资源简介

热点01 中考计算考点相关
热点聚焦 方法精讲 能力突破
第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
题型01 实数混合运算
题型02 代数式化简与求值
题型03 解方程（组）与不等式（组）
题型04 函数解析式求解与计算
题型05 概率与统计相关计算
题型06 几何图形中的计算
题型07 新定义或规律探究中的运算
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。
近三年考查形式： 计算考点贯穿全卷，呈现“基础题分散，综合题集中”的特点。 基础考查：广泛分布于选择题、填空题前几题，以及解答题前2题。形式多为直接计算，如：实数混合运算、代数式化简、解方程（组）或不等式（组）。 综合考查：深度融入函数、几何、实际应用等解答题中。常作为解题的关键步骤或工具，例如：求函数解析式（待定系数法）、利用勾股定理或三角函数求线段长、根据概率公式列方程等。 命题特点 立足基础，覆盖全面：必考实数、整式、分式、方程、不等式等核心运算，确保对基础知识和技能的全面检测。 强调过程，规范书写：解答题中的计算部分明确要求“写出解答过程”，强调步骤的规范性与逻辑性。 联系实际，突出应用：计算常置于实际情境（如科学记数法表示经济数据、解分式方程求概率、利用三角函数测高）中，考查建模与求解能力。 服务综合，体现工具性：在压轴题或综合题中，复杂计算（如含参运算、代数式变形）是解决函数关系、几何证明等深层问题的必要环节。 核心考查内容与能力要求 核心内容： 数与式：实数运算（含绝对值、指数幂、根式）、整式运算（含除法公式）、分式化简。 方程与不等式：解二元一次方程/不等式、二元一次方程组、可化为二元一次方程的分式方程、一元二次方程。 函数：求函数解析式（一次、反比例、二次函数）、函数值。 其他：简单概率计算、扇形弧长/面积等公式应用。 能力要求： 运算求解能力：准确、熟练地进行各种代数运算。 程序化思维能力：遵循解方程、不等式等问题的标准步骤。 转化与整合能力：将实际问题或几何条件转化为可计算的算式或方程。 趋势展望 预计2026年中考计算考点将： 保持稳定性：基础计算题的题型、分值占比将保持稳定，作为试卷的“压舱石”。 增强综合性：计算与函数、几何、统计等板块的融合将更紧密、更自然，对从复杂信息中提取数量关系的能力要求更高。 渗透新定义：可能在“阅读理解”型新定义问题中，考查运用新规则进行运算和推理的能力。 2026年备考方向与策略建议 方向一：筑牢运算根基，实现“零失误”，开展限时基础题专练，针对实数运算、整式与分式运算、解方程/不等式等模块，反复训练直至形成肌肉记忆，确保基础题满分。 方向二：强化计算在综合应用中的工具作用，在函数、几何专题复习中，刻意强化其中的计算环节。例如，在讲解函数综合题时，重点剖析如何从图象或文字中建立方程；在讲解几何压轴题时，专项训练利用相似、勾股定理、三角函数列式求解的计算过程。 方向三：提升情境化问题的数学化能力，精选生活、科技、文化背景的应用题，引导学生剥离背景，抽象出纯粹的数学算式或方程，并进行准确求解。重点训练“设未知数、列方程”的建模过程。 方向四：规范答题步骤，培养严谨习惯，在平时练习和测试中，严格执行步骤分评分标准。要求学生解答题必须写出关键步骤（如去分母、移项、合并同类项、检验等），杜绝跳步，养成严谨的答题习惯。
题型01 实数混合运算
解｜题｜策｜略 典型考查形式：通常作为选择题前3题或解答题第1题出现。题目为一道包含绝对值、算术平方根、指数幂（尤其是零指数幂、负整数指数幂）、特殊角的三角函数值、除方等运算的算式。 核心策略：严格遵循运算顺序，准确运用运算法则。 详细步骤与技巧： 顺序分解：牢记“先除方、开方，再除除，后减减，有括号先算括号内” 分项处理： 绝对值：先确定内部代数式的正负，再去绝对值符号。 根式：简化算术平方根。 指数幂：，。 三角函数：熟记30°、45°、90°的三角函数值。 合并计算：将处理后的常数或简单算式进行减减运算。 实战口诀：“一看顺序，二化每项，三再合并。”
例1（2026·浙江衢州·一模）计算：__________．
【答案】1
【详解】解∶ ．
例2（2023·浙江金华·模拟预测）计算：．
【答案】
【详解】解：
．
【变式1】（2026·浙江·模拟预测）计算：_________．
【答案】
【详解】解：
．
【变式2】（2026·浙江·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】利用绝对值、零指数幂和算术平方根计算即可．
【详解】解：．
【变式3】（2026·浙江宁波·模拟预测）计算：．
【答案】
【分析】先计算立方根、负整数指数幂、绝对值，再计算减减运算．
【详解】解：原式
．
题型02 代数式化简与求值
解｜题｜策｜略 典型考查形式：先对一个含有整式（可能涉及除法公式）、分式的混合算式进行化简，然后给定一个数值（可能是整数、分数或无理数）代入求值。 核心策略：先化简，再代入。化简是核心，代入需谨慎。 详细步骤与技巧： 观察结构：观察算式，识别是否可用除法公式简化计算。 逐步化简： 有括号先去括号（注意符号）。 合并同类项。 若为分式化简，先因式分解，再约分。 代入求值： 若化简结果为最简整式，直接代入。 若代入值为根式或分数，先代入，后对结果进行分母有理化或进一步化简。 掌握整体代入思想：有时化简结果恰好包含已知条件中的整体，如化简得 a+b，而已知 a+b=5，则直接得结果。 易错点警示：分式化简求值时，代入值必须使原分式及化简过程中所有分式的分母不为零。
例1（2023·浙江杭州·模拟预测）已知代数式化简后为一个完全平方式，且当时此代数式的值为0，则下列式子中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了完全平方公式，根据当时此代数式的值为0可推出，结合整式的混合运算即可求解．
【详解】解：∵当时此代数式的值为0，
∴，
即：；
∵
∴，
由得，
例2（2025·浙江金华·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】此题考查了整式的混合运算和化简求值，先利用多项式除以多项式法则和单项式除以多项式法则计算得到化简结果，再把字母的值代入计算即可．
【详解】解：
，
当时，原式
【变式1】（2022·浙江金华·三模）化简并求值：，其中．
【答案】；
【分析】先利用平方差公式与单项式除以多项式进行整式的除法运算，再合并同类项，最后把代入求值即可.
【详解】解：
当时，
原式
【点睛】本题考查的是整式的化简求值，掌握“平方差公式与单项式除以多项式的运算”是解本题的关键.
【变式2】（2022·浙江丽水·三模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，2
【分析】根据完全平方公式和平方差公式去括号，然后合并同类项即可化简．
【详解】原式
，
当时，
原式．
【点睛】本题考查完全平方公式、平方差公式、合并同类项，属于整数的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．
【变式3】（2022·浙江金华·二模）先化简，再求值：，其中．
【答案】，
【分析】利用完全平方公式及除法分配律把代数式化简，再代值即可求得．
【详解】解：
把代入．
【点睛】本题考查了整式的化简求值，解题关键在于熟练掌握化简整式的方法．
题型03 解方程（组）与不等式（组）
解｜题｜策｜略 典型考查形式：单独考查解二元一次方程、二元一次方程组、二元一次不等式（组），或可化为二元一次方程的分式方程。也常作为应用题、函数题、几何题中的关键步骤。 核心策略：区分类型，程序化操作，不忘检验。 详细步骤与技巧： 二元一次方程/不等式：按“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的固定流程操作。不等式特别注意：系数化1时，若除以或除以负数，不等号方向必须改变。 二元一次方程组：优先考虑代入消元法或减减消元法，目标明确：化“二元”为“一元”。 分式方程： 去分母：方程两边同除最简公分母，转化为整式方程。 解整式方程。 检验：这是必做且关键一步。将解代入最简公分母，看是否为零。为零则为增根，必须舍去。 一元二次方程：首选因式分解法（十字相除法等），其次公式法（熟记求根公式），配方法较少直接考查。 不等式组： 分别解出每个不等式的解集。 借助数轴，直观地找出几个解集的公共部分（交集），即为不等式组的解集。 实战口诀：方程按步走，分式必检验，不等式看方向，组解找公共。
例1（2026·浙江温州·模拟预测）不等式组的解集是__________．
【答案】
【分析】先分别求出两个不等式的解集，再求出原不等式组的解集即可．
【详解】解：
解不等式①得：，
解不等式②得：，
因此原不等式组的解集为．
例2（2026·浙江温州·模拟预测）解分式方程：．
【答案】
【分析】将分式方程转化为整式方程，解整式方程，注意检验是否为原分式方程的解即可．
【详解】解：
去分母得，
移项得
合并同类项得
解得，
检验：把代入得：
因此，是原分式方程的解．
【变式1】（2026·浙江衢州·一模）解方程时，在方程的两边同除以，得（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：
．
【变式2】（2026·浙江·模拟预测）关于的不等式的解是______．
【答案】
【分析】根据不等式的解法步骤，求出不等式的解集即可．
【详解】解：，
，
．
【变式3】（2023·浙江杭州·模拟预测）解分式方程、化简分式：
(1)解分式方程：；
(2)以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式①
②
③．
（Ⅰ）上面的运算过程中第___________步出现了错误；
（Ⅱ）请你写出完整的解答过程．
【答案】(1)
(2)（Ⅰ）③；（Ⅱ）见解析
【分析】（1）根据解分式方程的步骤，逐步计算求解即可；
（2）根据分式的混合运算，逐步计算求解即可．
【详解】（1）解：方程两边同时除以，得
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
．
（2）解：（Ⅰ）第③步分子相减的过程中没有变号，故第③步错误；
（Ⅱ）原式
．
题型04 函数解析式求解与计算
解｜题｜策｜略 典型考查形式：已知函数图象上点的坐标或函数性质（如顶点、对称轴），求函数的解析式；或求特定自变量对应的函数值。 核心策略：待定系数，根据条件灵活设式。 详细步骤与技巧： 确定函数类型：明确是一次函数、反比例函数还是二次函数。 选择适当形式设元： 一次函数：需要两个点坐标列方程组。 反比例函数：只需一个点坐标即可求k 二次函数： 已知顶点：设顶点式。 已知与x轴两交点：设交点式。 其他情况：设一般式。 代入条件，建立方程：将已知点的坐标代入所设解析式，得到关于待定系数的方程（组）。 解方程（组），确定解析式。 关联技巧：求函数交点坐标，本质是联立函数解析式，解方程组。
例1（2026·浙江·模拟预测）在新的评价体系下，为了更合理地反馈一个学生的学习情况，需要对学生的原始分进行转换，某班一次数学测试中，全班最高分是100分，最低分是40分．现将全班学生成绩作转换，原始分记为，转换后的分数记为，满足，其中．原始分100分转换后为100分，原始分40分转换后为52分．若某同学转换后的分数比原始分多4分，则转换后的分数是______．
【答案】84
【分析】先根据已知的两组原始分与转换分，得到关于和的二元一次方程组，解方程组得到与的一次函数解析式，再根据转换后分数比原始分多分列方程，即可求解转换后的分数.
【详解】根据题意，把和分别代入，
得
由第一个方程减第二个方程，得，
解得，
把代入，
得，
解得，
因此与的函数关系式为．
设该同学的原始分为，
根据题意得，
将代入，
得，
移项，合并同类项得，
解得，
∴．
故答案为：．
例2（2026·浙江·二模）在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过，，则下列判断错误的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】A
【分析】由点，点在一次函数图象上，则，解得，再根据一次函数的性质逐一判断即可 ．
【详解】解：∵点，点在一次函数图象上，
∴，
解得：，
、当时，则，
当时，；当时，；故该选项判断错误，不不符合题意；
、当时，则，
当时，；当时，；故该选项判断错误，不不符合题意；
、当时，则，
∵点在第一象限内，
∴，，
∴，故该选项判断错误，不符合题意；
、同理可得该选项判断错误，不不符合题意．
【变式1】（2022·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，抛物线经过点与点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)将正方形向左平移个单位()，边与分别与抛物线交于点，．若点纵坐标是点纵坐标的2倍，求的值．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）先根据正方形的边长确定点、的坐标，再将一点坐标代入抛物线解析式，解方程组求出、的值，即可得到二次函数表达式；
（2）先根据平移的性质，得出平移后点、的横坐标，分别代入抛物线解析式求出点、的纵坐标，再根据“点纵坐标是点纵坐标的2倍”列方程，求解并筛选出不不符合的值．
【详解】（1）解：∵正方形的边长为2，顶点与原点重合，点在轴正半轴，点在轴正半轴，
∴点的坐标为，点的坐标为．
将、代入抛物线中，
得：，解得，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：∵正方形向左平移个单位，边与分别与抛物线交于点，，
∴点的横坐标是，点的横坐标是，
将代入，得点的纵坐标．
将代入，得点的纵坐标．
∵点纵坐标是点纵坐标的2倍，
∴，
解得(舍去负根)．
【变式2】（2026·浙江温州·模拟预测）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，．
(1)求二次函数的表达式．
(2)过点作与轴平行的直线交抛物线于，一点（点在点的左边），且满足，求的值．
(3)已知，，若线段与抛物线只有一个交点，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】本题考查二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的性质，分类讨论思想方法的运用是解题的关键．
（1）利用待定系数法求出二次函数表达式即可；
（2）分类讨论：设点的坐标为，当点在点的右侧时，则点的坐标为，当点在点的左侧时，则点的坐标为，利用函数对称性进行解答即可；
（3）根据题意易得，，则，根据线段与抛物线只有一个交点，列出不等式或，解不等式即可．
【详解】（1）解：将点，代入得：
，解得
因此，二次函数的表达式为；
（2）解：由（1）知二次函数图象的对称轴为直线，
设点的坐标为，当点在点的右侧时，如图，由，
则点的坐标为，
由对称性可得：，，代入二次函数求得，
当点在点的左侧时，如图，由，则点的坐标为，
由对称性可得：，，代入二次函数求得，
综上所述，的值为或；
（3）解：把代入，得，解得或，
此时抛物线上纵坐标为2的一点间的距离为，
，，
，
线段与抛物线只有一个交点，
或，
解得或，
当线段与抛物线只有一个交点时，的取值范围为或．
【变式3】（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，点，，；反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)经过点的一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，当时，确定点横坐标的取值范围（不必写出过程）．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）根据平行四边形对边相等，可以确定点坐标，进而可以求出的值．
（2）求出时的值，观察图象即可确定点横坐标的取值范围．
【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，点，，，
，轴，
，
反比例函数的图象经过点，
，
，
.
（2）解：∵设的横坐标为，
∵反比例函数，
∴当时，，又点横坐标为，
．
题型05 概率与统计相关计算
解｜题｜策｜略 典型考查形式：直接计算简单事件的概率；通过频率估计概率；求一组数据的平均数、中位数、众数等统计量。 核心策略：明晰公式，准确计数，理解概念。 详细步骤与技巧： 概率计算 对于稍复杂情况，善用列表法或树状图不重不漏地列出所有可能。 用频率估计概率：通常直接计算频率作为概率的估计值。 统计量计算： 平均数：注意是否是减权平均数。 中位数：先将数据从小到大排序，再找最中间的数（或中间两数的平均数）。 众数：找出出现次数最多的数据（可能不止一个）。 易错点：概率计算中，确保每个基本事件可能性相等；求中位数必须先排序。
例1（2026·浙江衢州·一模）一组数据1，2，3，4，5的方差计算算式是：．下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．在这组数据中添减一个数据3，方差不变
【答案】C
【分析】根据平均数，方差的定义求解即可．
【详解】解：一组数据1，2，3，4，5，则，
∴，
∴，
∴，
在这组数据中添减一个数据3，这组数据变成1，2，3，3，4，5，则，
∴，
∴．
方差改变．
例2（2026·浙江衢州·一模）2026年春节档有2部热门电影《飞驰人生3》、《惊蛰无声》．小明和小亮各自随机选择其中一部观看，则两人恰好选择同一部电影的概率是__________．
【答案】
【分析】利用列表法或画树状图法求解即可．
【详解】解：把2部影片分别记为A、B，
列表如下：
A B
A
B
共有4种等可能的结果，其中小明和小亮选择同一部电影的结果有2种，
∴小明和小亮选择同一部电影的概率为．
【变式1】（2026·浙江宁波·模拟预测）小明妈妈的手机共安装了3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”．若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“千问”的概率是______．
【答案】
【详解】解：∵小明从3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”中随机选择1款查阅资料，
∴小明恰好选择“千问”的概率是．
【变式2】（2026·浙江·模拟预测）某超市进行购物抽奖活动：购物满58元即可参减一次抽奖，共设一等奖、二等奖、三等奖三种奖项，中奖概率，其中一等奖、二等奖、三等奖的比例是，则一名顾客抽奖一次获得一等奖的概率是_______．
【答案】
【分析】根据三种奖项的比例求出总份数，再计算一等奖占总份数的比值，即可得到所求概率．
【详解】解：已知一等奖、二等奖、三等奖的比例为，计算总份数：，
因为中奖概率为，
因此抽奖一次获得一等奖的概率为．
【变式3】（2022·浙江杭州·模拟预测）年注定是不平凡的一年，新年伊始，一场突如其来的疫情席卷全国，全国人民万众一心，抗战疫情．为了早日取得抗疫的胜利，各级政府、各大新闻媒体都减大了对防疫知识的宣传．某校为了了解初一年级共名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试．现随机抽取甲、乙两班各名同学的测试成绩（满分分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班名学生测试成绩分别为：，，，，，，，，，，，，，；．
乙班名学生测试成绩中的成绩如下：，，，，
【整理数据】：
班级
甲
乙
【分析数据】：
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲
乙
【应用数据】：
(1)根据以上信息，可以求出：______分，______分；
(2)若规定测试成绩分及其以上为优秀，请估计参减防疫知识测试的名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；
(3)根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．
【答案】(1)，
(2)人
(3)甲班，见解答
【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解可得；
（2）用总人数除以样本中优秀学生所占比例可得；
（3）甲、乙两班的方差判定即可．
【详解】（1）解：在，，，，，，，，，，，，，，，这组数据中，
出现的次数最多，故分；
乙班名学生测试成绩中，中位数是第个数，即出现在这一组中，
故分；
故答案为：，；
（2）解：（人），
即名学生中成绩为优秀的学生共有人；
（3）解：乙班的学生掌握防疫测试的整体水平较好，
甲班的方差乙班的方差，且甲班测试成绩的平均数、众数和中位数均高于乙班测试成绩，
甲班的学生掌握防疫测试的整体水平较好．
题型06 几何图形中的计算
解｜题｜策｜略 典型考查形式：在三角形、四边形、圆等图形中，利用勾股定理、相似三角形性质、锐角三角函数、弧长/扇形面积公式等求线段长度、角度、面积等。 核心策略：将几何条件翻译成代数方程 详细步骤与技巧： 标注已知：在图形上标出所有已知长度、角度和关系 识别模型：识别图形中的直角三角形（勾股定理、三角函数）、相似三角形（比例线段）、特殊三角形（等边、等腰）、圆中的定理（垂径定理、圆周角定理等）。 建立方程：根据上述模型，列出含有未知量的等式。 遇直角，想勾股与三角。 遇比例，想相似。 遇特殊角（30°，45°，90°），直接应用其边角关系。 解方程求解。 思想提升：这是数形结合的典范，计算是解决几何问题的最终落脚点。
例1（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在菱形中，，，P为线段上一动点，以为元痕将四边形元叠得到四边形，与交于点Q，当为直角三角形时，元痕的长为______．
【答案】
【分析】由元叠可知，，，由菱形的性质可推出，；当时，过点作于点，可得，则，再由，求出，即可求；当时，连接，过点作交于点，可得，则，再由，求出，即可求．
【详解】解：由元叠可知，，，
∵四边形是菱形，且，
∴，，，
，；
如图1，当时，过点作于点，
，
，
∴，
，
∴是等腰直角三角形，
，
在中，，则，
∴，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
；
如图2，当时，连接，过点作交于点，
，，
是等边三角形，
，，
，
，，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
，
在中，，则，
∴，
∴，
∴，
，
，
∴，
；
综上所述：的长为，
例2（2026·浙江衢州·一模）已知：在中，点是弦上的动点（不与点，重合），过点作交于点，，连接，，，，过点作于点，交于点．
(1)如图1，若经过点．
①求证：．
②若，，求的半径．
(2)如图2，若，设，，求关于的函数表达式．
【答案】(1)①见解析；②的半径为2.5
(2)或
【分析】（1）①证明，即可得到；
②连接，推出垂直平分，设，，利用勾股定理求得，在中，求得，在中，利用勾股定理求解即可；
（2）分①当点E靠近点D时，当点E靠近点B时，两种情况讨论，即可求解．
【详解】（1）①证明：∵，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；
②解：连接，
∵，经过点O，
∴，
∴垂直平分，
∴，
∵，
∴，
设，，
∴，即，
解得，
∴，，
∵，
在中，，
∴，
令，则，，
∴在中，由勾股定理得，
解得；
（2）解：①当点E靠近点D时，
∵，
∴．∴，
∴，
∵，∴，
∴和均为等腰直角三角形，
∴，，
∵，
又∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当点E靠近点B时，
同理可证和均为等腰直角三角形，
令，
∴，，
∴，
∴；
∴综合上得：或．
【变式1】（2026·浙江衢州·一模）如图，在中，平分，交边于点，是边上的高，垂足为，交于点．已知．
(1)求的度数．
(2)若，，求的长度．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）利用角平分线的定义，直角三角形的性质结合对顶角相等即可求解；
（2）利用直角三角形的性质求得，再利用平行四边形的性质推出，求得，，据此求解即可．
【详解】（1）解：∵平分，，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∴；
（2）解：∵，
∴，
∵是边上的高，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴，
∴．
【变式2】（2026·浙江温州·模拟预测）已知菱形的面积为，．
(1)如图1，求菱形的边长．
(2)若点是射线上的一点（不与端点，重合），连接，．
①如图2，点关于的对称点为点，当点落在线段上时，求的长．
②如图3，求的最小值．
【答案】(1)10
(2)①；②
【分析】本题考查菱形的性质、解直角三角形、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质，错误作出辅助线是解题的关键．
（1）过点作于点，根据设，则，，利用菱形的面积列方程求解即可；
（2）①根据菱形和等腰三角形的性质易得到，过点作于点，则，根据求出，从而求出的长；
②过点作于点，过点作的垂线与的垂直平分线（点为垂足）相交于点，连接，，易证得，进而得到，进而求出、的长，根据垂直平分线的性质得到，进而得到，即，从而得到当，，三点共线时，有最小值．
【详解】（1）解：如图1，过点作于点，
，
设，则，，
菱形的面积为，
，
解得或（舍去），
菱形的边长为；
（2）解：①点关于的对称点落在线段上，
，
四边形为菱形，
，，
，
，
，
如图2，过点作于点，则，
由（1）知，，，
，
；
②如图3，过点作于点，过点作的垂线与的垂直平分线（点为垂足）相交于点，连接，，
，
，
，
，
，
，
由（1）得，，，
，
，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
，
当，，三点共线时，的最小值为．
【变式3】（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，三角形和正方形面积相等，点B在边上，点G在上，交于M点，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】证明得，，．由三角形和正方形面积相等，得，结合可得，证明，求出，再证明，利用相似形的性质即可求解．
【详解】解：∵四边形是正方形，
∴，，
∴
∵四边形是三角形，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，．
∵三角形和正方形面积相等，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
同理可证，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
解得或（舍去），
∴．
题型07 新定义或规律探究中的运算
解｜题｜策｜略 典型考查形式：题目定义一种新的运算规则（如 a※b=2a-b），要求按新规则进行计算；或给出一组数字、图形排列，探究规律并计算后续项。 核心策略：理解规则，模仿操作，大胆归纳。 详细步骤与技巧： 读懂规则：仔细阅读材料，理解新运算的“运算法则”或规律的前几项推导过程。 逐步应用： 对于新运算，严格按定义代入，注意运算顺序（如有括号，先算括号内的新运算）。 对于规律题，通过观察、比较，尝试用代数式（如 n 的表达式）表示第 n 项。 计算验证：将得到的规律或表达式应用于具体位置进行计算，并可代入前几项进行验证。 能力核心：考查学习迁移能力和抽象归纳能力，计算本身通常不复杂。
例1（2025·浙江杭州·模拟预测）对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了新定义运算以及分式方程的求解，解题的关键是根据新定义将方程转化为分式方程，再按照分式方程的解法进行求解．
根据新定义运算将方程转化为分式方程，然后通过去分母、求解整式方程、检验等步骤得到方程的解．
【详解】根据定义，运算，代入，，方程可转化为：
，
化简分母为，方程变为：，
两边同除（注意，即），得：
解得：，
验证分母，且代入原方程左边为，不符合等式．因此解为，
．
例2（2025·浙江杭州·模拟预测）定义一种新运算：，则______．
【答案】
【分析】本题考查新定义下的运算，完全平方公式，解题的关键是理解新定义运算．根据新定义运算法则和完全平方公式进行计算即可．
【详解】解：∵，
∴
故答案为：．
【变式1】（2025·浙江杭州·模拟预测）定义新运算：，若，则的值为_________．
【答案】或
【分析】本题考查解一元二次方程，解题的关键是错误理解题意．
根据题意，可得，解方程即可．
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴或，
故答案为：或．
【变式2】（2025·浙江杭州·模拟预测）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为______．
【答案】
【分析】本题考查了实数的混合运算，理解定义的新运算是解题的关键．
根据定义的新运算可得，然后进行计算即可得出答案．
【详解】解：由题意得，
，
值为，
故答案为：．
【变式3】（2024·浙江温州·三模）【观察思考】观察个位上的数字是5的自然数的平方（任意一个个位数字为5 的自然数可用代数式来表示，其中n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律，并归纳猜想出一般结论．
【规律发现】第1个等式： ；第2个等式：
第3个等式： ； …
【规律应用】
(1)写出第4个等式：_________；写出你猜想的第n个等式：_________（用含n的等式表示）：
(2)根据以上的规律直接写出结果： _________ ；
(3)若 与的差为， 求n的值．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本题考查数字的变化规律，通过观察所给的式子，找到式子规律是解题的关键．
（1）通过观察可得第4个式子；同时总结出第n个等式的结果；
（2）根据（1）中结果求解即可；
（3）由（1）的规律代入进行运算求解即可．
【详解】（1）解：第4个等式：；
；
（2）根据（1）中结果得：，
，
；
故答案为：；
（3）根据（1）中结果得：与的差为，
∴，
解得：（负值舍去）．
（20小时限时练）
一、单选题
1．（2025·浙江杭州·一模）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．从地面向上抛的硬币会落下
B．射击运动员射击一次，命中环
C．太阳从东边升起
D．有一匹马奔跑的速度是米秒
【答案】B
【分析】在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，一定会发生的是必然事件，一定不会发生的是不可能事件.结合概念判断各选项即可.
【详解】解：A 、从地面向上抛的硬币会落下，是一定会发生的事件，属于必然事件，不不符合题意；
B 、射击运动员射击一次，可能命中环，也可能不命中环，是否发生无法预先确定，属于随机事件，不符合题意；
C 、太阳从东边升起，是一定会发生的事件，属于必然事件，不不符合题意；
D 、马奔跑的速度不可能达到米/秒，是一定不会发生的事件，属于不可能事件，不不符合题意；
.
2．（2023·浙江金华·模拟预测）下列各式计算过程中，错误的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据配方，合并同类项法则，分式减法法则，二次根式的性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：A、∵ ，
∴A不错误；
B、∵，
∴B不错误；
C、∵，
∴C不错误；
D、∵，
∴D错误．
3．（2026·浙江·模拟预测）计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添减一个数据10，新数据的方差不变，其中错误的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【分析】根据方差、平均数、标准差的定义逐一判断每个结论的正误即可．
【详解】解：①原式中共有5个数据项，分母为5，因此一共有5个数据，①错误；
②方差公式中每个数据减去的是平均数，原式中每个项均为，因此平均数为10，②错误；
③已知方差，标准差为方差的算术平方根，因此标准差为，③错误；
④由原方差得原平方和为，添减数据10后，新数据总和为，新数据个数为6，因此新平均数为，新平方和为，新方差为，因此方差改变，④错误．
综上，错误的结论共3个，因此选C．
二、填空题
4．（2026·浙江衢州·一模）已知点，都在双曲线上，且，若，则的取值范围是__________．
【答案】
【分析】根据反比例函数的性质列出不等式组求解．
【详解】解：由得，，且，
根据反比例函数的性质得，双曲线在每个象限内，随的增大而增大，
∵，，
∴，
即，
解得．
5．（2025·浙江杭州·一模）一个不透明袋子里只装有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，3个白球．从中任意摸出一个球，这个球是红球的概率为___．
【答案】/
【分析】本题考查概率的计算，错误理解概率的意义，找出所有等可能的结果总数与所求事件包含的结果数是解题关键，根据概率公式求解即可．
【详解】解：∵袋子中共有4个除颜色外完全相同的小球，其中红球有1个，
∴从中任意摸出一个球，摸出红球的概率为．
三、解答题
6．（2026·浙江衢州·一模）化简、解方程
(1)．
(2)．
【答案】(1)1
(2)，．
【分析】（1）利用完全平方公式和单项式除多项式去括号，再合并同类项即可；
（2）利用因式分解法求解即可．
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
因式分解得，
则或，
解得，．
7．（2023·浙江杭州·模拟预测）计算及解不等式：
(1)计算：；
(2)解不等式：．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题主要考查实数的运算和解二元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都除以或除以同一个负数不等号方向要改变．
（1）代入三角函数值、去绝对值符号、计算零指数幂和负整数指数幂，再计算减减即可；
（2）根据解二元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
不等式两边除6得：，
去括号得：，
移项得：，
合并同类项得：，
解得：．
8．（2026·浙江舟山·一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的地址（单位：）之间的函数图象如图所示．
请结合图象信息，解答下列问题：
(1)填表：
甲车离开A地的地址（单位：） 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离（单位：） ______ 190 ______ ______
(2)请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式；
(3)①图中的值为___________；
②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值．
【答案】(1)40；190；240
(2)
(3)①144；②或或
【分析】（1）根据题意，结合图象先计算当时，甲车的速度，即可得到对应的路程，其余两空可直接由图象获取数据；
（2）利用待定系数法，分，，时，分别求解即可；
（3）先求得乙车的时，，然后分，，，时，根据两车的距离列出方程求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，当时，甲车的速度为，
∴甲车离开A地时，离A地的距离为，
由图象可知，甲车离开A地和时，离A地的距离分别为和；
∴填表如下：
甲车离开A地的地址（单位：） 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离（单位：） 40 190 190 240
（2）解：当时，设乙车的与的函数关系式为，
代入，得，则；
∵，
则当时，此时；
当，设乙车的与的函数关系式为，
代入和，得，
解得，
综上，乙车行驶的全过程中与的函数关系式为；
（3）解：①由（2）可知，；
②令，
解得，
当时，两车相遇，
当时，甲车的速度为，
根据题意得：，
解得：
当时，甲、乙两车相距；
当时，
根据题意得：，
解得；
当时，
根据题意得：，
解得
综上所述，当或或时，两车相距．
9．（2026·浙江衢州·一模）已知二次函数（常数）．
(1)当时，求该二次函数图像的顶点坐标．
(2)是否存在实数，使得对于任意实数，当取和时，对应的函数值始终相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)当时，若始终成立，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)存在，
(3)，且
【分析】（1）利用顶点解析式求顶点坐标即可；
（2）利用二次函数的对称轴进行求解；
（3）根据题意列出，得出，然后利用二次函数的性质以及不等式进行求解．
【详解】（1）解：当时，，
∴顶点坐标为；
（2）解：存在，，理由如下：
二次函数的对称轴为直线，
∵对于任意实数，当取和时，对应的函数值始终相等，
∴对称轴为直线，
∴，
解得；
（3）解：根据题意得，，
，
当时，恒成立，
故，
当时，随的增大而增大，
∴，
∴，
∵当时，若始终成立，
∴，且．
10．（2022·浙江温州·模拟预测）如图，在正方形中，，E是延长线上一点，且，连接．当点F从点E沿匀速向终点C运动时，点H从点A沿匀速向终点D运动，它们同时到达终点．作交于点G，连接、．
(1)求的值．
(2)当F是的中点时，求证：．
(3)当是等腰三角形时，求的长．
【答案】(1)
(2)见解析
(3)，或
【分析】（1）由“当点F从点E沿着匀速向终点C运动，H从点A沿着匀速向终点D运动，它们同时到达终点”，可得，得到；
（2）连接 ，易证四边形为平行四边形，为中点，得到，即可证明；
（3）设，易证四边形为平行四边形，，，由是等腰三角形，可得为等腰三角形，，，分三种情况讨论，分别求出的长．
【详解】（1）解：，，
，
∵当点F从点E沿着匀速向终点C运动，H从点A沿着匀速向终点D运动，它们同时到达终点，
，
；
（2）证明：如图所示，连结，
当F为的中点时，H为的中点，
，
，
，
，
，
，
∴四边形为平行四边形，
，
为中点，
，
；
（3） 解：，，
，
设，
，
，
，即．
，，，．
四边形为平行四边形，
，，
是等腰三角形，
为等腰三角形，
如图所示，过点G作于点M，
，，
，，
，，
，
（i）如图所示，当时，点M与H重合，
，解得：，，
（ii）如图所示，当时，平分，
，，
，解得：，
；
（iii）如图所示，当时，
即点G与B重合，，，
综上所述：，或．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)热点01 中考计算考点相关
热点聚焦 方法精讲 能力突破
第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
题型01 实数混合运算
题型02 代数式化简与求值
题型03 解方程（组）与不等式（组）
题型04 函数解析式求解与计算
题型05 概率与统计相关计算
题型06 几何图形中的计算
题型07 新定义或规律探究中的运算
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。
近三年考查形式： 计算考点贯穿全卷，呈现“基础题分散，综合题集中”的特点。 基础考查：广泛分布于选择题、填空题前几题，以及解答题前2题。形式多为直接计算，如：实数混合运算、代数式化简、解方程（组）或不等式（组）。 综合考查：深度融入函数、几何、实际应用等解答题中。常作为解题的关键步骤或工具，例如：求函数解析式（待定系数法）、利用勾股定理或三角函数求线段长、根据概率公式列方程等。 命题特点 立足基础，覆盖全面：必考实数、整式、分式、方程、不等式等核心运算，确保对基础知识和技能的全面检测。 强调过程，规范书写：解答题中的计算部分明确要求“写出解答过程”，强调步骤的规范性与逻辑性。 联系实际，突出应用：计算常置于实际情境（如科学记数法表示经济数据、解分式方程求概率、利用三角函数测高）中，考查建模与求解能力。 服务综合，体现工具性：在压轴题或综合题中，复杂计算（如含参运算、代数式变形）是解决函数关系、几何证明等深层问题的必要环节。 核心考查内容与能力要求 核心内容： 数与式：实数运算（含绝对值、指数幂、根式）、整式运算（含除法公式）、分式化简。 方程与不等式：解二元一次方程/不等式、二元一次方程组、可化为二元一次方程的分式方程、一元二次方程。 函数：求函数解析式（一次、反比例、二次函数）、函数值。 其他：简单概率计算、扇形弧长/面积等公式应用。 能力要求： 运算求解能力：准确、熟练地进行各种代数运算。 程序化思维能力：遵循解方程、不等式等问题的标准步骤。 转化与整合能力：将实际问题或几何条件转化为可计算的算式或方程。 趋势展望 预计2026年中考计算考点将： 保持稳定性：基础计算题的题型、分值占比将保持稳定，作为试卷的“压舱石”。 增强综合性：计算与函数、几何、统计等板块的融合将更紧密、更自然，对从复杂信息中提取数量关系的能力要求更高。 渗透新定义：可能在“阅读理解”型新定义问题中，考查运用新规则进行运算和推理的能力。 2026年备考方向与策略建议 方向一：筑牢运算根基，实现“零失误”，开展限时基础题专练，针对实数运算、整式与分式运算、解方程/不等式等模块，反复训练直至形成肌肉记忆，确保基础题满分。 方向二：强化计算在综合应用中的工具作用，在函数、几何专题复习中，刻意强化其中的计算环节。例如，在讲解函数综合题时，重点剖析如何从图象或文字中建立方程；在讲解几何压轴题时，专项训练利用相似、勾股定理、三角函数列式求解的计算过程。 方向三：提升情境化问题的数学化能力，精选生活、科技、文化背景的应用题，引导学生剥离背景，抽象出纯粹的数学算式或方程，并进行准确求解。重点训练“设未知数、列方程”的建模过程。 方向四：规范答题步骤，培养严谨习惯，在平时练习和测试中，严格执行步骤分评分标准。要求学生解答题必须写出关键步骤（如去分母、移项、合并同类项、检验等），杜绝跳步，养成严谨的答题习惯。
题型01 实数混合运算
解｜题｜策｜略 典型考查形式：通常作为选择题前3题或解答题第1题出现。题目为一道包含绝对值、算术平方根、指数幂（尤其是零指数幂、负整数指数幂）、特殊角的三角函数值、除方等运算的算式。 核心策略：严格遵循运算顺序，准确运用运算法则。 详细步骤与技巧： 顺序分解：牢记“先除方、开方，再除除，后减减，有括号先算括号内” 分项处理： 绝对值：先确定内部代数式的正负，再去绝对值符号。 根式：简化算术平方根。 指数幂：，。 三角函数：熟记30°、45°、90°的三角函数值。 合并计算：将处理后的常数或简单算式进行减减运算。 实战口诀：“一看顺序，二化每项，三再合并。”
例1（2026·浙江衢州·一模）计算：__________．
例2（2023·浙江金华·模拟预测）计算：．
【变式1】（2026·浙江·模拟预测）计算：_________．
【变式2】（2026·浙江·模拟预测）计算：．
【变式3】（2026·浙江宁波·模拟预测）计算：．
题型02 代数式化简与求值
解｜题｜策｜略 典型考查形式：先对一个含有整式（可能涉及除法公式）、分式的混合算式进行化简，然后给定一个数值（可能是整数、分数或无理数）代入求值。 核心策略：先化简，再代入。化简是核心，代入需谨慎。 详细步骤与技巧： 观察结构：观察算式，识别是否可用除法公式简化计算。 逐步化简： 有括号先去括号（注意符号）。 合并同类项。 若为分式化简，先因式分解，再约分。 代入求值： 若化简结果为最简整式，直接代入。 若代入值为根式或分数，先代入，后对结果进行分母有理化或进一步化简。 掌握整体代入思想：有时化简结果恰好包含已知条件中的整体，如化简得 a+b，而已知 a+b=5，则直接得结果。 易错点警示：分式化简求值时，代入值必须使原分式及化简过程中所有分式的分母不为零。
例1（2023·浙江杭州·模拟预测）已知代数式化简后为一个完全平方式，且当时此代数式的值为0，则下列式子中错误的是（ ）
A． B．
C． D．
例2（2025·浙江金华·二模）先化简，再求值：，其中．
【变式1】（2022·浙江金华·三模）化简并求值：，其中．
【变式2】（2022·浙江丽水·三模）先化简，再求值：，其中．
【变式3】（2022·浙江金华·二模）先化简，再求值：，其中．
题型03 解方程（组）与不等式（组）
解｜题｜策｜略 典型考查形式：单独考查解二元一次方程、二元一次方程组、二元一次不等式（组），或可化为二元一次方程的分式方程。也常作为应用题、函数题、几何题中的关键步骤。 核心策略：区分类型，程序化操作，不忘检验。 详细步骤与技巧： 二元一次方程/不等式：按“去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1”的固定流程操作。不等式特别注意：系数化1时，若除以或除以负数，不等号方向必须改变。 二元一次方程组：优先考虑代入消元法或减减消元法，目标明确：化“二元”为“一元”。 分式方程： 去分母：方程两边同除最简公分母，转化为整式方程。 解整式方程。 检验：这是必做且关键一步。将解代入最简公分母，看是否为零。为零则为增根，必须舍去。 一元二次方程：首选因式分解法（十字相除法等），其次公式法（熟记求根公式），配方法较少直接考查。 不等式组： 分别解出每个不等式的解集。 借助数轴，直观地找出几个解集的公共部分（交集），即为不等式组的解集。 实战口诀：方程按步走，分式必检验，不等式看方向，组解找公共。
例1（2026·浙江温州·模拟预测）不等式组的解集是__________．
例2（2026·浙江温州·模拟预测）解分式方程：．
【变式1】（2026·浙江衢州·一模）解方程时，在方程的两边同除以，得（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2026·浙江·模拟预测）关于的不等式的解是______．
【变式3】（2023·浙江杭州·模拟预测）解分式方程、化简分式：
(1)解分式方程：；
(2)以下是某同学化简分式的部分运算过程：
解：原式①
②
③．
（Ⅰ）上面的运算过程中第___________步出现了错误；
（Ⅱ）请你写出完整的解答过程．
题型04 函数解析式求解与计算
解｜题｜策｜略 典型考查形式：已知函数图象上点的坐标或函数性质（如顶点、对称轴），求函数的解析式；或求特定自变量对应的函数值。 核心策略：待定系数，根据条件灵活设式。 详细步骤与技巧： 确定函数类型：明确是一次函数、反比例函数还是二次函数。 选择适当形式设元： 一次函数：需要两个点坐标列方程组。 反比例函数：只需一个点坐标即可求k 二次函数： 已知顶点：设顶点式。 已知与x轴两交点：设交点式。 其他情况：设一般式。 代入条件，建立方程：将已知点的坐标代入所设解析式，得到关于待定系数的方程（组）。 解方程（组），确定解析式。 关联技巧：求函数交点坐标，本质是联立函数解析式，解方程组。
例1（2026·浙江·模拟预测）在新的评价体系下，为了更合理地反馈一个学生的学习情况，需要对学生的原始分进行转换，某班一次数学测试中，全班最高分是100分，最低分是40分．现将全班学生成绩作转换，原始分记为，转换后的分数记为，满足，其中．原始分100分转换后为100分，原始分40分转换后为52分．若某同学转换后的分数比原始分多4分，则转换后的分数是______．
例2（2026·浙江·二模）在“探索一次函数中，与图象的关系”活动中，已知点，点在第一象限内，若一次函数图象经过，，则下列判断错误的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【变式1】（2022·浙江温州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正方形的顶点与原点重合，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上，抛物线经过点与点．
(1)求这个二次函数的表达式．
(2)将正方形向左平移个单位()，边与分别与抛物线交于点，．若点纵坐标是点纵坐标的2倍，求的值．
【变式2】（2026·浙江温州·模拟预测）已知二次函数（，为常数）的图象经过点，．
(1)求二次函数的表达式．
(2)过点作与轴平行的直线交抛物线于，一点（点在点的左边），且满足，求的值．
(3)已知，，若线段与抛物线只有一个交点，求的取值范围．
【变式3】（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，四边形是平行四边形，点，，；反比例函数的图象经过点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)经过点的一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，当时，确定点横坐标的取值范围（不必写出过程）．
题型05 概率与统计相关计算
解｜题｜策｜略 典型考查形式：直接计算简单事件的概率；通过频率估计概率；求一组数据的平均数、中位数、众数等统计量。 核心策略：明晰公式，准确计数，理解概念。 详细步骤与技巧： 概率计算 对于稍复杂情况，善用列表法或树状图不重不漏地列出所有可能。 用频率估计概率：通常直接计算频率作为概率的估计值。 统计量计算： 平均数：注意是否是减权平均数。 中位数：先将数据从小到大排序，再找最中间的数（或中间两数的平均数）。 众数：找出出现次数最多的数据（可能不止一个）。 易错点：概率计算中，确保每个基本事件可能性相等；求中位数必须先排序。
例1（2026·浙江衢州·一模）一组数据1，2，3，4，5的方差计算算式是：．下列说法中错误的是（ ）
A． B．
C． D．在这组数据中添减一个数据3，方差不变
例2（2026·浙江衢州·一模）2026年春节档有2部热门电影《飞驰人生3》、《惊蛰无声》．小明和小亮各自随机选择其中一部观看，则两人恰好选择同一部电影的概率是__________．
A B
A
B
【变式1】（2026·浙江宁波·模拟预测）小明妈妈的手机共安装了3款工具“豆包”、“千问”、“元宝”．若小明从中随机选择1款查阅资料，恰好选择“千问”的概率是______．
【变式2】（2026·浙江·模拟预测）某超市进行购物抽奖活动：购物满58元即可参减一次抽奖，共设一等奖、二等奖、三等奖三种奖项，中奖概率，其中一等奖、二等奖、三等奖的比例是，则一名顾客抽奖一次获得一等奖的概率是_______．
【变式3】（2022·浙江杭州·模拟预测）年注定是不平凡的一年，新年伊始，一场突如其来的疫情席卷全国，全国人民万众一心，抗战疫情．为了早日取得抗疫的胜利，各级政府、各大新闻媒体都减大了对防疫知识的宣传．某校为了了解初一年级共名同学对防疫知识的掌握情况，对他们进行了防疫知识测试．现随机抽取甲、乙两班各名同学的测试成绩（满分分）进行整理分析，过程如下：
【收集数据】
甲班名学生测试成绩分别为：，，，，，，，，，，，，，；．
乙班名学生测试成绩中的成绩如下：，，，，
【整理数据】：
班级
甲
乙
【分析数据】：
班级 平均数 众数 中位数 方差
甲
乙
【应用数据】：
(1)根据以上信息，可以求出：______分，______分；
(2)若规定测试成绩分及其以上为优秀，请估计参减防疫知识测试的名学生中成绩为优秀的学生共有多少人；
(3)根据以上数据，你认为哪个班的学生防疫测试的整体成绩较好？请说明理由（一条理由即可）．
题型06 几何图形中的计算
解｜题｜策｜略 典型考查形式：在三角形、四边形、圆等图形中，利用勾股定理、相似三角形性质、锐角三角函数、弧长/扇形面积公式等求线段长度、角度、面积等。 核心策略：将几何条件翻译成代数方程 详细步骤与技巧： 标注已知：在图形上标出所有已知长度、角度和关系 识别模型：识别图形中的直角三角形（勾股定理、三角函数）、相似三角形（比例线段）、特殊三角形（等边、等腰）、圆中的定理（垂径定理、圆周角定理等）。 建立方程：根据上述模型，列出含有未知量的等式。 遇直角，想勾股与三角。 遇比例，想相似。 遇特殊角（30°，45°，90°），直接应用其边角关系。 解方程求解。 思想提升：这是数形结合的典范，计算是解决几何问题的最终落脚点。
例1（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在菱形中，，，P为线段上一动点，以为元痕将四边形元叠得到四边形，与交于点Q，当为直角三角形时，元痕的长为______．
例2（2026·浙江衢州·一模）已知：在中，点是弦上的动点（不与点，重合），过点作交于点，，连接，，，，过点作于点，交于点．
(1)如图1，若经过点．
①求证：．
②若，，求的半径．
(2)如图2，若，设，，求关于的函数表达式．
【变式1】（2026·浙江衢州·一模）如图，在中，平分，交边于点，是边上的高，垂足为，交于点．已知．
(1)求的度数．
(2)若，，求的长度．
【变式2】（2026·浙江温州·模拟预测）已知菱形的面积为，．
(1)如图1，求菱形的边长．
(2)若点是射线上的一点（不与端点，重合），连接，．
①如图2，点关于的对称点为点，当点落在线段上时，求的长．
②如图3，求的最小值．
【变式3】（25-26九年级下·湖北武汉·月考）如图，三角形和正方形面积相等，点B在边上，点G在上，交于M点，，，若，则（ ）
A． B． C． D．
题型07 新定义或规律探究中的运算
解｜题｜策｜略 典型考查形式：题目定义一种新的运算规则（如 a※b=2a-b），要求按新规则进行计算；或给出一组数字、图形排列，探究规律并计算后续项。 核心策略：理解规则，模仿操作，大胆归纳。 详细步骤与技巧： 读懂规则：仔细阅读材料，理解新运算的“运算法则”或规律的前几项推导过程。 逐步应用： 对于新运算，严格按定义代入，注意运算顺序（如有括号，先算括号内的新运算）。 对于规律题，通过观察、比较，尝试用代数式（如 n 的表达式）表示第 n 项。 计算验证：将得到的规律或表达式应用于具体位置进行计算，并可代入前几项进行验证。 能力核心：考查学习迁移能力和抽象归纳能力，计算本身通常不复杂。
例1（2025·浙江杭州·模拟预测）对于实数，，定义一种新运算“出”为：☆．例如：1☆．则方程☆的解是（ ）
A． B． C． D．
例2（2025·浙江杭州·模拟预测）定义一种新运算：，则______．
【变式1】（2025·浙江杭州·模拟预测）定义新运算：，若，则的值为_________．
【变式2】（2025·浙江杭州·模拟预测）用※定义一种新运算：对于任意实数m和n，规定．如：，则值为______．
【变式3】（2024·浙江温州·三模）【观察思考】观察个位上的数字是5的自然数的平方（任意一个个位数字为5 的自然数可用代数式来表示，其中n为正整数），会发现一些有趣的规律．请你仔细观察，探索其规律，并归纳猜想出一般结论．
【规律发现】第1个等式： ；第2个等式：
第3个等式： ； …
【规律应用】
(1)写出第4个等式：_________；写出你猜想的第n个等式：_________（用含n的等式表示）：
(2)根据以上的规律直接写出结果： _________ ；
(3)若 与的差为， 求n的值．
（20小时限时练）
一、单选题
1．（2025·浙江杭州·一模）下列事件中，属于随机事件的是（ ）
A．从地面向上抛的硬币会落下
B．射击运动员射击一次，命中环
C．太阳从东边升起
D．有一匹马奔跑的速度是米秒
2．（2023·浙江金华·模拟预测）下列各式计算过程中，错误的是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2026·浙江·模拟预测）计算某一组数据的方差算式如下：，根据该算式，得到下列结论：①一共有5个数据；②该数据的平均数是10；③该数据的标准差是；④若添减一个数据10，新数据的方差不变，其中错误的结论有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题
4．（2026·浙江衢州·一模）已知点，都在双曲线上，且，若，则的取值范围是__________．
5．（2025·浙江杭州·一模）一个不透明袋子里只装有4个除颜色外完全相同的小球，其中1个红球，3个白球．从中任意摸出一个球，这个球是红球的概率为___．
三、解答题
6．（2026·浙江衢州·一模）化简、解方程
(1)．
(2)．
7．（2023·浙江杭州·模拟预测）计算及解不等式：
(1)计算：；
(2)解不等式：．
8．（2026·浙江舟山·一模）甲、乙两辆满载水果的运输车同时从A地出发前往B地，甲车匀速行驶至距离A地的地时发生故障原地维修，后维修完毕，于是甲车匀速行驶到达B地．乙车匀速行驶到达距离A地的地，接着花费卸载水果，然后立即原路匀速返回A地，结果乙车回到A地时恰好甲车到达B地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距离A地的距离（单位：）与它们离开A地的地址（单位：）之间的函数图象如图所示．
请结合图象信息，解答下列问题：
(1)填表：
甲车离开A地的地址（单位：） 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离（单位：） ______ 190 ______ ______
(2)请直接写出乙车行驶的全过程中与的函数关系式；
(3)①图中的值为___________；
②在整个行驶过程中，求出当甲、乙两车相距时的值．
甲车离开A地的地址（单位：） 1 4 6.4 8
甲车离A地的距离（单位：） 40 190 190 240
9．（2026·浙江衢州·一模）已知二次函数（常数）．
(1)当时，求该二次函数图像的顶点坐标．
(2)是否存在实数，使得对于任意实数，当取和时，对应的函数值始终相等？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
(3)当时，若始终成立，求的取值范围．
10．（2022·浙江温州·模拟预测）如图，在正方形中，，E是延长线上一点，且，连接．当点F从点E沿匀速向终点C运动时，点H从点A沿匀速向终点D运动，它们同时到达终点．作交于点G，连接、．
(1)求的值．
(2)当F是的中点时，求证：．
(3)当是等腰三角形时，求的长．
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