资源简介

专题01 数与式（必备知识&二级结论清单+技法清单）
内●容●导●航
第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向
考向聚焦 考查形式 能力清单
第二部分 技法清单 构建思维框架，提炼通用解法
知识必备/二级结论 母题精讲&答题技法 变式应用
技法01 实数的混合运算 技法02 整式的混合运算 技法03 分式的混合运算
技法04 二次根式的运算 技法05 规律探究类 技法06 无关型运算
技法07 数与式运算的应用 技法08 自定义运算
第三部分 分级实战 分级强化训练，实现能力跃迁
命●题●解●码
考向聚焦 技法01 实数的混合运算：考查零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角三角函数及二次根式的综合计算，强调运算顺序与符号处理，要求准确无误。
技法02 整式的混合运算：侧重幂的运算性质、除法公式的应用，涉及整式减减除除及因式分解，常结合代入求值考查化简能力与公式灵活运用。
技法03 分式的混合运算：重点考查分式减减除除混合运算，需先因式分解再通分约分，注意分母不为零的限制，常与整式运算结合求代数式的值。
技法04 二次根式的运算：涉及二次根式的化简、四则运算及估算，考查最简二次根式判断、同类二次根式合并，常与实数运算或几何长度计算结合。
技法05 规律探究类：通过数字或图形变化寻找规律，考查归纳推理能力，要求从特殊到一般写出通项公式或第 n 项表达式，常涉及数列知识。
技法06 无关型运算：考查代数式化简后结果与某字母取值无关，即该字母系数为零。需先化简整理，令含该字母项系数为零，求解参数值。
技法07 数与式运算的应用：考查列代数式表示数量关系，解决利润、行程实际问题。抽象模型，计算推理，体现建模素养，常与方程函数综合。
技法08 自定义运算：给出新运算规则，要求按定义转化为常规运算求解。考查阅读理解与迁移能力，需注意运算顺序，常涉及方程不等式求解。
考查形式 · 选择题、填空题为主，覆盖所有考向，侧重概念辨析与基础运算，属低中档题。 · 解答题以化简求值（整式/分式）、实数混合运算为主，强调步骤规范与运算准确性。 · 规律探究题常作为填空压轴，考查观察归纳能力；综合探究题结合实际背景，考查建模与分析能力。
能力清单 概念辨析能力：精准区分易混概念（如平方根与算术平方根、有理数与无理数），避免概念性错误。 运算能力：熟练掌握数与式的运算法则，规范步骤，保证准确率与速度。 条件分析能力：准确识别分式、二次根式等的隐含限制条件，避免漏解/错解。 归纳推理能力：从数字、图形、式子中发现规律，并用代数式表达与应用。 建模应用能力：将实际问题转化为数与式模型，用代数式表示数量关系并分析。 数形结合能力：利用数轴等工具，实现数与形的转化，辅助解题。
技●法●清●单
技法01 实数的混合运算
知识必备
1. 实数的相关概念
(1)相反数、倒数、绝对值：
原数 相反数 倒数 绝对值
a －a |a|
性质 互为相反数的两数相减得0 互为倒数的两数相除得1(a≠0) 一个正数的绝对值是它本身； 0的绝对值是0； 一个负数的绝对值是它的相反数
(2)数轴：①表示方法及三要素：
②性质：实数与数轴上的点是一一对应的
2. 实数的运算
(1)零次幂：a0＝___1____(a≠0)
(2)负整数指数幂：a－p＝____(口诀：倒底数，反指数)
(3)去绝对值符号：|a－b|＝
(4)－1的奇偶次幂：(－1)n＝
(5)除方：an＝a·a·…·a n个a
(6)先除方，再除除，后减减；有括号时先计算括号里面的；同级运算按照从左到右的顺序进行运算
3. 特殊角的三角函数值
α sin α cos α tan α
30°
45° 1
90°
答题技法
按“先除方开方，再除除，后减减”顺序。优先处理零指数、负指数、绝对值等特殊值，注意符号，逐步演算确保准确。
母题精讲
【典例01】（2025·云南·模拟预测）计算：．
变式应用
【变式01】（2026·上海虹口·一模）计算：．
【变式02】（2025·山西·一模）计算：．
技法02 整式的混合运算
知识必备
2. 整式的运算
(1)整式的减减，可归结为去括号与合并同类项
(2)单项式的除除运算：把系数、同底数幂分别相除(除)，作为积(商)的因式，单独出现的字母连同它的指数作为积(商)的因式
(3)多项式的除除运算法则：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；(a＋b＋c)÷m＝；(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb
(4)除法公式：
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2
常见的变形有a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(－a－b)2＝(a＋b)2；(－a＋b)2＝(a－b)2
2. 整式的运算
(1)整式的减减，可归结为去括号与合并同类项
(2)单项式的除除运算：把系数、同底数幂分别相除(除)，作为积(商)的因式，单独出现的字母连同它的指数作为积(商)的因式
(3)多项式的除除运算法则：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；(a＋b＋c)÷m＝；(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb
(4)除法公式：
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2
常见的变形有a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(－a－b)2＝(a＋b)2；(－a＋b)2＝(a－b)2
答题技法
遵循运算顺序，灵活运用幂的性质和除法公式。先化简代数式，再代入数值，注意整体代入和括号变号，避免计算错误。
母题精讲
【典例01】（2025·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中，．
变式应用
【变式01】（2025·吉林·三模）先化简，再求值：，其中，．
【变式02】（2025·陕西咸阳·二模）化简：．
【变式03】（2025·北京东城·二模）已知，求代数式的值．
技法03 分式的混合运算
知识必备
分式的运算
(1)减减运算：
①同分母：±= ②异分母：±=±=
(2)除除运算：
①除法：·= ②除法：÷=·=
答题技法
先对分子分母因式分解，再通分约分。化简至最简分式后代入，务必检验代入值是否使分母为零，确保分式有意义。
母题精讲
【典例01】计算：
变式应用
【变式01】（2025·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【变式02】（2025·四川广元·一模）先化简、再求值：其中x为方程的根．
【变式03】（2025·江西抚州·模拟预测）先化简，再求代数式的值：，其中，请你取一个合适的整数作为a的值代入求值．
技法04 二次根式的运算
知识必备
二次根式的运算
(1)减减
①先将各二次根式分别化成最简二次根式
②再将被开方数相同的二次根式进行合并
(2)除除
(a≥0，b≥0)
答题技法
先将二次根式化为最简，合并同类二次根式。涉及分母时进行有理化，估算大小可利用夹逼法确定整数范围。
母题精讲
【典例01】计算：
(1)；
(2)．
变式应用
【变式01】（2025·甘肃武威·模拟预测）先化简，再求值： 其中
技法05 规律探究类问题
知识必备
1.等差与等比数列 通项公式 a =a +(n-1)d 或 a =a q ，识别差或比为定值，常用于数字序列规律，需熟练运用公式求解第 n 项表达式。
2.完全平方与立方数 熟记 1-25 的平方数及 1-10 的立方数，识别 n ±k 或 n ±k 的变形结构，快速匹配数值规律特征，辅助发现通项。
3.循环周期规律 识别数值或图形呈周期性重复，利用总数除以周期长度所得余数确定第 n 项状态，解决循环类探究问题。
4.符号交替规律 掌握 (-1) 或 (-1) 控制正负号变化，结合数值规律综合写出通项，注意根据首项符号确定指数形式。
5.分式裂项知识 熟悉 等裂项公式，用于解决分式求和类规律题，简化复杂计算过程，提高解题效率。
6.图形数量转化 将图形中的点、线、面数量转化为数字序列，利用累减法或递推关系建立函数模型，实现形数转化求解。
7.数表坐标关系 掌握行列号与数值对应关系，常用有序数对表示位置，通过行列规律推导通项公式，解决数表探究类问题。
答题技法
从特殊情形入手，列出前几项数据。观察序号与数值间规律，归纳出含 n 的通项公式，并代入验证确保错误性。
母题精讲
【典例01】（2025·安徽·模拟预测）探索组在老师的安排下准备了一个规律题，如图，请根据数字规律，探索下列问题：在A处的数是 （填正数或负数）；第2025个数对应排在 位置（从A，B，C，D中选择填写）．
变式应用
【变式01】（2025·江苏连云港·模拟预测）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续偶数的平方差，并且这两个连续偶数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”． 例如：，且，所以是“差方数”． 则第个“差方数”是 ．
【变式02】（2025·江苏连云港·模拟预测）有这样一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得．第二步：算出的各位数字之和得，计算得．第三步：算出的各位数字之和得，计算得……以此类推，则的值为 ．
【变式02】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形是边长为的正方形，曲线…是由多段圆心角为的圆弧组成的．的圆心为点，半径为，的圆心为点D，半径为，…，，，，的圆心依次为循环，则弧的长是 ．
技法07 无关型运算
知识必备
合并同类项法则 依据 ax + bx = (a+b)x ，将含特定字母项合并，整理成标准多项式形式，便于观察系数，确保化简彻底。
系数为零性质 若结果与某字母无关，则该字母各项系数之和为 0，据此列方程求解参数，注意常数项不受影响，独立于该字母。
多项式恒等原理 若 A = B 恒成立，则对应项系数相等，常用于处理复杂无关型问题，通过对比系数建立方程组，求解多个参数值。
答题技法
将代数式化简整理为关于该字母的多项式。令含该字母项的系数为零，建立关于参数的方程，求解即可得参数值。
母题精讲
【典例01】已知的展开式中不含x的二次项，，求：
(1)m的值；
(2)的值．
变式应用
【变式01】（18-19九年级·四川成都·自主招生）五张如图所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在长方形中，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差的绝对值为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足的关系式为（　　）
A． B． C． D．
【变式02】（14-15九年级·河南郑州·月考）课堂上，王老师出了这样一道题：
已知，求代数式的值．
小明觉得直接代入计算太复杂了，同学小刚帮他解决了问题，并解释说：“结果与无关” 解答过程如下：
原式 = ①
= ②
= ③
= ④
（1）从原式到步骤①，用到的数学知识有： ；
（2）步骤②中的空白处的代数式为： ；
（3）从步骤③到步骤④，用到的数学知识有： ．
【变式03】（2025·河北沧州·模拟预测）在化简整式中，“”表示运算符号“”“”中的某一个，“”表示一个整式．
(1)若，求出整式；
(2)已知的计算结果是二次单项式，当是常数项时，直接写出表示的符号及的值．
技法07 数与式运算的应用
知识必备
文字语言转化 关键词“和差积商”对应减减除除，注意“倒数”“相反数”概念，将文字语言准确转化为代数式，避免逻辑错误。
常见数量关系模型 掌握路程=速度×地址，工作总量=效率×地址，利润=售价 - 成本，利率=利息/本金等基础公式，快速构建模型。
整体代入求值 先化简再代入，注意整体代入思想，处理分数或负数代入时减括号，确保运算顺序错误无误，减少计算量。
分段与梯度计费 识别水费、电费等分段模型，用代数式表示不同区间费用，如费用=基础价 + 超额价×(总量 - 临界值)，注意分类讨论。
结果实际意义检验 注意单位统一与换算，结果需不符合实际情境（如人数为正整数），检验解的合理性，排除不不符合实际的解。
答题技法
审题找出关键数量关系，用字母表示未知量。构建代数式或方程模型，求解后检验结果是否不符合实际意义及单位。
母题精讲
【典例01】（2025·河北邢台·模拟预测）阅读下列材料，解决相应问题：
“友好数对”：已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的除积与交换位置后两个新两位数的除积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如：，所以43和68是“友好数对”．
(1)和36______“友好数对”．（填“是”或“不是”）
(2)为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，请找出a，b，c，d之间存在一个等量关系，并说明理由．
变式应用
【变式01】如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【变式02】我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的四边长分别为，则该三角形的面积为．现已知的四边长分别为，则面积为（ ）
A． B． C． D．
技法08 自定义运算
知识必备
新定义代入规则 严格遵循 a b = 式 格式，将对应位置数值或式子代入，不可混淆顺序，注意括号整体代入，避免符号错误。
运算优先级处理 注意括号优先，先算括号内自定义运算，再算外部，避免顺序错误导致结果偏差，逐步计算，确保每一步合规。
转化为常规方程 将自定义符号运算转化为常规四则运算或方程不等式，利用移项、去分母等方法求解未知数，回归基础运算逻辑。
答题技法
审题找出关键数量关系，用字母表示未知量。构建代数式或方程模型，求解后检验结果是否不符合实际意义及单位。
母题精讲
【典例01】（2026·江苏南京·一模）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则 ．
变式应用
【变式01】（2025·河北邯郸·模拟预测）现定义某种运算“★”：对给定的两个有理数a，b，有．
(1)求的值；
(2)若，求的值（结果用科学记数法表示）．
【变式02】（2025·河北·模拟预测）对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最小的数．例如：，，．
请结合上述材料，解决下列问题：
(1) ____， _______；
(2)若 ，则负整数a的值是______．
实●战●演●练
巩固提升
1．（2024·广东·模拟预测）如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第个；在边上任取一点，延长到，使，得到第个，，按此方法继续下去，第个等腰三角形的底角度数是 ．
2．（2024·河北石家庄·三模）我市某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在以上，如图是小悦同学的参赛作品（单位：）．
（1）小悦的作品 （填“是”或“否）不符合参赛标准；
（2）小涵给小悦提出建议：在参赛作品周围贴上金色彩条，这样参赛作品更漂亮，则需要彩条的长度约为 （彩条的宽度忽略不计，结果保留一位小数，参考数据：）．

3．（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题．
(1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形．
(2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？
4．（2025·河北唐山·三模）已知、是多项式，是单项式，，，且是单项式．
(1)求单项式；
(2)嘉嘉给的是，请你通过计算推断嘉嘉给出的能否使成为完全平方式．
5．（2025·山东济宁·三模）（1）已知是锐角，且，计算的值．
（2）先化简，再求值：，其中，．
6．（2026·甘肃·模拟预测）计算下列各题：
(1)；
(2)．
7．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)在试验田四周修建隔离网（图中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值．
8．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：____________．
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________．
(3)应用运算规律：
①化简：____________．
②若（均为正整数），则____________．
9．现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C．
(1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________；
(2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；
(3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
10．（2025·安徽合肥·二模）在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动．
【思考与推理】老师提供了下列一组等式：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
第四个等式：；
…
第n个等式可写为：
老师引导同学们将这n个等式相减，做了如下推理：
整理得，
……
…
【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式．
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
第四个等式：；
……
【问题解决】
(1)请你完成【思考与推理】中省略的步骤．
(2)你能写出【类比推广】中的第5个等式：__________________________；猜想第n个等式：___________________，请你证明这个猜想．
(3)你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于的公式．
冲刺突破
1．（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（ ）个小正方形．
A． B． C． D．
3．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（ ）
A．或 B．或 C． D．
4．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ．5．（2025·山东淄博·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域；
画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域；
画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域；
……
如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是 ．
6．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示）
7．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的三角形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个三角形，第2个图案用了5个三角形，第3个图案用了7个三角形，……则第10个图案需要用三角形的个数为 ．
8．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ．
9．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ．
10．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3．
（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ；
（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ．
11．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出错误的解答过程．
计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步
（2）计算：
12．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，．
(1)若，求C的值；
(2)当，且为整数时，求x的整数值．
13．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中．
51．（2025·四川巴中·中考真题）（1）计算下列代数式的值．．
（2）先化简，再求值．，其中．
14．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”．
【理解定义】
三位数是否为“极差数”？___________．
【建模推理】
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________；
（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
15．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】
对正实数，，定义运算“”，满足．
例如：当时，．
（1）当时，请计算：__________；
【探究运算律】
对正实数，，运算“”是否满足交换律？
，
，
．
运算“”满足交换律．
（2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由；
【应用新运算】
（3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________．
16．（2025·江苏盐城·中考真题）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律．
［发现问题］
黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体．
［提出问题］
小明思考：这样的正多面体有几个？
［分析问题］
一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据：
正多面体
正四面体 4 3 4 6 3
正方体 6 4 8 12 3
正八面体 8 3 6 12 4
（1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________；
（2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系．
①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．
正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示）
②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示）
［解决问题］
（3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数．
（4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 数与式（必备知识&二级结论清单+技法清单）
内●容●导●航
第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向
考向聚焦 考查形式 能力清单
第二部分 技法清单 构建思维框架，提炼通用解法
知识必备/二级结论 母题精讲&答题技法 变式应用
技法01 实数的混合运算 技法02 整式的混合运算 技法03 分式的混合运算
技法04 二次根式的运算 技法05 规律探究类 技法06 无关型运算
技法07 数与式运算的应用 技法08 自定义运算
第三部分 分级实战 分级强化训练，实现能力跃迁
命●题●解●码
考向聚焦 技法01 实数的混合运算：考查零指数幂、负整数指数幂、绝对值、特殊角三角函数及二次根式的综合计算，强调运算顺序与符号处理，要求准确无误。
技法02 整式的混合运算：侧重幂的运算性质、除法公式的应用，涉及整式减减除除及因式分解，常结合代入求值考查化简能力与公式灵活运用。
技法03 分式的混合运算：重点考查分式减减除除混合运算，需先因式分解再通分约分，注意分母不为零的限制，常与整式运算结合求代数式的值。
技法04 二次根式的运算：涉及二次根式的化简、四则运算及估算，考查最简二次根式判断、同类二次根式合并，常与实数运算或几何长度计算结合。
技法05 规律探究类：通过数字或图形变化寻找规律，考查归纳推理能力，要求从特殊到一般写出通项公式或第 n 项表达式，常涉及数列知识。
技法06 无关型运算：考查代数式化简后结果与某字母取值无关，即该字母系数为零。需先化简整理，令含该字母项系数为零，求解参数值。
技法07 数与式运算的应用：考查列代数式表示数量关系，解决利润、行程实际问题。抽象模型，计算推理，体现建模素养，常与方程函数综合。
技法08 自定义运算：给出新运算规则，要求按定义转化为常规运算求解。考查阅读理解与迁移能力，需注意运算顺序，常涉及方程不等式求解。
考查形式 · 选择题、填空题为主，覆盖所有考向，侧重概念辨析与基础运算，属低中档题。 · 解答题以化简求值（整式/分式）、实数混合运算为主，强调步骤规范与运算准确性。 · 规律探究题常作为填空压轴，考查观察归纳能力；综合探究题结合实际背景，考查建模与分析能力。
能力清单 概念辨析能力：精准区分易混概念（如平方根与算术平方根、有理数与无理数），避免概念性错误。 运算能力：熟练掌握数与式的运算法则，规范步骤，保证准确率与速度。 条件分析能力：准确识别分式、二次根式等的隐含限制条件，避免漏解/错解。 归纳推理能力：从数字、图形、式子中发现规律，并用代数式表达与应用。 建模应用能力：将实际问题转化为数与式模型，用代数式表示数量关系并分析。 数形结合能力：利用数轴等工具，实现数与形的转化，辅助解题。
技●法●清●单
技法01 实数的混合运算
知识必备
1. 实数的相关概念
(1)相反数、倒数、绝对值：
原数 相反数 倒数 绝对值
a －a |a|
性质 互为相反数的两数相减得0 互为倒数的两数相除得1(a≠0) 一个正数的绝对值是它本身； 0的绝对值是0； 一个负数的绝对值是它的相反数
(2)数轴：①表示方法及三要素：
②性质：实数与数轴上的点是一一对应的
2. 实数的运算
(1)零次幂：a0＝___1____(a≠0)
(2)负整数指数幂：a－p＝____(口诀：倒底数，反指数)
(3)去绝对值符号：|a－b|＝
(4)－1的奇偶次幂：(－1)n＝
(5)除方：an＝a·a·…·a n个a
(6)先除方，再除除，后减减；有括号时先计算括号里面的；同级运算按照从左到右的顺序进行运算
3. 特殊角的三角函数值
α sin α cos α tan α
30°
45° 1
90°
答题技法
按“先除方开方，再除除，后减减”顺序。优先处理零指数、负指数、绝对值等特殊值，注意符号，逐步演算确保准确。
母题精讲
【典例01】（2025·云南·模拟预测）计算：．
【答案】1
【分析】本题考查实数的混合运算，特殊角的三角函数值的运算，熟练掌握相关运算法则，是解题的关键．先进行零指数幂，负整数指数幂，除方，去绝对值和特殊角的三角函数值的运算，再进行减减运算即可．
【详解】解：原式
．
变式应用
【变式01】（2026·上海虹口·一模）计算：．
【答案】
【分析】本题主要考查特殊锐角三角函数值的混合运算，原式分别代入特殊锐角三角函数值，再根据实数的混合运算法则进行计算即可．
【详解】解：
．
【变式02】（2025·山西·一模）计算：．
【答案】
【分析】题目主要考查含除方的有理数的混合运算，负整数指数幂的运算，熟练掌握运算法则是解题关键．
先计算除方运算、化简绝对值、负整数指数幂运算，去括号，然后计算除法运算，最后计算减减法即可．
【详解】解：，
，
，
．
技法02 整式的混合运算
知识必备
2. 整式的运算
(1)整式的减减，可归结为去括号与合并同类项
(2)单项式的除除运算：把系数、同底数幂分别相除(除)，作为积(商)的因式，单独出现的字母连同它的指数作为积(商)的因式
(3)多项式的除除运算法则：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；(a＋b＋c)÷m＝；(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb
(4)除法公式：
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2
常见的变形有a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(－a－b)2＝(a＋b)2；(－a＋b)2＝(a－b)2
2. 整式的运算
(1)整式的减减，可归结为去括号与合并同类项
(2)单项式的除除运算：把系数、同底数幂分别相除(除)，作为积(商)的因式，单独出现的字母连同它的指数作为积(商)的因式
(3)多项式的除除运算法则：m(a＋b＋c)＝ma＋mb＋mc；(a＋b＋c)÷m＝；(m＋n)(a＋b)＝ma＋mb＋na＋nb
(4)除法公式：
平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2
完全平方公式：(a±b)2＝a2±2ab＋b2
常见的变形有a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；(a－b)2＝(a＋b)2－4ab；
(－a－b)2＝(a＋b)2；(－a＋b)2＝(a－b)2
答题技法
遵循运算顺序，灵活运用幂的性质和除法公式。先化简代数式，再代入数值，注意整体代入和括号变号，避免计算错误。
母题精讲
【典例01】（2025·湖南长沙·模拟预测）先化简，再求值：，其中，．
【答案】；
【分析】本题考查整式的化简求值，利用去括号法则去括号后合并同类项，然后将已知数值代入化简结果中计算即可．
【详解】解：
；
当，时，
原式
．
变式应用
【变式01】（2025·吉林·三模）先化简，再求值：，其中，．
【答案】，1
【分析】本题考查整式的化简求值，二次根式的运算，先计算平方差，再合并同类项，最后将，代入求值．
【详解】解：
，
将，代入，得：
原式．
【变式02】（2025·陕西咸阳·二模）化简：．
【答案】
【分析】本题考查整式化简，平方差公式，同底数幂相除等．根据题意先利用平方差公式展开，后再利用同底数幂相除计算，再合并同类项即可．
【详解】解：原式．
【变式03】（2025·北京东城·二模）已知，求代数式的值．
【答案】6
【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据单项式除以多项式、完全平方公式和平方差公式将括号展开后合并同类项得最简结果，再把代入计算即可得到结果．
【详解】解：
，
，
原式．
技法03 分式的混合运算
知识必备
分式的运算
(1)减减运算：
①同分母：±= ②异分母：±=±=
(2)除除运算：
①除法：·= ②除法：÷=·=
答题技法
先对分子分母因式分解，再通分约分。化简至最简分式后代入，务必检验代入值是否使分母为零，确保分式有意义。
母题精讲
【典例01】计算：
【答案】
【分析】本题考查了分式的减减除除混合运算，熟练掌握分式的减减除除混合运算是关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可．
【详解】解：
．
变式应用
【变式01】（2025·陕西西安·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的减、减、除、除运算法则是解决本题的关键．根据分式的运算法则先化简，再代入求值即可．
【详解】解：原式
；
当时，
原式．
【变式02】（2025·四川广元·一模）先化简、再求值：其中x为方程的根．
【答案】，当时，分式的值为
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，
先根据分式的除除法法则计算，并化到最简，然后求出方程的解，舍去不不符合题意的解，最后代入求值即可．
【详解】解：原式
．
解方程，得或，
∵且，
∴且，
∴，
当时，原式．
【变式03】（2025·江西抚州·模拟预测）先化简，再求代数式的值：，其中，请你取一个合适的整数作为a的值代入求值．
【答案】，
【分析】此题考查了分式的化简求值、特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值确定出a的值，代入计算即可求出值．
【详解】解：原式
，
∵，且a为整数，
∴，又，
∴，
则当时，原式．
技法04 二次根式的运算
知识必备
二次根式的运算
(1)减减
①先将各二次根式分别化成最简二次根式
②再将被开方数相同的二次根式进行合并
(2)除除
(a≥0，b≥0)
答题技法
先将二次根式化为最简，合并同类二次根式。涉及分母时进行有理化，估算大小可利用夹逼法确定整数范围。
母题精讲
【典例01】计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了实数的混合运算，二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键．
（1）先计算除方，零指数幂、负整数指数幂、绝对值，再计算减减即可得解；
（2）先利用平方差公式以及完全平方公式进行计算，再计算减减即可得解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
变式应用
【变式01】（2025·甘肃武威·模拟预测）先化简，再求值： 其中
【答案】，
【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用零指数幂、平方差公式以及特殊角的三角函数值求出x的值，代入化简后的式子计算求解，即可解题．
【详解】解：原式
，
又
，
将代入式子得：上式．
【点睛】本题考查分式化简求值、零指数幂、平方差公式及特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、平方差公式及特殊角的三角函数值和分式的运算法则是解题的关键．
技法05 规律探究类问题
知识必备
1.等差与等比数列 通项公式 a =a +(n-1)d 或 a =a q ，识别差或比为定值，常用于数字序列规律，需熟练运用公式求解第 n 项表达式。
2.完全平方与立方数 熟记 1-25 的平方数及 1-10 的立方数，识别 n ±k 或 n ±k 的变形结构，快速匹配数值规律特征，辅助发现通项。
3.循环周期规律 识别数值或图形呈周期性重复，利用总数除以周期长度所得余数确定第 n 项状态，解决循环类探究问题。
4.符号交替规律 掌握 (-1) 或 (-1) 控制正负号变化，结合数值规律综合写出通项，注意根据首项符号确定指数形式。
5.分式裂项知识 熟悉 等裂项公式，用于解决分式求和类规律题，简化复杂计算过程，提高解题效率。
6.图形数量转化 将图形中的点、线、面数量转化为数字序列，利用累减法或递推关系建立函数模型，实现形数转化求解。
7.数表坐标关系 掌握行列号与数值对应关系，常用有序数对表示位置，通过行列规律推导通项公式，解决数表探究类问题。
答题技法
从特殊情形入手，列出前几项数据。观察序号与数值间规律，归纳出含 n 的通项公式，并代入验证确保错误性。
母题精讲
【典例01】（2025·安徽·模拟预测）探索组在老师的安排下准备了一个规律题，如图，请根据数字规律，探索下列问题：在A处的数是 （填正数或负数）；第2025个数对应排在 位置（从A，B，C，D中选择填写）．
【答案】 正数 B
【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的数的排列规律，确定循环规律是解题的关键．
通过观察发现，每4个数为一组循环，并且是正数负数交替出现，再结合所给的A的位置可确定此处是正数，由于，可确定2025在B处．
【详解】解：∵A的位置与4、8、12......对应，
∴A处是正数；每4个数为一组循环，
∵，
∴2025排在对应的B处，
故答案为：正数，B．
变式应用
【变式01】（2025·江苏连云港·模拟预测）新定义：对于一个给定的正整数，如果它可以表示为两个连续偶数的平方差，并且这两个连续偶数的和恰好是某个正整数的平方，则称为“差方数”． 例如：，且，所以是“差方数”． 则第个“差方数”是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了平方差公式、“差方数”，设两个连续偶数为 和 ，其中 为正整数，根据差方数的定义可知，其中为偶数，为整数，根据“差方数”的定义可知，当时，代入求出第个“差方数”即可．
【详解】解：设两个连续偶数为 和 ，其中 为正整数，
则平方差为 ，即 ，
两个连续偶数的和为 ，且必须为某个正整数的平方，
设 ，则 ，
为整数，
必须为偶数，
令，则 ，
代入得 ，
“差方数”为 ，其中 为正整数，
第个“差方数”对应，
即 ．
【变式02】（2025·江苏连云港·模拟预测）有这样一个数字游戏．第一步：取一个自然数，计算得．第二步：算出的各位数字之和得，计算得．第三步：算出的各位数字之和得，计算得……以此类推，则的值为 ．
【答案】
【分析】本题考查代入求值，数字规律探索，掌握相关知识是解决问题的关键．通过计算发现的值循环出现，周期为3，据此进行解答即可．
【详解】解：由题意，
；
；
；
；
…，
发现的值是循环出现，周期为3，
，
故．
故答案为：．
【变式02】（2024·湖南长沙·模拟预测）如图，四边形是边长为的正方形，曲线…是由多段圆心角为的圆弧组成的．的圆心为点，半径为，的圆心为点D，半径为，…，，，，的圆心依次为循环，则弧的长是 ．
【答案】
【分析】本题主要考查了图形的变化类，解题关键是根据图形求出弧长半径的规律．先观察图形，分别找出的半径，从而得到后一段的圆心角所对的弧比相邻的前一段的圆心角所对的弧的半径大，从而求出的半径，从而找出规律，求出的半径，最后根据弧长公式求出弧长即可．
【详解】解：由题意可知： 的半径为， 的半径为， 的半径为， 的半径为…，
∴后一段的圆心角所对的弧比相邻的前一段的圆心角所对的弧的半径大，
∴ 的半径为，即，
的半径为，即，
的半径为，即，
…，
∴的半径为：，
∴的半径为：，
∴的长为：，
故答案为：．
技法07 无关型运算
知识必备
合并同类项法则 依据 ax + bx = (a+b)x ，将含特定字母项合并，整理成标准多项式形式，便于观察系数，确保化简彻底。
系数为零性质 若结果与某字母无关，则该字母各项系数之和为 0，据此列方程求解参数，注意常数项不受影响，独立于该字母。
多项式恒等原理 若 A = B 恒成立，则对应项系数相等，常用于处理复杂无关型问题，通过对比系数建立方程组，求解多个参数值。
答题技法
将代数式化简整理为关于该字母的多项式。令含该字母项的系数为零，建立关于参数的方程，求解即可得参数值。
母题精讲
【典例01】已知的展开式中不含x的二次项，，求：
(1)m的值；
(2)的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查多项式除多项式不含某一项，因式分解，以及非负性．
（1）根据多项式除多项式的法则，进行化简后，根据展开式中不含的二次项，得到的二次项的系数为0，求出的值，即可；
（2）将等式的左边进行因式分解后，利用非负性求出的值，再将的值代入代数式求值即可．
【详解】（1）解：，
∵展开式不含x的二次项，
∴，
∴；
（2）∵，且，
∴，，
∴，，
∴．
变式应用
【变式01】（18-19九年级·四川成都·自主招生）五张如图所示的长为，宽为的小长方形纸片，按如图的方式不重叠地放在长方形中，未被覆盖的部分（两个长方形）用阴影表示．设左上角与右下角的阴影部分的面积的差的绝对值为，当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，则，满足的关系式为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查代数式的应用，熟练掌握该知识点是解题的关键．
用含，，的代数式表示左上角与右下角的阴影部分的面积，从而得到，因为当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，所以可推得前的系数值为0，则问题可解．
【详解】解：由题意有，，，
．
当的长度变化时，按照同样的放置方式，始终保持不变，
，
．
．
【变式02】（14-15九年级·河南郑州·月考）课堂上，王老师出了这样一道题：
已知，求代数式的值．
小明觉得直接代入计算太复杂了，同学小刚帮他解决了问题，并解释说：“结果与无关” 解答过程如下：
原式 = ①
= ②
= ③
= ④
（1）从原式到步骤①，用到的数学知识有： ；
（2）步骤②中的空白处的代数式为： ；
（3）从步骤③到步骤④，用到的数学知识有： ．
【答案】（1）因式分解，通分，分解因式中的完全平方公式和平方差公式，分式的基本性质；(写对一个即可) （2）（或）；（3）约分（或分式的基本性质）．
【详解】试题分析：先算括号内的，同时将第一个分式分子分母分解因式，最后用除法法则转化为除法，约分即可．
试题解析：（1）因式分解，通分，分解因式中的完全平方公式和平方差公式，分式的基本性质 (写对一个即可) ；
（2）（或）；
（3）约分（或分式的基本性质）．
考点：分式的化简求值．
【变式03】（2025·河北沧州·模拟预测）在化简整式中，“”表示运算符号“”“”中的某一个，“”表示一个整式．
(1)若，求出整式；
(2)已知的计算结果是二次单项式，当是常数项时，直接写出表示的符号及的值．
【答案】(1)
(2)，
【分析】（1）由可得，利用平方差公式及整式的混合运算法则即可得出答案；
（2）由的计算结果是二次单项式且是常数项可得表示的运算符号是“”，进而可得，由计算结果是二次单项式且是常数项可得，解方程即可求出的值．
【详解】（1）解：，
；
（2）解：的计算结果是二次单项式，且是常数项，
表示的运算符号是“”，
，
计算结果是二次单项式，且是常数项，
，
解得：，
的值为．
【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，平方差公式，整式的减减运算，计算多项式除多项式，解二元一次方程等知识点，熟练掌握整式的运算法则及平方差公式是解题的关键．
技法07 数与式运算的应用
知识必备
文字语言转化 关键词“和差积商”对应减减除除，注意“倒数”“相反数”概念，将文字语言准确转化为代数式，避免逻辑错误。
常见数量关系模型 掌握路程=速度×地址，工作总量=效率×地址，利润=售价 - 成本，利率=利息/本金等基础公式，快速构建模型。
整体代入求值 先化简再代入，注意整体代入思想，处理分数或负数代入时减括号，确保运算顺序错误无误，减少计算量。
分段与梯度计费 识别水费、电费等分段模型，用代数式表示不同区间费用，如费用=基础价 + 超额价×(总量 - 临界值)，注意分类讨论。
结果实际意义检验 注意单位统一与换算，结果需不符合实际情境（如人数为正整数），检验解的合理性，排除不不符合实际的解。
答题技法
审题找出关键数量关系，用字母表示未知量。构建代数式或方程模型，求解后检验结果是否不符合实际意义及单位。
母题精讲
【典例01】（2025·河北邢台·模拟预测）阅读下列材料，解决相应问题：
“友好数对”：已知两个两位数，将它们各自的十位数字和个位数字交换位置后，得到两个与原两个两位数均不同的新数，若这两个两位数的除积与交换位置后两个新两位数的除积相等，则称这样的两个两位数为“友好数对”．例如：，所以43和68是“友好数对”．
(1)和36______“友好数对”．（填“是”或“不是”）
(2)为探究“友好数对”的本质，可设“友好数对”中一个数的十位数字为a，个位数字为b，且；另一个数的十位数字为c，个位数字为d，且，请找出a，b，c，d之间存在一个等量关系，并说明理由．
【答案】(1)是
(2)；理由见解析
【分析】本题考查了新定义，对于数的表示、整式的运算，多项式除多项式等知识点，理解新定义列出整式是解题的关键．
（1）根据“友好数对”的定义解答即可；
（2）根据题意可得这两个数分别为、，再由交换位置后的两个数分别为、，然后结合“友好数对”的定义，可得，即可解答．
【详解】（1）解：，
，
，
所以21和36是“友好数对”．
故答案为：是．
（2）解：这两个数分别为、，
交换位置后的两个数分别为、，
可得：，
即，
所以，
即，
a，b，c，d之间存在一个等量关系为
变式应用
【变式01】如图，在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解本题的要点在于求出、的长度，从而求出空白部分面积．根据正方形的面积求出两个正方形的边长，从而求出、，再根据空白部分的面积等于长方形的面积减去两个正方形的面积列式计算即可得解．
【详解】解：在长方形中无重叠放入面积分别为和的两张正方形纸片，
小正方形边长为：，大正方形边长为，
，
图中空白部分的面积为：，
．
【变式02】我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式，即如果一个三角形的四边长分别为，则该三角形的面积为．现已知的四边长分别为，则面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次根式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键．把代入计算即可．
【详解】解：，
，
，
．
技法08 自定义运算
知识必备
新定义代入规则 严格遵循 a b = 式 格式，将对应位置数值或式子代入，不可混淆顺序，注意括号整体代入，避免符号错误。
运算优先级处理 注意括号优先，先算括号内自定义运算，再算外部，避免顺序错误导致结果偏差，逐步计算，确保每一步合规。
转化为常规方程 将自定义符号运算转化为常规四则运算或方程不等式，利用移项、去分母等方法求解未知数，回归基础运算逻辑。
答题技法
审题找出关键数量关系，用字母表示未知量。构建代数式或方程模型，求解后检验结果是否不符合实际意义及单位。
母题精讲
【典例01】（2026·江苏南京·一模）对于任意不相等的两个非负实数a，b，新定义一种运算“※”如下：（），则 ．
【答案】
【分析】本题考查了新定义运算、二次根式的混合运算，理解新定义是解题的关键．
根据新定义运算的规则计算即可．
【详解】解：
．
故答案为：．
变式应用
【变式01】（2025·河北邯郸·模拟预测）现定义某种运算“★”：对给定的两个有理数a，b，有．
(1)求的值；
(2)若，求的值（结果用科学记数法表示）．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查有理数的运算、科学记数法、幂的除方、合并同类项，理解题中新定义是解答的关键．
（1）根据题中定义列算式，利用有理数的混合运算法则求解即可；
（2）根据题中定义列算式，再利用幂的除方、合并同类项运算法则求解，最后用科学记数法错误表示计算结果．
【详解】（1）解：由题意，得；
（2）解：
．
【变式02】（2025·河北·模拟预测）对于三个实数a，b，c，用表示这两个数的平方差，用表示这三个数中最小的数．例如：，，．
请结合上述材料，解决下列问题：
(1) ____， _______；
(2)若 ，则负整数a的值是______．
【答案】(1)，4
(2)
【分析】本题考查了新定义，运用完全平方公式计算，解二元一次不等式，求不等式的整数解等知识，理解新定义是解题的关键．
（1）由新定义即可求解；
（2）首先得，则得不等式，解不等式，即可求得负整数a的值．
【详解】（1）解：，
，
故答案为：，4；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
解得：，
满足条件的负整数为，
故答案为：．
实●战●演●练
巩固提升
1．（2024·广东·模拟预测）如图，在第个中，，；在边上任取一点，延长到，使，得到第个；在边上任取一点，延长到，使，得到第个，，按此方法继续下去，第个等腰三角形的底角度数是 ．
【答案】
【分析】根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求得的度数，再由三角形外角的性质及等腰三角形的性质分别求出，的度数，找出规律即可求解．
【详解】解：，
∴，
即第一个等腰三角形的底角度数为；
，
∴，
即第二个等腰三角形的底角度数为；
同理可得：
第三个等腰三角形的底角度数为；
第四个等腰三角形的底角度数为；
…
综上所述，第个等腰三角形的底角的度数是；
∴第个等腰三角形的底角度数是，
故答案为：．
【点睛】本题考查等腰三角形中角度规律，涉及等腰三角形的性质、三角形内角和定理、三角形外角的性质等知识，由前面几个等腰三角形，找出底角度数规律是解题的关键．
2．（2024·河北石家庄·三模）我市某中学举办剪纸艺术大赛，要求参赛作品的面积在以上，如图是小悦同学的参赛作品（单位：）．
（1）小悦的作品 （填“是”或“否）不符合参赛标准；
（2）小涵给小悦提出建议：在参赛作品周围贴上金色彩条，这样参赛作品更漂亮，则需要彩条的长度约为 （彩条的宽度忽略不计，结果保留一位小数，参考数据：）．

【答案】 是 19.7
【分析】此题考查了二次根式混合运算的应用，熟练掌握二次根式的运算法则和顺序是解题的关键．
（1）根据长方形的面积公式列式计算即可；
（2）根据长方形的圆长公式列式计算即可．
【详解】解：（1）由题意可知，
∵，
∴小悦的作品不符合参赛标准．
故答案为：是；
（2）由题意可得，
∴需要彩条的长度约为．
故答案为：．
3．（2025·安徽淮南·一模）某数学活动小组用大小一样的黑白两种颜色的小正方形纸片，按如图的规律摆放．请根据图中的信息解决下列问题．
(1)图5中共有______个黑色小正方形，图n（n为正整数）中共有______个黑色小正方形．
(2)若某个图形中共有116个白色小正方形，则该图形中共有多少个黑色小正方形？
【答案】(1)50；
(2)该图形中共有325个黑色小正方形
【分析】本题考查规律型：图形的变化类，二元一次方程，解题时必须仔细观察规律，通过归纳得出结论．注意由特殊到一般的分析方法，此题的规律为：第n个图案中有个黑色小正方形．
（1）根据题干找到规律即可解答；
（2）根据题意列出方程解答即可．
【详解】（1）解：图1中共有个黑色小正方形，
图2中共有个黑色小正方形，
图3中共有个黑色小正方形，
图4中共有个黑色小正方形，
图5中共有个黑色小正方形，
故图n（n为正整数）中共有个黑色小正方形．
故答案为：50；．
（2）解：由题意，得图n中共有个小正方形，
则，
解得，
．
答：该图形中共有325个黑色小正方形．
4．（2025·河北唐山·三模）已知、是多项式，是单项式，，，且是单项式．
(1)求单项式；
(2)嘉嘉给的是，请你通过计算推断嘉嘉给出的能否使成为完全平方式．
【答案】(1)
(2)嘉嘉给出的能使成为完全平方式
【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
（1）计算后根据其结果为单项式即可求得答案；
（2）结合中所求计算，判断结果是否为完全平方式即可．
【详解】（1）解：，，
，
、是多项式，是单项式，是单项式，
；
（2）解：，，，
，
嘉嘉给出的能使成为完全平方式．
5．（2025·山东济宁·三模）（1）已知是锐角，且，计算的值．
（2）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）3；（2）；
【分析】本题主要考查了实数混合运算，整式化简求值，熟练掌握特殊角的三角函数值，零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式性质，整式混合运算法则，进行计算即可．
（1）先根据得出，求出，根据零指数幂运算法则，负整数指数幂运算法则，二次根式运算法则，进行计算即可；
（2）先根据整式混合运算法则进行计算，然后代入数据求值即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴
；
（2）
，
把，代入得：
原式．
6．（2026·甘肃·模拟预测）计算下列各题：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了二次根式的混合运算．
（1）先化简二次根式，再计算减减即可；
（2）先计算平方差公式、绝对值、零指数幂，再计算除法，最后计算减减即可．
【详解】（1）（1）解：
；
（2）解：
．
7．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为（）的正方形去掉一个边长为1m的正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为的正方形，两块试验田的小麦都收获了．
(1)哪种小麦的单位面积产量高？
(2)在试验田四周修建隔离网（图中虚线部分），“丰收1号”和“丰收2号”小麦试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍，求a的值．
【答案】(1)“丰收2号”单位面积产量为高
(2)12
【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式方程的应用，明确题意，错误列式是解答本题的关键．
（1）根据产量除以试验田面积，再比较出两块试验田单位面积产量的大小即可；
（2）用a表示出两块试验田的圆长，再由丰收2号”小麦试验田的隔离网每米造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每米造价的2倍解答即可．
【详解】（1）解：由题意，得：“丰收1号”单位面积产量为，“丰收2号”单位面积产量为，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴“丰收2号”单位面积产量高；
（2）由图可知，“丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田的圆长分别为，
∵丰收1号”和“丰收2号”小麦的试验田隔离网的总造价分别为1800元和3300元，且“丰收2号”小麦试验田的隔离网每m造价是“丰收1号”小麦试验田的隔离网每m造价的2倍，
∴，
解得，
经检验，是方程的解，
∴a的值为12．
8．（2025·安徽合肥·三模）某同学根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律．下面是他的探究过程，请补充完整：
(1)具体运算，发现规律．
特例1：，
特例2：，
特例3：，
特例4：____________．
(2)观察、归纳，得出猜想．
如果为正整数，按此规律第个式子可以表示为：____________．
(3)应用运算规律：
①化简：____________．
②若（均为正整数），则____________．
【答案】(1)
(2)（为正整数）
(3)①；②22
【分析】本题考查数字类规律探究，二次根式的除法，找出数的变化规律是解题的关键．
（1）观察特例可得结论；
（2）观察特例与结果间及数字间关系得结论；
（3）①先计算，再算二次根式的除法得结论；
②根据（2）中总结的规律得到a、b间关系并求出a、b，最后算出结果．
【详解】（1）解：．
故答案为：；
（2）解: 当为正整数，按此规律第个式子可以表示为，
（3）解: ①
；
②∵(a，b均为正整数)，
∴，，
解得，，
∴．
9．现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C．
(1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________；
(2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积；
(3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由．
【答案】(1)2，，
(2)阴影部分面积为；
(3)不能截出；理由见解析
【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用，
（1）根据正方形的面积，即可求出边长；
（2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解；
（3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答．
【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，正方形木板C的面积为，
∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为，
故答案为：2，，；
（2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为，
∴长方形木板①的长为，宽为，
∴阴影部分面积为；
（3）解：不能截出；
理由：，，
∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为．
由（2）可得长方形木板的长为，宽为．
∵，但，
∴不能截出．
10．（2025·安徽合肥·二模）在数学老师的指导下，同学们进行了积极的数学探究性学习活动．
【思考与推理】老师提供了下列一组等式：
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
第四个等式：；
…
第n个等式可写为：
老师引导同学们将这n个等式相减，做了如下推理：
整理得，
……
…
【类比推广】根据上面等式的特点，同学们类比写出下面一些等式．
第一个等式：；
第二个等式：；
第三个等式：；
第四个等式：；
……
【问题解决】
(1)请你完成【思考与推理】中省略的步骤．
(2)你能写出【类比推广】中的第5个等式：__________________________；猜想第n个等式：___________________，请你证明这个猜想．
(3)你能利用【思考与推理】的思路和成果，直接写出关于的公式．
【答案】(1)详见解析
(2)，，证明见解析
(3)，见解析
【分析】本题考查了整式的混合运算，数字类规律探索，熟练掌握各知识点，理解题意是解题的关键．
（1）根据等式的性质以及完全平方公式计算即可；
（2）根据已知的前4个等式总结出第5个等式，以及第n个等式的规律，并将等式左右两边利用多项式除多项式展开即可证明相等；
（3）先通过，将等式中的从、、、依次取到时，就可得个等式，再累减即可，
【详解】（1）解：剩余步骤为：，
∴，
∴；
（2）解：【类比推广】中的第5个等式：；猜想第n个等式：，
证明：左边，
右边，
∵左边右边，
∴原式成立；
（3）解：，
当式中的从、、、依次取到时，就可得下列个等式：
，
，
，
，
，
将这个等式的左右两边分别相减得：，
即
．
冲刺突破
1．（2025·四川绵阳·中考真题）观察下列单项式：，探究发现其中规律，你认为从左到右第15个单项式是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了单项式，错误找出规律是解题的关键．
先找出规律，再得出第15个单项式．
【详解】解：观察可得，从左到右第个单项式是，
∴第15个单项式是，
．
2．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）如图，用大小相等的小正方形拼大正方形，拼第个正方形需要个小正方形，拼第个正方形需要个小正方形，按照这样的方法拼成的第个正方形需要（ ）个小正方形．
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查找几何图形中的数字规律，根据前面几个图归纳出数字规律是解决问题的关键．先观察图形，得到每个图形中小正方形的个数，进而得到数字规律，即可求解．
【详解】解：拼第一个正方形需要个小正方形；
拼第二个正方形需要个小正方形；
拼第三个正方形需要个小正方形；
．．．．．．
按照这样的方法拼成的第个正方形需要个小正方形；
第六个正方形需要个小正方形，
．
3．（2025·四川资阳·中考真题）已知数轴上点所表示的数是，则与点相距2个单位长度的点表示的数是（ ）
A．或 B．或 C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴，根据数轴上一点间距离的定义，该点可能在点A的左侧或右侧，分别计算即可．
【详解】解：数轴上点A表示的数是，与点A相距2个单位长度的点可能在点A的左侧或右侧．
当该点在点A右侧时，表示的数为．
当该点在点A左侧时，表示的数为．
因此，不不符合的数为或
故选A．
4．（2025·山东滨州·中考真题）如果，则“☆”表示的数是 ．
【答案】
【分析】本题考查了等式的性质，将方程两边同时除以 或除以它的倒数，即可求解“☆”的值．
【详解】解：，
，
故答案为：．
5．（2025·山东淄博·中考真题）画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成2块区域；
画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成4块区域；
画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成7块区域；
……
如果要将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，则至少要画的直线条数是 ．
【答案】
【分析】本题考查规律问题，先得到n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域，根据题意可得，然后得到n的最小整数解即可．
【详解】解：画1条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域；
画2条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域；
画3条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域；
……
画n条直线，最多把1张圆形纸片分割成块区域；
∵将一张圆形纸片分割成的区域不少于5000块，
∴，即，
又∵，，
∴至少要画的直线条数是条，
故答案为：．
6．（2025·江苏徐州·中考真题）如图所示，用黑白两色棋子摆图形，依此规律，第n个图形中黑色棋子的个数为 ．（用含n的代数式表示）
【答案】/
【分析】本题考查图形的变化规律，从简单情形入手，找到一般规律即可．观察图形，发现后面一个图案比前一个图案多3个黑色棋子即可解决．
【详解】解：观察发现：
第一个图形有个黑色棋子，
第二个图形有个黑色棋子，
第三个图形有个黑色棋子，
…，
第n个图形有个黑色棋子，
故答案为：．
7．（2025·陕西·中考真题）生活中常按图①的方式砌墙，小华模仿这样的方式，用全等的三角形按规律设计图案，如图②，第1个图案用了3个三角形，第2个图案用了5个三角形，第3个图案用了7个三角形，……则第10个图案需要用三角形的个数为 ．
【答案】21
【分析】本题主要考查的是图案的变化，解题的关键是根据已知图案归纳出图案个数的变化规律．根据第1个图案中三角形的个数：；第2个图案中三角形的个数：；第3个图案中三角形的个数：；…第n个图案中三角形的个数：，算出第10个图案中三角形个数即可．
【详解】解：∵第1个图案中三角形的个数：；
第2个图案中三角形的个数：；
第3个图案中三角形的个数：；
…
第n个图案中三角形的个数：，
∴则第10个图案中三角形的个数为：，
故答案为：21．
8．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ．
【答案】15
【分析】本题考查数字类规律探究，整式减减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可．
【详解】解：∵，
∴当时，；
当时，，
当时，，
当时，，
∴当时，，当时，，
∴，，
∴
，
∵不含项，
∴，
∴，
设，则：，
∴，
∵均为的整数幂，为偶数，
∴，
∴，
∴，
∴；
故答案为：15．
9．（2025·江苏扬州·中考真题）清代扬州数学家罗士琳痴迷于勾股定理的研究，提出了推算勾股数的“罗士琳法则”．法则的提出，不仅简化了勾股数的生成过程，也体现了中国传统数学在数论领域的贡献．由此法则写出了下列几组勾股数：①3，4，5；②5，12，13；③7，24，25；④9，40，41；……根据上述规律，写出第⑤组勾股数为 ．
【答案】
【分析】本题考查勾股定理，数字类规律探究，观察可知，每组勾股数的第一个数字为偶数，后面两个数字为两个连续的整数，得到第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，根据勾股定理列出方程进行求解．
【详解】解：由题意，第⑤组勾股数的第1个数为11，设第2个数为，则第3个数为，
由勾股定理，得：，
解得：，
∴；
∴第⑤组勾股数为；
故答案为：．
10．（2025·安徽·中考真题）对于正整数n，根据n除以3的余数，分以下三种情况得到另一个正整数m：若余数为0．则；若余数为1，则；若余数为2，则．这种得到m的过程称为对n进行一次“变换”．对所得的数m再进行一次变换称为对n进行二次变换，依此类推．例如，正整数，根据4除以3的余数为1，由知，对4进行一次变换得到的数为8；根据8除以3的余数为2，由知，对4进行二次变换得到的数为9；根据9除以3的余数为0，由知，对4进行三次变换得到的数为3．
（1）对正整数15进行三次变换，得到的数为 ；
（2）若对正整数n进行二次变换得到的数为1，则所有满足条件的n的值之和为 ．
【答案】 2 11
【分析】本题主要考查了新定义，错误理解新定义是解题的关键．
（1）根据15除以3的余数为0可得第一次变换后的数为5，再根据5除以3的余数为2可得第二次变换后的数，同理可得第三次变换后的数；
（2）第二次变换后的结果为1，那么第一次变换后的结果为3或或，再验证这三个数是否可经过变换后得1即可确定第一次变换后得到的数，据此根据第一次变换得到的数可推出n的三个值，再同理可验证不符合题意的n，据此可得答案．
【详解】解；（1）∵，
∴15进行一次变换后得到的数为；
∵，
∴15进行二次变换后得到的数为；
∵，
∴15进行三次变换后得到的数为2，
故答案为：2；
（2）当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为0时，则第一次变换后的数为，此时不符合题意；
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为1时，则第一次变换后的数为，此时不不符合题意；
当对正整数n进行第一次变换后，所得的数除以3的余数为2时，则第一次变换后的数为，此时不不符合题意；
综上所述，第一次变换后所得的数为3，
当n除以3的余数为0时，则，不符合题意；
当n除以3的余数为1时，则，不不符合题意；
当n除以3的余数为2时，则，不符合题意；
∴不符合题意的n的值是9或2，
∴所有满足条件的n的值之和为，
故答案为；11．
11．（2025·河北·中考真题）（1）一道习题及其错误的解答过程如下：请指出在第几步开始出现错误，并选择你喜欢的方法写出错误的解答过程．
计算：． 解： 第一步 第二步 ．第三步
（2）计算：
【答案】（1）原计算第一步开始出错；；（2）
【分析】本题考查了有理数混合运算，实数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键；
（1）第一步计算分配律时符号出错；
（2）按照实数的混合运算法则进行，先计算括号里面的，再从左到右依次计算除除．
【详解】解：（1）原计算第一步开始出错；
；
（2）
12．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，．
(1)若，求C的值；
(2)当，且为整数时，求x的整数值．
【答案】(1)
(2)或4
【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解题的关键：
（1）化简，得到，根据混合运算法则求出，即可得出结果；
（2）根据，结合，得到，进而得到，根据为整数得到，且，进行求解即可．
【详解】（1）解：∵，，
∴．
．
∴．
∵，
∴．
（2）由（1），得：，
∴，
当时，．
∵与均为整数，
∴或．
∴，
又∵且，
∴且．
∴或4．
13．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中．
【答案】，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键．
先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出的值，最后代入化简后的式子求值．
【详解】解：
．
当时，
原式．
51．（2025·四川巴中·中考真题）（1）计算下列代数式的值．．
（2）先化简，再求值．，其中．
【答案】（1）4；（2）；
【分析】本题考查了有理数的除方运算、特殊角的三角函数值（）、绝对值的性质、分式的混合运算与化简求值，解题的关键是熟练掌握除方、三角函数、绝对值的基础计算规则，以及分式通分、因式分解、除法变除法的化简方法，代入求值时准确计算．
（1） 先计算除方；再代入特殊角三角函数值，计算；接着化简绝对值；最后将各项结果进行减减运算．
（2）先对括号内通分计算；再将除法转化为除法（除以倒数），对分子因式分解（完全平方公式）；然后约分简化分式；最后将代入化简后的式子计算．
【详解】（1）
（2）解：
当时，原式
∴化简结果为，代入求值结果为．
14．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”．
【理解定义】
三位数是否为“极差数”？___________．
【建模推理】
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________；
（2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？
【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析．
【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力．
理解定义：根据定义进行验证即可；
建模推理：
（1）根据“极差数”的定义即可求出答案；
（2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证．
【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为，
∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字，
∴三位数不是“极差数”
故答案为：不是
建模推理：
（1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，
根据题意可得，，
故答案为：；
（2）任意一个“极差数”都能被11整除．
证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，
∵，
∴，
∴能被11整除，
∴任意一个“极差数”都能被11整除．
15．（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】
对正实数，，定义运算“”，满足．
例如：当时，．
（1）当时，请计算：__________；
【探究运算律】
对正实数，，运算“”是否满足交换律？
，
，
．
运算“”满足交换律．
（2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由；
【应用新运算】
（3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为__________．
【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3）
【分析】本题考查了新定义运算，涉及完全平方公式变形求值，全等三角形的性质，勾股定理，分式的混合运算，熟练掌握知识点，错误理解题意是解题的关键．
（1）直接按照新定义计算即可；
（2）按照新定义结合分式的混合运算法则分别计算等号左边和右边，进行验证即可；
（3）由勾股定理得到，由全等三角形的性质得到，则，然后展开求出，再由完全平方公式变形得到，求出，最后按照新定义结合运算法则计算即可．
【详解】（1）解：由新定义得，；
（2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下：
左边：，
右边：，
∴左边右边，
∴对正实数，，，运算“”满足结合律；
（3）由题意得，，
∴，
∵，，且，正方形的面积为26，
∴，
∵四个直角三角形全等，
∴，
∴，
∵正方形的面积为16，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴（舍负），
∴，
故答案为：．
16．（2025·江苏盐城·中考真题）小明在参观科技馆时，发现很多矿物的结晶体有着其独特的几何形态和内在规律．
［发现问题］
黄铁矿的晶体（如图（1））是一个正方体：它由六个面组成．每个面都是全等的正方形，每个顶点都连接三条棱．小明查阅资料后了解到，这种各面都是全等的正边形，且各顶点连接（）条棱的立体图形称为正多面体，如正方体又称为正六面体．
［提出问题］
小明思考：这样的正多面体有几个？
［分析问题］
一个正面体的每个面都是全等的正边形，有个顶点，条棱，且每个顶点都连接条棱．小明对部分正面体（如图（2））进行了观察，列出以下数据：
正多面体
正四面体 4 3 4 6 3
正方体 6 4 8 12 3
正八面体 8 3 6 12 4
（1）根据表中的数据，请写出、、之间存在的等量关系式_________；
（2）小明进一步发现，正面体中棱数与各面的边数之和以及棱数与各面的顶点数之和存在着一定的关系．
①从面出发：以正方体为例，它有6个面，每个面都有4条边，则六个面的边数之和为24，又因为正方体的两个面共用一条边，所以正方体的棱数为12．
正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示）
②从顶点出发：正面体的棱数_________．（用含、的代数式表示）
［解决问题］
（3）已知一个正多面体有30条棱，且每个顶点连接3条棱，求这个正多面体的面数．
（4）满足正多面体定义的几何体一共有几个？请说明你的理由．
【答案】（1）；（2）①；②；（3）；（4）个
【分析】本题考查了新定义，数字类规律，分式的化简，理解难度大，理解题意是解题的关键．
（1）观察数据即可解答；
（2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为，又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为；②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为，又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为；
（3）上述公式列方程即可解答；
（4）由题意可得，代入可得，整理后，利用逐一判断即可．
【详解】解：（1）根据观察可得，
故答案为：；
（2）①正面体，它有个面，每个面都有条边，则个面的边数之和为，
又因为正面体的两个面共用一条边，所以正面体的棱数为，
故答案为：；
②正面体，它有个顶点，且每个顶点都连接条棱，则个顶点的棱数之和为，
又因为正面体的一条棱连接两个顶点，所以正面体的棱数为，
故答案为：；
（3）由题意可得，，
，
根据（1）中公式可得，
可得，
解得，
则这个正多面体的面数为；
（4）由题意可得，，
代入可得，
，
，
，
为正整数，且，，
当时，时，，故成立，
当时，时，，故成立，
当时，时，，故成立，
当时，时，，故不成立，
当时，时，，故成立，
当时，时，，故不成立，
当时，时，，故成立，
当时，时，，故不成立，
当时，无论取任何值，，故不成立，
综上，满足正多面体定义的几何体一共有个．
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