，75，76，77，78，79，80，80，81，82，83，84，85，86，87，88，89，90；
B班：40，50，55，60，62，65，68，70，72，73，74，75，76，78，80，82，84，85，88，90.
某同学想要利用百分位数分析A，B两个班的水平，如表是他记录的成绩/分A，B两个班成绩的百分位数.
请根据以上信息完成下列问题：
(1)表中a= 63.5 ，b= 81 ；
(2)该同学基于四分位数绘制了A班成绩的箱线图如图所示，获得了A班成绩的直观表示.请你根据A班成绩的箱线图在图中补全B班成绩的箱线图，并根据箱线图对A，B两个班的成绩作出评价.
解：补全B班成绩的箱线图如图所示.
A班成绩整体更高且更稳定，B班成绩波动较大且存在极端低分现象.

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