资源简介

专题03 函数纯数学问题
（必备知识&二级结论清单+技法清单）
内●容●导●航
第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向
考向聚焦 考查形式 能力清单
第二部分 技法清单 构建思维框架，提炼通用解法
知识必备/二级结论 母题精讲&答题技法 变式应用
技法01函数图象和性质的综合应用 技法02函数字母参数的确定
技法03函数图象的综合判断 技法04 函数图象的平移问题
技法05 函数图象的对称（元叠）问题
技法06 函数图象的旋转问题 技法07 函数背景下的规律探究问题
技法08 函数背景下的整点问题 技法09函数背景下的几何问题
第三部分 分级实战 分级强化训练，实现能力跃迁
命●题●解●码
考向聚焦 技法01函数图象和性质的综合应用：主要考查对一次、反比例、二次函数图象和增减性、对称性、最值等性质的深刻理解，以及数形结合思想的运用。常以选择题或压轴题形式，考查函数图象在同一坐标系下的综合呈现。
技法02函数字母参数的确定：常以待定系数法为核心，考查根据已知条件（如经过的点、图象特征、函数值范围）确定函数解析式中参数的值或取值范围。
技法03函数图象的综合判断：多与实际情景或几何动点问题结合，考查从实际问题中抽象出函数关系并判断其大致图象的能力。常见题型为分析几何图形中动点运动时，相关线段长度、面积等随运动地址变化的函数图象。
技法04 函数图象的平移问题：重点考查函数图象平移变换的规律，特别是二次函数的平移。常考题型包括求平移后的函数解析式、根据平移前后图象关系求参数值或点的坐标。
技法05 函数图象的对称（元叠）问题：考查函数图象关于坐标轴、某直线（如x=m，y=n）对称（或元叠）后的图象性质。常结合元叠问题，求对称后的函数解析式或研究对称后图象与原图象的关系。
技法06 函数图象的旋转问题：主要涉及函数图象绕某点（常为原点或顶点）旋转特定角度（如180°）后的图象性质。考查旋转前后图象的关联及解析式的变化。
技法07 函数背景下的规律探究问题：以函数为载体，考查学生发现、提出、分析、解决问题的能力（“四能”）。常以新定义函数、操作探究、项目式学习等形式出现，要求学生通过观察、归纳发现函数图象或性质中的规律。
技法08 函数背景下的整点问题：考查在函数图象上或函数图象与坐标轴围成区域内，寻找横纵坐标均为整数的点（整点）的问题。常涉及求整点个数、根据整点个数求参数范围等。
技法09函数背景下的几何问题：函数与几何的综合压轴题，考查将几何问题代数化的能力。常见类型包括：函数图象上的动点与三角形、四边形、圆等几何图形结合，求面积、线段长、特殊图形存在性等问题。
考查形式 函数是中考数学的核心内容，考查呈现“基础+综合+探究”的层次。基础题直接考查函数概念、图象与性质（技法01、03）；中等题以平移、对称、旋转等图象变换（技法04-06）和字母参数确定（技法02）为主；压轴题则常以函数为背景，综合几何图形（技法09）、动点问题（技法03）、整点问题（技法08）或规律探究（技法07），考查学生综合运用知识解决问题的能力。命题趋势上，越来越注重真实情境、过程性学习（探究）和创新意识（新函数）。
能力清单 直观想象能力：能根据解析式想象图象，根据图象分析函数性质，以及将几何图形与函数图象结合分析。 数学抽象与建模能力：从实际问题或几何图形中抽象出函数关系，建立数学模型。 逻辑推理与运算求解能力：准确进行代数运算，严谨推导函数解析式，分类讨论各种可能情况。 数形结合思想：将数量关系与图形特征相互转化，利用图象辅助解题。 探究与创新能力：在新定义、新情境下发现规律、提出猜想并减以验证的能力。 分类讨论意识：在动点问题、含参问题、整点问题中，能根据条件变化进行分类讨论。
技●法●清●单
技法01 函数图象和性质的综合应用
知识必备
一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质、二次函数图象与性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）、函数图象的交点问题。
答题技法
熟记各类函数图象特征（如抛物线开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点）是基础。解题时先根据解析式确定基本图象，再结合图象分析函数的增减区间和最值情况。对于综合题，要注意函数图象与方程、不等式的联系，利用图象法解不等式或求交点坐标。
母题精讲
【典例01】（2025·上海·模拟预测）已知函数（k是常数，）的图像经过第二象限，下列说法中错误的是（　　）
A．x小于0时y小于0 B．图像不一定经过第四象限
C．图像是倾斜直线 D．y的值随x的值增大而减小
变式应用
【变式01】（2025·山西长治·二模）已知是一次函数图象上的一点，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【变式02】（2025·陕西西安·模拟预测）一次函数的图象如图，下列说法错误的是（ ）
A．点的坐标是 B．的面积是4
C．随的增大而减小 D．点在函数图象上
【变式03】（2025·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和．
(1)求，的值；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都小于6，直接写出的取值范围．
母题精讲
【典例01】（2025·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C．，一点间的距离为3
D．当时，的值随值的增大而增大
变式应用
【变式01】（25-26九年级上·湖北·期中）二次函数(a，b，c是常数，)的图象经过点，与y轴正半轴相交，其对称轴是直线．则下列结论中错误的是（）
A．
B．当时，
C．方程的两个根是
D．当时，
【变式02】（2025·四川雅安·二模）抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（其中为任意实数）．其中结论错误的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
母题精讲
【典例01】（2025·贵州·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点，，都在反比例函数的图象上，比较m，n，p的大小，并说明理由．
变式应用
【变式01】（2025·山西临汾·二模）下列关于反比例函数的说法中，错误的是（ ）
A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限
C．当时， D．函数值随的增大而增大
【变式02】（25-26九年级上·河南郑州·月考）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
技法02 函数字母参数的确定
知识必备
待定系数法、方程（组）的解法、不等式（组）的解法、函数图象上点的坐标特征、函数性质（对称轴、顶点）的代数表示。
答题技法
若已知函数经过的点，直接代入建立方程（组）求解；若已知图象特征（如对称轴、顶点位置），则利用顶点式或对称轴公式建立关系。对于含参函数，常需结合方程思想或不等式求解参数范围，注意分类讨论。母题精讲
【典例01】（23-24八年级上·安徽淮北·期末）已知一次函数，当时，函数有最小值，则k的值为_______
变式应用
【变式01】（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最小值与最小值之差恰好相等，则的值为__________．
变式应用
【变式01】（2025·四川广元·一模）若二次函数的图象与轴只有一个交点，如图所示，则的值是_______．
【变式02】（2025·四川南充·一模）如图，已知，，抛物线与x轴交于C，D一点，点C在D点左侧，当抛物线顶点M在线段上移动时，点C的横坐标最小值为．设的最小值为m，最小值为n，则的值为______．
母题精讲
【典例01】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是(　　)
A．或 B．或
C．且 D．或
变式应用
【变式01】（2025·四川广元·一模）如图，边经过原点，顶点在双曲线（）的图像上，顶点在双曲线（）图像上，顶点在轴上，且，若的面积为6，则的值为______．
【变式02】（2025·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是____________
技法03 函数图象的综合判断
知识必备
动点问题、几何图形性质（三角形、四边形）、线段长度与面积的计算、分段函数、一次函数与二次函数的图象识别。
答题技法
先明确自变量和因变量，分析运动过程的分段情况（如点在不同线段上运动）。根据几何关系建立各段函数解析式，再结合解析式特征（一次函数、二次函数）判断图象形状，注意自变量的取值范围。
母题精讲
【典例01】（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
变式应用
【变式01】（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【变式02】（24-25九年级上·山东济南·期中）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【变式03】（2024·湖北武汉·二模）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（ ）
A． B．C．D．
技法04 函数图象的平移问题
知识必备
函数图象的平移变换规律、二次函数的顶点式与一般式互化、点的坐标平移、待定系数法。
答题技法
牢记平移规律——“上减下减常数项，左减右减自变量”。将一般式化为顶点式后分析平移方向与距离更简便。注意平移不改变抛物线的开口形状和大小（即a不变），只改变顶点位置。
母题精讲
【典例01】（2025·山西阳泉·一模）阅读与理解
阅读下列材料，并完成相应任务．
函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征（图象）来研究函数的性质．下面是研究三大函数图象沿轴向下平移的特征． 一次函数图象的平移：如图①，一次函数分别与轴，轴交于点，将直线沿轴向下平移3个单位，分别与轴，轴交于点．分别将代入，求得，则，由平移的性质得．．．设直线的函数表达式为，分别将代入，解得．直线的函数表达式为． 猜想1：将直线沿轴向下平移个单位后，所得直线的函数表达式为：． 证明1：设点为上的任意一点，沿轴向下平移个单位后的对应点为，将代入，得点为上的点，点在直线上． 结论1：猜想错误． 二次函数图象的平移： 猜想2：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得二次函数的函数表达式为： 证明2：．．． 反比例函数图象的平移： ．．．
任务一：填空：用待定系数法确定一次函数的表达式体现的数学思想为：___________：
任务二：请完成猜想2的证明；
任务三：如图②，直线与反比例函数的图象交于点，将反比例函数的图象沿轴向下平移2个单位后与直线交于点，直接写出线段的长．
变式应用
【变式01】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D一点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F一点，当时，求a的值．
母题精讲
【典例01】（2025·河北唐山·模拟预测）已知抛物线．
(1)若此抛物线与直线只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点．
①求此抛物线的解析式；
②以点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线，若这两条抛物线有公共点，求的取值范围。
(2)若，将此抛物线向上平移个单位，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由．
变式应用
【变式01】（2025·上海·一模）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上．
(1)当，时，
①求该抛物线的表达式；
②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值；
(2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围．
【变式02】（2025·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线：交反比例函数的图象于点P，交x轴于点Q，交y轴于点M，已知，点P到y轴的距离为2．
(1)求直线和反比例函数的解析式；
(2)如图1，点N在反比例函数第三象限的图象上，若，直接写出N的横坐标t的取值范围；
(3)如图2，将直线：沿y轴向下平移，平移后的直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，交y轴于点B，且，求直线到直线的平移距离．
技法05 函数图象的对称（元叠）问题
知识必备
轴对称变换的性质、点的对称坐标变换、函数解析式的推导、元叠问题的几何背景。
答题技法
掌握对称变换下点的坐标变化规律：关于x轴对称（x不变，y变号），关于y轴对称（y不变，x变号），关于直线x=m对称（x→2m-x）。先设原函数上任一点，找出对称点坐标关系，代入原式推导新解析式。
母题精讲
【典例01】（2025·陕西·模拟预测）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整．
列表如下：
… 0 1 2 3 4 …
… 4 2 1 0 2 5 …
(1)填空：表中__________、__________；
(2)在图中描点并画出该函数的图象；
(3)观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当时，的值随的值增大而增大；
②当时，；
③该函数存在最小值，最小值为；
④该函数图象关于直线对称．
其中错误的是__________．（请写出所有错误命题的序号）
变式应用
【变式01】（2025·广东汕头·一模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
【典例02】（20-21九年级下·吉林·月考）（1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B一点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，3），顶点为D

①求抛物线的解析式；
②求△ABD的面积．
（2）将图①中的抛物线y轴右侧的部分沿y轴元叠到y轴的左侧，将元叠后的这部分图象与原抛物线y轴右侧的部分（包括点C）的图象组成新的图象，记为图像M，如图②．
①直接写出图像M所对应的函数解析式；
②直接写出图像M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围．
变式应用
【变式01】（2025·湖北孝感·二模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，将抛物线在轴下方的部分沿轴元叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象．若新图象与直线有个交点，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．或
技法06 函数图象的旋转问题
知识必备
旋转变换的性质、中心对称与坐标变换、二次函数的图象特征、点的旋转变换。
答题技法
旋转180°相当于中心对称变换。若绕原点旋转180°，点坐标变为(-x, -y)，代入原解析式可得新解析式。绕顶点旋转时，需结合顶点坐标进行变换。注意旋转不改变图象的形状，但可能改变开口方向（如抛物线旋转180°后开口方向相反）。
母题精讲
【典例01】（2025·福建泉州·三模）已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
变式应用
【变式01】（2025·陕西商洛·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线绕点旋转，在旋转后所得的抛物线上，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【变式02】（2025·贵州·模拟预测）如图：反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、一点，其中点坐标为．
(1)求反比例函数和正比例函数的表达式，并直接写出点坐标；
(2)将正比例函数的图象逆时针旋转后向上平移（）个单位长度，得到的一次函数的图象刚好与反比例函数的图像只有一个交点，求的值．
【典例02】（（2025·辽宁沈阳·一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函数图象的“横纵相同点”．若将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，则点的坐标为___________．
变式应用
【变式01】（2025·福建泉州·模拟预测）国家的强大离不开国防的保障．近几年，科技的发展越来越多地应用到国防军事方面，其中无人机和导弹防御系统成为各国竞争的热点．梅石数学小组借助项目式学习研究了如下问题：某军事游戏模型截面图中，导弹防御系统雷达固定向上时的覆盖范围可视为二次函数（如图1），并且可确保击落进入覆盖区域内超过10小时（含10小时）的无人机．（已知直角坐标系的单位长度均为1km．）
(1)当点在该二次函数图象上时，求的值；
(2)①若雷达可绕点左右旋转形成全方位覆盖（如图2）．若已知图2中的图象绕点向右旋转形成的曲线满足：，请直接写出图象绕点向左旋转后、满足的关系式：__________；
②如图1，若该军事游戏模型中，某型号攻击无人机飞行高度为，携带导弹后速度为10米/秒，为摧毁雷达需飞行到点正上方进行投弹．当该导弹防御系统雷达固定向上时，其覆盖范围所视为的二次函数的要调整到什么范围才能抵挡这次攻击？（投弹地址忽略不计）
技法07 函数背景下的规律探究问题
知识必备
函数的概念与表示、列表法与图象法、从特殊到一般的数学思想、代数推理与验证、新定义函数的理解。答题技法
仔细阅读题意，理解新函数或新情景的规则。通过列表、描点、作图探索规律，结合已学基本函数的性质进行分析。注意从特殊到一般，猜想规律后尝试用代数方法验证。
母题精讲
【典例01】（2025·黑龙江牡丹江·二模）正方形按照如图的方式摆放，点在直线上，点在轴上，则点的坐标为________．
变式应用
【变式01】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，……，按此规律，若点的坐标为，则点的坐标为___________．
【变式02】（2025·黑龙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置、点和点分别在直线和轴上、已知，则点的坐标是___________．
【典例02】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为______．
【变式01】（2025·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，第一象限的角平分线分别与反比例函数，， 的图象交于点，过分别作坐标轴的平行线，依次得到三角形，，…，其面积依次记作，则可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【变式02】（2025·河南·一模）如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
技法08 函数背景下的整点问题
知识必备
整点的概念、一次函数图象上的整数点、反比例函数图象上的整数点、二次函数图象上的整数点、不等式组表示的区域、数形结合思想。
答题技法
结合函数图象进行分析。对于一次函数，常通过分析直线上的整数解得到；对于反比例函数，利用k的因数分解找整数对(x,y)；对于二次函数，代入整数x验证y是否为整数。区域整点问题需结合不等式组和图象边界分析，注意是否包含边界。
母题精讲
【典例01】（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称．
(1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______；
(2)当时，求抛物线的表达式；
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为．
①当时，直接写出区域W内的整点个数；
②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
变式应用
【变式01】（2024·河北邯郸·二模）如图，直线与轴，轴交于点，点，直线与轴，轴交于点，点．
(1)求点的坐标及直线的解析式；
(2)点在直线上．
①直接写出直线的解析式；
②若点在内部（含边界），求的取值范围；
③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线向上平移个单位长度（为整数），直线在第二象限恰有4个整点，直接写出的值．
【变式02】（23-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足．
(1)求的值；
(2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为（含边界），
当时，区域的整点个数为 ；
直线过一个定点，若点为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为，直线下方（不包含直线）的区域记为，当与的整点个数之差不超过时，请求出的取值范围．
【变式03】（2024·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边长为n（n为正整数，且），点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．若点在等腰直角三角形边上，且x，y均为整数，定义点M为等腰直角三角形的“整点”．若某函数的图像与等腰直角三角形只有两个交点且交点均是等腰直角三角形的“整点”，定义该函数为等腰直角三角形的“整点函数”．

(1)如图1，当时，一次函数是等腰直角三角形的“整点函数”，则不符合题意的一次函数的表达式为______（写出一个即可）；
(2)如图2，当时，函数的图像经过，判断该函数是否为“整点函数”，并说明理由；
(3)当时，二次函数经过的中点，若该函数是“整点函数”，求的取值范围；
(4)在（3）的条件下，是二次函数图象上一点，若点、之间的图象（包括点、）的最高点与最低点纵坐标的差为，求的值
技法09 函数背景下的几何问题
知识必备
几何图形性质（三角形相似与全等、勾股定理、平行四边形判定、圆的性质）、函数图象上点的坐标特征、方程（组）与不等式、分类讨论思想。
答题技法
设出动点坐标（常用参数表示），利用几何性质（勾股定理、相似、全等、锐角三角函数等）建立方程或函数关系。注意多情况讨论（如等腰三角形需分腰相等的情况），利用数形结合思想简化运算，做到“多思少算”。
母题精讲
【典例01】（2025·青海西宁·一模）如图，直线 与轴、轴分别交于，一点， ．
(1)求点坐标和的值；
(2)若点，是第一象限内的直线 上的一个动点．当点运动过程中，试写出 的面积与的函数关系式；
(3)探索：
①当点A运动到什么位置时， 的面积为，并说明理由；
②在①成立的情况下，轴上是否存在一点，使 是等腰三角形．若存在，请写出满足条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由．
【典例02】（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线：交于点C．
(1)求点C的坐标；
(2)抛物线的顶点F在直线上，以为边向右作菱形，点恰好与原点重合，连接．
①当为直角三角形时，求抛物线的解析式；
②若抛物线同时与菱形的边有公共点时，求的取值范围．
变式应用
【变式01】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
为何值时的面积最小，并求出其最小值；
是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【变式02】（2026·湖北襄阳·二模）如图，抛物线与轴交于、一点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上一点，位于轴上方，连接，若的面积为，求点的坐标；
(3)点是抛物线对称轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，求的最小值．
【变式03】（2026·四川泸州·一模）如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最小值及此时点的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是三角形，求点的坐标．
【变式04】（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点，
(1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式．
(2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【典例03】（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点B，与轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点P在轴上，当最小时，求点P的坐标．
【变式01】（2025·河南周口·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务．
问题背景：如图①，三角形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．”
(1)小明的结论错误吗？若错误，请减以证明；若不错误，请说明理由．
(2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：．
(3)如图⑤，三角形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)．
巩固提升
1．（2024·辽宁盘锦·三模）如图，直线交坐标轴于，一点，等边三角形的边在轴上，且点为线段的中点，若将沿轴竖直向上平移，当点落在直线上时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
2．（2026·陕西·一模）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：
①；
②方程没有实数根；
③；
④．
其中错误的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，，，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
4．（2026·福建·一模）如图，点在反比例函数图像的一支上，点在反比例函数图像的一支上，点在轴上，若四边形是面积为的正方形，则实数的值为______．
5．（2025·黑龙江大庆·三模）给出下列命题及函数与和的图象：
①如果，那么；
②如果，那么或；
③如果，那么；
④如果，那么．则（ ）
A．错误的命题只有① B．错误的命题有①②④
C．错误的命题有②③ D．错误的命题是③④
6．（2023·四川达州·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与直线分别交于点A，B．直线与交于点C．记线段，，围成的区域（不含边界）为W；横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若区域W内没有整点，则k的取值范围是______．
7．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是________．
8．（2024·河北邯郸·三模）如图，正方形中，点，点，点，，且，沿元叠正方形，点F是点A的对应点，第一象限内的双曲线：，：分别经过点B，点F．
（1）__________；
（2）当时，m的值为__________；
（3）若，且双曲线、之间有2个整数点（横、纵坐标都为整数，且不包括边界），则a的取值范围为__________．
9．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B一点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标；
(3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．
10．（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当点在这个函数图象上时，
①求抛物线的函数关系式．
②抛物线上有一点到轴的距离为1，求点坐标．
(2)当时，函数图象上只有两个点到轴的距离等于2，求的取值范围．
(3)在平面直角坐标系中，点，点，连接．直接写出抛物线与线段只有一个公共点时的取值范围．
冲刺突破
1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻元；②沿函数的图像翻元；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．10
3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有错误结果的序号）．
①a；②；③c；④；⑤．
4．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线元叠，点B恰好落在点处．
(1)求a的值；
(2)求直线的解析式；
(3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围．
5．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于一点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5．
(1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；
(2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
6．（2025·海南·中考真题）如图，抛物线经过、一点．点是线段上的动点，过点作轴交抛物线于点．
(1)若．
①求抛物线的解析式；
②求线段长度的最小值；
③若，求取何值时线段的长度最小（可用含的代数式表示）．
(2)若，，问题（1）中③的结论是否会发生变化，请说明理由．
7．（2025·广东广州·中考真题）如图，曲线过点．
(1)求t的值；
(2)直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l；
(3)在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率．
8．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，点在轴右侧的轴上，抛物线经过A，B，C三点，顶点为．
(1)求抛物线的解析式及点B，D的坐标；
(2)点在直线AC上运动，当的圆长最小时，求点的坐标；
(3)探究在内部能否截出面积最小的三角形（顶点E，F，G，H在各边上）？若能，求出此时三角形在边上的顶点的坐标；若不能，请说明理由．
9．（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴的正半轴相交于点，二次函数的图象经过点，且与二次函数的图象的另一个交点为，点的横坐标为．
(1)求点的坐标及的值．
(2)直线与二次函数的图象分别相交于点，与直线相交于点，当时，
①求证：；
②当四边形的一组对边平行时，请直接写出的值．
(3)二次函数与二次函数组成新函数，当时，函数的最小值为，最小值为，求的取值范围．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题03 函数纯数学问题
（必备知识&二级结论清单+技法清单）
内●容●导●航
第一部分 命题解码 洞察命题意图，明确攻坚方向
考向聚焦 考查形式 能力清单
第二部分 技法清单 构建思维框架，提炼通用解法
知识必备/二级结论 母题精讲&答题技法 变式应用
技法01函数图象和性质的综合应用 技法02函数字母参数的确定
技法03函数图象的综合判断 技法04 函数图象的平移问题
技法05 函数图象的对称（元叠）问题
技法06 函数图象的旋转问题 技法07 函数背景下的规律探究问题
技法08 函数背景下的整点问题 技法09函数背景下的几何问题
第三部分 分级实战 分级强化训练，实现能力跃迁
命●题●解●码
考向聚焦 技法01函数图象和性质的综合应用：主要考查对一次、反比例、二次函数图象和增减性、对称性、最值等性质的深刻理解，以及数形结合思想的运用。常以选择题或压轴题形式，考查函数图象在同一坐标系下的综合呈现。
技法02函数字母参数的确定：常以待定系数法为核心，考查根据已知条件（如经过的点、图象特征、函数值范围）确定函数解析式中参数的值或取值范围。
技法03函数图象的综合判断：多与实际情景或几何动点问题结合，考查从实际问题中抽象出函数关系并判断其大致图象的能力。常见题型为分析几何图形中动点运动时，相关线段长度、面积等随运动地址变化的函数图象。
技法04 函数图象的平移问题：重点考查函数图象平移变换的规律，特别是二次函数的平移。常考题型包括求平移后的函数解析式、根据平移前后图象关系求参数值或点的坐标。
技法05 函数图象的对称（元叠）问题：考查函数图象关于坐标轴、某直线（如x=m，y=n）对称（或元叠）后的图象性质。常结合元叠问题，求对称后的函数解析式或研究对称后图象与原图象的关系。
技法06 函数图象的旋转问题：主要涉及函数图象绕某点（常为原点或顶点）旋转特定角度（如180°）后的图象性质。考查旋转前后图象的关联及解析式的变化。
技法07 函数背景下的规律探究问题：以函数为载体，考查学生发现、提出、分析、解决问题的能力（“四能”）。常以新定义函数、操作探究、项目式学习等形式出现，要求学生通过观察、归纳发现函数图象或性质中的规律。
技法08 函数背景下的整点问题：考查在函数图象上或函数图象与坐标轴围成区域内，寻找横纵坐标均为整数的点（整点）的问题。常涉及求整点个数、根据整点个数求参数范围等。
技法09函数背景下的几何问题：函数与几何的综合压轴题，考查将几何问题代数化的能力。常见类型包括：函数图象上的动点与三角形、四边形、圆等几何图形结合，求面积、线段长、特殊图形存在性等问题。
考查形式 函数是中考数学的核心内容，考查呈现“基础+综合+探究”的层次。基础题直接考查函数概念、图象与性质（技法01、03）；中等题以平移、对称、旋转等图象变换（技法04-06）和字母参数确定（技法02）为主；压轴题则常以函数为背景，综合几何图形（技法09）、动点问题（技法03）、整点问题（技法08）或规律探究（技法07），考查学生综合运用知识解决问题的能力。命题趋势上，越来越注重真实情境、过程性学习（探究）和创新意识（新函数）。
能力清单 直观想象能力：能根据解析式想象图象，根据图象分析函数性质，以及将几何图形与函数图象结合分析。 数学抽象与建模能力：从实际问题或几何图形中抽象出函数关系，建立数学模型。 逻辑推理与运算求解能力：准确进行代数运算，严谨推导函数解析式，分类讨论各种可能情况。 数形结合思想：将数量关系与图形特征相互转化，利用图象辅助解题。 探究与创新能力：在新定义、新情境下发现规律、提出猜想并减以验证的能力。 分类讨论意识：在动点问题、含参问题、整点问题中，能根据条件变化进行分类讨论。
技●法●清●单
技法01 函数图象和性质的综合应用
知识必备
一次函数图象与性质、反比例函数图象与性质、二次函数图象与性质（开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性、最值）、函数图象的交点问题。
答题技法
熟记各类函数图象特征（如抛物线开口方向、对称轴位置、与坐标轴交点）是基础。解题时先根据解析式确定基本图象，再结合图象分析函数的增减区间和最值情况。对于综合题，要注意函数图象与方程、不等式的联系，利用图象法解不等式或求交点坐标。母题精讲
【典例01】（2025·上海·模拟预测）已知函数（k是常数，）的图像经过第二象限，下列说法中错误的是（　　）
A．x小于0时y小于0 B．图像不一定经过第四象限
C．图像是倾斜直线 D．y的值随x的值增大而减小
【答案】B
【分析】本题主要考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的图像与性质是解题的关键．根据正比例函数（为常数，）的性质，结合图像经过的象限判断的符号，进而分析各选项．
【详解】解：函数（是常数，）的图像经过第二象限，
，
函数的图像经过第二、四象限，的值随的值增大而减小．
当时，；正比例函数的图像是倾斜直线．
所以选项A、C、D错误，选项B错误．
．
变式应用
【变式01】（2025·山西长治·二模）已知是一次函数图象上的一点，则与的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出与的大小关系．
【详解】解：∵，
∴y随x的增大而减小，
又∵是一次函数图象上的一点，且，
∴．
．
【变式02】（2025·陕西西安·模拟预测）一次函数的图象如图，下列说法错误的是（ ）
A．点的坐标是 B．的面积是4
C．随的增大而减小 D．点在函数图象上
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的图象与坐标轴交点问题等；
当时，，即可判断A；当时，，求出的面积即可判断B；因为，由一次函数增减性即可判断C；当时，，即可判断D；
【详解】解：A.当时，，所以，故不不符合题意；
B.当时，，的面积是，故不符合题意；
C.因为，所以随的增大而增大，故该选项不不符合题意；
D.当时，，所以点不在函数图象上，故不不符合题意；
．
【变式03】（2025·北京东城·二模）在平面直角坐标系中，一次函数的图象过点和．
(1)求，的值；
(2)当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都小于6，直接写出的取值范围．
【答案】(1)，
(2)
【分析】本题考查了求一次函数的解析式、一次函数的增减性，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键．
（1）将点和代入一次函数求解即可得；
（2）先求出当时，，再根据函数的增减性求解即可得．
【详解】（1）解：∵一次函数的图象过点和，
∴，
解得．
（2）解：由（1）可知，，
∴随的增大而增大，
当时，，
∴当时，，
要使得当时，对于的每一个值，函数的值与函数的值之和都小于6，
则随的增大而增大，且当时，，即，
∴．
母题精讲
【典例01】（2025·四川成都·模拟预测）如图，二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，下列说法错误的是（ ）
A．抛物线的对称轴为直线
B．抛物线的顶点坐标为
C．，一点间的距离为3
D．当时，的值随值的增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．
根据二次函数的图象和性质逐项判断即可．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴相交于点，与轴相交于点，
∴，解得，
∴，
∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点为，
∴当时，的值随值的增大而增大，
故A、B错误，D错误；
∵，对称轴为直线，点，
∴，
∴，故C错误．
．
变式应用
【变式01】（25-26九年级上·湖北·期中）二次函数(a，b，c是常数，)的图象经过点，与y轴正半轴相交，其对称轴是直线．则下列结论中错误的是（）
A．
B．当时，
C．方程的两个根是
D．当时，
【答案】C
【分析】本题主要考查了二次函数的性质、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键．
根据对称轴可得，代入点得，由与轴正半轴相交知，故．然后逐项分析判断即可解答．
【详解】解：∵对称轴，
∴，即．
∵图象过点，
∴，代入得，即．
∵与轴正半轴相交，
∴当时，，故．
A．，故A选项错误，不不符合题意；
B．由且根为和（对称轴，一根为，另一根为），时或，故B选项错误，不不符合题意；
C．方程根为和，非，故C选项错误，不不符合题意；
D．代入得，即．
∵，
∴，即，当时成立，错误，不符合题意．
故选D．
【变式02】（2025·四川雅安·二模）抛物线（，，为常数，且）如图所示，小明同学得出了以下结论：①，②，③，④，⑤（其中为任意实数）．其中结论错误的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】A
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，不等式，掌握相关知识是解决问题的关键．利用二次函数，一元二次方程，不等式的相关知识逐项判断即可．
【详解】解：①抛物线开口向上，
，
当时，，
，
∵抛物线对称轴为直线，
，
，
故结论①错误；
②抛物线与轴有两个交点，
则，
，
故结论②错误；
③由图象知，当时，，
，
故结论③错误；
④抛物线对称轴为直线，
，
当时，，
即：
，
∴
故结论④错误；
⑤当时，取得其最小值，此时，
而当时，，
，
整理，得：，
故结论⑤错误；
综上，错误的结论有①③④⑤，共4个，
．
母题精讲
【典例01】（2025·贵州·模拟预测）已知点在反比例函数的图象上．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点，，都在反比例函数的图象上，比较m，n，p的大小，并说明理由．
【答案】(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数的图象与性质，解题关键是掌握相关方法和性质．
（1）将已知点坐标代入反比例函数表达式可求出k的值，进而得到函数表达式；
（2）根据反比例函数性质判断函数在不同象限的增减性，再比较各点纵坐标大小．
【详解】（1）解：把点代入，
得，
解得．
所以反比例函数表达式为．
（2）解：对于反比例函数，
∵，
所以在每个象限内y随x的增大而减小，
∵点在第三象限，
所以；
点，在第一象限，，所以．
所以．
变式应用
【变式01】（2025·山西临汾·二模）下列关于反比例函数的说法中，错误的是（ ）
A．点在函数图象上 B．函数图象位于第二、四象限
C．当时， D．函数值随的增大而增大
【答案】C
【分析】本题考查了反比例函数的性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质．
分别根据反比例函数图象上点的坐标特征、函数图象所在象限、自变量取值范围内函数值的范围以及函数的增减性来判断各选项．
【详解】解：A、当时，，故点在函数图象上，选项说法错误，不不符合题意；
B、，故反比例函数图象在第二，四象限，选项说法错误，不不符合题意；
C、当时，，选项说法错误，不不符合题意；
D、在每个象限内，函数值随的增大而增大，选项说法错误，不符合题意．
．
【变式02】（25-26九年级上·河南郑州·月考）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则关于x的一元二次方程的根的情况是（）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．只有一个实数根 D．没有实数根
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数，一元二次方程根的判别式的意义．根据反比例函数图象的位置确定的符号，再计算判别式判断根的情况．
【详解】解：∵反比例函数()的图象位于第二、四象限，
∴．
对于方程，
判别式．
∵，
∴，
∴，
即，
∴方程有两个不相等的实数根．
．
技法02 函数字母参数的确定
知识必备
待定系数法、方程（组）的解法、不等式（组）的解法、函数图象上点的坐标特征、函数性质（对称轴、顶点）的代数表示。
答题技法
若已知函数经过的点，直接代入建立方程（组）求解；若已知图象特征（如对称轴、顶点位置），则利用顶点式或对称轴公式建立关系。对于含参函数，常需结合方程思想或不等式求解参数范围，注意分类讨论。母题精讲
【典例01】（23-24八年级上·安徽淮北·期末）已知一次函数，当时，函数有最小值，则k的值为_______
【答案】5或
【分析】本题考查的是一次函数的性质，熟知一次函数的增减性是解答此题的关键．根据函数的增减性，再由x的取值范围得出时，或时，，分别代入函数解析式得出k的值即可．
【详解】解：当时，函数y随x的增大而增大，
∴当时，，
∴，
解得：；
当时，函数y随x的增大而减小，
∴当时，，
∴，
解得：；
∴k的值为5或．
故答案为：5或．
变式应用
【变式01】（2025·江苏苏州·二模）对于一次函数以及二次函数（其中、、均为常数，且），当时，这两个函数的最小值与最小值之差恰好相等，则的值为__________．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数的图像和性质，二次函数的图像和性质.对于一次函数（ ）和二次函数（ ） ，我们要比较在取值从到时，它们各自最小值与最小值的差值情况．一次函数时，增大增大；二次函数 图象是开口向上的抛物线，对称轴是 ．我们通过分别计算两个函数在为和时的函数值，找出最小最小并求差，再令两个差相等来计算的值．本题考查一次函数和二次函数在特定取值范围内的函数值变化情况．解题关键在于准确求出两个函数在为和时的函数值，确定各自的最小最小值并求差，再根据差值相等列方程求解 ，同时要根据二次函数对称轴与、的位置关系进行分类讨论，避免漏解．
【详解】解：当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵，
∴，那么最小值与最小值的差为： ．
二次函数（）图象开口向上，对称轴为 ．
情况一：当，即 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵ ，
∴此时，最小值与最小值的差为： ．
令 ，
∴ ，
∵ ，
∴解得 ．
情况二：当 时 当时，函数值 ；当时，函数值 ．
∵ ，此时，最小值与最小值的差为： ． 令 ，等式两边同时减得到 ，
∵ ，解得 ．
情况三：当，即 时,
当时，．
当时，函数值 ；
当时，函数值 ．
当时，即，
∴，
∴
此时
∴，
解得（舍去）或（舍去），
当时，即，
∴，
∴
此时
∴（舍去）或（舍去）
综上所述， 或
故答案为：或
变式应用
【变式01】（2025·四川广元·一模）若二次函数的图象与轴只有一个交点，如图所示，则的值是_______．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的图象与轴交点的个数与其所对应一元二次方程根的判别式之间的关系是解题的关键．先利用二次函数与轴只有一个交点时判别式的性质，列出关于的方程求出的可能值，再结合图象中抛物线对称轴的位置，通过对称轴公式推断出的正负，最终确定的唯一值．
【详解】解：∵二次函数的图象，与轴只有一个交点，
其中，
∴
∴，
结合图象，抛物线的对称轴在轴的负半轴，
∴二次函数对称轴公式为：，
∴，
故．
故答案为：．
【变式02】（2025·四川南充·一模）如图，已知，，抛物线与x轴交于C，D一点，点C在D点左侧，当抛物线顶点M在线段上移动时，点C的横坐标最小值为．设的最小值为m，最小值为n，则的值为______．
【答案】
【分析】本题考查二次函数的性质，顶点坐标公式，最值问题，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，当点C横坐标最小时，顶点M与A重合，代入点C坐标求出a；求的值，即求当时函数值，因为抛物线顶点在直线即上，另设抛物线解析式为，即，当时，，对此函数在范围内求最值，然后求最小值与最小值的差即可．
【详解】解：点横坐标最小时，顶点与点重合，
则抛物线的解析式为：，
此时点，代入上式，
，
解得：，
则，
∵抛物线在移动过程中形状、开口方向都不变，
∴抛物线中，
求的值，即求当时函数值，
∵抛物线顶点在线段上，
∴设抛物线解析式为，
∵设解析式为，代入，，
，解得，
∴解析式为，
∴，
即抛物线解析式为，
当时，
，
∴对称轴为，
当时，
当时，最小，；
当时，值最小，；
．
故答案为：．
母题精讲
【典例01】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是(　　)
A．或 B．或
C．且 D．或
【答案】B
【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论．当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围．
【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为，
直线绕点逆时针旋转，
所得的直线与直线平行，
设这条直线的解析式为：，
这条直线经过第一、二、四象限，
，
在直线上，
，
，
，
，
；
当在原点左侧时，
设这条直线的解析式为：，
同理：，
，
，
，
，
．
的取值范围是或．
．
变式应用
【变式01】（2025·四川广元·一模）如图，边经过原点，顶点在双曲线（）的图像上，顶点在双曲线（）图像上，顶点在轴上，且，若的面积为6，则的值为______．
【答案】4
【分析】题考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解题的关键．
过点A作轴，过点B作轴，根据相似三角形的判定和性质得出，确定，然后结合图形及面积求解即可．
【详解】解：过点A作轴，过点B作轴，如图所示：
，
，
∵点A在双曲线上，点B在，
，，
，
，
，
，
，轴，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：4．
【变式02】（2025·江苏连云港·模拟预测）在平面直角坐标系中，若反比例函数的图象位于第一、三象限，则的取值范围是____________
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握反比例函数的性质：当时，图象在一、三象限，在每一象限内，y随x的增大而减小；当时，图象在二、四象限，在每一象限内，y随x的增大而增大．
根据反比例函数的性质，当比例系数小于0时，图象位于第一、三象限，据此得到，再解不等式即可．
【详解】解：反比例函数的图象位于第一、三象限，
则比例系数，
解得，
故答案为：．
技法03 函数图象的综合判断
知识必备
动点问题、几何图形性质（三角形、四边形）、线段长度与面积的计算、分段函数、一次函数与二次函数的图象识别。
答题技法
先明确自变量和因变量，分析运动过程的分段情况（如点在不同线段上运动）。根据几何关系建立各段函数解析式，再结合解析式特征（一次函数、二次函数）判断图象形状，注意自变量的取值范围。
母题精讲
【典例01】（2025·辽宁沈阳·三模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图象特征和二次函数的图象特征，根据抛物线开口方向，以及对称轴位置，一次函数朝向和与轴的交点位置即可判断、的大小，从而作出判断，即可解题，熟练掌握各知识点是解题的关键．
【详解】解：A、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不不符合题意；
B、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不符合题意；
C、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不不符合题意；
D、由抛物线可知，，，由直线可知，，，故本选项不不符合题意；
．
变式应用
【变式01】（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可；
【详解】解：对于一次函数，由图象知，，
∴，，对于二次函数，
∵，，
∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C；
∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象经过一、三象限，
∴选项A不符合题意，
．
【变式02】（24-25九年级上·山东济南·期中）已知二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一平面直角坐标系内的图象可能是（ ）
A．B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象，反比例函数图象，首先根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，再根据反比例函数的性质与一次函数图象与系数的关系画出图象可得答案．
【详解】解：根据二次函数图象与y轴的交点可得，根据抛物线开口向下可得，由对称轴在y轴右边可得a、b异号，故，
则反比例函数的图象在第二、四象限，
一次函数经过第一、三、四象限，
．
【变式03】（2024·湖北武汉·二模）函数、在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，则在该平面直角坐标系中，函数的大致图象是（ ）
A． B．C．D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的识别是解答本题的关键．根据函数图象的开口方向、与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．
【详解】解：由图象知，函数和函数的开口都向上，所以函数的开口一定向上，故C选项不不符合题意；
由图象知，函数的对称轴在y轴的右侧，函数的对称轴也在y轴的右侧，
所以，函数的图象的对称轴也在y轴的右侧，故选项D不不符合题意；
函数的图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，函数的图象与y轴的交点在y轴的负半轴上，且前者的绝对值小于后者的绝对值，所以，函数的图象与y轴的负半轴相交，故选项A不不符合题意，选项B不符合题意．
．
技法04 函数图象的平移问题
知识必备
函数图象的平移变换规律、二次函数的顶点式与一般式互化、点的坐标平移、待定系数法。
答题技法
牢记平移规律——“上减下减常数项，左减右减自变量”。将一般式化为顶点式后分析平移方向与距离更简便。注意平移不改变抛物线的开口形状和大小（即a不变），只改变顶点位置。
母题精讲
【典例01】（2025·山西阳泉·一模）阅读与理解
阅读下列材料，并完成相应任务．
函数是从数量的角度反映变化规律和对应关系的数学模型，初中阶段学习的函数有一次函数、二次函数、反比例函数，学习时可以从数量特征和几何特征（图象）来研究函数的性质．下面是研究三大函数图象沿轴向下平移的特征． 一次函数图象的平移：如图①，一次函数分别与轴，轴交于点，将直线沿轴向下平移3个单位，分别与轴，轴交于点．分别将代入，求得，则，由平移的性质得．．．设直线的函数表达式为，分别将代入，解得．直线的函数表达式为． 猜想1：将直线沿轴向下平移个单位后，所得直线的函数表达式为：． 证明1：设点为上的任意一点，沿轴向下平移个单位后的对应点为，将代入，得点为上的点，点在直线上． 结论1：猜想错误． 二次函数图象的平移： 猜想2：将二次函数的图象沿轴向下平移个单位后，所得二次函数的函数表达式为： 证明2：．．． 反比例函数图象的平移： ．．．
任务一：填空：用待定系数法确定一次函数的表达式体现的数学思想为：___________：
任务二：请完成猜想2的证明；
任务三：如图②，直线与反比例函数的图象交于点，将反比例函数的图象沿轴向下平移2个单位后与直线交于点，直接写出线段的长．
【答案】[任务一]函数思想；[任务二] 证明见解析；[任务三]
【分析】本题考查相似三角形，反比例函数和二次函数的综合，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质．
[任务一]根据相似三角形的判定，待定系数法确定函数的表达式体现的数学思想，即可；
[任务二]设点是函数上的一点，点是函数平移后对应的点，根据[任务一]中的方法进行验证，即可；
[任务三]由[任务一] 、[任务二]得平移后的函数表达式为：，根据题意，求出点，点的坐标，即可求出的值．
【详解】[任务一]从解答过程得，用待定系数法确定函数的表达式体现的数学思想为：函数思想；
故答案为：函数思想；
[任务二]设点是函数上的一点，沿轴向下平移个单位后对应点，
当时，，
∵点为上的点，
∴，
∴，
∴点在函数上，
∴平移后的表达式为：；
[任务三]由[任务一] 、[任务二]得，平移后的函数的表达式为：，
∵直线与反比例函数的图象交于点，
∴，
解得：，
∴点，
∵平移后的函数与直线交于点，
∴，
解得：，
∴点，
∴．
变式应用
【变式01】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于点，，与x轴，y轴分别交于C，D一点．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F一点，当时，求a的值．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，一次函数的平移，勾股定理，错误地求出函数的解析式是解题的关键．
（1）根据已知条件列方程求得，得到反比例函数的表达式为，然后求得，解方程组即可得到结论；
（2）将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F一点，求得直线的解析式为，解方程得到，，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点，，
∴，
∴，
∴反比例函数的表达式为，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得，
∴一次函数的表达式为；
（2）解：将直线向下平移a个单位长度后与x轴，y轴分别交于E，F一点，
∴直线的解析式为，
当时，，当时，解得，
∴，，
∵，
∴，
解得或．
母题精讲
【典例01】（2025·河北唐山·模拟预测）已知抛物线．
(1)若此抛物线与直线只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点．
①求此抛物线的解析式；
②以点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线，若这两条抛物线有公共点，求的取值范围。
(2)若，将此抛物线向上平移个单位，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)，理由见解析
【分析】（1）①联立抛物线与直线的解析式，结合两者只有一个公共点的条件，利用一元二次方程有两个相等实根的判别式求出的值，再根据二次函数向右平移1个单位的平移规律写出平移后的解析式，代入已知点求出的值，进而确定原抛物线的解析式；
②先将原抛物线配方为顶点式，再利用中点坐标公式求出原抛物线上任一点关于点的对称点坐标，代入原解析式推导出对称抛物线的解析式，联立两条抛物线解析式得到一元二次方程，结合有公共点的条件，利用一元二次方程有实数根的判别式求出的取值范围；
（2）先根据二次函数向上平移个单位的平移规律写出平移后的解析式，代入、的条件求出关于、的表达式，结合确定抛物线开口向上，再根据时且时的条件得出该区间内函数单调递减，进而得到对称轴满足的不等关系，将的表达式代入后化简推导，结合的条件比较出与1的大小．
【详解】（1）①解：联立抛物线与直线，
得：，整理为．
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴该一元二次方程有两个相等的实根，
判别式，解得，
解析式为：，
抛物线向右平移1个单位，平移后的解析式为：．
∵平移后的抛物线过点，
∴，即，解得．
∴原抛物线的解析式为．
②解：，
∴原抛物线的顶点为，开口向下．
设原抛物线上任意一点关于点的对称点为，
根据中点坐标公式，得，，解得，．
将，代入原抛物线解析式，
得，整理得，
即对称后的抛物线解析式为．
联立，得，
整理得．
∵该一元二次方程有实数根，
∴判别式，解得；
（2）解：，理由如下：
将抛物线向上平移个单位长度，得到的解析式为．
∵当时，，
∴将，代入得，整理得．
∵，
∴是开口向上的二次函数．
∵当时，；当时，，
∴当时，随着的增大而减小，
∴，即，
∴，整理得．
∵，
∴．
变式应用
【变式01】（2025·上海·一模）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上．
(1)当，时，
①求该抛物线的表达式；
②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值；
(2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)的取值范围为或
【分析】（1）①根据，，可得对称轴为直线，求出的值，再根据抛物线经过点，求出，从而得出抛物线解析式；
②把①解析式化为顶点式，再根据平移变换得出新抛物线解析式，然后把代入解析式即可求出的值；
（2）根据题意分对称轴在轴左侧和右侧两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：①∵抛物线经过点，，，，且，，
，一点关于抛物线的对称轴对称，，
∴对称轴为直线，
根据对称轴公式可知：，
，
∴，
把代入得：，
解得，
∴该抛物线的表达式为；
②∵，
∴把抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线解析式为，即，
∵新抛物线经过点，
∴，
解得；
（2）解：当时，抛物线过点，且、、中有且仅有一个值小于0，
∴把代入二次函数解析式得：，
∴，
∴二次函数解析式，
当抛物线对称轴在轴左侧时，即，且经过点，大致图象如图所示：
∵点，，，在抛物线上，
∴由图象可知：，
∵，
∴由图象可知：只有当时，成立，
∴，
解得：，
当抛物线对称轴在轴右侧时，即，且经过，大致图象如图所示：
∵点，，，在抛物线上，
∴由图象可知：只有满足题意，
∴，
解得：；
当时，则对称轴为轴，且图象经过点，所以二次函数与轴的另一个交点坐标为，根据二次函数的性质可知：、、的值都小于0，故不不符合题意；
综上所述，的取值范围为或．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与系数的关系、二次函数图象上的点的坐标特点、二次函数的增减性，熟练掌握二次函数图象上的点的坐标特点及二次函数的性质是解题的关键．
【变式02】（2025·山东泰安·三模）如图，在平面直角坐标系中，直线：交反比例函数的图象于点P，交x轴于点Q，交y轴于点M，已知，点P到y轴的距离为2．
(1)求直线和反比例函数的解析式；
(2)如图1，点N在反比例函数第三象限的图象上，若，直接写出N的横坐标t的取值范围；
(3)如图2，将直线：沿y轴向下平移，平移后的直线与反比例函数的图象在第一象限内交于点A，交y轴于点B，且，求直线到直线的平移距离．
【答案】(1)，
(2)
(3)6
【分析】本题考查反比例函数综合应用，涉及待定系数法，三角形面积，相似三角形判定与性质等，解题的关键是掌握一次函数，反比例函数的相关性质．
（1）由，得，代入中得，故直线的函数解析式为，由点到轴的距离为2，可得，代入得反比例函数的解析式为；
（2）求出，设,，可得，故；
（3）过作轴于，过作轴于，证明，得，而，知，可得，用待定系数法得直线解析式为，从而，即可得到答案．
【详解】（1）解：，
，
把代入中得：，
解得，
∴直线的函数解析式为，
∵点到轴的距离为2，
，
，
把代入得：，
解得，
∴反比例函数的解析式为；
（2）解：，
，
设，其中，
，
，
解得；
（3）解：过作轴于，过作轴于，如图：
∵直线直线，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，令得，
，
设直线解析式为，
把代入得：，
，
∴直线解析式为，
令得，
，
由知，
∴直线向下平移6个单位可得直线，即平移距离为6．
技法05 函数图象的对称（元叠）问题
知识必备
轴对称变换的性质、点的对称坐标变换、函数解析式的推导、元叠问题的几何背景。
答题技法
掌握对称变换下点的坐标变化规律：关于x轴对称（x不变，y变号），关于y轴对称（y不变，x变号），关于直线x=m对称（x→2m-x）。先设原函数上任一点，找出对称点坐标关系，代入原式推导新解析式。
母题精讲
【典例01】（2025·陕西·模拟预测）学习“一次函数”时，我们从“数”和“形”两方面研究一次函数的性质，并积累了一些经验和方法．小聪同学尝试运用积累的经验和方法对函数的图象与性质进行探究，下面是小聪同学的探究过程，请你补充完整．
列表如下：
… 0 1 2 3 4 …
… 4 2 1 0 2 5 …
(1)填空：表中__________、__________；
(2)在图中描点并画出该函数的图象；
(3)观察函数的图象，判断下列关于该函数性质的命题：
①当时，的值随的值增大而增大；
②当时，；
③该函数存在最小值，最小值为；
④该函数图象关于直线对称．
其中错误的是__________．（请写出所有错误命题的序号）
【答案】(1)3，
(2)见解析
(3)①③
【分析】本题主要考查了求一次函数的函数值和自变量的值，画一次函数图象，一次函数的性质等等，利用数形结合的思想求解是解题的关键．
（1）把和分别代入函数解析式中求出对应的函数值即可得到答案；
（2）先描点再连线画出对应的函数图象即可；
（3）根据所画函数图象和表格中的数据逐一判断即可．
【详解】（1）解：在中，当时，，
当时，，
∴；
（2）解：如图所示函数图象即为所求；
（3）解：①由函数图象可知，的值随的值增大而增大，原说法错误；
②当，解得或，故当时，或，原说法错误；
③由函数图象可知，该函数存在最小值，最小值为，原说法错误；
④由函数图象可知，该函数图象不关于直线对称，原说法错误．
故答案为：①③．
变式应用
【变式01】（2025·广东汕头·一模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（ ）
A．、 B．、 C．、 D．、
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的图像与几何变换，熟练掌握一次函数的图像与性质是解题的关键．根据题意得到直线关于直线的对称点，然后利用待定系数法即可求解．
【详解】解：直线与轴的交点为，与轴的交点为；
点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，
把点、代入，
得：，
解得：，，
．
【典例02】（20-21九年级下·吉林·月考）（1）如图①，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于A，B一点（点A在点B的左侧），与y轴相交于点C（0，3），顶点为D

①求抛物线的解析式；
②求△ABD的面积．
（2）将图①中的抛物线y轴右侧的部分沿y轴元叠到y轴的左侧，将元叠后的这部分图象与原抛物线y轴右侧的部分（包括点C）的图象组成新的图象，记为图像M，如图②．
①直接写出图像M所对应的函数解析式；
②直接写出图像M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围．
【答案】（1）①；②8；（2）① ；②或
【分析】（1）①用待定系数法即可求解；
②当 （x 1）2＋4＝0时，解得 x1＝ 1，x2＝3．则AB＝3 （ 1）＝4，进而求解；
（2）①根据点的对称性，元叠后的这部分函数的表达式为y＝ （x＋1）2＋4，进而求解；
②观察函数图象即可求解．
【详解】解：（1）①把C（0，3）代入y＝ （x 1）2＋k，得3＝ （0 1）2＋k，
解得 k＝4．
∴y＝ （x 1）2＋4；
②由y＝ （x 1）2＋4．可知顶点D（1，4）．
当 （x 1）2＋4＝0时，
解得 x1＝ 1，x2＝3．
∴A（ 1，0），B（3，0）．
∴AB＝3 （ 1）＝4．
∴S＝×4×4＝8；
（2）①根据点的对称性，元叠后的这部分函数的表达式为y＝ （x＋1）2＋4，
∴；
②从函数图象看，M所对应的函数y随x的增大而增大时x的取值范围为：x＜ 1或0＜x＜1．
【点睛】本题考查的是抛物线与x轴的交点，主要考查函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点坐标的求法，及这些点代表的意义及函数特征．
变式应用
【变式01】（2025·湖北孝感·二模）如图，抛物线与轴交于点，，与轴交于点，将抛物线在轴下方的部分沿轴元叠到x轴上方，将这部分图象与原抛物线剩余的部分组成的新图象．若新图象与直线有个交点，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C．的最小值为 D．或
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、一元二次方程根的判别式、用待定系数法求二次函数的解析式，由元叠可知，当当直线经过点时，新图象与直线有个交点；当直线与只有一个交点时，新图象与直线有个交点．
【详解】解：把点，，点的坐标代入抛物线中，
可得：，
解得：，
，
故A选项错误；
点在抛物线上，
，
故B选项错误；
抛物线的解析式是，
整理为顶点坐标式可得：，
的最小值为，
故C选项错误；
当直线经过点时，新图象与直线有个交点，
把点的坐标代入，
可得：，
解得：，
元叠后部分的解析式为，
解方程，
整理得：，
当时，
新图象与直线有个交点，
解得：，
综上所述，当或时，新图象与直线有个交点，
故D选项错误．
．
技法06 函数图象的旋转问题
知识必备
旋转变换的性质、中心对称与坐标变换、二次函数的图象特征、点的旋转变换。
答题技法
旋转180°相当于中心对称变换。若绕原点旋转180°，点坐标变为(-x, -y)，代入原解析式可得新解析式。绕顶点旋转时，需结合顶点坐标进行变换。注意旋转不改变图象的形状，但可能改变开口方向（如抛物线旋转180°后开口方向相反）。
母题精讲
【典例01】（2025·福建泉州·三模）已知一次函数的图象， 绕x轴上一点 旋转， 所得的图象经过， 则m的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
【答案】A
【分析】根据题意得出旋转后的函数解析式为 然后根据解析式求得与 x轴的交点坐标，结合点的坐标即可得出结论．
本题考查了一次函数图象与几何变换，解题的关键是求出旋转后的函数解析式． 本题属于基础题，难度不大．
【详解】解：∵
∴函数的图象与坐标轴的交点坐标为， ，
故图象绕x轴上一点 旋转后的新坐标，，
设新解析式为，
根据题意，得，
解得，
故函数的解析式为，
又图象经过，
∴
解得．
变式应用
【变式01】（2025·陕西商洛·二模）在平面直角坐标系中，将抛物线绕点旋转，在旋转后所得的抛物线上，当时，随的增大而减小，则的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，确定旋转后抛物线的开口和对称轴是求解本题的关键．先确定旋转后抛物线的开口和对称轴，再根据增减性列不等式求的范围．
【详解】解：，
原抛物线开口向上，对称轴为直线，
将抛物线绕点旋转，
旋转后的对称轴为直线，开口向下，
当时，随的增大而减小，
，
．
．
【变式02】（2025·贵州·模拟预测）如图：反比例函数的图象与正比例函数的图象交于、一点，其中点坐标为．
(1)求反比例函数和正比例函数的表达式，并直接写出点坐标；
(2)将正比例函数的图象逆时针旋转后向上平移（）个单位长度，得到的一次函数的图象刚好与反比例函数的图像只有一个交点，求的值．
【答案】(1)，，
(2)
【分析】本题考查了正比例函数与反比例数，一次函数的平移，旋转的性质，一次函数与反比例函数交点问题；
（1）将点分别代入反比例函数与正比例函数，待定系数法求解析式，根据正比例函数与反比例函数都是中心对称图形，即可得出点的坐标；
（2）先求得旋转后的正比例函数解析式，根据平移的性质得出一次函数解析式为，结合题意，根据有两个相等的实数根，即可求解．
【详解】（1）解：将点代入得，
∴，
∴反比例函数表达式为：，
将点代入得，
，
解得：
∴正比例函数的表达式为：，
∵正比例函数图象与反比例函数图象都是中心对称图形，
∴关于原点对称，
∴
（2）解：∵将绕原点逆时针旋转得到，
代入正比例函数，得，，
解得：，
∴正比例函数逆时针旋转后得到，
向上平移（）个单位长度，得到的一次函数：
∵与反比例函数的图象只有一个交点，
∴，即有两个相等的实数根，
∴
解得：或（舍去）
【典例02】（（2025·辽宁沈阳·一模）定义：若一个函数的图象上存在横、纵坐标相同的点，则称该点为这个函数图象的“横纵相同点”．若将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，则点的坐标为___________．
【答案】/
【分析】本题考查了二次函数图象，一元二次方程的根与系数的关系．解题的关键在于根据题意构造一元二次方程．
先根据旋转180°后图象开口方向相反，开口大小不变，顶点坐标纵坐标为，设旋转后的图象解析式为，由当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，二次函数与有且只有一个交点，即关于x的方程有两个相等的根，进而求解.
【详解】解：∵，
∴顶点坐标为，
∴当旋转后的图象顶点纵坐标为，
设将函数的图象绕轴上一点旋转，当旋转后的图象顶点坐标为
即旋转后的图象解析式为，
∵横、纵坐标相等的点在函数的图象上，
∴当旋转后的图象上有且只有1个“横纵相同点”时，二次函数与有且只有一个交点，
∴关于x的方程有两个相等的根，
∴有两个相等的根，
∴，
解得，，
即旋转后的图象顶点坐标为，
∴点的坐标为，即
故答案为：．
变式应用
【变式01】（2025·福建泉州·模拟预测）国家的强大离不开国防的保障．近几年，科技的发展越来越多地应用到国防军事方面，其中无人机和导弹防御系统成为各国竞争的热点．梅石数学小组借助项目式学习研究了如下问题：某军事游戏模型截面图中，导弹防御系统雷达固定向上时的覆盖范围可视为二次函数（如图1），并且可确保击落进入覆盖区域内超过10小时（含10小时）的无人机．（已知直角坐标系的单位长度均为1km．）
(1)当点在该二次函数图象上时，求的值；
(2)①若雷达可绕点左右旋转形成全方位覆盖（如图2）．若已知图2中的图象绕点向右旋转形成的曲线满足：，请直接写出图象绕点向左旋转后、满足的关系式：__________；
②如图1，若该军事游戏模型中，某型号攻击无人机飞行高度为，携带导弹后速度为10米/秒，为摧毁雷达需飞行到点正上方进行投弹．当该导弹防御系统雷达固定向上时，其覆盖范围所视为的二次函数的要调整到什么范围才能抵挡这次攻击？（投弹地址忽略不计）
【答案】(1)
(2)①②当时，才能抵挡这次攻击
【分析】本题考查二次函数的实际应用，错误的求出函数解析式，是解题的关键：
（1）待定系数法求出函数解析式即可；
（2）①根据对称性，结合开口大小不变，得到，即可得出结果；②求出无人机到达点上方正好为10小时时的值，即可得出结果．
【详解】（1）解：把代入，得：，
∴；
（2）①观察可知：图象绕点向左旋转后的图象和的图象绕点向右旋转的图象，顶点相同，开口大小相同，只是方向相反，
∴图象绕点向左旋转后、满足的关系式：；
故答案为：；
②当无人机到达点上方正好为10小时时，则飞行距离为，
假设无人机从左往右飞，
∵无人机飞行高度为，
则，当过点时，，
∴，
∴当时，才能抵挡这次攻击．
技法07 函数背景下的规律探究问题
知识必备
函数的概念与表示、列表法与图象法、从特殊到一般的数学思想、代数推理与验证、新定义函数的理解。答题技法
仔细阅读题意，理解新函数或新情景的规则。通过列表、描点、作图探索规律，结合已学基本函数的性质进行分析。注意从特殊到一般，猜想规律后尝试用代数方法验证。
母题精讲
【典例01】（2025·黑龙江牡丹江·二模）正方形按照如图的方式摆放，点在直线上，点在轴上，则点的坐标为________．
【答案】/
【分析】本题考查了一次函数上点的特征，正方形的性质和坐标的变化规律．此题难度较大，注意错误得到点的坐标的规律是解题的关键．首先利用一次函数解析式结合正方形的性质求出的坐标，可以得到规律：，据此即可求解．
【详解】解：∵点在直线上，点在轴上，且为正方形，
当时，，
∴，，；
当时，，
∴，，；
当时，，
∴，，；
；
∴，
∴，
故答案为：．
变式应用
【变式01】（2025·黑龙江齐齐哈尔·一模）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点作轴，垂足为点，将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点落在直线上，再将绕点逆时针旋转到的位置，使点的对应点也落在直线上，……，按此规律，若点的坐标为，则点的坐标为___________．
【答案】
【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征及点的坐标变化规律，解直角三角形等知识，先求出点的坐标，进而得出的圆长，根据所给旋转方式发现点（为正整数）都在直线上，依次求出的长度，发现规律即可解决问题，能根据所给旋转方式发现（为正整数）长度的变化规律是解题的关键．
【详解】解：由题知，将代入得，，
∴点的坐标为，
∴， ，
在中，，
∴，
由所给旋转方式可知，点（为正整数）在直线上，且在第二象限，
∴，
，
，
…，
∴，
∴
设点的坐标为，
在中，，
∴，
∴，，
∴，
解得：（舍正），
∴，
∴点的坐标为．
故答案为：．
【变式02】（2025·黑龙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，正方形，按如图所示的方式放置、点和点分别在直线和轴上、已知，则点的坐标是___________．
【答案】
【分析】此题考查了一次函数的性质，正方形的性质．
根据正方形的轴对称性，由、的坐标可求、的坐标，将、的坐标代入中，得到关于与的方程组，求出方程组的解得到与的值，从而求直线解析式，由正方形的性质求出，的长，设，表示出的坐标，代入直线方程中列出关于的方程，求出方程的解得到的值，确定出的坐标，依此类推寻找规律，即可求出的坐标．
【详解】解：连接，，，分别交轴于点、、，
正方形、、，
与关于轴对称，与关于轴对称，与关于轴对称，
，，
，即，，即，
，，
将与的坐标代入中得：
，
解得：，
直线解析式为，
设，则有坐标为，
代入直线解析式得：，
解得：，
坐标为，即，
依此类推．
故答案为：．
【典例02】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，，，是分别以，，为直角顶点，斜边在轴正半轴上的等腰直角三角形其中顶点，，均在反比例函数的图象上，则点的坐标为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了点坐标规律探索，反比例函数图象上点的特征，等腰直角三角形的性质等知识，利用等腰直角三角形的性质和反比例函数图象上点的坐标特征，通过设未知数建立方程求解，进而总结规律得出点的坐标．
【详解】解：过、、．．．分别作x轴的垂线，垂足分别为、、．．．
则，
∵三角形是等腰直角三角形，
∴，
∴，，
∴，
∵直角顶点在反比例函数，
∴，即，
∴，
∴，
设坐标为，则，
∵在上，
∴，
整理得，
解得，
∵，
∴，，
∴，
∴，
设坐标为，
则，
∵坐标在反比例函数，
∴，
即，整理得，
∴，
∵，
∴，，
∴，
总结：，
，
，
…
则，
∴，
∴，
故答案为：
【变式01】（2025·山东济宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，第一象限的角平分线分别与反比例函数，， 的图象交于点，过分别作坐标轴的平行线，依次得到三角形，，…，其面积依次记作，则可以表示为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的性质以及第一象限角平分线的特点．在第一象限角平分线上的点，其横，纵坐标相等．先求出各交点的坐标，再根据坐标求出三角形的边长，进而得出三角形面积的规律．
【详解】解：第一象限的角平分线的解析式为：，
联立，将代入，得到，即，
解得，则，
；
联立，将代入，得到，即，
解得，则，
；
联立，将代入，得到，即，
解得，则，
．
对于三角形，，，则的横坐标为，的横坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，
；
对于三角形，，，则的横坐标为，的横坐标为，的纵坐标为，的纵坐标为，
；
通过前面的计算，我们发现规律：
的坐标为：，的坐标为：，
则．
．
【变式02】（2025·河南·一模）如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】此题考查了二次函数的图像与性质，一次函数的图像与性质，属于规律型试题，找出题中的规律是解本题的关键．
根据的纵坐标与纵坐标的绝对值之和为的长，分别表示出所求式子的各项，拆项后抵消即可得到结果．
【详解】解：根据题意得：，
∴，
∴
．
．
技法08 函数背景下的整点问题
知识必备
整点的概念、一次函数图象上的整数点、反比例函数图象上的整数点、二次函数图象上的整数点、不等式组表示的区域、数形结合思想。
答题技法
结合函数图象进行分析。对于一次函数，常通过分析直线上的整数解得到；对于反比例函数，利用k的因数分解找整数对(x,y)；对于二次函数，代入整数x验证y是否为整数。区域整点问题需结合不等式组和图象边界分析，注意是否包含边界。
母题精讲
【典例01】（2025·广东深圳·三模）在平面直角坐标系中，设二次函数的图象为抛物线G，抛物线G与抛物线的图象关于x轴对称．
(1)抛物线G与y轴的交点坐标为______，抛物线G的对称轴为直线______；
(2)当时，求抛物线的表达式；
(3)横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记抛物线G与抛物线围成的中间封闭区域不包括边界为．
①当时，直接写出区域W内的整点个数；
②如果区域W内恰有5个整点，结合函数图象，直接写出a的取值范围．
【答案】(1)，1；
(2)；
(3)①，，共3个；②或．
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，二次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
（1）利用对称轴公式以及y轴上点的坐标特征求得即可；
（2）根据关于x轴对称的点的坐标特征即可得出答案；
（3）①根据图象即可求得；
②时，抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点，结合①即可得出；当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点，结合图象即可求得，从而求得如果区域W内恰有5个整点，则或
【详解】（1）解：二次函数，
对称轴为直线，
令，则，
图象与y轴的交点坐标为；
故答案为：，1；
（2）解：抛物线G：，
抛物线：，
即，
当时，；
（3）解：①当时，则抛物线G：，
顶点为，
令，解得：，，
图象与y轴的交点坐标为，
区域W内的整点有，，共3个；
②当时，如图2，
抛物线经过点时，区域W内恰有5个整点，
，
解得：，
结合①可得：；
当时，如图2，抛物线经过点和时，区域W内恰有5个整点．
经过点时，，
解得：，
经过点时，，
解得：，
，
故如果区域W内恰有5个整点，则或
变式应用
【变式01】（2024·河北邯郸·二模）如图，直线与轴，轴交于点，点，直线与轴，轴交于点，点．
(1)求点的坐标及直线的解析式；
(2)点在直线上．
①直接写出直线的解析式；
②若点在内部（含边界），求的取值范围；
③横纵坐标都为整数的点为整点，将直线向上平移个单位长度（为整数），直线在第二象限恰有4个整点，直接写出的值．
【答案】(1)，；
(2)①；②；③3．
【分析】本题是一道一次函数综合问题，考查了求一次函数的解析式；已知点在直线上的求点的坐标等，需要有解决一次函数的综合能力．
（1）令，，得到点A的坐标为，利用，求得点C的坐标为，利用待定系数法即可求解；
（2）①直接写出直线的解析式即可；
②联立，分别求得直线与、的交点坐标，据此即可求解；
③求得，当、1、2，求得直线在第二象限整点个数，即可求解．
【详解】（1）解：令，则
∴点的坐标为，则．
点的坐标为，
设直线的解析式为，把坐标代入，得
∴直线的解析式为；
（2）①点在直线上，
直线的解析式为；
②令，则，令，则．
解方程组，
得
解方程组得
∵点在内部（含边界），
的取值范围是；
③将直线向上平移个单位长度，则平移后的直线解析式为，
直线在第二象限，则，
解得，当为偶数时，为整数．
当时，，则可取一个点；
当时，，则可取两个点；
当时，，则可取三个点；
当时， ，则可取四个点．
∴的值为3．
【变式02】（23-24九年级上·山东济南·期末）在平面直角坐标系中，定义：横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．如图，已知双曲线经过点，在第一象限内存在一点，满足．
(1)求的值；
(2)如图，过点分别作平行于轴，轴的直线于点、，记线段、、双曲线所围成的区域为（含边界），
当时，区域的整点个数为 ；
直线过一个定点，若点为此定点，直线上方（不包含直线）的区域记为，直线下方（不包含直线）的区域记为，当与的整点个数之差不超过时，请求出的取值范围．
【答案】(1)；
(2)①，②．
【分析】（）根据点在的图象上，可求出的值；
（）标出区域，再统计区域内的整数点即可；
过定点即表示与的取值无关，则有的系数等于，便可解决问题，利用图象，求出区域内的所有整数点，再分类讨论即可；
本题考查反比例函数的性质，错误理解题目中所给出的新定义，结合图形合理的分析是解题的关键．
【详解】（1）∵双曲线经过点，
∴，
即的值为；
（2）当时，由图可知，
上的整点有个，
上的整点有个，
双曲线上段的整点有个，
区域内部的整点有个，
又点，，都被算了次，
所以区域的整点个数为：，
故答案为：；
由题知，，
则不论为何值，时，即直线过定点，
∴，
如图所示，当时，区域内的整点共有个，
又被分成的区域和的整点个数之差不超过，
则当直线经过点时，的整点个数是，的整点个数是，满足要求，
此时，得，
当直线过点时，的整点个数是，的整点个数是，不满足要求，故当点在直线上方时，即可，
此时，得，
故的取值范围是：．
【变式03】（2024·辽宁·模拟预测）在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的直角边长为n（n为正整数，且），点A在x轴正半轴上，点B在y轴正半轴上．若点在等腰直角三角形边上，且x，y均为整数，定义点M为等腰直角三角形的“整点”．若某函数的图像与等腰直角三角形只有两个交点且交点均是等腰直角三角形的“整点”，定义该函数为等腰直角三角形的“整点函数”．

(1)如图1，当时，一次函数是等腰直角三角形的“整点函数”，则不符合题意的一次函数的表达式为______（写出一个即可）；
(2)如图2，当时，函数的图像经过，判断该函数是否为“整点函数”，并说明理由；
(3)当时，二次函数经过的中点，若该函数是“整点函数”，求的取值范围；
(4)在（3）的条件下，是二次函数图象上一点，若点、之间的图象（包括点、）的最高点与最低点纵坐标的差为，求的值
【答案】(1)（答案不唯一）
(2)函数是“整点函数”，理由见解析
(3)或
(4)
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，一次函数与几何综合，二次函数综合：
（1）求出恰好经过A、B的直线解析式即可得到答案；
（2）先利用待定系数法求出反比例函数解析式，再利用直线和反比例函数解析式，求出二者的交点坐标即可得到结论；
（3）先利用待定系数法求出，进而得到对称轴为直线，则抛物线一定经过点，再分当，当两种情况讨论求解即可；
（4）根据（3）所求分当，当两种情况讨论求解即可．
【详解】（1）解：由题意得，，
当直线恰好经过A、B时不符合题意，
∴，
∴，
∴，
故答案为：（答案不唯一）；
（2）解：把代入中得，
∴反比例函数解析式为，
由题意得，，，
直线的解析式为．
联立，解得或，
与线段有两个交点，分别为和，且都是整点；
函数是“整点函数”；
（3）解：当时，，，
∴中点坐标，
过，
，
，
，
∴抛物线的对称轴为直线，
由题意，抛物线一定经过点，
当时，抛物线是“整点函数”，且顶点坐标为，
，
，
；
当时，则抛物线与轴正半轴的交点在点右侧，即当时，，，
∴，
．
综上，的取值范围是或．
（4）解：由（3）可知抛物线的对称轴为直线．
①当时，则顶点为最高点，为最低点，
，
整理得，，（舍），
②当时，，
抛物线开口向上，在对称轴右侧，随的增大而增大，
最高点为点，最低点为点．
．
解得（舍），．
综上所述，的值为1．
技法09 函数背景下的几何问题
知识必备
几何图形性质（三角形相似与全等、勾股定理、平行四边形判定、圆的性质）、函数图象上点的坐标特征、方程（组）与不等式、分类讨论思想。
答题技法
设出动点坐标（常用参数表示），利用几何性质（勾股定理、相似、全等、锐角三角函数等）建立方程或函数关系。注意多情况讨论（如等腰三角形需分腰相等的情况），利用数形结合思想简化运算，做到“多思少算”。
母题精讲
【典例01】（2025·青海西宁·一模）如图，直线 与轴、轴分别交于，一点， ．
(1)求点坐标和的值；
(2)若点，是第一象限内的直线 上的一个动点．当点运动过程中，试写出 的面积与的函数关系式；
(3)探索：
①当点A运动到什么位置时， 的面积为，并说明理由；
②在①成立的情况下，轴上是否存在一点，使 是等腰三角形．若存在，请写出满足条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)
(3)①当点A运动到时， 的面积为，理由见解析；②存在，或或
【分析】本题主要考查了三角函数、一次函数图像与点的坐标之间的关系，等腰三角形定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键．
（1）由函数与轴交点可得，由三角函数可得，得点坐标，把点坐标代入解析式即可求值；
（2）借助（1）的函数关系式，利用三角形面积公式即可求出；
（3）①利用三角形面积即可求出；
②设，分三种情况讨论： 、、，先求出的长度，再分别列方程求解即可．
【详解】（1）解：∵ 与轴相交于点，
∴，
∵，
∴=，
∴点坐标为 ，
把代入得
，
解得；
故答案为：；．
（2）把代入得，
∵，
∴；
故答案为：．
（3）①当时，，
解得，
把代入，得，
∴当点A运动到时，的面积为；
②由，得，设 ，
是等腰三角形，分三种情况讨论：
当时，，解得或，
∴或；
当时，，解得或 (不不符合题意，舍去），
∴；
当时，，解得，
∴；
故答案为：①当点A运动到时， 的面积为；②存在，或或．
【典例02】（2024·广东·模拟预测）综合运用
如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴交于点，与y轴交于点B，与直线：交于点C．
(1)求点C的坐标；
(2)抛物线的顶点F在直线上，以为边向右作菱形，点恰好与原点重合，连接．
①当为直角三角形时，求抛物线的解析式；
②若抛物线同时与菱形的边有公共点时，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)①抛物线的解析式为或，
②的取值范围为：
【分析】这道题综合考查了一次函数、二次函数、菱形的性质以及直角三角形的判定等知识，掌握这些性质定理是解题关键．
（1）先将点代入直线：，求出的值，得到直线的解析式，然后联立直线与的解析式，解方程组求出交点C的坐标；
（2）①先根据菱形的性质求出点的坐标，再结合抛物线顶点在直线上，得到．由题意易得，然后分两种情况（、)），利用直角三角形的性质和坐标关系列方程求解抛物线的解析式；
②分别求出抛物线经过菱形边和上关键点时的值，从而确定的取值范围．
【详解】（1）解：直线：与x轴交于点，
将，代入，
得：，
，
：
：与：交于点C
联立方程组得：，解得：
（2）①由题意得，点与点关于轴对称，
，
由抛物线的解析式可知抛物线的顶点的坐标为．
点在直线上，
，
抛物线的解析式为，顶点坐标为．
由题意易得，
当时，，即，解得（不不符合题意），
把代入中，
得，
，
此时抛物线的解析式为；
当时，，即，解得，把代入中，得，
，
此时抛物线的解析式为．
综上所述，抛物线的解析式为或．
②当抛物线对称轴左侧图象经过点时，如答图，
将代入，得，
解得：，
当抛物线顶点经过点时，如答图，
得
的取值范围为：．
变式应用
【变式01】（25-26九年级上·湖南郴州·期末）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点，点及原点，直线与轴交于点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)点是二次函数图象在直线上方的一个动点，过点作轴于点，与直线交于点，设点的横坐标为．
为何值时的面积最小，并求出其最小值；
是否存在点，使得与相似．若存在，请求出点坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)；
(2)当时，的值最小，最小值为；或．
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图像和性质，相似三角形的判定和性质等知识点，熟练掌握相关知识是解题的关键．
（）利用待定系数法即可求解；
（）先求出直线的表达式为，由题知，则，则，所以，最后通过二次函数的性质即可求解；
要使相似，只有保证是直角三角形即可，然后分当时，当时，两种情况求解即可．
【详解】（1）解：把，，代入，得，
解得：，
∴二次函数的解析式为；
（2）解：∵点是二次函数图像在直线上方的点，
∴，
设直线解析式为，
把，代入得，，
解得，
∴直线的表达式为：，
由题知，则，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的值最小，最小值为；
存在，理由如下：
∵轴，即轴，
∴，
∵是直角三角形，
∴要使相似，只有保证是直角三角形即可，
当时，如图，
∴，
此时轴，关于抛物线的对称轴对称，
∴；
当时，如图，
∴，
∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，
∴，
由知，
∵，，
∴，
解得，（舍去），
∴，
综上，存在点使与相似，此时的坐标为或．
【变式02】（2026·湖北襄阳·二模）如图，抛物线与轴交于、一点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点是抛物线上一点，位于轴上方，连接，若的面积为，求点的坐标；
(3)点是抛物线对称轴上一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，求的最小值．
【答案】(1)抛物线解析式为；
(2)点；
(3)有最小值为．
【分析】（1）将点、、代入即可求解；
（2）先设设点，求出，根据的面积求出，即可求解；
（3）先将抛物线化成顶点式，接着作直线，在直线上找一点，连接，过点作垂直于直线交直线于点，将绕点逆时针旋转得到，过点作垂直于直线交直线于点，连接，设点，推出点，，，再根据旋转的性质证明，求出点的坐标，最后根据距离坐标公式结合二次函数的最值求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线经过、、，
则：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵点是抛物线上一点，位于轴上方，
∴设点，
∴，
∵、，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
，
，
，
∴点；
（3）解：∵，
∴作直线，在直线上找一点，连接，过点作垂直于直线交直线于点，
将绕点逆时针旋转得到，过点作垂直于直线交直线于点，连接，
∵点是抛物线对称轴上一点，
∴设点，
∵垂直于直线交直线于点，
∴点，
∴，．
∵绕点逆时针旋转得到，
∴，，
∴．
∵垂直于直线，垂直于直线，
∴，
∵，
∴．
∵在和中，
，
∴，
∴，．
∴点，
∴点．
∵点，点，
∴，
，
，
，
∵，
∴当，有最小值为．
【点睛】本题主要考查二次函数的待定系数法、二次函数面积综合题、旋转的性质、一点间的距离公式、二次函数的最值问题等，能够根据题意作出图像并作出辅助线是解题的关键．
【变式03】（2026·四川泸州·一模）如图1，若二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，连接，点为直线下方抛物线上的动点，求面积的最小值及此时点的坐标；
(3)如图3，将抛物线先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到新的抛物线，在的对称轴上有一点，坐标平面内有一点，使得以点，，，为顶点的四边形是三角形，求点的坐标．
【答案】(1)；
(2)面积的最小值为，；
(3)点的坐标为或或或．
【分析】（1）把和代入求解即可；
（2）先解得直线的解析式为，设，，得到的的值，当时，最小，进而根据三角形的面积公式，即可求解；
（3）分情况讨论，当为三角形一边时，且点在轴的下方；当为三角形一边时，且点在轴的上方；当为三角形对角线时，分别求解即可．
【详解】（1）解：二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点．将点，点的坐标分别代入得：
，
解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为，将点，点分别代入得：
，
解得：，
∴直线的解析式为，
点为直线下方抛物线上的点，如图，
设，
∴，
∴，
当时，，
∴，
∴面积的最小值为，
∴；
（3）解：由题意可得：，
的对称轴为．
∵，，
∴，，
当为三角形一边时，且点在轴的下方，如图，过作轴于点，
∵在的对称轴上，
∴，
∵，，
∴，
∴，，即点，
∴点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点，则点向右平移个单位、向下平移个单位可得到点；
当为三角形一边时，且点在轴的上方，′的对称轴为与轴交于点，如图，
∵在的对称轴上，
∴，
∴，
∵，即，
，即点，
∴点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点，则点向左平移个单位、向上平移个单位可得到点；
当为三角形对角线时，如图，设，，的中点的坐标为，
依题意得：，
解得：，
又∵，
∴，
解得：，
联立得：，
解得：，
∴点的坐标为或．
综上所述，点的坐标为或或或．
【点睛】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，二次函数的图象与性质，一次函数的图象与性质，三角形的性质，熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键．
【变式04】（2025·湖北襄阳·一模）如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线与轴交于点，（点在点的右边），与轴交于点，直线经过点，
(1)求，，三点的坐标及直线的函数解析式．
(2)是第二象限内抛物线上的一个动点，过点作轴交直线于点，设点的横坐标为（），的长为．求与的函数关系式，并写出的取值范围；
(3)设抛物线的顶点为，问在轴上是否存在一点，使得为直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)，，，直线解析式为
(2)
(3)存在，或或或．
【分析】本题考查二次函数的综合应用，涉及抛物线与坐标轴的交点问题，待定系数法求函数解析式，勾股定理等知识点，熟练掌握相关知识点，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键．
（1）令，求出值，令，求出的值，进而得到的坐标，待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）求出点坐标，根据一点间的距离求出的解析式，根据点在第二象限，写出m的取值范围即可；
（3）分别以为直角顶点，为直角顶点和为直角顶点三种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴当时，，当时，，解得：，
∴，
∵直线经过点A，B
∴，解得：，
∴；
（2）∵点P的横坐标为，
∴，
∵轴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵P是第二象限内抛物线上的一个动点，
∴；
∴；
（3）存在，设点，
∵，
∴，
∵，
∴；
①当点为直角顶点时：，解得：，
∴；
②当点为直角顶点时，，解得：，
∴；
③当点为直角顶点时：，解得：或，
∴或；
综上：或或或．
【典例03】（2026·江苏泰州·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点A，与轴交于点B，与轴交于点C，轴于点D，，点C关于直线的对称点为点E．
(1)点E是否在这个反比例函数的图象上？请说明理由；
(2)连接、，若四边形为正方形．
①求、的值；
②若点P在轴上，当最小时，求点P的坐标．
【答案】(1)点E在这个反比例函数的图象上，理由见解析
(2)①，；②
【分析】本题考查了反比例函数和一次函数综合，熟练掌握以上知识点是解题的关键．
（1）设点，连接交于H，推出，得到点的坐标，即可得解；
（2）①由四边形为正方形得到，垂直平分，设点，求出的值，即可得到点和点的坐标，进而求解；
②延长交轴于P，此时点即为所求，设直线的解析式为，求解即可．
【详解】（1）解：点在这个反比例函数的图象上，理由如下：
设点，
∵点C关于直线的对称点为点E，
∴，平分，
如图，连接交于H，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵轴于D，
∴轴，
∴，
∵，
∴点E在这个反比例函数的图象上；
（2）解：①∵四边形为正方形，
∴，垂直平分，
∴，
设点，
∴，，
∴，
∴（负值舍去），
∴，，
代入得，
，
解得；
②∵点在轴上，
∴，，
∴，
∴，
∴，当且仅当、、三点共线时取等号；
延长交轴于P，此时点P即为不不符合的点；
由①知，，，
∴，，
设直线的解析式为，
∴，
∴，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴，
故当最小时，点P的坐标为．
【变式01】（2025·河南周口·一模）请阅读以下材料，并完成相应任务．
问题背景：如图①，三角形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E． 小红的探究：如图②，过点D作轴于点F，过点E作轴于点G．根据反比例函数中的几何意义，可得，又，，∴，∴ ． 小明说：“如图③，连接，，在小红的结论的基础上继续探究，可以得到．”
(1)小明的结论错误吗？若错误，请减以证明；若不错误，请说明理由．
(2)如图④，直线分别与x轴、y轴交于点N，M，与反比例函数的图象交于点D，E．求证：．
(3)如图⑤，三角形的边，分别与反比例函数的图象交于点D，E．连接，，．若点D为的中点，则______(用含k的代数式表示)．
【答案】(1)错误，见解析
(2)见解析
(3)k
【分析】（1）由，可得，求证，即可求解；
（2）过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则，推出四边形和四边形都是平行四边形，即可求解；
（3）根据反比例函数的几何意义求解面积即可.
【详解】（1）解：错误．证明如下：
由，可得．
又，
，
，
．
（2）证明∶如图（1），过点作轴的平行线，交轴于点，过点作轴的平行线，交轴于点，连接，则；
又，，
四边形和四边形都是平行四边形，
，
；
（3）解：如图（2），连接，，则．
又，
，
，， ，
．
巩固提升
1．（2024·辽宁盘锦·三模）如图，直线交坐标轴于，一点，等边三角形的边在轴上，且点为线段的中点，若将沿轴竖直向上平移，当点落在直线上时，点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】过点作轴于，延长，交于，先求出，，得出，根据等边三角形的性质得出，进而求出平移距离，即可求出平移后的点坐标．
【详解】解：如图，过点作轴于，延长，交于，
∵直线交坐标轴于，一点，
当时，，当时，，
∴，，
∵点为线段的中点，
∴，
∵是等边三角形，
∴，，，
∴
∵将沿y轴竖直向上平移，点落在直线上，
∴当时，，
∴，，
∵，
∴平移距离为，
∴平移后，点的坐标为．
2．（2026·陕西·一模）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论：
①；
②方程没有实数根；
③；
④．
其中错误的个数有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键．
根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解．
【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上，
∴对称轴为直线，，
∴，
∴，
当时，，
∴，即，
∴，
∴，故①错误；
∵图象开口向上，对称轴直线为，
∴当时，函数有最小值，最小值在轴的下方，
∴抛物线与直线有两个不同的交点，
∴方程有两个不相等的实数根，故②错误；
∵二次函数与轴交于点，其中，
∴当，，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得，，故③错误；
当时，函数有最小值，最小值为，，
∴，
∴，故④错误；
综上所述，错误的有①③④，错误的有②，
∴错误的有1个，
．
3．（25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，已知第一象限内的点A在反比例函数的图象上，第二象限内的点B在反比例函数的图象上，且，，，则k的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】此题主要考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数比例系数的几何意义，过点A作轴，垂足为，过点B作轴，垂足为，可证明得到，根据反比例函数比例系数的几何意义可得，则，据此可得答案．
【详解】解：如图，过点A作轴，垂足为，过点B作轴，垂足为，
∴，
，
∴，
∴
∴，
∴，
∵点A在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
∵第二象限内的点B在反比例函数的图象上，
∴，
∴，
．
4．（2026·福建·一模）如图，点在反比例函数图像的一支上，点在反比例函数图像的一支上，点在轴上，若四边形是面积为的正方形，则实数的值为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，掌握反比例函数图像上任意一点作轴、轴的垂线，与轴、轴所围成的三角形面积为的绝对值．如图：由题意可得，再根据进行计算即可解答．
【详解】解：如图：
∵点在反比例函数图像的一支上，点在反比例函数图像的一支上，
∴，
∵四边形是面积为的正方形，
∴，即，
解得：．
故答案为：．
5．（2025·黑龙江大庆·三模）给出下列命题及函数与和的图象：
①如果，那么；
②如果，那么或；
③如果，那么；
④如果，那么．则（ ）
A．错误的命题只有① B．错误的命题有①②④
C．错误的命题有②③ D．错误的命题是③④
【答案】B
【分析】本题考查二次函数与不等式关系，命题与定理，求出交点的坐标并准确识图是解题关键．
先确定出三个函数图象的交点坐标为，再结合图象分析二次函数与不等式关系求解即可．
【详解】解：∵当时，三个函数的函数值都是1，
∴三个函数图象的交点坐标为，
∴由对称性可知，和在第三象限的交点坐标为，
∴如果，那么，命题①错误；
如果，那么或，命题②错误；
如果，那么a无解，命题③错误；
如果，那么，命题④错误．
．
6．（2023·四川达州·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线与直线分别交于点A，B．直线与交于点C．记线段，，围成的区域（不含边界）为W；横，纵坐标都是整数的点叫做整点．若区域W内没有整点，则k的取值范围是______．
【答案】或
【分析】本题考查了一次函数图象的性质，一次函数中交点的计算，掌握一次函数图象的性质，数形结合，分类讨论思想是解题的关键．根据题意，分类讨论：当时，直线过第二、三、四象限，直线，；当，直线过第一、三、四象限，直线，；由题意作图分析即可求解．
【详解】解：当时，直线过第二、三、四象限，直线，，如图所示，
∴区域内必有原点，不不符合题意，舍去；
当，直线过第一、三、四象限，直线，，如图所示，
∴当时，，即，
当时，，
解得，，即，
当时，，即在直线的图象上，不在区域内，
∵，，
∴区域内，横坐标的范围是从到，不存在整点，纵坐标的范围从到，不存在整点，不符合题意；
当时，
∴，
同理，，，，
∴当时，，，，
当时，，，，
∴当时，存在整点，当，不存在整点；
当时，如图所示，
横坐标为的边界点为和，线段长为，
∴区域内有整点，不不符合题意；
综上所述，或时，区域内没有整点，
故答案为：或 ．
7．（2025·四川成都·一模）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则c的取值范围是________．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数图象与几何变换、一次函数的平移等知识点，灵活运用极值法求解是解题的关键．
先求出平移后的解析式为，分别代入A、B的坐标，求得对应的c的值， 根据函数图象即可解答．
【详解】解：把直线向上平移c个单位长度后得到，
若直线过，则，解得：，
若直线过，则，解得，
∴将直线向上平移c个单位长度后与线段有交点，则．
故答案为：．
8．（2024·河北邯郸·三模）如图，正方形中，点，点，点，，且，沿元叠正方形，点F是点A的对应点，第一象限内的双曲线：，：分别经过点B，点F．
（1）__________；
（2）当时，m的值为__________；
（3）若，且双曲线、之间有2个整数点（横、纵坐标都为整数，且不包括边界），则a的取值范围为__________．
【答案】 4 6
【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键．
（1）将点代入求解即可；
（2）求出点坐标，代入求解即可；
（3）观察图象，从图象从开始增大，从图象可得当超过点和，且不超过点时即可满足．
【详解】（1）∵正方形中，点，点，
∴，
∵：经过点B，
∴，
故答案为：；
（2）∵点，，
∴，，
由翻元得：，，
∴，
∵：经过点F，
∴，
∴当时，，
故答案为：；
（3）∵，且双曲线、之间有2个整数点，
利用对称性可知这两个整数点为和，
由（2）得，
当恰好过和时，得，
得，
∵恰好有两个整数点，
∴整数点不包括点，
当恰好经过点时，得，
得，
结合图象可得时即可满足，
故答案为：．
9．（2025·广东广州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于A，B一点，与y轴交于点C，连接，的面积为1．

(1)求反比例函数的解析式；
(2)点P为第三象限内反比例函数图象上一点，且位于直线下方，过点P作轴交直线于点D，作轴交y轴于点E，若，求点P的坐标；
(3)若M是x轴负半轴上一点，N是反比例函数图象上一点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形时，求点N的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)或
【分析】本题是反比例函数综合题，主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，坐标与图形的性质，平行四边形的性质等知识，熟练掌握中点坐标公式是解题的关键．
（1）过点作轴于，由的面积为1，可得的长，从而得出点的坐标，即可得出答案；
（2）设，则，，利用坐标与图形的性质表示出和的长，从而列出方程解决问题；
（3）首先求出点的坐标，设，，再利用中点坐标公式可得点的横坐标，从而解决问题．
【详解】（1）解：过点作轴于，

对于一次函数，
当时，，
，
的面积为1．
，
，
当时，，
，
将点代入反比例函数得：
，
反比例函数解析式为；
（2）解：设，则，
，，
，
，
解得，
点在直线下方的双曲线上，
，
当时，，
；
（3）解：所有不不符合的点的坐标为或；理由如下：
当时，
解得或，
经检验，或都是方程的根，
，
设，，其中，
以，，，为顶点的四边形是平行四边形，，，
当、为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
；
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得，
；
当为对角线时，
由中点坐标公式得：，
解得：（舍去）；
综上所述，点的坐标为或．
10．（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当点在这个函数图象上时，
①求抛物线的函数关系式．
②抛物线上有一点到轴的距离为1，求点坐标．
(2)当时，函数图象上只有两个点到轴的距离等于2，求的取值范围．
(3)在平面直角坐标系中，点，点，连接．直接写出抛物线与线段只有一个公共点时的取值范围．
【答案】(1)①；②点的坐标为或或
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想是解题的关键．
（1）①代入点到，求出的值即可解答；②令或，求出对应的值即可解答；
（2）根据二次函数的性质可知图象开口向上，顶点坐标为，再结合题意列出关于的不等式，即可求解；
（3）分和两种情况讨论，结合图象列出关于的不等式，从而可求得的取值范围．
【详解】（1）解：①代入点到得：，解得，
∴抛物线的函数关系式为；
②当时，，
解得，；
当时，，
解得；
∴点的坐标为或或；
（2）解：抛物线，，
∴抛物线图象开口向上，顶点坐标为，
∵函数图象上只有两个点到轴的距离等于2，
∴，
解得；
（3）解：①当时，
当顶点在直线上，不不符合，
即，解得；
当抛物线过点时，与抛物线有两个交点，
根据函数的对称性，只要时，，即不不符合，
则，
解得；
故抛物线与线段只有一个交点时，或；
②当时，
根据函数的对称性，只要时，，即不不符合，
则，
解得；
综上，的取值范围为或或．
冲刺突破
1．（2025·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知下列变换：①沿轴翻元；②沿函数的图像翻元；③绕原点按顺时针方向旋转；④绕点按顺时针方向旋转．其中，能使函数的图像经过一种变换后过点的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【分析】先求出，，再分析得沿轴翻元得，求出的解析式，然后判断沿轴翻元不过点；再求出经过点，，则，，，得是的垂直平分线，即与关于直线对称，故沿函数的图像翻元过点；点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，得出，经过分析，得不在，即绕原点按顺时针方向旋转不经过点；结合勾股定理的逆定理以及勾股定理得是等腰直角三角形，即点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，即可作答．
【详解】解：令则，
∴，
即，
令，则，
即，
∵沿轴翻元，
∴沿轴翻元得
设的解析式为，
把，代入
得，
∴，
则，
∴沿轴翻元不过点，
∴①不不符合题意；
②令则，
解得，
即经过点，
令，则
即经过点，
连接，如图所示：
∵，，，
则，，
∴，
∵，
∴，
∴是的垂直平分线，
∴与关于直线对称，
故沿函数的图像翻元过点，
∴②不符合题意；
③
依题意，点绕着原点按逆时针方向旋转，与轴交于点，
当点在上，则绕原点按顺时针方向旋转经过点；
当点不在上，则绕原点按顺时针方向旋转不经过点；
过程如下：
∴，
此时点，
把代入，
得
∴不在，
即绕原点按顺时针方向旋转不经过点，
故③不不符合题意；
∵绕点按顺时针方向旋转，且，
∴记为T点，连接，
∴，
∴，
则，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴点绕点按顺时针方向旋转，与点P重合，
故函数的图像绕点按顺时针方向旋转过点，
∴④不符合题意．
．
【点睛】本题考查了几何变换，一次函数的性质，勾股定理，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，错误掌握相关性质内容是解题的关键．
2．（2025·江苏无锡·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，的直角边在轴上，、分别与反比例函数的图象相交于点，且为的中点，过点作轴的垂线，垂足为，连接．若的面积为，则的值为（　　）
A． B． C．5 D．10
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键．
设，可证明，则，，那么，再由，即可求解．
【详解】解：设，
由题意得，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
．
3．（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有错误结果的序号）．
①a；②；③c；④；⑤．
【答案】①②⑤
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定．根据对称轴、开口方向、可判断①②；根据图象与轴的交点位置可判断③，根据图象与轴的交点个数可判断④；根据时函数的值可判断⑤．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
∴，不符合题意；
②∵抛物线的对称轴是直线，且，
∴，
∴， 不符合题意；
③∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
∴，不不符合题意；
④∵图象与x轴有2个交点，
∴，不不符合题意；
⑤∵时，，
∴，不符合题意；
故答案为：①②⑤．
4．（2025·山东德州·中考真题）如图，，点M在线段上，将沿直线元叠，点B恰好落在点处．
(1)求a的值；
(2)求直线的解析式；
(3)若直线与直线的交点在直线的左侧，请直接写出t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】题目主要考查坐标与图形，勾股定理解三角形，翻元的性质，确定一次函数解析式及一次函数的性质，理解题意，结合图象求解是解题关键．
（1）根据题意得出，再由勾股定理及元叠的性质求解即可；
（2）设，根据元叠的性质，得，，根据勾股定理确定点M的坐标，再利用待定系数法计算解析式即可．
（3）根据题意作出相应草图，结合图象得出，代入一次函数解析式即可求解．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∵将沿直线元叠，点B恰好落在点处，
∴，
∴，
∴，
∴；
（2）设，
根据元叠的性质，得，，
由（1）得，
∵，
∴，
解得，
故，
设直线的解析式为，
∴，
解得，
故直线的解析式为．
（3）由（1）得：，
∴直线与直线的交点在直线的左侧，
如图所示：
当时，，
∴，
∵直线与直线的交点在直线的左侧，
∴直线经过点N时恰好是临界点，
∴，
解得：，
∴t的取值范围为．
5．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于一点，点在反比例函数的图象上，且在第一象限内点的右侧，连接的面积为5．
(1)求点A，B的坐标及反比例函数的解析式；
(2)探究在轴上是否存在点，使得以点O，C，M，N为顶点的四边形为菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

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