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第5章 《分式》单元复习讲义
一、基础目标
能复述分式的概念，准确判断一个代数式是否为分式，会确定分式有意义、无意义及值为零的条件（如：当x取何值时，分式有意义/值为零）。
会利用分式的基本性质进行分式的约分和通分，能将分式化为最简分式（如：约分，通分与）。
能熟练进行简单的分式加减乘除运算（不含分式方程），运算结果化为最简形式（如：计算，）。
二、进阶目标
理解并应用分式的基本性质解决含字母系数的约分、通分问题（如：通分与）。
会推导分式混合运算的步骤，能正确计算含括号、负整数指数幂的分式混合运算（如：计算，化简$）。
理解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程，并能检验根的合理性（如：解方程，判断是否为方程的根）。
能根据实际问题中的等量关系列出分式方程解决行程、工程、利润等典型应用问题（如：“甲、乙两人加工同一种零件，甲的效率是乙的1.5倍，甲比乙少用2小时完成200个零件，求乙每小时加工零件数”）。
三、拓展目标
会推导并应用分式的变形公式解决含参数问题（如：已知，求的值；若分式化简后不含常数项，求k的值）。
理解分式与整式、二次根式的综合应用，能解决跨知识点的计算或证明题（如：已知，求的值）。
能结合函数思想分析分式方程解的情况（如：若关于x的方程有增根，求m的值）。
会利用分式的性质解决实际生活中的优化问题（如：“某工厂计划生产一批零件，原计划每天生产x个，实际每天多生产5个，结果提前2天完成，求原计划天数”）。
类别 具体内容 完整分析
常见结论 1. 分式有意义的条件：分母不为零。 对于分式（(A)、(B)是整式，且(B)中含有字母），要使其有意义，分母(B)的值不能为零。这是分式概念的基本要求，若分母为零，分式无意义。
2. 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零。 分式的值为零，首先分子(A)必须等于零，其次分母(B)不能等于零，二者缺一不可。如果仅分子为零而分母也为零，此时分式无意义，不能说其值为零。
3. 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。 即，（其中(M)是不等于零的整式）。这是分式进行约分和通分的理论依据，强调“同时”和“同一个不为零的整式”这两个关键条件。
4. 约分的结果是最简分式（分子与分母没有公因式）。 约分是把一个分式的分子与分母的公因式约去的过程，目的是化为最简分式，以便于后续的运算。最简分式的分子和分母除了1和-1之外，没有其他的公因式。
5. 通分的关键是确定最简公分母。 通分是把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式的过程。最简公分母通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积。
6. 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 同分母分式加减时，直接对分子进行运算，分母保持不变；异分母分式加减的核心是通过通分转化为同分母分式，再按同分母分式加减法法则进行计算，结果要化为最简分式。
7. 分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。 即。运算时，分子和分母分别相乘，然后可以进行约分，化为最简分式。
8. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 即。除法运算转化为乘法运算，关键是将除式的分子分母颠倒。
9. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 这是分式方程与整式方程的根本区别，判断一个方程是否为分式方程，只需看其分母中是否含有未知数。
10. 解分式方程必须验根：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解（是增根）。 因为在解分式方程时，方程两边同乘了一个含有未知数的整式（最简公分母），可能会产生增根（使最简公分母为零的根），所以必须验根，以确保解的正确性。
易错点 1. 忽略分式有意义的条件，如求分式中字母取值范围时，只考虑分子，忘记分母不能为零。 例如，对于分式，求(x)的取值范围，容易只想到分子可以取任意值，而忽略分母，即。
2. 错误认为分式的值为零仅需分子为零，忽略分母不能为零的条件。 比如，对于分式，若认为当即时分式值为零，就忽略了当时，分母，此时分式无意义，所以只有时分式值才为零。
3. 运用分式基本性质时，分子分母同乘（或除以）的整式为零。 例如，在化简时，不能直接约分为1就认为对所有(x)都成立，因为当时，原分式无意义，所以成立的条件是。
4. 约分不彻底，结果不是最简分式。 如将约分为(x-2)是正确的，但如果约分为而不进一步约简，或者错误地约去部分项而非公因式，都是不彻底的。
5. 通分时确定最简公分母出错，尤其是当分母是多项式且需要因式分解时。 例如，对和通分，需先将因式分解为((x+2)(x-2))，最简公分母应为((x+2)(x-2))，若错误地取和(x+2)的乘积作为公分母，就不是最简的。
6. 分式加减运算中，同分母分式加减时，分母漏写；异分母分式加减时，直接分子、分母分别相加减。 同分母分式加减，如应等于，若写成(a+c)就是漏写分母；异分母分式加减，如，不能错误地写成，而应通分后计算。
7. 分式乘除运算中，分子或分母是多项式时，忘记先因式分解再约分。 例如，计算，应先将因式分解为((x+1)(x-1))，然后约分得到(x-1)，若直接分子分母相乘后再约分，会增加计算量且易出错。
8. 解分式方程时，忘记验根，导致增根被当作原方程的解。 例如，解方程，两边同乘(x(x-1))得，解得。此时需将代入最简公分母，所以是原方程的解；若解得，代入公分母为零，则是增根，应舍去。
9. 解分式方程去分母时，常数项漏乘最简公分母。 例如，解方程，两边同乘(x-1)，得到，若错误地写成，就是常数项1漏乘了(x-1)。
10. 混淆分式与整式的概念，将分式方程误当作整式方程求解或反之。 例如，方程是整式方程，无需验根；而方程是分式方程，必须验根，不能因为形式相似而混淆处理。
【例1】下列式子是分式的是（ ）
A． B． C．x D．
【答案】B
【分析】本题主要考查分式的定义，熟练掌握分式的定义是解题的关键；根据分式的定义，分母中含有字母的式子称为分式，然后问题可求解．
【详解】解：∵分式需满足分母中含有字母，
∴选项B：的分母为x，含有字母，是分式；
选项A、C、D的分母均无字母，不是分式；
故选B．
【变式1-1】下列方程中是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式方程的定义，分母中含有未知数的方程叫做分式方程，据此可得答案．
【详解】解：由分式方程的定义可知，四个选项中，只有D选项中的方程是分式方程，
故选：D．
【变式1-2】下列代数式中，，整式有 个，分式有 个．
【答案】 3 3
【分析】本题考查整式与分式的定义，掌握知识点是解题的关键．
根据整式与分式的定义，逐个分析判断，即可解答．
【详解】解： ∵分母不含有字母，是整式， 中分母含有字母，是分式，
∴整式有3个，分式有3个．
故答案为：3，3．
【例2】分式中，自变量的取值范围是（）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为零求解即可．
【详解】解：分式中，分母，所以．
故选：B．
【变式2-1】若分式的值为0，则等于（ ）
A．0 B．2 C．3 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为0需分子等于0且分母不等于0，据此求解即可．
【详解】解：∵分式值为0，
∴分子，且，
解得，且，
∴，
故选：B．
【变式2-2】当 时，分式无意义．
【答案】
【分析】本题考查了分式无意义的条件．根据分式无意义的条件是分母为零可得，即可求解．
【详解】解：依题意，，
∴
故答案为：．
【例3】下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查最简分式，最简分式是指分子和分母没有公因式的分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．分别检查各选项的分子和分母是否能约分．
【详解】A、，可约分，所以不是最简分式；
B、，可约分，所以不是最简分式；
C、，可约分，所以不是最简分式；
D、中， 分子无法因式分解，与分母无公因式，所以是最简分式．
故选：D．
【变式3-1】分式与通分时，分子、分母要同时乘（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查分式的通分（找最简公分母），解题的关键是先对两个分式的分母因式分解，再确定最简公分母．
先对两个分式的分母进行因式分解，找出最简公分母，再确定通分时需要乘的式子．
【详解】解：第一个分式的分母，
第二个分式的分母，
最简公分母需包含所有唯一因式：，即最简公分母为．
因此，通分时分子、分母要同时乘．
故选：C．
【变式3-2】分式和的最简公分母为 ．
【答案】
【分析】此题主要考查了最简公分母，关键是掌握如果各分母都是多项式，就可以将各个分母因式分解，取各分母数字系数的最小公倍数，凡出现的字母（或含字母的整式）为底数的幂的因式都要取最高次幂．首先把分母分解因式，然后再确定最简公分母．
【详解】解：∵，，
∴分式和的最简公分母是：．
故答案为：．
【例4】下列分式变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本题考查分式恒等变形，熟记分式性质及因式分解是解决问题的关键．
通过因式分解和分式的基本性质，检查每个选项的变形是否正确即可得到答案．
【详解】解：A: ，选项分式变形错误，不符合题意；
B: ，选项分式变形错误，不符合题意；
C: ，选项分式变形错误，不符合题意；
D: （其中），选项分式变形正确，符合题意；
故选：D．
【变式4-1】分式与通分时，的分子、分母要同乘（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式的通分，确定最简公分母是解题的关键．将分母分解因式后，找到各分母的最小公倍式作为公分母，再将各分式化为该公分母的形式即可．
【详解】解：，
则分式与的最简公分母为，
所以分式与通分时，的分子、分母要同乘，
故选：B．
【变式4-2】若分式的分母经通分后变为，则分子应变为 ．
【答案】
【分析】本题考查分式的通分，分母变为，乘了，根据分式的基本性质，分子也应乘以．
【详解】解：，
因此分子应变为：，
故答案为：．
【例5】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查分式的化简求值，将所求分式拆分为差的形式，代入已知比值计算．
【详解】解：∵ ，
∴ ．
故选：A．
【变式5-1】已知，则分式的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了异分母的分式的加法，整体代入求代数式的值，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
将左边进行通分，得到，整理成，可知，将代入即可求得答案．
【详解】解：，
，
，
，
，
，
，
故选：C．
【变式5-2】已知，，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查了求分式的值，由给定等式变形为关于的二次方程，结合条件确定，再代入所求表达式计算，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
∴或，
∴或，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【例6】定义新运算“◎”：，如果，那么x的值为（ ）
A．1或2 B．1或3 C．2 D．3
【答案】B
【分析】此题考查了分式方程的应用，新定义运算，解题的关键是正确理解题意，熟练掌握解分式方程．
根据题意利用分类讨论分两种情况，当或时，列出分式方程进行解答即可．
【详解】解：∵ ，
当 时，，
解得 ，
经检验，是方程的根，且符合题意；
当时，，
解得 ，
经检验，是方程的根，且符合题意；
∴ 的值为1或3．
故选：B
【变式6-1】对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了新定义运算以及分式方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为分式方程，再按照分式方程的解法进行求解．
根据新定义运算将方程转化为分式方程，然后通过去分母、求解整式方程、检验等步骤得到方程的解．
【详解】根据定义，运算，代入，，方程可转化为：
，
化简分母为，方程变为：，
两边同乘（注意，即），得：
解得：，
验证分母，且代入原方程左边为，符合等式．因此解为，
故选：C．
【变式6-2】对于有理数，，定义运算，如定义，，照此定义运算方式计算： .
【答案】
【分析】根据新定义的运算规则，代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查实数的混合运算以及负整数指数幂，掌握有实数和负整数指数幂运算法则是解题的关键．
【例7】若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（ ）
A．且 B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查分式方程的解及限制条件，注意分母不为零．首先解分式方程，得到解，然后根据解为正数且分母不为零，得到不等式和限制条件．
【详解】解：∵方程，
移项得，
两边乘（注意）得，
展开得，
移项得，
∴，
∵解为正数，∴即 ，
∵ 分母，∴，
即，∴，
∴ 且，
故选： A．
【变式7-1】已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【答案】B
【分析】本题主要考查了解分式方程、分式有意义的条件等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
先解分式方程，再令解为负数求参数范围即可解答．
【详解】解：∵方程，
∴分母，即．
方程两边乘得：，
移项得：．
当时，．
解为负数，即，
∴．
∵分子，
∴分母，即．
当时，方程无解，不符合题意．
又∵，即，
∴，
综上，当时解为负数．
故选B．
【变式7-2】若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的解以及完全平方式，理解分式方程的增根以及完全平方式的定义是正确解答的前提．
由分式方程的解为整数以及增根的意义可求出或或，然后根据完全平方式定义得到或，即可得到满足条件的整数．
【详解】解：关于的分式方程的解是，且解为整数，a为整数，
或且，
解得或或或，
而当时，分式方程有增根，
，
或或，
是一个完全平方式，
，
或，
故
故答案为：．
【例8】若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查分式方程无解的情况，分清分式方程无解的情况包括整式方程有增根或整式方程本身无解是解题的关键．
首先对分式方程进行求解，发现整式方程总是有解，因此只需考虑增根情况，求得增根进行求解m的值即可．
【详解】解：，
，
方程有增根时，代入得，解得：，
∴当时，分式方程无解，
故选：A．
【变式8-1】若分式方程无解，则a的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】A
【分析】本题考查分式方程的解：先将分式方程化简，利用分母关系合并分式，然后求解方程，当解为增根（分母为零）时方程无解．
【详解】解：
，
∴．
当解为增根时，方程无解，即，
∴，解得．
故选：A．
【变式8-2】关于x的分式方程无解，则的值为 ．
【答案】4
【分析】本题主要考查了分式方程无解的情况，解题的关键是弄清分式方程无解的条件．
先把分式方程化为，再根据分式方程无解得到有增根，然后代入求解即可．
【详解】解：
去分母得，，
整理得，，
∵关于x的分式方程无解，
∴，
∴有增根，
∴代入，得，
解得，．
故答案为：4．
【例9】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先计算乘方，再算乘法即可解答；
（2）先计算除法，再算减法即可．
【详解】（1）解：原式；
（2）解：原式
．
【变式9-1】计算：．
【答案】
【分析】本题考查了分式的加减乘除混合运算，先把除法化为乘法，然后化简，再通分，化简，得，即可作答．
【详解】解：
．
【变式9-2】化简：．
【答案】
【分析】本题考查了分式乘除加减混合运算，先通分括号内，再运算括号外的除法，化简得，即可作答．
【详解】解：
．
【例10】解方程：
(1)
(2)
【答案】(1)
(2)无解
【分析】本题考查了解分式方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答．
（2）先把分式方程化为整式方程，再解得，最后验根，即可作答．
【详解】（1）解：
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
系数化为1，得，
检验，把代入，则，
∴是原方程的解；
（2）解：
原方程化为 ，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并同类项，得，
检验：把代入，则，
∴此方程无解．
【变式10-1】先化简，再求值：，其中
【答案】
【分析】本题考查了分式化简求值，先通分括号内，再把除法化为乘法，然后化简，得，最后把代入计算，即可作答．
【详解】解：
，
把代入，得．
【变式10-2】（1）解分式方程：；
（2）先化简，从，，中选一个合适的数作为x值代入，求出代数式的值．
【答案】（1）；（2），1
【分析】本题考查了解分式方程，分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先去分母，再解整式方程并检验即可得出结果；
（2）括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再选择符合题意的值代入计算即可得出结果．
【详解】解：（1）方程两边同乘，得，
解得：，
检验：当时，，
所以原方程的解是；
（2）
，
∵或时分式无意义，
∴x不能是1或，
∴当时，原式．
【例11】我国推进科技自立自强，牢筑钢铁长城．近期，我国自主研制的核动力航母“福建舰”正式下水试航．现“福建舰”在距离A港正东方向50海里的海面以试航速度航行，此时一架监测直升机从A港出发，以比“福建舰”试航的速度多50海里/时的速度沿正东方向追赶“福建舰”，当“福建舰”试航了25海里后，监测直升机刚好追上“福建舰”，求“福建舰”的试航速度．
【答案】25海里/时
【分析】本题主要考查列分式方程解应用题，根据题意确定等量关系，列出方程是解题的关键．
根据监测直升机从A港出发，刚好追上“福建舰”所用的时间与“福建舰”试航所用的时间相等作为等量关系列分式方程求解即可．
【详解】解：设“福建舰”的试航速度为海里/时，则监测直升机的速度为海里/时，
由题意得，，
解得，
答：“福建舰”的试航速度为25海里/时．
【变式11-1】净月潭环潭步行路线全长12公里．小李从起点出发，步行一段后，跑步前往终点，再从终点立即乘车返回起点．在同一时间，小刘从起点骑自行车沿同一路线去终点．已知小李跑步速度比步行快4公里/小时，骑自行车的速度是小李跑步速度的1.5倍．小李从起点到终点总共用时2小时，小刘从起点到终点比小李少用1小时．求小李的步行速度．
【答案】小李的步行速度是4公里/小时
【分析】本题考查了分式方程的应用，先表示出小刘全程骑车12公里的时间，再根据小刘比小李从起点到终点少用1小时，进行列式计算，即可作答．
【详解】解：设小李步行速度为v公里/小时，则跑步速度为公里/小时，
小刘骑自行车的速度为公里/小时，
小刘全程骑车12公里的用时为：小时，
∵小李从起点到终点总共用时2小时，小刘从起点到终点比小李少用1小时．
∴，
解得，
经检验：是原分式方程的解，
∴小李的步行速度是公里/小时．
【变式11-2】为了进一步美化两江新区鹿山公园绿化环境，公园管理委员会计划种植A、B两种名贵树苗，于是在今年11月购买了40株A树苗和50株B树苗，共花费了4300元，已知A树苗的单价比B树苗的单价少5元．
(1)请问11月份A、B两种树苗的单价分别是多少元？
(2)由于A、B两种树苗种植效果较好，公园管理委员会决定12月份再购买A、B两种树苗进行种植，且这次购买两种树苗的数量相同，由于市场原因，此时两种树苗的单价都有所上涨，A树苗上涨后的单价比B树苗上涨后的单价少10元，12月份购买A树苗花了2800元，购买B树苗花了3360元．请问A树苗上涨了多少元？
【答案】(1)A树苗的单价是45元，B树苗的单价是50元
(2)A树苗上涨了5元
【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、分式方程的应用等知识点，审清题意、正确列出方程是解题的关键．
（1）设B树苗的单价为x元，则A树苗的单价为元，然后根据题意解一元一次方程求解即可；
（2）设12月份 A 树苗上涨后的单价为y元，则 B 树苗上涨后的单价为元，根据题意列分式方程可得，进而求得A树苗上涨的情况．
【详解】（1）解：设B树苗的单价为x元，则A树苗的单价为元，
由题意可得：，
解得：，
则元．
答：A树苗的单价是45元，B树苗的单价是50元．
（2）解：设12月份 A 树苗上涨后的单价为y元，则 B 树苗上涨后的单价为元．
由题意可得： ，
解得：．
经检验，是分式方程的解．
所以A 树苗上涨的金额：元．
答：A树苗上涨了5元．
【例12】观察发现：；；根据你发现的规律，回答下列问题：
(1)利用你发现的规律计算：．
(2)灵活利用规律解方程：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的混合运算，解分式方程，关键是根据算式的特点，把分式拆分成两个分式的差；
（1）根据规律即可完成；
（2）根据规律进行拆分，最后解分式方程即可．
【详解】（1）解：由题意得：．
∴
．
（2）解：∵，，…，，
∴
．
∴．
∴或．
经检验，当时，；当时，．
∴是的解．
【变式12-1】小红根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面算式的运算规律．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
；；；……
特例：______（填写一个符合上述运算特征的例子）．
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式于表示上述的运算规律为：______．
(3)证明你的猜想．
(4)应用运算规律：计算＝______．
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)
(3)见解析
(4)
【分析】（1）仿照题意进行求解即可；
（2）根据题意得到规律即可得到答案；
（3）根据异分母分式减法和分式的乘法分别计算出左右两边的结果即可得到答案；
（4）先证明，然后根据（2）的规律进行求解即可．
【详解】（1）解：根据规律可得：，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：第1个式子为：；
第2个式子为：；
第3个式子为：；
第4个式子为：；
……
∴第n个式子为：；
故答案为：；
（3）证明：∵左边，
右边，
∴；
（4）解：∵
∴原式
，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式有关的规律问题，正确理解题意找到规律是解题的关键．
【变式12-2】探索发现：，，…… 根据你发现的规律，回答下列问题：
(1)＝___________，＝___________，
(2)利用你发现的规律计算
(3)灵活利用规律解方程：＋＋……＋＝
【答案】(1)，；
(2)；
(3)50；
【分析】（1）根据题目中分母的规律计算求值即可；
（2）将式子中的每项进行拆分，正负项抵消合并即可；
（3）由可得，然后将方程左边的每项进行拆分，正负项抵消后再解分式方程解即可；
【详解】（1）解：，
；
（2）解：原式===；
（3）解：∵，
∴，
同理可得，…，，
∴原方程可化为，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：，
经检验是方程的解；
所以方程的解为．
【点睛】本题考查了分式的通分，解分式方程等知识；根据已知条件对所求式子变形化简是解题关键．
【例13】阅读下列解题过程：
已知，求的值．
解：由，知，所以，即．
∴
∴的值为7的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
(1)已知，求的值．
(2)已知，求的值．
(3)已知，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了分式的运算、运用完全平方公式分解因式，解决本题的关键是理解题目给出的解题思路，仿照例题的解题思路解题．
（1）仿照例题先求倒数可得：，根据即可解答；
（2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；
（3）已知三等式变形后相加求出的值，原式变形后代入计算即可得出答案
【详解】（1）解：∵，可知，
∴，
∴，
∴；
（2）由，
∴，即，
则 ；
（3）解：依题意，∵，，，
∴
∴，即
∵
∴．
【变式13-1】操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值．
解：由知，所以，即．
，
的值为7的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，
(1)已知，求的值；
(2)实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题：
已知，求的值；
(3)问题解决：
已知：，，，求代数式的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查了分式加减运算，倒数定义，完全平方公式的变形求值，理解例题的思路是解题的关键．
（1）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；
（2）把已知等式变形求出的值，再把所求的式子变形后进行计算即可；
（3）根据已知等式得出，，求出，将此式分别与前面三式相减，可求得：，，，再求出结果即可．
【详解】（1）由，知，，即．
，．
（2）由，得，即，．
，
．
（3）由，得，即：．
由，得：；由，得：．
以上三式相加，得，
．
将此式分别与前面三式相减，可求得：，，，
【变式13-2】阅读下列解题过程：
已知，求的值．
解：由，知，所以，即，
，
的值为的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
(1)已知，求的值．
(2)已知，，，求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的加减法，倒数，理解例题的思路是解答本题的关键．
（1）已知等式变形求出的值，原式变形后，将的值代入计算即可；
（2）已知三等式变形后相加求出的值，原式变形后代入计算即可求出值．
【详解】（1）解：由，得到，即，
则原式；
（2）解：根据题意得：，，，
可得，
．
1．分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了分式有意义的条件，熟知分式有意义的条件是解决本题的关键．
分式有意义的条件是分母不为零，据此求解即可．
【详解】解：∵分式有意义，
∴，
∴，
故选A．
2．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】本题考查了同分母分式的减法运算，根据同分母分式减法法则计算，再对分子进行因式分解并化简即可．
【详解】解：原式．
故选：D．
3．下列分式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】此题考查分式的变形，熟练掌握分式的基本性质和分式的求值是解题的关键．
通过简化分式或代入具体值验证每个选项的正确性，只有B选项的变形符合分式的基本性质．
【详解】解：A：，∴ A错误．
B：，∴ B正确．
C：取，，，不相等，∴ C错误．
D：取，，，不相等，∴ D错误．
故选：B
4．为提升宜居环境，某市对一个居民区附近的1000米河道进行清淤，为了减少施工对居民生活的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划增加了，结果提前5天完成这一任务．设原计划每天完成米的清淤任务，则所列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了根据题意列分式方程．
根据实际工作效率比原计划增加和提前5天完成，建立方程关系．
【详解】解：设原计划每天完成米，则原计划时间为天．
∵实际工作效率增加，
∴实际每天完成米，实际时间为天．
∵提前5天完成，
∴原计划时间实际时间，
即．
整理得，
故选：A．
5．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
【答案】C
【分析】本题考查分式方程的特殊解．首先求得分式方程的解为,再根据解为正数得且，,从而求得m的取值范围即可．
【详解】解：，
去分母，得，
去括号，得，
移项，合并得，
∵方程的解为正数，
∴且，
解得且，
故选：C．
6．若，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查已知比例式求代数式的值，由已知比例关系设参数表示变量，再代入所求表达式化简.
【详解】解：由 ，设 ，（），
则 .
故答案为.
7．计算： ．
【答案】
【分析】本题考查同分母分式的加法运算．
两个分式分母相同，分母不变，把分子相加即可.
【详解】解：，
故答案为：1．
8．将分式方程化为整式方程，方程两边可以同时乘 ．
【答案】
【分析】该题考查了解分式方程，找出分式方程的最简公分母即可．
【详解】解：，分式方程的分母为和，最简公分母为，方程两边同时乘即可化为整式方程．
故答案为：．
9．若，则 ．
【答案】
【分析】本题考查了分式求值，根据已知比例关系，设，，再代入所求表达式求解．
【详解】解：，
设，，
，
故答案为：．
10．小马虎在计算时把整式抄错了，得到的化简结果是，他在核对时发现所抄写的比原来大，则正确的化简结果应该是 ．
【答案】/
【分析】本题考查分式的加减法，掌握异分母分式相加减，先通分，再按照同分母分式加减法的法则进行计算是正确解答的前提．由抄错时的化简结果求出抄错的M为，再根据抄写的M比原来大，得正确的M为，最后代入原式计算正确结果．
【详解】解：抄错时，有，
则，
所以．
由于抄写的M比原来大，
故正确的M为．代入原式，
正确结果为．
故答案为：．
11．解方程：．
【答案】
【分析】本题主要考查了解分式方程，解分式方程的关键是去分母把分式方程转化为整式方程，最后要把求出的解代入最简公分母检验是否增根．
【详解】解：，
去分母得：，
去括号得：，
移项、合并同类项得：，
系数化为得：，
检验：当时，，
原方程的解为．
12．先化简，再求值，，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则是解题的关键．先根据分式混合运算法则，进行化简，然后根据平方根定义求出x的值，注意验根，再代入数据求值即可．
【详解】解：
；
由得，
∴或3，
∵当时，；当时，，
∴，舍去，
当时，原式
．
13．随着“碳中和”理念普及，校园旧物回收活动愈发火热．某校初三（1）班学生利用课余时间整理可回收废品，发现改进分类方法后，工作效率大幅提高．已知该班同学改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品．请问该班同学改进前每小时整理多少千克废品？
【答案】该班同学改进前每小时整理千克废品
【分析】本题考查了分式方程的应用，根据改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品，进行列分式方程，再解得，即可作答．
【详解】解：依题意，设该班同学改进前每小时整理千克废品，
∵改进后每小时比改进前多整理15千克废品．
∴改进后每小时整理千克废品，
依题意，得
解得，
经检验：是原分式方程的解，
∴该班同学改进前每小时整理千克废品．
14．计算：
(1)
(2)解方程
(3)先化简，再求值，其中
【答案】(1)
(2)
(3)，
【分析】本题主要考查的是分式的加减，分式方程的解法，分式的化简求值的有关知识．熟练掌握分式的混合运算，分式方程的解法是解题的关键．
直接利用分式的减法的计算法则进行计算即可；
先将分式方程转化为整式方程，然后再进行求解即可；
先将给出的分式进行化简，然后代入求值即可．
【详解】（1）解：原式
；
（2）解：方程两边同时乘以得：，
整理得：，
∴，
解得，
当时，，
∴是该方程的解；
（3）解：原式
，
把代入得：原式 ．
15．某手工商店为响应“绿色生活”倡议，计划为社区市集制作环保袋，推广环保理念．现将员工按熟练程度分为两个组，高级组和初级组每天一共可以制作个环保袋，高级组3天制作的环保袋数量比初级组4天制作的环保袋数量多100个．
(1)请问高级组和初级组每天制作的环保袋数量分别是多少个？
(2)由于环保袋销量很好，市集供不应求，商店为两组购进新设备以提高效率．升级后，初级组每天比原来多制作个环保袋，而高级组每天比原来多制作个环保袋．若升级后，高级组制作3000个环保袋所用天数与初级组制作1200个环保袋所用天数相同，求的值．
【答案】(1)高级组每天制作100个环保袋，初级组每天制作50个环保袋
(2)50
【分析】（1）设高级组每天制作个环保袋，初级组每天制作个环保袋，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解；
（2）根据题意升级后，初级组每天制作个环保袋，高级组每天制作个环保袋，进而根据所用天数相同，列出分式方程，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设高级组每天制作个环保袋，初级组每天制作个环保袋
根据题意，
解得：
答：高级组每天制作100个环保袋，初级组每天制作50个环保袋
（2）解：升级后，初级组每天制作个环保袋，高级组每天制作个环保袋
解得：
经检验，是方程的解，且符合题意，
∴的值为．
1．已知，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了分式求值和分式的基本性质，将已知方程变形，求解关于的表达式．
【详解】解：，
，
即 ，
，
故选：B．
2．随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（ ）
A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨
【答案】D
【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，解题的关键是根据工作时间差建立方程并求解．
设普通机器人的工作效率为未知数，根据智能机器人效率是其倍表示出智能机器人效率；再根据“装载吨货物的时间差为分钟”建立分式方程，求解后得到智能机器人的效率．
【详解】解：设普通机器人每小时装载货物吨，则智能机器人每小时装载货物吨．
，
解得，
∴智能机器人每小时装载货物吨．
故选：D．
3．要使分式的值扩大到原来的4倍，则（　　）
A．的值都扩大到原来的2倍
B．的值都扩大到原来的4倍
C．的值不变，的值扩大到原来的4倍
D．的值不变，的值扩大到原来的4倍
【答案】B
【分析】本题考查了分式的变化计算，准确的计算是解决本题的关键．
设，通过计算变化后的分式值，与原始值比较，即可判断．
【详解】解：设，
A、∵的值都扩大到原来的2倍，
∴，不符合题意；
B、∵的值都扩大到原来的4倍，
∴，符合题意；
C、∵的值不变，的值扩大到原来的4倍，
∴，不符合题意；
D、∵的值不变，的值扩大到原来的4倍，
∴，不符合题意；
故选B．
4．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了分式方程的增根和解分式方程等知识点，分式方程有增根时，增根为使分母为零的值，即．将方程化为整式方程后，代入增根求解．
【详解】∵方程，
去分母，两边乘以得：，
∴，
整理得：，
∴，
∵增根为，
∴，
∴，
∴．
故选：B．
5．现有一列数：（为正整数），规定，，，，，若，则的值为（　　）
A．2015 B．2016 C．2017 D．2018
【答案】C
【分析】本题考查了分式化简求值，通过已知条件求出，再利用裂项法将求和式化简为 ，最后解方程求出．
【详解】解：，且对于，有，
，
，
，
以此类推，得，
，
，
，
，
，
，．
故选：C．
6．若分式的值为0，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式为0的条件，掌握分式为零的条件为分子为0、分母不为0是解题的关键．
分式值为0的条件是分子等于0且分母不等于0，据此求解即可．
【详解】解：∵分式的值为0，
∴且，
∴或，且，
∴.
故答案为：．
7．化简的值为 ．
【答案】
【分析】此题考查了分式的混合运算，将分子和分母因式分解后约分，然后计算括号内减法，然后计算括号外除法即可．
【详解】
．
故答案为：．
8．想让关于的分式方程没有增根，则要满足什么条件 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，解分式方程；通过求解分式方程，得到，分式方程没有增根，则方程的解不能使得分母为0，则，据此求解即可．
【详解】解：，
去分母得，
去括号得，
移项，合并同类项得，
系数化为1得，
∵分式方程没有增根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9．若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围是 ．
【答案】且
【分析】本题考查了分式方程的特殊解，熟练掌握运算法则是解题的关键．
将分式方程转化为整式方程，求解得到关于的表达式，再根据解为非负数和分母不为零的条件，确定的取值范围即可．
【详解】原方程化为：，
两边同乘 得：，
整理得：，
解得：；
由解为非负数得：，即，
解得 ，
又∵，
∴，即，
解得：，
故答案为 ：且．
10．若关于x的分式方程无解，则满足条件的k值为 ．
【答案】或
【分析】本题考查了分式方程无解，理解分式方程无解的含义是解题的关键．
分式方程无解的情况有两种：一是化简后的整式方程无解；二是整式方程的解是增根（使原方程分母为零），分别求解即可．
【详解】解：方程两边同时乘以最简公分母 ，得：
整理得：
移项得：
当 即 时，
方程左边为 ，右边为 ，即 ，矛盾，整式方程无解，故原分式方程无解，
当 时，，
若解为增根，则 或 ，
当 时，，解得 ，即 ，得 ，不成立，无解，
当 时，，解得 ，即 ，整理得 ，所以 ，此时解为增根，故原方程无解，
综上，满足条件的 值为 或 ．
故答案为： 或 ．
11．解方程：．
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，先将方程中的分母化为相同形式，再通过去分母将分式方程转化为整式方程求解，最后检验所得解是否为原方程的解即可．
【详解】解：，
，
解得：，
经检验，是分式方程的解，
∴原方程的解是．
12．先化简，再从0，1，2中选出你喜欢的的值代入求解．
【答案】，选择，值为
【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选择的值，代入计算即可得．
【详解】解：原式
．
∵，，即，
∴从0，1，2中选择，
∴原式．
13．实验研究：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约1斤的污水．
若采用一次漂洗的方式．把一件存留1斤污水的衣服用斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的．
若采用两次漂洗的方式．第一次用斤清水漂洗后，再用斤清水第二次漂洗，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的．
数据计算：现用20斤清水，采用两种漂洗方式，请进行计算、比较．
方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ；
方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ；
实验结论：对比可知，在这两种方案中，方案 的漂洗效果最好（填“一”或“二”）．
推广证明：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约斤的污水．用斤清水两次漂洗．
方案A：第一次用斤清水，第二次用斤清水，其中；
方案B：第一次和第二次都用斤清水．
请通过计算说明两种漂洗方案哪个效果更佳．
【答案】数据计算：，；实验结论：二；推广证明：方案更好，计算见解析
【分析】本题考查分式的计算及应用，理解题意，列出算式，并准确计算是解题的关键．
数据计算：根据漂洗后衣服中存有的污物是原来的分别计算即可：
实验结论：比较数据计算得出的数据，即可作出判断；
推广证明：根据漂洗后衣服中存有的污物是原来的分别计算，然后比较即可．
【详解】数据计算：方案一：采用一次漂洗的方式．
将20斤清水一次用掉，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的；
方案二：采用两次漂洗的方式．
若第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后该衣服中存有的污物是原来的，
故答案为：，；
实验结论：，
∴采用方案二漂洗后衣服中存有的污物少，
∴方案二的漂洗效果最好．
故答案为：二；
推广证明：方案A结果：
方案B结果：
方案更好
14．定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”．
例如：，我们称是的“3阶差分式”．
解答下列问题：
(1)分式是分式的“________阶差分式”．
(2)分式A是分式B的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求x的值．
【答案】(1)1
(2)或．
【分析】本题主要考查了“阶差分式”，分式的加减混合计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键．
（1）只需要计算出的结果即可得到答案；
（2）根据题意可得，则，再由是正整数，且x取正整数讨论即可．
【详解】（1）解；∵，
∴分式是分式的“1阶差分式”；
故答案为：1；
（2）解：∵分式是分式的“2阶差分式”，
∴，
∴，
∵是正整数，且x取正整数，
∴也是正整数，
∴或．
15．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“一中分式”，常数称为“一中值”．如分式，，，则与互为“一中分式”，“一中值”．
(1)已知分式，，判断与是否互为“一中分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“一中值”；
(2)已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”，为正整数，且分式的值为正整数．
①求所代表的代数式；②求的值；
(3)已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”为，若关于的方程无解，求实数的值（可用含的式子表示）．
【答案】(1)是，2
(2)①；②1
(3)或
【分析】本题考查分式的计算，掌握分式计算的通分以及解分式方程的方法是解题的关键．
（1）直接计算，根据其化简结果判断是否为“一中分式”，并求出“一中值”；
（2）①根据“一中分式”以及 “一中值”，计算，求出代表的代数式；②将代入后，根据化简结果，结合分式的值为正整数．为正整数，得出的值；
（3）列出的方程，根据方程无解以及增根情况求出的取值；
【详解】（1）解：，
与是互为“一中分式”，“一中值”．
（2）解：①，，
与互为“一中分式”，且“一中值”，
，
；
②，
且分式的值为正整数．为正整数，
或，
（舍去）．
（3）解：∵，，
∴，
整理得，
化简得，
∵方程无解，
∴，且，
解得，且，即，
当时，方程有增根，
代入，解得，
综上，的取值范围为或．中小学教育资源及组卷应用平台
第5章 《分式》单元复习讲义
一、基础目标
能复述分式的概念，准确判断一个代数式是否为分式，会确定分式有意义、无意义及值为零的条件（如：当x取何值时，分式有意义/值为零）。
会利用分式的基本性质进行分式的约分和通分，能将分式化为最简分式（如：约分，通分与）。
能熟练进行简单的分式加减乘除运算（不含分式方程），运算结果化为最简形式（如：计算，）。
二、进阶目标
理解并应用分式的基本性质解决含字母系数的约分、通分问题（如：通分与）。
会推导分式混合运算的步骤，能正确计算含括号、负整数指数幂的分式混合运算（如：计算，化简$）。
理解分式方程的概念，会解可化为一元一次方程的分式方程，并能检验根的合理性（如：解方程，判断是否为方程的根）。
能根据实际问题中的等量关系列出分式方程解决行程、工程、利润等典型应用问题（如：“甲、乙两人加工同一种零件，甲的效率是乙的1.5倍，甲比乙少用2小时完成200个零件，求乙每小时加工零件数”）。
三、拓展目标
会推导并应用分式的变形公式解决含参数问题（如：已知，求的值；若分式化简后不含常数项，求k的值）。
理解分式与整式、二次根式的综合应用，能解决跨知识点的计算或证明题（如：已知，求的值）。
能结合函数思想分析分式方程解的情况（如：若关于x的方程有增根，求m的值）。
会利用分式的性质解决实际生活中的优化问题（如：“某工厂计划生产一批零件，原计划每天生产x个，实际每天多生产5个，结果提前2天完成，求原计划天数”）。
类别 具体内容 完整分析
常见结论 1. 分式有意义的条件：分母不为零。 对于分式（(A)、(B)是整式，且(B)中含有字母），要使其有意义，分母(B)的值不能为零。这是分式概念的基本要求，若分母为零，分式无意义。
2. 分式的值为零的条件：分子为零且分母不为零。 分式的值为零，首先分子(A)必须等于零，其次分母(B)不能等于零，二者缺一不可。如果仅分子为零而分母也为零，此时分式无意义，不能说其值为零。
3. 分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变。 即，（其中(M)是不等于零的整式）。这是分式进行约分和通分的理论依据，强调“同时”和“同一个不为零的整式”这两个关键条件。
4. 约分的结果是最简分式（分子与分母没有公因式）。 约分是把一个分式的分子与分母的公因式约去的过程，目的是化为最简分式，以便于后续的运算。最简分式的分子和分母除了1和-1之外，没有其他的公因式。
5. 通分的关键是确定最简公分母。 通分是把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式的过程。最简公分母通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积。
6. 分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 同分母分式加减时，直接对分子进行运算，分母保持不变；异分母分式加减的核心是通过通分转化为同分母分式，再按同分母分式加减法法则进行计算，结果要化为最简分式。
7. 分式的乘法法则：分式乘以分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母。 即。运算时，分子和分母分别相乘，然后可以进行约分，化为最简分式。
8. 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 即。除法运算转化为乘法运算，关键是将除式的分子分母颠倒。
9. 分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程。 这是分式方程与整式方程的根本区别，判断一个方程是否为分式方程，只需看其分母中是否含有未知数。
10. 解分式方程必须验根：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为零，则是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解（是增根）。 因为在解分式方程时，方程两边同乘了一个含有未知数的整式（最简公分母），可能会产生增根（使最简公分母为零的根），所以必须验根，以确保解的正确性。
易错点 1. 忽略分式有意义的条件，如求分式中字母取值范围时，只考虑分子，忘记分母不能为零。 例如，对于分式，求(x)的取值范围，容易只想到分子可以取任意值，而忽略分母，即。
2. 错误认为分式的值为零仅需分子为零，忽略分母不能为零的条件。 比如，对于分式，若认为当即时分式值为零，就忽略了当时，分母，此时分式无意义，所以只有时分式值才为零。
3. 运用分式基本性质时，分子分母同乘（或除以）的整式为零。 例如，在化简时，不能直接约分为1就认为对所有(x)都成立，因为当时，原分式无意义，所以成立的条件是。
4. 约分不彻底，结果不是最简分式。 如将约分为(x-2)是正确的，但如果约分为而不进一步约简，或者错误地约去部分项而非公因式，都是不彻底的。
5. 通分时确定最简公分母出错，尤其是当分母是多项式且需要因式分解时。 例如，对和通分，需先将因式分解为((x+2)(x-2))，最简公分母应为((x+2)(x-2))，若错误地取和(x+2)的乘积作为公分母，就不是最简的。
6. 分式加减运算中，同分母分式加减时，分母漏写；异分母分式加减时，直接分子、分母分别相加减。 同分母分式加减，如应等于，若写成(a+c)就是漏写分母；异分母分式加减，如，不能错误地写成，而应通分后计算。
7. 分式乘除运算中，分子或分母是多项式时，忘记先因式分解再约分。 例如，计算，应先将因式分解为((x+1)(x-1))，然后约分得到(x-1)，若直接分子分母相乘后再约分，会增加计算量且易出错。
8. 解分式方程时，忘记验根，导致增根被当作原方程的解。 例如，解方程，两边同乘(x(x-1))得，解得。此时需将代入最简公分母，所以是原方程的解；若解得，代入公分母为零，则是增根，应舍去。
9. 解分式方程去分母时，常数项漏乘最简公分母。 例如，解方程，两边同乘(x-1)，得到，若错误地写成，就是常数项1漏乘了(x-1)。
10. 混淆分式与整式的概念，将分式方程误当作整式方程求解或反之。 例如，方程是整式方程，无需验根；而方程是分式方程，必须验根，不能因为形式相似而混淆处理。
【例1】下列式子是分式的是（ ）
A． B． C．x D．
【变式1-1】下列方程中是分式方程的是（ ）
A． B． C． D．
【变式1-2】下列代数式中，，整式有 个，分式有 个．
【例2】分式中，自变量的取值范围是（）
A． B． C． D．
【变式2-1】若分式的值为0，则等于（ ）
A．0 B．2 C．3 D．6
【变式2-2】当 时，分式无意义．
【例3】下列分式中，最简分式是（ ）
A． B． C． D．
【变式3-1】分式与通分时，分子、分母要同时乘（ ）
A． B．
C． D．
【变式3-2】分式和的最简公分母为 ．
【例4】下列分式变形正确的是（ ）
A． B． C． D．
【变式4-1】分式与通分时，的分子、分母要同乘（ ）
A． B． C． D．
【变式4-2】若分式的分母经通分后变为，则分子应变为 ．
【例5】已知，则（ ）
A． B． C． D．
【变式5-1】已知，则分式的值为（ ）
A． B． C． D．
【变式5-2】已知，，则的值为 ．
【例6】定义新运算“◎”：，如果，那么x的值为（ ）
A．1或2 B．1或3 C．2 D．3
【变式6-1】对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（ ）
A． B． C． D．
【变式6-2】对于有理数，，定义运算，如定义，，照此定义运算方式计算： .
【例7】若关于的分式方程：的解为正数，则的取值范围为（ ）
A．且 B． C． D．
【变式7-1】已知关于的方程，解为负数，则的取值范围是（ ）
A． B．
C．且 D．且
【变式7-2】若关于y的分式方程的解为整数，且是一个完全平方式，则满足条件的整数a的值为 ．
【例8】若关于x的分式方程无解，则m的值为（ ）
A． B． C． D．2
【变式8-1】若分式方程无解，则a的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【变式8-2】关于x的分式方程无解，则的值为 ．
【例9】计算：
(1)；
(2)．
【变式9-1】计算：．
【变式9-2】化简：．
【例10】解方程：
(1)
(2)
【变式10-1】先化简，再求值：，其中
【变式10-2】（1）解分式方程：；
（2）先化简，从，，中选一个合适的数作为x值代入，求出代数式的值．
【例11】我国推进科技自立自强，牢筑钢铁长城．近期，我国自主研制的核动力航母“福建舰”正式下水试航．现“福建舰”在距离A港正东方向50海里的海面以试航速度航行，此时一架监测直升机从A港出发，以比“福建舰”试航的速度多50海里/时的速度沿正东方向追赶“福建舰”，当“福建舰”试航了25海里后，监测直升机刚好追上“福建舰”，求“福建舰”的试航速度．
【变式11-1】净月潭环潭步行路线全长12公里．小李从起点出发，步行一段后，跑步前往终点，再从终点立即乘车返回起点．在同一时间，小刘从起点骑自行车沿同一路线去终点．已知小李跑步速度比步行快4公里/小时，骑自行车的速度是小李跑步速度的1.5倍．小李从起点到终点总共用时2小时，小刘从起点到终点比小李少用1小时．求小李的步行速度．
【变式11-2】为了进一步美化两江新区鹿山公园绿化环境，公园管理委员会计划种植A、B两种名贵树苗，于是在今年11月购买了40株A树苗和50株B树苗，共花费了4300元，已知A树苗的单价比B树苗的单价少5元．
(1)请问11月份A、B两种树苗的单价分别是多少元？
(2)由于A、B两种树苗种植效果较好，公园管理委员会决定12月份再购买A、B两种树苗进行种植，且这次购买两种树苗的数量相同，由于市场原因，此时两种树苗的单价都有所上涨，A树苗上涨后的单价比B树苗上涨后的单价少10元，12月份购买A树苗花了2800元，购买B树苗花了3360元．请问A树苗上涨了多少元？
【例12】观察发现：；；根据你发现的规律，回答下列问题：
(1)利用你发现的规律计算：．
(2)灵活利用规律解方程：．
【变式12-1】小红根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面算式的运算规律．
下面是小红的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
；；；……
特例：______（填写一个符合上述运算特征的例子）．
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果n为正整数，用含n的式于表示上述的运算规律为：______．
(3)证明你的猜想．
(4)应用运算规律：计算＝______．
【变式12-2】探索发现：，，…… 根据你发现的规律，回答下列问题：
(1)＝___________，＝___________，
(2)利用你发现的规律计算
(3)灵活利用规律解方程：＋＋……＋＝
【例13】阅读下列解题过程：
已知，求的值．
解：由，知，所以，即．
∴
∴的值为7的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
(1)已知，求的值．
(2)已知，求的值．
(3)已知，，，求的值．
【变式13-1】操作发现：阅读下列解题过程：已知，求的值．
解：由知，所以，即．
，
的值为7的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，
(1)已知，求的值；
(2)实践探索：请你利用“倒数法”解决下面问题：
已知，求的值；
(3)问题解决：
已知：，，，求代数式的值．
【变式13-2】阅读下列解题过程：
已知，求的值．
解：由，知，所以，即，
，
的值为的倒数，即．
以上解法中先将已知等式的两边“取倒数”，然后求出待求式子倒数的值，我们把此题的这种解法叫做“倒数法”，请你利用“倒数法”解决下面问题：
(1)已知，求的值．
(2)已知，，，求的值．
1．分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．计算 的结果是（ ）
A． B． C． D．2
3．下列分式变形正确的是（ ）
A． B．
C． D．
4．为提升宜居环境，某市对一个居民区附近的1000米河道进行清淤，为了减少施工对居民生活的影响，实际施工时每天的工作效率比原计划增加了，结果提前5天完成这一任务．设原计划每天完成米的清淤任务，则所列出的方程正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A． B． C．且 D．且
6．若，则的值为 ．
7．计算： ．
8．将分式方程化为整式方程，方程两边可以同时乘 ．
9．若，则 ．
10．小马虎在计算时把整式抄错了，得到的化简结果是，他在核对时发现所抄写的比原来大，则正确的化简结果应该是 ．
11．解方程：．
12．先化简，再求值，，其中．
13．随着“碳中和”理念普及，校园旧物回收活动愈发火热．某校初三（1）班学生利用课余时间整理可回收废品，发现改进分类方法后，工作效率大幅提高．已知该班同学改进前整理60千克废品所用的时间，与改进后整理90千克废品所用的时间相同，且改进后每小时比改进前多整理15千克废品．请问该班同学改进前每小时整理多少千克废品？
14．计算：
(1)
(2)解方程
(3)先化简，再求值，其中
15．某手工商店为响应“绿色生活”倡议，计划为社区市集制作环保袋，推广环保理念．现将员工按熟练程度分为两个组，高级组和初级组每天一共可以制作个环保袋，高级组3天制作的环保袋数量比初级组4天制作的环保袋数量多100个．
(1)请问高级组和初级组每天制作的环保袋数量分别是多少个？
(2)由于环保袋销量很好，市集供不应求，商店为两组购进新设备以提高效率．升级后，初级组每天比原来多制作个环保袋，而高级组每天比原来多制作个环保袋．若升级后，高级组制作3000个环保袋所用天数与初级组制作1200个环保袋所用天数相同，求的值．
1．已知，则 的值为（ ）
A． B． C． D．
2．随着人工智能的快速发展，机器人的工作效率越来越高，为我们的工作和生活带来了许多便利．厂家将一款普通机器人升级改造为智能机器人，智能机器人的工作效率是普通机器人的倍．若两种机器人分别装载货物吨，普通机器人比智能机器人多用分钟，则智能机器人每小时可以装载货物（ ）
A．0.1吨 B．0.15吨 C．6吨 D．9吨
3．要使分式的值扩大到原来的4倍，则（　　）
A．的值都扩大到原来的2倍
B．的值都扩大到原来的4倍
C．的值不变，的值扩大到原来的4倍
D．的值不变，的值扩大到原来的4倍
4．若关于x的分式方程有增根，则m的值是（ ）
A． B． C． D．
5．现有一列数：（为正整数），规定，，，，，若，则的值为（　　）
A．2015 B．2016 C．2017 D．2018
6．若分式的值为0，则的值为 ．
7．化简的值为 ．
8．想让关于的分式方程没有增根，则要满足什么条件 ．
9．若关于x的分式方程的解是非负数，则a的取值范围是 ．
10．若关于x的分式方程无解，则满足条件的k值为 ．
11．解方程：．
12．先化简，再从0，1，2中选出你喜欢的的值代入求解．
13．实验研究：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约1斤的污水．
若采用一次漂洗的方式．把一件存留1斤污水的衣服用斤清水漂洗后，拧干到仍然存留1斤污水，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的．
若采用两次漂洗的方式．第一次用斤清水漂洗后，再用斤清水第二次漂洗，则漂洗后衣服中存有的污物是原来的．
数据计算：现用20斤清水，采用两种漂洗方式，请进行计算、比较．
方案一：采用一次漂洗的方式．将20斤清水一次用掉，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ；
方案二：采用两次漂洗的方式，且两次用水量不同．如第一次用12斤清水，第二次用8斤清水，漂洗后衣服中存有的污物是原来的 ；
实验结论：对比可知，在这两种方案中，方案 的漂洗效果最好（填“一”或“二”）．
推广证明：假设衣服每次洗完后拧干，衣服上都存留约斤的污水．用斤清水两次漂洗．
方案A：第一次用斤清水，第二次用斤清水，其中；
方案B：第一次和第二次都用斤清水．
请通过计算说明两种漂洗方案哪个效果更佳．
14．定义：若分式A和分式B满足（n为正整数），则称A是B的“n阶差分式”．
例如：，我们称是的“3阶差分式”．
解答下列问题：
(1)分式是分式的“________阶差分式”．
(2)分式A是分式B的“2阶差分式”．若x取正整数，且A的值为正整数，求x的值．
15．如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“一中分式”，常数称为“一中值”．如分式，，，则与互为“一中分式”，“一中值”．
(1)已知分式，，判断与是否互为“一中分式”，若不是，请说明理由；若是，请求出“一中值”；
(2)已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”，为正整数，且分式的值为正整数．
①求所代表的代数式；②求的值；
(3)已知分式，，与互为“一中分式”，“一中值”为，若关于的方程无解，求实数的值（可用含的式子表示）．

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