资源简介

热点02 锐角三角函数与解直角三角形的应用
热点聚焦 方法精讲 能力突破
第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
题型01 单一直角三角形模型
题型02 “母子型”双直角三角形模型
题型03 坡度（坡比）问题
题型04 与圆结合的综合题
题型05 与相似三角形结合题
题型06 方案设计与判断问题
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。
近三年具体考查形式 近三年浙江省中考对该热点的考查覆盖所有题型，但以解答题为主阵地，分值比重高（通常8-12分）。 选择题/填空题：多考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的简单计算或基本概念。 解答题：100%以实际生活、生产情境为背景，如测量高度（塔高、楼高、气球高）、测量距离、坡度（坡比）问题、工程角度（仰角、俯角、方位角）等。题目常以“文字描述+几何图形”的方式呈现。 命题特点 情境真实，应用性强：完全摒弃纯理论计算，所有题目均植根于真实情境（如无人机巡查、视力检测、隧道施工、汽车盲区、古代数学应用等），体现数学的实用价值。 模型经典，结构稳定：核心模型高度统一，即“把实际问题抽象为含有一个或两个直角三角形的几何模型”。解题的关键在于从文字和图形中识别并构造出可解的直角三角形。 融合性强，适度综合：常与相似三角形、勾股定理、圆的基本性质、函数等知识结合考查。例如，2023年台州卷24题（“刻漏”计时）将反比例函数与解直角三角形融合；2025年浙江卷22题（圆与切线）在圆背景下考查解直角三角形。 关注传统文化与数学建模：部分题目素材来源于《九章算术》等古代数学典籍，或涉及现代科技（如无人机、AI识别），考查学生建立数学模型（主要是直角三角形模型）解决新问题的能力。 核心考查内容与能力要求 核心知识： 锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义及特殊角（30°，45°，90°）的函数值。 解直角三角形的理论依据：两锐角互余、勾股定理、边角关系（三角函数）。 核心能力： 几何直观与模型识别能力：能从复杂情境图中准确提取或辅助构造出直角三角形。 数学运算能力：熟练进行三角函数的代数运算及近似计算。 数学建模能力：将文字语言“翻译”为数学图形和等量关系，是解决此类问题的首要且最关键的一步。 应用意识：理解数学结论的实际意义，并能对结果进行合理解释或判断。 趋势展望 预计2026年中考将延续并深化上述特点： 情境更趋新颖多元，可能结合社会热点、科技前沿。 模型复杂度可能微增，如需要连接辅助线构造双直角三角形，或增减中间变量进行等量转化。 对解题过程的逻辑表述要求更规范，强调“建模—求解—回归实际”的完整链条。 2026年中考复习备考方向与策略建议 狠抓基础，固化模型：确保学生熟练掌握单一直角三角形的四种基本解法（知二求其它）。通过专题训练，让学生对“测高”、“测距”、“坡度”等经典模型形成条件反射。 强化“翻译”训练：在复习中，应专门设置“从文字到图形”的建模训练环节。要求学生边读题边标注已知条件（角度、长度），并动手画出对应的几何示意图，这是突破应用题瓶颈的关键。 提升综合与变式能力：设计将解直角三角形与相似三角形、圆、四边形、函数相结合的综合性题目。特别是训练“通过作高，将一般三角形或梯形转化为直角三角形”这一核心辅助线技巧。 规范步骤，关注实际：训练学生规范书写解题过程，包括设未知数、在直角三角形中选择错误的三角函数列出方程、求解、作答（含单位）。强调检验答案的合理性（如高度是否合乎常理）。
题型01 单一直角三角形模型
解｜题｜策｜略 典型题干特征：情境相对简单，通常涉及测量一个目标（如旗杆、小山包）。已知观测点的仰角/俯角和观测者到目标的水平距离（或已知角度与斜边距离），求目标高度；或反之。 核心策略：直接应用锐角三角函数的定义，在一个直角三角形中求解。 实战技巧与步骤： 定模型：根据题意画出单个直角三角形，标出已知的角和边。 选函数：根据已知边和所求边与已知锐角的位置关系，快速选择三角函数： 口诀：有斜用弦（sin/cos），无斜用切（tan）。 详解：若已知或易得斜边，则用正弦或余弦；若只涉及对边和邻边，则用正切。这是减少思路混乱的关键。 列式求解：列出等式，代入数值计算。 易错点提醒：区分“仰角”和“俯角”，确保角度标注在图形错误位置。
例1（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是（ ）
A． B． C． D．
例2（2026·浙江·模拟预测）如图是秋千摆动的示意图，踏板摆动路线是以为圆心，为半径的圆弧的一部分，且米．是弧上距离地面的最低点，且到地面的距离米（踏板厚度忽略不计）．
(1)如图1，当摆绳与成时，点到地面的高度恰为成人的“安全高度”，求的值．（计算结果精确到0.1米）
(2)如图2，儿童在玩秋千时，踏板离地高度超过1.5米就会发生危险，摆绳与的夹角为时，问此儿童是否在“安全高度”范围内．
（参考数据：，，，）
【变式1】（2025·浙江杭州·三模）如图，游乐场有一个长的跷跷板，O为的中点，它的支撑柱垂直于地面，垂足为点H，当一端A着地时，，则支撑柱的长可表示为（　　）
A． B． C． D．
【变式2】（2025·浙江·中考真题）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为________．

【变式3】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图1，是一台大型吊车实物图，如图2，是它的示意图．其中表示地面，吊车高，．
(1)当，点离地面的高度为米时，求吊臂长（保留根号）．
(2)当，吊臂长米时，求点离地面的高度（精确到1米）．（参考数据：）
题型02 “母子型”双直角三角形模型
解｜题｜策｜略 典型题干特征：一个目标的高度无法直接测量，通过在不同位置（或同一位置使用不同设备）进行两次观测，得到两个仰角（或一个仰角一个俯角），并知道两个观测点之间的水平距离。图形上，两个直角三角形共享一条竖直边（待求高）。 核心策略：设元（设高为x），用x表示两个直角三角形的公共水平边，利用基线长建立方程。 实战技巧与步骤： 作高建模：通常需要通过“作高”将原图转化为两个以高为公共边的直角三角形（“母子型”）。 分别表示：在每一个直角三角形中，用待求高x和已知角的正切值，分别表示出观测点到目标底部的水平距离。 建立方程：根据两个观测点之间的位置关系（如在同一侧，则距离差为基线长；在异侧，则距离和为基线长），列出关于x的方程。 求解检验：解方程求出x，并根据实际情况判断答案合理性。 教学关键：让学生反复练习“用同一个未知数x表示不同直角三角形中的边”这一代数转化能力。
例1（2025·浙江温州·模拟预测）如图，小温通过“”软件测得手机镜头点A离地面的高度，垂直地面的小旗杆底端C点的俯角，顶端D点仰角，则可得到小旗杆的高度为（ ）
A． B．
C． D．
例2（2025·浙江·一模）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法．
【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点处同时测得热气球的仰角，，，点在地面的同一条直线上，于点．（测角仪的高度忽略不计）
【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度．（参考数据：，，）
【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空：
（2）如图2，在锐角三角形中，设，，，于点，用含和的代数式表示．
【变式1】（2026·浙江·一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是，测得这栋楼的底部B处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是36米；那么这栋楼的高度是______米（精确到0.01米）．（参考数据：，，，）
【变式2】（2025·浙江舟山·一模）如图，小聪和小明在校园内测量钟楼的高度．小聪在A处测得钟楼顶端N的仰角为，小明在B处测得钟楼顶端N的仰角为，并测得A，B一点之间的距离为米．已知点A，M，B依次在同一直线上．
(1)求钟楼的高度；
(2)学校在钟楼顶端N处拉了一条宣传竖幅，并固定在地面上的C处（点C在线段上）．小聪测得点C处的仰角等于，求的长为多少米？
（参考数据：，结果精确到米）
【变式3】（2025·浙江宁波·一模）如图，在综合实践活动课中，小敏为了测量校园内旗杆的高度，站在教学楼的 处测得旗杆底端的俯角为，测得旗杆顶端的仰角为．若旗杆与教学楼的距离 米，求旗杆的高度．（结果保留根号）
题型03 坡度（坡比）问题
解｜题｜策｜略 典型题干特征：题目中出现“坡度”、“坡角”等表述，背景涉及登山、骑行、堤坝截面等。 核心策略：将坡度转化为坡角α的正切值，即，从而将问题归入解直角三角形模型。 实战技巧与步骤： 概念转化：第一地址将坡度比或坡角转化为直角三角形的边角关系。画出坡面的剖面图，它是一个直角三角形。 知二求一：已知坡度（即tanα）和水平宽度l，可求垂直高度；已知h和i，可求l 。 结合勾股定理：若需求斜坡长（斜面距离），则用勾股定理。 易错点强调：务必区分“水平宽度”与“斜坡长度”，坡度是相对于水平宽度的比，这是命题常设的陷阱。
例1（2025·浙江杭州·一模）图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，支架、踏板的长分别为a，b，，记与地面的夹角为，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离表示错误的是（ ）
A． B．
C． D．
例2（2024·浙江台州·二模）如图，斜面上的小正方体木块的重力大小和方向可以用从点到点的有向线段的表示，由于斜边的支撑，重力会分解成平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力（叫做木块对斜面的正压力），分别用从到的有向线段和从到的有向线段表示．线段的长表示正方体的重力大小，线段和的长分别表示两个分力的大小．根据科学原理，四边形是平行四边形．如果斜面的坡角，小正方体木块的重力为10牛．求：该正方体木块对斜面的正压力（垂直于斜面的分力）的大小．
（温馨提示：，，，结果精确到0.1牛）
【变式1】（2024·浙江宁波·一模）如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．若楔子斜面的倾斜角为，楔子沿水平方向前进5厘米，则木桩上升（ ）

A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
【变式2】（2024·浙江温州·一模）【问题背景】
一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．
【问题探究】
如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角的正切值为2，山坡上点D处测得顶点A的仰角的正切值为，斜坡的坡比为，两观测点的距离为．
学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．
（1）计算C，D一点的垂直高度差．
（2）求顶点A到水平地面的垂直高度．
【问题解决】
为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：
小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角的正切值为；
小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角的正切值为．
（3）请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度．
【变式3】（2023·浙江·模拟预测）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米．

(1)如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？
(2)如图2，若在一个坡度为的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱．求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？
题型04 与圆结合的综合题
解｜题｜策｜略 典型题干特征：题目背景中包含圆（如圆形工件、弧形桥洞、滑轮系统），需要求弦长、半径、或切点间的距离等。 核心策略：利用圆的几何性质构造出可解的直角三角形。 实战技巧与辅助线作法： 遇弦长，作弦心距：求弦长或半径时，连接圆心与弦的中点，构成直角三角形。 遇切线，连半径：出现切线时，连接圆心与切点，得到直角。这是将圆问题转化为解直角三角形的标志性辅助线。 遇直径，连圆周角：题目给出直径时，连接直径端点与圆上第三点，可构造直径所对的圆周角（直角）。 解题路径：先利用圆的性质得到直角和边的关系，再在生成的直角三角形中利用三角函数或勾股定理解题。
例1（2025·浙江宁波·一模）如图， 为直角三角形，且，以O为圆心，为半径作圆与交于点E．过点A作于点F交圆O于点C，延长交圆O于点D，连结交于点M，若圆O的半径为5， 则的长为 _______．
例2（2025·浙江·模拟预测）如图，圆的两条直径是半径上的一点，延长交圆于点，连结交于点．已知，则为（ ）
A． B． C． D．
【变式1】（2024·浙江金华·二模）我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”，估算圆周率近似为3.14．实际上，由圆的面积公式，可得，即求圆周率π的问题就可归结为求圆的面积．而圆的面积S可以用圆内接正多边形的面积来近似估计的，因为当圆的内接正多边形的边数逐渐增减时，它的面积就越来越接近圆的面积．如图，若用半径为2的圆内接正八边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为________（结果保留根号）．

【变式2】（2026·浙江宁波·一模）如图，为直径，C为圆O上一动点，且C在直径上方，连接，，点M为中点，连接，与相交于点N．
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，连接，，当时，求的值；
(3)如图3，作于H，，与交于点K（点K在下方），与交于点E．若，，求：
①的直径；
②的长．
【变式3】（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，为边上一点，以为半径作圆，分别交，，于点，已知为的平分线．
(1)求证：与圆相切．
(2)连接，若，求的值．
(3)若，求圆的圆长．
题型05 与相似三角形结合题
解｜题｜策｜略 典型题干特征：图形中存在明显的相似三角形（如平行线、公共角），或需要通过证明相似才能得到边比关系。 核心策略：分两步走：①先用相似三角形性质求出相关线段的比例关系；②将比例关系代入包含特殊角的直角三角形中，利用三角函数求出具体数值。 实战技巧： 先找相似，再找直角：首先识别或证明图形中的相似三角形（如“A字型”、“8字型”），建立比例式。 比例代入：通过比例式，将未知边长用同一个未知数表示，从而简化后续在直角三角形中的运算。 结合解：在包含特殊角（30°、45°、90°）的直角三角形中，利用边角关系或三角函数列出方程，求解未知数。 价值：此题型综合性强，能有效考查学生几何知识网络的整合能力。
例1（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面直径AB＝（　　）
A． B．
C．（6﹣4tanα）cm D．（6﹣8tanα）cm
例2（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于A，交y轴于B，C为x轴负半轴一点，的面积为30．
(1)如图1，求直线BC的解析式；
(2)如图2，D为OA上一点，E为射线BC上一点，，求的值；
(3)如图3，在（2）的条件下，交x轴于F，G为DE上一点，，交BG的延长线于H，连接OE，若，ED平分，求点H的坐标．
【变式1】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图1，在四边形中，，，是边上一点，线段的垂直平分线分别交，于点，，连结，．
(1)求证：．
(2)如图2，连结交于点．若，求证：．
(3)如图3，已知，．若，，求的长．
【变式2】（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形的一边在轴上，轴，轴，已知，，，过点A的双曲线与交于点，点从点A出发沿射线运动，点从点出发沿轴正半轴运动，点、同时出发，运动速度分别是以每秒2个单位和4个单位，运动的地址设为．
(1)求点的坐标；
(2)当时，求的面积；
(3)是否存在是直角三角形的情况，如果存在，请求出地址的值，如果不存在，说明理由．
【变式3】（2023·浙江·模拟预测）如图1，．D为射线上一动点，连结，E为线段的中点，连结，过点E作，交的延长线于点F，设．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)如图2，N为的中点，连结NE，若与相似，求的长；
(3)若为等腰三角形，请直接写出的正切值．
题型06 方案设计与判断问题
解｜题｜策｜略 典型题干特征：提供一种实际测量方案（如利用镜子反射、标杆阴影）或一个设备的技术参数（如无人机最小仰角、摄像头视野角），要求判断方案是否可行、计算某个设计参数或比较不同方案。 核心策略：将文字描述的方案或技术参数，精准“翻译”为解直角三角形的数学模型。 实战技巧与步骤： 抽象建模：仔细阅读方案，提取关键几何元素：哪些是点（观测点、目标点）？哪些是线（视线、水平线）？形成了哪些角（仰角、俯角、视角）？据此画出几何示意图。 参数转化：将“最小识别距离50米”、“视角为120°”等参数，转化为直角三角形中的边和角。 计算判断：在建立的模型中，通过解三角形计算出所需数据（如实际高度、距离），再与方案要求（如“高度超过4米则报警”）进行比较，得出结论。 能力侧重：此题重点考查数学建模能力和应用意识，要求学生能“从生活走向数学，再从数学回归生活”。
例1（2025·浙江丽水·二模）根据以下素材，探索完成任务．
问题：如何测量出路灯的灯杆和灯管支架的长度
素材1 如图1，一种路灯由灯杆和灯管支架两部分构成，已知灯杆与地面垂直，灯管支架与灯杆的夹角．
素材2 如图2，在路灯正前方的点处测得，,．
素材3 用计算器算得，，．
问题解决
任务1 求灯杆的长度．
任务2 求灯管支架的长度．（结果精确到）
例2（2025·浙江湖州·一模）纵观古今，解码测量背后的数学智慧．
(1)【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，，与交于点F．测得米，米，米，求树的高度．
(2)【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（的长）．（精确到1米）
测量示意图 方案说明
方案一 无人机位于海拔高度为90米的C处，测得与山顶A处的仰角为，与山脚D处的俯角为． （参考数据：，，）
方案二 当无人机位于海拔高度为90米的C处时，测得与山顶A处的仰角为；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角为． （参考数据：，，）
【变式1】（2024·浙江·模拟预测）具有河南十大地标的“中国文字博物馆”位于安阳市，是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，甲、乙两个小组分别设计了如下方案：
课题：测量大门高度
小明的研究报告 小红的研究报告
测量 示意图
测量方案与测量 在点处用距离地面高度为的测角仪测出大门顶端的仰角 在点处放一面镜子，他站在的位置通过，镜子反射刚好看到大门顶端处，同时他还测自己眼睛到地面的距离是，他到大门的距离是，
参考数据 ，，， ，，，
计算大门高度
(1)数学老师看了他们的测量方案后说：“其中一名同学的测量方案存在问题，不能得到测量结果．”你认为_的测量方案存在问题，并提出修改建议．
(2)结合小红的测量方案能计算出中华文字博物馆大门的高度吗？若能，请写出计算过程，并将结果精确到0.1米；若不能，请说明理由．
【变式2】（2023·浙江温州·二模）根据以下素材，探索完成任务．
项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好的推广太阳能，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究．
素 材 一 将电池板的侧面摆放情况抽象成如图所示的数学示意图，其中第一排电池板位置固定，第二排位置待确定，每块电池板与坡面夹角固定不变，，所在的直线垂直于水平线，坡面，，，， 参考数据： ，，
素 材 二 上午太阳光线与水平线的夹角范围为，为阴影长，为了使得太阳能电池板有充足的阳光照射，点H要落在阴影外面．
问题解决
任 务 一 计算角度 当等于时，______．
任 务 二 探究影长 求在斜坡上的阴影的取值范围（精确到）．
任 务 三 方案选择（选择其中的一种方案进行研究） 方案一：若在该斜坡上安装3排的电池板，每一排之间的间距相同，在充分利用斜坡的情况下，电池板之间的最小间距为多少（精确到）． 方案二：若在该斜坡上安装2排电池板，电池板与坡面夹角保持不变，那么原来长的电池板最小可以定制多长（精确到）．
【变式3】（2024·浙江宁波·三模）【问题背景】
一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．
【问题探究】
如图2，在坡角点处测得旗杆顶点的仰角的正切值为3，山坡上点处测得顶点的仰角的正切值为．斜坡的坡比为，两观测点的距离为．
学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．
任务1：计算，一点的垂直高度差．
任务2：求顶点到水平地面的垂直高度．
【问题解决】
为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：
小组一：在坡角点处测得旗杆底部点的仰角的正切值为；
小组二：在山坡上点处测得旗杆底部点的俯角的正切值为．
任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度．
（20小时限时练）
一、单选题
1．（2023·浙江金华·二模）如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于（ ）米．
A． B．
C． D．
2．（2025·浙江·模拟预测）如图，菱形的边在x轴上，点A在y轴上，菱形的边，若，，则点F的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
3．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，，分别以点、为圆心，、的长为半径作弧，与交于点、．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
4．（2026·浙江宁波·一模）如图，点E在菱形的边上，将沿元叠，使点D的对应点F恰好落在边上．若，则的值是________．
5．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，的平分线交边于点D，边上的高与交于点F，已知，，，则的长为________．
6．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，已知，点，， ，，在射线上，点、、， ，在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的面积为_____．
三、解答题
7．（2026·浙江·模拟预测）如图，一款杯子的轴截面可以抽象成等腰梯形（，，），某同学想知道该杯子最小盛水高度（即C到的距离）与杯子内底面的直径，通过测量，得到了如下数据：，．请帮该同学计算：
(1)杯子最小盛水高度：
(2)内底面的直径（的长度）
8．（2026·浙江温州·一模）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛A的正北方向，且三点在一条直线上，．
(1)求岛与港口之间的距离．
(2)求．（参考数据：）
9．（2024·浙江绍兴·二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，)
(1)如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度；
(2)调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长．结果精确到）
10．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知：在中，．
(1)如图1，求的面积．
(2)如图2，点在边上，将沿射线方向平移至，使得点与点重合．
①连接．求的面积．
②如图3，将绕点旋转至，边与线段的延长线交于点，连接．当时，求的最小值．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)热点02 锐角三角函数与解直角三角形的应用
热点聚焦 方法精讲 能力突破
第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
题型01 单一直角三角形模型
题型02 “母子型”双直角三角形模型
题型03 坡度（坡比）问题
题型04 与圆结合的综合题
题型05 与相似三角形结合题
题型06 方案设计与判断问题
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。
近三年具体考查形式 近三年浙江省中考对该热点的考查覆盖所有题型，但以解答题为主阵地，分值比重高（通常8-12分）。 选择题/填空题：多考查特殊角的三角函数值、锐角三角函数的简单计算或基本概念。 解答题：100%以实际生活、生产情境为背景，如测量高度（塔高、楼高、气球高）、测量距离、坡度（坡比）问题、工程角度（仰角、俯角、方位角）等。题目常以“文字描述+几何图形”的方式呈现。 命题特点 情境真实，应用性强：完全摒弃纯理论计算，所有题目均植根于真实情境（如无人机巡查、视力检测、隧道施工、汽车盲区、古代数学应用等），体现数学的实用价值。 模型经典，结构稳定：核心模型高度统一，即“把实际问题抽象为含有一个或两个直角三角形的几何模型”。解题的关键在于从文字和图形中识别并构造出可解的直角三角形。 融合性强，适度综合：常与相似三角形、勾股定理、圆的基本性质、函数等知识结合考查。例如，2023年台州卷24题（“刻漏”计时）将反比例函数与解直角三角形融合；2025年浙江卷22题（圆与切线）在圆背景下考查解直角三角形。 关注传统文化与数学建模：部分题目素材来源于《九章算术》等古代数学典籍，或涉及现代科技（如无人机、AI识别），考查学生建立数学模型（主要是直角三角形模型）解决新问题的能力。 核心考查内容与能力要求 核心知识： 锐角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义及特殊角（30°，45°，90°）的函数值。 解直角三角形的理论依据：两锐角互余、勾股定理、边角关系（三角函数）。 核心能力： 几何直观与模型识别能力：能从复杂情境图中准确提取或辅助构造出直角三角形。 数学运算能力：熟练进行三角函数的代数运算及近似计算。 数学建模能力：将文字语言“翻译”为数学图形和等量关系，是解决此类问题的首要且最关键的一步。 应用意识：理解数学结论的实际意义，并能对结果进行合理解释或判断。 趋势展望 预计2026年中考将延续并深化上述特点： 情境更趋新颖多元，可能结合社会热点、科技前沿。 模型复杂度可能微增，如需要连接辅助线构造双直角三角形，或增减中间变量进行等量转化。 对解题过程的逻辑表述要求更规范，强调“建模—求解—回归实际”的完整链条。 2026年中考复习备考方向与策略建议 狠抓基础，固化模型：确保学生熟练掌握单一直角三角形的四种基本解法（知二求其它）。通过专题训练，让学生对“测高”、“测距”、“坡度”等经典模型形成条件反射。 强化“翻译”训练：在复习中，应专门设置“从文字到图形”的建模训练环节。要求学生边读题边标注已知条件（角度、长度），并动手画出对应的几何示意图，这是突破应用题瓶颈的关键。 提升综合与变式能力：设计将解直角三角形与相似三角形、圆、四边形、函数相结合的综合性题目。特别是训练“通过作高，将一般三角形或梯形转化为直角三角形”这一核心辅助线技巧。 规范步骤，关注实际：训练学生规范书写解题过程，包括设未知数、在直角三角形中选择错误的三角函数列出方程、求解、作答（含单位）。强调检验答案的合理性（如高度是否合乎常理）。
题型01 单一直角三角形模型
解｜题｜策｜略 典型题干特征：情境相对简单，通常涉及测量一个目标（如旗杆、小山包）。已知观测点的仰角/俯角和观测者到目标的水平距离（或已知角度与斜边距离），求目标高度；或反之。 核心策略：直接应用锐角三角函数的定义，在一个直角三角形中求解。 实战技巧与步骤： 定模型：根据题意画出单个直角三角形，标出已知的角和边。 选函数：根据已知边和所求边与已知锐角的位置关系，快速选择三角函数： 口诀：有斜用弦（sin/cos），无斜用切（tan）。 详解：若已知或易得斜边，则用正弦或余弦；若只涉及对边和邻边，则用正切。这是减少思路混乱的关键。 列式求解：列出等式，代入数值计算。 易错点提醒：区分“仰角”和“俯角”，确保角度标注在图形错误位置。
例1（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，河堤横断面迎水坡的坡比是，堤高，则坡面的长度是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】直接利用坡比的定义得出的长，进而利用勾股定理得出答案．
【详解】解：河堤横断面迎水坡的坡比是，
，
，
解得：，
故．
例2（2026·浙江·模拟预测）如图是秋千摆动的示意图，踏板摆动路线是以为圆心，为半径的圆弧的一部分，且米．是弧上距离地面的最低点，且到地面的距离米（踏板厚度忽略不计）．
(1)如图1，当摆绳与成时，点到地面的高度恰为成人的“安全高度”，求的值．（计算结果精确到0.1米）
(2)如图2，儿童在玩秋千时，踏板离地高度超过1.5米就会发生危险，摆绳与的夹角为时，问此儿童是否在“安全高度”范围内．
（参考数据：，，，）
【答案】(1)米
(2)此儿童在“安全高度”范围内
【分析】（1）过点A作，得三角形，在中利用直角三角形的边角关系求出，利用线段的和差关系、三角形的性质求出h；
（2）过点A作，得三角形，在中利用直角三角形的边角间关系求出，利用线段的和差关系、三角形的性质求出，再判断是否安全范围．
【详解】（1）解：过点A作，垂足为E．
由题意可知，四边形为三角形．
∴．
∵米，米，
∴米．
在中，
∵，
∴（米）．
∴（米）．
答：点A到地面的高度h的值约为2.0米．
（2）解：过点A作，垂足为E．
由题意可知，四边形为三角形．
∴．
∵米，米，
∴米．
在中，
∵，
∴（米）．
∴（米）．
∵，
∴踏板A在“安全高度”范围内．
【变式1】（2025·浙江杭州·三模）如图，游乐场有一个长的跷跷板，O为的中点，它的支撑柱垂直于地面，垂足为点H，当一端A着地时，，则支撑柱的长可表示为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据线段中点的定义可得，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可．
【详解】解：为的中点，，
，
在中，，
，
．
【变式2】（2025·浙江·中考真题）无人机警戒在高速公路场景中的应用，是我国低空经济高质量发展的重要实践方向．如图，在高速公路上，交警在A处操控无人机巡查，无人机从点A处飞行到点P处悬停，探测到它的正下方公路上点B处有汽车发生故障．测得A处到P处的距离为，从点A观测点P的仰角为，则A处到B处的距离为________．

【答案】
【分析】利用仰角的余弦解答即可．
本题考查了仰角的计算，熟练掌握角的余弦是解题的关键．
【详解】解：根据题意，得，
故答案为：．
【变式3】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图1，是一台大型吊车实物图，如图2，是它的示意图．其中表示地面，吊车高，．
(1)当，点离地面的高度为米时，求吊臂长（保留根号）．
(2)当，吊臂长米时，求点离地面的高度（精确到1米）．（参考数据：）
【答案】(1)吊臂长为米
(2)点B距离地面的高度约为50米
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用．
（1）作于点，交于点，易得四边形是三角形，先求出的长，再根据，可计算出吊臂的长；
（2）根据计算出的长，进而可得出答案．
【详解】（1）解：如图，作于点，交于点，
则四边形是三角形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴吊臂长为米；
（2）解：∵，
∴，
∴．
∴点B距离地面的高度约为50米．
题型02 “母子型”双直角三角形模型
解｜题｜策｜略 典型题干特征：一个目标的高度无法直接测量，通过在不同位置（或同一位置使用不同设备）进行两次观测，得到两个仰角（或一个仰角一个俯角），并知道两个观测点之间的水平距离。图形上，两个直角三角形共享一条竖直边（待求高）。 核心策略：设元（设高为x），用x表示两个直角三角形的公共水平边，利用基线长建立方程。 实战技巧与步骤： 作高建模：通常需要通过“作高”将原图转化为两个以高为公共边的直角三角形（“母子型”）。 分别表示：在每一个直角三角形中，用待求高x和已知角的正切值，分别表示出观测点到目标底部的水平距离。 建立方程：根据两个观测点之间的位置关系（如在同一侧，则距离差为基线长；在异侧，则距离和为基线长），列出关于x的方程。 求解检验：解方程求出x，并根据实际情况判断答案合理性。 教学关键：让学生反复练习“用同一个未知数x表示不同直角三角形中的边”这一代数转化能力。
例1（2025·浙江温州·模拟预测）如图，小温通过“”软件测得手机镜头点A离地面的高度，垂直地面的小旗杆底端C点的俯角，顶端D点仰角，则可得到小旗杆的高度为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，三角形的性质与判定，过点作于，则四边形是三角形，则，解得到，解得到，据此根据线段得和差关系可得答案．
【详解】解：如图所示，过点作于，则四边形是三角形，
∴，
在中，，
在中，，
∴，
．
例2（2025·浙江·一模）综合与实践
在综合与实践课上，数学兴趣小组通过测算某热气球的高度，探索实际生活中测量高度（或距离）的方法．
【实践活动】如图1，小明、小亮分别在点处同时测得热气球的仰角，，，点在地面的同一条直线上，于点．（测角仪的高度忽略不计）
【问题解决】（1）计算热气球离地面的高度．（参考数据：，，）
【方法归纳】小亮发现，原来利用解直角三角形的知识可以解决实际生活中测量问题，其一般过程为：从实际问题抽象出数学问题，再通过解直角三角形得出实际问题的答案．爱思考的小明类比该方法求得锐角三角形一边上的高．根据他的想法与思路，完成以下填空：
（2）如图2，在锐角三角形中，设，，，于点，用含和的代数式表示．
【答案】（1）的高度为；（2）
【分析】本题主要考查解直角三角形，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握三角函数是解题的关键．
（1）根据等腰三角形的判定和性质证明，设，根据进行计算即可；
（2）根据三角函数进行化简计算即可．
【详解】解：（1）
设，
，
解得，
答：的高度为；
（2）解：设，
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
解得．
即．
【变式1】（2026·浙江·一模）如图，热气球探测器显示，从热气球A处测得一栋楼顶部C处的仰角是，测得这栋楼的底部B处的俯角是，热气球与这栋楼的水平距离是36米；那么这栋楼的高度是______米（精确到0.01米）．（参考数据：，，，）
【答案】89.28
【分析】本题考查解直角三角形的应用，作，分别解和，求出的长，再根据线段的和差关系进行求解即可．
【详解】解：作，由题意，米，
在中，米，
在中，米，
∴；
故这栋楼的高度是89.28米；
故答案为：89.28．
【变式2】（2025·浙江舟山·一模）如图，小聪和小明在校园内测量钟楼的高度．小聪在A处测得钟楼顶端N的仰角为，小明在B处测得钟楼顶端N的仰角为，并测得A，B一点之间的距离为米．已知点A，M，B依次在同一直线上．
(1)求钟楼的高度；
(2)学校在钟楼顶端N处拉了一条宣传竖幅，并固定在地面上的C处（点C在线段上）．小聪测得点C处的仰角等于，求的长为多少米？
（参考数据：，结果精确到米）
【答案】(1)17.3米
(2)1.3米
【分析】本题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题，熟练掌握锐角三角函数的定义是解答本题的关键．
（1）设米，在中，可得米．在中，根据，可得米，进而可得，求出的值即可．
（2）在中，可得，代入计算即可．
【详解】（1）解：设米，
在中，，
∴米．
在中，，
∴，
∴米，
∵，一点之间的距离为27.3米，
∴，
解得，
∴钟楼的高度约17.3米．
（2）在中，，
∴，
∴（米）．
答：的约长1.3米．
【变式3】（2025·浙江宁波·一模）如图，在综合实践活动课中，小敏为了测量校园内旗杆的高度，站在教学楼的 处测得旗杆底端的俯角为，测得旗杆顶端的仰角为．若旗杆与教学楼的距离 米，求旗杆的高度．（结果保留根号）
【答案】米
【分析】本题考查了解直角三角形的相关应用，根据题意可得，利用，求出的长度，利用求出的长，最后根据求出结果即可．
【详解】解：由题意得
，
，
，
，
，
即旗杆的高度为米．
题型03 坡度（坡比）问题
解｜题｜策｜略 典型题干特征：题目中出现“坡度”、“坡角”等表述，背景涉及登山、骑行、堤坝截面等。 核心策略：将坡度转化为坡角α的正切值，即，从而将问题归入解直角三角形模型。 实战技巧与步骤： 概念转化：第一地址将坡度比或坡角转化为直角三角形的边角关系。画出坡面的剖面图，它是一个直角三角形。 知二求一：已知坡度（即tanα）和水平宽度l，可求垂直高度；已知h和i，可求l 。 结合勾股定理：若需求斜坡长（斜面距离），则用勾股定理。 易错点强调：务必区分“水平宽度”与“斜坡长度”，坡度是相对于水平宽度的比，这是命题常设的陷阱。
例1（2025·浙江杭州·一模）图1、图2分别是某种型号跑步机的实物图与示意图．已知跑步机手柄与地面平行，支架、踏板的长分别为a，b，，记与地面的夹角为，则跑步机手柄所在直线与地面之间的距离表示错误的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是错误解答此题的关键．
过点作，交直线于，延长，交直线于，根据正弦的定义求出，根据余弦的定义求出，计算即可．
【详解】解：如图，过点作，交直线于，延长，交直线于，
在中，，，则，
，
，
，
，
，
手柄所在直线与地面之间的距离为：，
故答案为：A.
例2（2024·浙江台州·二模）如图，斜面上的小正方体木块的重力大小和方向可以用从点到点的有向线段的表示，由于斜边的支撑，重力会分解成平行于斜面的分力和垂直于斜面的分力（叫做木块对斜面的正压力），分别用从到的有向线段和从到的有向线段表示．线段的长表示正方体的重力大小，线段和的长分别表示两个分力的大小．根据科学原理，四边形是平行四边形．如果斜面的坡角，小正方体木块的重力为10牛．求：该正方体木块对斜面的正压力（垂直于斜面的分力）的大小．
（温馨提示：，，，结果精确到0.1牛）
【答案】该正方体木块对斜面的正压力约为9.4牛．
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题．根据题意求出，再根据余弦的定义计算，得到答案．
【详解】解：，，
，
在中，，牛，
，
（牛），
答：该正方体木块对斜面的正压力约为9.4牛．
【变式1】（2024·浙江宁波·一模）如图，将一个形状的楔子从木桩的底端点P沿水平方向打入木桩底下，可以使木桩向上运动．若楔子斜面的倾斜角为，楔子沿水平方向前进5厘米，则木桩上升（ ）

A．厘米 B．厘米 C．厘米 D．厘米
【答案】A
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用坡度坡角问题，熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据正切的定义计算，得到答案．
【详解】解：由题意可知：在中，，厘米，
，
（厘米），
．
【变式2】（2024·浙江温州·一模）【问题背景】
一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．
【问题探究】
如图2，在坡角点C处测得旗杆顶点A的仰角的正切值为2，山坡上点D处测得顶点A的仰角的正切值为，斜坡的坡比为，两观测点的距离为．
学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．
（1）计算C，D一点的垂直高度差．
（2）求顶点A到水平地面的垂直高度．
【问题解决】
为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：
小组一：在坡角点C处测得旗杆底部点B的仰角的正切值为；
小组二：在山坡上点D处测得旗杆底部点B的俯角的正切值为．
（3）请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度．
【答案】（1）C，D一点的垂直高度差；（2）顶点A到水平地面的垂直高度；（3）若选择小组一：旗杆的高度为；若选择小组二：旗杆的高度为
【分析】本题主要考查了解直角三角形的应用，三角形的判定和性质，三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握三角形函数的定义．
（1）作交于点H，根据斜坡的坡比为，，求出，即可；
（2）延长DG交于M，延长交延长线于N，根据的正切值为2，仰角的正切值为，得出，，设，则，，，得出，求出a的值即可得出答案；
（3）根据测出的仰角或俯角的正切值，解直角三角形得出答案即可．
【详解】解：（1）作交于点H，
斜坡的坡比为，
∴设，，
∴，
∵，
∴，
解得：
，，
C，D一点的垂直高度差；
（2）延长DG交于M，延长交延长线于N，
∵的正切值为2，仰角的正切值为，
∴，，
∵，
∴四边形为三角形，
∴，，
设，则，，，
，
解得，
，，，
顶点A到水平地面的垂直高度；
（3）小组一：∵的正切值为，
∴，
∵，
，
；
小组二：∵的正切值为，
∴，
∵，
∴，
∵，
．
【变式3】（2023·浙江·模拟预测）某种电缆在空中架设时，两端挂起的电缆下垂都近似成抛物线的形状，现按操作要求，电缆最低点离水平地面不得小于6米．

(1)如图1，若水平距离间隔80米建造一个电缆塔柱，求此电缆塔柱用于固定电缆的位置离地面至少应有多少米的高度？
(2)如图2，若在一个坡度为的斜坡上，按水平距离间隔50米架设两固定电缆的位置离地面高度为20米的塔柱．求这种情况下在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为多少米？
【答案】(1)22米
(2)米
【分析】（1）由题意，最低点的横坐标是40，代入函数表达式中可求得高度即可；
（2）以点D为坐标原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图，利用待定系数法求得抛物线的解析式为，直线的解析式为，设为抛物线上一点，过点M作轴于F，交于G，则，由可求解．
【详解】（1）解：由题意，最低点的横坐标是40，则，
（米），
答：固定电缆的位置离地面至少应有22米的高度；
（2）解：以点D为坐标原点，方向为x轴正方向建立平面直角坐标系，如图，
设此时抛物线的解析式为，
由于斜坡的坡度为，且米，
∴米，
而（米），
∴；
∵，
，坐标一点分别代入解析式中，得
，解得，
∴，
即，
即抛物线的顶点坐标为；
过点M作轴于F，交于G，
∵坡度为，
∴（米），
∴（米），
答：在竖直方向上，下垂的电缆与地面的最近距离为米．
【点睛】本题考查二次函数在实际生活中应用、坡度问题，熟练掌握二次函数的性质是解答的关键．
题型04 与圆结合的综合题
解｜题｜策｜略 典型题干特征：题目背景中包含圆（如圆形工件、弧形桥洞、滑轮系统），需要求弦长、半径、或切点间的距离等。 核心策略：利用圆的几何性质构造出可解的直角三角形。 实战技巧与辅助线作法： 遇弦长，作弦心距：求弦长或半径时，连接圆心与弦的中点，构成直角三角形。 遇切线，连半径：出现切线时，连接圆心与切点，得到直角。这是将圆问题转化为解直角三角形的标志性辅助线。 遇直径，连圆周角：题目给出直径时，连接直径端点与圆上第三点，可构造直径所对的圆周角（直角）。 解题路径：先利用圆的性质得到直角和边的关系，再在生成的直角三角形中利用三角函数或勾股定理解题。
例1（2025·浙江宁波·一模）如图， 为直角三角形，且，以O为圆心，为半径作圆与交于点E．过点A作于点F交圆O于点C，延长交圆O于点D，连结交于点M，若圆O的半径为5， 则的长为 _______．
【答案】
【分析】本题主要考查了圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、正切的意义等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
如图：连接，易得，再根据等腰三角形的性质、圆周角定理以及等量代换可得，再根据正切的意义可得，再证明，并运用相似三角形的性质即可解答．
【详解】解∶如图：连接，
∵圆O的半径为5，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，即，
∵，
∴，，
∴，
∵
∴设，则，
∴，解得：(舍弃负值)，
∴，
∵，，
∴，
∴，即，解得：．
故答案： ．
例2（2025·浙江·模拟预测）如图，圆的两条直径是半径上的一点，延长交圆于点，连结交于点．已知，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题主要考查了解直角三角形，相似三角形的性质与判定，直径所对的圆周角是直角，设，则，由勾股定理得到，解直角三角形得到；则可求出，，证明，则，，进而得到，证明，得到，据此可得答案．
【详解】解：如图所示，过点F作于H，连接，
∵，
∴可设，则，
∴，
∴；
∵是的直径，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∴，
．
【变式1】（2024·浙江金华·二模）我国魏晋时期数学家刘徽首创“割圆术”，估算圆周率近似为3.14．实际上，由圆的面积公式，可得，即求圆周率π的问题就可归结为求圆的面积．而圆的面积S可以用圆内接正多边形的面积来近似估计的，因为当圆的内接正多边形的边数逐渐增减时，它的面积就越来越接近圆的面积．如图，若用半径为2的圆内接正八边形面积近似估计圆的面积，可得的估计值为________（结果保留根号）．

【答案】
【分析】本题考查正多边形和圆，解直角三角形，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．利用多边形圆心角公式得到，作于点，利用解直角三角形得到，进而得到，再根据进行计算，即可解题．
【详解】解：由题知，图中，，
作于点，

有，
，
的估计值为；
故答案为：．
【变式2】（2026·浙江宁波·一模）如图，为直径，C为圆O上一动点，且C在直径上方，连接，，点M为中点，连接，与相交于点N．
(1)如图1，连接，求证：；
(2)如图2，连接，，当时，求的值；
(3)如图3，作于H，，与交于点K（点K在下方），与交于点E．若，，求：
①的直径；
②的长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)①；②
【分析】（1）由垂径定理可得，再由圆周角定理得出，即可得证；
（2）连接交于点，由垂径定理可得，，证明为的中位线，得出，再由垂径定理可得，由圆周角定理可得，证明，得出，求出，由勾股定理可得，即可得出，最后由正切的定义计算即可得出结果；
（3）①延长交于点，由题意可得，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，再证明，得出，最后再由勾股定理计算即可得出结果；
②设，则，证明，求出，，由勾股定理可得，，求出，由①可得，，过点作于点，设，则，，求出，，，由勾股定理可得，，则，连接，则，证明，得出，代入计算即可得出结果
【详解】（1）证明：∵点M为中点，
∴，
∵为直径，
∴，即，
∴；
（2）解：如图，连接交于点，
∵点M为中点，
∴，，
∵为的中点，
∴为的中位线，
∴，
∵，
∴，
∵为直径，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
（3）解：①延长交于点，
∵点M为中点，
∴，
∵，且为直径，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴；
②设，则，
∵为直径，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得：（不不符合题意，舍去），，
∴，，
∴，，
∴，
由①可得：，，
∵，
∴，
过点作于点，
设，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，，，
∴，，
∴，
连接，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【变式3】（2025·浙江·模拟预测）如图，在中，，为边上一点，以为半径作圆，分别交，，于点，已知为的平分线．
(1)求证：与圆相切．
(2)连接，若，求的值．
(3)若，求圆的圆长．
【答案】(1)见解析
(2)
(3)
【分析】本题主要考查了解直角三角形，切线的性质，等腰三角形的性质与判定，圆周角定理等等，熟知圆的相关知识是解题的关键．
（1）连接．根据角平分线的定义和等边对等角可证明，则可证明，得到．据此可证明结论；
（2）根据垂径定理和弧与圆周角之间的关系可证明．则可得到，求出，得到，，则，得到，据此证明，则可证明结论．
（3）连接，过点作于点．解直角三角形得到，则．设，则．由等面积法得到， 则．解直角三角形求出即可得到答案．
【详解】（1）证明：如图1，连接．
平分，
．
，
，
，
，
．
又是圆的半径，
与圆相切．
（2）解：平分，
．
，
．
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
，
．
（3）解：如图2，连接，过点作于点．
是直径，
．
，
∴，
∴，
．
设，则．
，
∴，
∴．
，
∴，
，
．
圆的圆长为．
题型05 与相似三角形结合题
解｜题｜策｜略 典型题干特征：图形中存在明显的相似三角形（如平行线、公共角），或需要通过证明相似才能得到边比关系。 核心策略：分两步走：①先用相似三角形性质求出相关线段的比例关系；②将比例关系代入包含特殊角的直角三角形中，利用三角函数求出具体数值。 实战技巧： 先找相似，再找直角：首先识别或证明图形中的相似三角形（如“A字型”、“8字型”），建立比例式。 比例代入：通过比例式，将未知边长用同一个未知数表示，从而简化后续在直角三角形中的运算。 结合解：在包含特殊角（30°、45°、90°）的直角三角形中，利用边角关系或三角函数列出方程，求解未知数。 价值：此题型综合性强，能有效考查学生几何知识网络的整合能力。
例1（2022·浙江杭州·模拟预测）如图，图1是装了液体的高脚杯示意图（数据如图），用去一部分液体后如图2所示，此时液面直径AB＝（　　）
A． B．
C．（6﹣4tanα）cm D．（6﹣8tanα）cm
【答案】B
【分析】高脚杯前后的两个三角形是相似的，根据相似三角形对应线段成比例即可求解．
【详解】解：如图：过O作OM⊥CD，垂足为M，过O′作O′N⊥AB，垂足为N，
∵CD∥AB，
∴△CDO∽ABO′，即相似比为，
∴＝，
∵tan＝，
∴OM＝＝，
∵O′N＝OM﹣（15﹣11）＝cm，
∴＝，
∴AB＝6﹣8tan．
．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用和解直角三角形，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
例2（2025·浙江杭州·模拟预测）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线交x轴于A，交y轴于B，C为x轴负半轴一点，的面积为30．
(1)如图1，求直线BC的解析式；
(2)如图2，D为OA上一点，E为射线BC上一点，，求的值；
(3)如图3，在（2）的条件下，交x轴于F，G为DE上一点，，交BG的延长线于H，连接OE，若，ED平分，求点H的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题属于一次函数与几何综合问题，主要考查了一次函数的性质、旋转模型、特殊角的三角函数值等知识，构造合适的辅助线成为解答本题的关键．
（1）先根据题意表示出点C和点B的坐标，运用待定系数法即可求解；
（2）过D作交AB于M，可得出，建立等式，即可求出的值；
（3）过E作于点I，可得可求出，即可得到．设交于点R，过R作于N，根据三角函数可得，过H作轴于点K．再利用相似求出点H的坐标．
【详解】（1）解：令，则．
．
当时，．
．
，
．
．
设直线BC的解析式为．
由题意，得
∴直线BC的解析式为．
（2）过D作交AB于M．
，
．
．
．
即
，
．
．
．
．即．
，
．即．
（3）
．
．
．
．
．
．
过E作于点I．则．
．
．即．
．
．
．
．
，
．
，
．
．
．
．
，
．
．
，
．
设交于点R，过R作于N，则
．
．
设．
．
．
．
．
．在中，
．
．
过H作轴于点K．
．
．
．
．
．
【变式1】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图1，在四边形中，，，是边上一点，线段的垂直平分线分别交，于点，，连结，．
(1)求证：．
(2)如图2，连结交于点．若，求证：．
(3)如图3，已知，．若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)
【分析】（1）连接，利用全等三角形的判定证明得到，再推理出得到，根据垂直平分线的性质即可求解；
（2）利用相似三角形的判定方法证出，得到后转化为，再利用三角形面积的比值关系推导出即可；
（3）过点作于，设，，利用三角函数的比值关系用含的式子表达出的长即可求解．
【详解】（1）证明：如图，连接，
∵，，，
∴（SSS），
∴，
又∵，，
∴（SAS），
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴，
∴，
即，
又∵，
∴，
∴为的平分线，
∴点到，的距离相等，
∴，
∴；
（3）解：如图，过点作于，
∵由（1），
∴，
∵，
∴设，，
则，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了垂径定理，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角函数解直角三角形等知识点，合理作出辅助线和利用好边的比值关系是解题的关键．
【变式2】（2023·浙江金华·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，四边形的一边在轴上，轴，轴，已知，，，过点A的双曲线与交于点，点从点A出发沿射线运动，点从点出发沿轴正半轴运动，点、同时出发，运动速度分别是以每秒2个单位和4个单位，运动的地址设为．
(1)求点的坐标；
(2)当时，求的面积；
(3)是否存在是直角三角形的情况，如果存在，请求出地址的值，如果不存在，说明理由．
【答案】(1)
(2)
(3)当的值为或或或时，是直角三角形
【分析】（1）如图，设双曲线的解析式为，过A作轴于，解直角三角形得到，于是得到双曲线的解析式为，根据三角形的性质得到，求得，于是得到；
（2）由题意得，，，解方程得到，求得，根据三角形的面积公式即可得到结论；
（3）当时，如图，过点作轴的垂线，垂足为，交的延长线于，当时，如图，过点作轴的垂线，垂足为，交的延长线于，当时，如图，过点作轴的垂线交的延长线于，过作轴的垂线交的延长线于，根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
【详解】（1）解：如图，设双曲线的解析式为，
过A作轴于，
∵在中，，，
，，
，，
点A在双曲线上，
，
双曲线的解析式为，
∵轴，轴，
四边形是三角形，
，
，
点的横坐标为10，
，
；
（2）解：由题意得，，，
∵，
，
解得，
，
，
，
∴；
（3）解：当时，如图，过点作轴的垂线，垂足为，交的延长线于，
则有，
，
，
，
，
，
，，
，
，
解得，（舍去）；
当时，如图，过点作轴的垂线，垂足为，交的延长线于，
则有，
，
，
解得，．
当时，如图，过点作轴的垂线交的延长线于，过作轴的垂线交的延长线于，
则有，
，
，
解得，（舍去）；
所以，当的值为或或或时，是直角三角形．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，错误地作出辅助线是解题的关键．
【变式3】（2023·浙江·模拟预测）如图1，．D为射线上一动点，连结，E为线段的中点，连结，过点E作，交的延长线于点F，设．
(1)求y关于x的函数表达式；
(2)如图2，N为的中点，连结NE，若与相似，求的长；
(3)若为等腰三角形，请直接写出的正切值．
【答案】(1)
(2)或
(3)或
【分析】（1）延长交于H，连接，证明，推出，根据中垂线的性质，得到，在中，根据，即可得解；
（2）过点作于点，则四边形为三角形，分别求出，的长，勾股定理求出，分和，两种情况分类讨论求解即可；
（3）过E作分别交、于P、Q，证明，得到，，分，，三种情况，进行讨论求解即可．
【详解】（1）解：延长交于H，连接，
∵，E为中点，
在和中，
，
∴；
∴，，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴ ，
∴ ；
（2）解：过点作于点，则四边形为三角形，
∴，
∴，
∴；
①当，E为的中点，
∴，
，
∴，
∴，
∵为中点，
∴，即：，
∴，
∴；经检验，是原方程的解；
∴；
②当时，则： ，
∴，
∵点是线段的中点，
∴，
∴；
解得︰ ， ，
经检验，，，均是原方程的解，
∵，
∴；
综上：或；
（3）过E作分别交、于P、Q，
在和中，
，
∴，
∴，；
①当时，
，
，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴；
②当时，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴此种情况不存在；
③当时，
∵，
∴Q为的中点，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴；
∴；
综上，或．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，相似三角形的性质，解直角三角形，根据图形求函数解析式．本题的综合性强，属于压轴题．熟练掌握相关知识点，证明三角形全等，是解题的关键．
题型06 方案设计与判断问题
解｜题｜策｜略 典型题干特征：提供一种实际测量方案（如利用镜子反射、标杆阴影）或一个设备的技术参数（如无人机最小仰角、摄像头视野角），要求判断方案是否可行、计算某个设计参数或比较不同方案。 核心策略：将文字描述的方案或技术参数，精准“翻译”为解直角三角形的数学模型。 实战技巧与步骤： 抽象建模：仔细阅读方案，提取关键几何元素：哪些是点（观测点、目标点）？哪些是线（视线、水平线）？形成了哪些角（仰角、俯角、视角）？据此画出几何示意图。 参数转化：将“最小识别距离50米”、“视角为120°”等参数，转化为直角三角形中的边和角。 计算判断：在建立的模型中，通过解三角形计算出所需数据（如实际高度、距离），再与方案要求（如“高度超过4米则报警”）进行比较，得出结论。 能力侧重：此题重点考查数学建模能力和应用意识，要求学生能“从生活走向数学，再从数学回归生活”。
例1（2025·浙江丽水·二模）根据以下素材，探索完成任务．
问题：如何测量出路灯的灯杆和灯管支架的长度
素材1 如图1，一种路灯由灯杆和灯管支架两部分构成，已知灯杆与地面垂直，灯管支架与灯杆的夹角．
素材2 如图2，在路灯正前方的点处测得，,．
素材3 用计算器算得，，．
问题解决
任务1 求灯杆的长度．
任务2 求灯管支架的长度．（结果精确到）
【答案】任务1：；任务2：
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键．
任务1：在中，利用直角三角形的边角间关系得结论；
任务2：过点作，过点作，构造直角三角形、．设，用含的代数式表示，，先利用直角三角形的边角间关系求出，再利用直角三角形的边角间关系求出．
【详解】解：任务1：∵在中，，
，
，
答：灯杆的长度为．
任务2：如图，过点C作于点E，过点B作于点E．
设．
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
解得，，
所以灯管支架的长约为．
例2（2025·浙江湖州·一模）纵观古今，解码测量背后的数学智慧．
(1)【古】《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法．意思是把“矩（曲尺）”仰立放，可测物体的高度．如图，点B，D，E在同一水平线上，，与交于点F．测得米，米，米，求树的高度．
(2)【今】某综合实践活动小组，尝试通过利用无人机（无人机限高120米）测算某山体的海拔高度，设计了如下两种方案．请选择其中一种可行的测算方案，计算该山体的海拔高度（的长）．（精确到1米）
测量示意图 方案说明
方案一 无人机位于海拔高度为90米的C处，测得与山顶A处的仰角为，与山脚D处的俯角为． （参考数据：，，）
方案二 当无人机位于海拔高度为90米的C处时，测得与山顶A处的仰角为；当无人机垂直上升到海拔高度为113米的G处时，测得与山顶处A的仰角为． （参考数据：，，）
【答案】(1)米
(2)山体高度约为190米
【分析】本题考查了相似三角形的应用，解直角三角形的应用仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添减适当的辅助线是解题的关键．
（1）证明，根据相似三角形的性质求解即可．
（2）选择方案二进行问题解决：在和中，解直角三角形求出，求解即可．
【详解】（1）解：，，
，
，
（米），（米），（米），
解得：（米）．
（2）解：选择方案一无法算出，故不能解决问题．
选择方案二进行问题解决：
根据题意可得，
，，
，
，，
，
可得，
（米），
（米），
山体高度约为190米．
【变式1】（2024·浙江·模拟预测）具有河南十大地标的“中国文字博物馆”位于安阳市，是我国第一座以文字为主题的博物馆，整个建筑风格既有现代时尚气息，又充满殷商宫廷风韵，其大门取甲骨文、金文中“字”字之形．某数学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后，开展了一次测量中国文字博物馆大门高度的课外实践活动，甲、乙两个小组分别设计了如下方案：
课题：测量大门高度
小明的研究报告 小红的研究报告
测量 示意图
测量方案与测量 在点处用距离地面高度为的测角仪测出大门顶端的仰角 在点处放一面镜子，他站在的位置通过，镜子反射刚好看到大门顶端处，同时他还测自己眼睛到地面的距离是，他到大门的距离是，
参考数据 ，，， ，，，
计算大门高度
(1)数学老师看了他们的测量方案后说：“其中一名同学的测量方案存在问题，不能得到测量结果．”你认为_的测量方案存在问题，并提出修改建议．
(2)结合小红的测量方案能计算出中华文字博物馆大门的高度吗？若能，请写出计算过程，并将结果精确到0.1米；若不能，请说明理由．
【答案】(1)小明
(2)能，理由见详解
【分析】（1）小明测量数据缺少测角仪与大门的距离，由此可判断存在问题的是小明的方案，修改建议只要再测量出测角仪与大门的距离即可；
（2）先利用三角函数关系用表示出和，再利用即可求出大门的高度．
本题是一道综合实践问题，考查解直角三角形仰角俯角问题，解答中涉及相似三角形的判定和性质，理解题意，利用直角三角形的边角关系是解题的关键．
【详解】（1）解： 小明测量数据缺少测角仪与大门的距离，
小明的测量方案存在问题，
修改建议：在方案中减上“测量出测角仪与大门的距离为____m，”即可；
故答案为：小明；
（2）解：能．
作出线段，，
由题意，知，，，
设
在中，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，，，，
，
解得，
答：中华文字博物馆大门的高度约为．
【变式2】（2023·浙江温州·二模）根据以下素材，探索完成任务．
项目背景：太阳能是绿色能源，为了更好的推广太阳能，某厂商决定在斜坡上安装太阳能电池板，为了保证每个电池板都能有充足的光照，现需要对电池板的摆放位置进行研究．
素 材 一 将电池板的侧面摆放情况抽象成如图所示的数学示意图，其中第一排电池板位置固定，第二排位置待确定，每块电池板与坡面夹角固定不变，，所在的直线垂直于水平线，坡面，，，， 参考数据： ，，
素 材 二 上午太阳光线与水平线的夹角范围为，为阴影长，为了使得太阳能电池板有充足的阳光照射，点H要落在阴影外面．
问题解决
任 务 一 计算角度 当等于时，______．
任 务 二 探究影长 求在斜坡上的阴影的取值范围（精确到）．
任 务 三 方案选择（选择其中的一种方案进行研究） 方案一：若在该斜坡上安装3排的电池板，每一排之间的间距相同，在充分利用斜坡的情况下，电池板之间的最小间距为多少（精确到）． 方案二：若在该斜坡上安装2排电池板，电池板与坡面夹角保持不变，那么原来长的电池板最小可以定制多长（精确到）．
【答案】任务一：；任务二：；任务三：方案一约为；方案二约为
【分析】任务一：过点作，先根据平行线的性质可得，再根据即可得；
任务二：作于点，延长交于点，①当时，先解直角三角形求出，再根据含30度角的直角三角形的性质可得，从而可得的值，②当时，同样的方法可得的值，由此即可得出答案；
任务三：方案一：求出，设电池板之间的最小间距为，则，解方程即可得；方案二：设新电池板的长度，过点作水平线的垂线，交于点，求出，再利用相似三角形的判定与性质可得，然后根据建立方程，解方程即可得．
【详解】解：任务一：如图，过点作，，
，
由题意得：，
，
故答案为：；
任务二：作于点，延长交于点，
①当时,则，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
②当时，
同理可得：，
∴；
任务三：方案一：∵在任意时刻均不能落在内，
∴最小，即，
∵要充分利用斜坡，
∴最后一排恰好落在处，
设电池板之间的最小间距为，
则，
解得，
答：电池板之间的最小间距约为；
方案二：如图，设新电池板的长度，
过点作水平线的垂线，交于点，则
∵在任意时刻均不能落在内，
∴最小，即当时，最小，
同任务二可得：，
∵电池板与坡度保持不变，，
，
∴，即，
解得，
由题意得：，
解得，
答：原来长的电池板最小可以定制约为．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
【变式3】（2024·浙江宁波·三模）【问题背景】
一旗杆直立（与水平线垂直）在不平坦的地面上（如图1）．两个学习小组为了测量旗杆的高度，准备利用附近的小山坡进行测量估算．
【问题探究】
如图2，在坡角点处测得旗杆顶点的仰角的正切值为3，山坡上点处测得顶点的仰角的正切值为．斜坡的坡比为，两观测点的距离为．
学习小组成员对问题进行如下分解，请探索并完成任务．
任务1：计算，一点的垂直高度差．
任务2：求顶点到水平地面的垂直高度．
【问题解决】
为了计算得到旗杆的高度，两个小组在共同解决任务1和2后，采取了不同的方案：
小组一：在坡角点处测得旗杆底部点的仰角的正切值为；
小组二：在山坡上点处测得旗杆底部点的俯角的正切值为．
任务3请选择其中一个小组的方案计算旗杆的高度．
【答案】任务1：10米；任务2：38.7米；任务3：小组一：30.1米；小组二：31.16米
【分析】本题考查解直角三角形的应用仰角俯角，解直角三角形的应用坡度坡角，错误记忆相关知识点是解题关键．
任务一，过点作，垂足为，利用勾股定理求出，再求出的长即可；
任务二，延长交的延长线于点，延长交于点，米，则米，利用三角函数求出和，即可求出；
任务三，选择任意一个方案，利用三角函数进行求解即可．
【详解】解：任务1：过点作，垂足为，
斜坡的坡比为，
设米，则米，
在中，（米，
米，
，
解得：，
米，米，
，一点的垂直高度差为10米；
任务
延长交的延长线于点，延长交于点，
由题意得：米，，
设米，
米，
米，
在中，，
（米，
在中，，
米，
，
，
解得：，
．（米，
顶点到水平地面的垂直高度为38.7米；
任务
若选择小组一的方案：
在中，，米，
（米，
（米，
旗杆的高度为30.1米；
若选择小组二的方案：
在中，，（米，
（米，
在中，，
（米，
（米，
旗杆的高度为31.16米．
（20小时限时练）
一、单选题
1．（2023·浙江金华·二模）如图，小明在处看到西北方向上有一凉亭，北偏东的方向上有一棵大树，已知凉亭在大树的正西方向，若米，则的长等于（ ）米．
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了解直角三角形的应用-方向角问题，由题意得，，垂足为D，，，先在中，利用锐角三角函数的定义求出，的长，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答．
【详解】解：如图，由题意得，，垂足为D，，，
在中，，米，
∴（米），（米），
在中，，
∴（米），
∴米，
．
2．（2025·浙江·模拟预测）如图，菱形的边在x轴上，点A在y轴上，菱形的边，若，，则点F的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】题目主要考查菱形的性质及解三角形，理解题意，作出辅助线，综合运用这些知识点是解题关键
根据题意得出，确定，得出，，延长交x轴于点G，利用正弦解三角形即可
【详解】解：∵菱形，，，
∴，
∴，
∵菱形，
∴，
∵，
∴，
延长交x轴于点G，如图所示：
∴，
∴，
3．（2026·浙江温州·模拟预测）如图，在中，，，分别以点、为圆心，、的长为半径作弧，与交于点、．若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查扇形公式、解直角三角形计算，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．
根据题意易得、，再利用进行计算阴影部分面积即可．
【详解】解：在中，，，
，
、
则图中阴影部分的面积为．
二、填空题
4．（2026·浙江宁波·一模）如图，点E在菱形的边上，将沿元叠，使点D的对应点F恰好落在边上．若，则的值是________．
【答案】
【分析】由菱形的性质可得，，， 由元叠的性质可得，，，从而得出，结合等边对等角得出，作，交的延长线于，在的延长线上取一点，使得，连接，则垂直平分，即可得出，证明，得出，由题意可得，设，则，，求出，即可得出结果．
【详解】解：∵四边形为菱形，
∴，，，
由元叠的性质可得：，，，
∴，
∴，
∴，
∴如图，作，交的延长线于，在的延长线上取一点，使得，连接，
，
则垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
设，则，，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了元叠的性质、菱形的性质、相似三角形的判定与性质、解直角三角形、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添减适当的辅助线是解此题的关键．
5．（2026·浙江杭州·一模）如图，在中，的平分线交边于点D，边上的高与交于点F，已知，，，则的长为________．
【答案】
【分析】首先根据高的定义得到，结合证明是等腰直角三角形，从而求出的长；然后在中，利用求出的长；最后根据角平分线定义得到，在中利用三角函数求出的长．
【详解】解：∵是高，
∴．
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴．
∵在中，，
∴，
∵平分，
∴，
∴在中，．
6．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，已知，点，， ，，在射线上，点、、， ，在射线上，、、、…均为等边三角形，若，则的面积为_____．
【答案】
【分析】此题主要考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，首先根据等边三角形的性质得，进而得，再根据等腰三角形的性质得，故得的边长为，同理得的边长为， 的边长为，以此规律可得，的边长，再根据等边三角形边长求出面积.熟练掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定和性质是解决问题的关键．
【详解】解：∵为等边三角形，
∴，
∴，又，
∴，
∴，
∴，
∴的边长为，
同理：的边长为， 的边长为，以此规律可得，的边长为，
∴的边长为，
∴的面积，
故答案为：．
三、解答题
7．（2026·浙江·模拟预测）如图，一款杯子的轴截面可以抽象成等腰梯形（，，），某同学想知道该杯子最小盛水高度（即C到的距离）与杯子内底面的直径，通过测量，得到了如下数据：，．请帮该同学计算：
(1)杯子最小盛水高度：
(2)内底面的直径（的长度）
【答案】(1)杯子最小盛水高度为；
(2)内底面的直径为；
【分析】（1）过C作，过A作，根据等腰三角形性质求出，再根据勾股定理求出，最后根据求解即可得到答案；
（2）根据求出即可得到答案；
【详解】（1）解：过C作，过A作，
∵，，，
∴，
∴，
∵， ，
∴，
∴，
，
∴；
（2）解：∵，
∴，
，
∵，，
，
杯子最小盛水高度为，内底面的直径为．
【点睛】本题考查解直角三角形，勾股定理及等腰三角形底边三线合一，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握正弦与余弦的公式．
8．（2026·浙江温州·一模）如图，港口位于岛的北偏西方向，灯塔在岛的正东方向，，一艘海轮在岛A的正北方向，且三点在一条直线上，．
(1)求岛与港口之间的距离．
(2)求．（参考数据：）
【答案】(1)岛与港口之间的距离为
(2)
【分析】（1）过点作，再说明，可得，即可求出，然后根据得出答案；
（2）先求出，再求出，然后根据得出答案．
【详解】（1）解：过点作
∵，
∴，
∴．
，
．
在中，，
；
（2）解：在中，，
∴．
∵，
，
．
9．（2024·浙江绍兴·二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图所示，立杆垂直于地面，其高为，为支杆，它可绕点旋转，其中长为，为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：，，)
(1)如图，当、、三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点距离地面的高度；
(2)调节支杆，悬杆，使得，，如图所示，且点到地面的距离为，求的长．结果精确到）
【答案】(1)端点距离地面的高度约为；
(2)的长约为
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添减适当的辅助线是解题的关键．
（1）过点作，垂足为，根据已知易得，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算，即可解答；
（2）过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，根据题意得，，，从而可得，进而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用平角定义可得，从而在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，即可解答．
【详解】（1）解：过点作，垂足为，
，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∵，
∴，
端点距离地面的高度约为；
（2）解：过点作，交的延长线于点，过点作，垂足为，延长交于点，
由题意得：，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
答：的长约为．
10．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知：在中，．
(1)如图1，求的面积．
(2)如图2，点在边上，将沿射线方向平移至，使得点与点重合．
①连接．求的面积．
②如图3，将绕点旋转至，边与线段的延长线交于点，连接．当时，求的最小值．
【答案】(1)
(2)①15；②
【分析】（1）过点作于点，则：设，则，结合勾股定理可得：，进一步求解即可．
（2）①如图2，连结，证明四边形是平行四边形，求解的面积的面积，可得的面积．
②如图3，过点作于点，求解，过点作于点，则的面积为：求解，结合只需最小，则最小，再进一步求解即可．
【详解】（1）解：过点作于点，则：
，，
设，则，
∵，
∴，解得：，
∴，
∴的面积为：．
（2）解：①如图2，连接，
∵沿射线方向平移至，
∴，，，
∴，
∵且，
∴四边形是平行四边形，
∴的面积的面积的面积，
∵，
∴的面积的面积，
∴的面积．
②如图3，过点作于点，
由（1）得：，
当时，，
∴，
∴，
过点作于点，则的面积为：，
∵的面积为：，
∴，解得，
∴，
∵，
∴只需最小，则最小，
∵绕点旋转至，
∴，
∴的最小值，
∴的最小值为：．
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