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第7章 一元一次不等式与不等式组 专题讲解
一、核心知识清单
（一）基本概念
不等式：用不等号（<、>、≤、≥、≠）表示不等关系的式子叫做不等式。有些不等式不含未知数（如3<4），有些含有未知数（如2x>5），含有未知数的不等式，当未知数取某些值时会成立，取另一些值时不成立。
不等式的解：使不等式成立的未知数的值，是具体的未知数取值，而非一个范围。
不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集，是一个包含所有符合条件的未知数取值的集合，可用最简不等式或数轴表示。
一元一次不等式：只含有一个未知数，未知数的次数是1，且不等号两边都是整式的不等式。它与一元一次方程的区别在于，前者表示不等关系，后者表示相等关系，二者均只含一个未知数且次数为1、两边为整式。
一元一次不等式组：把几个含有同一个未知数的一元一次不等式合在一起，就组成一元一次不等式组。这几个不等式需含有同一个未知数，个数可以是两个及以上。
不等式组的解集：不等式组中所有不等式解集的公共部分；若没有公共部分，则该不等式组无解。
（二）核心性质
不等式的基本性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号的方向不变。若 ，则，此性质与等式性质一致，无需改变不等号方向。
不等式的基本性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。若 ，，则 ，，注意前提是“同一个正数”。
不等式的基本性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变（沪科版高频易错点）。若 ，，则 ，，此性质与等式性质差异最大，需重点记忆。
补充性质：① 若 ，则 （不等号方向反转）；② 若 ，，则 （传递性），这两个性质常用于比较实数大小和不等式变形。
（三）关键运算步骤（沪科版教材规范步骤）
解一元一次不等式（与一元一次方程解法类似，核心区别在性质3）：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1（注意：乘除负数时，不等号必须改变方向）。每一步需注意：去分母时漏乘不含分母的项；去括号时，括号前是负号需变号；移项时要变号。
解一元一次不等式组：① 分别求出每个一元一次不等式的解集；② 利用数轴找出所有解集的公共部分（直观易懂，沪科版重点推荐方法）；③ 写出不等式组的解集（若无公共部分，注明“无解”）；④ 若需整数解，从解集中筛选符合条件的整数。
数轴表示解集（沪科版必考）：① 确定边界点：含等号（≤、≥）画实心点，不含等号（<、>）画空心圈；② 确定方向：大于向右画，小于向左画，清晰体现解集范围。
（四）不等式组解集规律（沪科版口诀记忆，精准好用）
核心口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解），结合下表快速判断（设 ）：
一元一次不等式组 解集 对应口诀
同大取大
同小取小
大小小大中间找
无解 大大小小找不到
二、易错点警示清单
运用不等式性质3时，忘记改变不等号方向（最易错），如由 误解得 正确，由 误解得 错误（需变为 ）。 数轴表示解集时，混淆实心点与空心圈：含等号（≤、≥）用实心点，不含等号（<、>）用空心圈，如 画实心点向右， 画空心圈向右。 解不等式组时，找错解集的公共部分，尤其是“大小小大中间找”与“大大小小找不到”的混淆，可借助数轴直观判断，避免出错。 实际应用中，忽略未知数的实际意义（沪科版重点易错），如人数、物品件数、次数等需为正整数，不可取负数或小数，如“汽车数量”“笔记本数量”需为正整数。 解不等式去分母时，漏乘不含分母的项，如解 时，误将右边的1漏乘3，导致解题错误。 移项时忘记变号，与解一元一次方程移项错误一致，如由 误解得，正确应为 。
三、常用解题方法
数轴法：沪科版教材重点推荐，用数轴直观表示不等式（组）的解集，快速确定公共部分，尤其适合解不等式组和判断含参数不等式的解集范围，避免解集判断错误。
移项法：解不等式的核心方法，移项时只需改变移动项的符号，不等号方向不变，仅在系数化为1（乘除负数）时改变不等号方向，简化运算步骤。
口诀法：记忆不等式组解集规律口诀，快速判断解集类型，节省解题时间，适合选择题、填空题快速作答，沪科版常考此类基础题型。
建模法：沪科版高频考法，将实际问题转化为一元一次不等式（组）模型求解，关键是找准题干中的不等关系（如“不低于”“不超过”“不空也不满”等），列出不等式（组）后求解并检验实际意义。
代入验证法：适合判断不等式的解、检验解集正确性，或解决含参数的简单不等式问题，快速排除错误选项，提升解题准确率，尤其适合选择题。
四、典型题型归类精练
题型1：不等式的性质辨析（沪科版基础必考）
例1 已知 ，下列变形正确的是（）
A. B. C. D.
题型2：一元一次不等式的解法及数轴表示
例2 解不等式：，并把解集在数轴上表示出来。
题型3：一元一次不等式组的解法及整数解（沪科版高频考）
例3 解不等式组：，并写出它的所有整数解。
题型4：含参数的一元一次不等式（组）（沪科版重难点）
例4 （1）若不等式 的解集为 ，求 的取值范围；
（2）已知不等式组 的解集是 ，求 的取值范围。
题型5：不等式的实际应用（积分、最值问题，沪科版基础应用）
例5 某知识竞赛共有20道题，答对一题得10分，答错或不答扣5分，小明得分要超过90分，他至少答对几道题？
题型6：不等式组的实际应用（方案问题）
例6 某药店销售一种药品，说明书标注：一日服用剂量为600~1200mg，分2~3次服用，若每次服用剂量相同，设每次服用剂量为 mg，求 的取值范围。
题型7：不等式与等式的综合应用（沪科版拓展考）
例7 已知方程 的解是正数，求 的取值范围，并用数轴表示出来。
题型8：不等式解集的正误判断
例8下列说法正确的是（ ）
A. 不等式 的解集是 B. 是不等式 的一个解
C. 不等式 的解集是 D. 不等式 没有正整数解
题型9：不等式与数轴的综合应用
例9 如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，求这个不等式组的整数解，并写出一个符合该解集的一元一次不等式组。
题型10：一元一次不等式组的有解与无解问题（含参数，沪科版重难点）
例10 已知关于 的不等式组 有3个整数解，求 的取值范围。
题型11：不等式实际应用（分段计费问题，沪科版实际场景考）
例11 某出租车收费标准：3km以内（含3km）收费10元，超过3km的部分，每千米收费2.4元（不足1km按1km计算）。小明乘坐该出租车从家到学校，共支付车费不超过22元，求小明家到学校的距离最多是多少千米？
题型12：不等式的比较大小（沪科版基础拓展考）
例12 比较 与 的大小（用不等式表示，并说明理由）。
五、详细答案与解题讲解
题型1：不等式的性质辨析
解析：根据沪科版重点强调的不等式3条核心性质逐一判断：
A. 两边乘正数3，不等号方向不变，应为 ，错误；
B. 两边减5，不等号方向不变，应为 ，错误；
C. 两边乘负数-2，不等号方向改变，应为 ，正确；
D. 两边除以正数2，不等号方向不变，应为 ，错误；
故选C。
题型2：一元一次不等式的解法及数轴表示
解析：严格按照沪科版教材规范步骤解题，注意去分母不漏乘、移项变号：
1. 去分母（两边同乘12，最小公倍数）：；
2. 去括号：；
3. 移项（移项变号）：；
4. 合并同类项：；
5. 系数化为1（除以正数，不等号不变）：（即 ）；
数轴表示：在数轴上找到4.4的位置，画实心点（含等号），向左画折线，表示所有小于等于4.4的数。
题型3：一元一次不等式组的解法及整数解
解析：先分别解每个不等式，再用数轴找公共部分，最后筛选整数解：
解不等式①：，去括号得 ，移项得 ，系数化为1（除以负数，变号）得 ；
解不等式②：，移项得 ，系数化为1得 ；
不等式组解集：；
整数解：无（因为大于2且小于等于2.5的整数不存在）。
题型4：含参数的一元一次不等式（组）
解析：含参数问题的核心是结合不等式性质，判断参数的取值范围，沪科版高频考此类题型：
（1）由不等式 的解集为 ，可知不等号方向改变，根据性质3，得 ，解得 ；
（2）解不等式①：，移项得 ，系数化为1得 ；
解不等式②：；
已知不等式组解集为 ，根据“同大取大”，得 ，解得 。
题型5：不等式的实际应用（积分、最值问题）
解析：找准不等关系，建立不等式模型，注意未知数的实际意义（正整数）：
设小明答对 道题，则答错或不答 道题；
根据题意列不等式（得分超过90分，即得分 > 90）：；
去括号：；
合并同类项：；
系数化为1：；
∵ 为正整数，∴ 最小取13；
答：他至少答对13道题。
题型6：不等式组的实际应用（方案问题）
解析：根据题干中的取值范围，分情况列出不等式，再找公共部分，贴合沪科版实际应用考法：
分两种情况讨论（分2次或3次服用）：
① 当一日服用2次时，剂量范围为 ，即 ；
② 当一日服用3次时，剂量范围为 ，即 ；
综上， 的取值范围是 ；
答：每次服用剂量 的取值范围是200≤x≤600mg。
题型7：不等式与等式的综合应用
解析：先解等式，用参数表示未知数，再结合不等式的条件求解参数范围：
解关于 的方程 ，移项得 ，系数化为1得 ；
∵ 方程的解是正数，∴ ；
两边同乘2（正数，不等号不变）：；
移项、系数化为1（除以负数，变号）：；
数轴表示：在数轴上找到 的位置，画空心圈（不含等号），向左画折线，表示所有小于 的数。
题型8：不等式解集的正误判断
解析：结合不等式解与解集的概念，逐一判断，贴合沪科版基础考点：
A. 不等式 的解集是所有大于-2的数， 只是其中一个解，错误；
B. 小于-2，不满足 ，不是该不等式的解，错误；
C. 解不等式 ，系数化为1得，解集正确，符合沪科版解题规范；
D. 不等式 的正整数解为1、2、3、4，有正整数解，错误；
故选C。
题型9：不等式与数轴的综合应用
解析：沪科版常考数轴与不等式（组）的结合，核心是根据数轴确定解集，再筛选整数解、构造不等式组（假设数轴解集为 ）：
1. 由数轴可知，解集为 ；
2. 整数解为：-1、0、1、2；
3. 构造不等式组（答案不唯一，符合解集即可）：；
关键：数轴上实心点对应“≤、≥”，空心圈对应“<、>”，方向对应解集范围。
题型10：一元一次不等式组的有解与无解问题（含参数）
解析：先解不等式组，再结合整数解的个数确定参数范围，沪科版高频考此类含参题型：
解不等式①：，得 ；
解不等式②：，移项得 ，系数化为1（除以负数，变号）得 ；
不等式组解集为 ；
∵ 不等式组有3个整数解，整数解为1、0、-1，
∴ （注意：边界值的取舍，确保整数解个数为3个）。
题型11：不等式实际应用（分段计费问题）
解析：分段计费是沪科版实际应用的高频场景，核心是分阶段列不等式，结合实际意义取值：
设小明家到学校的距离为 km，分两种情况：
① 当 时，车费为10元，满足不超过22元；
② 当 时，车费为 元，根据题意列不等式：
；
去括号：；
合并同类项：；
移项、系数化为1：，得 ；
综上，小明家到学校的距离最多是8km；
答：小明家到学校的距离最多是8千米。
题型12：不等式的比较大小
解析：比较两个代数式的大小，常用“作差法”，贴合沪科版基础拓展考法：
作差：；
分三种情况讨论：
1. 当 ，即 时，；
2. 当 ，即 时，；
3. 当 ，即 时，。

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