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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 华东师大版 册、章 下册第18章
课标要求 1.理解矩形的概念，知道矩形是特殊的平行四边形，明确矩形与平行四边形的区别与联系，探索并证明矩形的性质定理；2.探索并证明矩形的判定定理，能运用矩形的判定方法解决简单的几何证明和实际问题；3.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理，能运用这两个定理解决简单的几何证明与计算问题；4.理解菱形的概念，探索并证明菱形的性质定理，能运用菱形的性质解决简单的几何计算与推理问题；5.探索并证明菱形的判定定理，能运用菱形的判定定理解决简单的几何证明和实际问题；6.理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系，掌握正方形的概念、性质及判定方法，能运用正方形的性质解决简单的几何证明与计算问题；7.在探索矩形、菱形、正方形性质和判定的过程中，体会从一般到特殊的数学思想，经历观察、猜想、证明的完整探究过程，发展逻辑推理能力和几何直观；8.能运用矩形、菱形、正方形的性质与判定解决综合性的几何问题，体会几何图形性质与判定之间的内在联系。
内容分析 矩形、菱形与正方形这一章是在学生已经掌握了平行四边形的基础上展开的，可以看作是特殊平行四边形的集中学习。本章从矩形开始，通过改变平行四边形的内角引出“有一个角是直角”的特殊情况，再通过改变边的关系引出菱形，最后把两者结合起来得到正方形。整个编排思路很清晰，让学生体会“一般到特殊”的研究方法。每种图形都按照“性质—判定—应用”的路径来学，性质靠观察猜想证明，判定则从性质逆向思考，这样的设计符合学生的认知规律。本章还安排了直角三角形斜边上的中线这一内容，巧妙地借助矩形性质来证明，让学生感受到图形之间的相互转化。本章整体呈现了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的逻辑结构，帮助学生形成完整的知识体系，也为后续学习更多特殊图形打下了坚实基础。
学情分析 八年级学生已经学行四边形的概念和性质，对“对边平行且相等”“对角线互相平分”等结论比较熟悉，也具备了一定的几何推理和证明能力。但本章要学习的矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，学生需要从“一般”走向“特殊”，理解“加了什么条件就变成了什么图形”，这对他们来说是一个思维上的进阶。学生在日常生活中对长方形、正方形接触较多，但对菱形和它们之间的从属关系认识不够清晰，容易混淆几种图形的性质和判定条件，比如经常误以为“对角线相等的四边形是矩形”或“四条边相等的四边形是正方形”。而且几何证明的规范性书写仍然是不少学生的薄弱环节，推理步骤跳跃、依据不充分的情况比较常见。教学中要多用对比表格和反例辨析，帮助学生理清知识脉络，同时加强证明过程的训练。
单元目标 （一）教学目标1.经历从平行四边形到矩形的演变过程，理解矩形的概念，探索并证明矩形的性质定理和判定定理，体会从一般到特殊的数学思想；2.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理，能运用这两个定理解决简单的几何问题，感受矩形与直角三角形之间的相互转化；3.经历菱形的折纸操作和观察猜想过程，理解菱形的概念，探索并证明菱形的性质定理和判定定理，发展几何直观和逻辑推理能力；4.通过矩形、菱形与正方形的对比学习，理解正方形与它们之间的从属关系，掌握正方形的性质及判定方法，形成知识网络；5.能综合运用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决几何证明与计算问题，提升分析问题和解决问题的能力；6.在探究特殊平行四边形性质和判定的过程中，养成严谨推理、规范书写的习惯，体会几何图形之间的内在联系。（二）教学重点、难点教学重点：矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的探究与证明，直角三角形斜边上的中线性质及其逆定理的掌握，三种特殊平行四边形之间的区别与联系。教学难点：从平行四边形到特殊平行四边形的逻辑转化，矩形、菱形、正方形性质和判定定理的综合运用，几何证明中辅助线的构造与规范书写。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数18.1矩形318.2菱形218.3正方形1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务18.1矩形1.理解矩形的概念，知道矩形是特殊的平行四边形，能说出矩形与平行四边形的区别与联系；2.探索并证明矩形的性质定理和判定定理；3.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理；4.能运用矩形的性质与判定解决简单的几何证明和实际问题。1.能准确说出矩形的定义及其与平行四边形的区别；2.能完成矩形性质定理和判定定理的几何证明；3.能运用直角三角形斜边中线定理解决计算与证明问题；4.能在综合问题中灵活运用矩形的性质和判定。任务1：通过尺规作图发现改变平行四边形内角会得到矩形；任务2：完成矩形性质定理和判定定理的证明；任务3：运用矩形性质解决例题中的几何计算与证明问题；任务4：运用直角三角形斜边中线定理完成课堂练习。18.2菱形1.理解菱形的概念，知道菱形是特殊的平行四边形；2.探索并证明菱形的性质定理和判定定理；3.能运用菱形的性质与判定解决简单的几何证明和计算问题。1.能准确说出菱形的定义；2.能完成菱形性质定理和判定定理的几何证明；3.能运用菱形性质解决边长、对角线、面积等计算问题。任务1：通过折纸剪裁操作引入菱形概念；任务2：观察图形，归纳猜想菱形的特殊性质；任务3：完成菱形性质定理和判定定理的证明；任务4：运用菱形性质解决例题中的角度、边长和面积计算问题。18.3正方形1.理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系，掌握正方形的概念和性质；2.掌握正方形的判定方法；3.能运用正方形的性质与判定解决简单的几何证明与计算问题。1.能说出正方形与矩形、菱形之间的从属关系；2.能完整说出正方形的性质并能完成相关计算；3.能判断给定的条件是否足以判定正方形。任务1：回顾并归纳正方形的性质；任务2：辨析三种检验正方形方法的合理性；任务3：完成课堂练习中的正方形性质与判定综合题。
《矩形、菱形与正方形》单元教学设计
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第十八章 矩形、菱形与正方形
矩形的判定
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
05
典例精析
06
课堂练习
04
新知讲解
07
课堂小结
08
作业布置
01
教学目标
经历矩形判定定理的猜想与证明过程，掌握演绎推理的基本方法；
01
通过动手作图，观察图形特征，建立几何直观；
从矩形的性质中抽象出判定条件，体会性质与判定的互逆关系；
能够运用矩形的判定方法解决简单的几何问题和实际问题。
02
03
04
02
新知导入
我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形，这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是不是矩形。除此之外，我们能否找到其他判定矩形的方法呢？
矩形是特殊的平行四边形，具有如下性质：
1.四个角都是直角；
2.两条对角线相等。
这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？
03
新知探究
思考
让我们先思考有关的角。由矩形的性质“四个角都是直角”，你可能会想到，如果一个四边形的四个角都是直角，那它肯定是一个矩形。的确如此，但是，条件能否再减少一些，三个角是直角的四边形是矩形吗？
04
新知讲解
试一试
如图18.1.8，作一个三个角都是直角的四边形
作法：（1）任意作两条互相垂直的线段AB、AD；
（2）过点B作垂直于AB的直线l；
（3）过点D作垂直于AD的直线m，与直线l相交于点C。
四边形ABCD即为所要求作的四边形。
观察你所作的图形，它是一个矩形吗？
04
新知讲解
由此可以得到判定矩形的一种方法：
矩形的判定定理1 有三个角是直角的四边形是矩形。
你能证明这个结论吗？
证明：∵，∴。
∵，∴。
∴四边形是平行四边形。
又∵，
∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。
04
新知讲解
思考
现在让我们再思考有关的线段。
“对角线相等”是矩形所特有的性质。那么从对角线的角度，你可以得到关于矩形判定的什么猜想？与你的同伴交流一下，看看你们的想法是否一致、可行。
由此，我们可以得到一个猜想：“如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是矩形。”
04
新知讲解
试一试
如图18.1.9，作一个对角线相等的平行四边形。
作法：（1）任意作两条相交的直线，交点记为；
（2）以点为圆心、适当长为半径作弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段、、、；
（3）顺次连结所得的四点。四边形的两条对角线相等且互相平分，即为所要求作的四边形。
和你的同伴交流一下，看看这个平行四边形是不是矩形。
04
新知讲解
由此可以得到判定矩形的另一种方法：
矩形的判定定理2 对角线相等的平行四边形是矩形。
下面我们用演绎推理进行证明。
已知：如图18.1.10，四边形是平行四边形，
求证：四边形是矩形。
证明 ∵四边形是平行四边形，
∴
∵
04
新知讲解
∴∴
∵
∴
∴
∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）
这一判定方法在日常生活中经常被应用。例如，木工师傅在制作门框或其他矩形形状的物体时，常用测量对角线的方法，来检验产品是否符合要求。
05
典例精析
例4 如图18.1.11，点是矩形的对角线与的交点，分别是上的一点，且。求证：四边形是矩形。
证明
∵四边形是矩形，
∴
∴
05
典例精析
∴
∵
∴
∴四边形是平行四边形。
∵
∴
∴四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
05
典例精析
例5 如图18.1.12，四边形是由两个全等的正三角形和组成的，分别为的中点。求证：四边形是矩形。
证明
∵和是全等的正三角形，
∴。
∵分别为的中点，
05
典例精析
∴， ，
=
∴，
∴。
∴四边形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形）
05
典例精析
例6 如图18.1.13，在中，，，垂足为点，是的外角的平分线，，交于点。求证：四边形是矩形。
证明
∵
∴
∵是的外角的平分线，
05
典例精析
∴，∴。
∵，∴四边形是平行四边形，
∴
∴
∴，
∴四边形是平行四边形。
∴四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。
06
课堂练习
1.如图，ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件　 　（只添一个即可），使ABCD是矩形．
解：添加AC=BD，由对角线相等的平行四边形是矩形可判定平行四边形ABCD是矩形；故答案为：AC=BD（答案不唯一）
06
课堂练习
2.如图，在中，对角线相交于点O，若要使成为矩形，需要添加的条件是　 　．
解：要使成为矩形，
需要添加的条件是，理由如下：
∵四边形是平行四边形，，
∴为矩形，
故答案为：（答案不唯一）．
06
课堂练习
3.如图， 的对角线 相交于点 是等边三角形， 交 于点 ． 则 的长为　 　．
解：四边形是平行四边形，，
，，，
是等边三角形，
，，
，
平行四边形是矩形，
06
课堂练习
，
，，
，设，则，
在中，，即，
解得或（不符题意，舍去），，
，故答案为：.
06
课堂练习
4.木工师傅要做一张长方形的桌面．完成后，量得桌面的长为，宽为，对角线为130cm，则做出的这个桌面　 　.（填“合格”或“不合格”）
解：不合格，理由：，
即：，，
四边形ABCD不是矩形，
这个桌面不合格.故答案为：不合格.
06
课堂练习
5.如图，中，为钝角，以为边向外作，为钝角，连结，．设的面积分别为，则的面积可表示为（　　）
A． B．
C． D．
C
06
课堂练习
解：如图，过点作于，交的延长线于，
过作于，交于，过点作于，
∵四边形是平行四边形，
，
，
∴四边形是矩形，
，
06
课堂练习
∵的面积分别为，
∴
，故答案为：C．
06
课堂练习
6.如图，以钝角三角形 ABC的最长边 BC 为边向外作矩形 BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD 的面积分别为S，S1，S2，若要求出的值，只需知 (　　)
A．△ABE的面积 B．△ACD 的面积
C．△ABC的面积 D．矩形 BCDE 的面积
C
06
课堂练习
解：如图，过点A作AG⊥ED于点G，交BC于点F.
∵四边形BCDE是矩形，
∴∠FBE=∠BEG=90°，BC∥ED，BE∥CD，BC=ED，BE=CD.
∵AG⊥ED，∴AF⊥BC，∠FGE=90°，∴四边形BFGE是矩形，
∴AG∥BE∥CD，FG=BE=CD，∴S-S1-S2=ED·AG-BE·EG-CD·DG=ED·AG-FG·ED=ED·AF=BC·AF=S△ABC，
∴只需知道S△ABC，就可以求出S-S1-S2的值.故选C.
06
课堂练习
7. 如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P 为边 BC上一动点，PG⊥AC 于点G，PH⊥AB 于点H.
（1）求证：四边形 AGPH 是矩形.
（2）在点 P 的运动过程中，GH 的长是否存在最小值 若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
06
课堂练习
（1）证明：AC=9 AB=12 BC=15，
∴ AC2=81，AB2=144，BC2=225，
∴ AC2+AB2=BC2，∴ ∠A=90°.
∵ PG⊥AC，PH⊥AB，∴ ∠AGP=∠AHP=90°，∴ 四边形AGPH是矩形；
（2）解：存在. 理由如下：
连结AP，∵ 四边形AGPH是矩形，
∴ GH=AP，∵ 当AP⊥BC时AP最短，
∴ 9x12=15AP，∴AP=，∴GH长的最小值为.
07
课堂小结
矩形的判定
定义
有一个角是直角的平行四边形是矩形
判定定理1
有三个角是直角的四边形是矩形
三个直角 → 两组对边平行 → 平行四边形 → 矩形
判定定理2
对角线相等的平行四边形是矩形
对角线相等 → 三角形全等 → 一组邻角相等 → 直角 → 矩形
08
作业布置
【知识技能类作业】
1.中，点、分别为边、的中点，于点，交于点，，若，，则　 　．
2
08
作业布置
解：连接，过点D作于H，
∵点、分别为边、的中点，
∴，，
∵，
∴，
∴，
08
作业布置
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，故答案为：2．
08
作业布置
2.将Rt沿斜边AB向右平移得到与DF交于点，延长AC，EF交于点，连结GH．若，则AE的长为　 　．
8
08
作业布置
解：如图，连接CF.
，
，
四边形CHFG是平行四边形
，
是矩形，
08
作业布置
，
四边形ADFC是平行四边形
，
，
，
故答案为：8.
08
作业布置
3.将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE＝EF，CE＝1，则AD＝　 　 ．
+2
08
作业布置
解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，
∵矩形ABCD折叠，AB落在AD上，AE为折痕，∴∠AB'E＝90°，BE＝B'E，∠BAE＝∠B'AE＝45°，∴四边形ABEB'为正方形，四边形CDB'E为矩形，∴CD＝B'E，B'D＝CE＝1，BE＝CD，
∵DE＝EF，∴Rt△BEF≌Rt△CDE（HL），∴BF＝CE＝1，
∵BE边折起，使点B落在AE上的点G处，∴GF＝BF＝1，∠EGF＝∠B＝90°，∴AF＝GF＝，∴AB＝AF+BF＝+1，∴AB'＝AB＝+1，∴AD＝AB'+B'D＝+2，故答案为：+2．
08
作业布置
4.如图，在中，，，，点是边上的一点（异于，两点），过点分别作，边的垂线，垂足分别为，，连接，则的最小值是 　 　．
08
作业布置
解：如图，连接．在中，，，，
，
，，，
四边形是矩形，，
当时，的值最小，
此时的最小值，
的最小值为，故答案为：．
08
作业布置
5.如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）若平分，且，，求线段的长．
（1）证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，∴，∴四边形是平行四边形，
∵，∴，∴四边形是矩形；
08
作业布置
（2）解：∵平分，，
∴，
∴，
，
在中，，
，
在中，．
08
作业布置
6.在平行四边形中，过点B作于点E，点F在边上，，连结．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）当平分时，若，求的长．
（1）∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，∴．∴四边形是平行四边形，
∵，∴．∴四边形是矩形；
08
作业布置
（2）由（1）得：四边形是矩形，
∴，
∵平分，∴，
∵，∴，
∴，∴，
∴，∴，
∵由勾股定理，得．∴
∴由勾股定理，得．
08
作业布置
【综合实践类作业】
7.如图，平行四边形ABCD中，AE⊥CD于E，BF平分∠ABC与AD交于F．AE与BF交于G．
（1）延长DC到H，使CH＝DE，连接BH．
求证：四边形ABHE是矩形．
（2）在（1）所画图形中，在CH的延长线上取HK＝AG，当AE＝AF时，求证：CK＝AD．
08
作业布置
证明：（1）如图1，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ABCD，AB＝CD，
∵CH＝DE，
∴CH＋CE＝DE＋CE，即EH＝CD，
∴四边形ABHE是平行四边形，
∵AE⊥CD，
∴∠AEH＝90°，∴平行四边形ABHE是矩形．
08
作业布置
（2）连接BK，如图2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD＝BC，ADBC，∴∠AFB＝∠CBF，
∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，
∴∠AFB＝∠ABF，∴AB＝AF，
∵AE＝AF，∴AE＝AB，
由（1）得：四边形ABHE是矩形，
∴∠ABH＝∠BHE＝90°，AE＝BH，
08
作业布置
∴∠BHK＝90°，AB＝BH，∵ABCD，AE⊥CD，
∴AE⊥AB，∴∠BAG＝90°，
在△BHK和△BAG中，，
∴△BHK≌△BAG（SAS），∴∠HBK＝∠ABG，
∴∠HBK＋∠HBF＝∠ABG＋∠HBF＝∠ABH＝90°，
∵∠CBK＋∠CBF＝90°，∠K＋∠HBK＝90°，
∴∠CBK＝∠K，∴CK＝CB，∴CK＝AD．
Thanks!
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18.1.2.1矩形的判定 教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十八章
课题 18.1 矩形 课时 3课时
课标要求 理解矩形的概念，探索并证明矩形的判定定理。在探索过程中，经历观察、猜想、推理、验证等数学活动，发展推理能力，体会几何图形的性质与判定之间的内在联系，积累几何学习的基本活动经验。
教材分析 教材从矩形的定义出发，引导学生思考能否用更少的条件判定矩形。通过角的探究得出三个角是直角的四边形是矩形，通过对角线的探究得出对角线相等的平行四边形是矩形。教材安排了动手操作和演绎推理两个环节，让学生在操作中感知，在推理中深化，体现了从特殊到一般、从猜想到论证的数学思想。两个判定定理的得出，既是对矩形性质的逆向思考，也为后续学习菱形、正方形的判定奠定了基础。
学情分析 八年级学生已经学行四边形的性质和判定，掌握了矩形的基本性质，能够运用三角形全等进行简单的几何证明，具备了学习本节课的知识基础。在日常生活中，他们已接触过许多矩形的实例，如门框、窗框、黑板等，对矩形“四个角是直角”的特征有直观感受，但尚未系统地从性质和判定的角度进行数学化的思考。学生习惯于从定义出发判定图形，对于从性质逆向寻找判定条件的方法接触较少，容易将性质的结论直接当作判定的条件使用，例如认为“对角线相等的四边形是矩形”。而在几何证明方面，学生的推理步骤还不够熟练，书写规范性有待加强。
核心素养目标 1.经历矩形判定定理的猜想与证明过程，掌握演绎推理的基本方法； 2.通过动手作图，观察图形特征，建立几何直观； 3.从矩形的性质中抽象出判定条件，体会性质与判定的互逆关系； 4.能够运用矩形的判定方法解决简单的几何问题和实际问题。
教学重点 矩形判定定理的探究与证明。
教学难点 矩形判定定理的证明思路及辅助线的运用。
教学准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 我们已经知道，有一个角是直角的平行四边形是矩形，这是矩形的定义，我们可以依此判定一个四边形是不是矩形。除此之外，我们能否找到其他判定矩形的方法呢？ 矩形是特殊的平行四边形，具有如下性质： 1.四个角都是直角； 2.两条对角线相等。 这些性质，对我们寻找判定矩形的方法有什么启示？ 回顾矩形定义和性质，思考从性质能否逆向得到判定方法。 从性质逆向引出判定，激发探究欲望。
二、探究 思考 让我们先思考有关的角。由矩形的性质“四个角都是直角”，你可能会想到，如果一个四边形的四个角都是直角，那它肯定是一个矩形。的确如此，但是，条件能否再减少一些，三个角是直角的四边形是矩形吗？ 试一试 如图18.1.8，作一个三个角都是直角的四边形。 作法： （1）任意作两条互相垂直的线段； （2）过点作垂直于的直线； （3）过点作垂直于的直线，与直线相交于点。 四边形即为所要求作的四边形。 观察你所作的图形，它是一个矩形吗？ 由此可以得到判定矩形的一种方法： 矩形的判定定理1有三个角是直角的四边形是矩形。 【提问】你能证明这个结论吗？ 证明： ∵ ∴。 ∵ ∴。 ∴四边形是平行四边形。 又∵， ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形）。 思考 现在让我们再思考有关的线段。 “对角线相等”是矩形所特有的性质。那么从对角线的角度，你可以得到关于矩形判定的什么猜想？与你的同伴交流一下，看看你们的想法是否一致、可行。 由此，我们可以得到一个猜想：“如果一个平行四边形的两条对角线相等，那么这个平行四边形是矩形。” 试一试 如图18.1.9，作一个对角线相等的平行四边形。 作法： （1）任意作两条相交的直线，交点记为； （2）以点为圆心、适当长为半径作弧，在两条直线上分别截取相等的四条线段； （3）顺次连结所得的四点。 四边形的两条对角线相等且互相平分，即为所要求作的四边形。 和你的同伴交流一下，看看这个平行四边形是不是矩形。 由此可以得到判定矩形的另一种方法： 矩形的判定定理2对角线相等的平行四边形是矩形。 下面我们用演绎推理进行证明。 已知：如图18.1.10，四边形是平行四边形， 求证：四边形是矩形。 证明 ∵四边形是平行四边形， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形是矩形（有一个角是直角的平行四边形是矩形） 这一判定方法在日常生活中经常被应用。例如，木工师傅在制作门框或其他矩形形状的物体时，常用测量对角线的方法，来检验产品是否符合要求。 例4 如图18.1.11，点是矩形的对角线的交点，分别是上的一点，且。求证：四边形是矩形。 证明：∵四边形是矩形， ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形。 ∵ ∴ ∴四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。 例5 如图18.1.12，四边形是由两个全等的正三角形组成的，分别为的中点。求证：四边形是矩形。 证明 ∵是全等的正三角形， ∴ ∵分别为的中点， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是矩形（有三个角是直角的四边形是矩形） 例6 如图18.1.13，在中，，垂足为点的外角的平分线，，交于点。求证：四边形是矩形。 证明 ∵ ∴ ∵的外角的平分线， ∴ ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形。 ∴四边形是矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）。 按要求作图，观察图形，发现四边形是矩形，归纳定理。 先独立证明，再小组交流，展示证明过程。 提出猜想，按要求作图，观察图形，发现是矩形。 尝试独立证明，展示推理过程，理解证明思路。 学生独立分析例4、例5、例6的已知条件和求证目标，尝试证明，小组交流后展示。 通过作图验证猜想，获得直观感知。 培养逻辑推理能力，规范证明书写。 经历猜想验证过程，培养探究意识。 掌握演绎推理方法，突破证明难点。 综合运用判定定理，提升几何证明能力。
三、尝试 （课堂练习） 1.如图，ABCD的对角线相交于点O，请你添加一个条件　 　（只添一个即可），使ABCD是矩形 解：添加AC=BD，由对角线相等的平行四边形是矩形可判定平行四边形ABCD是矩形；故答案为：AC=BD（答案不唯一） 2.如图，在中，对角线相交于点O，若要使成为矩形，需要添加的条件是　 　 解：要使成为矩形，需要添加的条件是，理由如下：∵四边形是平行四边形，，∴为矩形，故答案为：（答案不唯一） 3.如图， 的对角线 相交于点 是等边三角形 交 于点 ．则 的长为　 　 解：四边形是平行四边形，， 是等边三角形， 平行四边形是矩形， ，则， 在中，，即，解得（不符题意，舍去）， 故答案为：. 4.木工师傅要做一张长方形的桌面完成后，量得桌面的长为，宽为，对角线为130cm，则做出的这个桌面　 　（填“合格”或“不合格”） 解：不合格，理由：， 即：， 四边形ABCD不是矩形，这个桌面不合格 故答案为：不合格 5.如图，中，为钝角，以为边向外作为钝角，连结．设的面积分别为，则的面积可表示为（　　） A． B． C． D． 解：如图，过点，交的延长线于，过，交，过点， ∵四边形是平行四边形， ， ，∴四边形是矩形， ，∵的面积分别为，∴，故答案为：C． 6.如图，以钝角三角形 ABC的最长边 BC 为边向外作矩形 BCDE，连结AE，AD，设△AED，△ABE，△ACD 的面积分别为S，S1，S2，若要求出的值，只需知 (　　) A．△ABE的面积 B．△ACD 的面积 C．△ABC的面积 D．矩形 BCDE 的面积 解：如图，过点A作AG⊥ED于点G，交BC于点F. ∵四边形BCDE是矩形，∴∠FBE=∠BEG=90°，BC∥ED，BE∥CD，BC=ED，BE=CD. ∵AG⊥ED∴AF⊥BC∠FGE=90° ∴四边形BFGE是矩形，∴AG∥BE∥CD，FG=BE=CD， ∴S-S1-S2=ED·AG-BE·EG-CD·DG=ED·AG-FG·ED=ED·AF=BC·AF=S△ABC ∴只需知道S△ABC，就可以求出S-S1-S2的值故选C. 7.如图，在△ABC中，AC=9，AB=12，BC=15，P 为边 BC上一动点，PG⊥AC 于点G，PH⊥AB 于点H. （1）求证：四边形 AGPH 是矩形 （2）在点 P 的运动过程中，GH 的长是否存在最小值 若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由 （1）证明：AC=9 AB=12 BC=15，∴ AC2=81，AB2=144，BC2=225， ∴ AC2+AB2=BC2∴ ∠A=90°. ∵ PG⊥AC，PH⊥AB，∴ ∠AGP=∠AHP=90°，∴ 四边形AGPH是矩形； （2）解：存在 理由如下： 连结AP，∵ 四边形AGPH是矩形， ∴ GH=AP，∵ 当AP⊥BC时AP最短， ∴ 9x12=15AP，∴AP=，∴GH长的最小值为. 独立完成练习，互相批改，交流解题思路。 巩固判定定理的应用，规范证明书写。
四、总结提升 本节课我们从矩形的性质出发，逆向思考矩形的判定方法。通过动手操作和演绎推理，我们得到了两个判定定理：有三个角是直角的四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形。这两个定理分别从角和线段两个角度为我们提供了判定矩形的依据。在证明过程中，我们体会了将未知问题转化为已知知识的思路，比如将对角线相等转化为三角形全等，进而得到直角。希望同学们能灵活运用这些方法解决实际问题。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。 帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书 设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业 设计 【知识技能类作业】必做题： 1.中，点分别为边的中点，于点于点，若，则　 　 解：连接，过点D作于H， ∵点分别为边的中点，∴， ∵∴∴ ∴四边形为矩形，∴， ∵∴∴∵ ∴，∴，故答案为：2． 2.将Rt沿斜边AB向右平移得到与DF交于点，延长AC，EF交于点，连结GH．若，则AE的长为　 　 解：如图，连接CF. 四边形CHFG是平行四边形 是矩形， 四边形ADFC是平行四边形 ，故答案为：8. 3.将矩形纸片ABCD折叠（AD＞AB），使AB落在AD上，AE为折痕，然后将矩形纸片展开铺在一个平面上，E点不动，将BE边折起，使点B落在AE上的点G处，连接DE，若DE＝EF，CE＝1，则AD＝　 　． 解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°， ∵矩形ABCD折叠，AB落在AD上，AE为折痕， ∴∠AB'E90°BEB'E∠BAE∠B'AE45° ∴四边形ABEB为正方形，四边形CDB'E为矩形， ∴CDB'EB'DCE1BECD∵DEEF ∴Rt△BEF≌Rt△CDEHL∴BFCE1 ∵BE边折起，使点B落在AE上的点G处， ∴GFBF1∠EGF∠B90°∴AFGF ∴ABAF+BF+1∴AB'AB+1 ∴AD＝AB'+B'D＝+2，故答案为：+2． 4.如图，在中，，点边上的一点（异于两点），过点分别作边的垂线，垂足分别为，连接，则的最小值是 　 　 解：如图，连接．在中，， 四边形是矩形，， 当时，的值最小，此时的最小值， 的最小值为，故答案为：． 【知识技能类作业】选做题： 5.如图，在平行四边形中，过点A作交边于点E，点F在边上，且． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，且，求线段的长 （1）证明：∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∴，∴四边形是平行四边形， ∵，∴，∴四边形是矩形； （2）解：∵平分，∴， ∴ 在中，， 在中，． 6.在平行四边形中，过点B作于点E，点F在边上，，连结． （1）求证：四边形是矩形； （2）当平分时，若，求的长 （1）∵四边形是平行四边形，∴， ∵，∴．∴四边形是平行四边形， ∵，∴．∴四边形是矩形； （2）由（1）得：四边形是矩形，∴ ∵平分，∴，∵，∴， ∴∴∴∴ ∵由勾股定理，得．∴ ∴由勾股定理，得． 【综合拓展类作业】： 7.如图，平行四边形ABCD中，AE⊥CD于E，BF平分∠ABC与AD交于F．AE与BF交于G． （1）延长DC到H，使CH＝DE，连接BH．求证：四边形ABHE是矩形 （2）在（1）所画图形中，在CH的延长线上取HK＝AG，当AE＝AF时，求证：CK＝AD． 证明：（1）如图1， ∵四边形ABCD是平行四边形，∴ABCD，AB＝CD， ∵CH＝DE，∴CH＋CE＝DE＋CE，即EH＝CD， ∴四边形ABHE是平行四边形，∵AE⊥CD， ∴∠AEH＝90°，∴平行四边形ABHE是矩形 （2）连接BK，如图2， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ADBCADBC∴∠AFB∠CBF ∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF， ∴∠AFB∠ABF∴ABAF ∵AEAF∴AEAB 由（1）得：四边形ABHE是矩形， ∴∠ABH∠BHE90°AEBH ∴∠BHK90°ABBH∵ABCDAE⊥CD ∴AE⊥AB∴∠BAG90° 在△BHK和△BAG中， ∴△BHK≌△BAGSAS∴∠HBK∠ABG ∴∠HBK∠HBF∠ABG∠HBF∠ABH90° ∵∠CBK∠CBF90°∠K∠HBK90° ∴∠CBK∠K∴CKCB∴CKAD．
教学反思 本节课从矩形的性质入手，引导学生逆向思考判定条件，符合学生的认知规律。动手作图环节学生参与度高，对定理的直观理解较好。但在证明“对角线相等的平行四边形是矩形”时，部分学生对如何证明直角仍存在困难，后续需要加强三角形全等与平行线性质的综合训练。例6综合性强，学生独立完成有一定难度，小组合作交流效果较好。今后在几何教学中应更注重推理过程的规范性指导，让学生逐步形成严谨的逻辑思维习惯。
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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