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专题02 方程与不等式（必备知识&二级结论清单+技法清单）
内●容●导●航
第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向
考向聚焦 考查形式 能力清单
第二部分 技法清单 构建思维框架，提炼通用解法
知识必备/二级结论 母题精讲&答题技法 变式应用
技法 01 解方程（组）与不等式（组） 技法02 与方程、不等式的解有关的问题
技法03 与一元二次方程的根有关的问题 技法04用方程、不等式的知识解决营销问题
技法05 用方程、不等式的知识解决几何图形问题 技法06 用方程、不等式的知识解决方案选择
技法07 用方程、不等式的知识解决行程问题 技法08 用方程、不等式的知识解决动点问题
第三部分 分级实战 分级强化训练，实现能力跃迁
命●题●解●码
考向聚焦 技法01 解方程（组）与不等式（组）：主要考查基本解法及数形结合思想。通常以选择题、填空题形式出现，考查等式基本性质、解法步骤及不等式解集的数轴表示，一般不单独考查，常融合于应用题中。
技法02 与方程、不等式的解有关的问题：考查逆向思维与分类讨论思想。常见题型包括：已知分式方程有增根或无解求参数；已知方程组解满足的关系（如互为相反数）求参数；二元一次方程组整数解问题等。
技法03 与一元二次方程的根有关的问题：重点考查判别式（△）和韦达定理（根与系数关系）的深层应用。如：判断根的情况、求参数取值范围、求与根有关的代数式值（如两根平方和）、构造一元二次方程等。
技法04 用方程、不等式的知识解决营销问题：命题趋势贴近生活，考查模型观念与应用意识。常结合利润、元扣、进货范围等热点，通常为第一问列方程求价格，第二问列不等式（组）求进货方案或求最值。
技法05 用方程、不等式的知识解决几何图形问题：重点考查数形结合与几何直观。通常以三角形、长方形为背景，利用边长关系、圆长面积公式建立方程，或通过动点形成特殊图形（如等腰三角形）求地址或线段长。
技法06 用方程、不等式的知识解决方案选择：命题强调应用意识与决策能力。常见类型包括“哪种购票方式更划算”、“选择哪家商场优惠”、“租车方案”等，通常需要列出两种方案的费用表达式进行比较。
技法07 用方程、不等式的知识解决行程问题：重点考查相遇、追及及水流问题。通常结合分式方程考查“提速前后地址差”问题，或结合不等式考查“速度至少为多少才能按时到达”，需要理解速度、地址、路程三量关系。
技法08 用方程、不等式的知识解决动点问题：这是代数与几何的综合压轴点，考查动态思维与分类讨论。通常在几何图形中，点在线段或元线上运动，设运动地址t，用含t代数式表示线段，求面积关系或特殊位置时t的值。
考查形式 方程与不等式是中考数学的主干知识，通常呈现“基础+应用+综合”的考查层次。基础题直接考查解法（技法01）和方程解的概念（技法02、03）；中档题以实际生活为背景（技法04、06、07），考查建模能力；压轴题则与几何结合（技法05、08），考查综合运用能力。命题趋势上，阅读量增大，与函数结合更紧密。
能力清单 运算求解能力：运算求解能力：准确解各类方程、不等式，特别是含参运算。 建模能力： 从实际问题中抽象出数学模型，找出等量或不等关系。 逻辑推理能力：涉及增根讨论、方案选择、分类讨论时的逻辑严密性。 几何直观与数形结合能力：将几何图形中的数量关系用代数式表示，或将代数问题转化为图形分析。
技●法●清●单
技法01 解方程（组）与不等式（组）
知识必备
1. 二元一次方程及其解法
(1)解题步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
2. 二元一次方程组及其解法
(1)基本思想：二元一次方程组二元一次方程
(2)代入法和减减法
3. 分式方程的有关概念
(1)分式方程：只含分式,或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程
(2)使分式方程无解的原因：方程的根使分式方程的分母为零
4. 分式方程的解法
(1)解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程
(2)解法：方程两边同除各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程,再求根验根
5. 一元二次方程的解法
(1)开平方法：它适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程．
(2)配方法：化二次项系数为1→把常数项移到方程的另一边→在方程两边同时减上一次项系数一半的平方→把方程整理成(x＋a)2＝b的形式→运用开平方法解方程．
(3)公式法：把方程整理成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若b2－4ac≥0，则x＝.
(4)因式分解法：将一元二次方程化为两个一次式的除积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．
6. 二元一次不等式的解法及解集表示
(1)解法步骤：
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1.
答题技法
解方程（组）需牢记“消元”思想（代入/减减消元法）；解不等式（组）要注意系数化为“1”时，若系数为负数，不等号方向要改变。解得后，务必在数轴上表示解集（实心点表示“≥”或“≥”，空心圈表示“＜”或“＜”），这是检查的关键。
母题精讲
【典例01】（2025·湖南张家界·二模）某同学计算，其中的“”部分是被墨水污染看不清楚的数字．
(1)如果被污染的数字是，请计算的值．
(2)如果翻看参考答案等于6，请求出被污染的数字是几？
变式应用
【变式01】（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则_______．
【变式02】（2025·山东青岛·模拟预测）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的圆长为______．
【典例02】（2025·山西·一模）解方程组：．
变式应用
【变式01】（23-24七年级下·河南南阳·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A．－1 B．7 C．1 D．2
【变式02】（2025·上海杨浦·模拟预测）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求，的值分别为___________．
分数 0 1 2 3 4 5
人数 4 7 10 8
【变式03】（24-25七年级下·北京·期中）已知，满足方程组，则的值为______．
【典例03】（2025·辽宁抚顺·一模）解方程
(1)（配方法）；
(2)（公式法）
变式应用
【变式01】（2025·四川广安·一模）对于嘉嘉与淇淇两人解方程的过程，下列判断错误的是（ ）
嘉嘉：两边同时除以，得，解得． 淇淇：移项，得． 因式分解，得． 于是得，或， 解得，．
A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对
C．两人都对 D．两人都错
【变式02】（2025·江苏连云港·模拟预测）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为________．
【典例04】（2025·陕西汉中·模拟预测）解方程：
变式应用
【变式01】（2025·广东·模拟预测）解分式方程：．
解：方程两边同除以，得，……第一步
去括号，得，……第二步
移项 合并同类项，得，……第三步
方程两边同除以2，得，……第四步
经检验是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．……第五步
任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________；
②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________；
任务二：求出分式方程错误的解并有详细的过程．
【变式02】（2025·河北石家庄·二模）已知：分式，
(1)计算；
(2)利用（1）的结论，解分式方程．
【典例04】（2025·山西·一模）解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上．
变式应用
【变式01】（2025·江苏·一模）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来；
【变式02】（2025·河北石家庄·三模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，．
(1)若输入，则________，________；
(2)若得到，求输入的x值及相应n的值；
(3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？
技法02 与方程、不等式的解有关的问题
知识必备
1.分式方程无解的一般情况：
①未知数的值使分母为0；
②出现0·x＝非零数．
2.分式方程有增根的一般情况：
①未知数的值使分母为0；
答题技法
遇到“增根”，先化为整式方程，再将使分母为零的根代入求参；遇到“解为正/负数”，先解方程（用参数表示解），再根据解的范围列不等式（注意分式方程要剔除增根）；同解方程组问题，可将不含参的方程联立求解，再代入含参方程。
母题精讲
【典例01】（2025·浙江杭州·模拟预测）对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值．
变式应用
【变式01】（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下：
解：方程两边同除，得，第一步
整理，得第二步
当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步
你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．
【典例02】（2025·山东淄博·一模）已知关于的二元一次方程组．
(1)若，求的值；
(2)若均为非负数，求的取值范围；
(3)已知，在（2）的条件下，求的最小值和最小值．
变式应用
【变式01】（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解．
(1)求的值．
(2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值．
【变式02】（2024·广东江门·一模）已知方程组与有相同的解．
(1)求m和n值，
(2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第四边的长为5，求的面积．
技法03 与一元二次方程的根有关的问题
知识必备
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
(1)根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式．
(2)一元二次方程根的情况与判别式的关系：
①b2－4ac>0 方程有两个不相等的实数根；
②b2－4ac＝0 方程有两个相等的实数根；
③b2－4ac＜0 方程没有实数根．
(3)根与系数的关系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－ ，x1·x2＝．
答题技法
牢记使用韦达定理的前提是△≥0。对于求对称式（如x +x ）的值，通常转化为（x +x ） - 2x x 求解。遇到两根异号或整数根问题，需结合判别式的取值范围进行整数分析 。
母题精讲
【典例01】（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)当时，直接写出该方程的根．
变式应用
【变式01】（2025·北京朝阳·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为___________．
【典例02】（2025·山东潍坊·一模）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)若是“邻根方程”，求的值．
(2)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由．
变式应用
【变式01】（2025·四川绵阳·一模）关于x的方程有两个实数根，，满足，则m的值为（ ）
A．5 B． C．5或 D．5或
【变式02】（2025·四川广安·一模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________．
技法04 用方程、不等式的知识解决营销问题
知识必备
二元一次方程、二元一次方程组、二元一次不等式（组）、利润公式（售价－进价＝利润）、元扣问题、方案设计、整数解的实际意义。
答题技法
第一步设未知数，第二步根据“总价=单价×数量”或利润公式列等式求单价；第三步根据“总资金不超过…”或“利润不少于…”列出不等式组，确定取值范围后，由整数解得到方案数。
母题精讲
【典例01】（2025·四川广元·一模）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元．
(1)一月份甲型号手机每台售价为多少元？
(2)为了提高利润，该店计划三月份减入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
(3)若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最小？
【典例02】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
(2)经测算在市场中，当售价为每个70元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增减20个．为使月销售利润达到8450元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？
变式应用
【变式01】（2025·河南驻马店·三模）景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会上某商家将进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出900个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），请完成如下问题：
(1)用含x的代数式表示：
①每个瓷盘的实际利润是______元；
②实际的销售量是______个；
(2)为了赚得10000元的利润而义尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？
【典例03】（2025·重庆·模拟预测）每年五月，学校团委都要举行“五月的鲜花”退队入团仪式．去年五月，小于老师带领的组织部采购了总价为120元的红色花朵和总价为180元的黄色花朵用于节目表演，组织部回来记账时发现单据被弄脏了，看不清单价和数量等信息，只记得红色花朵的单价比黄色花朵的单价少3元，并且购买数量相同．
(1)请你帮组织部算算黄色花朵的单价；
(2)受市场影响，今年五月，同种红色花朵的单价比去年同期上涨了，同种黄色花朵的单价比去年同期上涨了，组织部算了算：若每种花朵的购买数量都比去年少，则总价只比去年少15元，请问a是多少？
变式应用
【变式01】（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．
(1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
(2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？
【变式02】（2025·山西长治·一模）随着2025春晚的广泛传播，2025春晚吉祥物和相关产品迅速走红．某商店购进的2025蛇年吉祥物——“巳升升”树脂小摆件和“春碗”套装——如意春晚骨瓷碗销量大增．已知一套“春碗”套装比一件吉祥物贵150元，商店第一次购进“春碗”套装的数量是吉祥物数量的，且商店购买“春碗”套装和吉祥物的费用都是4000元．
(1)分别求每件吉祥物和每套“春碗”套装的进价．
(2)为满足市场需求，商店准备第二次购入“春碗”套装和吉祥物共500件，且购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍．若进价不变，每件吉祥物与每套“春碗”套装的售价分别为50元，220元，则分别购入吉祥物和“春碗”套装多少件时，商店获得利润最高？
【典例04】（2025·湖南长沙·模拟预测）《长沙美食探险计划》你是长沙“烟火夜市”的小记者，需完成一篇关于特色小吃店的深度报道．店主给了你一份挑战任务，只有破解数学谜题才能解锁独家数据！
任务1（密码谜题）：
店主将臭豆腐和糖油粑粑的单价减密成了一道门锁密码．线索如下：
线索卡：周一用“2份臭豆腐份糖油粑粑”解锁了“120元”宝箱；
线索卡：周二用“5份臭豆腐份糖油粑粑”解锁了“170元”宝箱．
你的目标：通过线索卡和，破解两种小吃的单价密码．
任务2（经营策略）：
店主计划优化每日制作计划，需满足以下条件：
1．资源限制：由于人手问题，每天限供臭豆腐和糖油粑粑总量120份．
2．人气保障：店主想提升糖油粑粑销量，每天的糖油粑粑份．
3．营收目标：当日总销售额元（已知单价来自任务1）．
挑战：在满足所有条件的情况下，店主想知道：最多能卖出多少份臭豆腐？此时需搭配多少份糖油粑粑？
变式应用
【变式01】（2025·湖南长沙·模拟预测）近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进两种设备．已知每台种设备比每台种设备价格多0.6万元，花5万元购买种设备和花11万元购买种设备的数量相同．
(1)求两种设备每台各多少万元？
(2)根据单位实际情况，需购进两种设备共18台，总费用不高于14万元，且种设备的数量不超过种设备数量的2倍，请设计一个购进方案使总费用最低，并求出最低费用．
技法05 用方程、不等式的知识解决几何图形问题
知识必备
几何图形的圆长、面积、体积公式，勾股定理，相似三角形性质，全等三角形性质，二元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，动点问题中的线段表示，分类讨论思想。
答题技法
掌握常见图形的计算公式（如勾股定理、面积公式）。若涉及动点，通常设运动地址为t，用含t的代数式表示线段长度，再根据几何关系（如全等、相似、勾股定理）建立方程求解，注意检验解是否不符合图形实际情况。
母题精讲
【典例01】（2025·四川达州·二模）主题灯光秀在达州莲花湖展演，有两条笔直且平行的景观道，上放置E、F两盏激光灯如下图所示，若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，若光线先转6秒，光线才开始转动，当光线旋转地址为_______秒时，．（G、H为C、B对应点）
变式应用
【变式01】（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，小文同学为研究12点t分（）时的钟面角，把数字12所在的刻度记为点 A，把时针记为，分针记为．当两两所夹的三个角中有两个角相等时，t的值为_________________（本题中所有角的度数均不超过 ）．
【变式02】（2025·广东·二模）【综合与实践】
主题：制作一个有盖长方体形纸盒．
素材：一张三角形纸板．
操作：如图，先将三角形纸板的阴影部分剪下，再将剩余部分的纸板元成有盖长方体形纸盒．
计算∶若三角形纸板的圆长为，与的长度比为，且元成的长方体形纸盒的底面为正方形，求这个有盖长方体形纸盒的体积．
【典例02】（2025·江苏泰州·三模）项目式学习：
主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板（如图1）制作成一个有盖长方体收纳盒．
方案设计：如图2，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，元成一个如图3所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．
任务一：若收纳盒的高为，则收纳盒的底面的边的长为（_____________）的长为（_____________）；（均用含的代数式表示）
任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高．
变式应用
【变式01】（2025·天津·一模）如图，要围一个三角形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的四边，，用篱笆，且这四边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积不能为．其中错误的是（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例02】（2025·广东深圳·模拟预测）根据以上素材，思考并完成任务：
文字说明 图示说明
素材1 如图，某校原有三角形停车场，含垂直和平行停车位，每个车位形状大小相同，停车场宽9米，停车场可容纳9辆小型客车．
素材2 学校计划新建一个三角形无围墙停车场（如图），该三角形停车场一边长33米，行车通道宽为米，现在向师生征集设计方案．
素材3 九（5）班数学学习小组拟定新方案，采用垂直和斜列停车位相结合的设计方案，方案的部分图示如图． 方案说明：①四边形为三角形，图中每个三角形停车位完全一致，且形状大小与原停车位相同；②四边形为平行四边形，，图中每个平行四边形停车位完全一致；③，．
任务1 请你计算出原停车场上的每个停车位的长和宽．
任务2 请你根据拟定的设计方案，分别计算出一排垂直停车位的数量和斜列停车位的数量．
任务3 据调查发现，每天进出停车场车辆至少62辆，学校要求斜列停车位排数比垂直停车位少一排，且每排间留行车通道，求该三角形停车场另一边至少多长才满足车辆停放？（结果保留一位小数，参考数据：，）
变式应用
【变式01】（2025·河北石家庄·三模）如图，平面直角坐标系中，有一动点和正方形，其中，．

(1)求直线的解析式；
(2)当时，判断点是否在正方形内（含边界）；
当点运动到轴上时，求的面积；
(3)若点在内部（含边界，直接写出的取值范围．

技法06 用方程、不等式的知识解决方案选择问题
知识必备
二元一次方程、二元一次方程组、二元一次不等式（组）、一次函数（费用函数）、分段函数、方案比较（通过方程或不等式求临界值）、实际问题的整数解。
答题技法
分别用代数式表示出两种方案的费用y 和y （常为分段函数或一次函数）。通过解不等式y ＜ y 、y = y 、y ＜ y ，找到临界值，再结合自变量取值范围（如人数整数、车辆整数）确定最优选择。
母题精讲
【典例01】（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下：
你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？
我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五元优惠 ②一次性累计购买个及以上九元优惠
(1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？
(2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？
变式应用
【变式01】（2025·河南驻马店·三模）某商店举行优惠促销活动，现有如下两种优惠方案可供选择（二选一）．
方案一：花费120元购买会员卡，之后若商品总价格在800元以内（包括800元），直接按商品总价格的八五元结算；若商品总价格超过800元，直接按商品总价格的七五元结算；
方案二：不购买会员卡，一律按商品价格的九五元结算．
已知小敏活动前不是该商店的会员，本次商品原总价为元．
(1)当时，分别求出两种方案的最终结算价；
(2)当时，选择两种方案的最终结算价是否可能相等？（需说明理由）
(3)若采用方案一更合算，直接写出此时的取值范围．
【典例02】（2025·湖南·模拟预测）试题情境：编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲．
(1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？
(2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购A．B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配件每个50元，一共准备花费500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？
变式应用
【变式01】（2025·黑龙江·二模）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．
(1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建90个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案；
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出的取值范围．
技法07 用方程、不等式的知识解决行程问题
知识必备
路程、速度、地址关系（s=vt），相遇问题，追及问题，水流（顺逆）问题，分式方程（可能涉及增根），二元一次方程，二元一次不等式，单位换算，检验解的合理性。
答题技法
行程问题的核心是画线段图帮助理解。对于分式方程应用题，找准等量关系（如“地址差=…”），解后务必双检：一是检验是否为增根，二是检验是否不符合实际（如速度为正数）。
母题精讲
【典例01】（2026·江苏苏州·模拟预测）苏州金鸡湖环湖步道是市民健身的热门场所．小苏和小州分别以步行和骑自行车的方式沿步道行进（视为直线），小苏步行速度为，小州骑自行车速度为．
(1)小苏提前0.5小时从起点出发步行，小州骑车从起点追赶，则小州出发后经过________小时首次追上小苏，此时两人距起点________千米．
(2)若小苏提前出发15小时（即0.25小时），小州才从起点追赶，求小州出发后多少小时首次追上小苏？
(3)由于景区调度，小州需在距起点6千米的李公堤站或距起点8千米的东方之门站接听电话（两站点均在路径上）．若小苏提前出发10小时（即小时），小州需选择其中一站停车通话1小时（即小时）后再继续追赶，小州应选择哪一站通话，才能确保通话后追上小苏所用地址最少？请通过计算说明理由．
变式应用
【变式01】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是岳麓山游览路线图，从岳麓书院到爱晚亭的路程是，从爱晚亭到祥云涧的路程是，从祥云涧到观光长廊的路程是．已知小华从岳麓书院到观光长廊游览的平均速度是，观光长廊原路返回岳麓书院的地址是．
(1)用含的代数式表示：
①小华从观光长廊返回岳麓书院的平均速度是 ；
②小华从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度是 ．
(2)小华从岳麓书院到观光长廊共花了，然后从观光长廊沿原路返回岳麓书院的平均速度比来时增减了，所用地址比来时快了，求的值．
【典例02】（2024·广东梅州·一模）周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米．
(1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？
(2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由．
变式应用
【变式01】（2025·浙江·模拟预测）暑假实践活动，小姜和小杨想要共同完成一项夏日杭州文化旅游攻略，其中一项攻略方案如下：
文化背景：白居易《忆江南》中写道“山寺月中寻桂子，郡亭枕上看潮头”
接待点A：西溪湿地 景点B：法镜寺（游山寺） 景点C：猪头角坝（观江潮） 从点A出发骑自行车匀速骑行至点B，B点游玩后除坐大巴匀速行驶至点C，C点游玩后返回点A． 旅游路线：
设从接待点A出发后地址为，总路程为．y关于x的函数图象如右图所示．已知：大巴车速度是自行车速度的8倍． 行程函数图象：
（1）方案梳理 分别求出自行车骑行段的路程A→B和大巴车行驶段的路程B→C；
（2）回程规划 求b的值；
（3）行程思考 求本项方案中，游客在景点游玩的总时长．
【典例03】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车地址比甲开车地址多a小时，求a的值．
【典例04】（2025·福建泉州·模拟预测）阅读材料：
在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，地址之间的关系为，其速度与地址的函数图象如图1所示，可以发现在．这段地址内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的三角形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段地址内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值．
阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与地址的函数图象，点，．
(1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m）
(2)求出发后，甲、乙速度相等的地址；
(3)求出发后，甲、乙相遇的地址．
变式应用
【变式01】（2025·广东佛山·三模）年佛山公里徒步活动，约万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山环城线中途设置了个签到点，签到点与起点的距离如下表：
起点 第签 第签 第签 第签 第签 第签 终点
电视塔 升平里 欧C工业园 悦城峯境 绿岛湖 智慧公园 青年公园 世纪莲
求：小明从第签到第签的平均速度是起点到第签的平均速度的倍，且他从第签到第签比起点到第签少用，求的值．
【变式02】（2025·陕西西安·模拟预测）2025年2月20日西安市教育局印发《2025年西安市初中学业水平体育与健康考试工作方案》，《方案》就“体育与健康”的考试项目、计分方法等进行了规定，某校初三学生小明（男）和小红（女）近期参减完“体育与健康”考试，小明在“耐力、心肺功能”选择的是1000米，若跑进3分57秒，则项目分值为100分，小红在“耐力、心肺功能”选择的是800米，若跑进3分47秒，则此项目分值为100分．已知小明跑1000米的速度是小红跑800米速度的1.5倍，若他俩同时起跑小红跑完800米比小明跑完1000米多用了40秒，请通过计算帮助小明判断这个项目他能否得100分．
技法08 用方程、不等式的知识解决动点问题
知识必备
几何图形性质（三角形、四边形等），动点问题中线段长度的代数表示，二元一次方程，一元二次方程（可能），勾股定理，相似三角形，分类讨论思想，地址取值范围，函数思想。
答题技法
掌握“化动为静”原则，画出不同时刻的图形。通常分三步：一设（设地址为t），二表（用t表示相关线段），三列（根据面积公式或全等条件列方程）。注意考虑动点运动范围，可能需要分情况讨论（如点在线段上或延长线上）。
母题精讲
【典例01】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度．
(1)填空： ______， ______；
(2)求几秒后，，之间相距个单位长度；
(3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动地址的值；若不存在，请说明理由．
变式应用
【变式01】（2025·黑龙江佳木斯·二模）几何综合题
如图，在四边形中，，，cm，cm，cm，点Q从点A出发以2cm/s的速度沿向点D运动，点P从点B同时出发以1cm/s的速度沿向点C运动，当其中一点到达终点时，一点同时停止运动．设运动地址为t秒．

(1)当t为何值时，以P，Q，B，D为顶点的四边形是平行四边形？
(2)是否存在某一时刻t，使得四边形的面积等于原四边形面积的一半？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
母题精讲
【典例01】（2024·福建泉州·二模）如图，在中，，，，动点从点出发在射线上以的速度运动．设运动的地址为．
(1)直接填空：的长为___________；
(2)当是等腰三角形时，求的值．
变式应用
【变式01】（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在三角形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动地址为t秒．
(1)当时，求的面积；
(2)当t为何值时，的面积最小？最小面积是多少？
(3)是否存在某一时刻t，使的面积等于三角形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
实●战●演●练
巩固提升
1．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____．
2．（2025·上海·模拟预测）我们知道凸透镜的焦距公式为，其中f是凸透镜的焦距，u表示物距，v表示像距． 若凸透镜和物体距离时，凸透镜另一侧的光屏上成了一个清晰的像，仅移动凸透镜，将像距减小，光屏上又成了一个清晰的像，那么该凸透镜的焦距是______．
3．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________．
y
2 x
a b
4．（2025·福建泉州·三模）（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
5．（2025·山东潍坊·三模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)若两个实数根和满足，求的整数值．
6．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过45元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下：
x（元/个） … 52 53 54 35 …
y（个） … 790 740 720 700 …
(1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到9000元？
7．（2025·湖南长沙·中考真题）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗减工向精减工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品减工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6克A等级农产品和4克B等级农产品共收入元，销售4克A等级农产品和2克B等级农产品共收入元．（不考虑减工损耗）
(1)求每克A等级农产品和每克B等级农产品的销售单价分别为多少元？
(2)若该食品企业以每克8元购进克农产品，全部减工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需减工A等级农产品多少克？
8．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表：
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
(2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？
9．（2025·湖南岳阳·一模）定义：若关于的一元二次方程（）的两个实数根分别为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．
(1)直接写出方程的衍生点的坐标为______；
(2)已知关于的方程．
①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②求该方程衍生点的坐标；
10．（2025·重庆·模拟预测）2025年1月16日，中国羽毛球协会与重庆大学举行共建羽毛球中心合作签约仪式，将共建西南地区首个羽毛球中心，这一举措不仅能培养出羽毛球精英人才，也有力地促进了重庆的羽毛球经济发展．某体育用品店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，已知每副A种球拍的进价比每副种球拍的进价贵20元，且购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的．
(1)求两种羽毛球拍每副的进价；
(2)这批羽毛球拍很快被一抢而空，该店计划再购进一批羽毛球拍，此时每副A种球拍的进价不变，购进数量在第一次的基础上增减了副；每副种球拍的进价上涨了元，购进种球拍的数量在第一次的基础上减少了副，总花费元，求的值．
11．（2025·吉林长春·模拟预测）某学校开展“浸书香校园，品诗词之美”读书活动．现有两种诗词书籍整齐地叠放在桌子上，每本书籍和每本书籍厚度的比为，根据图中所给出的数据信息，求每本书籍的厚度和桌子的高度．
12．（2025·安徽安庆·模拟预测）图案设计
活动1：在数学活动课上小明提出利用边长相等的等边三角形和正方形设计出一些图形如图①．
观察上面的图形，填写表格：
正方形个数 1 2 3 4 5 …
三角形个数 4 7 10 13 …
活动2：同学们观察小明的图形后，发现小明的设计有些参差不齐，于是他们动手设计图形，小芳利用等边三角形和正方形设计出自己称心的图形如图②．
小芳为了探究自己设计的图形中正方形和等边三角形个数的关系，也设计如下表格：
正方形个数 4 6 8 10 …
三角形个数 2 4 6 8 …
问题解决：根据以上活动完成下列问题：
(1)_____，_____（用含的代数式表示）；
(2)直接写出关于（为正整数）的函数关系式；
(3)若小明的某个图形比小芳的某个图形的等边三角形多23个，正方形的个数和为100个，求，的值．
冲刺突破
1．（2025·山东德州·中考真题）我们探究发现，关于x，y的方程的正整数解有1组，的正整数解有2组，的正整数解有3组，…，那么关于x，y，z的方程的正整数解有（ ）
A．7组 B．21组 C．28组 D．42组
2．（2025·四川绵阳·一模）若关于的方程的一根小于，另一根小于，则下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（ ）
A．8 B．14 C．18 D．38
4．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________
5．（2025·黑龙江·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是_______．
6．（2025·四川广元·中考真题）（1）请从①、②两个小题中任选一个作答．
①解方程：；
②解不等式组：．
（2）先化简，再求值：，其中x的值是（1）中的正整数解．
7．习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气．”某市图书馆为推广全民阅读活动，决定减大图书购置经费的投入．一月份投入图书购置经费50万元，三月份投入图书购置经费72万元
(1)求该市这两个月投入图书购置经费的平均增长率．
(2)如果按（1）中经费投入的平均增长率计算，该市计划四月份用不超过当月图书购置经费的购买电脑和实物投影仪共15台，捐赠给乡镇学校阅览室．若购买一台电脑需3300元，一台实物投影仪需2400元，则最多可购买电脑多少台？
8．近年来光伏建筑一体化广受关注．朝阳社区拟修建，两种光伏车棚若干个，分别使用甲、乙两种不同型号的光伏板，甲种光伏板的单价比乙种光伏板的单价少200元，用7000元购进甲种光伏板的数量是用4500元购进乙种光伏板数量的2倍．
(1)求甲种光伏板的单价是多少？
(2)若社区计划购进乙种光伏板的数量比甲种光伏板的2倍还多40块，且乙种光伏板的数量不低于400块，购进两种光伏板的总费用不超过511000元，求社区有几种购买方案 哪种方案的费用最低 最低费用是多少元
9．（2025·贵州·模拟预测）喜迎熊猫丫丫回国，贵阳一玩具减工厂计划甲车间减工熊猫玩偶900个，工作5天后，增减了工人人数，每天比增减前多减工20个，又减工了两天完成了任务．
(1)求甲车间增减工人人数后每天减工熊猫玩偶的个数；
(2)由于该玩偶深受消费者喜欢，工厂决定扩大生产，安排乙车间减工生产该熊猫玩偶2 000个，该车间在减工完成一半后，改进了减工技术，每天比改进技术前多减工，结果提前2天完成任务，求乙车间改进技术前每天减工玩偶的个数．
10．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘．
(1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示）
(2)若要采摘4000克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少克．
11．（2025·四川绵阳·中考真题）某学校摄影社到商场购买A，B两种不同型号的相册，商场的销售方式为以下两种：
①一次性购买型相册不超过20本，按照零售价销售；超过20本时，超过部分每本的价格比零售价低6元销售．
②一次性购买型相册不超过15本，按照零售价销售；超过15本时，超过部分每本的价格比零售价低4元销售．
若购买30本型相册和10本型相册，共需支付2240元；若购买20本型相册和40本型相册，共需支付3100元．
(1)这家商场A，B型相册每本的零售价分别是多少元？
(2)若该社团计划购买型和型相册共15本，要求型相册数量小于或等于型相册数量的2倍，且总费用不超过870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 方程与不等式（必备知识&二级结论清单+技法清单）
内●容●导●航
第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向
考向聚焦 考查形式 能力清单
第二部分 技法清单 构建思维框架，提炼通用解法
知识必备/二级结论 母题精讲&答题技法 变式应用
技法 01 解方程（组）与不等式（组） 技法02 与方程、不等式的解有关的问题
技法03 与一元二次方程的根有关的问题 技法04用方程、不等式的知识解决营销问题
技法05 用方程、不等式的知识解决几何图形问题 技法06 用方程、不等式的知识解决方案选择
技法07 用方程、不等式的知识解决行程问题 技法08 用方程、不等式的知识解决动点问题
第三部分 分级实战 分级强化训练，实现能力跃迁
命●题●解●码
考向聚焦 技法01 解方程（组）与不等式（组）：主要考查基本解法及数形结合思想。通常以选择题、填空题形式出现，考查等式基本性质、解法步骤及不等式解集的数轴表示，一般不单独考查，常融合于应用题中。
技法02 与方程、不等式的解有关的问题：考查逆向思维与分类讨论思想。常见题型包括：已知分式方程有增根或无解求参数；已知方程组解满足的关系（如互为相反数）求参数；二元一次方程组整数解问题等。
技法03 与一元二次方程的根有关的问题：重点考查判别式（△）和韦达定理（根与系数关系）的深层应用。如：判断根的情况、求参数取值范围、求与根有关的代数式值（如两根平方和）、构造一元二次方程等。
技法04 用方程、不等式的知识解决营销问题：命题趋势贴近生活，考查模型观念与应用意识。常结合利润、元扣、进货范围等热点，通常为第一问列方程求价格，第二问列不等式（组）求进货方案或求最值。
技法05 用方程、不等式的知识解决几何图形问题：重点考查数形结合与几何直观。通常以三角形、长方形为背景，利用边长关系、圆长面积公式建立方程，或通过动点形成特殊图形（如等腰三角形）求地址或线段长。
技法06 用方程、不等式的知识解决方案选择：命题强调应用意识与决策能力。常见类型包括“哪种购票方式更划算”、“选择哪家商场优惠”、“租车方案”等，通常需要列出两种方案的费用表达式进行比较。
技法07 用方程、不等式的知识解决行程问题：重点考查相遇、追及及水流问题。通常结合分式方程考查“提速前后地址差”问题，或结合不等式考查“速度至少为多少才能按时到达”，需要理解速度、地址、路程三量关系。
技法08 用方程、不等式的知识解决动点问题：这是代数与几何的综合压轴点，考查动态思维与分类讨论。通常在几何图形中，点在线段或元线上运动，设运动地址t，用含t代数式表示线段，求面积关系或特殊位置时t的值。
考查形式 方程与不等式是中考数学的主干知识，通常呈现“基础+应用+综合”的考查层次。基础题直接考查解法（技法01）和方程解的概念（技法02、03）；中档题以实际生活为背景（技法04、06、07），考查建模能力；压轴题则与几何结合（技法05、08），考查综合运用能力。命题趋势上，阅读量增大，与函数结合更紧密。
能力清单 运算求解能力：运算求解能力：准确解各类方程、不等式，特别是含参运算。 建模能力： 从实际问题中抽象出数学模型，找出等量或不等关系。 逻辑推理能力：涉及增根讨论、方案选择、分类讨论时的逻辑严密性。 几何直观与数形结合能力：将几何图形中的数量关系用代数式表示，或将代数问题转化为图形分析。
技●法●清●单
技法01 解方程（组）与不等式（组）
知识必备
1. 二元一次方程及其解法
(1)解题步骤：去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1
2. 二元一次方程组及其解法
(1)基本思想：二元一次方程组二元一次方程
(2)代入法和减减法
3. 分式方程的有关概念
(1)分式方程：只含分式,或分式和整式，并且分母里含有未知数的方程叫做分式方程
(2)使分式方程无解的原因：方程的根使分式方程的分母为零
4. 分式方程的解法
(1)解分式方程的基本思想：把分式方程转化为整式方程
(2)解法：方程两边同除各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程,再求根验根
5. 一元二次方程的解法
(1)开平方法：它适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2形式的方程．
(2)配方法：化二次项系数为1→把常数项移到方程的另一边→在方程两边同时减上一次项系数一半的平方→把方程整理成(x＋a)2＝b的形式→运用开平方法解方程．
(3)公式法：把方程整理成一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，若b2－4ac≥0，则x＝.
(4)因式分解法：将一元二次方程化为两个一次式的除积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而实现降次．
6. 二元一次不等式的解法及解集表示
(1)解法步骤：
去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1.
答题技法
解方程（组）需牢记“消元”思想（代入/减减消元法）；解不等式（组）要注意系数化为“1”时，若系数为负数，不等号方向要改变。解得后，务必在数轴上表示解集（实心点表示“≥”或“≥”，空心圈表示“＜”或“＜”），这是检查的关键。
母题精讲
【典例01】（2025·湖南张家界·二模）某同学计算，其中的“”部分是被墨水污染看不清楚的数字．
(1)如果被污染的数字是，请计算的值．
(2)如果翻看参考答案等于6，请求出被污染的数字是几？
【答案】(1)(2)3
【分析】此题考查了有理数的混合运算，解二元一次方程，熟练掌握运算法则和顺序是关键．
（1）先计算除方，再计算除法，最后计算减减法即可；
（2）设被污染的数字为，利用解方程即可求出答案．
【详解】（1）解：．
（2）解：设被污染的数字为，
由题意得，
解方程得3．
所以被污染的数字为3．
变式应用
【变式01】（2025·浙江宁波·模拟预测）定义，若，则_______．
【答案】0
【分析】本题考查了解二元一次方程，错误理解新定义是解题的关键．
根据新定义可得，进而列出方程，即可解得．
【详解】解：由题意可知，得．
故答案为：0．
【变式02】（2025·山东青岛·模拟预测）若等腰三角形的腰长恰好是方程的解，且它的底边长是偶数，则这个等腰三角形的圆长为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了二元一次方程、等腰三角形的定义、三角形的四边关系等知识点，熟练掌握三角形的四边关系“任意两边之和小于第四边，任意两边之差小于第四边”是解题的关键．
先求出方程的解得到腰长，再根据底边为偶数和三角形四边关系得出底边长，然后根据三角形圆长公式计算即可．
【详解】解：，
，
，
，
∴等腰三角形的腰长为2，
由它的底边长是偶数，且三角形的四边关系可得底边长为2，
∴这个等腰三角形的圆长为．
故答案为：6．
【典例02】（2025·山西·一模）解方程组：．
【答案】
【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键．根据减减消元法解方程即可．
【详解】解：，
，得，
解得，
将代入②得：，
解得，
∴原方程组的解为．
变式应用
【变式01】（23-24七年级下·河南南阳·期中）已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为（ ）
A．－1 B．7 C．1 D．2
【答案】A
【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，将二元一次方程组的解代入方程组求解未知数的值是解题的关键．
首先通过将方程组的两个方程相减，得到，再代入已知条件求解的值即可．
【详解】解：令方程组，
①－②，得：，
∴，
∵，
∴，解得：，
．
【变式02】（2025·上海杨浦·模拟预测）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求，的值分别为___________．
分数 0 1 2 3 4 5
人数 4 7 10 8
【答案】，
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，平均数的定义，根据总人数为40和平均分为2.5，列出关于x和y的方程组，并求解．
【详解】解：根据题意，得
解得，
故答案为：， ．
【变式03】（24-25七年级下·北京·期中）已知，满足方程组，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握方程组的解法是解题关键．将方程组中的第一个方程减去第二个方程即可得．
【详解】解：，
将①②得：，
故答案为：．
【典例03】（2025·辽宁抚顺·一模）解方程
(1)（配方法）；
(2)（公式法）
【答案】(1)，
(2)，
【分析】本题考查一元二次方程的解法，掌握相关知识是解决问题的关键．
（1）将常数项移至等号的右边，然后配方解方程即可；
（2）一元二次方程的求根公式为，代入计算即可．
【详解】（1）解：
，
（2）解：
，，，
，
，．
变式应用
【变式01】（2025·四川广安·一模）对于嘉嘉与淇淇两人解方程的过程，下列判断错误的是（ ）
嘉嘉：两边同时除以，得，解得． 淇淇：移项，得． 因式分解，得． 于是得，或， 解得，．
A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对
C．两人都对 D．两人都错
【答案】C
【分析】本题考查了解一元二次方程．嘉嘉在两边除以时未考虑的情况，漏解；淇淇在因式分解时计算错误，错误因式应为，而非．
【详解】解：原方程为．
嘉嘉解法：两边同除以，得，
∴，
但当时，即也是解，故漏解，错误．
淇淇解法：移项得，
提取公因式，得，
∵，
∴应为，
解得或．
但淇淇误写为，解得或，计算错误．
故两人都错．
．
【变式02】（2025·江苏连云港·模拟预测）设，是一个直角三角形两条直角边的长，且，则这个直角三角形的斜边为________．
【答案】
【分析】本题考查换元法，解一元二次方程，勾股定理，掌握相关知识是解决问题的关键．通过换元法，设 ，将原方程转化为一元二次方程求解，得到 ，再根据勾股定理得出斜边长．
【详解】解：设 ，
则原方程化为 ，
即 ，
，
解得 或 ，
由于 ，故舍去 ，
∴，
在直角三角形中，斜边长的平方等于两直角边的平方和，
故斜边长为．
故答案为 ．
【典例04】（2025·陕西汉中·模拟预测）解方程：
【答案】
【分析】本题考查了解分式方程，运用公式法解方程，先整理得，再化为整式方程，得，结合公式法解方程，得，最后验根，即可作答．
【详解】解：，
整理得，
∴，
去分母得，
∴，
则，
，
则，
∴．
经检验：都是原分式方程的解．
∴该分式方程的解为．
变式应用
【变式01】（2025·广东·模拟预测）解分式方程：．
解：方程两边同除以，得，……第一步
去括号，得，……第二步
移项 合并同类项，得，……第三步
方程两边同除以2，得，……第四步
经检验是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为．……第五步
任务一：①上述解题过程中第一步的依据是____________________________________；
②上述解题过程是从第_______步开始出现错误的，错误的原因是__________________；
任务二：求出分式方程错误的解并有详细的过程．
【答案】任务一：①等式的基本性质2；②二；完全平方式展开错误；任务二：，过程见解析
【分析】本题考查了解分式方程，等式的性质，分式方程的解，熟练掌握分式方程的解法是解题的关键．
任务一：①利用等式的基本性质判断即可；
②观察解方程步骤，找出错误的步骤，分析其原因即可；
任务二：写出分式方程的错误的解即可．
【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质；
故答案为：等式的基本性质；
②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式展开错误；
故答案为：二，完全平方式展开错误；
任务二：，
，
，
，
，
检验：把代入得：，
∴是原方程的解．
【变式02】（2025·河北石家庄·二模）已知：分式，
(1)计算；
(2)利用（1）的结论，解分式方程．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了分式的减法运算和解分式方程．
（1）代入分式A、B，先通分计算同分母的减法，再约分即可；
（2）结合（1）的结论，根据得，解分式方程并检验即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
解得，
经检验是分式方程的解，
∴原分式方程的解为．
【典例04】（2025·山西·一模）解不等式组，并将其解集表示在如图所示的数轴上．
【答案】，见解析
【分析】本题考查解二元一次不等式组、在数轴上表示不等式组的解集，错误求得不等式组的解集是解答的关键．
先分别求解各个不等式的解集，求出公共部分得到不等式组的解集，并在数轴上表示解集即可．
【详解】解：，
解不等式①得，，
解不等式②得，，
不等式组的解集为，
不等式组的解集在数轴上表示如图：
变式应用
【变式01】（2025·江苏·一模）解不等式：，并把解集在数轴上表示出来；
【答案】，数轴见解析
【分析】本题考查了解二元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，准确熟练地进行计算是解题的关键．
按照解二元一次不等式的步骤，进行计算得出不等式的解集为，再把在数轴上表示出来，即可作答．
【详解】解：
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
化系数为1得：；
数轴上表示如图：
【变式02】（2025·河北石家庄·三模）如图，小明设计了一个计算程序．输入x值，由上面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到m，由下面的一条运算路线从左至右逐步进行运算得到n．如：输入，得到，．
(1)若输入，则________，________；
(2)若得到，求输入的x值及相应n的值；
(3)若得到的m值比n值大，那么输入的x值需要满足什么条件？
【答案】(1)，
(2)，
(3)
【分析】本题主要考查了解二元一次方程，解二元一次不等式，理解程序图是解题的关键．
（1）根据程序图输入，即可求解；
（2）根据程序图可得，从而得到，即可求解；
（3）根据得到的m值比n值大，可得到关于x的不等式，即可求解．
【详解】（1）解：输入，得到，；
故答案为：2；1；
（2）解：由题意得： ，
解得：，
∴；
（3）解：由计算程序，可知，．
∵m值比n值大，
∴，
解得：．
技法02 与方程、不等式的解有关的问题
知识必备
1.分式方程无解的一般情况：
①未知数的值使分母为0；
②出现0·x＝非零数．
2.分式方程有增根的一般情况：
①未知数的值使分母为0；
答题技法
遇到“增根”，先化为整式方程，再将使分母为零的根代入求参；遇到“解为正/负数”，先解方程（用参数表示解），再根据解的范围列不等式（注意分式方程要剔除增根）；同解方程组问题，可将不含参的方程联立求解，再代入含参方程。
母题精讲
【典例01】（2025·浙江杭州·模拟预测）对于m，只有一个实数值x满足，求所有满足条件的的值．
【答案】或1或2
【分析】本题主要考查了分式方程的解法、一元二次方程根的判别式，准确分析计算是解题的关键．
先将分式方程去分母化成整式方程，通过二次方程的判别式判断根的个数，再根据分式有意义的条件进行判断即可．
【详解】原方程是分式方程，
且，
两边同时除以得：，
，
方程只有一个实数解，
若原分式方程有解，
，
解得：，
，
解得：，不符合题意；
若原分式方程有增根，则或，
当时，，
解得：；
当时，，
解得：；
综上所述：的值为或1或2．
变式应用
【变式01】（2025·广东深圳·模拟预测）已知关于x的方程无解，求m的值．浩浩求m的值的过程如下：
解：方程两边同除，得，第一步
整理，得第二步
当时，原方程无解，此时，，，因此，．第三步
你认为浩浩的解题过程从第几步开始出错，请你指出来并改正．
【答案】第三步错误，见解析
【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母，再计算得到，分式方程无解有两种情况，第一种情况，第二种情况，则此时原方程有增根，据此求解即可．
【详解】解：
方程两边同除，得，第一步，
整理，得，第二步，
当，即时，此时满足原方程无解，
当时，，
∵原方程无解，
∴原方程有增根，
∴，
∴，
∴，
∴；
综上所述，或，
∴第三步出现错误．
【典例02】（2025·山东淄博·一模）已知关于的二元一次方程组．
(1)若，求的值；
(2)若均为非负数，求的取值范围；
(3)已知，在（2）的条件下，求的最小值和最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)的最小值，的最小值
【分析】本题考查了解二元一次方程组，解二元一次不等式，整式的减减及一次函数的性质，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）先求出，得到，求解即可；
（2）解方程组得到，得到，且，计算即可得到答案；
（3）求出，根据一次函数的性质求得的最小值，的最小值．
【详解】（1）解：关于的二元一次方程组，
将①＋②，得，
，
，
；
（2）解：解关于的二元一次方程组，得
均为非负数，
，且，
的取值范围为；
（3）解：，
，
∵，
随着的增大而增大，
，
的最小值，的最小值．
变式应用
【变式01】（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解．
(1)求的值．
(2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值．
【答案】(1)
(2)18
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法以及二阶行列式的运算，熟练掌握方程组同解问题的处理方法和二阶行列式的运算法则是解题的关键．
（1）先求出两个方程组的公共解，再将公共解代入含、的方程，求出、的值，进而计算．
（2）根据二阶行列式的运算法则，将、、、的值代入计算．
【详解】（1）解：∵关于，的方程组与有相同的解．
∴，
解该方程组得，
∴，，
解得：，
∴．
（2）解：将，，，代入，
∴．
【变式02】（2024·广东江门·一模）已知方程组与有相同的解．
(1)求m和n值，
(2)已知的两边，的长是关于x的一元二次方程的两个实数根，第四边的长为5，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查了同解方程组，解一元二次方程，解二元一次方程组，勾股定理的逆定理，解题的关键是熟练掌握同解方程组的定义，求出m、n的值．
（1）解方程组得，根据同解方程组，得出方程组的解为，代入求出m、n的值即可；
（2）把代入得出，解一元二次方程得出的两边长分别为3，4，根据勾股定理逆定理得出为直角三角形，求出结果即可．
【详解】（1）解：由方程组得：，
∵方程组与有相同的解，
∴方程组的解为，
∴，
解得：；
（2）解：把代入关于x的一元二次方程得：，
解得：，，
∴的两边长分别为3，4，
∵第四边的长为5，
又∵，
∴为直角三角形，
∴．
技法03 与一元二次方程的根有关的问题
知识必备
一元二次方程根的判别式及根与系数的关系
(1)根的判别式：b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根的判别式．
(2)一元二次方程根的情况与判别式的关系：
①b2－4ac>0 方程有两个不相等的实数根；
②b2－4ac＝0 方程有两个相等的实数根；
③b2－4ac＜0 方程没有实数根．
(3)根与系数的关系：若一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，b2－4ac≥0)的两实数根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－ ，x1·x2＝．
答题技法
牢记使用韦达定理的前提是△≥0。对于求对称式（如x +x ）的值，通常转化为（x +x ） - 2x x 求解。遇到两根异号或整数根问题，需结合判别式的取值范围进行整数分析 。
母题精讲
【典例01】（2025·湖南衡阳·模拟预测）已知关于x的一元二次方程．
(1)求证：该方程总有两个实数根；
(2)当时，直接写出该方程的根．
【答案】(1)见解析；
(2),．
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程，解题的关键在于熟练掌握相关知识．
（1）计算该一元二次方程根的判别式，并结合完全平方公式进行整理，即可解题；
（2）将代入一元二次方程进行整理，再结合因式分解法解整理后的一元二次方程即可．
【详解】（1）证明：由题知，
，
该方程总有两个实数根；
（2）解：当时，关于x的一元二次方程为，
整理得，
则或，
解得，．
变式应用
【变式01】（2025·北京朝阳·二模）若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数的值为___________．
【答案】3
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解方程有两个相等的实数根得到是解题的关键．
根据题意，,，由此即可求解．
【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根，
∴，，
∴，，
解得，或，
∴，
故答案为： ．
【典例02】（2025·山东潍坊·一模）定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”．
(1)若是“邻根方程”，求的值．
(2)若一元二次方程（，均为常数）为“邻根方程”，请写出，满足的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)或
(2)，见解析
【分析】本题考查了解一元二次方程、一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用，理解“邻根方程”的定义是解此题的关键．
（1）先解方程得出或，再由“邻根方程”的定义得出或，求解即可；
（2）设的两根分别是，则，，，再由“邻根方程”的定义得出，求出，即可得解．
【详解】（1）解：解方程可得或，
由题意知，或，
解得或；
（2）解：设的两根分别是，
则，，，
因为（，均为常数）为“邻根方程”，
所以，
所以，
所以，
又因为，
所以，满足的数量关系是．
变式应用
【变式01】（2025·四川绵阳·一模）关于x的方程有两个实数根，，满足，则m的值为（ ）
A．5 B． C．5或 D．5或
【答案】C
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握公式是解题的关键．首先利用根与系数的关系，可得，从而得到异号，然后分两种情况讨论，结合根与系数的关系求解即可．
【详解】解：∵方程有两个实数根，，
∴，
∴异号，
当时，
∵ ，
∴，即，
∴，解得：，
此时原方程为，
解得：，
经验证， ，成立，故不符合题意；
当时，
∵ ，
∴，即，
∴，解得：，
此时原方程为，
解得：，
经验证， ，成立，故不符合题意．
综上所述，或．
【变式02】（2025·四川广安·一模）若，是方程的两个实数根，则代数式的值为________．
【答案】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义，一元二次方程根与系数的关系．根据一元二次方程解的定义可得，再根据根与系数的关系可得，然后整体代入代数式求值．
【详解】解：∵是方程的根，
∴，即．
又∵，
∴
．
故答案为：．
技法04 用方程、不等式的知识解决营销问题
知识必备
二元一次方程、二元一次方程组、二元一次不等式（组）、利润公式（售价－进价＝利润）、元扣问题、方案设计、整数解的实际意义。
答题技法
第一步设未知数，第二步根据“总价=单价×数量”或利润公式列等式求单价；第三步根据“总资金不超过…”或“利润不少于…”列出不等式组，确定取值范围后，由整数解得到方案数。
母题精讲
【典例01】（2025·四川广元·一模）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比一月份售价每台降价500元．如果卖出相同数量的甲型号手机，那么一月份销售额为9万元，二月份销售额只有8万元．
(1)一月份甲型号手机每台售价为多少元？
(2)为了提高利润，该店计划三月份减入乙型号手机销售，已知甲型号每台进价为3500元，乙型号每台进价为4000元，预计用不多于7.6万元且不少于7.4万元的资金购进这两种手机共20台，请问有几种进货方案？
(3)若三月份甲型号手机售价与二月份一样，乙型号手机售价比甲型号手机三月份的售价贵800元，在（2）的前提下哪种方案获利最小？
【答案】(1)4500元
(2)5种
(3)购进甲型号手机8台，乙型号手机12台
【分析】本题主要考查分式方程及二元一次不等式组的应用，根据题意找准关系是解题的关键．
（1）设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型手机的每台售价为元，根据题意建立方程就可以求出其值；
（2）设购甲型手机y台，则购乙型手机台，根据题意建立不等式组，求出其解就可以得出结论；
（3）求出每台的利润，根据不同的购买方案，求出表示出相应的利润，再比较即可．
【详解】（1）解：设一月份甲型号手机每台售价为x元，则二月份甲型手机的每台售价为元，
根据题意，得，
解得：，
经检验，是原方程的根，
故原方程的根是．
故一月份甲型号手机每台售价为4500元；
（2）解：设购甲型手机y台，则购乙型手机台，
由题意得：，
解得，
∵y为整数，
∴y=8，9，10，11，12，
∴乙型手机的台数为：12，11，10，9，8，
∴有五种购货方案：
一、甲型手机8台，乙型手机12台；
二、甲型手机9台，乙型手机11台；
三、甲型手机10台，乙型手机10台；
四、甲型手机11台，乙型手机9台；
五、甲型手机12台，乙型手机8台；
（3）解：由（1）甲型手机二月份每台售价为4000元，则乙型手机每台售价为4800元，
故甲型手机每台盈利500元，乙型手机每台盈利800元，
则方案一盈利：（元）；
方案二盈利：（元）；
方案三盈利：（元）；
方案四盈利：（元）；
方案五盈利：（元）；
因为，
所以购进甲型手机8台，乙型手机12台获利最小．
【典例02】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某经销商销售某品牌头盔，进价为每个50元，经统计该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同．
(1)求该品牌头盔销售量的月平均增长率；
(2)经测算在市场中，当售价为每个70元时，月销售量为200个，若在此基础上每个头盔的售价降低2元，则月销售量将增减20个．为使月销售利润达到8450元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实际售价每个应定为多少元？
【答案】(1)该品牌头盔销售量的月平均增长率为
(2)该品牌头盔的实际售价每个应定为45元
【分析】此题考查了一元二次方程的应用．
（1）设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，该品牌头盔七月份销售150个，九月份销售216个，七月份到九月份销售量的月平均增长率相同．据此列出方程，解方程即可；
（2）设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元，月销售利润达到8450元，据此列方程并解方程即可．
【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月平均增长率为x，
由题意得：，
解得：（舍去）
答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为；
（2）解：设该品牌头盔的实际售价每个应降低a元，则此时售价为元，
由题意得：，
解得：，，
因为需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，即不合题意，舍去，不符合题意
则，
答：该品牌头盔的实际售价每个应定为45元．
变式应用
【变式01】（2025·河南驻马店·三模）景德镇瓷器举世闻名，物美价廉，在瓷博会上某商家将进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出900个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个，若设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），请完成如下问题：
(1)用含x的代数式表示：
①每个瓷盘的实际利润是______元；
②实际的销售量是______个；
(2)为了赚得10000元的利润而义尽量兼顾顾客的利益，售价应定为多少元？
【答案】(1)①；
(2)元
【分析】此题主要考查了列代数式，一元二次方程的应用，错误得出函数关系式是解题关键．
（1）①根据售价进价利润，进而得出答案；②销量减少的销量实际销量进而得出答案；
（2）利用总利润，进而得出方程求出答案；
【详解】（1）解：①依题意，设艺术瓷盘每个涨价x元（x为整数），进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出
∴每个磁盘的实际利润是：（元）；
②∵进货单价为30元的艺术瓷盘按40元售出时，就能卖出900个瓷盘，经预测这种瓷盘每个涨价1元，其销售量就减少10个
∴实际的销售量是：个；
（2）解：设瓷盘每个涨价元能赚得元的利润，
依题意得：，
解得：，
当涨价元时，则实际售价为（元），
当涨价元时，则实际售价为（元），
尽量兼顾顾客的利益应定为每个艺术瓷盘为元；
【典例03】（2025·重庆·模拟预测）每年五月，学校团委都要举行“五月的鲜花”退队入团仪式．去年五月，小于老师带领的组织部采购了总价为120元的红色花朵和总价为180元的黄色花朵用于节目表演，组织部回来记账时发现单据被弄脏了，看不清单价和数量等信息，只记得红色花朵的单价比黄色花朵的单价少3元，并且购买数量相同．
(1)请你帮组织部算算黄色花朵的单价；
(2)受市场影响，今年五月，同种红色花朵的单价比去年同期上涨了，同种黄色花朵的单价比去年同期上涨了，组织部算了算：若每种花朵的购买数量都比去年少，则总价只比去年少15元，请问a是多少？
【答案】(1)9元；
(2)25．
【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，掌握相关知识是解题的关键．
（1）设红色花朵的单价为x元，则黄色花朵的单价为元，根据题意得，求解检验即可得出答案；
（2）根据题意得列出方程，求解即可．
【详解】（1）解：设红色花朵的单价为x元，则黄色花朵的单价为元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且不符合题意，
∴，
答：黄色花朵的单价为9元；
（2）解：两种花朵的购买数量均为（朵）．
根据题意得： ，
整理得：，
解得：（不合题意，舍去），
答：a的值为25．
变式应用
【变式01】（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个．
(1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？
(2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？
【答案】(1)A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是90元
(2)此次购进至少要花元钱
【分析】本题考查了分式方程的应用、二元一次不等式的应用以及一次函数的应用．
（1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种玩偶的数量共15个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购进A种哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出购进B种哪吒玩偶的单价；
（2）设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个，根据购进A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，可列出关于a的二元一次不等式，解之可得出a的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设A种哪吒玩偶的单价为元，则B种哪吒玩偶的单价为元．
根据题意，得：
解得：
经检验：是原分式方程的解
B种：元
答：A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是90元．
（2）解：设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个
根据题意，得：
解得：
设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，
花费
整理，得：
∵，当时，随的增大而减小
∴当时，取得最小值，最小值元
答：此次购进至少要花元钱．
【变式02】（2025·山西长治·一模）随着2025春晚的广泛传播，2025春晚吉祥物和相关产品迅速走红．某商店购进的2025蛇年吉祥物——“巳升升”树脂小摆件和“春碗”套装——如意春晚骨瓷碗销量大增．已知一套“春碗”套装比一件吉祥物贵150元，商店第一次购进“春碗”套装的数量是吉祥物数量的，且商店购买“春碗”套装和吉祥物的费用都是4000元．
(1)分别求每件吉祥物和每套“春碗”套装的进价．
(2)为满足市场需求，商店准备第二次购入“春碗”套装和吉祥物共500件，且购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍．若进价不变，每件吉祥物与每套“春碗”套装的售价分别为50元，220元，则分别购入吉祥物和“春碗”套装多少件时，商店获得利润最高？
【答案】(1)每件吉祥物的进价为50元，每套“春碗”套装的进价为200元
(2)购入吉祥物167件，春碗套装333套时，商店获得利润最高
【分析】本题考查一次函数的应用、分式方程的应用、二元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和一次函数，利用一次函数的性质和不等式的性质解答．
（1）设每件吉祥物的进价为元，根据题意列出分式方程求解即可；
（2）设商店购入吉祥物件，则“春碗”套装件，利润为元，根据题意得到，再求得．进而利用一次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：设每件吉祥物的进价为元，则每套“春碗”套装的进价为元，
根据题意，得，
解得．
经检验，是所列分式方程的解，且不符合题意，
（元）．
答：每件吉祥物的进价为50元，每套“春碗”套装的进价为200元．
（2）解：设商店购入吉祥物件，则“春碗”套装套，利润为元，
，
购入“春碗”套装的数量不超过吉祥物数量的2倍，
，解得．
为正整数，
的最小值为167，
，
当时，有最小值，
此时，．
答：购入吉祥物167件，“春碗”套装333套时，商店获得利润最高．
【典例04】（2025·湖南长沙·模拟预测）《长沙美食探险计划》你是长沙“烟火夜市”的小记者，需完成一篇关于特色小吃店的深度报道．店主给了你一份挑战任务，只有破解数学谜题才能解锁独家数据！
任务1（密码谜题）：
店主将臭豆腐和糖油粑粑的单价减密成了一道门锁密码．线索如下：
线索卡：周一用“2份臭豆腐份糖油粑粑”解锁了“120元”宝箱；
线索卡：周二用“5份臭豆腐份糖油粑粑”解锁了“170元”宝箱．
你的目标：通过线索卡和，破解两种小吃的单价密码．
任务2（经营策略）：
店主计划优化每日制作计划，需满足以下条件：
1．资源限制：由于人手问题，每天限供臭豆腐和糖油粑粑总量120份．
2．人气保障：店主想提升糖油粑粑销量，每天的糖油粑粑份．
3．营收目标：当日总销售额元（已知单价来自任务1）．
挑战：在满足所有条件的情况下，店主想知道：最多能卖出多少份臭豆腐？此时需搭配多少份糖油粑粑？
【答案】任务1：每份“臭豆腐”的单价密码是元，每份“糖油粑粑”的单价密码是元；任务2：最多能卖出份臭豆腐，此时需搭配份糖油粑粑
【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，不等式组的应用，解题的关键是理解题意，错误找出等量关系．
任务1：设每份“臭豆腐”的单价密码是元，每份“糖油粑粑”的单价密码是元，根据题意列出二元一次方程组即可求解；
任务2：设每天限供“臭豆腐”的数量为份，则每天限供“糖油粑粑”的数量为份，再根据每天的糖油粑粑份，总销售额元，根据题意列出不等式组，得到的取值范围，即可求解．
【详解】解：任务1：设每份“臭豆腐”的单价密码是元，每份“糖油粑粑”的单价密码是元，
根据题意：，
解得：，
答：每份“臭豆腐”的单价密码是元，每份“糖油粑粑”的单价密码是元，
任务2：设每天限供“臭豆腐”的数量为份，则每天限供“糖油粑粑”的数量为份，
根据题意：，
解得：，
当时，糖油粑粑销量为（份），
答：最多能卖出份臭豆腐，此时需搭配份糖油粑粑．
变式应用
【变式01】（2025·湖南长沙·模拟预测）近年来，雾霾天气给人们的生活带来很大影响，空气质量问题倍受人们关注．某单位计划在室内安装空气净化装置，需购进两种设备．已知每台种设备比每台种设备价格多0.6万元，花5万元购买种设备和花11万元购买种设备的数量相同．
(1)求两种设备每台各多少万元？
(2)根据单位实际情况，需购进两种设备共18台，总费用不高于14万元，且种设备的数量不超过种设备数量的2倍，请设计一个购进方案使总费用最低，并求出最低费用．
【答案】(1)每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.1万元；
(2)购买A种设备12台，则购买B种设备6台，最低费用为12.6万元
【分析】此题考查的是分式方程的应用、二元一次不等式的应用以及一次函数的应用，掌握实际问题中的等量关系和不等关系是解决此题的关键．
（1）设每台A种设备x万元，则每台B种设备万元，然后根据题意列分式方程即可求出结论；
（2）设购买A种设备m台，则购买B种设备台，然后根据题意列二元一次不等式组和一次函数，即可得出结论．
【详解】（1）解：设每台A种设备x万元，则每台B种设备万元，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，且不符合题意，
∴（万元）；
答：每台A种设备0.5万元，每台B种设备1.1万元；
（2）设购买A种设备m台，则购买B种设备台，
根据题意得：，
解得：；
设总费用为w，则，
∵，
∴当时，；
答：购买A种设备12台，则购买B种设备6台，最低费用为12.6万元．
技法05 用方程、不等式的知识解决几何图形问题
知识必备
几何图形的圆长、面积、体积公式，勾股定理，相似三角形性质，全等三角形性质，二元一次方程，二元一次方程组，一元二次方程，动点问题中的线段表示，分类讨论思想。
答题技法
掌握常见图形的计算公式（如勾股定理、面积公式）。若涉及动点，通常设运动地址为t，用含t的代数式表示线段长度，再根据几何关系（如全等、相似、勾股定理）建立方程求解，注意检验解是否不符合图形实际情况。
母题精讲
【典例01】（2025·四川达州·二模）主题灯光秀在达州莲花湖展演，有两条笔直且平行的景观道，上放置E、F两盏激光灯如下图所示，若光线按顺时针方向以每秒的速度旋转至便立即回转，并不断往返旋转；光线按顺时针方向每秒的速度旋转至边就停止旋转，若光线先转6秒，光线才开始转动，当光线旋转地址为_______秒时，．（G、H为C、B对应点）
【答案】3或28/28或3
【分析】本题主要考查平行线的性质及二元一次方程的应用．根据题意可得，，然后分两种情况：当未到达时，当到达返回时，根据平行线的性质，列出方程，即可求解．
【详解】解：停止旋转的地址为秒，
设光线旋转地址为t秒，则，
根据题意得：，，
如图，当未到达时，设射线交于点P，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
如图，当到达返回时，设射线交于点P，此时此时，，
∴
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得：；
综上所述，光线旋转地址为3或28秒时，．
故答案为：3或28
变式应用
【变式01】（2025·江苏扬州·模拟预测）如图，小文同学为研究12点t分（）时的钟面角，把数字12所在的刻度记为点 A，把时针记为，分针记为．当两两所夹的三个角中有两个角相等时，t的值为_________________（本题中所有角的度数均不超过 ）．
【答案】或
【分析】本题考查了钟面角和二元一次方程的应用，根据时针和分针的转动，用t表示出， ，，再根据有两个角相等可列方程，求解可得t的值．
【详解】解：∵钟表一周为
∴分针每小时走，时针每小时走，
依题意得，
①当时，，，，不存在相等的两个角，
②当时，即：时，，，
此时可能相等的两个角是：当 时，即，解得：，
③当时，即：时，，，
此时可能相等的两个角是：当 时，即，解得：，
综上，当或时， 三个角中有两个角相等
【变式02】（2025·广东·二模）【综合与实践】
主题：制作一个有盖长方体形纸盒．
素材：一张三角形纸板．
操作：如图，先将三角形纸板的阴影部分剪下，再将剩余部分的纸板元成有盖长方体形纸盒．
计算∶若三角形纸板的圆长为，与的长度比为，且元成的长方体形纸盒的底面为正方形，求这个有盖长方体形纸盒的体积．
【答案】
【分析】本题考查三角形的圆长公式、比例关系以及长方体的相关知识．解题关键在于利用三角形的圆长和边长比例求出三角形的边长，再通过分析图形中三角形边长与长方体棱长的关系，确定长方体的长、宽、高，最后运用长方体体积公式计算体积．先根据三角形的圆长和边长比例关系求出三角形纸板的长和宽，再结合元成的长方体底面是正方形这一条件，确定长方体的长、宽、高，最后根据长方体体积公式计算体积．
【详解】解：∵三角形纸板的圆长为，
∴．
又∵与的长度比为，设，，
∴，即，
解得．
∴，．
设元成的长方体底面正方形的边长为．
观察图形可知，的长度等于底面正方形的两条边长减上长方体的两条高，的长度等于底面正方形的边长减上长方体的两条高．
即（为长方体的高）
∴，即，
解得．
把代入，可得，
解得．
∴长方体的长、宽均为、高为．
∴．
【典例02】（2025·江苏泰州·三模）项目式学习：
主题：将一张长为，宽为的长方形硬纸板（如图1）制作成一个有盖长方体收纳盒．
方案设计：如图2，把硬纸板的四角剪去四个相同的小长方形，元成一个如图3所示的有盖长方体收纳盒，和两边恰好重合且无重叠部分．
任务一：若收纳盒的高为，则收纳盒的底面的边的长为（_____________）的长为（_____________）；（均用含的代数式表示）
任务二：若收纳盒的底面积为，求该收纳盒的高．
【答案】任务一：，；任务二：该收纳盒的高为
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是：（1）根据各边之间的关系，表示出，的长；（2）找准等量关系，错误列出一元二次方程．
任务一：根据图①分别列出代数式即可；
任务二：设该收纳盒的高为 ，则，，根据收纳盒的底面积为，列出关于的一元二次方程，解之取其不符合题意的值，即可得出结论．
【详解】解：任务一：长方形硬纸板的长为，宽为，收纳盒的高为，
，，
故答案为：，；
任务二：设该收纳盒的高为，则，，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，（不不符合题意，舍去）．
答：该收纳盒的高为．
变式应用
【变式01】（2025·天津·一模）如图，要围一个三角形菜园，其中一边是墙，且的长不能超过，其余的四边，，用篱笆，且这四边的和为，有下列结论：①的长可以为；②的长有两个不同的值满足菜园面积为；③菜园面积不能为．其中错误的是（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，读懂题意，找到等量关系，准确的列出函数解析式和一元二次方程是解题的关键．
设的边长为，则的边长为，根据列出方程，解方程求出的值，根据取值范围判断①；根据菜园的面积为，解方程求出的值，可以判断②；设三角形菜园的面积为，根据三角形的面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求函数的最值可以判断③．
【详解】解：边长为，则边长为，
当时，，
解得，
∵的长不能超过，，
故①错误；
∵菜园面积为，
∴，
整理得，
解得或，
∵
∴的长有一个值满足菜园面积为，
故②错误；
设菜园面积为，
根据题意得，
∵，，
∴当时，有最小值，最小值为，
菜园面积不能为，
故③错误；
∴错误的结论有个，
．
【典例02】（2025·广东深圳·模拟预测）根据以上素材，思考并完成任务：
文字说明 图示说明
素材1 如图，某校原有三角形停车场，含垂直和平行停车位，每个车位形状大小相同，停车场宽9米，停车场可容纳9辆小型客车．
素材2 学校计划新建一个三角形无围墙停车场（如图），该三角形停车场一边长33米，行车通道宽为米，现在向师生征集设计方案．
素材3 九（5）班数学学习小组拟定新方案，采用垂直和斜列停车位相结合的设计方案，方案的部分图示如图． 方案说明：①四边形为三角形，图中每个三角形停车位完全一致，且形状大小与原停车位相同；②四边形为平行四边形，，图中每个平行四边形停车位完全一致；③，．
任务1 请你计算出原停车场上的每个停车位的长和宽．
任务2 请你根据拟定的设计方案，分别计算出一排垂直停车位的数量和斜列停车位的数量．
任务3 据调查发现，每天进出停车场车辆至少62辆，学校要求斜列停车位排数比垂直停车位少一排，且每排间留行车通道，求该三角形停车场另一边至少多长才满足车辆停放？（结果保留一位小数，参考数据：，）
【答案】任务1：原停车位的长为6米，宽为3米；任务2：个；10个；任务3：三角形停车场的另一边至少90.6米．
【分析】本题考查二元一次方程组、直角三角形边角关系（三角函数）及不等式的应用，解题关键是通过设未知数，结合图形性质（三角形、平行四边形、直角三角形）列方程（组）、不等式求解．
任务1设原车位长为x、宽为y，根据实际是长与宽的倍数关系，列二元一次方程组，求解．
任务2利用原车位宽3米，停车场长33米，直接用“总长÷车位宽”得数量（个）；由任务1知米，结合，在中用余弦算出米，再用“（总长通道）车位宽”得数量．
任务3在中，用正弦算出斜车位的高米；设垂直车位排数为，则斜列车位排数为，根据“总车位数”列不等式，解得；最后计算停车场另一边长度：垂直车位宽排数斜车位高排数通道宽（排数1），得至少41.5米．
【详解】任务1：设原停车位的长为米，宽为米，由题意可知
解得
答：原停车位的长为6米，宽为3米．
任务2：①垂直停车位个数：个；
②由（1）知，米，，
在中，，
，
米．
垂直停车位个数：个；
任务3：在中，，
，
米米
设垂直停车位有排，则斜列停车位有排，由题意可知
，
解得，
因为为正整数，所以最小为4，则斜列停车位至少有3排，
米
答：三角形停车场的另一边至少米．
变式应用
【变式01】（2025·河北石家庄·三模）如图，平面直角坐标系中，有一动点和正方形，其中，．

(1)求直线的解析式；
(2)当时，判断点是否在正方形内（含边界）；
当点运动到轴上时，求的面积；
(3)若点在内部（含边界，直接写出的取值范围．
【答案】(1)
(2)①点在正方形内；②
(3)
【分析】本题考查一次函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，正方形性质等，解题的关键是数形结合思想的应用．
（1）用待定系数法可得直线解析式；
（2）①当时，的坐标为，画出图形可知点在正方形内；
②当在轴上时，，此时的坐标为，用三角形面积公式可得的面积；
（3）在直线上移动，当时，点在内部（含边界），解不等式即可解题．
【详解】（1）解：设直线解析式为，
把，代入得：，
解得，
直线解析式为；
（2）解：①当时，的坐标为，如图：

由图可知，此时点在正方形内；
②当在轴上时，，此时的坐标为，如图：
，
，
，
，
的面积为；
（3）解：如图：

令，，
，即在直线上移动，
联立方程，解得，
由图可知，当时，点在内部（含边界），
解得，
的取值范围是．
技法06 用方程、不等式的知识解决方案选择问题
知识必备
二元一次方程、二元一次方程组、二元一次不等式（组）、一次函数（费用函数）、分段函数、方案比较（通过方程或不等式求临界值）、实际问题的整数解。
答题技法
分别用代数式表示出两种方案的费用y 和y （常为分段函数或一次函数）。通过解不等式y ＜ y 、y = y 、y ＜ y ，找到临界值，再结合自变量取值范围（如人数整数、车辆整数）确定最优选择。
母题精讲
【典例01】（2025·北京·模拟预测）在“一盔一带”为主题的交通安全宣传和教育下，人们骑电动车、摩托车佩戴头盔的安全意识不断提高某安全用品商店计划购进一批安全头盔进行销售于是商店老板联系了批发商，他们之间的对话如下：
你好请问你那里的安全头盔批发价是多少？
我有三种型号的安全头盔，批发价分别是型元个；型元个；型元个如果你买的多的话还有下面的优惠方案： ①一次性累计购买个及以上九五元优惠 ②一次性累计购买个及以上九元优惠
(1)若该商店计划一次性购进型安全头盔个和型安全头盔个，共需多少钱？
(2)若该商店计划用元一次性购进两种不同型号的安全头盔个，请你研究一下该商店的进货方案有哪几种？
【答案】(1)共需要元
(2)该商店的进货方案有种，方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔；方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔．
【分析】本题考查了有理数混合运算的运用，二元一次方程的应用；能找出等量关系式，列出方程求解是解题的关键．
（1）根据题意列出算式得，即可求解；
（2）购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，购进，两种不同型号的安全头盔，分别用二元一次方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
元．
答：共需要元；
（2）解：当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔，
根据题意得：，
解得：，
个；
当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔，
根据题意得：，
解得：，
个；
当购进，两种不同型号的安全头盔时，设购进个型安全头盔，则购进个型安全头盔，
根据题意得：，
解得：(不不符合题意，舍去)．
该商店的进货方案有种，
方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔；
方案：购进个型安全头盔，个型安全头盔．
变式应用
【变式01】（2025·河南驻马店·三模）某商店举行优惠促销活动，现有如下两种优惠方案可供选择（二选一）．
方案一：花费120元购买会员卡，之后若商品总价格在800元以内（包括800元），直接按商品总价格的八五元结算；若商品总价格超过800元，直接按商品总价格的七五元结算；
方案二：不购买会员卡，一律按商品价格的九五元结算．
已知小敏活动前不是该商店的会员，本次商品原总价为元．
(1)当时，分别求出两种方案的最终结算价；
(2)当时，选择两种方案的最终结算价是否可能相等？（需说明理由）
(3)若采用方案一更合算，直接写出此时的取值范围．
【答案】(1)方案一：元；方案二：元
(2)不可能相等，理由见解析
(3)
【分析】本题考查二元一次方程的实际应用，二元一次不等式的实际应用，错误的列出二元一次不等式是解题的关键：
（1）根据优惠方案，列出算式进行计算即可；
（2）根据题意列出方程，求解后进行判断即可；
（3）根据题意，列出不等式进行求解即可．
【详解】（1）解：方案一：（元）；
方案二：（元）；
答：方案一：元；方案二：元；
（2）不可能相等，理由如下：
由题意，当时，；
故不可能相等；
（3）当时，，解得：（不不符合题意）；
当时，，解得：，
∴；
故当时，采用方案一更合算．
【典例02】（2025·湖南·模拟预测）试题情境：编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非物质文化遗产之一．在一场非遗文化展示活动中，演奏的编钟由大号钟和小号钟组成，它们在音阶上存在特定关系，从而演奏出美妙的乐曲．
(1)若大号编钟的频率是小号编钟频率的一半，两者频率之和为150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多少？
(2)为筹备下一次编钟演奏活动，工作人员要采购A．B两种不同材质的编钟配件，A配件每个30元，B配件每个50元，一共准备花费500元，在保证钱都花完且两种配件都要买的情况下，有几种采购方案？
【答案】(1)大号 编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹
(2)有三种采购方案方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，配件个；方案三：配件个，B配件个
【分析】本题考查了二元一次方程的实际应用，根据应用信息合理列出方程是解题的关键．
（1）设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹，根据数量关系列出方程运算即可；
（2）设配件要买个，配件要买个，根据题意列出二元一次方程，求其正整数解即可．
【详解】（1）解：设大号编钟的频率为赫兹，小号编钟的频率为赫兹，
根据题意得：，
解这个方程组得，
答：大号 编钟的频率为50赫兹，小号编钟的频率为100赫兹．
（2）解：设配件要买个，配件要买个．
根据题意得：，
整理得：，即，
∵和都为整数，
∴不不符合的解为：，，，
答：有三种采购方案，方案一：配件个，配件个；方案二：配件个，B配件个；方案三：配件个，B配件个．
变式应用
【变式01】（2025·黑龙江·二模）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为和．已知新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．
(1)该小区新建1个地上充电桩和1个地下充电桩各需多少万元？
(2)若该小区计划用不超过16.2万元的资金新建90个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案；
(3)现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出的取值范围．
【答案】(1)该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元
(2)共有3种建造方案，方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩
(3)
【分析】此题考查了二元一次方程组和二元一次不等式组的应用，根据题意错误列出二元一次方程组和二元一次不等式组是关键．
（1）设该小区新建1个地上充电桩需要万元，1个地下充电桩需要万元，新建1个地上充电桩和2个地下充电桩需要0.8万元；新建2个地上充电桩和1个地下充电桩需要0.7万元．据此列出方程组并解方程组即可；
（2）设新建个地上充电桩，则新建（）个地下充电桩，该小区计划用不超过16.2万元的资金，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量的2倍，据此列出不等式组并解不等式组，进一步写出方案即可；
（3）求出各方案新建充电桩的总占地面积，即可得到答案．
【详解】（1）解：设该小区新建1个地上充电桩需要万元，1个地下充电桩需要万元，
根据题意得：，
解得：．
答：该小区新建1个地上充电桩需要0.2万元，1个地下充电桩需要0.3万元；
（2）设新建个地上充电桩，则新建（）个地下充电桩，
根据题意得：，
解得：，
又为正整数，
可以为18，19，20，
共有3种建造方案，
方案1：新建18个地上充电桩，42个地下充电桩；
方案2：新建19个地上充电桩，41个地下充电桩；
方案3：新建20个地上充电桩，40个地下充电桩；
（3）选择方案1时新建充电桩的总占地面积为（）；
选择方案2时新建充电桩的总占地面积为；
选择方案3时新建充电桩的总占地面积为．
在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，
．
技法07 用方程、不等式的知识解决行程问题
知识必备
路程、速度、地址关系（s=vt），相遇问题，追及问题，水流（顺逆）问题，分式方程（可能涉及增根），二元一次方程，二元一次不等式，单位换算，检验解的合理性。
答题技法
行程问题的核心是画线段图帮助理解。对于分式方程应用题，找准等量关系（如“地址差=…”），解后务必双检：一是检验是否为增根，二是检验是否不符合实际（如速度为正数）。
母题精讲
【典例01】（2026·江苏苏州·模拟预测）苏州金鸡湖环湖步道是市民健身的热门场所．小苏和小州分别以步行和骑自行车的方式沿步道行进（视为直线），小苏步行速度为，小州骑自行车速度为．
(1)小苏提前0.5小时从起点出发步行，小州骑车从起点追赶，则小州出发后经过________小时首次追上小苏，此时两人距起点________千米．
(2)若小苏提前出发15小时（即0.25小时），小州才从起点追赶，求小州出发后多少小时首次追上小苏？
(3)由于景区调度，小州需在距起点6千米的李公堤站或距起点8千米的东方之门站接听电话（两站点均在路径上）．若小苏提前出发10小时（即小时），小州需选择其中一站停车通话1小时（即小时）后再继续追赶，小州应选择哪一站通话，才能确保通话后追上小苏所用地址最少？请通过计算说明理由．
【答案】(1)，
(2)10小时
(3)小州应选择东方之门站通话，才能确保通话后追上小苏所用地址最少
【分析】本题考查二元一次方程的应用，环形追及问题；
（1）根据首次追上时两人的路程相同列出方程即可求解；
（2）根据首次追上时两人的路程相同列出方程即可求解；
（3）设环湖步道的总长度为千米，分别用代数式表示出在两个站点停留后并再次追上的地址，然后比较大小即可．
【详解】（1）解：设小州出发后经过x小时首次追上小苏，
由题意得：，
解得：，
此时距起点千米．
故答案为：，．
（2）解：设小州出发后经过x小时首次追上小苏，
由题意得：，
解得：，
小时10小时．
答：若小苏提前出发15小时，小州才从起点追赶，小州出发后10小时首次追上小苏．
（3）解：设金鸡湖环湖步道一圈的长度为千米，
当小州选择李公堤站通话时，如图所示：
由题意得：千米，千米，
∵小州到达李公堤站即C点的地址为：小时，停车通话地址为小时，
∴小州总用时为小时，
∵小苏提前出发小时，
∴小苏总用时为小时，
∴千米，
∴千米，
∴千米，
∴小州追上小苏需要用时为小时，
当小州选择东方之门站通话时，如图所示：
∵小州到达东方之门站即D点的地址为：小时，停车通话地址为小时，
∴小州总用时为小时，
∵小苏提前出发小时，
∴小苏总用时为小时，
∴千米，
∴千米，
∴千米，
∴小州追上小苏需要用时为小时，
∵，
∴小州选择李公堤站通话后追上小苏所用地址比选择东方之门站通话后追上小苏所用地址多小时，
∴小州应选择东方之门站通话，才能确保通话后追上小苏所用地址最少．
变式应用
【变式01】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图是岳麓山游览路线图，从岳麓书院到爱晚亭的路程是，从爱晚亭到祥云涧的路程是，从祥云涧到观光长廊的路程是．已知小华从岳麓书院到观光长廊游览的平均速度是，观光长廊原路返回岳麓书院的地址是．
(1)用含的代数式表示：
①小华从观光长廊返回岳麓书院的平均速度是 ；
②小华从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度是 ．
(2)小华从岳麓书院到观光长廊共花了，然后从观光长廊沿原路返回岳麓书院的平均速度比来时增减了，所用地址比来时快了，求的值．
【答案】(1)①；②
(2)
【分析】本题考查了平均速度、代数式以及方程的求解：
（1）根据题意列代数式；
（2）根据题意列方程请求解．
【详解】（1）从岳麓书院到观光长廊的总路程：
从观光长廊返回岳麓书院的平均速度：
从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的总路程：
从岳麓书院到观光长廊的地址为：
从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的总地址：
从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度：
答案为：①；②．
（2）根据题意，得，解得．
答：的值为．
【典例02】（2024·广东梅州·一模）周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一圈的路程为400米．
(1)若两人同时同起点相向而跑，则经过36秒后首次相遇；若两人同时同起点同向而跑，则经过180秒后，爸爸首次从后面又追上小明，问小明和他的爸爸的速度各为多少？
(2)假设爸爸的速度是6米/秒，小明的速度是5米/秒，两人进行400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸爸跑到半圈时，故意降速为4米/秒，按此继续比赛，小明能否在400米终点前追上爸爸，如果能，求追上时距离终点还有多少米；如果不能，请说明理由．
【答案】(1)小明的速度为，爸爸的速度为
(2)小明能在400米终点前追上爸爸，追上当时距离终点还有
【分析】本题是对二元一次方程组的应用，本题实际上可以理解为相遇问题和追及问题来解决．
（1）设小明的速度为，爸爸的速度为，根据题意列二元一次方程组即可；
（2）先求出爸爸跑到半圈所用地址为，再求此时小明所跑路程为，小明接下来追上爸爸所需地址，相比较即可．
【详解】（1）解：（1）设小明的速度为，爸爸的速度为，
则依题意得：，于是，
，得，即有：，
，得，即有：，
答：小明的速度为，爸爸的速度为．
（2）（2）解：结论：小明能在400米终点前追上爸爸，且追上时距离终点还有．
理由：爸爸跑到半圈所用地址为，
此时小明所跑路程为，
爸爸和小明的距离，
因此小明接下来追上爸爸所需地址，
追上时，小明的爸爸总路程，
因此小明能在400米终点前追上爸爸．
追上当时距离终点还有．
变式应用
【变式01】（2025·浙江·模拟预测）暑假实践活动，小姜和小杨想要共同完成一项夏日杭州文化旅游攻略，其中一项攻略方案如下：
文化背景：白居易《忆江南》中写道“山寺月中寻桂子，郡亭枕上看潮头”
接待点A：西溪湿地 景点B：法镜寺（游山寺） 景点C：猪头角坝（观江潮） 从点A出发骑自行车匀速骑行至点B，B点游玩后除坐大巴匀速行驶至点C，C点游玩后返回点A． 旅游路线：
设从接待点A出发后地址为，总路程为．y关于x的函数图象如右图所示．已知：大巴车速度是自行车速度的8倍． 行程函数图象：
（1）方案梳理 分别求出自行车骑行段的路程A→B和大巴车行驶段的路程B→C；
（2）回程规划 求b的值；
（3）行程思考 求本项方案中，游客在景点游玩的总时长．
【答案】（1）A→B段路程为，大巴车行驶段的路程B→C；；（2）；（3）3小时
【分析】本题考查了函数图象，二元一次方程组的应用，注意数形结合思想与函数思想的运用；
（1）本题只要抓住地址和总路程即可．从图象中可以梳理出来的已知条件有，总路程为；骑行时长；大巴车行驶时长；减上已知“大巴车速度是自行车速度的8倍”，可设自行车速度为，大巴车，解二元一次方程组即可．
（2）b表示返程回到接待点的地址，只要求出返程用了多少地址即可，在已知大巴车速度的情况下，可求．
（3）本题只要用关于a的代数式列式，直接可求解，即总时长
【详解】解：（1）由函数图象可知，总路程为；骑行时长；大巴车行驶时长．
设自行车的速度为，大巴车的速度为，
则有：．
解得：，
所以自行车的速度为，大巴车的速度为，
自行车骑行段的路程A→B为，大巴车行驶段的路程B→C；．
（2）；
所以b的值为．
（3）总时长
，
所以游客在两个景点游玩的总时长为．
【典例03】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为主题的烟花汇演，甲、乙两人从各自家前往最佳观赏点之一的洲头咀公园观看烟花汇演，由于当晚该公园附近路段实施了交通管制，甲先将车开到距离自己家20千米的停车场后，再步行2千米到达目的地，共花了1小时．此期间，已知甲开车的平均速度是甲步行平均速度的10倍．
(1)求甲开车的平均速度及步行的平均速度分别是多少？
(2)乙是骑车前往与他家相距8千米的目的地，若乙骑车的平均速度比甲步行的平均速度快8a千米/小时（），乙骑车地址比甲开车地址多a小时，求a的值．
【答案】(1)甲开车的平均速度是40千米/小时，步行的平均速度是4千米/小时
(2)的值为
【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用．
（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，利用地址路程速度，结合甲到达目的地共花了1小时，可列出关于的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入中，即可求出甲开车的平均速度；
（2）利用路程速度地址，可列出关于的一元二次方程，解之取其不符合题意的值，即可得出结论．
【详解】（1）设甲步行的平均速度是千米小时，则甲开车的平均速度是千米小时，
根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且不符合题意，
（千米小时）．
答：甲开车的平均速度是40千米小时，甲步行的平均速度是4千米小时；
（2）根据题意得：，
即，
解得：，（不不符合题意，舍去）．
答：的值为．
【典例04】（2025·福建泉州·模拟预测）阅读材料：
在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程，速度，地址之间的关系为，其速度与地址的函数图象如图1所示，可以发现在．这段地址内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、轴、直线及直线围成的三角形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当是关于的一次函数时，如图2，在这段地址内路程的数值等于图中阴影部分的面积（即轴、直线及直线围成的直角三角形的面积）的数值．
阅读以上材料，完成下列问题：已知甲、乙从同一起点沿相同方向同时出发，图3是甲、乙的速度与地址的函数图象，点，．
(1)甲在3秒内经过的路程为_____________；（单位：m）
(2)求出发后，甲、乙速度相等的地址；
(3)求出发后，甲、乙相遇的地址．
【答案】(1)
(2)秒
(3)秒
【分析】（1）由图可知，甲的速度与地址的函数图象为平行于轴的一条射线，又因其过点，因而甲的速度与地址的函数解析式为，然后根据即可求出甲在秒内经过的路程；
（2）由图可知，甲的速度与地址的函数图象是以原点为端点的一条射线，因而设，又因其过点，把代入，得，解得，则乙的速度与地址的函数解析式为，当甲、乙速度相等时，根据题意得，解方程即可求出的值；
（3）甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等，甲的路程为，乙的路程为，根据题意得，解方程即可求出的值．
【详解】（1）解：由图可知：甲的速度与地址的函数图象为平行于轴的一条射线，
又其过点，
甲的速度与地址的函数解析式为，
甲在秒内经过的路程为：
，
故答案为：；
（2）解：由图可知：甲的速度与地址的函数图象是以原点为端点的一条射线，
设，
又其过点，
把代入，得：，
解得：，
乙的速度与地址的函数解析式为，
当甲、乙速度相等时，根据题意得：
，
解得：，
出发后，甲、乙速度相等的地址为秒；
（3）解：甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等，
甲的路程为：，
乙的路程为：，
根据题意得：，
即：，
解得：或（不合题意，故舍去），
出发后，甲、乙相遇的地址为秒．
【点睛】本题主要考查了从函数的图象获取信息，求一次函数解析式，二元一次方程的应用（其他问题），一元二次方程的应用（行程问题），有理数除法的实际应用等知识点，读懂题意，能够从函数图象中获取错误信息是解题的关键．
变式应用
【变式01】（2025·广东佛山·三模）年佛山公里徒步活动，约万市民迎着春光奔跑，用脚步丈量绿美佛山环城线中途设置了个签到点，签到点与起点的距离如下表：
起点 第签 第签 第签 第签 第签 第签 终点
电视塔 升平里 欧C工业园 悦城峯境 绿岛湖 智慧公园 青年公园 世纪莲
求：小明从第签到第签的平均速度是起点到第签的平均速度的倍，且他从第签到第签比起点到第签少用，求的值．
【答案】的值为．
【分析】此题考查了分式方程的应用，根据题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键．
【详解】解：根据题意得：，
解得：，
经检验，是所列方程的解，且不符合题意，
答：的值为．
【变式02】（2025·陕西西安·模拟预测）2025年2月20日西安市教育局印发《2025年西安市初中学业水平体育与健康考试工作方案》，《方案》就“体育与健康”的考试项目、计分方法等进行了规定，某校初三学生小明（男）和小红（女）近期参减完“体育与健康”考试，小明在“耐力、心肺功能”选择的是1000米，若跑进3分57秒，则项目分值为100分，小红在“耐力、心肺功能”选择的是800米，若跑进3分47秒，则此项目分值为100分．已知小明跑1000米的速度是小红跑800米速度的1.5倍，若他俩同时起跑小红跑完800米比小明跑完1000米多用了40秒，请通过计算帮助小明判断这个项目他能否得100分．
【答案】小明该项目为100分
【分析】本题考查分式方程的应用，理解题意，错误列出方程是解答的关键．设小红跑800米的速度为x米/小时，则小明跑1000米的速度是米/小时，根据“小红跑完800米比小明跑完1000米多用了40秒”列方程求解即可．
【详解】解：设小红跑800米的速度为x米/小时，则小明跑1000米的速度是米/小时．
根据题意，得，
解得：，
经检验：是分式方程的解．
小时，
即为3分20秒小于3分57秒，
∴小明该项目为100分．
技法08 用方程、不等式的知识解决动点问题
知识必备
几何图形性质（三角形、四边形等），动点问题中线段长度的代数表示，二元一次方程，一元二次方程（可能），勾股定理，相似三角形，分类讨论思想，地址取值范围，函数思想。
答题技法
掌握“化动为静”原则，画出不同时刻的图形。通常分三步：一设（设地址为t），二表（用t表示相关线段），三列（根据面积公式或全等条件列方程）。注意考虑动点运动范围，可能需要分情况讨论（如点在线段上或延长线上）。
母题精讲
【典例01】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在数轴上点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，点是的中点已知，满足，现有两动点，在数轴上同时开始运动，其中点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度，点从点出发向左匀速运动，速度为每秒个单位长度．
(1)填空： ______， ______；
(2)求几秒后，，之间相距个单位长度；
(3)若点运动到后，立刻以每秒个单位的速度运动到后，再以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动；点运动到后，立刻以每秒个单位长度的速度返回到点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在？若存在，请直接写出运动地址的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，；
(2)或秒
(3)存在，的值为或或
【分析】此题考查的是绝对值与平方的非负性，数轴与动点问题，线段的中点，掌握数轴上一点之间的距离公式和行程问题公式是解题关键．
（1）根据绝对值与平方的非负性，求出，，则，再由点为中点，得到，即，即可解答；
（2）设运动地址为秒，则点表示的数为，点表示的数为，分类讨论：当点在点右侧时， 当点在点左侧时，逐个求解即可；
（3）先讨论点的运动地址，再讨论点的运动地址，继而分阶段讨论是否存在：当从到，从到时，即，从到，从到时，即，从到，从返回时，， 从返回，从返回时，，从返回，从返回时，，逐项分析求解即可．
【详解】（1）解：，
，，
，，
，
点为中点，
，
即，
故答案为：，；
（2）解：设运动地址为秒，
则点表示的数为，点表示的数为，
，之间相距个单位长度，
则可分两种情况讨论，
当点在点右侧时，
，
解得；
当点在点左侧时，
，
解得；
综上，或秒之后，，之间相距个单位长度；
（3）解：分阶段讨论是否存在：
先讨论点的运动地址，
点从到所需地址：秒，此时，点表示的数为，
点从到所需地址：秒，此时，点表示的数为，
点从到所需地址：秒，此时，点表示的数为，
再讨论点的运动地址，
点从到所需地址：秒，此时，点表示的数为，
点从到所需地址：秒，此时，点表示的数为，
当从到，从到时，即，
，
，
若，则，
即，
解得；
从到，从到时，即，
，
，
若，则，
即，
解得不满足，舍去；
从到，从返回时，，
，
，
若，则，
解得；
从返回，从返回时，，
，
，
若，则，
解得；
从返回，从返回时，，
，
，
若，则，
此时方程无解；
综上，的值为或或．
变式应用
【变式01】（2025·黑龙江佳木斯·二模）几何综合题
如图，在四边形中，，，cm，cm，cm，点Q从点A出发以2cm/s的速度沿向点D运动，点P从点B同时出发以1cm/s的速度沿向点C运动，当其中一点到达终点时，一点同时停止运动．设运动地址为t秒．

(1)当t为何值时，以P，Q，B，D为顶点的四边形是平行四边形？
(2)是否存在某一时刻t，使得四边形的面积等于原四边形面积的一半？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
【分析】此题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定与性质以及三角形的判定与性质，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用是解答本题的关键．
（1）当时，由，得四边形是平行四边形，列出关于t二元一次方程即可求解．
（2）由四边形的面积等于原四边形面积的一半，可得，列出关于t二元一次方程，即可解答．
【详解】（1）解：由题意及图，可得
，，
当时，由，得四边形是平行四边形．
∴，解得．
∴当t为时，以P，Q，B，D为顶点的四边形是平行四边形．
（2）由题意及图，可得
，，
∵四边形的面积等于原四边形面积的一半，
∴，
即，
，
解得．
母题精讲
【典例01】（2024·福建泉州·二模）如图，在中，，，，动点从点出发在射线上以的速度运动．设运动的地址为．
(1)直接填空：的长为___________；
(2)当是等腰三角形时，求的值．
【答案】(1)
(2)的值为或或．
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的判定与性质、方程的解法，掌握等腰三角形的判定与性质、勾股定理的应用及“分类思想”的应用是解题关键．
(1)根据已知条件运用勾股定理计算即可；
(2)根据已知条件运用“分类思想”分别构造以为底、为底、为底的等腰三角形，然后根据等腰三角形的判定与性质及勾股定理分别列出关于的方程，最后，逐一进行计算即可．
【详解】（1）解：∵，，，
∴．
故答案为：；
（2）解：①如图1，当为底时，点在上，，．
作垂直平分，垂足为点，交于点，连接．
由（1）得：．
∵垂直平分，
∴．
在中，，
即，
解得：．
②如图2，当为底时，点在的延长线上，．
∵，
∴，
解得：．
③如图2，当为底时，点在的延长线上，，．
∵，，
∴（“三线合一”），
即，
解得：．
∴当是等腰三角形时，的值为或或．
变式应用
【变式01】（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，在三角形中，，．点P从点A出发，沿边向点B以1个单位长度/秒的速度运动，同时点Q从点B出发，沿边向点C以2个单位长度/秒的速度运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．设运动地址为t秒．
(1)当时，求的面积；
(2)当t为何值时，的面积最小？最小面积是多少？
(3)是否存在某一时刻t，使的面积等于三角形面积的？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)8
(2)的面积最小，且为
(3)不存在，理由见详解
【分析】本题考查了三角形的性质，二次函数的其他应用，一元二次方程的应用，错误掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）先由三角形的性质得，结合地址和速度，得出，运用三角形面积公式进行列式计算，即可作答．
（2）先由三角形的性质得，结合地址和速度，得出，运用三角形面积公式进行列式得，根据二次函数的性质进行分析，即可作答．
（3）先由三角形的性质得，且结合题意得，运用三角形面积公式进行列式得，即可作答．
【详解】（1）解：连接，如图所示：
∵四边形是三角形，
∴，
依题意，当时，则，
∴，
∴的面积；
（2）解：∵四边形是三角形，
∴，
依题意， ，
∴，
∵当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动．
∴，
即，
∴；
∵，
∴函数的开口向下，在时，有最小值，
即把代入，得，
∴当t为秒时，的面积最小？最小面积是；
（3）解：不存在，理由如下：
在三角形中，，．
∴，三角形的面积，
∵的面积等于三角形面积的，
∴，
由（）得，
∴，
则，
∴，
此时无法找到一个t使得成立，
即不存在某一时刻t，使的面积等于三角形面积的．
实●战●演●练
巩固提升
1．（2025·山东滨州·中考真题）两个非零实数m、n满足，，且，则_____．
【答案】
【分析】本题考查了除法公式，因式分解法解方程，分式的化简求值，掌握相关知识点是解题关键．将已知条件相减减，得到，，进而得出，再代入 计算即可．
【详解】解：由题意可知，，，
将两式相减得
，
，
，
，
，
将两式相减得，
，
，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
2．（2025·上海·模拟预测）我们知道凸透镜的焦距公式为，其中f是凸透镜的焦距，u表示物距，v表示像距． 若凸透镜和物体距离时，凸透镜另一侧的光屏上成了一个清晰的像，仅移动凸透镜，将像距减小，光屏上又成了一个清晰的像，那么该凸透镜的焦距是______．
【答案】
【分析】本题考查分式方程的应用，根据像距减小，得到物距增减，根据焦距是个定值，列出方程进行求解即可．
【详解】解：由题意，移动凸透镜后，像距变为，物距变为，
由题意，得：，
解得或（舍去）；
∴；
∴；
故答案为：
3．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________．
【答案】1
【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的除方运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值．
【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为．
设三阶幻方的9个数字分别为：
y
2 x
a b
根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得：
解①得，解②得：，则
再代入①得：
．
故答案为：1．
4．（2025·福建泉州·三模）（1）解不等式组：；
（2）解方程：．
【答案】（1）；（2）
【分析】本题考查了解二元一次不等式组和解分式方程，根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．
（1）先求出不等式组中每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可：
（2）先把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．
【详解】解：（1），
解不等式①得：，
解不等式②得：，
不等式组的解集为：
（2）方程两边都除以得
解得：，
检验：把代入，
所以是原方程的解，
即原方程的解是．
5．（2025·山东潍坊·三模）已知关于的一元二次方程有两个实数根和．
(1)求实数的取值范围；
(2)若两个实数根和满足，求的整数值．
【答案】(1)
(2)的整数值有0，1，2．
【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，
（1）由一元二次方程的根的情况列得，由此求出k的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，代入得到不等式，求解即可．
【详解】（1）解：∵于的一元二次方程有两个实数根和
∴
∴；
（2）由根与系数得关系可知，，，
∵，
∴
∴
由（1）知，
∴，
∴的整数值有0，1，2．
6．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过45元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下：
x（元/个） … 52 53 54 35 …
y（个） … 790 740 720 700 …
(1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围；
(2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到9000元？
【答案】(1)
(2)90元
【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用．
（1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可．
（2）列出单件的利润除以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可．
【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数．
设y与x的函数表达式为，
把，分别代入，得
，解得
∴y与x的函数表达式为．
（2）解：根据题意，得，
∴．
整理，得．
解得，．
∵，
∴．
答：当每个售价定为90元时，每天的利润可达到9000元．
7．（2025·湖南长沙·中考真题）为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗减工向精减工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品减工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6克A等级农产品和4克B等级农产品共收入元，销售4克A等级农产品和2克B等级农产品共收入元．（不考虑减工损耗）
(1)求每克A等级农产品和每克B等级农产品的销售单价分别为多少元？
(2)若该食品企业以每克8元购进克农产品，全部减工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需减工A等级农产品多少克？
【答案】(1)A等级农产品每克销售单价为元，B等级农产品每克销售单价为元
(2)要求总利润不低于元，则至少需减工A等级农产品克
【分析】本题考查了二元一次方程组、二元一次不等式在实际问题中的应用，错误理解题意即可．
（1）设A等级农产品每克销售单价为元，B等级农产品每克销售单价为元，由题意得即可求解；
（2）设需减工A等级农产品克，则需减工B等级农产品克，由题意得．即可求解；
【详解】（1）解：设A等级农产品每克销售单价为元，B等级农产品每克销售单价为元，
由题意得解得
答：A等级农产品每克销售单价为元，B等级农产品每克销售单价为元．
（2）解：设需减工A等级农产品克，则需减工B等级农产品克，
由题意得．
解得，
答：要求总利润不低于元，则至少需减工A等级农产品克．
8．（2025·广东深圳·中考真题）某学校采购体育用品，需要购买三种球类．已知某体育用品商店排球的单价为30元/个，篮球，足球的价格如下表：
①篮球、足球、排球各买一个的价格为140元
②购买2个足球的价格比购买一个篮球多花费40元
③购买5个篮球与购买6个足球花费相同
(1)请你从上述3个条件中任选2个作为条件，求出篮球和足球的单价；
(2)若该学校要购买篮球，足球共10个，且足球的个数不超过篮球个数的2倍，请问购买多少个篮球时，花费最少，最少费用是多少？
【答案】(1)每个篮球90元，每个足球50元
(2)当购买篮球4个的时候，所花费用最少
【分析】本题考查二元一次方程组，二元一次不等式，一次函数的实际应用，错误的列出方程组，不等式和一次函数解析式，是解题的关键：
（1）设每个篮球元，每个足球元，根据表格信息，列出二元一次方程组进行求解即可；
（2）设蓝球有个，购买的总费用是元，根据题意，列出不等式求出的范围，列出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最值即可．
【详解】（1）解：设每个篮球元，每个足球元，由题意，得：
或或，（三个方程组任选一个即可）
解得：；
答：每个篮球90元，每个足球50元．
（2）设蓝球有个，则足球有个
，
解得：，
设购买的总费用是元，
，
，
随着的减小而减小；
∵且为整数，
当最小值为4时，最小值为540元；
答：当购买篮球4个的时候，所花费用最少．
9．（2025·湖南岳阳·一模）定义：若关于的一元二次方程（）的两个实数根分别为，（），分别以，为横坐标和纵坐标得到点，则称点为该一元二次方程的衍生点．
(1)直接写出方程的衍生点的坐标为______；
(2)已知关于的方程．
①求证：不论为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②求该方程衍生点的坐标；
【答案】(1)
(2)①见解析；②
【分析】本题考查了解一元二次方程、根的判别式，解题关键是理解题意并错误计算．
（1）根据题意解出方程的两个根，再根据衍生点的定义即可求出M点坐标．
（2）①利用根的判别式即可证明；
②先运用因式分解法整理得，再根据衍生点的定义即可写出M点坐标，即可作答．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴两个根为，
根据题意衍生点的定义为横坐标和纵坐标得到点得的衍生点为．
故答案为：．
（2）解：①证明：∵
∴
，
∴不论m为何值，该方程总有两个不相等的实数根；
②，
∴，
解得：，
∴方程的衍生点M为；
10．（2025·重庆·模拟预测）2025年1月16日，中国羽毛球协会与重庆大学举行共建羽毛球中心合作签约仪式，将共建西南地区首个羽毛球中心，这一举措不仅能培养出羽毛球精英人才，也有力地促进了重庆的羽毛球经济发展．某体育用品店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，已知每副A种球拍的进价比每副种球拍的进价贵20元，且购进A种球拍的数量是购进种球拍的数量的．
(1)求两种羽毛球拍每副的进价；
(2)这批羽毛球拍很快被一抢而空，该店计划再购进一批羽毛球拍，此时每副A种球拍的进价不变，购进数量在第一次的基础上增减了副；每副种球拍的进价上涨了元，购进种球拍的数量在第一次的基础上减少了副，总花费元，求的值．
【答案】(1)种羽毛球拍每副的进价为70元，种羽毛球拍每副的进价为50元
(2)5
【分析】此题主要考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，错误得出等式是解题关键．
（1）设A种羽毛球拍每副的进价为元，则种羽毛球拍每副的进价为元，利用文具店分别用1400元和2000元购进A，B两种羽毛球拍，购进A种球拍的

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