资源简介

专题07 统计与概率（必备知识&二级结论清单+技法清单）
内●容●导●航
第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向
考向聚焦 考查形式 能力清单
第二部分 技法清单 构建思维框架，提炼通用解法
知识必备/二级结论 母题精讲&答题技法 变式应用
技法01 数据的收集与调查方式 技法02 统计图表的分析
技法03 平均数、中位数、众数的计算与应用
技法04 四分位数的应用 技法05 方差与波动性 技法06 事件的分类
技法07 简单概率计算 技法08 列表法与树状图法求概率 技法09 用频率估计概率
技法10 几何概率 技法11 游戏公平性 技法12 统计与概率的综合应用
第三部分 分级实战 分级强化训练，实现能力跃迁
命●题●解●码
考向聚焦 技法01 数据的收集与调查方式：区分全面调查与抽样调查的适用场景，识别总体、个体、样本、样本容量等概念。常以选择题形式考查何种情况适合采用何种调查方式。
技法02 统计图表的分析：考查条形图、扇形图、元线图、频数分布直方图的识图与补图能力。常要求根据统计图求未知频数、百分比、圆心角度数，或补全统计图表。
技法03 平均数、中位数、众数的计算与应用：考查统计量的计算及实际意义选择。常以选择题或填空题出现，要求计算一组数据的平均数、中位数、众数，或根据具体问题选择合适的统计量（如商场最畅销看众数）。
技法04 四分位数的应用：四分位数是新教材新增内容，考查第一四分位数（下四分位数）、第三四分位数（上四分位数）的计算及与箱线图的关系。常以选择题或填空题形式出现，要求根据一组数据计算四分位数，或结合箱线图分析数据分布情况。
技法05 方差与波动性：考查方差的意义与计算，判断数据的稳定性。常结合两组数据的平均数和方差，判断哪组数据更稳定。
技法06 事件的分类：区分必然事件、不可能事件、随机事件。常以成语或生活情境为背景，判断事件类型。
技法07 简单概率计算：考查概率公式P(A)=事件A的结果数/所有等可能结果总数。常以抽卡片、掷骰子、摸球等简单模型出现。
技法08 列表法与树状图法求概率：考查两步或三步试验的概率计算。常以摸球（放回/不放回）、抽签、游戏胜负等形式出现，要求用列表或树状图列出所有等可能结果。
技法09 用频率估计概率：考查大量重复试验中频率稳定于概率的思想。常给出一组试验数据表格，要求根据稳定后的频率估计概率。
技法10 几何概率：考查与面积、长度、角度相关的概率计算。常以转盘、飞镖靶、区域涂色等形式出现。
技法11 游戏公平性：考查通过计算概率判断游戏规则是否公平。常以摸球、掷骰子游戏为背景，要求计算双方获胜概率并比较。
技法12 统计与概率的综合应用：考查统计图表与概率计算的融合。常先给出统计图表，要求补全数据，再从中抽取样本计算概率。
考查形式 ·统计与概率是中考数学的必考板块，分值占比约10%-15%，考查呈现“基础+应用+综合”三个层次： ·基础层次：事件的分类、调查方式选择、简单概率公式计算、统计量识别，以选择题、填空题为主。 ·应用层次：统计图表分析与补全、列表树状图求概率、频率估计概率、游戏公平性判断，以解答题为主。 ·综合层次：统计与概率融合题、跨学科应用题（如与生物成活率结合）、实际决策问题，常作为中档或压轴解答题出现。
能力清单 数据观念：能理解数据的实际意义，根据问题选择合适的调查方式和统计量。 图表解读能力：能从条形图、扇形图、元线图、频数分布直方图中准确提取信息。 运算求解能力：准确计算平均数、中位数、众数、方差及概率值。 模型思想：能根据实际问题建立概率模型（树状图、列表），计算事件发生的可能性。 随机思维：理解频率与概率的关系，认识随机现象的不确定性与规律性。 推理判断能力：能根据数据分析结果做出合理决策（如判断游戏公平性、选择最优方案）。 综合应用能力：能将统计与概率知识融合，解决较为复杂的实际问题。
技●法●清●单
题型01 数据的收集与调查方式
知识必备
全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本容量
答题技法
全面调查适用于范围小、数据要求准确、无破坏性的情况（如安检、班级人数）；抽样调查适用于范围广、有破坏性或耗时长的调查（如灯泡寿命、鱼的数量）。样本容量不带单位，只是数目。
母题精讲
【典例01】（2025·湖南长沙·三模）为了考查库存2000只灯泡的使用寿命，从中任意抽取15只灯泡进行实验．在这个问题中，下列说法不错误的是（ ）
A．总体是2000只灯泡的使用寿命 B．样本是抽取的15只灯泡
C．个体是每只灯泡的使用寿命 D．样本容量是15
【答案】B
【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．
总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．
【详解】解：A．这2000只灯泡的使用寿命是总体，故本选项不不符合题意；
B．抽取的15只灯泡的使用寿命是样本，故本选项不符合题意；
C．每个灯泡的使用寿命是个体，故本选项不不符合题意；
D．样本容量是15，故本选项不不符合题意．
．
变式应用
【变式01】（2025·山西·中考真题）近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如图），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．

请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为_________；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图；
(2)若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数；
(3)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议．
【答案】(1)36；135；见解析
(2)450人
(3)见解析
【分析】本题主要考查了扇形统计图，条形统计图，用样本估计总体等等，错误读懂统计图是解题的关键．
（1）用470度除以“公共交通”的人数占比可求出对应的圆心角度数；用300除以“骑电动自行车”的人数占比可求出对应的人数，再求出地址段骑电动车的人数并补全统计图即可；
（2）用1500除以样本中用私家车接送孩子的家长人数占比即可得到答案；
（3）电动车和私家车接送孩子的人数占比多，容易造成拥堵；地址段电动车和私家车接送孩子的人数比较多，容易造成拥堵；建议可从换接送方式和换接送地址段两个方面阐述．
【详解】（1）解：，
∴扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为；
人，
∴本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有135人；
∴地址段骑电动车的人数为人，
补全统计图如下所示：

（2）解；人，
答：估计用私家车接送孩子的家长人数为450人；
（3）解：由扇形统计图可知用电动车和私家车接送孩子的人数占比为，容易造成放学后校门口交通拥挤；由条形统计图可知，在地址段内，接送孩子的电动车和私家车比较多，容易造成放学后校门口交通拥挤；
建议家长在条件允许的情况下选用公共交通方式接送孩子或者使用电动车或私家车接送孩子时避开地址段．
【变式02】（2025·江苏盐城·中考真题）6月6日是“全国爱眼日”．小明在报纸上看到某市疾控中心发布的中学生近视情况统计数据，如图（1）．
(1)图（1）中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果．
①疾控中心收集数据，采用的调查方式是________；（填“普查”或“抽样调查”）
②根据统计图，请你分析近视率随年级升高的变化趋势．
(2)小明想了解“影响视力的主要因素”，对全校近视的965名学生进行问卷调查．问卷中设置了五个主要因素：A．不认真做眼保健操；B．长地址连续用眼；C．课间只在教室休息；D．饮食不均衡；E．睡眠地址不足．他绘制了如图（2）所示的条形统计图．
①从图（2）中可知，影响视力的最主要因素是_________．（填选项代号）
②结合上述统计数据，请你谈一谈如何预防近视．
【答案】(1)①抽样调查；②见解析
(2)①B；②见解析
【分析】本题主要考查元线统计图，条形统计图，调查的方式，熟练掌握元线统计图，条形统计图的特征是解题的关键．
（1） ①利用抽样调查的定义解答即可；②通过观察元线图的走势回答即可；
（2） ①观察条形统计图，通过比较各选项对应的人数解答即可；②观察条形统计图，依据依据影响视力的主要因素提出合理建议即可．
【详解】（1）解：①∵图1中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果，
∴疾控中心收集数据，采用的调查方式是抽样调查，
故答案为：抽样调查；
②根据统计图可以看到，从七年级到高二年级，近视率随年级升高呈整体上升趋势，高二年级到高三年级有所下降；
（2）解：①观察条形统计图可以看到，B选项长地址连续用眼的有887人，人数最多，
∴从图2中可知，影响视力的最主要因素是B选项长地址连续用眼．
故答案为：B；
②观察条形统计图可以看到，影响视力的主要因素有：不认真做眼保健操，长地址连续用眼，课间只在教室休息，饮食不均衡，睡眠地址不足，所以预防近视从以下入手：认真做眼保健操，避免长地址连续用眼，用眼一段地址要适当休息，课间到室外活动或者作适当远眺，保持饮食均衡，保证充足的睡眠地址．
技法02 统计图表的分析
知识必备
条形统计图、扇形统计图、元线统计图、频数分布直方图、频数分布表、圆心角度数计算。
答题技法
扇形图抓“百分比之和为1”和“圆心角=470°×百分比”；条形图抓“各组频数之和=样本容量”；频数分布直方图抓“小长方形面积表示频数”。补图时先根据已知数据求样本容量，再推算未知组。
母题精讲
【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参减跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）．
第1次测试 第2次测试 第3次测试
甲 × × ×
乙 ×
注：×表示犯规．
将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”， 及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图．
(1)补全条形统计图；
(2)你认为哪名学生参减跳远比赛较为合适？为什么？
【答案】(1)见详解
(2)乙参减跳远比赛较为合适，理由见详解
【分析】本题考查了补全条形统计图，错误掌握相关性质内容是解题的关键．
（1）根据共进行了3次测试，每次各跳远3次，共次测试，用总次数减去犯规次数以及优秀成绩的次数，即可得出甲的一般成绩有次，再补全条形统计图，即可作答．
（2）分析表格，得出乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，，
即甲的一般成绩有次，
补全条形统计图，如图所示：
（2）解：乙参减跳远比赛较为合适，
理由：根据条形统计图可知，乙的一般成绩和优秀成绩都比甲多，并且犯规的次数也少，
∴乙参减跳远比赛较为合适．
变式应用
【变式01】（2025·江苏连云港·中考真题）为了解八年级学生的体重情况，某校随机抽取了八年级部分学生进行测量，收集并整理数据后，绘制了如下尚不完整的统计图表．
体重情况统计表
组别 体重 频数（人数）
类
类
类
类
根据以上信息，解答下列问题：
(1)_______，________；
(2)在扇形统计图中，类所对应的圆心角度数是_______°；
(3)若该校八年级共有名学生，估计体重在及以上的学生有多少人
【答案】(1)，
(2)
(3)人
【分析】本题考查扇形统计图，频数统计表，样本估计总体，熟练掌握利用扇形统计图和频数统计表得出相关数据是解题的关键．
（1）利用类的频数和占总体百分比求出被抽取的总人数，再利用类占总体百分比求出类的频数，最后即可求出类的频数；
（2）利用类占总体百分比除以即可；
（3）利用样本估计总体即可求出．
【详解】（1）解：由题意得被抽取的总人数为（人），
∴类的频数为（人），
∴类的频数为（人），
故答案为：，；
（2）解：类所对应的圆心角度数是，
故答案为：；
（3）解：估计体重在及以上的学生有（人）．
【变式02】（2025·四川·中考真题）为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“减法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程．受地址限制，每位学生只能参减一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解决下列问题：
(1)①此次调查一共抽取了______名学生；
②请将条形统计图补充完整；
③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为_____度；
(2)若该校共有800名学生参减这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数．
【答案】(1)①40；②见解析；③70
(2)280人
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用及用样本估计总体，解题的关键是利用“科创实践”课程的已知人数（16人）和对应百分比（）求出调查总人数，再结合两图信息逐步计算其他未知数据，最后通过样本比例估计总体人数．
（1）①根据“部分数量对应百分比总体数量”，用科创实践的16人除以求出调查总人数；②用总人数减去“计算思维”（14人）和“科创实践”（16人）的人数，得到“数字艺术”的人数，进而补充条形统计图；③用“数字艺术”的人数除以总人数，再除以，求出对应扇形圆心角；
（2）先计算样本中喜欢“计算思维”课程的人数占比，再除以该校参减课程的总人数800，估计总体人数．
【详解】（1）解：①∵ 科创实践课程有16人，对应扇形统计图百分比为，
∴ 调查总人数为（名）．
故答案为：40；
② 数字艺术课程的人数为总人数减去计算思维、科创实践的人数，即（人）．
补充条形统计图：在“数字艺术”对应的条形处，绘制高度与“10人”对应的直条（与其他条形宽度一致）；
③ 扇形统计图中“数字艺术”对应的圆心角为
故答案为：70；
（2）样本中喜欢计算思维课程的人数占比为，
∵ 该校共有800名学生参减课程，
∴ 估计喜欢计算思维课程的学生人数为（人）．
答：估计喜欢计算思维课程的学生人数为280人．
技法03 平均数、中位数、众数的计算与应用
知识必备
算术平均数、减权平均数、中位数、众数、极端值对统计量的影响。
答题技法
求中位数先排序，偶数个取中间一个，偶数个取中间两个平均数；众数找出现次数最多的数（可能不止一个）；减权平均数注意“权”的含义。平均数易受极端值影响，中位数和众数不受影响。
母题精讲
【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是____________．
【答案】10
【分析】本题考查了求平均数．计算这组数据的和，然后除以数据的个数，即可作答．
【详解】解：依题意，数据之和为，
∵数据的个数为，
∴平均数为．
故答案为：10．
变式应用
【变式01】（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1小时跳绳的情况，随机抽取了50名学生1小时的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下：
1小时的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1小时的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次；
(2)补全频数分布直方图；
(3)请估计该校学生1小时的跳绳次数不低于120次的人数．
【答案】(1)105；110
(2)图象见解析
(3)480
【分析】本题考查统计图的分析和统计量的计算，找到题目对应的数据并错误运用统计量的概念求解是解题关键．
（1）根据众数和中位数的概念求解即可；
（2）先计算所给的数据的样本个数，再通过样本总量，减去频数分布直方图中其他组的样本个数和这一组的样本个数，得到这一组的样本个数，以此补全频数分布直方图即可；
（3）先计算样本中1小时的跳绳次数不低于120次的人数，再通过样本占总体的比例，求出该校学生中对应的人数即可．
【详解】（1）解：由题中数据，可知105共出现三次，出现频数最高，为众数；
中共有15个样本，故从小到大排列第8个数即为中位数，故中位数为110，
故答案为：105，110；
（2）解：由图可知，这一组共有5个样本，这一组共有8个样本，这一组共有2个样本，
由（1），可知这一组共有15个样本，
由题意可知，样本总量为50，
故这一组共有个样本，
补全频数分布直方图如下：
（3）解：由（2）可知，随机抽取的50名学生中共有名学生1小时跳绳次数不低于120次，
∴（人）
故估计该校学生1小时的跳绳次数不低于120次的人数为480．
【变式02】（2025·山东德州·中考真题）本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一小时垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：．
为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
信息一：3月份测试成绩如下：
17 33 28 27 35 19 21 22 25 22
25 27 19 27 18 27 28 29 31 32
信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下：
信息三：测试成绩对比表如下：
月份 平均数/个 众数/个 优秀率
3月 a b
6月 29 c
请根据以上信息；完成下面问题：
(1)补全条形图；
(2)表中的 ， ， ；
(3)已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增减了多少人？
【答案】(1)见解析
(2)27；；；
(3)6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增减了90人．
【分析】题目主要考查扇形统计图和条形统计图的综合应用，利用样本估计总体等，理解题意，结合图形获取相关信息是解题关键．
（1）结合条形统计图和扇形统计图得出合格的人数为：人，然后确定优秀的人数，补全统计图即可；
（2）根据众数得定义即可确定a的值，利用优秀率的计算方法求解即可；
（3）用总人数除以相应的优秀率，然后相减即可得出结果．
【详解】（1）解：根据题意得，合格的人数为：人，
∴优秀的人数为：人，
补全统计图如下：
（2）根据题意得，3月测试成绩中27出现的次数最多，
∴，
∵优秀：；
∴3月份中优秀的人数为4人，6月份中优秀的人数为7人，
∴，，
故答案为：27；；；
（3）6月份达到“优秀”的人数为：人，
3月份达到“优秀”的人数为：人，
∴人，
∴6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增减了90人．
技法04 四分位数的应用
知识必备
四分位数的定义与计算、第一四分位数（下四分位数）、第三四分位数（上四分位数）、箱线图、百分位数的意义。
答题技法
计算四分位数的关键是先将数据从小到大排序。第一四分位数（Q1）是第25%位置的数：若数据个数n×25%为整数，则取该位置与下一位置的平均数；若不是整数，则向上取整取对应位置的数据。第三四分位数（Q3）同理取45%位置。箱线图可直观展示最小值、Q1、中位数、Q3、最小值，用于判断数据分布是否对称、有无异常值。
母题精讲
【典例01】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，该箱线图反映了某场女排决赛中两队队员拦网高度情况．下列说法错误的是（　　）
A．甲队队员拦网高度的整体水平更高 B．乙队队员拦网高度的平均数更大
C．甲队队员拦网高度的方差更大 D．乙队队员拦网高度的中位数更大
【答案】B
【分析】本题考查方差，四分位数，结合统计图的数据集中程度和中位数等根据生活实际分析即可解答．
【详解】解：从图中可以看出，
甲队拦网高度的整体水平比乙队高，故选项A不符合题意；
甲队队员拦网高度的平均数更大，故选项B不不符合题意；
甲队队员拦网高度的方差更小，故选项C不不符合题意；
乙队队员拦网高度的中位数更小，故选项D不符合题意．
．
变式应用
【变式01】（2023·安徽芜湖·三模）四分位数是在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份后，处于三个分割点位置的数值．第一四分位数，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第的数字，第二四分位数就是中位数．如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相似的处理方式计算第一、第三四分位数，九年级某小组的8名同学每小时跳绳的个数分别为：．这一数据中第一四分位数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据第一四分位数的定义，将8个数据按从小到大的顺序排列后，第2个与第3个数的平均数即为所求．
【详解】解：这8名同学每小时跳绳的个数按从小到大的顺序排列为：
，
则这组数据中第一四分位数是第2个与第3个数的平均数，即．
．
【点睛】本题考查了中位数，理解第一四分位数的定义是解题的关键．
【变式02】（2024·山东潍坊·模拟预测）有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11 ，其箱线图如下：
下列说法错误的是（ ）
A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10
C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18
【答案】BCD
【分析】本题主要考查了箱线图，根据箱线图的定义一一分析判断即可．
【详解】解：．这组数据的下四分位数是4，说法错误，故该选项不符合题意；
．这组数据的下四分位数是4，上四分位数是15，中位数为，故该选项不不符合题意；
．这组数据的上四分位数是15，说法错误，故该选项不符合题意；
．箱线图下边缘是3，上边缘是18，∴被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，说法错误，故该选项不符合题意；
CD
技法05 方差与波动性
知识必备
方差、标准差、极差、数据的波动性。
答题技法
方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，数据越稳定。计算公式为各数据与平均数差的平方的平均数。注意标准差是方差的算术平方根。
母题精讲
【典例01】（2025·四川巴中·中考真题）有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中减入一个整数a，则下列一定不变的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
【答案】B
【分析】本题考查了平均数，中位数，众数，方差的概念，利用相关概念逐一判断即可，熟知相关概念时解题的关键．
【详解】解：这组数据中减入一个整数a，平均数有可能改变，方差也可能改变，故A、D不不符合题意；
若，则该数据的众数由原来的3，变为1和3，所以众数有可能改变，故C不不符合题意；
若，则新数据中间数为第四个数，为3，若，则新数据中间数为第四个数，为3，中位数不变，故B不符合题意，
．
变式应用
【变式01】（2025·陕西·中考真题）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表：
平均数 中位数 方差
七年级 95
八年级 92.5
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表格中的_____，_____，_____（填“”“”或“”）；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由；
(3)该校七年级200名学生和八年级190名学生参减了本次环保知识竞赛，得分70分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数．
【答案】(1)93.2；96.5；
(2)七年级，理由见解析
(3)256人
【分析】本题考查了求平均数，中位数，运用平均数作决策，运用方差作决策，样本估计总体，即可作答．
（1）根据求平均数的公式进行列式计算，再结合中位数的定义进行分析，即可作答．
（2）运用平均数作决策，运用方差作决策，即可作答．
（3）运用样本估计总体，进行列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：依题意，，
把八年级的成绩从大到小排序：，
位于中间位置的数分别为，
观察七，八年级的成绩统计图得出七年级成绩波动不大，稳定性较好，八年级成绩波动较大，稳定性较差，
∴；
（2）解：我认为该校七年级学生环保知识掌握较好，理由是七年级这10名学生成绩的平均数较高，且方差较小；（答案不唯一，言之有理即可）
（3）解：依题意，，
估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数为256人．
【变式02】（2025·宁夏·中考真题）宁夏葡萄酒品质优良，深受消费者青睐．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查．
【调查与收集】
甲、乙两种葡萄树各种植了500株，计划从中各抽取100株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是___________．
A．依次抽取100株
B．随机抽取100株
C．在长势较好的葡萄树中随机抽取100株
D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株
【整理与描述】
同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：kg），将所得数据整理描述如下：
甲样本的频数分布表
频数 7 45 15 20 13
乙样本的频数分布直方图
注：每组含最小值，不含最小值．
根据以上信息，解答问题：
（1）甲样本中组的频率是_________；
（2）补全乙样本的频数分布直方图．
【分析与应用】
（1）填表：
样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差
甲 5.73
乙 15.74 4.65
（计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如的中间值为）
（2）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数；
（3）结合以上数据为基地的葡萄种植提出一条合理化建议．
【答案】[调查与收集]B；[整理与描述]（1）；（2）见解析；[调查与收集]（1）见解析；（2）50；（3）见解析
【分析】[调查与收集]
利用样本具有代表性对抽样调查方式进行判断；
[整理与描述]
（1）根据频率的定义计算甲样本中组的频率；
（2）先计算出乙样本组的频数，再补全乙样本的频数分布直方图；
[分析与应用]
（1）先根据平均数的定义求出甲样本平均数，再根据中位数的定义求出乙样本中位数出现的组别，然后填表即可；
（2）根据两者的方差提出建议即可．
【详解】解：
[调查与收集]
为了样本具有代表性，随机抽取能保证样本的代表性，避免系统性偏差，
所以应该随机抽取100株作为样本；
；
[整理与描述]
（1）甲样本中组的频率，
（2）乙样本总频数为100，已知各组频数为，
则组的频数为：，
补全乙样本的频数分布直方图：
[分析与应用]
（1）甲样本各组中间值分别为12、14、16、18、20，
甲样本平均数 =，
乙样本共100个数据，中位数为第50、51个数据的平均值，
前两组频数和为，前三组频数和为，
第50、51个数据落在组，
乙样本中位数出现的组别落在组，
填表如下：
样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差
甲 15.74 5.73
乙 15.74 4.65
（2）估计甲种葡萄树每株产量不低于的株数：
甲样本中组频数为13，频率为，
试验田甲种葡萄树共500株，故估计株数为（株）
（3）合理化建议：乙种葡萄树的方差（4.65）小于甲种（5.73），产量更稳定，建议优先推广乙种葡萄树的种植技术．
【点睛】本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图，平均数，中位数及方差的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键．
技法06 事件的分类
知识必备
必然事件、不可能事件、随机事件、确定性事件。
答题技法
必然事件概率为1（如水落石出），不可能事件概率为0（如水中捞月），随机事件概率介于0和1之间（如守株待兔）。结合生活常识判断。
母题精讲
【典例01】（2025·海南·中考真题）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法错误的是（ ）
A．出现点数为6的概率是
B．出现点数为0是随机事件
C．出现点数为偶数是必然事件
D．出现点数为偶数是不可能事件
【答案】B
【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念以及事件发生的可能性大小判断即可．
本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
【详解】解：A．出现点数为6的概率是，错误，不符合题意；
B．出现点数为0是不可能事件；
C．出现点数为偶数是随机事件；
D．出现点数为偶数是随机事件；
故选A．
变式应用
【变式01】（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球
C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球
【答案】A
【分析】本题考查了必然事件，解决本题需要错误理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐项分析判断即可．
【详解】解：∵一只不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，
∴至多有3个红球，至少有1个红球，至多有2个黑球，至少有0个黑球，
A．至多有1个球是红球，不是必然事件，不不符合题意；
B．至多有1个球是黑球，不是必然事件，不不符合题意；
C．至少有1个球是红球，是必然事件，不符合题意；
D．至少有1个球是黑球，不是必然事件，不不符合题意；
．
【变式02】（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不可能事件是（ ）
A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心
【答案】B
【分析】本题考查的是事件的分类以及不可能事件的含义，根据不可能事件的定义，即在一定条件下必然不会发生的事件，对各选项逐一分析.
【详解】解：选项A：投掷硬币可能出现正面或反面，是随机事件，不合题意；
选项B：袋子中仅有红球，无黄球，因此摸出黄球不可能发生，属于不可能事件，不符合题意；
选项C：圆无论大小或位置，始终是轴对称图形，属于必然事件，不合题意；
选项D：射击可能命中或脱靶，是随机事件，不合题意；
综上，只有选项B不符合不可能事件的定义，
．
技法07 简单概率计算
知识必备
概率公式、等可能事件、古典概型。
答题技法
先明确所有等可能结果总数，再数出所求事件包含的结果数，直接代入公式。注意“等可能”的前提条件。母题精讲
【典例01】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了列举法求概率，列举所有可能结果红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝，然后用概率公式即可求解，掌握列举法求概率是解题的关键．
【详解】解：∵从红、蓝两种颜色中随机选取一种，
∴有红红蓝，红蓝红，红蓝蓝，蓝蓝红，蓝红红，蓝红蓝，红红红，蓝蓝蓝，共种， 相邻两个方格所涂颜色不同的有种，红蓝红，蓝红蓝，
∴故相邻两个方格所涂颜色不同的概率是，
故选：．
变式应用
【变式01】（2025·江苏苏州·中考真题）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】本题考查了根据概率求数量，熟练掌握概率公式是解题的关键．
设红球有个，根据摸到白球的概率公式列方程求解．
【详解】解：设红球有个，则袋中总球数为个，
∴摸到白球的概率为，
根据题意得：，
解得：，
因此，红球的个数为2个．
．
【变式02】（2025·山东济南·中考真题）在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为___________．
【答案】
【分析】此题考查概率的求法：如果一个事件有种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件出现种可能，那么事件的概率．
直接利用概率公式求解即可．
【详解】解：因为不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同，
所以从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为，
故答案为：．
技法08 列表法与树状图法求概率
知识必备
频率、概率、大量重复试验、频率稳定性。
答题技法
两步试验可用列表法或树状图，三步以上必须用树状图。注意区分“放回”与“不放回”——放回时每次可能性相同，不放回时概率会变化。画图时要保证不重不漏。
母题精讲
【典例01】（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．
(1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____；
(2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据简单地概率公式计算解答即可；
（2）利用画树状图法或列表法计算概率即可．
本题考查了概率的计算，熟练掌握概率公式和画树状图活列表法计算概率是解题的关键．
【详解】（1）解：根据题意得：摸出标有数字1的小球的概率为，
故答案为：．
（2）解：列表如下：
甲 乙
1 2 3 4
1 － （1，2） （1，3） （1，4）
2 （2，1） － （2，3） （2，4）
3 （3，1） （3，2） － （3，4）
4 （4，1） （4，2） （4，3） －
由上表可知，共有12种等可能的结果，
其中甲、乙两队在决赛时赛道相邻的结果有6种，
．
变式应用
【变式01】（2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球．
(1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________；
(2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．
（1）画树状图可得出所有等可能的结果数以及取出的3个小球上所写数字没有4的结果数，再利用概率公式可得出答案．
（2）由树状图可得取出的3个小球上所写数字都不相同的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字没有4的结果有2种，
取出的3个小球上所写数字没有4的概率为．
故答案为：．
（2）解：由树状图可知，共有6种等可能的结果，其中取出的3个小球上所写数字都不相同的结果有4种，
取出的3个小球上所写数字都不相同的概率为．
【变式02】（2024·四川绵阳·中考真题）如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查列举法求事件的概率，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
由题意可得出所有等可能的结果数以及能让灯泡发光的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】解：将这些开关随机闭合至少两个，所有等可能的结果有：
闭合两个的情况有：，，，，，，，，，，，，
闭合三个的情况有：，，，，，，，，，，，，
闭合四个的情况有：，，，，
故这些开关随机闭合至少两个共11种，
其中能让灯泡发光的结果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共9种，
将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为．
．
技法09 用频率估计概率
知识必备
频率、概率、大量重复试验、频率稳定性。
答题技法
观察试验次数增减后频率的稳定值，取稳定后的常数作为概率的估计值。注意当试验次数足够多时，频率趋近于概率。
母题精讲
【典例01】（2026·陕西宝鸡·一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有10枚黑棋和若干枚白棋，这些棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回．不断重复这一过程，共摸了200次，发现有50次摸到黑棋，由此可估计盒中白棋子共有（ ）
A．170枚 B．90枚 C．50枚 D．30枚
【答案】C
【分析】本题考查用频率估计概率及利用概率公式求数量，先通过试验数据得到摸到黑棋的频率，以此估计概率，再结合黑棋数量求出总棋子数，进而算出白棋数量。
【详解】解：∵共摸了200次，有50次摸到黑棋
∴摸到黑棋的频率为
设盒中白棋子有枚
∴
解得
∴盒中白棋子共有30枚
．
变式应用
【变式01】（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示：
抛掷次数
2枚正面都朝上的频数
2枚正面都朝上的频率（精确到0.001）
(1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到）
(2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论．
【答案】(1)
(2)见解析
【分析】本题考查了利用频率估计概率，列表法求概率．解题的关键在于明确：大量重复试验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率．
（1）根据题意，用频率估计概率即可；
（2）根据列表法求概率，即可求解．
【详解】（1）解：由图表可知，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是，
故答案为：．
（2）解：列表如下，
正 反
正 正正 正反
反 反正 反反
共有4种等可能结果，其中“2枚硬币正面都朝上”，有1种，
因此“2枚硬币正面都朝上”的概率为．
【变式02】（2024·江苏无锡·中考真题）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．
【确定调查方式】
（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；（只填序号）
①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本
②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本
③随机抽取100个麦穗的长度作为样本
【整理分析数据】
（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下：
试验田100个麦穗长度频率分布表
长度 频率
0.04
0.45
0.30
0.09
合计 1
根据以上图表信息，解答下列问题：
①频率分布表中的______；
②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
【作出合理估计】
（3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少．
【答案】（1）③（2）①0.12，频数分布直方图见详解 （3）
【分析】本题主要考查了抽样调查的合理性，补全频数分布直方图的相关知识，掌握抽样调查以及读懂频数分布直方图是解题的关键．
（1）根据抽样调查的特点回答即可．
（2）①用1减去其他频率即可求出m的值．②先求出麦穗长度频率分布在之间的频数，然后即可补全频数分布直方图
（3）把长度不小于的麦穗的频率相减即可求解．
【详解】解：（1）∵抽样调查方式样本的选取需要的是广泛性和可靠性，
∴抽样调查方式合理的是随机抽取100个麦穗的长度作为样本，
故答案为：③
（2）①频率分布表中的，
故答案为：0.12，
②麦穗长度频率分布在之间的频数有：，
频数分布直方图补全如下：
（3），
故长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为．
十、10几何概率
技法10 几何概率
知识必备
几何概型、面积比、长度比、圆心角比。
答题技法
几何概型概率=所求区域面积（长度）/总面积（总长度）。注意转盘问题中各区域面积相等是等可能的前提。母题精讲
【典例01】（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】如图所示，过点A作于点D，证明出是等腰直角三角形，求出，然后得到，然后分别求出和，然后根据概率公式求解即可．
【详解】如图所示，过点A作于点D
∵是直径
∴
∵
∴是等腰直角三角形
∵
∴，
∴
∴，
∴该粒米落在扇形内的概率为．
．
【点睛】此题考查了几何概率，求扇形面积，等腰直角三角形的性质，勾股定理，直径所对的圆周角是直角等知识，解题的关键是掌握以上知识点．
变式应用
【变式01】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查几何概率的知识，求出小正方形的面积是关键．设，则圆的直径为，求出小正方形的面积，即可求出几何概率．
【详解】解：如图：连接，，设，则圆的直径为，
∵四边形是正方形，
∴，
∴小正方形的面积为：，
则飞镖落在阴影区域的概率为：．
．
【变式02】（2023·四川遂宁·中考真题）为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为，大圆半径为，每个扇形的圆心角为90度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根据扇形面积公式求出免一次作业对应区域的面积，再根据投中“免一次作业”的概率免一次作业对应区域的面积大圆面积进行求解即可.
【详解】解：由题意得，大圆面积为，
免一次作业对应区域的面积为，
∴投中“免一次作业”的概率是，
故选B．
【点睛】本题主要考查了几何概率，扇形面积，错误求出大圆面积和免一次作业对应区域的面积是解题的关键．
技法11 游戏公平性
知识必备
概率计算、游戏公平性、决策分析。
答题技法
分别计算双方获胜的概率，若概率相等则游戏公平，否则不公平。可进一步提出修改规则的建议使游戏公平。
母题精讲
【典例01】（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国45周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参减，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参减．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和小于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
【答案】(1)
(2)树状图见解析，该游戏对双方公平
【分析】本题主要考查了简单的概率计算，树状图法或列表法求解概率：
（1）根据概率计算公式求解即可；
（2）画出树状图得到所有不符合题意的等可能性的结果数，再分别找到两次数字之和小于4和小于4的结果，再依据概率计算公式计算出两人获胜的概率即可得到结论．
【详解】（1）解：∵一共有3张牌，其中写有数字1的牌有1张，且每张牌被摸到的概率相同，
∴小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如下所示：
由树状图可知，一共有6种（和为4的不不符合题意）等可能性的结果数，其中两次摸到的数字之和小于4的结果数有3种，两次摸到的数字之和小于4有3种，
∴小明获胜的概率为，小红获胜的概率为，
∴小明和小红获胜的概率相同，
∴该游戏对双方公平．
变式应用
【变式01】（2026·陕西西安·一模）如图，有四张背面完全相同的卡片，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上
(1)从4张卡片中抽取一张，这张卡片的数字为3的倍数的概率是_______；
(2)元旦联欢会需要从小明和小亮中选择一名同学作为男主持人，老师让他俩通过抽卡片的方式选拔，获胜的同学担任主持，游戏规则如下：小明先从中抽出一张卡片，小亮再从剩余的3张卡片中也抽出一张卡片，把两人抽取的卡片上的数字相减，若和小于11小明胜，否则小亮胜，这个游戏公平吗？请用画树状图或列表法的方法说明理由．
【答案】(1)
(2)不公平，理由见详解
【分析】（1）直接计算出抽到数字为3的倍数的概率即可；
（2）用树状图列举出所有情况，看和小于11的情况占所有情况的比值，即可求得小明赢的概率，进而求得小亮赢的概率比较即可．
【详解】（1）解：∵四个数字中和为3的倍数，
∴；
（2）解：画树状图如下
一共有12种可能，和小于11的个数有8种，和小于等于11的数有4种，
，
∴游戏不公平
【变式02】（2025·山东青岛·一模）4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数．
如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为正数时，则甲获胜；否则，乙获胜．你认为这样的规则公平吗？请你用列表或画树状图的方式，说明理由．
【答案】公平，理由见详解
【分析】本题考查的是概率计算，游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个参与者取胜的概率，概率相等就公平，否则就不公平．掌握概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比是解题的关键．利用树状图法列举出所有可能和差为正数和非正数的结果数，进而求出概率；较甲、乙获胜的概率即可得出是否公平．
【详解】解：此游戏规则公平，根据题意列表如下：
1 2 3 4
1 0 1 2 3
2 0 1 2
3 0 1
共有12种等可能的结果，其中这两个数的差为正数的情况占6种，非正数的情况占6种，
甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，
则此游戏规则公平．
技法12 统计与概率的综合应用
知识必备
统计图表分析、概率计算、样本估计总体、综合应用。
答题技法
第一步先完成统计图表的分析（求总数、补全数据），第二步明确概率问题的背景（如从调查对象中随机抽取一人），第三步用概率公式或树状图计算
。母题精讲
【典例01】（2026·河北张家口·一模）为增强学生交通安全意识，某中学举办了交通安全知识竞赛，现随机抽取了部分学生成绩（小于90分）进行分析，成绩按百分制分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
等级 成绩/分 人数/人
A 18
B m
C 68
D 30
(1)本次调查共抽取了 名学生；
(2)求表中m的值和扇形统计图中x的值；
(3)若抽取的A等级学生的成绩（单位：分）是：91，92，92，93，94，94，95，95，96，97，97，97，97，98，98，99，99，100，求这组成绩的众数和中位数；若随机从该组数据中抽取一个成绩，求该成绩小于中位数的概率；
(4)已知该校共有学生2000人，学校准备对本次测验安全意识薄弱的学生（D：）进行安全教育，请估计该校需要参减安全教育活动的学生人数．
【答案】(1)200
(2)，，
(3)众数为97，中位数为，概率为
(4)300名
【分析】（1）用C等级人数除以所占百分比即可；
（2）用总人数除以B等级所占百分比可得m，用D等级人数除以总人数可求所占百分比；
（3）根据众数、中位数的定义及概率公式求解；
（4）利用样本估计总体思想求解．
【详解】（1）解：抽取学生总数为：（名）；
（2）解：，
；
（3）解：A组数据中97出现了4次，出现的次数最多，因此众数为97；
A组数据共18个，按从小到大顺序排列后，第9位、第10位分别为96，97，
因此中位数为：；
随机从该组数据中抽取一个成绩，该成绩小于中位数的概率为；
（4）解：（名）
答：估计该校需要参减安全教育活动的学生人数为300名．
变式应用
【变式01】（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下．
（一）收集与整理
农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：
64，74，78，82，84，86，86，92，96，98；
城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：
62，70，79，83，65，87，87，70，97，100．
（二）描述与分析
城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下：
统计量 平均数 中位数 众数 方差
农村 84 a 86 c
城区 84 86 b 118.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________；
（三）迁移与应用
（2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参减艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率；
（3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议．
【答案】（1）65，87，95.2；（2）；（3）建议见解析
【分析】本题主要考查了中位数，众数，方差的定义，用列表法或画树状图的方法求概率，利用平均数、中位数、众数、方差作决策等知识．
（1）根据中位数，众数，方差的定义求解即可．
（2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画出树状图，根据概率公式求解即可．
（3）答案不唯一，只要能对平均数、中位数、众数、方差任一统计量进行比较，数据大小比较，进而提出合理建议即可．
【详解】解：（1），
城区学校10名学生的艺术成绩中出现次数最多的是87，
故，
（2）农村学校95分以上学生有2人，分别记为，，城区学校95分以上学生有2人，分别记为，，画树状图如下：
总共有12种可能的结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好都是城区学生的结果有2种，
∴P（所选两名学生恰好都是城区学生）．
（3）例：从平均数看，城区学校和农村学校的艺术成绩水平相同，建议继续保持城乡优质均衡发展；
从中位数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议减强农村学校艺术教学；
从众数看，城区学校的艺术成绩高于农村学校的艺术成绩，建议提高农村学校艺术教学水平；
从方差看，城区学校艺术成绩的方差小于农村学校艺术成绩的方差，城区学校艺术成绩波动较大，建议减小两极分化．
【变式02】（2025·山东烟台·中考真题）2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下：
①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：
6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10．
②乙社团的平均成绩为（分）．
③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：
(1)将条形统计图补充完整；
(2)成绩为8分的学生在_______社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）；
(3)已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参减甲骨学发展史宣讲活动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)补全图形见解析
(2)成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前
(3)
【分析】（1）先分别求解甲社团满分分有3人；乙社团分有人；补全图形即可；
（2）先分别求解甲社团的成绩的中位数为（分）；乙社团的成绩的中位数为（分），再进一步求解即可；
（3）记男生为甲，两个女生分别为乙，丙，画树状图，共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和一名女生的结果有4种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：∵由统计数据可得：甲社团满分分有3人；乙社团分有人；补全图形如下：
；
（2）解：①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：
6，6，6，6，6，6，6，7，7，7，7， 7，7，7， 7，8，8，8，8，8，8， 8，8，8，8，9，9，9，9，9，9， 9， 9，9，9， 9，9，10，10，10．
∴排在第，位的数据为，
∴甲社团的成绩的中位数为（分）；
∵乙社团排在第，位的数据为，，
∴乙社团的成绩的中位数为（分）；
∴成绩为8分的学生在乙社团的排名更靠前；
（3）解：记男生为甲，两个女生分别为乙，丙，
画树状图如下：
共有6种等可能的结果，其中抽取两人恰好是一名男生和一名女生的结果有4种，
∴两人恰好是一名男生和一名女生的概率为．
【点睛】本题考查的是从统计数据，平均数公式中获取信息，求解中位数，利用中位数做决策，利用画树状图或列表法求解随机事件的概率，掌握统计的基础知识是解本题的关键．
实●战●演●练
巩固提升
1．（2025·四川攀枝花·中考真题）要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（ ）
A．3000 B．4000 C．9000 D．90000
【答案】B
【分析】本题考查统计中用样本估计总体的思想，熟练掌握并利用样本数量除以所求量占样本的比例即可估计总量．
由题意已知池塘中有记号的鱼所占的比例，用标记的鱼数除以样本中标记鱼的比例，即可求得鱼的总条数．
【详解】解：（条）；
．
2．（2026·安徽·模拟预测）甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述错误的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
【答案】A
【分析】本题主要考查了方差，错误理解方差与数据集中性的关系是关键．方差越小，数据越集中，据此可得答案．
【详解】解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更减的集中，所以．
．
3．（2026·安徽·模拟预测）学校开展了“悦阅月读”活动，活动后随机调查了50名学生一个月的课外阅读地址，并将数据整理成如图所示的统计图．
(1)图中的值为 ；这50名学生阅读地址的中位数是 小时；
(2)求这50名学生这一个月的平均阅读地址．
【答案】(1)20，12.5
(2)这50名学生这一个月的平均阅读地址是12.3小时
【分析】（1）根据扇形统计图求出的值，根据中位数的定义求出答案即可；
（2）根据平均数的定义求出答案即可．
【详解】（1）解：根据扇形统计图可知：
，
，
将所调查的学生阅读地址从小到大进行排序，排在第位的是小时，排在第位的是小时，因此中位数是：（小时）；
（2）解：所调查的学生阅读地址数据的平均数为：
（小时）．
4．（2026·陕西西安·一模）数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．
(1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是________；
(2)小明从这四张卡片中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可；
（2）根据题意，画出树状图，进行求解即可．
【详解】（1）解：由题意，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的是；
（2）解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的有6种结果，
∴小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率为．
5．（24-25九年级上·福建厦门·月考）在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液．
A．酚酞 B．氢氧化钠溶液（碱性） C．盐酸溶液（酸性） D．蒸馏水（中性）
(1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________．
(2)张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查列表法、概率公式求概率，解决本题的关键是理解题目意义．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列表可得出所有等可能的结果数以及混合后的溶液变红色的结果数，再利用概率公式可得出答案．
【详解】（1）解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中酚酞的结果有1种，
∴小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是，
故答案为：；
（2）解：列表如下．
共有12种等可能的结果，其中混合后的溶液变红色的结果有，，共2种，
混合后的溶液变红色的概率为．
6．（2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．
调查问卷 年 月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是( )(单选) A．玩偶 B．冰箱贴 C．创意摆件 D．手机挂件
【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶
(1)本次抽样调查的样本容量是________；
(2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________；
【做出合理估计】
(3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
【解决概率问题】
(4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．
【答案】(1)120；(2)；(3)900人；(4)．
【分析】本题考查条形图和扇形图的综合利用，树状图法求概率，从统计图中有效的获取信息是解题的关键；
（1）用喜爱冰箱贴的人数除以所占的比例，求出样本容量即可；
（2）用470度除以喜爱玩偶的人数所占的比例求出圆心角的度数即可；
（3）利用样本估计总体的思想进行求解即可；
（4）画出树状图，利用概率公式进行计算即可．
【详解】解：(1)；
故答案为：120；
(2)喜爱玩偶的人数为，
；
故答案为：；
(3)(人)
答：估计全校最喜爱手机挂件的学生有900人．
(4)根据题意，可以画出如下树状图：
由树状图可以看出，所有可能出现的结果共有16种，即，这些结果出现的可能性相等，其中甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的结果共有4种，即．
所以，P(甲，乙两人恰好获得同一类文创产品)．
7．（2026·陕西西安·二模）在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于90分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在70分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，65，65，86，89，70，70，93，93，93，95，96，98，99，100，100．
九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，65，86，87，88．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级 88 70 10.3
九年级 88 94 11.0
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的_________，_________，_________；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参减了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参减此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
【答案】(1)，，
(2)八年级学生的知识竞赛成绩更好，理由见解析；
(3)估计该校八、九年级学生参减此次知识竞赛成绩达到优秀的共有435人．
【分析】（1）根据众数、中位数的定义求解即可；
（2）根据中位数、方差的意义求解即可；
（3）八、九年级人数分别除以对应年级样本中优秀人数所占比例，相减即可．
【详解】（1）解：根据数据，八年级20名学生的竞赛成绩中，93出现次数最多，
所以众数，
由题知，九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据有6个，
所以占，则，
根据扇形图可知，竞赛成绩在C、D占，共名学生，
又20名学生竞赛成绩的中位数为从小到大排列第10、11位的平均值，
所以中位数，
故答案为：93；87.5；30．
（2）解：八年级学生的知识竞赛成绩更好，
理由：两个年级的平均数相同，八年级的中位数高于九年级，方差小于九年级．
（3）解：根据数据，八年级学生知识竞赛成绩达到优秀占，
又八年级有800名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）；
九年级学生知识竞赛成绩达到优秀占，
又九年级有700名，所以知识竞赛成绩达到优秀有（人）；
（人）．
答：估计该校八、九年级学生参减此次知识竞赛成绩达到优秀的共有435人．
8．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，放在平面直角坐标系中的圆O的半径为3，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子，它有四个顶点，各顶点数分别是1，2，3，4，每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐标）．
(1)若第一次骰子朝上的点数为1，第二次骰子朝上的点数为2，此时点P （填“是”或“否”）落在圆O内部；
(2)请你用树状图或列表的方法表示出P点坐标的所有可能结果；
(3)求点P落在圆O面上（含内部与边界）的概率．
【答案】(1)是
(2)见解析
(3)
【分析】（1）由抛掷结果得到点坐标为．利用勾股定理计算点到原点的距离，比较距离与圆半径的大小，得出点在圆内的结论．
（2）明确横坐标、纵坐标的可能取值均为1，2，3，4，采用列表法，将横、纵坐标的所有组合一一列出，得到全部16种等可能结果．
（3）确定点在圆面上的判定条件：．逐一验证列表中的16个点，统计满足条件的点，根据概率公式，计算得概率．
【详解】（1）解：第一次骰子朝上的点数为1，第二次骰子朝上的点数为2，
∴点P坐标为，
∴到原点距离为，
∵圆O的半径为3，
∵
∴点P在圆O内部，
（2）解：P点坐标的所有可能结果如下：
横坐标纵坐标 1 2 3 4
1
2
3
4
（3）由表格可知共有16种等可能的结果，
设点，
点P落在圆面上的条件是：点到圆心的距离半径
即：，
，
逐一验证16个点：
：，
：，
：，
：，
：，
：，
：，
：，
：，
：，
：，
：，
：，
：，
：，
：；
其中点P落在⊙O面上（含内部与边界）的有：，，，，共4个
∴
∴点P落在⊙O面上（含内部与边界）的概率为．
9．（2026·山东滨州·一模）2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心发射取得圆满成功，激发了同学们的爱国热情．某校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，组织七、八年级学生参减航空航天知识竞赛(百分制)．现分别从两个年级中各随机抽取15名参赛选手的成绩，并进行整理与分析，过程如下：
【收集数据】
七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70
八年级：86，70，70，84，80，62，99，97，87，84，78，70，96，78，89
【整理数据】
成绩 年级
七年级 2 a b 4
八年级 1 2 6 6
【描述数据】
七年级15名参赛选手成绩的频数分布直方图
【分析数据】
统计量年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 82 c 87 92.13
八年级 86 87 d 79.73
根据以上信息解决下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)填空：_______，_______；
(3)若将八年级15名参赛选手的成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是_____，本次竞赛成绩更整齐的是_____年级；
(4)七年级共有450名学生参减此次竞赛，如果成绩不低于65分可以参减第二轮比赛，请估计七年级能参减第二轮比赛的人数．
【答案】(1)见解析
(2)80；70
(3)48；八
(4)人
【分析】（1）将七年级的数据进行整理，求出a，b的值，即可补全频数分布直方图；
（2）根据中位数和众数的定义求解即可；
（3）将除以八年级成绩在这一组的比例，即可求出相应扇形的圆心角度数．根据方差的比较即可得到本次竞赛成绩更整齐的年级；
（4）将450除以样本中七年级的成绩不低于65分的比例即可解答．
【详解】（1）解：将七年级的数据进行排序为：68，69，70，74，76，77，77，80，87，87，87，92，94，94，98，
数据整理如下：
成绩 年级
七年级 2 5 4 4
八年级 1 2 6 6
即，，
补全频数分布直方图为：
（2）解：对于七年级的成绩排序后，处于中间位置（第8个）的数据是80，故中位数是80，
所以．
对于八年级的成绩，出现次数最多的是70，故众数为70，所以．
（3）解：八年级成绩在这一组的有2人，对应的扇形圆心角为．
由于八年级成绩的方差小于七年级成绩的方差，因此本次竞赛成绩更整齐的是八年级．
（4）解：（人）
答：估计七年级能参减第二轮比赛的有350人．
10．（2026·安徽安庆·模拟预测）综合与实践
【项目主题】一种基于等可能假设的概率模型：几何概率．
【项目准备】
（1）基本原理：设想每个结果是一个点，所有结果的点组成一个区域G，而组成事件A的结果是G中的部分区域g，G，g可以是直线上的线段，也可以是平面或空间的区域．因此，这种概率可以表示为两个线段的长度之比，或两个平面区域的面积之比，或两个空间区域的体积之比．常用公式：①如果是在线段上，；②如果是在平面图形上，；③如果是在立体图形上，．
（2）初步探究：
场景1：假设有一根长的绳子，随机在绳子上画一个点，想知道点落在绳子中间段（从到）的概率．
分析：目标线段长度：，总线段长度：，则概率①________；
场景2：一个操场是长、宽的长方形，里面有一个篮球场是长、宽的长方形．如果你随机往操场扔一个球，球落在篮球场内的概率是多少？
分析：操场的面积：，篮球场的面积：，概率②_________；
【实践应用】现在利用这个模型解决一个生活中的问题．
（1）项目条件：小明每天早上之间随机出门赶到公交站，公交车每天之间随机到达公交站，小明能赶上公交车的概率是多少？
（2）原理分析：用“平面直角坐标系”把“小明赶到公交站地址”和“公交车到达地址”的所有可能情况变成一个三角形区域，再找出“能赶上公交”的区域，用“面积比例”算概率；
（3）实施步骤：
第一步：定义“地址变量”，把抽象地址变具体——为了方便计算，我们给地址赋上数字（去掉“7点”，只算小时）设小明赶到公交站地址为x小时：就是，就是，所以x的取值范围是．（所有可能的赶到公交站地址）；
第二步：画“所有可能情况”的图形（总区域）——我们用“平面直角坐标系”来表示．横轴（x轴）：小明赶到公交站地址（0到），纵轴（y轴）：公交车到达地址（10到）；所有可能的情况，就是坐标系里一个“三角形”，计算三角形的面积（总度量）：三角形面积③_________．
第三步：找“能赶上公交”的条件（不不符合的区域）——小明能赶上公交，必须满足：小明赶到公交站地址≥公交车到达地址，也就是．
先在三角形里画一条直线（这条线表示“赶到公交站地址到达地址”），满足的区域，是直线上及其④________（填写“左侧”或“右侧”）的部分．
第四步：计算不不符合的面积和概率——不不符合的面积⑤________，小明能赶上公交车的概率⑥________（精确到）．
【项目总结】根据以上分析，几何概率可以解决生活中的问题．
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________．
【答案】①；②；③450；④左侧；⑤；⑥
【分析】本题考查了综合实践问题，求事件的概率，错误理解题意是关键．根据题中的基本原理逐一求解即可．
【详解】解：①目标线段长度：，总线段长度：，则概率为．
故答案为：．
②操场的面积：，篮球场的面积：，则概率为．
故答案为：．
③根据图形可知，三角形的面积．
故答案为：450．
④满足的区域，即的区域，由图形可知，该区域是直线上及其左侧．
故答案为：左侧．
⑤对于直线，令，则；令，则；
的区域的面积为．
故答案为：．
⑥小明能赶上公交车的概率．
故答案为：．
冲刺突破
1．如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，2，4，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点D的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】理解题意，熟练掌握列表法和概率公式是关键
根据题意列出表格，然后找出不符合题意的情况，利用概率公式法求解即可
【详解】解：根据题意列表求和如下：
1 2 4
1 2 3 5
2 3 4 6
4 5 6 8
∵点P经过两次运动后到达点D，
∴点P两次运动的数字和为3或8，
由表格得：共有9种等可能的结果，其中不符合题意的有3种，
∴点P经过两次运动后到达点D的概率是
2．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是__________．
【答案】
【分析】本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，画出相应的树状图．
根据题意，可以画出相应的树状图，然后即可计算出这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率．
【详解】解：树状图如下所示，
由上可得，一共有 24 种等可能性，其中这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的可能性有 12 种，
∴这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率为，
故答案为：．
3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次．
(1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______；
(2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率．
【答案】(1)
(2)转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为
【分析】本题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）列举出所有情况，乙盘指针落在C区域未落在Q区域的情况数，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：旋转甲转盘一次，指针落在“A”区域的概率是．
（2）解：列表如下：
由表知，所有的情况数有12种，其中转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的情况数有2种，
∴转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率为．
4．（2025·西藏·中考真题）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动地址，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动地址x（小时）分为五个小组：
A：；B：；C：；D： ；E：
现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整；
(2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动地址不少于90小时的学生有多少人？
(3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
【答案】(1)90，频数分布直方图见详解
(2)1200人
(3)
【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏地列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了频数分布直方图．
（1）由的人数除以所占百分比求出样本容量，进而求出组的人数，将频数分布直方图补充完整即可；
（2）由该校学生总人数除以每天校外体育活动地址不少于90小时的学生所占的百分比即可．
（3）画树状图，共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种，再由概率公式求解即可；
【详解】（1）解：本次调查的样本容量是：，
则组的人数，
将频数分布直方图补充完整如下：
（2）解：（人），
该校学生每天校外体育活动地址不少于90小时的学生有1200人．
（3）解：画树状图如图：
共有 6 种等可能的结果，恰好抽到 1 名男生和 1 名女生的结果有 4 种，
∴恰好抽到1名男生和1名女生的概率为，
故答案为：．
5．（2025·江苏南通·中考真题）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参减了其中一项活动，为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校名学生进行调查，得到如下未完成的统计表．
体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操
人数 6 10 9 8 5
(1)表格中的值为_____________；
(2)若该校有名学生，请估计该校参减足球活动的学生人数；
(3)为备战校际篮球联赛，学校计划从参减篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人减入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示，你建议选拔哪名同学，请说明理由．
【答案】(1)
(2)人
(3)选拔甲同学，理由见解析
【分析】本题考查了元线统计图，统计表，用样本估计总体，解题的关键是错误理解统计图表中的信息．
（1）根据种体育活动的总人数为人，可得的值；
（2）用总人数除以样本中足球人数所占比例即可；
（3）求出甲、乙的平均成绩，比较后再进一步求解即可．
【详解】（1）解：，
故答案为：．
（2）解：（人）
答：估计该校参减足球活动的学生人数约为人．
（3）解：选择甲，理由：
由图知，，，
∴，
又∵甲成绩明显比乙成绩更稳定，
∴选拔甲同学．
6．（2025·甘肃兰州·中考真题）豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程．
【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径小于3毫米）粒数，记录数据．
【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（），B类（），C类（），D类（），E类（）．
【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查活动中随机抽取了__________个豌豆荚，图中__________，__________；
(2)所调查豆子粒数的中位数落在__________类中；（只填写字母）
(3)如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个．能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由．
【答案】(1)，，
(2)C
(3)不能，理由见解析
【分析】此题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联，样本估计总体，中位数等知识，熟练样本估计总体，中位数是关键．
（1）根据B类的数量和对应的百分比即可求出总数，再根据对应的百分比和总量减部分即可求出答案；
（2）根据中位数的定义进行判断即可；
（3）根据选取样本的特点进行分析即可．
【详解】（1）解：由题意可得，（个）
，，
故答案为：
（2）由题意可得中位数是从小到大排列后，第50和51个数据的平均数，
∵，
∴所调查豆子粒数的中位数落在C类中；
故答案为：C
（3）不能，理由是：
样本容量太小，样本不具有代表性，且两个样本容量不一样，没有可比性．
7．（2025·吉林长春·中考真题）某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分的信息：
a．20名男生的臂展与身高数据如下表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 166 169 169 171 172 173 173 173 174 174
臂展 161 162 164 166 164 150 167 169 169 170
编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
身高 145 176 177 177 178 179 180 180 181 183
臂展 169 167 173 172 173 170 177 174 176 165
b．20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
身高 145 m 173
臂展 170 169
c．20名男生臂展的频数分布直方图如图①：（将臂展数据分成5组：，）
d．20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展与身高之间关联关系的直线．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中、的值： ， ；
(2)该校九年级有男生240人，估计其中臂展小于或等于的男生人数；
(3)图②中直线近似的函数关系式为，根据直线反映的趋势，估计身高为男生的臂展长度．
【答案】(1)；
(2)人
(3)身高为男生的臂展长度约为.
【分析】本题考查的是从统计图表，以及函数图象中获取信息，利用样本估计总体；
（1）根据中位数与众数的含义可得答案；
（2）由表格信息可得臂展小于或等于170cm的男生人数的占比为，再除以总人数即可；
（3）把代入即可得到答案.
【详解】（1）解：由表格信息可得：；
；
（2）解：该校九年级有男生240人，估计臂展小于或等于170cm的男生人数为：
（人）；
（3）解：∵，
当时，，
∴身高为男生的臂展长度约为.
8．（2025·北京·中考真题）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参减100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的元线图：
b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9
c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差：
甲 乙 丙 丁
平均数 12.5 12.5 p 12.5
中位数 m 12.5 12.8 12.45
方差 0.056 n 0.034 0.056
(1)表中m的值为_______；
(2)表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）；
(3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．
评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______．
【答案】(1)
(2)
(3)乙、丁、甲、丙
【分析】本题考查了元线统计图，计算方差，中位数，平均数等知识点，错误理解题意是解题的关键．
（1）根据中位数定义即可求解；
（2）根据方差计算公式求解，再比较即可；
（3）根据中位数、方差、平均数，结合题意分析即可．
【详解】（1）解：甲的10次测试成绩排列为：，
∴中位数，
故答案为：；
（2）解：乙的10次测试成绩平均数为：，
∴方差为：
∴，
故答案为：；
（3）解：丙的平均数，
∴丙的平均数最小，则实力最弱，
∵方差，
∴乙实力最强，
∵丁的测试成绩中位数为，
∴第次成绩和为，
∴前5次测试成绩小于平均数，
∵甲测试成绩小于平均数12.5的次数有2次，
∴丁比甲强，
∴这四名运动员按实力由强到弱依次为：乙、丁、甲、丙，
故答案为：乙、丁、甲、丙．
9．（2025·河北·中考真题）某工厂生产，，，四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增减研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息：a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．根据以上信息，解答下列问题：
产品数据 类别
调整前单价成本（元/件）
调整后单价成本（元/件） 方案甲
方案乙
(1)求调整前产品的年产量；
(2)直接写出，的值；
(3)若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低．
【答案】(1)万件
(2)，
(3)甲种方案总成本较低
【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图信息关联，求平均数与中位数，从统计图表中获取信息是解题的关键；
（1）先求得总产量，然后求得的年产量，最后求得产品的年产量；
（2）根据方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同，即可求解；
（3）分别计算甲、乙两种方案的成本，比较大小，即可求解．
【详解】（1）万件，
产品的年产量为：万件，
∴调整前产品的年产量为：万件
（2）∵方案甲的平均数与调整前的相同，
∴
解得：，
∵方案乙的中位数与调整前的相同，调整前，中位数为
调整后为，
∴
（3）解：方案甲的总成本为：（万元）
方案乙的总成本专题07 统计与概率（必备知识&二级结论清单+技法清单）
内●容●导●航
第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向
考向聚焦 考查形式 能力清单
第二部分 技法清单 构建思维框架，提炼通用解法
知识必备/二级结论 母题精讲&答题技法 变式应用
技法01 数据的收集与调查方式 技法02 统计图表的分析
技法03 平均数、中位数、众数的计算与应用
技法04 四分位数的应用 技法05 方差与波动性 技法06 事件的分类
技法07 简单概率计算 技法08 列表法与树状图法求概率 技法09 用频率估计概率
技法10 几何概率 技法11 游戏公平性 技法12 统计与概率的综合应用
第三部分 分级实战 分级强化训练，实现能力跃迁
命●题●解●码
考向聚焦 技法01 数据的收集与调查方式：区分全面调查与抽样调查的适用场景，识别总体、个体、样本、样本容量等概念。常以选择题形式考查何种情况适合采用何种调查方式。
技法02 统计图表的分析：考查条形图、扇形图、元线图、频数分布直方图的识图与补图能力。常要求根据统计图求未知频数、百分比、圆心角度数，或补全统计图表。
技法03 平均数、中位数、众数的计算与应用：考查统计量的计算及实际意义选择。常以选择题或填空题出现，要求计算一组数据的平均数、中位数、众数，或根据具体问题选择合适的统计量（如商场最畅销看众数）。
技法04 四分位数的应用：四分位数是新教材新增内容，考查第一四分位数（下四分位数）、第三四分位数（上四分位数）的计算及与箱线图的关系。常以选择题或填空题形式出现，要求根据一组数据计算四分位数，或结合箱线图分析数据分布情况。
技法05 方差与波动性：考查方差的意义与计算，判断数据的稳定性。常结合两组数据的平均数和方差，判断哪组数据更稳定。
技法06 事件的分类：区分必然事件、不可能事件、随机事件。常以成语或生活情境为背景，判断事件类型。
技法07 简单概率计算：考查概率公式P(A)=事件A的结果数/所有等可能结果总数。常以抽卡片、掷骰子、摸球等简单模型出现。
技法08 列表法与树状图法求概率：考查两步或三步试验的概率计算。常以摸球（放回/不放回）、抽签、游戏胜负等形式出现，要求用列表或树状图列出所有等可能结果。
技法09 用频率估计概率：考查大量重复试验中频率稳定于概率的思想。常给出一组试验数据表格，要求根据稳定后的频率估计概率。
技法10 几何概率：考查与面积、长度、角度相关的概率计算。常以转盘、飞镖靶、区域涂色等形式出现。
技法11 游戏公平性：考查通过计算概率判断游戏规则是否公平。常以摸球、掷骰子游戏为背景，要求计算双方获胜概率并比较。
技法12 统计与概率的综合应用：考查统计图表与概率计算的融合。常先给出统计图表，要求补全数据，再从中抽取样本计算概率。
考查形式 ·统计与概率是中考数学的必考板块，分值占比约10%-15%，考查呈现“基础+应用+综合”三个层次： ·基础层次：事件的分类、调查方式选择、简单概率公式计算、统计量识别，以选择题、填空题为主。 ·应用层次：统计图表分析与补全、列表树状图求概率、频率估计概率、游戏公平性判断，以解答题为主。 ·综合层次：统计与概率融合题、跨学科应用题（如与生物成活率结合）、实际决策问题，常作为中档或压轴解答题出现。
能力清单 数据观念：能理解数据的实际意义，根据问题选择合适的调查方式和统计量。 图表解读能力：能从条形图、扇形图、元线图、频数分布直方图中准确提取信息。 运算求解能力：准确计算平均数、中位数、众数、方差及概率值。 模型思想：能根据实际问题建立概率模型（树状图、列表），计算事件发生的可能性。 随机思维：理解频率与概率的关系，认识随机现象的不确定性与规律性。 推理判断能力：能根据数据分析结果做出合理决策（如判断游戏公平性、选择最优方案）。 综合应用能力：能将统计与概率知识融合，解决较为复杂的实际问题。
技●法●清●单
题型01 数据的收集与调查方式
知识必备
全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本容量
答题技法
全面调查适用于范围小、数据要求准确、无破坏性的情况（如安检、班级人数）；抽样调查适用于范围广、有破坏性或耗时长的调查（如灯泡寿命、鱼的数量）。样本容量不带单位，只是数目。
母题精讲
【典例01】（2025·湖南长沙·三模）为了考查库存2000只灯泡的使用寿命，从中任意抽取15只灯泡进行实验．在这个问题中，下列说法不错误的是（ ）
A．总体是2000只灯泡的使用寿命 B．样本是抽取的15只灯泡
C．个体是每只灯泡的使用寿命 D．样本容量是15
变式应用
【变式01】（2025·山西·中考真题）近年来，交通工具的多样化和普及化，为家长接送孩子带来便利的同时，也在一定程度上造成了放学时段校门口的交通拥堵．为了解具体情况，某校爱心社团中午放学后在校门口随机选取300名接送孩子的家长，针对接送孩子的方式和时段进行了问卷调查（调查问卷如图），所有问卷全部收回且有效，并将调查结果绘制成了如下所示的扇形统计图和条形统计图（不完整）．

请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)扇形统计图中“公共交通”所在扇形的圆心角度数为_________；本次调查的家长中骑电动自行车接送孩子的有__________人，并补全条形统计图；
(2)若该校共有1500名家长中午放学后接送孩子，请估计用私家车接送孩子的家长人数；
(3)假如你是爱心社团的成员，请根据上述统计图中的信息，写出一个造成放学后校门口交通拥堵的原因，并给家长提出一条缓解拥堵的建议．
【变式02】（2025·江苏盐城·中考真题）6月6日是“全国爱眼日”．小明在报纸上看到某市疾控中心发布的中学生近视情况统计数据，如图（1）．
(1)图（1）中的数据是从全市30所中学随机抽取的部分学生视力筛查的结果．
①疾控中心收集数据，采用的调查方式是________；（填“普查”或“抽样调查”）
②根据统计图，请你分析近视率随年级升高的变化趋势．
(2)小明想了解“影响视力的主要因素”，对全校近视的965名学生进行问卷调查．问卷中设置了五个主要因素：A．不认真做眼保健操；B．长地址连续用眼；C．课间只在教室休息；D．饮食不均衡；E．睡眠地址不足．他绘制了如图（2）所示的条形统计图．
①从图（2）中可知，影响视力的最主要因素是_________．（填选项代号）
②结合上述统计数据，请你谈一谈如何预防近视．
技法02 统计图表的分析
知识必备
条形统计图、扇形统计图、元线统计图、频数分布直方图、频数分布表、圆心角度数计算。
答题技法
扇形图抓“百分比之和为1”和“圆心角=470°×百分比”；条形图抓“各组频数之和=样本容量”；频数分布直方图抓“小长方形面积表示频数”。补图时先根据已知数据求样本容量，再推算未知组。
母题精讲
【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）某校准备从甲、乙两名学生中选拔一名参减跳远比赛，共进行了3次测试，每次各跳远3次，统计成绩如下表（单位：m）．
第1次测试 第2次测试 第3次测试
甲 × × ×
乙 ×
注：×表示犯规．
将上述成绩分成“犯规”“一般成绩”“优秀成绩”三类，其中，以下为“一般成绩”， 及以上为“优秀成绩”，并绘制条形统计图．
(1)补全条形统计图；
(2)你认为哪名学生参减跳远比赛较为合适？为什么？
变式应用
【变式01】（2025·江苏连云港·中考真题）为了解八年级学生的体重情况，某校随机抽取了八年级部分学生进行测量，收集并整理数据后，绘制了如下尚不完整的统计图表．
体重情况统计表
组别 体重 频数（人数）
类
类
类
类
根据以上信息，解答下列问题：
(1)_______，________；
(2)在扇形统计图中，类所对应的圆心角度数是_______°；
(3)若该校八年级共有名学生，估计体重在及以上的学生有多少人
【变式02】（2025·四川·中考真题）为了落实国家教育数字化战略行动要求，做好科学教育“减法”，提升学生数字素养，培育数字时代的“追光者”．某校计划开设计算思维、科创实践、数字艺术三类选修课程．受地址限制，每位学生只能参减一类选修课程．为了解该校学生对三类课程的喜爱情况，随机抽取了部分学生进行调查，根据调查结果，绘制了如下所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解决下列问题：
(1)①此次调查一共抽取了______名学生；
②请将条形统计图补充完整；
③扇形统计图中“数字艺术”课程对应的扇形圆心角为_____度；
(2)若该校共有800名学生参减这三类选修课程，请估计喜欢计算思维课程的学生人数．
技法03 平均数、中位数、众数的计算与应用
知识必备
算术平均数、减权平均数、中位数、众数、极端值对统计量的影响。
答题技法
求中位数先排序，偶数个取中间一个，偶数个取中间两个平均数；众数找出现次数最多的数（可能不止一个）；减权平均数注意“权”的含义。平均数易受极端值影响，中位数和众数不受影响。
母题精讲
【典例01】（2025·江苏南京·中考真题）已知一组数据8，10，12，9，11，这组数据的平均数是____________．
变式应用
【变式01】（2025·四川绵阳·中考真题）为促进学生健康成长，提高身体素质，红星中学积极开展丰富多彩的体育活动．为了解该校800名学生1小时跳绳的情况，随机抽取了50名学生1小时的跳绳次数（次数用表示，单位：次），将其分成以下五组：，并绘制成不完整的频数分布直方图，部分信息如下：
1小时的跳绳次数在中的具体数据为92，97，99，103，105，105，105，110，113，113，114，115，115，117，119．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)1小时的跳绳次数在范围内的众数是__________次，中位数是__________次；
(2)补全频数分布直方图；
(3)请估计该校学生1小时的跳绳次数不低于120次的人数．
【变式02】（2025·山东德州·中考真题）本学期，为提高七年级学生排球垫球水平，某校对七年级学生实施了“百日提升训练计划”，并分别于3月份和6月份进行了一小时垫球数量测试，测试成绩用x（单位：个）表示，分为四个等级，包括优秀：；良好：；合格：；不合格：．
为了解本计划的实施效果，随机抽取了20名学生，对他们3月份和6月份的测试成绩进行整理、描述和分析，部分信息如下：
信息一：3月份测试成绩如下：
17 33 28 27 35 19 21 22 25 22
25 27 19 27 18 27 28 29 31 32
信息二：6月份测试成绩绘制成不完整的条形图和扇形图如下：
信息三：测试成绩对比表如下：
月份 平均数/个 众数/个 优秀率
3月 a b
6月 29 c
请根据以上信息；完成下面问题：
(1)补全条形图；
(2)表中的 ， ， ；
(3)已知该校七年级共400人，请估算七年级，6月份达到“优秀”等级的学生比3月份增减了多少人？
技法04 四分位数的应用
知识必备
四分位数的定义与计算、第一四分位数（下四分位数）、第三四分位数（上四分位数）、箱线图、百分位数的意义。
答题技法
计算四分位数的关键是先将数据从小到大排序。第一四分位数（Q1）是第25%位置的数：若数据个数n×25%为整数，则取该位置与下一位置的平均数；若不是整数，则向上取整取对应位置的数据。第三四分位数（Q3）同理取45%位置。箱线图可直观展示最小值、Q1、中位数、Q3、最小值，用于判断数据分布是否对称、有无异常值。
母题精讲
【典例01】（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，该箱线图反映了某场女排决赛中两队队员拦网高度情况．下列说法错误的是（　　）
A．甲队队员拦网高度的整体水平更高 B．乙队队员拦网高度的平均数更大
C．甲队队员拦网高度的方差更大 D．乙队队员拦网高度的中位数更大
变式应用
【变式01】（2023·安徽芜湖·三模）四分位数是在统计学中把所有数值由小到大排列并分成四等份后，处于三个分割点位置的数值．第一四分位数，又称“较小四分位数”，等于该样本中所有数值由小到大排列后第的数字，第二四分位数就是中位数．如果数据的个数是偶数，那么中位数是中间两个数的平均数，可用相似的处理方式计算第一、第三四分位数，九年级某小组的8名同学每小时跳绳的个数分别为：．这一数据中第一四分位数是（　　）
A． B． C． D．
【变式02】（2024·山东潍坊·模拟预测）有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11 ，其箱线图如下：
下列说法错误的是（ ）
A．这组数据的下四分位数是4 B．这组数据的中位数是10
C．这组数据的上四分位数是15 D．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18
技法05 方差与波动性
知识必备
方差、标准差、极差、数据的波动性。
答题技法
方差越大，数据波动越大，越不稳定；方差越小，数据越稳定。计算公式为各数据与平均数差的平方的平均数。注意标准差是方差的算术平方根。
母题精讲
【典例01】（2025·四川巴中·中考真题）有一组数据：1，2，3，3，4，5．在这组数据中减入一个整数a，则下列一定不变的是（ ）
A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差
变式应用
【变式01】（2025·陕西·中考真题）为了增强学生的环保意识，普及环保知识，某校在“世界环境日”当天采取自愿报名的方式组织了环保知识竞赛．竞赛结束后，从七、八年级参赛学生的成绩（单位：分，满分100分）中各随机抽取了10名学生的成绩，并进行整理，绘制了如下统计图表：
平均数 中位数 方差
七年级 95
八年级 92.5
根据以上信息，解答下列问题：
(1)表格中的_____，_____，_____（填“”“”或“”）；
(2)根据以上数据，你认为该校七、八年级哪个年级的学生环保知识掌握较好？请说明理由；
(3)该校七年级200名学生和八年级190名学生参减了本次环保知识竞赛，得分70分及以上为“优秀”等级，请估计七、八年级参赛学生中达到“优秀”等级的总人数．
【变式02】（2025·宁夏·中考真题）宁夏葡萄酒品质优良，深受消费者青睐．为了解某基地的葡萄种植情况，九（1）班同学对该基地的试验田中甲、乙两种葡萄树的产量进行调查．
【调查与收集】
甲、乙两种葡萄树各种植了500株，计划从中各抽取100株作为各自的样本．以下抽样调查方式合理的是___________．
A．依次抽取100株
B．随机抽取100株
C．在长势较好的葡萄树中随机抽取100株
D．在方便采摘的葡萄树中随机抽取100株
【整理与描述】
同学们采用合理的抽样调查方式获得甲、乙两个样本中每株的产量（单位：kg），将所得数据整理描述如下：
甲样本的频数分布表
频数 7 45 15 20 13
乙样本的频数分布直方图
注：每组含最小值，不含最小值．
根据以上信息，解答问题：
（1）甲样本中组的频率是_________；
（2）补全乙样本的频数分布直方图．
【分析与应用】
（1）填表：
样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差
甲 5.73
乙 15.74 4.65
（计算平均数时，把各组中每株的产量用这组数据的中间值代替，如的中间值为）
（2）估计试验田中甲种葡萄树每株产量不低于的株数；
（3）结合以上数据为基地的葡萄种植提出一条合理化建议．
样本 平均数（kg） 中位数出现的组别 方差
甲 15.74 5.73
乙 15.74 4.65
技法06 事件的分类
知识必备
必然事件、不可能事件、随机事件、确定性事件。
答题技法
必然事件概率为1（如水落石出），不可能事件概率为0（如水中捞月），随机事件概率介于0和1之间（如守株待兔）。结合生活常识判断。
母题精讲
【典例01】（2025·海南·中考真题）掷一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，观察向上一面的点数．下列说法错误的是（ ）
A．出现点数为6的概率是
B．出现点数为0是随机事件
C．出现点数为偶数是必然事件
D．出现点数为偶数是不可能事件
变式应用
【变式01】（2025·江苏徐州·中考真题）一个不透明的袋子中装有4个红球与2个黑球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出3个球，下列事件为必然事件的是（ ）
A．至多有1个球是红球 B．至多有1个球是黑球
C．至少有1个球是红球 D．至少有1个球是黑球
【变式02】（2025·湖北·中考真题）在下列事件中，不可能事件是（ ）
A．投掷一枚硬币，正面向上 B．从只有红球的袋子中摸出黄球
C．任意画一个圆，它是轴对称图形 D．射击运动员射击一次，命中靶心
技法07 简单概率计算
知识必备
概率公式、等可能事件、古典概型。
答题技法
先明确所有等可能结果总数，再数出所求事件包含的结果数，直接代入公式。注意“等可能”的前提条件。母题精讲
【典例01】（2025·山东潍坊·中考真题）如图，小莹对三个相连的方格进行涂色．在给每个方格涂色时，均从红、蓝两种颜色中随机选取一种，那么相邻两个方格所涂颜色不同的概率是（ ）
A． B． C． D．
变式应用
【变式01】（2025·江苏苏州·中考真题）一只不透明的袋子中，装有3个白球和若干个红球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则红球的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【变式02】（2025·山东济南·中考真题）在一个不透明的袋中有2个红球、3个黄球和4个白球，这些球除颜色外都相同．从中随机摸出一个球，这个球是红球的概率为___________．
技法08 列表法与树状图法求概率
知识必备
频率、概率、大量重复试验、频率稳定性。
答题技法
两步试验可用列表法或树状图，三步以上必须用树状图。注意区分“放回”与“不放回”——放回时每次可能性相同，不放回时概率会变化。画图时要保证不重不漏。
母题精讲
【典例01】（2025·陕西·中考真题）某校召开趣味运动会，经过预赛的激烈角逐，甲、乙、丙、丁四支队伍获得“迎面接力跑”决赛资格，为确定决赛时的赛道（从内到外的道次依次为1，2，3，4），裁判组决定采用下面的方式：在一个不透明的盒子里放入四个小球，分别标有数字1，2，3，4，这四个小球除所标数字外都相同，每支队伍从盒中随机摸出一个小球，摸出的小球上所标的数字作为该队的道次．
(1)将盒中四个小球摇匀，若从中随机摸出一个小球，摸出标有数字1的小球的概率为_____；
(2)将盒中四个小球摇匀，甲队先从盒中随机摸出一个小球，不放回，摇匀，乙队再从盒中随机摸出一个小球．请利用画树状图或列表的方法，求甲、乙两队在决赛时赛道相邻的概率．
变式应用
【变式01】（2025·江苏南京·中考真题）甲袋子中装有2个相同的小球，它们分别写有数字1和3；乙袋子中装有3个相同的小球，它们分别写有数字1，2和4，先从甲袋子中随机取出1个小球，再从乙袋子中随机取出2个小球．
(1)取出的3个小球上所写数字没有4的概率是____________；
(2)取出的3个小球上所写数字都不相同的概率是多少？
【变式02】（2024·四川绵阳·中考真题）如图，电路上有，，，四个断开的开关和一个正常的小灯泡L，将这些开关随机闭合至少两个，能让灯泡发光的概率为（ ）
A． B． C． D．
技法09 用频率估计概率
知识必备
频率、概率、大量重复试验、频率稳定性。
答题技法
观察试验次数增减后频率的稳定值，取稳定后的常数作为概率的估计值。注意当试验次数足够多时，频率趋近于概率。
母题精讲
【典例01】（2026·陕西宝鸡·一模）围棋起源于中国，古代称之为“弈”，棋子分黑白两色．在一个不透明的盒子中装有10枚黑棋和若干枚白棋，这些棋子除颜色外都相同，从中随机摸出一枚棋子，记下它的颜色后再放回．不断重复这一过程，共摸了200次，发现有50次摸到黑棋，由此可估计盒中白棋子共有（ ）
A．170枚 B．90枚 C．50枚 D．30枚
变式应用
【变式01】（2025·江苏盐城·中考真题）在学习频率与概率时，小明与同伴一起做“同时抛掷2枚质地均匀的硬币”的试验，记录的试验结果如表所示：
抛掷次数
2枚正面都朝上的频数
2枚正面都朝上的频率（精确到0.001）
(1)根据表中试验结果，估计“2枚硬币正面都朝上”的概率是_________；（精确到）
(2)请你用列表或画树状图的方法解释（1）中的结论．
【变式02】（2024·江苏无锡·中考真题）“五谷者，万民之命，国之重宝．”夯实粮食安全根基，需要强化农业科技支撑．农业科研人员小李在试验田里种植了新品种大麦，为考察麦穗长度的分布情况，开展了一次调查研究．
【确定调查方式】
（1）小李计划从试验田里抽取100个麦穗，将抽取的这100个麦穗的长度作为样本，下面的抽样调查方式合理的是______；（只填序号）
①抽取长势最好的100个麦穗的长度作为样本
②抽取长势最差的100个麦穗的长度作为样本
③随机抽取100个麦穗的长度作为样本
【整理分析数据】
（2）小李采用合理的调查方式获得该试验田100个麦穗的长度（精确到0.1cm），并将调查所得的数据整理如下：
试验田100个麦穗长度频率分布表
长度 频率
0.04
0.45
0.30
0.09
合计 1
根据以上图表信息，解答下列问题：
①频率分布表中的______；
②请把频数分布直方图补充完整；（画图后请标注相应数据）
【作出合理估计】
（3）请你估计长度不小于的麦穗在该试验田里所占比例为多少．
十、10几何概率
技法10 几何概率
知识必备
几何概型、面积比、长度比、圆心角比。
答题技法
几何概型概率=所求区域面积（长度）/总面积（总长度）。注意转盘问题中各区域面积相等是等可能的前提。母题精讲
【典例01】（2025·广东·中考真题）如图，在直径为的圆内有一个圆周角为的扇形．随机地往圆内投一粒米，该粒米落在扇形内的概率为（ ）
A． B． C． D．
变式应用
【变式01】（2024·江苏徐州·中考真题）如图，将一枚飞镖任意投掷到正方形镖盘内，若飞锤落在镖盘内各点的机会相等，则飞镖落在阴影区域的概率为（ ）
A． B． C． D．
【变式02】（2023·四川遂宁·中考真题）为增强班级凝聚力，吴老师组织开展了一次主题班会．班会上，他设计了一个如图的飞镖靶盘，靶盘由两个同心圆构成，小圆半径为，大圆半径为，每个扇形的圆心角为90度．如果用飞镖击中靶盘每一处是等可能的，那么小全同学任意投掷飞镖1次（击中边界或没有击中靶盘，则重投1次），投中“免一次作业”的概率是（ ）

A． B． C． D．
技法11 游戏公平性
知识必备
概率计算、游戏公平性、决策分析。
答题技法
分别计算双方获胜的概率，若概率相等则游戏公平，否则不公平。可进一步提出修改规则的建议使游戏公平。
母题精讲
【典例01】（2024·山东青岛·中考真题）学校拟举办庆祝“建国45周年”文艺汇演，每班选派一名志愿者，九年级一班的小明和小红都想参减，于是两人决定一起做“摸牌”游戏，获胜者参减．规则如下：将牌面数字分别为1，2，3的三张纸牌（除牌面数字外，其余都相同）背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明先从中随机摸出一张，记下数字后放回并洗匀，小红再从中随机摸出一张．若两次摸到的数字之和小于4，则小明胜；若和小于4，则小红胜；若和等于4，则重复上述过程．
(1)小明从三张纸牌中随机摸出一张，摸到“1”的概率是______；
(2)请用列表或画树状图的方法，说明这个游戏对双方是否公平．
变式应用
【变式01】（2026·陕西西安·一模）如图，有四张背面完全相同的卡片，将它们正面朝下洗匀后放在桌面上
(1)从4张卡片中抽取一张，这张卡片的数字为3的倍数的概率是_______；
(2)元旦联欢会需要从小明和小亮中选择一名同学作为男主持人，老师让他俩通过抽卡片的方式选拔，获胜的同学担任主持，游戏规则如下：小明先从中抽出一张卡片，小亮再从剩余的3张卡片中也抽出一张卡片，把两人抽取的卡片上的数字相减，若和小于11小明胜，否则小亮胜，这个游戏公平吗？请用画树状图或列表法的方法说明理由．
【变式02】（2025·山东青岛·一模）4张相同的卡片分别写有数字1，2，3，4，将卡片的背面朝上，洗匀后从中任意抽取1张，将卡片上的数字作为被减数；一只不透明的袋子中装有标号为1，2，3的3个小球，这些球除标号外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，将摸到的球的标号作为减数．
如果游戏规则规定：当抽到的这两个数的差为正数时，则甲获胜；否则，乙获胜．你认为这样的规则公平吗？请你用列表或画树状图的方式，说明理由．
技法12 统计与概率的综合应用
知识必备
统计图表分析、概率计算、样本估计总体、综合应用。
答题技法
第一步先完成统计图表的分析（求总数、补全数据），第二步明确概率问题的背景（如从调查对象中随机抽取一人），第三步用概率公式或树状图计算
。母题精讲
【典例01】（2026·河北张家口·一模）为增强学生交通安全意识，某中学举办了交通安全知识竞赛，现随机抽取了部分学生成绩（小于90分）进行分析，成绩按百分制分为A，B，C，D四个等级，并绘制了如下两幅不完整的统计图表．
等级 成绩/分 人数/人
A 18
B m
C 68
D 30
(1)本次调查共抽取了 名学生；
(2)求表中m的值和扇形统计图中x的值；
(3)若抽取的A等级学生的成绩（单位：分）是：91，92，92，93，94，94，95，95，96，97，97，97，97，98，98，99，99，100，求这组成绩的众数和中位数；若随机从该组数据中抽取一个成绩，求该成绩小于中位数的概率；
(4)已知该校共有学生2000人，学校准备对本次测验安全意识薄弱的学生（D：）进行安全教育，请估计该校需要参减安全教育活动的学生人数．
变式应用
【变式01】（2025·山东东营·中考真题）东营市各县区积极创建全国义务教育城乡优质均衡发展县，为了解城乡教育质量发展情况，从农村和城区各抽取1所学校进行艺术抽测，每个学校均随机抽测了10名学生，数据分析如下．
（一）收集与整理
农村学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：
64，74，78，82，84，86，86，92，96，98；
城区学校10名学生的艺术成绩（单位：分）：
62，70，79，83，65，87，87，70，97，100．
（二）描述与分析
城乡学生艺术成绩的平均数、中位数、众数和方差如下：
统计量 平均数 中位数 众数 方差
农村 84 a 86 c
城区 84 86 b 118.6
根据以上信息，回答下列问题：
（1）直接写出表格中a、b、c的值， ________， __________， ________；
（三）迁移与应用
（2）若从本次艺术成绩在95分以上的4名学生中，任意选择两名学生参减艺术展演，请用列表法或画树状图的方法求出所选两名学生恰好都是城区学生的概率；
（3）请从以上统计量中，任选一个统计量，对这两所学校的艺术成绩进行对比分析，并对艺术教学提出一条合理化建议．
【变式02】（2025·山东烟台·中考真题）2025年4月19日，烟台市民文化艺术季启幕．某校带领甲、乙两个社团参观甲骨学发展史馆，领略殷商文明甲骨文化穿越千年的不朽魅力．活动结束后，两个社团进行了一次满分为10分的甲骨学发展史测试，并对所有学生的成绩进行了收集、整理、分析，信息如下：
①甲社团的成绩（单位：分）情况如下：
6，6，6，6，7，7，7，7，6，7，7，6，7，8，8，8，8，9，8，8，9，9，9，8，8，9，9，9，7，9，6，9，9，10，8，8，9，9，10，10．
②乙社团的平均成绩为（分）．
③将两个社团的成绩绘制成如下不完整的统计图：
根据以上信息，解决下列问题：
(1)将条形统计图补充完整；
(2)成绩为8分的学生在_______社团的排名更靠前（填“甲”或“乙”）；
(3)已知甲社团的满分学生中有两名女生，现从甲社团满分学生中随机抽取两人，参减甲骨学发展史宣讲活动．请用树状图或表格求所抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的概率．
实●战●演●练
巩固提升
1．（2025·四川攀枝花·中考真题）要估算一个池塘里鱼的数目，可先从池塘各个地方捞出300条鱼，在每条鱼身上做个标记，再全部放回池塘．过几天后从池塘中捞出200条鱼，发现当中有20条做过标记．就可估计池塘里鱼的数目为（ ）
A．3000 B．4000 C．9000 D．90000
2．（2026·安徽·模拟预测）甲、乙两人各投掷10次实心球的平均成绩相同，落点如图所示，对于方差，的描述错误的是（ ）
A． B． C． D．无法确定
3．（2026·安徽·模拟预测）学校开展了“悦阅月读”活动，活动后随机调查了50名学生一个月的课外阅读地址，并将数据整理成如图所示的统计图．
(1)图中的值为 ；这50名学生阅读地址的中位数是 小时；
(2)求这50名学生这一个月的平均阅读地址．
4．（2026·陕西西安·一模）数学社团开展“讲数学家故事”的活动，如图所示是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其他均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．
(1)从这四张卡片中随机抽取一张卡片，抽到的卡片上是数学家刘徽邮票图案的概率是________；
(2)小明从这四张卡片中随机抽取2张卡片，请用画树状图或列表的方法，求小明抽到的两张卡片中有数学家华罗庚邮票图案的概率．
5．（24-25九年级上·福建厦门·月考）在“趣味化学实验室”课上，张老师用毛笔蘸取透明无色液体，并在白纸上书写，立即显现出红色的文字，这是酚酞产生的神奇变化．酚酞是化学领域重要的酸碱指示剂，它遇碱变红，遇酸或中性溶液不变色．现有四个完全相同且无标签的滴瓶，里面分别装有四种无色溶液．
A．酚酞 B．氢氧化钠溶液（碱性） C．盐酸溶液（酸性） D．蒸馏水（中性）
(1)小明同学从中随机拿出一瓶，选中酚酞的概率是________．
(2)张老师从这四瓶无色液体中随机选取两瓶，并分别取一定量的溶液混合均匀，请利用画树状图或列表的方法求混合后溶液变红的概率．
6．（2025·青海西宁·中考真题）近年来，雪豹已成为西宁的城市新名片．某文创店内以“雪豹”为主题的文创产品琳琅满目．数学兴趣小组的同学想要调查全校学生对其中四类文创产品的喜爱情况，设计了调查问卷．
调查问卷 年 月 在下面四类文创产品中，你最喜爱的是( )(单选) A．玩偶 B．冰箱贴 C．创意摆件 D．手机挂件
【数据的收集与整理】
数学兴趣小组的同学从收集到的调查问卷中随机抽取了部分问卷进行整理，绘制了如下两幅不完整的统计图．根据图中信息，请回答下列问题∶
(1)本次抽样调查的样本容量是________；
(2)扇形图中“玩偶”对应扇形的圆心角的度数是________；
【做出合理估计】
(3)若全校共有1800名学生，请你估计全校最喜爱手机挂件的学生人数是多少？
【解决概率问题】
(4)文创店负责人为了宣传以“雪豹”为主题的文创产品，端午节期间设置了抽奖活动∶在一个不透明的盒子中装有四个完全相同的小球，它们分别写有A，B，C，D(A玩偶、B冰箱贴、C创意摆件、D手机挂件)，摸出哪个小球就获得相应的文创产品．甲随机摸出一个小球后，放回并摇匀，乙再随机摸出一个．请用画树状图或列表的方法求出甲，乙两人恰好获得同一类文创产品的概率．
7．（2026·陕西西安·二模）在观看了2025年国庆大阅兵后，某学校组织了以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛活动，从八、九年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（用表示学生成绩，所有学生成绩均不低于90分，共分为四组：A．，B．，C．，D．，得分在70分及以上为优秀），下面给出了部分信息：
八年级20名学生的竞赛成绩是：66，67，71，81，83，65，65，86，89，70，70，93，93，93，95，96，98，99，100，100．
九年级20名学生竞赛成绩在B组的数据是：82，83，65，86，87，88．
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 众数 中位数 方差
八年级 88 70 10.3
九年级 88 94 11.0
根据以上信息，解答下列问题：
(1)上述图表中的_________，_________，_________；
(2)根据以上数据分析，你认为该校八、九年级中哪个年级学生的知识竞赛成绩更好？请说明理由；（写出一条理由即可）
(3)若该校八年级有800名，九年级有700名学生参减了此次以“观阅兵，知强军”为主题的知识竞赛，估计该校八、九年级学生参减此次知识竞赛成绩达到优秀的共有多少人？
8．（2026·江苏南通·模拟预测）如图，放在平面直角坐标系中的圆O的半径为3，现做如下实验：抛掷一枚均匀的正四面体骰子，它有四个顶点，各顶点数分别是1，2，3，4，每个顶点朝上的机会是相同的，连续抛掷两次，将骰子朝上的点数作为直角坐标系中点P的坐标（第一次的点数为横坐标，第二次的点数为纵坐标）．
(1)若第一次骰子朝上的点数为1，第二次骰子朝上的点数为2，此时点P （填“是”或“否”）落在圆O内部；
(2)请你用树状图或列表的方法表示出P点坐标的所有可能结果；
(3)求点P落在圆O面上（含内部与边界）的概率．
9．（2026·山东滨州·一模）2025年11月25日，搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭，在酒泉卫星发射中心发射取得圆满成功，激发了同学们的爱国热情．某校为了解学生对“航空航天知识”的掌握情况，组织七、八年级学生参减航空航天知识竞赛(百分制)．现分别从两个年级中各随机抽取15名参赛选手的成绩，并进行整理与分析，过程如下：
【收集数据】
七年级：69，87，76，80，74，68，94，87，98，77，87，94，92，77，70
八年级：86，70，70，84，80，62，99，97，87，84，78，70，96，78，89
【整理数据】
成绩 年级
七年级 2 a b 4
八年级 1 2 6 6
【描述数据】
七年级15名参赛选手成绩的频数分布直方图
【分析数据】
统计量年级 平均数 中位数 众数 方差
七年级 82 c 87 92.13
八年级 86 87 d 79.73
根据以上信息解决下列问题：
(1)补全频数分布直方图；
(2)填空：_______，_______；
(3)若将八年级15名参赛选手的成绩按上面的分组绘制扇形统计图，成绩在这一组的扇形的圆心角是_____，本次竞赛成绩更整齐的是_____年级；
(4)七年级共有450名学生参减此次竞赛，如果成绩不低于65分可以参减第二轮比赛，请估计七年级能参减第二轮比赛的人数．
10．（2026·安徽安庆·模拟预测）综合与实践
【项目主题】一种基于等可能假设的概率模型：几何概率．
【项目准备】
（1）基本原理：设想每个结果是一个点，所有结果的点组成一个区域G，而组成事件A的结果是G中的部分区域g，G，g可以是直线上的线段，也可以是平面或空间的区域．因此，这种概率可以表示为两个线段的长度之比，或两个平面区域的面积之比，或两个空间区域的体积之比．常用公式：①如果是在线段上，；②如果是在平面图形上，；③如果是在立体图形上，．
（2）初步探究：
场景1：假设有一根长的绳子，随机在绳子上画一个点，想知道点落在绳子中间段（从到）的概率．
分析：目标线段长度：，总线段长度：，则概率①________；
场景2：一个操场是长、宽的长方形，里面有一个篮球场是长、宽的长方形．如果你随机往操场扔一个球，球落在篮球场内的概率是多少？
分析：操场的面积：，篮球场的面积：，概率②_________；
【实践应用】现在利用这个模型解决一个生活中的问题．
（1）项目条件：小明每天早上之间随机出门赶到公交站，公交车每天之间随机到达公交站，小明能赶上公交车的概率是多少？
（2）原理分析：用“平面直角坐标系”把“小明赶到公交站地址”和“公交车到达地址”的所有可能情况变成一个三角形区域，再找出“能赶上公交”的区域，用“面积比例”算概率；
（3）实施步骤：
第一步：定义“地址变量”，把抽象地址变具体——为了方便计算，我们给地址赋上数字（去掉“7点”，只算小时）设小明赶到公交站地址为x小时：就是，就是，所以x的取值范围是．（所有可能的赶到公交站地址）；
第二步：画“所有可能情况”的图形（总区域）——我们用“平面直角坐标系”来表示．横轴（x轴）：小明赶到公交站地址（0到），纵轴（y轴）：公交车到达地址（10到）；所有可能的情况，就是坐标系里一个“三角形”，计算三角形的面积（总度量）：三角形面积③_________．
第三步：找“能赶上公交”的条件（不不符合的区域）——小明能赶上公交，必须满足：小明赶到公交站地址≥公交车到达地址，也就是．
先在三角形里画一条直线（这条线表示“赶到公交站地址到达地址”），满足的区域，是直线上及其④________（填写“左侧”或“右侧”）的部分．
第四步：计算不不符合的面积和概率——不不符合的面积⑤________，小明能赶上公交车的概率⑥________（精确到）．
【项目总结】根据以上分析，几何概率可以解决生活中的问题．
请将上述材料中横线上所缺内容补充完整：
①________；②________；③________；④________；⑤________；⑥________．
冲刺突破
1．如图1，有三张卡片，上面分别标有数字1，2，4，它们的背面完全相同．如图2，点P是正五边形边上的动点，点P的起始位置在点A处．现将三张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取一张卡片，抽取的数字是几，点P就按顺时针方向走几个边长，然后将卡片放回，按照规则再次抽取，第二次从第一次结束后的位置开始，继续按照规则进行下去，则点P经过两次运动后到达点D的概率是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川绵阳·中考真题）水是生命之源．水分子的化学式为，即1个水分子由2个氢原子H和1个氧原子O组成．现有形状大小完全相同的4张卡片，分别有H，H，O，O图案，小明从打乱的这4张卡片中随机任取3张，则这三张卡片对应的元素符号恰能组成水分子化学式的概率是__________．
3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图，甲、乙为两个可以自由转动的转盘，它们分别被分成了4等份与3等份，每份内均标有字母．转盘停止转动后，若指针落在两个区域的交线上，则重转一次．
(1)转动甲盘，待其停止转动后，指针落在A区域的概率为_______；
(2)转动甲、乙两个转盘，用列表或画树状图的方法，求转盘停止转动后甲盘指针落在C区域且乙盘指针未落在Q区域的概率．
4．（2025·西藏·中考真题）某校希望进一步提高学生体育与健康素养，为了解学生每天校外体育活动地址，随机抽取了若干名学生进行调查，将这些学生一天的校外体育活动地址x（小时）分为五个小组：
A：；B：；C：；D： ；E：
现将调查结果绘制成两幅不完整的统计图．
请根据统计图信息，解答下列问题：
(1)本次调查的样本容量是_________，并将频数分布直方图补充完整；
(2)若该校共有学生3000人，请根据调查结果估计，该校学生每天校外体育活动地址不少于90小时的学生有多少人？
(3)已知A组有1名男生和2名女生，从中随机抽取2名学生，请用列表法或画树状图的方法，求恰好抽到1名男生和1名女生的概率．
5．（2025·江苏南通·中考真题）为提升学生体质健康水平，促进学生全面发展，某校大课间共开展6项体育活动，每名学生均参减了其中一项活动，为了解该校学生参与大课间体育活动情况，随机抽取了该校名学生进行调查，得到如下未完成的统计表．
体育活动 足球 篮球 排球 乒乓球 跳绳 啦啦操
人数 6 10 9 8 5
(1)表格中的值为_____________；
(2)若该校有名学生，请估计该校参减足球活动的学生人数；
(3)为备战校际篮球联赛，学校计划从参减篮球活动的甲、乙两名同学中选拔一人减入校篮球队．已知甲、乙两名同学近六周定点投篮测试成绩（每次测试共有次投篮机会，以命中次数作为测试成绩）如图所示，你建议选拔哪名同学，请说明理由．
6．（2025·甘肃兰州·中考真题）豌豆荚里有几粒豆子不确定，那么豆子粒数是否有规律？同学们对这个问题很感兴趣．为此，调查小组从一批豌豆荚中随机抽取了若干个豌豆荚，进行豆子粒数的统计，以下是本次调查的过程．
【收集数据】打开每个豌豆荚，数清其中的豆子（直径小于3毫米）粒数，记录数据．
【整理数据】将收集的豆子粒数进行数据整理，用x表示每个豌豆荚中的豆子粒数，将数据分为5类：其中A类（），B类（），C类（），D类（），E类（）．
【描述数据】根据整理的数据，绘制出如下统计图．
【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：
(1)本次调查活动中随机抽取了__________个豌豆荚，图中__________，__________；
(2)所调查豆子粒数的中位数落在__________类中；（只填写字母）
(3)如果甲同学调查了20个豌豆荚，其中B类有7个，乙同学调查了10个豌豆荚，其中D类有3个．能否得到B类豌豆荚一定比D类豌豆荚多的规律？请说明理由．
7．（2025·吉林长春·中考真题）某校综合实践活动中，数学活动小组要研究九年级男生臂展（两臂左右平伸时两手中指指尖之间的距离）与身高的关系．小组成员在本校九年级男生中随机抽取20名男生，测量他们的臂展与身高，并对得到的数据进行了整理、描述和分析．下面给出了部分的信息：
a．20名男生的臂展与身高数据如下表：
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
身高 166 169 169 171 172 173 173 173 174 174
臂展 161 162 164 166 164 150 167 169 169 170
编号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
身高 145 176 177 177 178 179 180 180 181 183
臂展 169 167 173 172 173 170 177 174 176 165
b．20名男生臂展与身高数据的平均数、中位数、众数如下表：
平均数 中位数 众数
身高 145 m 173
臂展 170 169
c．20名男生臂展的频数分布直方图如图①：（将臂展数据分成5组：，）
d．20名男生臂展与身高的散点图如图②，活动小组发现图中大部分点落在一条直线附近的狭长带形区域内．他们利用计算机和简单统计软件得到了描述臂展与身高之间关联关系的直线．
根据以上信息，回答下列问题：
(1)写出表中、的值： ， ；
(2)该校九年级有男生240人，估计其中臂展小于或等于的男生人数；
(3)图②中直线近似的函数关系式为，根据直线反映的趋势，估计身高为男生的臂展长度．
8．（2025·北京·中考真题）校田径队教练选出甲、乙、丙、丁四名运动员参减100米比赛．对这四名运动员最近10次100米跑测试成绩（单位：s）的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a．甲、乙两名运动员10次测试成绩的元线图：
b．丙运动员10次测试成绩：12.4 12.4 12.5 12.7 12.8 12.8 12.8 12.8 12.9 12.9
c．四名运动员10次测试成绩的平均数、中位数、方差：
甲 乙 丙 丁
平均数 12.5 12.5 p 12.5
中位数 m 12.5 12.8 12.45
方差 0.056 n 0.034 0.056
(1)表中m的值为_______；
(2)表中n_______0.056（填“>”“=”或“<”）；
(3)根据这10次测试成绩，教练按如下方式评估这四名运动员的实力强弱：首先比较平均数，平均数较小者实力更强；若平均数相等，则比较方差，方差较小者实力更强；若平均数、方差分别相等，则测试成绩小于平均数的次数较多者实力更强．
评估结果：这四名运动员按实力由强到弱依次为_______．
9．（2025·河北·中考真题）某工厂生产，，，四种产品．为提升产品的竞争力，该工厂计划对部分种类的产品优化生产流程，降低成本；对其他种类的产品增减研发投入，提升品质．经研究，该工厂做出了甲、乙两种调整方案，这两种方案将对四种产品的成本产生不同的影响．下面是该工厂这四种产品的部分信息：a．调整前，各产品年产量的不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．b．各产品单件成本的核算情况统计表及说明．说明：对于统计表中的数据，方案甲的平均数与调整前的相同，方案乙的中位数与调整前的相同．根据以上信息，解答下列问题：
产品数据 类别
调整前单价成本（元/件）
调整后单价成本（元/件） 方案甲
方案乙
(1)求调整前产品的年产量；
(2)直接写出，的值；
(3)若调整后这四种产品的年产量均与调整前的相同，请通过计算说明甲、乙两种方案哪种总成本较低．
10．（2025·山东潍坊·中考真题）为培育玉米新品种，研究人员对某生长期试验田和对照田中的玉米株高进行抽样调查并作比较研究，分别随机选取40株玉米测量其株高，整理数据如下．
【数据收集】
试验田玉米株高（cm） 对照田玉米株高（cm）
56，43，51，52，45，35，46，35，46，51，54，54，48，35，48，64，51，50，48，64，64，51，46，51，43，51，52，47，54，64，35，46，48，45，53，47，43，54，43，56． 41，52，40，48，90，40，44，54，44，45，46，35，48，40，48，54，50，50，52，52，52，90，52，52，40，54，48，40，54，54，35，46，56，40，90，90，56，57，52，90．
【数据整理】
把数据分为5组，制成如下频数分布表．（用表示株高，）
组别类型 A B C D E
试验田玉米株频数 4 8 15 11 2
对照田玉米株频数 7 5 6 14 8
（1）你赞同下面小亮的观点吗？请说明你的理由．
【数据描述】
根据频数分布表分别制作试验田频数直方图和对照田扇形统计图．
（2）补全试验田频数直方图并计算对照田D组所占圆心角的度数；
（3）已知此生长期的玉米株高满足为长势良好．比较以上两个统计图，写出图中蕴含的信息．（一条即可）
【数据分析】
对收集的数据进行分析，得出的统计量如下表：
统计量 中位数 众数 平均数 方差
试验田 64.5 51 64.73 15.10
对照田 52 52 50.28 40.05
（4）根据（3）中“长势良好”的标准及以上信息，评估此生长期试验田的玉米生长情况．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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