资源简介

专题02 代数式运算
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 整式的运算与化简
题型02 因式分解
题型03 分式的化简与求值
题型04 二次根式的化简与运算
题型05 除法公式的灵活应用
题型06 新定义代数式问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 整式的运算与化简
典例引领
【典例01】（2026·浙江杭州·一模）下列运算中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】运用合并同类项，积的除方，同底数幂除除法的法则，对每个选项逐一判断．
【详解】解：A选项：∵与a不是同类项，不能合并，∴A运算错误．
B选项：∵根据积的除方法则，，，∴B运算错误．
C选项：∵根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得，∴C运算错误．
D选项：∵根据同底数幂除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得，，∴D运算错误．
．
【典例02】（2026·浙江温州·一模）运算的结果是（ ）
A．0 B．2 C．4a D．
【答案】B
【分析】先计算除方，再合并同类项即可．
【详解】解：原式．
．
方法透视
考向解读 1.同底数幂除法：底数不变，指数相减，即 2.同底数幂除法：底数不变，指数相减，即 3.幂的除方：底数不变，指数相除，即 4.积的除方：各因式分别除方，即 5.合并同类项：系数相减，字母和指数不变，如
方法技能 同底幂除指数减，同底幂除指数减； 幂的除方指数除，积的除方分别算； 合并同类看字母，系数相减要记清。
变式演练
【变式01】（2026·浙江·一模）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了合并同类项、积的除方、单项式的除法和平方差公式．根据合并同类项、积的除方、单项式除以单项式和平方差公式逐一计算后判断即可．
【详解】解：A、与不是同类项，无法合并，故本选项错误，不不符合题意；
B、，故本选项错误，不不符合题意；
C、，故本选项错误，不符合题意；
D、，故本选项错误，不不符合题意；
．
【变式02】（2025·浙江绍兴·二模）下列各式运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了积的除方、单项式的除法、合并同类项、单项式的除法．
根据积的除方、单项式的除法、合并同类项、单项式的除法法则逐一计算后判断即可．
【详解】解：A．，原计算错误，不不符合题意；
B．，原计算错误，不不符合题意；
C．不是同类项，原计算错误，不不符合题意；
D．，原计算错误，不符合题意；
．
【变式03】（2025·浙江杭州·一模）（1）先化简，再求值：，其中， ．
（2）解分式方程：．
【答案】（1），24；（2）无解
【分析】本题主要考查了整式的化简求值，解分式方程等知识．
（1）利用平方差公式和完全平方公式将原式进行化简，再将a，b的值代入计算即可求解．
（2）方程两边同时除以，把分式方程化成整式方程，解整式方程检验后即可得出分式方程的解．
【详解】解：（1）
，
当，时，
原式．
（2）去分母得：，
，
解得：，
检验：当时，，
∴是增根，原分式方程无解．
题型02 因式分解
典例引领
【典例01】（2025·浙江杭州·模拟预测）若，，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了因式分解的应用，熟练掌握提取公因式法因式分解是解题的关键．
先将所求式子进行因式分解，再将已知条件代入求值．
【详解】解：∵，，
∴
．
．
【典例02】（2022·浙江杭州·模拟预测）若，则多项式应是______________．
【答案】
【分析】根据除法与除法的互逆关系，可得为除以，对被除式运用平方差公式分解因式，进一步计算即可得到结果.
【详解】解：∵，
∴
.
方法透视
考向解读 1.提公因式法：找出各项的公因式，提取到括号外。 2.平方差公式： 3.完全平方公式： 4.十字相除法：适用于二次三项式。 5.分组分解法：将多项式分组后分别分解。
方法技能 因式分解先提公，再看能否用公式； 平方差和完全平，十字相除要熟练； 分解必须要彻底，每项都是积的形式。
变式演练
【变式01】（2026·浙江杭州·一模）因式分解：________．
【答案】
【分析】根据提公因式法可进行因式分解即可．
【详解】解：
．
【变式02】（2025·浙江杭州·模拟预测）把多项式分解因式的结果是______．
【答案】
【分析】本题考查了综合运用提公因式法和公式法因式分解，熟练掌握知识点是解题的关键．
先提公因式，再利用完全平方公式分解因式即可．
【详解】解：原式：
故答案为：．
【变式03】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
【答案】A
【分析】本题考查求函数值，涉及解二元一次方程组、平方差公式、因式分解、有理数的混合运算等，熟练掌握相关运算法则并灵活运用是解答的关键．将函数化简为 ，并设 ，则 ．根据给定条件建立方程组，解出 和 ，再代入 求值．
【详解】解：∵ ，
设 ，则 ，
当 时，，，
∴ ①；
当 时，，，
∴ ②．
② － ① 得：
，
∵ ，
∴ ，
∴ ．
代入①：，
∴ ．
当 时，，
∴ ．
∵ ，
∴
．
计算：
．
∴ ，
．
题型03 分式的化简与求值
典例引领
【典例01】（2026·浙江杭州·一模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】先根据异分母的分式减法运算法则计算，然后代入求值即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【典例02】（2025·浙江杭州·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查分式混合运算，特殊角的三角函数值，代入求值，明确算理是解决问题的关键．先算括号里的减法，再进行分式的除法运算，计算出a，b的值之后，代入求值即可．
【详解】解：原式，
，
；
当，时，
原式．
方法透视
考向解读 1.分式除除：分子分母分别相除除，约分化简。 2.分式减减：通分后分子相减减，分母不变。 3.分式有意义的条件：分母不为零。 4.分式值为零的条件：分子为零且分母不为零。 5.约分与通分：找公因式约分，找最简公分母通分。
方法技能 分式除除约分先，分子分母分别算； 分式减减先通分，最简公分母要找准； 分母为零无意义，分子为零值才零。
变式演练
【变式01】（2026·浙江·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】化简结果为：，求值结果为：；
【分析】先通分，再将除法转化成除法约分到最简代入求解即可得到答案；
【详解】解：原式
，
当时，
原式．
【变式02】（2025·浙江丽水·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【分析】本题主要考查分式的化简求值，先利用完全平方公式和因式分解法化简分式，再代入求值．
【详解】解：原式
当 时，原式．
【变式03】（2025·浙江金华·模拟预测）先化简，再求值：，然后从中选择适当的数代入求值．
【答案】；当时，值为1，当时，值为
【分析】本题考查分式的化简求值，解题的关键是掌握运算顺序为：先算除除，再算减减，有括号先算括号内的；另外本题选择合适的数时要注意选择的数不能使分母为0．
先进行括号内分式的减法计算，再将除法化为除法化简，根据分母有意义的条件确定的取值，再代入求值即可．
【详解】解：原式
．
∵且且，
∴且且，
当时，分母不为0，代入：
原式．
当时，分母不为0，代入：
原式．
题型04 二次根式的化简与运算
典例引领
【典例01】（2025·浙江·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了化简绝对值、二次根式的性质、完全平方公式等知识，根据题意可得，，将整理为，根据绝对值的性质和二次根式的性质，化简求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴．
．
【典例02】（2025·浙江杭州·二模）若代数式有意义，则x的取值范围是_____________．
【答案】
【分析】此题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义，则被开方数非负，进行计算即可，解题的关键是列出不等式并错误求解．
【详解】由题意得，，
解得：，
故答案为 ．
方法透视
考向解读 1.二次根式有意义：被开方数小于等于零。 2.最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开尽的因数。 3.二次根式除法： .二次根式除法： .分母有理化：将分母中的根号化去。
方法技能 二次根式看条件，被开方数非负数； 除除运算根号内，减减运算需同类； 分母有理化除共轭，化简结果要最简。
变式演练
【变式01】（2025·浙江杭州·模拟预测）使得函数有意义的的取值范围是______．
【答案】且
【分析】本题考查了函数的自变量、分式有意义的条件、二次根式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不等于0和二次根式的被开方数是非负数是解题关键．
根据分式的分母不等于0和二次根式的被开方数是非负数求解即可得．
【详解】解：由题意得：且，
解得：且，
所以自变量的取值范围是且．
故答案为：且．
【变式02】（2025·浙江杭州·模拟预测）化简求值：
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的化简，分母有理化，特殊角三角函数，0指数幂等知识．分别根据二次根式的性质，分母有理化，特殊角三角函数，0指数幂等知识进行化简，再进行计算即可求解．
【详解】解：
．
【变式03】（2025·浙江·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为___________．
【答案】6
【分析】本题考查根式的性质及完全平方公式，根据将被开方数变形，再根据求解即可得到答案；
【详解】解：由题意可得，
，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵a为正整数，b在0和1之间，
∴，，
∴，
故答案为：．
题型05 除法公式的灵活应用
典例引领
【典例01】（2025·浙江宁波·一模）已知 则 的值是 （ ）
A．13 B．11 C．9 D．8
【答案】B
【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，平方差公式，错误推出是解题的关键．设，，根据完全平方公式的变形求出，则，即可利用平方差公式求出．
【详解】解：设，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
．
【典例02】（2026·浙江·模拟预测）请同学们认真阅读下面求代数值的方法．
已知实数、满足，计算的值．
解：因为，
所以．
借鉴上面的方法，解决下列问题：
若实数a、b满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)18
(2)123
【分析】（1）阅读题目中所给的求代数值的方法，按照这个方法代数求值；
（2）利用题目中所给的方法，结合（1）中的数据，变形代入数值计算即可．
【详解】（1）解：，
，
；
（2）解：由（1）得，，
，
．
【典例03】（2024·浙江·模拟预测）已知实数满足则的值为__________．
【答案】2或
【分析】本题考查了因式分解一元二次方程以及除法公式的应用，先换元，即把，再结合条件，进行运算，即可作答．
【详解】解：∵
∴
先记
∴
∵
∴
则
∴或
综上：
当时，
∴
∴，负值已舍去；
当时，
∴
∴，负值已舍去；
当时，
∴
∴，负值已舍去；
综上：2或．
故答案为：2或．
方法透视
考向解读 1.平方差公式： .完全平方公式： .完全平方公式变形： .立方和公式： .立方差公式：
方法技能 平方差公式记心间，两数和差除积变； 完全平方三项式，首平方减尾平方； 中间两倍首尾积，符号看中间定正负。
变式演练
【变式01】（2024·浙江杭州·二模）实数、、不全为0，则的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【答案】B
【分析】该题主要考查了分式的化简以及完全平方公式的运用，解题的关键是运用完全平方公式进行变形；先运用完全平方公式确定，，，再化简即可；
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
∴，
∴
∴的最小值是1，
．
【变式02】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知方程有4个根，，，．则_____
【答案】
【分析】本题考查多项式方程根的相关性质、多项式除以多项式及代数式的巧妙变形，关键在于得出．
根据方程的四个根得出，根据多项式除以多项式法则展开，根据系数对应关系得出，利用平方差公式把所求式子变形，利用多项式除以多项式法则得出，，利用平方差公式把所求式子变形即可得答案．
【详解】设多项式 有四根，
∴，
∴
同理：，
∴
．
故答案为：．
【变式03】（2015·浙江杭州·一模）记．
(1)若均为整数，求证：当是的倍数时，能被整除；
(2)若，求的最小值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【分析】（）化简得，设（为整数），可得，进而即可求证；
（）将代入，可得，即可求解；
本题考查了整式的除法运算，配方法的应用，错误计算是解题的关键．
【详解】（1）证明：∵，
∴化简得，，
∵为整数，且是的倍数，
∴可设（为整数），
∴，
又∵为整数，
∴也为整数，
∴能被整除；
（2）解：将代入得，
，
∴的最小值为．
题型06 新定义代数式问题
典例引领
【典例01】（2025·浙江杭州·模拟预测）定义一种新运算：，则______．
【答案】
【分析】本题考查新定义下的运算，完全平方公式，解题的关键是理解新定义运算．根据新定义运算法则和完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
【典例02】（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“”：当时，；当时，．
(1)当时，求的值．
(2)若，求x的值．
【答案】(1)6
(2)或
【分析】此题考查了解一元二次方程，实数的新定义运算、解二元一次不等式，解题的关键是错误分析新定义的运算法则．
（1）首先根据新定义进行化简，再代入数值计算即可；
（2）根据题意分和两种情况讨论，然后据新定义的运算规则列出一元二次方程求解并判断即可．
【详解】（1）解：当时，
；
（2）当时，即：时，，
解得：
；
当时，即：时，
即，
解得：，
∵，
∴．
所以x的值是或．
方法透视
考向解读 1.理解新定义：仔细阅读新运算的定义，理解运算规则和适用条件。 2.分类讨论：根据新运算的条件进行分类讨论。 3.方程求解：根据新运算建立方程，求解未知数的值。 4.验证结果：将求得的解代入原式验证是否不不符合。 5.特殊情况处理：注意新运算中可能存在的特殊情况。
方法技能 新运算先读懂，规则条件要分清； 分类讨论不遗漏，方程建立求未知； 验证结果看条件，不符合题意才算对。
变式演练
【变式01】（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为___________．
【答案】/
【分析】根据新定义可得，由此建立方程解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵即，
∴，
解得，
经检验是方程的解，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了新定义下的实数运算，解分式方程，错误理解题意得到关于x的方程是解题的关键．
【变式02】（2024·浙江·一模）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为_________．
【答案】4190
【分析】本题考查了数字类规律探索，要先根据题意找到规律，多算几组，发现每三次变换为一个循环，进而可得到结果，准确计算、发现规律是解题的关键．
【详解】由题意得：
∴；
∴；
∴；
∴；
∴；
∴
∴，，
，
，
由规律可得每三次变换为一个循环，
∴
∴
故答案为：4190．
【变式03】（2018·浙江宁波·一模）对x，y定义一种新运算F，规定：F（x，y）=（mx+ny）（3x﹣y）（其中m，n均为非零常数）．例如：F（1，1）=2m+2n，F（﹣1，0）=3m．
（1）已知F（1，﹣1）=﹣8，F（1，2）=13．
①求m，n的值；
②关于a的不等式组，求a的取值范围；
（2）当x2≠y2时，F（x，y）=F（y，x）对任意有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式．
【答案】（1）①m=3，n=5；②不等式组的解；（2）n=-3m
【分析】（1）①根据题目定义的运算列出方程组，即可求出的值.
②根据定义的新运算列出不等式组，解不等式组即可.
（2）根据定义的新运算列出的表达式，对式子进行化简即可求出
m，n满足的关系式．
【详解】解：（1）①根据题意得： 即
即
解得：
②根据题意得：
由
解不等式①得：
解不等式②得：
故原不等式组；
（2）由 得
整理得：
∵当 时，对任意有理数 都成立，
∴ 即
【点睛】属于新定义题目，考查了解二元一次方程组，解不等式组，读懂题目定义的新运算是解题的关键.
题●型●训●练
1．（2025·浙江杭州·一模）已知，则代数式的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【答案】A
【分析】本题考查了代数式求值，先将原代数式变形为，再整体代入得，再变形得，再一次整体代入即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
．
2．（2026·浙江舟山·一模）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：A、∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，A计算错误；
B、∵幂的除方运算中，底数不变，指数相除，∴，B计算错误；
C、∵与不是同类项，不能合并，∴C计算错误；
D、∵同底数幂相除，底数不变，指数相减，∴，D计算错误．
．
3．（2025·浙江台州·一模）若，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
【答案】C
【分析】本题考查完全平方公式的灵活应用，掌握公式结构灵活变形是解题关键．
将原式利用完全平方公式进行变形，，然后利用平方根求解即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
．
4．（2020·浙江金华·中考真题）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查平方差公式因式分解的概念，掌握平方差公式的适用条件是解题关键．
根据平方差公式的结构特征，逐一判断多项式是否不符合“二项式、两项符号相反、且两项均能表示为某个整式的平方”的条件．
【详解】解：可用平方差公式因式分解的结构是：二项式，两项符号相反，且两项均为平方形式，
选项：，两项符号相同，不不符合；
选项：，非平方项，不不符合；
选项：，不符合平方差公式，可分解为；
选项：，两项符号相同，不不符合．
故选：．
5．（2023·浙江宁波·一模）如果能被整除，则的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】先把因式分解为，找到进而得到是方程的根，代入整理得，计算即可解题．
【详解】解：∵
∴能被整除，
即是方程的根，
∴，解得，
∴，
∴，
故选A．
6．（2021·浙江衢州·二模）x满足___________条件时，分式有意义．
【答案】
【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，错误把握分式有意义的条件是解题的关键．分式有意义的条件是分母不等于零，直接利用分式有意义的条件得出答案．
【详解】解：分式有意义，
，
解得，
故答案为：．
7．（2023·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：对于任意的非零实数．若，则的值为___________．
【答案】1
【分析】本题考查分式，根据题设得出，再对进行计算即可．
【详解】由题可知，
∴，
故答案为：1．
8．（24-25九年级上·广西百色·期中）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么______．
【答案】
【分析】本题考查了二次根式的除法运算，实数新定义计算，熟练理解定义是解题的关键．
根据定义进行计算，即可作答．
【详解】解：．
故答案为：．
9．（2025·浙江金华·模拟预测）已知当时，的值为3，则当时，的值为___________．
【答案】
【分析】本题考查了代数式求值，把a、b的关系式看作一个整体参与运算是解题的关键．
把代入代数式求出a、b的关系式，再把代入代数式进行计算即可得解．
【详解】解：当时，，
整理得，，
当时，
．
故答案为：．
10．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知是的因式，则_______
【答案】
【分析】本题主要考查了因式定理，熟练掌握因式定理，能根据因式确定方程的根并列出方程组是解题的关键。根据题意可得，当时，，进而列出方程，解得，即可求得代数式的值．
【详解】解：∵是的因式，
∴时，，时，，
∴，
解得，
∴．
故答案为：．
11．（2022·浙江宁波·模拟预测）已知整数x，y满足，则的最小值为 _____．
【答案】
【分析】原式可变形为，然后因式分解为，从而得到，进而分析得出
，，则答案可得．
【详解】解：，
变形为，
∴，
∴，
∴，
∵x，y均为整数，，
∴最小值时，，
∴最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解的应用，解题的关键是的得到．
12．（2025·浙江杭州·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，掌握分式的运算法则是解题的关键．
根据分式的分母分解因式，约分，相减，然后求出特殊角三角函数值代入计算即可．
【详解】解：原式
．
当时，
原式
．
13．（2023·浙江·模拟预测）已知，求的值．
【答案】
【分析】设，解方程组，进而因式分解代数式，将代入，即可求解．
【详解】设，
则方程组为
解得：
∴
【点睛】本题考查了减减消元法解二元一次方程组，因式分解的应用，换元法解方程组是解题的关键．
14．（2023·浙江·模拟预测）已知实数，求的值．
【答案】
【分析】根据，得出，进而将代数式因式分解，整体代入，即可求解．
【详解】解：∵
∴
∴
即
∴当时，
【点睛】此题考查了因式分解的应用，首先把已知等式变形，然后因式分解把所求代数式分解因式，最后利用整体代值的方法即可解决问题．
15．（2020·浙江·模拟预测）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示．例如：，当时，多项式的值用来表示．例如时，多项式的值记为．
（1）已知，求值；
（2）已知，当，求的值；
（3）已知（为常数），若对于任意有理数k，总有，求的值．
【答案】（1）-1；（2）；（3），．
【分析】（1）把代入中进行计算即可；
（2）把，代入，使其值为，再解关于字母的二元一次方程即可；
（3）把，代入中，整理计算即可．
【详解】（1）把代入得，
；
（2）把，代入得，
即
解得：；
（3）把，代入得，
，整理得
为常数，对于任意有理数，总有
．
【点睛】本题考查代数式求值、方程，理解函数值和“无论k为何值，总有”的意义是解题关键．
16．（2020·浙江杭州·模拟预测）在数学解题过程中，有时可以利用取特殊值法进行计算或解答．
例如：在等式中，把代入，得．
请利用这种方法解答下列问题：设．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
【答案】（1）64；（2）-63；（3）-650
【分析】（1）模仿例题，把代入，得；
（2）把代入原式得，=1，结合（1）可得；
（3）把代入原式得，，结合（1）可得，再求相反数可得；
【详解】解：（1）若，把代入，得；
（2）把代入原式得，=1
由（1）可得：=1-g=1-64=-63；
（3）把代入原式得，
所以由（1）可得
所以=-650
【点睛】考核知识点：求代数式的值．模仿例题，求出g的值，选取适当的值代入计算是关键．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题02 代数式运算
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 整式的运算与化简
题型02 因式分解
题型03 分式的化简与求值
题型04 二次根式的化简与运算
题型05 除法公式的灵活应用
题型06 新定义代数式问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 整式的运算与化简
典例引领
【典例01】（2026·浙江杭州·一模）下列运算中，错误的是（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2026·浙江温州·一模）运算的结果是（ ）
A．0 B．2 C．4a D．
方法透视
考向解读 1.同底数幂除法：底数不变，指数相减，即 2.同底数幂除法：底数不变，指数相减，即 3.幂的除方：底数不变，指数相除，即 4.积的除方：各因式分别除方，即 5.合并同类项：系数相减，字母和指数不变，如
方法技能 同底幂除指数减，同底幂除指数减； 幂的除方指数除，积的除方分别算； 合并同类看字母，系数相减要记清。
变式演练
【变式01】（2026·浙江·一模）下列计算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【变式02】（2025·浙江绍兴·二模）下列各式运算错误的是（ ）
A． B． C． D．
【变式03】（2025·浙江杭州·一模）（1）先化简，再求值：，其中， ．
（2）解分式方程：．
题型02 因式分解
典例引领
【典例01】（2025·浙江杭州·模拟预测）若，，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【典例02】（2022·浙江杭州·模拟预测）若，则多项式应是______________．
方法透视
考向解读 1.提公因式法：找出各项的公因式，提取到括号外。 2.平方差公式： 3.完全平方公式： 4.十字相除法：适用于二次三项式。 5.分组分解法：将多项式分组后分别分解。
方法技能 因式分解先提公，再看能否用公式； 平方差和完全平，十字相除要熟练； 分解必须要彻底，每项都是积的形式。
变式演练
【变式01】（2026·浙江杭州·一模）因式分解：________．
【变式02】（2025·浙江杭州·模拟预测）把多项式分解因式的结果是______．
【变式03】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知函数，当时，；当时，．那么，当时，的值为（ ）
A．2025 B．2026 C．2027 D．2028
题型03 分式的化简与求值
典例引领
【典例01】（2026·浙江杭州·一模）先化简，再求值：，其中．
【典例02】（2025·浙江杭州·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
方法透视
考向解读 1.分式除除：分子分母分别相除除，约分化简。 2.分式减减：通分后分子相减减，分母不变。 3.分式有意义的条件：分母不为零。 4.分式值为零的条件：分子为零且分母不为零。 5.约分与通分：找公因式约分，找最简公分母通分。
方法技能 分式除除约分先，分子分母分别算； 分式减减先通分，最简公分母要找准； 分母为零无意义，分子为零值才零。
变式演练
【变式01】（2026·浙江·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
【变式02】（2025·浙江丽水·二模）先化简，再求值：，其中．
【变式03】（2025·浙江金华·模拟预测）先化简，再求值：，然后从中选择适当的数代入求值．
题型04 二次根式的化简与运算
典例引领
【典例01】（2025·浙江·模拟预测）若，则（ ）
A． B． C．2 D．
【典例02】（2025·浙江杭州·二模）若代数式有意义，则x的取值范围是_____________．
方法透视
考向解读 1.二次根式有意义：被开方数小于等于零。 2.最简二次根式：被开方数不含分母，不含能开尽的因数。 3.二次根式除法： .二次根式除法： .分母有理化：将分母中的根号化去。
方法技能 二次根式看条件，被开方数非负数； 除除运算根号内，减减运算需同类； 分母有理化除共轭，化简结果要最简。
变式演练
【变式01】（2025·浙江杭州·模拟预测）使得函数有意义的的取值范围是______．
【变式02】（2025·浙江杭州·模拟预测）化简求值：
【变式03】（2025·浙江·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为___________．
题型05 除法公式的灵活应用
典例引领
【典例01】（2025·浙江宁波·一模）已知 则 的值是 （ ）
A．13 B．11 C．9 D．8
【典例02】（2026·浙江·模拟预测）请同学们认真阅读下面求代数值的方法．
已知实数、满足，计算的值．
解：因为，
所以．
借鉴上面的方法，解决下列问题：
若实数a、b满足．
(1)求的值；
(2)求的值．
【典例03】（2024·浙江·模拟预测）已知实数满足则的值为__________．
方法透视
考向解读 1.平方差公式： .完全平方公式： .完全平方公式变形： .立方和公式： .立方差公式：
方法技能 平方差公式记心间，两数和差除积变； 完全平方三项式，首平方减尾平方； 中间两倍首尾积，符号看中间定正负。
变式演练
【变式01】（2024·浙江杭州·二模）实数、、不全为0，则的最小值是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．4
【变式02】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知方程有4个根，，，．则_____
【变式03】（2015·浙江杭州·一模）记．
(1)若均为整数，求证：当是的倍数时，能被整除；
(2)若，求的最小值．
题型06 新定义代数式问题
典例引领
【典例01】（2025·浙江杭州·模拟预测）定义一种新运算：，则______．
【典例02】（2024·浙江·模拟预测）定义新运算“”：当时，；当时，．
(1)当时，求的值．
(2)若，求x的值．
方法透视
考向解读 1.理解新定义：仔细阅读新运算的定义，理解运算规则和适用条件。 2.分类讨论：根据新运算的条件进行分类讨论。 3.方程求解：根据新运算建立方程，求解未知数的值。 4.验证结果：将求得的解代入原式验证是否不不符合。 5.特殊情况处理：注意新运算中可能存在的特殊情况。
方法技能 新运算先读懂，规则条件要分清； 分类讨论不遗漏，方程建立求未知； 验证结果看条件，不符合题意才算对。
变式演练
【变式01】（2022·浙江宁波·中考真题）定义一种新运算：对于任意的非零实数a，b，．若，则x的值为___________．
【变式02】（2024·浙江·一模）已知且，我们定义，记为；，记为；……；，记为．若将数组中的各数分别作的变换，得到的数组记为；将作的变换，得到的数组记为；……；则的值为_________．
【变式03】（2018·浙江宁波·一模）对x，y定义一种新运算F，规定：F（x，y）=（mx+ny）（3x﹣y）（其中m，n均为非零常数）．例如：F（1，1）=2m+2n，F（﹣1，0）=3m．
（1）已知F（1，﹣1）=﹣8，F（1，2）=13．
①求m，n的值；
②关于a的不等式组，求a的取值范围；
（2）当x2≠y2时，F（x，y）=F（y，x）对任意有理数x，y都成立，请直接写出m，n满足的关系式．
题●型●训●练
1．（2025·浙江杭州·一模）已知，则代数式的值为（ ）
A． B．0 C．2 D．4
2．（2026·浙江舟山·一模）下列计算错误的是（ ）
A． B． C． D．
3．（2025·浙江台州·一模）若，则的值为（ ）
A． B． C．3 D．
4．（2020·浙江金华·中考真题）下列多项式中，能运用平方差公式分解因式的是（ ）
A． B． C． D．
5．（2023·浙江宁波·一模）如果能被整除，则的值是（ ）
A．2 B． C．3 D．
6．（2021·浙江衢州·二模）x满足___________条件时，分式有意义．
7．（2023·浙江宁波·模拟预测）定义一种新运算：对于任意的非零实数．若，则的值为___________．
8．（24-25九年级上·广西百色·期中）对于任意两个不相等的数a，b，定义一种新运算“”如下： ，如：，那么______．
9．（2025·浙江金华·模拟预测）已知当时，的值为3，则当时，的值为___________．
10．（2025·浙江宁波·模拟预测）已知是的因式，则_______
11．（2022·浙江宁波·模拟预测）已知整数x，y满足，则的最小值为 _____．
12．（2025·浙江杭州·模拟预测）先化简，再求值：，其中．
13．（2023·浙江·模拟预测）已知，求的值．
14．（2023·浙江·模拟预测）已知实数，求的值．
15．（2020·浙江·模拟预测）历史上的数学巨人欧拉最先把关于x的多项式用记号来表示．例如：，当时，多项式的值用来表示．例如时，多项式的值记为．
（1）已知，求值；
（2）已知，当，求的值；
（3）已知（为常数），若对于任意有理数k，总有，求的值．
16．（2020·浙江杭州·模拟预测）在数学解题过程中，有时可以利用取特殊值法进行计算或解答．
例如：在等式中，把代入，得．
请利用这种方法解答下列问题：设．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
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