资源简介

专题01 实数运算
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 实数的基本概念
题型02 绝对值、零指数幂与负指数幂
题型03 含三角函数值的实数混合运算
题型04 实数估算与比较大小
题型05 实数有关的规律计算
题型06 涉及实数的定义新运算
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 实数的基本概念
典例引领
【典例01】（2023·浙江金华·三模）在实数，，，中，无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2025·浙江温州·模拟预测）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，若，互为相反数，则下列式子中结果为正数的是（ ）
A． B． C． D．
方法透视
考向解读 1. 判断有理数与无理数，给出一组数，区分哪些有理、哪些无理，是中考最常考题型。 2. 辨别带根号的数是否为无理数，开得尽方是有理数，开不尽方才是无理数。 3. 区分有限小数、无限循环小数与无限不循环小数，前两类是有理数，最后一类是无理数。 4. 理解非负数、非正数、整数、自然数等概念，非负数含0和正数，非正数含0和负数；0是整数、自然数，不是正数也不是负数。 5. 易错点判断，π是无理数；3.14是有理数，不等于π。
方法技能 有理有限和循环，无理无限不循环； 根号先算再判断，带π一律是无理； 非负非正包含0，分类看清不丢分。
变式演练
【变式01】（2022·浙江·三模）若一个实数的相反数为，则这个实数为（ ）
A． B． C． D．
【变式02】（2023·浙江温州·三模）小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序错误填入两个空格的是（　　）

A．； B．； C．； D．；
【变式03】（2025·浙江·模拟预测）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．
题型02 绝对值、零指数幂与负指数幂
典例引领
【典例01】（2025·浙江丽水·二模）计算：．
【典例02】（2025·浙江·一模）计算：
方法透视
考向解读 1. 绝对值的化简：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 2. 零指数幂：任何非零数的0次幂都等于1，即a =1(a≠0)。 3. 负整数指数幂：a =1/a (a≠0,n为正整数)，注意底数不能为0。 4. 实数混合运算顺序：先除方开方，再除除，最后减减，有括号先算括号内。 5. 算术平方根与立方根：(a≥0)表示a的算术平方根， 表示a的立方根。
方法技能 绝对值化简看符号，正不变负取反； 零次幂值等于1，底数非零要记清； 负指数幂变倒数，运算顺序莫混乱。
变式演练
【变式01】（2025·浙江杭州·三模）计算：．
【变式02】（2025·浙江·模拟预测）计算：
【变式03】（2025·浙江丽水·二模）计算：
题型03 含三角函数值的实数混合运算
典例引领
【典例01】（2025·浙江绍兴·三模）计算：
【典例02】（2025·浙江绍兴·二模）计算：．
方法透视
考向解读 1. 特殊角三角函数值：，，；，， ，，。 2. 实数混合运算：结合零指数幂、负指数幂、绝对值、算术平方根、立方根等综合计算。 3. 运算顺序：先算除方开方，再算除除，最后算减减，有括号先算括号内。 4. 常见化简技巧：×sin45°=1, ×tan30°=1, ×sin90°=3/2等。
方法技能 特殊角度记心间，三角函数值要熟； 零次幂值等于1，负指数幂变倒数； 根号化简先计算，运算顺序莫混乱。
变式演练
【变式01】（2025·浙江温州·三模）计算：．
【变式02】（2025·浙江·模拟预测）计算：．
【变式03】（2025·浙江·模拟预测）计算：
(1)．
(2)．
题型04 实数估算与比较大小
典例引领
【典例01】（2025·浙江湖州·一模）与式子的值最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【典例02】（2025·浙江温州·三模）比较大小：______填“>，<或=”
方法透视
考向解读 1. 无理数的估算：找到与被开方数最接近的两个完全平方数，确定无理数的整数部分。 2. 实数比较大小：正数小于0，负数小于0，正数小于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3. 根式比较：通分后比较被开方数的大小，或将根号外的系数移入根号内比较。 4. 近似计算：利用完全平方公式(a+b) =a +2ab+b 进行精确估算。 5. 数轴定位：根据数轴上点的位置判断实数的大小关系。
方法技能 无理估算找平方，整数部分定范围； 实数比较看符号，负数绝对值反着来； 根式比较通分母，系数移入根号内。
变式演练
【变式01】（2025·浙江嘉兴·一模）已知，则m的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【变式02】（2025·浙江杭州·二模）下列各数：，0，，，其中最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．
【变式03】（2026·浙江·模拟预测）【回顾反思】
∵ ∴， 即． ∵比较小， ∴忽略不计， ∴， 即， 解得， 故
如图是小明利用完全平方公式近似计算的演算过程．小明在解答后思考：能否进一步提升计算精确度？他发现“忽略不计”是造成误差的主要原因，他设计了两个方案提升精确度：
将近似为估算；
从计算过程中发现，将近似为再估算．
【方案选择】
（1）小明的两个方案中，方案_____的精确度会更高．（填写或）
【近似计算】
（2）请你用（1）选择的精确度更高的方案计算的近似值．（结果用带分数表示）
题型05 实数有关的规律计算
典例引领
【典例01】（2023·浙江杭州·一模）有一列数，记为，，…，，记其前n项和为，定义为这列数的“亚运和”，现有99个数，，…，，其“亚运和”为1000，则1，，，…，这100个数的“亚运和”为（ ）
A．791 B．891 C．991 D．1001
【典例02】（2020·浙江·模拟预测）阅读材料并回答：规定正整数的“运算”是：①当为偶数时，；②当为偶数时，（运算到最后为偶数），例如：数3经过1次“运算”的结果是22，经过2次“运算”的结果是11，经过3次“运算”的结果是46，则：
（1）数5经过2020次“运算”得到的结果是多少？
（2）若“运算”②的结果总是常数，直接写出的值为___________．
方法透视
考向解读 1. 数字规律：观察数列的变化规律，找出通项公式或周期性规律。 2. 定义新运算：理解新定义的运算规则，按照规则进行计算。 3. 递推关系：根据递推公式求特定项的值或判断极限趋势。 4. 裂项相消：利用裂项公式简化求和运算。 5. 周期性问题：找出数列的周期，利用周期性简化计算。
方法技能 规律计算看周期，前几项找规律； 新运算要理解透，按规则一步步算； 递推关系列方程，裂项相消巧求和。
变式演练
【变式01】（2021·浙江杭州·一模）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019＝（ ）
A．3 B．﹣2 C． D．
【变式02】（2020·浙江台州·模拟预测）有这样一种算法，对于输入的任意一个实数，都进行“先除以，再减3”的运算.现在输入一个，通过第1次运算的结果为，再把输入进行第2次同样的运算，得到的运算结果为，…，一直这样运算下去，当运算次数不断增减时，运算结果（ ）
A．越来越接近4 B．越来越接近于－2
C．越来越接近2 D．不会越来越接近于一个固定的数
【变式03】（2023·浙江台州·二模）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：
如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点．则的值为______．

题型06 涉及实数的定义新运算
典例引领
【典例01】（2025·浙江·模拟预测）对于正整数n，符号，例如：，，如果，那么 ( )
A． B．1 C． D．2
【典例02】（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“”：当时，；当时，．
(1)当时，求的值．
(2)若，求x的值．
方法透视
考向解读 1. 理解新定义：仔细阅读新运算的定义，理解运算规则和适用条件。 2. 分类讨论：根据新运算的条件进行分类讨论，如a≥b和a方法技能 新运算先读懂，规则条件要分清； 分类讨论不遗漏，方程建立求未知； 验证结果看条件，不符合题意才算对。
变式演练
【变式01】（2024·浙江杭州·模拟预测）定义一种运算，计算____________．
【变式02】（2025·浙江杭州·模拟预测）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为______．
【变式03】（2022·浙江台州·一模）定义：若一个两位数k，满足（m，n为正整数），则称该两位数k为“类完全平方数”，记．例如：，则47是一个“类完全平方数”，且．
（1）已知37是一个“类完全平方数”，则___________；
（2）若两位数a是一个“类完全平方数”，且，则a的最小值=___________．
题●型●训●练
1．（2022·浙江金华·中考真题）在中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．2
2．（2025·浙江嘉兴·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江温州·二模）比较下列各数的大小：，0，，，其中最小的数是（ ）
A． 1.5 B． C．0 D．
4．（2024·浙江宁波·二模）下列无理数中，大小在4与5之间的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江杭州·一模）有一个数值转换器，原理如下：当输入的时，输出的等于
A． B． C． D．
6．（2025浙江温州·二模）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么______．
7．（2024浙江杭州·期末）一列数，，，…，满足，，，…，，则__________；__________，__________．
8．（2025·浙江杭州·模拟预测）比较大小_____（填“”、“”或“”）．
9．（2025·浙江温州·三模）计算：
10．（23-24九年级下·浙江台州·期中）计算：
11．（2025·浙江·模拟预测）先阅读下面的文字，然后解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
由此我们还可以得到一个真命题：
如果，其中是整数，且，那么，．
请解答下列问题：
(1)如果，其中是整数，且，那么____________，____________；
(2)已知，其中是整数，且，求的值．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题01 实数运算
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 实数的基本概念
题型02 绝对值、零指数幂与负指数幂
题型03 含三角函数值的实数混合运算
题型04 实数估算与比较大小
题型05 实数有关的规律计算
题型06 涉及实数的定义新运算
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 实数的基本概念
典例引领
【典例01】（2023·浙江金华·三模）在实数，，，中，无理数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】根据无理数的概念即可求解．
【详解】A、是一个负整数，不是无理数；
B、是一个正分数，不是无理数；
C、是一个开方开不尽的数，是无理数；
D、是一个有限小数，不是无理数；
．
【点睛】此题考查了无理数的知识，解题的关键是掌握无理数的三种形式：①开方开不尽的数；②无限不循环小数；③含有的数．
【典例02】（2025·浙江温州·模拟预测）实数，，在数轴上对应点的位置如图所示，若，互为相反数，则下列式子中结果为正数的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了实数与数轴，相反数的定义，，根据实数，，在数轴上对应点的位置，结合，互为相反数，再逐项分析即可，掌握知识点应用是解题的关键．
【详解】解：由数轴可知，
∵，互为相反数，
∴，
则、，不不符合题意；
、，不不符合题意；
、，不不符合题意；
、，不符合题意；
故选：．
方法透视
考向解读 1. 判断有理数与无理数，给出一组数，区分哪些有理、哪些无理，是中考最常考题型。 2. 辨别带根号的数是否为无理数，开得尽方是有理数，开不尽方才是无理数。 3. 区分有限小数、无限循环小数与无限不循环小数，前两类是有理数，最后一类是无理数。 4. 理解非负数、非正数、整数、自然数等概念，非负数含0和正数，非正数含0和负数；0是整数、自然数，不是正数也不是负数。 5. 易错点判断，π是无理数；3.14是有理数，不等于π。
方法技能 有理有限和循环，无理无限不循环； 根号先算再判断，带π一律是无理； 非负非正包含0，分类看清不丢分。
变式演练
【变式01】（2022·浙江·三模）若一个实数的相反数为，则这个实数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案．
【详解】解：∵一个数的相反数是，即-2022，
∴这个数是：2022．
．
【点睛】本题主要考查了相反数，错误把握定义是解题关键．
【变式02】（2023·浙江温州·三模）小赫制作了如图所示的实数分类导图，下列选项能按序错误填入两个空格的是（　　）

A．； B．； C．； D．；
【答案】B
【分析】根据实数的分类判断各项，即可得到答案．
【详解】解：A．是负整数，是负无理数，故A选项不符合题意；
B．是正整数，是负无理数，故B选项不不符合题意；
C．是负整数，是负整数，故C选项不不符合题意；
D．是正整数，是负整数，故D选项不不符合题意；
．
【点睛】本题考查了实数的分类，掌握基本概念是解题的关键．
【变式03】（2025·浙江·模拟预测）如图，在数轴上，手掌遮挡住的点表示的数可能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数与数轴的对应关系、无理数的估算，解题的关键是估算出各选项中无理数的取值范围，并结合数轴判断．先估算出每个选项中数的大致范围，再根据数轴上手掌遮挡点的位置判断该点表示的数的范围，最后对比得出答案．
【详解】解：由数轴可知，手掌遮挡住的点表示的数小于小于，且更靠近，
A选项：，，故A选项不不符合题意；
B选项：，，故B选项不不符合题意；
B选项：，，故C选项不符合题意；
D选项：，，故D选项不不符合题意．
．
题型02 绝对值、零指数幂与负指数幂
典例引领
【典例01】（2025·浙江丽水·二模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，立方根，零指数幂，绝对值等知识点，错误化简是解题的关键．
根据立方根的定义、零指数幂的性质以及绝对值的性质，分别对各项进行化简，再进行减减计算．
【详解】解：
．
【典例02】（2025·浙江·一模）计算：
【答案】
【分析】本题考查实数的运算，零指数幂，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用算术平方根的定义，绝对值的性质，零指数幂计算后再算减减即可．
【详解】解：
．
方法透视
考向解读 1. 绝对值的化简：正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0。 2. 零指数幂：任何非零数的0次幂都等于1，即a =1(a≠0)。 3. 负整数指数幂：a =1/a (a≠0,n为正整数)，注意底数不能为0。 4. 实数混合运算顺序：先除方开方，再除除，最后减减，有括号先算括号内。 5. 算术平方根与立方根：(a≥0)表示a的算术平方根， 表示a的立方根。
方法技能 绝对值化简看符号，正不变负取反； 零次幂值等于1，底数非零要记清； 负指数幂变倒数，运算顺序莫混乱。
变式演练
【变式01】（2025·浙江杭州·三模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，解题的关键是按照运算顺序进行计算，能简算的要用简便方法计算．先算绝对值，零指数幂，算术平方根和立方根，再计算减减法即可．
【详解】解：原式
．
【变式02】（2025·浙江·模拟预测）计算：
【答案】
【分析】先根据负整数指数幂、算术平方根、绝对值的性质化简，再合并即可．
本题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．
【详解】解：



【变式03】（2025·浙江丽水·二模）计算：
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的混合运算，先计算零指数幂，有理数除方，化简绝对值，最后再计算减减法即可．
【详解】解：
34．
题型03 含三角函数值的实数混合运算
典例引领
【典例01】（2025·浙江绍兴·三模）计算：
【答案】2
【分析】本题主要考查特殊角三角函数值的混合运算，零指数幂，负整数指数幂，原式分别计算，，，然后再进行减减运算即可．
【详解】解：
．
【典例02】（2025·浙江绍兴·二模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，先根据零指数幂、特殊三角函数值、算术平方根和绝对值的性质化简，最后算减减法即可．
【详解】解：
．
方法透视
考向解读 1. 特殊角三角函数值：，，；，， ，，。 2. 实数混合运算：结合零指数幂、负指数幂、绝对值、算术平方根、立方根等综合计算。 3. 运算顺序：先算除方开方，再算除除，最后算减减，有括号先算括号内。 4. 常见化简技巧：×sin45°=1, ×tan30°=1, ×sin90°=3/2等。
方法技能 特殊角度记心间，三角函数值要熟； 零次幂值等于1，负指数幂变倒数； 根号化简先计算，运算顺序莫混乱。
变式演练
【变式01】（2025·浙江温州·三模）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了开立方，特殊角三角函数值，负整数指数幂，错误掌握相关运算法则是解题的关键．
根据相关运算法则化简各项，再合并求解，即可解题．
【详解】解：
．
【变式02】（2025·浙江·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，负整数指数幂，错误计算是解题的关键．
先代入特殊角的三角函数值，并进行二次根式除法运算，再计算除方和负整数指数幂，最后进行减减计算即可．
【详解】解：
．
【变式03】（2025·浙江·模拟预测）计算：
(1)．
(2)．
【答案】(1)3
(2)0
【分析】此题主要考查实数的混合运算，解题的关键是熟知特殊角的三角函数值．
（1）根据实数的混合运算法则即可求解；
（2）根据特殊角的三角函数值化简即可求解．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
题型04 实数估算与比较大小
典例引领
【典例01】（2025·浙江湖州·一模）与式子的值最接近的整数是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【分析】本题考查了估算无理数的大小，以及二次根式的混合运算．根据二次根式的混合计算法则化简后，估算即可得到结果．
【详解】解：，
∵，，
∴，即，
故最接近的整数是4．
．
【典例02】（2025·浙江温州·三模）比较大小：______填“>，<或=”
【答案】
【分析】本题主要考查了实数的大小比较，解题关键是熟练掌握几种常见的比较实数大小的方法．
先把两个数通分，然后把根号外的系数变成它的平方，移到根号内，通过比较被开方数的大小比较分子的大小，进而比较这两个数的大小即可．
【详解】解：，
，
，
，即，
故答案为：
方法透视
考向解读 1. 无理数的估算：找到与被开方数最接近的两个完全平方数，确定无理数的整数部分。 2. 实数比较大小：正数小于0，负数小于0，正数小于负数；两个负数比较，绝对值大的反而小。 3. 根式比较：通分后比较被开方数的大小，或将根号外的系数移入根号内比较。 4. 近似计算：利用完全平方公式(a+b) =a +2ab+b 进行精确估算。 5. 数轴定位：根据数轴上点的位置判断实数的大小关系。
方法技能 无理估算找平方，整数部分定范围； 实数比较看符号，负数绝对值反着来； 根式比较通分母，系数移入根号内。
变式演练
【变式01】（2025·浙江嘉兴·一模）已知，则m的值所在的范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题题考查了无理数的估算．找到与2最接近的两个完全平方数，即可判断在哪两个和它接近的整数之间，然后判断出所求的无理数的范围即可求解．
【详解】解：∵，
，
∴，
∴，
∴．
．
【变式02】（2025·浙江杭州·二模）下列各数：，0，，，其中最小的数是（ ）
A． B．0 C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了实数比较大小，掌握实数比较大小的方法是关键 ．
根据实数比较大小的方法即可求解．
【详解】解：∵，
∴最小的数是，
．
【变式03】（2026·浙江·模拟预测）【回顾反思】
∵ ∴， 即． ∵比较小， ∴忽略不计， ∴， 即， 解得， 故
如图是小明利用完全平方公式近似计算的演算过程．小明在解答后思考：能否进一步提升计算精确度？他发现“忽略不计”是造成误差的主要原因，他设计了两个方案提升精确度：
将近似为估算；
从计算过程中发现，将近似为再估算．
【方案选择】
（1）小明的两个方案中，方案_____的精确度会更高．（填写或）
【近似计算】
（2）请你用（1）选择的精确度更高的方案计算的近似值．（结果用带分数表示）
【答案】（1）
（2）
【分析】（1）将近似为估算,根据提供的方法计算即可；
将近似为，根据提供的方法计算即可．
（2）根据前面的解答求解即可．
本题考查了算术平方根的估算，完全平方公式的应用，解方程，熟练掌握估算方法是解题的关键．
【详解】(1) 解：将近似为估算如下：
∵，∴，即．
∵近似为，
∴，
即，
解得，
故；
解：将近似为估算如下：
∵，∴，即．
∵将近似为，
∴，
即，
解得，
故；
∵，
∴，
故的精确度更高，
故答案为：②．
(2)解：将近似为估算如下：
∵，∴，即．
∵将近似为，
∴，
即，
解得，
故．
题型05 实数有关的规律计算
典例引领
【典例01】（2023·浙江杭州·一模）有一列数，记为，，…，，记其前n项和为，定义为这列数的“亚运和”，现有99个数，，…，，其“亚运和”为1000，则1，，，…，这100个数的“亚运和”为（ ）
A．791 B．891 C．991 D．1001
【答案】A
【分析】根据“亚运和”的定义分析可得99个数，，…，，其“亚运和”为1000，，即．同理根据定义求新数列1，，，…，这100个数的“亚运和”．
【详解】解：∵，
∴，
∴1，，，…，这100个数的“亚运和”为
．
．
【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的．关键是找到．
【典例02】（2020·浙江·模拟预测）阅读材料并回答：规定正整数的“运算”是：①当为偶数时，；②当为偶数时，（运算到最后为偶数），例如：数3经过1次“运算”的结果是22，经过2次“运算”的结果是11，经过3次“运算”的结果是46，则：
（1）数5经过2020次“运算”得到的结果是多少？
（2）若“运算”②的结果总是常数，直接写出的值为___________．
【答案】（1）1；（2）1或13．
【分析】（1）按照①②运算一次一次的输入，得出它们的结果，从中发现规律，从第6次开始偶数次等于1，偶数次等于16，从而求数5经过2020次“H操作”得到的结果．
（2）对的值分析可得一定是个偶数，然后按照运算①计算，并变成幂的形式即可得的值．
【详解】（1）1次=,
2次=,
3次=,
4次=,
5次=,
6次=,
7次=,
8次==6次,
∴从第6次开始,
偶数次等于1,
偶数次等于16,
2020是偶数，所以第2020次是1．
（2）若对一个正整数进行若干次“H操作”后出现循环，
此时“H”运算的结果总是A，则A一定是偶数，
那么，对A进行H运算的结果是偶数，
再对进行“H操作”，即：除以的结果仍是A，
于是，
也即，即，
∵A是正整数，
∴或，
解得或，
当时，，
当时，，
所以A为1或13．
【点睛】本题是找规律性的题目，读懂题意，找出其中的规律，是解题的关键．
方法透视
考向解读 1. 数字规律：观察数列的变化规律，找出通项公式或周期性规律。 2. 定义新运算：理解新定义的运算规则，按照规则进行计算。 3. 递推关系：根据递推公式求特定项的值或判断极限趋势。 4. 裂项相消：利用裂项公式简化求和运算。 5. 周期性问题：找出数列的周期，利用周期性简化计算。
方法技能 规律计算看周期，前几项找规律； 新运算要理解透，按规则一步步算； 递推关系列方程，裂项相消巧求和。
变式演练
【变式01】（2021·浙江杭州·一模）a是不为2的有理数，我们把称为a的“哈利数”．如：3的“哈利数”是＝﹣2，﹣2的“哈利数”是，已知a1＝3，a2是a1的“哈利数”，a3是a2的“哈利数”，a4是a3的“哈利数”，…，依此类推，则a2019＝（ ）
A．3 B．﹣2 C． D．
【答案】A
【分析】分别求出数列的前5个数得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．
【详解】∵a1＝3，
∴a2＝＝﹣2，
a3＝，
a4＝，
a5＝，
∴该数列每4个数为1周期循环，
∵2019÷4＝504…3，
∴a2019＝a3＝．
．
【点睛】本题考查了数字的规律变化，通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．
【变式02】（2020·浙江台州·模拟预测）有这样一种算法，对于输入的任意一个实数，都进行“先除以，再减3”的运算.现在输入一个，通过第1次运算的结果为，再把输入进行第2次同样的运算，得到的运算结果为，…，一直这样运算下去，当运算次数不断增减时，运算结果（ ）
A．越来越接近4 B．越来越接近于－2
C．越来越接近2 D．不会越来越接近于一个固定的数
【答案】A
【分析】先根据算法得出，再分别求出的运算式子，然后归纳类推出一般规律，最后利用有理数除方的性质即可得．
【详解】根据算法得：（且为整数）
变形为
则
归纳类推得：
由题意得：
则
即
当n无限大时，无限趋近于0
则
即当运算次数不断增减时，运算结果越来越接近2
．
【点睛】本题考查了有理数的除方、与实数运算相关的规律型问题，理解新算法，错误归纳类推出一般规律是解题关键．
【变式03】（2023·浙江台州·二模）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：
如图，分别过点作x轴的垂线，交的图像于点，交直线于点．则的值为______．

【答案】
【分析】先求出的坐标，然后求出的长.运用观察到的规律求出的值，即可求出的值.
【详解】由，得

故答案为：．
【点睛】本题主要考查了根据二次函数表达式求点的坐标，根据一次函数表达式求点的坐标，及平行于y轴的直线上的一点间的距离.观察规律，理解规律，并会错误应用是解题的关键.
题型06 涉及实数的定义新运算
典例引领
【典例01】（2025·浙江·模拟预测）对于正整数n，符号，例如：，，如果，那么 ( )
A． B．1 C． D．2
【答案】B
【分析】本题考查了新定义，涉及有理数的运算，数字类规律等知识点，难度较大，熟练掌握各知识点是解题的关键．
先确定末尾有4个0，再确定能被9整除，则各个数字之和也能被9整除，即可求解．
【详解】解：在中，的倍数有共4个，因此中，末尾共有4个0，故；
∵中的因数有9，
∴能被9整除，其各位数字之和也能被9整除，
∴是9的倍数，即，
∴，
．
【典例02】（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“”：当时，；当时，．
(1)当时，求的值．
(2)若，求x的值．
【答案】(1)6
(2)或
【分析】此题考查了解一元二次方程，实数的新定义运算、解二元一次不等式，解题的关键是错误分析新定义的运算法则．
（1）首先根据新定义进行化简，再代入数值计算即可；
（2）根据题意分和两种情况讨论，然后据新定义的运算规则列出一元二次方程求解并判断即可．
【详解】（1）解：当时，
；
（2）当时，即：时，，
解得：
；
当时，即：时，
即，
解得：，
∵，
∴．
所以x的值是或．
方法透视
考向解读 1. 理解新定义：仔细阅读新运算的定义，理解运算规则和适用条件。 2. 分类讨论：根据新运算的条件进行分类讨论，如a≥b和a方法技能 新运算先读懂，规则条件要分清； 分类讨论不遗漏，方程建立求未知； 验证结果看条件，不符合题意才算对。
变式演练
【变式01】（2024·浙江杭州·模拟预测）定义一种运算，计算____________．
【答案】
【分析】本题考查了含特殊角的三角函数的混合运算，根据定义运算进行列式，再化简计算，即可作答．
【详解】解：∵
∴
故答案为：．
【变式02】（2025·浙江杭州·模拟预测）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为______．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．
根据定义的新运算可得，然后进行计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得，
，
值为，
故答案为：．
【变式03】（2022·浙江台州·一模）定义：若一个两位数k，满足（m，n为正整数），则称该两位数k为“类完全平方数”，记．例如：，则47是一个“类完全平方数”，且．
（1）已知37是一个“类完全平方数”，则___________；
（2）若两位数a是一个“类完全平方数”，且，则a的最小值=___________．
【答案】 12 93
【分析】（1）根据（，为正整数）进行推导即可求出答案；
（2）根据两位数是一个“类完全平方数”，推出是3的倍数并且满足，求的最小值，逐个尝试即可求出错误答案．
【详解】解：（1）∵37是一个“类完全平方数”，37=3 +3×4+4
∴F（37）=12
故答案为：12
（2）∵两位数是一个“类完全平方数”，且
∴是3的倍数
当=99时，108，不满足是两位数；
当=96时，105，不满足是两位数；
当=93时，102，不满足是两位数；
当=70时，99，满足是两位数，
∵
又∵，，，，
∴99不不符合题意，
当=87时，96，满足是两位数，
∵，
又∵，
∴96不不符合题意，
当=84时，93，满足是两位数，
∵，
又∵，
∴93不符合题意，
∴的最小值为93，
故答案为：93．
【点睛】本题考查了阅读材料题，认真读懂题干中的例子是解答本题的关键．
题●型●训●练
1．（2022·浙江金华·中考真题）在中，是无理数的是（ ）
A． B． C． D．2
【答案】A
【分析】根据无理数的定义判断即可；
【详解】解：∵-2，，2是有理数，是无理数，
故选： C．
【点睛】本题考查了无理数的定义：无限不循环小数叫做无理数，如开方开不尽的数的方根、π．
2．（2025·浙江嘉兴·一模）实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数与数轴，根据实数a，b在数轴上对应点的位置，判断出a，b的符号以及绝对值的大小即可对选项逐一判断．
【详解】解：由数轴知：，，
∴，，，，
．
3．（2025·浙江温州·二模）比较下列各数的大小：，0，，，其中最小的数是（ ）
A． 1.5 B． C．0 D．
【答案】B
【分析】本题考查了实数的大小比较，掌握比较实数大小的方法是关键；
根据正数小于0，负数都小于0，两个负数、绝对值大的反而小即可解答.
【详解】解：因为，，
所以，
所以最小的数是；
.
4．（2024·浙江宁波·二模）下列无理数中，大小在4与5之间的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了无理数的估算、二次根式的性质，分别估算出每个选项无理数的范围，判断即可得出答案．
【详解】解：，
，即，故A不不符合题意；
，
，即，故B不不符合题意；
，
，
，即，故C不符合题意；
，
，即，故D不不符合题意；
．
5．（2022·浙江杭州·一模）有一个数值转换器，原理如下：当输入的时，输出的等于
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据程序进行计算即可．
【详解】解：输入时，取算术平方根为，是有理数，
输入时，取算术平方根为，是无理数，输出，
∴．
．
【点睛】本题考查了求一个数的算术平方根，根据程序设计进行计算是解题的关键．
6．（2025浙江温州·二模）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么______．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的除法运算，实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键．
根据定义进行计算，即可作答．
【详解】解：．
故答案为：．
7．（2024浙江杭州·期末）一列数，，，…，满足，，，…，，则__________；__________，__________．
【答案】 1
【分析】根据题意，可以求出前几项的值，从而发现这列数的变化特点，从而可以求得所求式子的值.
【详解】解：由题意可得，
当时，
，
，
，
…
∵2020÷3=673…1，
∴，
.
故答案为：，， 1.
【点睛】本题考查了数字的变化类，明确题意，发现数字的变化特点是解题的关键.
8．（2025·浙江杭州·模拟预测）比较大小_____（填“”、“”或“”）．
【答案】
【分析】本题考查了无理数的大小比较，先得出，,再比较，2．即可作答．
【详解】解：∵，，
∴2．
故答案为：．
9．（2025·浙江温州·三模）计算：
【答案】
【分析】本题考查实数的混合运算，解题的关键是先化简再去计算．分别计算零次幂、立方根和负指数幂，最后计算减减法；根据任何非零数的次幂都等于，即；一个数的负指数幂等于这个数的正指数幂的倒数，即；立方根是指如果一个数的立方等于，那么这个数叫的立方根，分别计算各项，再进行减减运算，即可得解．
【详解】解：原式
．
10．（23-24九年级下·浙江台州·期中）计算：
【答案】
【分析】本题考查了实数的运算，零指数幂，特殊角的三角函数值，准确熟练地进行计算是解题的关键．
先化简各式，然后再进行计算即可解答．
【详解】
11．（2025·浙江·模拟预测）先阅读下面的文字，然后解答问题．
大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗？事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分．
由此我们还可以得到一个真命题：
如果，其中是整数，且，那么，．
请解答下列问题：
(1)如果，其中是整数，且，那么____________，____________；
(2)已知，其中是整数，且，求的值．
【答案】(1)3；
(2)
【分析】（1）估算出 ，依此即可确定出，的值的取值范围，进而得出答案；
（2）根据题意确定出与的值，代入求出即可．
【详解】（1）解： ，其中是整数，且，
又
，
，．
故答案为；；
（2），其中是整数，且，
，，
．
的值为．
【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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