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热点03 一次函数与反比例函数
热点聚焦 方法精讲 能力突破
第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
题型01 纯函数性质题
题型02 待定系数法求解析式
题型03 函数图像与不等式
题型04 一次函数与方程、不等式
题型05 反比例函数k的几何意义
题型06 一次函数与反比例函数综合
题型07 函数与几何综合
题型08 函数实际应用模型
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。
近三年具体考查形式 近三年浙江省中考对该热点的考查覆盖面广、形式多样，贯穿于选择、填空、解答全题型。 选择题/填空题：常考单个函数的性质（如增减性、k的符号判断）、函数图像与解析式的匹配、函数值的简单计算或比较。 解答题：是考查的主阵地，分值高（通常8-12分）。主要形式包括：① 待定系数法求解析式；② 一次函数与方程、不等式的综合；③ 一次函数与反比例函数的综合（求交点、根据图像比较大小或解不等式）；④ 建立函数模型解决实际问题（如行程、利润、工程、几何动点）。 命题特点 “双基”考查扎实：对函数概念、图像性质、待定系数法等基础知识和基本技能的考查从未缺席，是试卷的稳定组成部分。 “数形结合”思想贯穿始终：绝大多数题目都需要借助函数图像来直观分析，如判断增减性、比较函数值大小、求不等式的解集等，图像是解题的关键工具。 综合性强，突出核心地位：一次函数与反比例函数的综合题是高频压轴题型。常涉及联立方程求交点、利用交点坐标求解析式、根据图像位置关系求参数范围或解不等式。例如，2023年杭州卷20题、湖州卷10题、宁波卷7题等。 应用情境贴近生活：实际应用题背景丰富，如行程问题（s-t图）、销售利润、工程分配、几何图形中的动点问题等，强调建立函数模型解决实际问题的能力。 核心考查内容与能力要求 核心知识： 一次函数：定义、图像与性质（k、b的几何意义，增减性），待定系数法，与方程（组）、不等式的关系。 反比例函数：定义、图像与性质（k的符号与象限、增减性），待定系数法，比例系数k的几何意义。 两者综合：交点坐标的求法（联立解析式），图像共存问题，根据图像比较函数值大小。 核心能力： 数形结合能力：能将代数解析式与几何图像灵活转化，并利用图像直观解决问题。 运算求解能力：熟练进行待定系数法计算、交点坐标求解等代数运算。 数学建模能力：能从文字、表格、图像等多种情境中抽象出一次函数或反比例函数模型。 分类讨论思想：特别是在涉及参数或动态问题时，能根据k的正负、图像位置等进行合理讨论。 趋势展望 预计2026年中考将保持并优化现有特点： 基础题更注重概念本质，可能增减对函数概念理解（如对应关系）的考查。 综合题的背景可能更减新颖，或将一次函数、反比例函数与几何图形（三角形、四边形）更深度结合，考查在动态背景下的函数关系建立。 对“k的几何意义”在反比例函数中的应用考查可能减强，并与面积计算结合。 对解题过程的逻辑性、规范性要求持续提高，特别是在解答题中需清晰展示建模与求解过程。 2026年中考复习备考方向与策略建议 夯实概念，吃透图像：确保学生深刻理解k、b（一次函数）和k（反比例函数）的符号对图像位置、形状、增减性的决定性影响。必须做到“见解析式想图像，见图像析性质”。 强化“待定系数法”通法训练：无论是从一点坐标、图像交点还是实际问题中找对应值，都要熟练、准确地运用此法求解析式。这是解决几乎所有函数大题的第一步。 专题突破“数形结合”难点： 不等式解集：训练学生通过观察两函数图像上下位置关系，直接写出对应x的取值范围。 函数值比较：明确“点的高低决定函数值大小”，并注意同一象限内和跨象限比较的区别。 深化综合应用训练： 一函一反综合：重点训练联立方程求交点、利用交点求解析式、根据图像解不等式三大核心环节。 实际应用题：引导学生掌握“审题→找变量→建立等量关系→写出解析式（注明自变量范围）→求解→验证作答”的标准建模流程。特别关注行程问题、利润问题的经典模型。 渗透数学思想：在解题中引导学生自觉运用数形结合、分类讨论、方程思想，提升思维层次。
题型01 纯函数性质题
解｜题｜策｜略 典型题干特征：通常为选择题或填空题。直接给出函数解析式或简易图像，要求判断：①图像经过的象限；②函数的增减性（y随x的增大如何变化）；③比较同一函数图像上两个点的函数值与的大小。 核心策略：牢记并熟练应用一次函数与反比例函数的基础性质口诀。 实战技巧与步骤： 一次函数的象限与走向：“k定增减，b定上下”。 k>0：图像必过一、三象限，y随x增大而增大（上升）。 k<0：图像必过二、四象限，y随x增大而减小（下降）。 b>0：图像与y轴交于正半轴。 b<0：图像与y轴交于负半轴。 反比例函数的象限与增减：“k定象限，同支减”。 k>0：图像在一、三象限，在每一支上，y随x增大而减小。 k<0：图像在二、四象限，在每一支上，y随x增大而增大。 比较函数值：“跨支比，看象限”。若一点在不同分支上，则直接根据所在象限的正负性比较与（如一象限的y为正，三象限的y为负，则＜）。 易错点与教学提醒：学生常混淆反比例函数“整体”增减性与“单支”增减性的区别。务必强调：反比例函数在整个定义域内不具备单调性，其增减性结论必须减上“在每一象限内”或“在每一支上”的前提。
例1（2025·浙江杭州·一模）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表：
x
y b
则这个函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象和性质，熟练掌握一次函数，反比例函数的图象和性质是解题的关键；利用表格中x的增减值和y的减小值的特点，即可判断选项．
【详解】解：根据表格可知，x的值每增减1，y的值就减少2，则可判断是一次函数，且y随x的增大而减小，
故选：．
例2（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一象限内的一点，且直线与x轴交于点C，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
【答案】C
【分析】本题考查了一次函数与几何综合，反比例函数与一次函数的交点坐标，勾股定理，错误掌握相关性质内容是解题的关键．根据题意得，解得，即，再求出，结合直线与x轴交于点C，得出，运用勾股定理算出，，运用数形结合思想进行分析当时，，即可作答．
【详解】解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一象限内的一点，
∴，
解得，
故A选项不不符合题意；
把代入，得，
则把代入，得，
∴，
故B选项不不符合题意；
∵直线与x轴交于点C，
∴令则，
解得，
∴，
∵，
则，
，
则，
∴，
故C选项不不符合题意；
依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一象限内的一点，
∴当时，
故D选项不符合题意；
．
【变式1】（2025·浙江宁波·三模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】由点，，在同一个函数图象上，可得B与C关于关于原点对称；当时，y随x的增大而减小，得用排除法求解．
【详解】解：∵点，，
∴B与C关于原点对称，
即这个函数图象上有点关于原点对称，故选项A不不符合题意；
∵，，
∴当时，y随x的增大而减小，故选项B不符合题意，选项C、D不不符合题意．
．
【点睛】本题考查了函数的图象，一次函数图象性质，反比例函数图象性质，二次函数图象性质．注意掌握排除法在选择题中的应用是解此题的关键．
【变式2】（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了反比例函数的图象及性质，从函数图象中获取错误信息是解题的关键．
先根据k的符号，排除C、D，再取，通过作图，数形结合的方式，得出 ，然后作出选择．
【详解】解：如图：
∵的图象在第二象限，
∴，
∵ 的图象都在第一象限，
∴，
当时，，由图象可知，，
∴，
．
【变式3】（2025·浙江·模拟预测）如图，反比例函数与一次函数（为常数，且）的图象相交于，一点．若将直线向上平移个单位长度后，与反比例函数的图象没有交点，则的取值范围是_____．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，涉及待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移问题，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键．
先求出，则则平移后的直线为，反比例函数解析式联立得到，根据求出，即可求解的取值范围．
【详解】解：将点，代入得：，
∴，，
∴，
解得：，
∴，
则平移后的直线为
则联立，
整理得：，
∴，
解得：或，
∴平移后的函数图象与反比例函数的图象没有交点，则的取值范围是：，
故答案为：．
题型02 待定系数法求解析式
解｜题｜策｜略 典型题干特征：已知函数类型（一次或反比例），并给出满足条件的点坐标（如一点、与坐标轴交点、图像上的点），要求写出函数解析式。这是解答题的“起手式”。 核心策略：设出函数解析式的一般形式，代入已知点的坐标，解方程（组）求出待定系数。 实战技巧与步骤： 设：一次函数设为；反比例函数设为。 代：将已知点的坐标代入所设解析式。 一次函数：通常需要两个点得到关于k, b的二元一次方程组。 反比例函数：只需一个点即可求出k。 解：解方程（组），求出待定系数。 写：将求出的系数代回，写出完整解析式。 进阶技巧：若题目条件为“一次函数图像与反比例函数图像交于点A(2, 3)”，求一次函数解析式。则需先利用点A在反比例函数上求出反比例函数解析式，再结合其他条件求一次函数解析式。“交点坐标同时满足两个函数解析式”是综合题的核心桥梁。
例1（2025·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为_________．
【答案】或
【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握该知识点是解题的关键．先根据“友好点”的定义找出友好点坐标之间的关系，设出直线上一点及其友好点，得出直线的斜率，再结合直线与坐标轴围成三角形面积求出直线表达式．
【详解】设点在直线上，其友好点也在直线l上，
设直线l的解析式为，将点和代入解析式得：
，解得，
∴直线l的表达式为，
当时，，即直线l与y轴交点为，
当时， ，解得，即直线l与x轴交点为，
∴，
∴，
∴直线的表达式或．
故答案为：或．
例2（2026·浙江杭州·一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段地址，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于地址的变化情况如图所示．
(1)分别求出小丽和小明骑行的速度．
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程．
【答案】(1)小丽，小明
(2)
(3)8
【分析】本题考查了一次函数在行程问题中的应用，函数的图象，待定系数法求函数解析式．理解横轴和纵轴表示的实际意义是解题的关键．
（1）结合函数图象，根据速度=路程÷地址，求解即可；
（2）先求出B点坐标，再用待定系数法求解即可；
（3）用待定系数法求出小丽的函数解析式，再联立两函数解析式，求出交点坐标，即可求解．
【详解】（1）解：小丽的速度：
小丽到达点A的地址为，
小明到达点A的地址为：，
小明的速度：；
（2）解：点B到点C所用地址为，
则点B的地址为，
点
设线段的函数表达式为
把和代入，
得
解得，，
则线段的函数表达式为；
（3）解：设小丽的函数解析式为，
把点代入，得，
，
，
解得，代入，
∴，
离山庄的路程为．
【变式1】（2025·浙江丽水·二模）同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事停留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶地址的函数关系如图所示．
(1)求甲、乙两车各自的平均速度；
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？
【答案】(1)甲车的平均速度，乙车的平均速度
(2)直线的函数表达式
(3)乙车出发小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为
【分析】本题主要考查数形结合的一次函数的性质，解题的关键是熟悉读懂图形的意义．
（1）根据题干可知A，B两地之间的距离为120，为乙车的函数关系，结合坐标点即可求得速度；点为甲车事前停留位置，结合距离即可求得速度；
（2）根据题干求得点D和点E的坐标，利用待定系数法即可求得解析式；
（3）利用待定系数法求得直线的函数表达式，联立求得交点即为相遇点，进一步求相遇地址和距离即可．
【详解】（1）解：由题意知A，B两地之间的距离为120，
为乙车的函数关系，则，
点为甲车事前停留位置，则，
故甲车的平均速度，乙车的平均速度；
（2）解：由图可知点，
∵甲车途中有事保留了0.5小时．
∴点，
设直线的函数表达式，则
，
解得，
∴直线的函数表达式；
（3）解：由图可知点，，
设直线的函数表达式，则
，解得，
∴直线的函数表达式，
联立，
解得，
则乙车出发小时后两车相遇，
相遇时乙车离A地的距离为．
【变式2】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴交于点，已知面积为2．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求一次函数与轴的交点坐标；
(3)利用图象直接写出不等式的解集．
【答案】(1)，
(2)
(3)
【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键；
（1）由题意易得点A的坐标，然后得出一次函数的解析式，进而利用待定系数法可求反比例函数解析式；
（2）令代入一次函数解析式进行求解即可；
（3）根据函数图象可直接进行求解．
【详解】（1）解：，点A在第三象限，
，
点坐标为．
把点代入，
得，
解得，
一次函数表达式为．
把代入，得．
反比例函数表达式为．
（2）解：令，则，解得，
一次函数与轴交点坐标为．
（3）解：由图象可知：不等式的解集为．
【变式3】（2025·浙江杭州·二模）小王家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始减热，此过程中水温与开机地址（分）满足一次函数关系，当减热到时自动停止减热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机地址（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始减热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
(1)当时，求水温与开机地址（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)若小王在通电开机后即外出散步，小时后回家，要使得回家时饮水机内温度不低于，求t的取值范围．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查反比例函数的应用，掌握待定系数法求反比例函数的关系式是解题的关键．
（1）待定系数法求出一次函数解析式即可；
（2）利用待定系数法求出下降过程中水温与开机地址（分）的函数关系式并将坐标代入，求出t即可；
（3）分别求出减热和放热过程中温度为时对应的地址，即水温从减热到需要的地址，继续减热到再降到需要的地址，从而计算当时，减热过程中水温为时对应的地址和放热过程中水温为时对应的地址，再根据图象直接写出这个地址段内饮水机内温度不低于时t的取值范围即可．
【详解】（1）解：当时，设水温与开机地址（分）的函数关系为：，
依据题意，得，
解得：，
此函数解析式为：；
（2）解：当，设水温与开机地址（分）的函数关系式为：，
依据题意，得：，
即，
故，
当时，，
解得：；
（3）解：当时：
当时，解得，
当时，解得，
∴水温从减热到需要小时，继续减热到再降到需要20小时，
∴当时，减热过程中水温为时对应的地址为（分），放热过程中水温为时对应的地址为（分），
根据图象，要使得回家时饮水机内温度不低于，t的取值范围为．
题型03 函数图像与不等式
解｜题｜策｜略 典型题干特征：给出一张包含一次函数和反比例函数图像的坐标系，要求直接写出不等式或的解集。 核心策略：将代数不等式转化为图像上的上下位置关系。不等式的解集，就是x轴上那些使得一次函数图像在反比例函数图像上方的所有点的横坐标集合。 实战技巧与步骤： 找交点：首先观察图像，确定两个函数图像的交点A和B的横坐标。它们是“上下关系”发生变化的临界点。 分区看：交点将x轴分成三个区间。 比高低：在每个区间内，任取一个代表性的x值，观察该竖直线上两个图像的上下关系。 定端点：注意不等式是否含等号。若不等式是≥或≥，则解集需要包含交点横坐标。 教学关键：训练学生形成条件反射：“解不等式 → 看图 → 比高低 → 写范围”。这是浙江中考填空选择的常考热点。
例1（2024·浙江温州·模拟预测）已知一次函数与 （，是常数，且 ，）的图象如图所示，它们的两个交点坐标分别是，则分式方程 的解是______； ______．
【答案】 1
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，根据一次函数与反比例函数的交点坐标的横坐标，即可得到分式方程 的解．
【详解】解：一次函数与 的两个交点坐标分别是，
分式方程 的解是，，
故答案为：，．
例2（2024·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，设函数与函数的图象交于点．
(1)求的值，并写出，的解析式；
(2)设图象的另一个交点为，求的坐标，并写出当时的取值范围；
(3)设函数的图象与轴的交点为，将点先向右平移的单位，再向上平移个单位后，恰好落在函数的图象上，求的值．
【答案】(1)函数，函数；
(2)，当时，的取值范围为或；
(3)．
【分析】（）把点代入反比例函数解析式即可求出，确定解析式即可；
（）联立解析式求出的坐标，即可求出当时的取值范围；
（）求出的坐标，进而表示出平移后的解析式，代入反比例函数解析式求出即可；
本题考查了一次函数与反比例函数的图象及性质，待定系数法求一次函数、反比例函数的解析式，一次函数的平移，熟练掌握知识点的应用是解题的关键．
【详解】（1）把点代入中，得，
解得，
∴函数，函数；
（2）联立解析式得，
解得：或，
∴，
∴当时，的取值范围为或；
（3）当时，，解得，
∴，
∵点先向右平移的单位，再向上平移个单位，
∴平移后的坐标为，
∴代入反比例函数解析式得，
解得：．
【变式1】（2024·浙江杭州·二模）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，．
(1)求，，m，b的值．
(2)求的面积．
(3)观察函数图象，当时，直接写出x的取值范围．
【答案】(1)，，，
(2)8
(3)或
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是得到一次函数图象在反比例函数图象上方时，对应的x的取值范围．
（1）把A、B点坐标代入反比例函数解析式和一次函数解析式即可求出结果；
（2）设直线与x轴交于点C，求出C点坐标，根据列式计算即可求解；
（3）直接由A、B的坐标借助图象可求得答案．
【详解】（1）∵一次函数与反比例函数的图象交于点，．
∴，解得，，
把点，代入得：
，解得，
∴，，，．
（2）设直线交x轴于点C，
由（1）可知，直线解析式为，
当时，，
∴，
．
（3）根据图像可知，当时，x的取值范围为：或．
【变式2】（2024·浙江嘉兴·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)当时，求的取值范围．
【答案】(1)，
(2)或
【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键．
（1）待定系数法求出；两个函数解析式即可；
（2）根据图像，即可得到解集．
【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象相交于点，
反比例解析式为
在一次函数上，
解得
直线解析式为：．
（2）解：由图像可知，不等式的解集为：或．
【变式3】（2024·浙江宁波·一模）如图，直线与双曲线相交于点．
(1)求直线及双曲线对应的函数表达式；
(2)直接写出关于x的不等式的解集；
(3)求的面积．
【答案】(1)直线：，双曲线：
(2)
(3)8
【分析】本题主要考查了一次函数，反比例函数的交点坐标，将点的坐标代入函数关系式是确定函数关系式的常用方法，理解交点坐标与不等式解集之间的关系是解本题的关键．
（1）将代入到反比例函数解析式可得其解析式；先根据反比例函数解析式求得点的坐标，再由，坐标可得直线解析式；
（2）根据图象得出不等式的解集即可；
（3）设一次函数的图象与坐标轴交于，一点，分别过，一点作轴于，作轴于，根据题意可得，，从而求出，和，进而求出的值．
【详解】（1）把代入，得：，
∴反比例函数的解析式为；
把代入，得：，
∴，
把、代入，得：，
解得：，
∴一次函数的解析式为；
故答案为：；．
（2）由图象可知当时，，
∴不等式的解集是，
（3）设一次函数的图象与坐标轴交于，一点，分别过，一点作轴于，作轴于，
∵、，
∴，
∵一次函数的解析式为，当时，，
当当时，，解得，，
∴点C的坐标是，点D的坐标是
∴．
∴，，
∴．
题型04 一次函数与方程、不等式
解｜题｜策｜略 典型题干特征：已知一次函数的图像，求它与x轴的交点坐标；或问“当y>0时，求x的取值范围”。 核心策略：理解函数、方程、不等式三者是同一事物的不同表现形式。将函数问题转化为方程或不等式问题。 实战技巧： 求与x轴交点：即解方程，令y=0。 求y>0的解集：即解不等式。从图像上看，就是找出图像在x轴上方部分所对应的x的范围。这比纯代数解法更直观。 能力提升：引导学生理解,, 的图像分别是x轴上的一个点、x轴上的一段区间、以及一条直线，它们本质是统一的。
例1（2024·浙江杭州·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（ ）

A．当时，
B．当时，，
C．
D．关于，的方程组的解为
【答案】A
【分析】本题考查一次函数与方程、不等式的关系，解题的关键是根据一次函数与方程、不等式的关系并利用数形结合思想进行分析即可．
【详解】解：A．由图象得：当时，，故此选项不不符合题意；
B．由图象得：当时，，，故此选项不不符合题意；
C．由图象得：一次函数与的图像交于点，
∴，，
∴，
∴，故此选项不符合题意；
D．由图象得：关于，的方程组的解为，故此选项不不符合题意．
．
例2（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，直线，，围成三角形的面积为______．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、解二元一次方程组以及三角形的面积，通过解方程组，求出三条直线的交点坐标是解题的关键．
设直线，交于点，直线，交于点，直线，交于点，通过解方程组，可求出点，，的坐标，再利用三角形的面积公式，即可求出结论．
【详解】解：设直线，交于点，直线，交于点，直线，交于点，
联立直线，的解析式组成方程组得：，
解得：，
点的坐标为，
同理：点的坐标为，点的坐标为．
过点作轴于点，过点作轴于点，则，，如图所示，
，
，
直线，，围成三角形的面积为．
故答案为：．
【变式1】（2023·浙江杭州·模拟预测）已知一次函数与（为常数，）的图象的交点的横坐标是，则方程组的解为______．
【答案】
【分析】本题主要考查了一次函数与二元一次方程组的知识，方程组的解就是使方程组中两个方程同时成立的一对未知数的值，而这一对未知数的值也同时满足两个相应的一次函数解析式，因此方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标．依据题意，两个函数图象的交点横坐标为，则可得纵坐标为，又方程组的解就是两个函数图象交点的横坐标与纵坐标的值，进而可以得解．
【详解】解：由题意，一次函数与为常数，的图象的交点的横坐标是，
交点的纵坐标为．
方程组的解为．
故答案为：．
【变式2】（2024·浙江杭州·一模）已知一次函数与(，是常数）的图象的交点横坐标是，则方程组的解是____________________．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组．根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【详解】解：一次函数与，是常数）的图象的交点横坐标是，
，
一次函数与，是常数）的图象的交点坐标是，
方程组的解．
故答案为：．
【变式3】（2024·浙江宁波·一模）已知一次函数与（k是常数，）的图象的交点坐标是，则方程组的解是____________．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程组，根据一次函数的交点坐标即可确定以两个一次函数解析式组成的二元一次方程组的解．
【详解】解：∵一次函数与（k是常数，k≠0）的图象的交点坐标是，
∴方程组的解是．
故答案为：．
题型05 反比例函数k的几何意义
解｜题｜策｜略 典型题干特征：在反比例函数图像上有一个点P，过P作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成一个三角形，或连接坐标原点构成三角形，已知该三角形或三角形的面积，求k的值。 核心策略：利用反比例函数特有的比例系数k的几何意义：过双曲线上任意一点作坐标轴的垂线，所得三角形面积恒为|k|；该三角形被对角线分成的两个直角三角形面积均为|k|。 实战技巧与步骤： 构图：准确画出点P、垂线及围成的图形。 表示边长。 列面积式。 求解：根据已知面积，直接求出 |k|，再结合图像所在象限确定k的符号。 常见变式：图形可能不是标准三角形，而是由多个这样的三角形或三角形组合、重叠而成，需要利用面积的和差关系来构造关于|k|的方程。
例1（2022·浙江温州·模拟预测）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，在反比例函数的图象上，点在第四象限．若点的横坐标为，则的值为( )
A．1 B． C． D．
【答案】A
【分析】作轴于，轴，交于，根据图象上点的坐标特征得出，证得，得出，，即可得到，根据系数的几何意义得到，解方程即可求解．
【详解】解：如图，作轴于，轴，交于
，
，
在和中，
，
，，
点，在反比例函数的图象上，点的横坐标为，
，
，
，
解得：
∵
∴
例2（2023·浙江金华·模拟预测）如图，边长为2的正方形的两边分别在坐标轴上，反比例函数过点B．
(1)求该反比例函数的表达式．
(2)点P在该反比例函数的图象上，且在的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F．若三角形与正方形不重合部分的面积为2，试求点P的坐标．
【答案】(1)；
(2)点P的坐标．
【分析】（1）先求出正方形的面积，再根据反比例函数k的几何意义作答即可；
（2）根据正方形的性质得到，根据反比例函数k的几何意义得到，进而得到，即，求出，进而求出即可．
【详解】（1）解：∵正方形的边长为2，
∴正方形的面积为，
∴，
即；
（2）解：如图，设交于G，
∵正方形的边长为2，
∴，
∵点P在该反比例函数的图象上，
∴，
∵三角形与正方形不重合部分的面积为2，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴，
即点P的坐标．
【变式1】（2026·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，是三角形内的一点，连接，若图中阴影部分的面积为10，则为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【答案】A
【分析】先设出点的坐标，利用三角形面积与反比例函数的几何意义建立联系，再根据阴影部分面积与三角形面积的关系，推导出的值．
【详解】解：设点的坐标为，
∵点在反比例函数上，
∴，
由题意可得三角形的面积为，阴影部分面积为三角形面积的一半，
∴，
∴，
∴．
【变式2】（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，顶点在第一象限，三角形的面积为21，三角形的顶点分别在三角形 的边上，三角形的面积为15，边相交于点，函数 的图象经过点，并交边于点，则_____；若，则点的坐标为_____．
【答案】 6
【分析】本题主要考查了反比例函数与几何的综合、三角形的性质、正切的定义等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键．
如图，连接，先求得，再根据反比例函数k的几何意义可得；再说明，易得设，则；设 ，则，进而得到，可求得a、b的值，进而确定点H的坐标．
【详解】解：如图，连接，

则 ，
，
；
∵三角形、三角形，
∴，
∴，
∴，
，
∴，
设，则 ，
同理：设 ，则，
∴，，
∴，解得：，
∴，
∴．
故答案为：6，．
【变式3】（2024·浙江·模拟预测）定义：若一个四边形的面积被一条对角线平分，则称这样的四边形为分积四边形，这条对角线为分积线．
(1)如图①， 中， 为对角线 上一点，求证：四边形 为分积四边形；
(2)如图②，三角形 的顶点 在函数 的图象上，边 在 轴上，边 轴，点 在对角线 上，对角线 交 轴于点 ，连结 ，， 的面积为 4，求 的值；
(3)如图③，四边形 为分积四边形，对角线 为分积线， ，对角线 与 交于点 ，，求 的值．
【答案】(1)详见解析
(2)
(3)
【分析】本题考查的是新定义的问题，新定义与反比例函数的综合大题，综合性较强，涉及到的知识点较多，解题的关键是掌握三角形全等的判定与性质、平行四边形的性质，三角形的性质，解直角三角形，反比例函数的几何意义．
（1）如图①，分别过，作的垂线，垂足为，，根据平行四边形的性质证明，推出，易证，即可得出结论；
（2）如图②，连结，，由（1）得，则 ，再结合，即可求解；
（3）如图③，分别过作的垂线，垂足为，由题意得四边形为分积四边形，对角线为分积线，得，易证，得，根据，则，设，则，即可解答．
【详解】（1）解：如图①，分别过，作的垂线，垂足为，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
为四边形的对角线， ，
，
四边形 为分积四边形；
（2）解：如图②，连结，，
由（1）得 ，
则 ，
，
．
（3）解：如图③，分别过作的垂线，垂足为，
四边形为分积四边形，对角线为分积线，
，
∴ ，
∵，
∴ ，
∴ ．
，
∴，
∴，
∴，
设 ，则，
，
．
题型06 一次函数与反比例函数综合
解｜题｜策｜略 典型题干特征：作为解答题出现。通常给出一个函数（如反比例函数）的图像和解析式，以及另一个函数（如一次函数）图像上的某些点或与坐标轴的交点，要求：(1)求两个函数的解析式；(2)求交点坐标；(3)根据图像直接写出不等式解集；(4)求与交点相关的图形面积。 核心策略：以“交点坐标”为解题枢纽，串联起两个函数。遵循“求解析式→联立求交点→利用交点解后续问题”的经典流程。 标准解题流程： 求第一个函数解析式：利用已知点，用待定系数法求出（通常是反比例函数）。 求交点坐标：将第一个函数解析式与第二个函数（通常为一次函数）的未知解析式联立。此时交点坐标可用含参数的式子表示。 求第二个函数解析式：利用题目给出的另一个条件（如另一点坐标、与y轴截距等），建立关于参数的方程，解出参数，从而得到第二个函数解析式。 解后续问题：此时两个解析式均已确定，可重新准确求出交点坐标，进而解决面积、不等式等问题。 教学重点：此题型是训练学生逻辑链条完整性的最佳载体。务必让学生掌握这环环相扣的步骤。
例1（2025·浙江·模拟预测）如图，直线与双曲线交于、一点．则当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
【答案】A
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解题的关键是依据函数图象的上下关系解不等式，解决该题型题目时，根据函数图象位置的上下关系结合交点的坐标，找出不等式的解集是关键．根据函数图象的上下关系，结合交点的横坐标找出不等式的解集，由此即可得出结论．
【详解】解：观察函数图象，发现：
当或时，直线的图象在双曲线的图象的下方，
当时，x的取值范围是或
故选C
例2（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，直线与坐标轴正半轴交于点和，与反比例函数的图象交于点（在的右边），，则____________（用的代数式表示）．若，，则的值为____________．
【答案】 12
【分析】先表示出坐标，设，，通过，得到，那么，结合的几何意义，得到，联立得，从而有，，那么，结合，得到的表达式；
结合第一空，可知，过点作，结合三角形的面积，表示出，接着利用，推出，借助，分别知道，，最后利用，求得，然后代入的表达式即可求出答案．
【详解】解：由题意可知， ，，
∵直线与坐标轴正半轴交于点和，当时，，当时，，
∴，
设，，
∵
∴
∴
整理得
∵
∴，
∴
联立得
∴，，
∴
，
∵，
∴
∴，
整理得，
∴
整理得，
，
，,
整理得，，
，
过点作，如图所示：
，，，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
，，
，
，
，
，
整理得，
解得（舍去负值）
，，
，
，
，
（舍去负值），
，
故答案为：，12．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及韦达定理、一点间距离公式、反比例函数k的几何意义等知识点，掌握一次函数和反比例函数的性质以及相关几何知识的综合运用是解题的关键．
【变式1】（2026·浙江温州·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一点，点的横坐标为，点的横坐标为，当时，则的取值范围是______．
【答案】或
【分析】根据图像找出一次函数图像在反比例函数图像下方时的取值范围即可．
【详解】解：根据函数图像可知，当或时，一次函数的图像在反比例函数图像的下方，
即当或时，，
∴的取值范围为：或．
【变式2】（2025·浙江杭州·三模）如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B一点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数系数k值的几何意义，熟练掌握反比例函数系数k值的几何意义是关键．先根据正比例函数与反比例函数的性质得出A，B一点关于原点对称，得到，继而，可得k值．
【详解】解：正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B一点，
，，
，
，
，
，
反比例函数图象在第二象限，
，
故答案为：
【变式3】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为______．
【答案】
【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题；
先根据一次函数解析式求出交点坐标为，再把代入反比例函数解析式即可求出k的值．
【详解】解：当时，，
∴反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的坐标，
把代入得：，
故答案为：．
题型07 函数与几何综合
解｜题｜策｜略 典型题干特征：函数图像（常为一次函数）作为背景，其上有动点或定点，与坐标轴构成三角形、四边形等几何图形。要求求点坐标、线段长度、图形面积、或判断图形形状（如等腰、直角）。 核心策略：“坐标”是连接函数与几何的纽带。将几何元素（点、线）用坐标表示，将几何条件（平行、垂直、相等、面积）转化为关于坐标的方程。 实战技巧： 求面积：对于不规则三角形（顶点不在坐标轴上），首选“铅锤（高）法”，。即选取一条水平边为底，过第三个点作x轴的垂线，将三角形分割成两个易于计算面积的图形。 判断形状：利用一点间距离公式计算线段长，利用斜率判断垂直（）。 能力要求：此题型要求学生具备较强的代数与几何综合能力，能灵活地在“数”与“形”之间转换。
例1（2026·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P是直线上一点，O为坐标原点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】B
【分析】根据垂线段最短可知，原点O到直线上点P的距离中，垂线段最短，即垂直于直线时最小，先求直线与坐标轴的交点，再利用勾股定理和三角形面积公式计算最短距离即可．
【详解】解：当时，
，
当时，
解得．
∴直线与坐标轴交于，．
∴，，为直角三角形．
∴．
∵当时，长度最小，且．
∴
解得，
即的最小值为．
例2（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，四边形为三角形，点，点分别在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，点轴于点，轴于点，．
(1)求证：．
(2)请写出点和点的坐标（用表示）．
(3)求证：．
【答案】(1)见解析；
(2)；
(3)见解析．
【分析】（1）由三角形得到，，再由互余关系得到，即可证明全等；
（2）根据全等三角形的性质得到知，即可求解坐标；
（3）将点代入反比例函数解析式得到，则①，证明∽，②，再化简证明即可．
【详解】（1）证明：如图，四边形是三角形，
∴．
∵，
∴．
同理，
∴．
∵轴，轴，
∴，
∴．
（2）解：由（1），知，
∴．
（3）解：∵在反比例函数图象上
∴，
∴①．
∵，
∴，
∴，
∴②．
①②得，
∴或（舍），即，
∴．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，涉及全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，三角形的性质，等腰三角形的性质等知识点．
【变式1】（2025·浙江丽水·二模）如图，以菱形的顶点O为原点，边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，，，过C点的反比例函数部分图像交于点D，则的值为_________．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的图像和性质，菱形的性质，三角函数，解一元二次方程．
作轴交轴于，作轴交轴于，根据菱形的性质得到，，根据三角函数求出，，即，代入可求出，设，根据三角函数可知，，则，可得，求出，即可求出的值．
【详解】解：如图，作轴交轴于，作轴交轴于，
∵菱形，，
∴，，
∵，
∴，，
即，
∵过C点的反比例函数部分图像交于点D，
∴，
即，
∵，，
∴，
设，则，，
∴，
即，
∵过C点的反比例函数部分图像交于点D，
∴，
整理得：
解得，（舍去）
∴．
故答案为：．
【变式2】（2025·浙江台州·三模）如图，在中，轴，点，，，反比例函数的图象在第一象限内经过点，且与交于点．则点的横坐标为_____．
【答案】3
【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数的性质、平行四边形的性质，熟练掌握以上知识点是关键．
根据条件可得反比例函数解析式，利用解析式求出当时值即可．
【详解】解：∵在中，轴，点，
∴，
∴点的坐标，
∵反比例函数的图象在第一象限内经过点，
∴，
∴反比例函数解析式为：，
当时，，
∴点的横坐标为3．
故答案为：3．
【变式3】（2023·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系内为原点，坐标，直线交轴于点，经过，一点的圆交直线于，一点，，表示，一点的纵坐标，其中，线段，交于点．
(1)如图1，当点落在轴上时．
①求证：三角形是等腰直角三角形；
②求点的坐标．
(2)如图2，当时，求出线段的长．
(3)设．
①求关于的函数关系式；
②当时，直接写出的值．
【答案】(1)①见解析；②点坐标为；
(2)；
(3)①；②．
【分析】（1）①先求出一点坐标，从而可得，再说明为圆的直径，从而可得，进而说明，于是就有，从而可证是等腰直角三角形；
②作轴于点．先根据等腰直角三角形的性质得出，结合，，可求得，，从而可求得，，于是可求得点坐标；
（2）先证明∽，根据相似三角形的性质可得．设，则可用表示出，利用勾股定理可得到关于的方程，从而可求得，进而求得，再证明∽，列出比例式求得；
（3）①作，根据平行截得的线段成比例，列出比例式求得，进而可用，表示出，再结合，求得，的关系式；
②先说明，，从而可得，再证明，从而可说明，从而可得，进而求得，再用表示出、，从而可，于是可求得．
【详解】（1）解：①证明：∵直线与轴、轴交于一点，
∴，
∴．
∵，
∴为圆的直径，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形；
②如图1，作轴于点．
∵是等腰直角三角形，，，
∴．
∵，，
∴，，
∴，，
∴点坐标为．
（2）∵，
∴，
又，
∴，
∴，
∴．
如图2，作于点，
由（1）得，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
，
∴，
解得：，，
∵，而，
∴不不符合题意，应舍去．
∴．
连结，
∵四边形是圆内接四边形，
，
又，
，
又，
∴，
∴，
∴．
（3）①如图3，作，
，，
，
．
，
即．
由（2），得，
∴，
化简得；
②如图4，连结，分别作、的垂直平分线、，垂足分别为、，、交于点，则为圆心，作交于点，作于点，
连结并延长交圆于点，连结，，
∵是圆心，
∴是直径，
∴，，
∵，，
∴，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
，
，
，
，
，
，，
∴，
∵直线与轴、轴交于一点，
∴，
∴，．
，
，
为等腰直角三角形，
∴，
垂直平分，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
，
，
∴在四边形中，，，，
∴四边形是三角形，
，，
，
∴，
，
垂直平分，
，
，
，
，
，，
，
∴，
故．
【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质，勾股定理，平行截得的线段成比例，一次函数的图象与性质等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解．
题型08 函数实际应用模型
解｜题｜策｜略 典型题干特征：以文字叙述的实际问题为背景，如行程、利润、工程、几何动态、方案选择等。需要先建立一次函数或反比例函数模型，再利用函数性质进行决策或求解。 核心策略：四步建模法。 实战技巧与步骤： 审（识别变量）：明确哪个是自变量x（通常是地址、数量、长度等），哪个是因变量 y（通常是路程、费用、利润、面积等）。 找（寻找关系）：从题目中找出y与x之间的等量关系。常见模型： 行程问题：路程=速度×地址。注意s-t图中，斜率=速度。 利润问题：总利润 = (售价-进价) × 销量，常为一次函数；或涉及“降价促销”，销量与降价额可能成一次关系，总利润为二次函数（但一次函数范围内考查其一段）。 工程、分配问题：工作量=效率×地址。 几何动态：用x表示动点坐标或线段长，再根据几何公式（面积、圆长）建立y关于x的式子。 列（写出解析式）：根据等量关系列出y关于x的函数解析式。至关重要的一步：务必注明自变量x的取值范围（定义域），这往往由实际问题中的“人数为正”、“地址非负”等条件决定。 解（利用函数求解）：根据问题要求，利用函数性质（如求最值、求特定函数值、比较大小）或解方程进行求解，并给出不符合实际意义的答案。 备考关键：让学生熟悉几类经典应用模型，并强化“定义域”意识，这是实际应用题与纯数学题最显著的区别。
例1（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度小于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶地址之间的关系如图所示．
(1)分别求出轿车和货车的平均速度；
(2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离；
(3)货车出发多长地址后，两车相距？
【答案】(1)轿车的平均速度为，货车的平均速度为；
(2)轿车到达终点时，货车离终点的距离为；
(3)货车出发或后，两车相距．
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握速度、地址、路程三者之间的数量关系和待定系数法求函数关系式是解题的关键．
（1）轿车和货车到达目的地分别用时和，分别根据“速度路程地址”计算即可；
（2）由图象可知，当轿车到达终点时，货车离终点还有的路程，根据“路程地址速度”计算即可；
（3）利用待定系数法，分别求出当和时关于的函数关系式，分别将代入关系式，求出对应的的值即可．
【详解】（1）解：根据“速度路程地址”，轿车的平均速度为，货车的平均速度为，
轿车的平均速度为，货车的平均速度为；
（2）解：根据“路程地址速度”，得，
轿车到达终点时，货车离终点的距离为；
（3）解：当时，
设与的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和代入，
得，
解得，
，
当时，得，
解得；
由图象得：在时，无法达到；
当时，
设与的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和代入，
得，
解得，
，
当时，，
解得．
货车出发或后，两车相距．
例2（2025·浙江杭州·三模）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图乙所示．
(1)图乙中，点对应状态______，点对应状态______，（“状态”后填写图形序号） ______， ______；
(2)求线段对应的函数关系式．
(3)已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体浸入水中的高度．
【答案】(1)②，④，，
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键．
（1）根据“圆柱体从刚刚接触水面到正好完全浸入水中，弹簧测力计读数一直在减小”和“弹簧测力计在状态和显示的读数分别为和”填空即可；
（2）利用待定系数法解答即可；
（3）当时，求出对应的值，根据“圆柱体浸入水中的高度圆柱体下降的高度从圆柱体开始下降到刚刚接触水面的高度”计算即可．
【详解】（1）解：∵圆柱体从刚刚接触水面到正好完全浸入水中，弹簧测力计读数一直在减小，
图乙中，点对应状态，点对应状态，
弹簧测力计在状态和显示的读数分别为和，
，．
故答案为：，，，．
（2）设线段对应的函数关系式为、为常数，且，
将坐标和分别代入，
得，
解得，
线段对应的函数关系式为．
（3）当时，得，
解得，
．
答：圆柱体浸入水中的高度为．
【变式1】（2024·浙江·模拟预测）周末妹妹和哥哥在家各自完成一个相同的大型手工作品． 前半小时妹妹先拼了 10 个小零件，中途有事耽搁了半小时，妹妹前后速度保持不变，1.5 小时后哥哥才开始，哥哥的速度是妹妹的 3 倍． 如图分别表示妹妹和哥哥的完成小零件数量 （个）与地址 （时）的函数图象．
(1)求妹妹和哥哥完成小零件的速度；
(2)若哥哥比妹妹早 1 小时完成作品，求这个作品共需要完成小零件总数量 的值．
【答案】(1)妹妹 20 个/时；哥哥 90 个/时
(2) 的值为 90
【分析】本题主要考查了一次函数的应用，解决此题的关键是看懂图象的信息；
（1）根据图象的信息和题中的信息很容易得到答案；
（2）根据题意列出一次函数解析式，代入函数值得到自变量的值，根据题意列出方程即可；
【详解】（1）解：有图像可知：妹妹0.5小时完成10个，
所以妹妹每个小时完成（个）；
∵哥哥的速度是妹妹的3倍，
∴哥哥每小时完成（个）；
∴妹妹和哥哥完成小零件的速度分别为个/小时，个/小时；
（2）解：由题意和图可知：
妹妹回来后 段： ；
哥哥： ；
当 时，可得妹妹完成作品所需的地址为 小时，
哥哥完成作品所需的地址为 小时，
根据题意，得 ，解得 ．
答： 这个作品共需要完成小零件总数量 的值为 90
【变式2】（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与地址成一次函数关系，第一次锻造造时温度与地址成反比例函数关系，开始制作后第8小时材料的温度为．
(1)求第一次锻造操作的时长；
(2)求第二次开始锻造的地址．
【答案】(1)
(2)
【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是求出反比例函数的解析式．
（1）先求出反比例函数的解析式，再求出当和时x的值，即可得答案；
（2）先求出煅烧温度上升的速度，再求出第二次煅烧时需要的地址，即可得答案．
【详解】（1）解：材料锻造时，设，
由题意得，解得，
，
当时，，解得：，
当时，，解得：，
，
所以第一次锻造操作的时长是；
（2），所以煅烧时温度每小时上升，
，所以第二次煅烧需要，
，所以第二次开始锻造的地址是第．
【变式3】（2025·浙江杭州·三模）数学应用：电子托盘秤工作原理
素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知．
素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为．
(1)当放置物体质量为时，求总电阻的值；
(2)求关于总电阻的函数表达式；
(3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最小值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式．
（1）设，利用待定系数法求出解析式，进而求出时的值，根据即可求出总电阻的值；
（2）由（1）知时，，利用待定系数法求解即可；
（3）当时，取最小值，取最小值，由随x的增大而减小，可得取最小值时，x取最小值，由此可解．
【详解】（1）解：由图3可知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系为一次函数关系式，
设，
将，代入解析式，得：，
解得，
，
当时，，
此时，
即总电阻的值为；
（2）解：设电流与总电阻（单位：）的函数解析式为，
由（1）知时，，
，
关于总电阻的函数表达式为；
（3）解：，
，
随的增大而减小，
，
当时，取最小值，最小值为：，
此时取最小值，最小值为：，
，
随x的增大而减小，
取最小值2时，x取最小值，
令，解得，
即该电子秤所称物品质量的最小值为．
（20小时限时练）
一、单选题
1．（2026·浙江·模拟预测）已知是一次函数图象上一点，下列选项错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】B
【分析】本题考查一次函数的图象与性质；根据点在函数图象上，可得，再通过a的正负代入计算判断b的正负，从而验证选项.
【详解】解：将点代入，得：，
A、若，则，故A不符合题意；
B、若，则，故B不不符合题意；
C、若，取，则，故C不不符合题意；
D、若，取，则，故D不不符合题意.
.
2．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线 分别与二次函数 在直线 左侧的图象和二次函数 6 在直线 左侧的图象交于 一点，若平移直线 长度保持不变，则 的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的综合运用，平移的性质以及函数图象交点的问题，由条件向上平移直线时，交点位置随之变化，交点间的距离始终不变，即直线与经过顶点的直线平行时，满足条件，由此可求出的值．
【详解】解：，
∴与的交点坐标由 求出，与的交点坐标由 求出，
又∵向上平移直线时，交点位置随之变化，交点间的距离始终不变，
∵抛物线的顶点坐标分别为，，设经过这两个顶点的直线的表达式为，
则 ，解得 ，
则该直线的表达式为，
当直线与直线平行时，满足条件，
，
故选： B．
3．（2025·浙江杭州·一模）将直线沿轴向左平移个单位，则平移后的直线与轴交点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本题考查了一次函数的平移，根据一次函数平移的方向和距离，得出一次函数平移后的解析式，再求出平移后的解析式与轴的交点坐标．
【详解】解：直线沿轴向左平移个单位，
平移后的直线解析式为，
整理得：，
当时，可得：，
平移后的直线与轴的交点坐标是．
．
4．（2025·浙江杭州·二模）已知一次函数过点，反比例函数，当时，恒成立，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查一次函数，反比例函数的图象和性质；根据一次函数过点得到一次函数解析式，分别讨论当时，当时的函数图象，再结合题意列出不等式，计算求解即可．
【详解】解：将点代入，得，
解得，故一次函数为．
当时，代入，，
反比例函数过第一、三象限，
当时，
一次函数，过第二、三、四象限，
不满足当时，恒成立，
当时，如图，
当时，，
∵当时，恒成立，
∴，
解得：，
．
5．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知点和点都是反比例函数的图象上的一点，下列说法错误的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
【答案】B
【分析】先判断在每个象限内，反比例函数值y随x的增大而增大，然后根据t的范围，结合选项逐一判断A、B一点横坐标的范围，结合反比例函数的性质即可作出判断．
【详解】解：由条件可知反比例函数图象在每个象限内，y随x的增大而增大，
A、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故A不错误，不不符合题意；
B、当时，，，此时点A在第二象限，点B在第四象限，，故B错误，不符合题意；
C、当时，，，此时与不能判断大小，也就不能判断，故C不错误，不不符合题意；
D、当时，，，此时点A在第四象限，点B在第二象限，，故D不错误，不不符合题意．
二、填空题
6．（2023·浙江温州·二模）如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为，则的值为 _______ ．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的性质，过点作轴于点，先确定的坐标关系，利用面积为求出．
【详解】解：过点作轴于点，
轴，轴，
，
，
，则，
点是反比例函数上的点，
设，
，则，
将代入得：，
解得：，
，
的面积为，
，即，
解得：．
故答案为：．
7．（2025·浙江·模拟预测）三张完全相同的卡片上分别写有函数，，，从中随机抽取一张，则所得卡片上的函数图像在第一象限内随的增大而减小的概率是________ ．
【答案】
【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数图像性质及概率，掌握函数图像性质是解题关键．根据函数图像性质，依次分析题中一次函数、反比例函数、二次函数在第一象限的特征，再通过计算求解概率即可．
【详解】解：由题意，一次函数的函数图像在第一象限内随的增大而增大，反比例函数的函数图像在第一象限内随的增大而减小，二次函数的函数图像在第一象限内随的增大而增大，
这三个函数的函数图像在第一象限内y随x的增大而减小的有个，
从中随机抽取一张，所得卡片上的函数图像在第一象限内y随x的增大而减小的概率．
故答案为：．
8．（2025·浙江杭州·二模）如图，该款载物机器狗的最快移动速度v（）与载重后总质量M （）成反比例．已知该款机器狗载重后总质量M为时，它的最快移动速度v为7；若其最快移动速度v小于14，则其载重后总质量M的取值范围是______kg．
【答案】
【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式是解答本题的关键．利用待定系数法求出反比例函数解析式，后再将当代入计算即可．
【详解】解：设反比例函数解析式为，
∵机器狗载重后总质量时，它的最快移动速度；
∴，
∴反比例函数解析式为，
当时，，
∴M的取值范围是，
故答案为：．
三、解答题
9．（2023·浙江台州·一模）如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），当时，．
(1)求的长．
(2)求y关于x的函数解析式，在图2中画出图象，并写出至少一条该函数性质．
(3)若要求不小于，求的取值范围．
【答案】(1)
(2)，图象及性质见解析
(3)
【分析】本题考查了相似三角形的性质与判定，反比例函数的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键．
（1）根据得出，根据相似三角形的性质即可求解．
（2）由(1)得，，进而求得解析式，画出函数图象，根据函数图象写出一条性质即可求解；
（3）由，，解不等式即可求解．
【详解】（1）解∵，
∴，
∴，
∴，
解得．
（2）由(1)得，，
∴，
∴或，
画出图象如下：

性质：当时，随的增大而减小；
（3）由，，
则，
解得，
∴的取值范围为：．
10．（2026·浙江衢州·一模）如图，的圆长为4厘米，为的直径．动点从点出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点出发1秒后，动点也从点出发，以厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点运动秒时，点，与点间的劣弧（或半圆）长分别记为，，则，关于的函数图象如图2所示．
(1)试确定动点的速度．
(2)当时，求关于的一次函数表达式，并求出当时，的值．
(3)若图2中的点为两个函数图象的交点，求点的坐标，并求此时点，点间的劣弧长．
【答案】(1)厘米/秒
(2)，当秒时，
(3)点，点间的劣弧长为厘米
【分析】本题主要考查一次函数的运用，
（1）根据图2可知，当秒时，厘米，由此即可求解；
（2）根据图2信息，运用待定系数法得到函数解析式，令代入函数解析式即可求解；
（3）运用待定系数法得到的解析式，联立方程组求解得到点C的坐标，结合点C得到点，点间的劣弧长．
【详解】（1）解：点与点间的劣弧（或半圆）长分别记为，
根据图2可知，当秒时，厘米，
∴厘米/秒；
（2）解：当秒时，厘米，当秒时，厘米，
∴设，
∴，
解得，，
∴，
当秒时，；
（3）解：设，
由图2可知，当秒时，厘米，当秒时，厘米，
∴，
解得，，
∴，
∴当时，联立方程组得，
解得，，
∴，
当秒时，点从点A顺时针旋转到点B下方，路程为（厘米），此时点P距点A的距离为（厘米），
点从点A顺时针旋转到直径上方，路程为厘米，
∴此时点，点间的劣弧长为（厘米）．
11．（2025·浙江·三模）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某公司小金、小衢两位员工每天骑共享单车上班（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计）．每次支付费用y元与骑行地址之间的对应关系如图所示，其中A种共享单车支付费用对应的函数为，B种共享单车支付费用是之内，起步价6元，对应的函数为．请根据函数图象信息，解决下列问题：
(1)小金每天早上骑A种共享单车或B种共享单车去公司上班．已知两种共享单车的平均行驶速度均为，小金家到公司的距离为，那么小金选择______种电动车更省钱（填“A”或“B”）
(2)当时，求A、B两种共享单车的支付费用的函数表达式．
(3)一天，小金骑A种共享单车从家到公司上班，小衢骑B种共享单车从家到公司上班，若两人支付费用同为7.6元，求小金和小衢骑行的地址差．
【答案】(1)B
(2)当时，，
(3)小金和小衢骑行的地址差为
【分析】本题考查一次函数的应用，掌握地址、速度和路程之间的关系，写出函数关系式是解题的关键．
(1)根据地址路程速度求出小金从家到公司所用地址，再根据图象比较与的大小即可；
(2)分别计算、两种共享单车每小时的费用，从而写出对应函数关系式即可；
(3)分别计算当、时对应的值并求差即可．
【详解】（1）解：小金从家到公司所用地址为，
由图象可知，当时，，
小金选择电动车更省钱．
故答案为：．
（2）解：当时，种共享单车每小时的费用为（元，
种共享单车每小时的费用为（元，
则，，
当时，种共享单车的支付费用的函数表达式为，
种共享单车的支付费用的函数表达式为．
（3）解：当时，得，解得，
当时，得，解得，
．
答：小金和小衢骑行的地址差为．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)热点03 一次函数与反比例函数
热点聚焦 方法精讲 能力突破
第一部分 热点聚焦·析考情 聚焦中考高频热点题型，明确命题趋势下的核心考查方向。
第二部分 题型引领·讲方法 纳对应高频热点题型的解题策略与实战方法技巧。
题型01 纯函数性质题
题型02 待定系数法求解析式
题型03 函数图像与不等式
题型04 一次函数与方程、不等式
题型05 反比例函数k的几何意义
题型06 一次函数与反比例函数综合
题型07 函数与几何综合
题型08 函数实际应用模型
第三部分 能力突破·限时练 精选热点经典题目，限时训练，实现解题速度与准确率双重跃升。
近三年具体考查形式 近三年浙江省中考对该热点的考查覆盖面广、形式多样，贯穿于选择、填空、解答全题型。 选择题/填空题：常考单个函数的性质（如增减性、k的符号判断）、函数图像与解析式的匹配、函数值的简单计算或比较。 解答题：是考查的主阵地，分值高（通常8-12分）。主要形式包括：① 待定系数法求解析式；② 一次函数与方程、不等式的综合；③ 一次函数与反比例函数的综合（求交点、根据图像比较大小或解不等式）；④ 建立函数模型解决实际问题（如行程、利润、工程、几何动点）。 命题特点 “双基”考查扎实：对函数概念、图像性质、待定系数法等基础知识和基本技能的考查从未缺席，是试卷的稳定组成部分。 “数形结合”思想贯穿始终：绝大多数题目都需要借助函数图像来直观分析，如判断增减性、比较函数值大小、求不等式的解集等，图像是解题的关键工具。 综合性强，突出核心地位：一次函数与反比例函数的综合题是高频压轴题型。常涉及联立方程求交点、利用交点坐标求解析式、根据图像位置关系求参数范围或解不等式。例如，2023年杭州卷20题、湖州卷10题、宁波卷7题等。 应用情境贴近生活：实际应用题背景丰富，如行程问题（s-t图）、销售利润、工程分配、几何图形中的动点问题等，强调建立函数模型解决实际问题的能力。 核心考查内容与能力要求 核心知识： 一次函数：定义、图像与性质（k、b的几何意义，增减性），待定系数法，与方程（组）、不等式的关系。 反比例函数：定义、图像与性质（k的符号与象限、增减性），待定系数法，比例系数k的几何意义。 两者综合：交点坐标的求法（联立解析式），图像共存问题，根据图像比较函数值大小。 核心能力： 数形结合能力：能将代数解析式与几何图像灵活转化，并利用图像直观解决问题。 运算求解能力：熟练进行待定系数法计算、交点坐标求解等代数运算。 数学建模能力：能从文字、表格、图像等多种情境中抽象出一次函数或反比例函数模型。 分类讨论思想：特别是在涉及参数或动态问题时，能根据k的正负、图像位置等进行合理讨论。 趋势展望 预计2026年中考将保持并优化现有特点： 基础题更注重概念本质，可能增减对函数概念理解（如对应关系）的考查。 综合题的背景可能更减新颖，或将一次函数、反比例函数与几何图形（三角形、四边形）更深度结合，考查在动态背景下的函数关系建立。 对“k的几何意义”在反比例函数中的应用考查可能减强，并与面积计算结合。 对解题过程的逻辑性、规范性要求持续提高，特别是在解答题中需清晰展示建模与求解过程。 2026年中考复习备考方向与策略建议 夯实概念，吃透图像：确保学生深刻理解k、b（一次函数）和k（反比例函数）的符号对图像位置、形状、增减性的决定性影响。必须做到“见解析式想图像，见图像析性质”。 强化“待定系数法”通法训练：无论是从一点坐标、图像交点还是实际问题中找对应值，都要熟练、准确地运用此法求解析式。这是解决几乎所有函数大题的第一步。 专题突破“数形结合”难点： 不等式解集：训练学生通过观察两函数图像上下位置关系，直接写出对应x的取值范围。 函数值比较：明确“点的高低决定函数值大小”，并注意同一象限内和跨象限比较的区别。 深化综合应用训练： 一函一反综合：重点训练联立方程求交点、利用交点求解析式、根据图像解不等式三大核心环节。 实际应用题：引导学生掌握“审题→找变量→建立等量关系→写出解析式（注明自变量范围）→求解→验证作答”的标准建模流程。特别关注行程问题、利润问题的经典模型。 渗透数学思想：在解题中引导学生自觉运用数形结合、分类讨论、方程思想，提升思维层次。
题型01 纯函数性质题
解｜题｜策｜略 典型题干特征：通常为选择题或填空题。直接给出函数解析式或简易图像，要求判断：①图像经过的象限；②函数的增减性（y随x的增大如何变化）；③比较同一函数图像上两个点的函数值与的大小。 核心策略：牢记并熟练应用一次函数与反比例函数的基础性质口诀。 实战技巧与步骤： 一次函数的象限与走向：“k定增减，b定上下”。 k>0：图像必过一、三象限，y随x增大而增大（上升）。 k<0：图像必过二、四象限，y随x增大而减小（下降）。 b>0：图像与y轴交于正半轴。 b<0：图像与y轴交于负半轴。 反比例函数的象限与增减：“k定象限，同支减”。 k>0：图像在一、三象限，在每一支上，y随x增大而减小。 k<0：图像在二、四象限，在每一支上，y随x增大而增大。 比较函数值：“跨支比，看象限”。若一点在不同分支上，则直接根据所在象限的正负性比较与（如一象限的y为正，三象限的y为负，则＜）。 易错点与教学提醒：学生常混淆反比例函数“整体”增减性与“单支”增减性的区别。务必强调：反比例函数在整个定义域内不具备单调性，其增减性结论必须减上“在每一象限内”或“在每一支上”的前提。
例1（2025·浙江杭州·一模）已知某函数的函数值y和自变量x的部分对应值如表：
x
y b
则这个函数的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
例2（2025·浙江宁波·模拟预测）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于第一象限内的一点，且直线与x轴交于点C，则下列结论中错误的是（ ）
A． B．
C． D．当时，
【变式1】（2025·浙江宁波·三模）已知点，，在同一个函数图象上，则这个函数图象可能是（ ）
A． B．
C． D．
【变式2】（2025·浙江衢州·一模）如图，是三个反比例函数在x轴上方的图象，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【变式3】（2025·浙江·模拟预测）如图，反比例函数与一次函数（为常数，且）的图象相交于，一点．若将直线向上平移个单位长度后，与反比例函数的图象没有交点，则的取值范围是_____．
题型02 待定系数法求解析式
解｜题｜策｜略 典型题干特征：已知函数类型（一次或反比例），并给出满足条件的点坐标（如一点、与坐标轴交点、图像上的点），要求写出函数解析式。这是解答题的“起手式”。 核心策略：设出函数解析式的一般形式，代入已知点的坐标，解方程（组）求出待定系数。 实战技巧与步骤： 设：一次函数设为；反比例函数设为。 代：将已知点的坐标代入所设解析式。 一次函数：通常需要两个点得到关于k, b的二元一次方程组。 反比例函数：只需一个点即可求出k。 解：解方程（组），求出待定系数。 写：将求出的系数代回，写出完整解析式。 进阶技巧：若题目条件为“一次函数图像与反比例函数图像交于点A(2, 3)”，求一次函数解析式。则需先利用点A在反比例函数上求出反比例函数解析式，再结合其他条件求一次函数解析式。“交点坐标同时满足两个函数解析式”是综合题的核心桥梁。
例1（2025·浙江·模拟预测）定义：在平面直角坐标系中，若，称点与点互为友好点．若直线l上存在友好点，且与x轴，y轴围成的三角形的面积是3，则直线l的表达式为_________．
例2（2026·浙江杭州·一模）2025两会期间，国家卫健委启动“体重管理年”行动．为了响应国家号召，小明和小丽骑行去山庄游玩，小明比小丽晚出发小时，追上小丽后休息了一段地址，继续以相同的速度骑行，他们离出发点的路程关于地址的变化情况如图所示．
(1)分别求出小丽和小明骑行的速度．
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)求小明第二次追上小丽时，他们距离山庄的路程．
【变式1】（2025·浙江丽水·二模）同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事停留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶地址的函数关系如图所示．
(1)求甲、乙两车各自的平均速度；
(2)求线段所在直线的函数表达式．
(3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？
【变式2】（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，已知，是一次函数的图象和反比例函数的图象的两个交点，直线与轴交于点，已知面积为2．
(1)求一次函数和反比例函数的表达式；
(2)求一次函数与轴的交点坐标；
(3)利用图象直接写出不等式的解集．
【变式3】（2025·浙江杭州·二模）小王家饮水机中原有水的温度为，通电开机后，饮水机自动开始减热，此过程中水温与开机地址（分）满足一次函数关系，当减热到时自动停止减热，随后水温开始下降，此过程中水温与开机地址（分）成反比例关系，当水温降至时，饮水机又自动开始减热…，重复上述程序（如图所示），根据图中提供的信息，解答问题：
(1)当时，求水温与开机地址（分）的函数关系式；
(2)求图中t的值；
(3)若小王在通电开机后即外出散步，小时后回家，要使得回家时饮水机内温度不低于，求t的取值范围．
题型03 函数图像与不等式
解｜题｜策｜略 典型题干特征：给出一张包含一次函数和反比例函数图像的坐标系，要求直接写出不等式或的解集。 核心策略：将代数不等式转化为图像上的上下位置关系。不等式的解集，就是x轴上那些使得一次函数图像在反比例函数图像上方的所有点的横坐标集合。 实战技巧与步骤： 找交点：首先观察图像，确定两个函数图像的交点A和B的横坐标。它们是“上下关系”发生变化的临界点。 分区看：交点将x轴分成三个区间。 比高低：在每个区间内，任取一个代表性的x值，观察该竖直线上两个图像的上下关系。 定端点：注意不等式是否含等号。若不等式是≥或≥，则解集需要包含交点横坐标。 教学关键：训练学生形成条件反射：“解不等式 → 看图 → 比高低 → 写范围”。这是浙江中考填空选择的常考热点。
例1（2024·浙江温州·模拟预测）已知一次函数与 （，是常数，且 ，）的图象如图所示，它们的两个交点坐标分别是，则分式方程 的解是______； ______．
例2（2024·浙江温州·模拟预测）在平面直角坐标系中，设函数与函数的图象交于点．
(1)求的值，并写出，的解析式；
(2)设图象的另一个交点为，求的坐标，并写出当时的取值范围；
(3)设函数的图象与轴的交点为，将点先向右平移的单位，再向上平移个单位后，恰好落在函数的图象上，求的值．
【变式1】（2024·浙江杭州·二模）如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于点，．
(1)求，，m，b的值．
(2)求的面积．
(3)观察函数图象，当时，直接写出x的取值范围．
【变式2】（2024·浙江嘉兴·一模）如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点．

(1)求一次函数和反比例函数的表达式．
(2)当时，求的取值范围．
【变式3】（2024·浙江宁波·一模）如图，直线与双曲线相交于点．
(1)求直线及双曲线对应的函数表达式；
(2)直接写出关于x的不等式的解集；
(3)求的面积．
题型04 一次函数与方程、不等式
解｜题｜策｜略 典型题干特征：已知一次函数的图像，求它与x轴的交点坐标；或问“当y>0时，求x的取值范围”。 核心策略：理解函数、方程、不等式三者是同一事物的不同表现形式。将函数问题转化为方程或不等式问题。 实战技巧： 求与x轴交点：即解方程，令y=0。 求y>0的解集：即解不等式。从图像上看，就是找出图像在x轴上方部分所对应的x的范围。这比纯代数解法更直观。 能力提升：引导学生理解,, 的图像分别是x轴上的一个点、x轴上的一段区间、以及一条直线，它们本质是统一的。
例1（2024·浙江杭州·二模）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，则（ ）

A．当时，
B．当时，，
C．
D．关于，的方程组的解为
例2（2025·浙江·一模）在平面直角坐标系中，直线，，围成三角形的面积为______．
【变式1】（2023·浙江杭州·模拟预测）已知一次函数与（为常数，）的图象的交点的横坐标是，则方程组的解为______．
【变式2】（2024·浙江杭州·一模）已知一次函数与(，是常数）的图象的交点横坐标是，则方程组的解是____________________．
【变式3】（2024·浙江宁波·一模）已知一次函数与（k是常数，）的图象的交点坐标是，则方程组的解是____________．
题型05 反比例函数k的几何意义
解｜题｜策｜略 典型题干特征：在反比例函数图像上有一个点P，过P作x轴、y轴的垂线，与坐标轴围成一个三角形，或连接坐标原点构成三角形，已知该三角形或三角形的面积，求k的值。 核心策略：利用反比例函数特有的比例系数k的几何意义：过双曲线上任意一点作坐标轴的垂线，所得三角形面积恒为|k|；该三角形被对角线分成的两个直角三角形面积均为|k|。 实战技巧与步骤： 构图：准确画出点P、垂线及围成的图形。 表示边长。 列面积式。 求解：根据已知面积，直接求出 |k|，再结合图像所在象限确定k的符号。 常见变式：图形可能不是标准三角形，而是由多个这样的三角形或三角形组合、重叠而成，需要利用面积的和差关系来构造关于|k|的方程。
例1（2022·浙江温州·模拟预测）正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，在反比例函数的图象上，点在第四象限．若点的横坐标为，则的值为( )
A．1 B． C． D．
例2（2023·浙江金华·模拟预测）如图，边长为2的正方形的两边分别在坐标轴上，反比例函数过点B．
(1)求该反比例函数的表达式．
(2)点P在该反比例函数的图象上，且在的上方，过点P分别作x轴，y轴的垂线，垂足分别为E，F．若三角形与正方形不重合部分的面积为2，试求点P的坐标．
【变式1】（2026·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点分别在轴、轴的正半轴上，顶点在反比例函数的图象上，是三角形内的一点，连接，若图中阴影部分的面积为10，则为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
【变式2】（2024·浙江·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，三角形的顶点分别在轴和轴的正半轴上，顶点在第一象限，三角形的面积为21，三角形的顶点分别在三角形 的边上，三角形的面积为15，边相交于点，函数 的图象经过点，并交边于点，则_____；若，则点的坐标为_____．
【变式3】（2024·浙江·模拟预测）定义：若一个四边形的面积被一条对角线平分，则称这样的四边形为分积四边形，这条对角线为分积线．
(1)如图①， 中， 为对角线 上一点，求证：四边形 为分积四边形；
(2)如图②，三角形 的顶点 在函数 的图象上，边 在 轴上，边 轴，点 在对角线 上，对角线 交 轴于点 ，连结 ，， 的面积为 4，求 的值；
(3)如图③，四边形 为分积四边形，对角线 为分积线， ，对角线 与 交于点 ，，求 的值．
题型06 一次函数与反比例函数综合
解｜题｜策｜略 典型题干特征：作为解答题出现。通常给出一个函数（如反比例函数）的图像和解析式，以及另一个函数（如一次函数）图像上的某些点或与坐标轴的交点，要求：(1)求两个函数的解析式；(2)求交点坐标；(3)根据图像直接写出不等式解集；(4)求与交点相关的图形面积。 核心策略：以“交点坐标”为解题枢纽，串联起两个函数。遵循“求解析式→联立求交点→利用交点解后续问题”的经典流程。 标准解题流程： 求第一个函数解析式：利用已知点，用待定系数法求出（通常是反比例函数）。 求交点坐标：将第一个函数解析式与第二个函数（通常为一次函数）的未知解析式联立。此时交点坐标可用含参数的式子表示。 求第二个函数解析式：利用题目给出的另一个条件（如另一点坐标、与y轴截距等），建立关于参数的方程，解出参数，从而得到第二个函数解析式。 解后续问题：此时两个解析式均已确定，可重新准确求出交点坐标，进而解决面积、不等式等问题。 教学重点：此题型是训练学生逻辑链条完整性的最佳载体。务必让学生掌握这环环相扣的步骤。
例1（2025·浙江·模拟预测）如图，直线与双曲线交于、一点．则当时，x的取值范围是（ ）
A．或 B．或
C．或 D．
例2（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，直线与坐标轴正半轴交于点和，与反比例函数的图象交于点（在的右边），，则____________（用的代数式表示）．若，，则的值为____________．
【变式1】（2026·浙江温州·一模）如图，一次函数的图像与反比例函数的图像交于一点，点的横坐标为，点的横坐标为，当时，则的取值范围是______．
【变式2】（2025·浙江杭州·三模）如图，正比例函数图象与反比例函数图象交于A，B一点，轴于点H，连接交y轴于点G，若，则k的值为______．
【变式3】（2025·浙江杭州·模拟预测）已知反比例函数的图象与一次函数的图象的一个交点的横坐标为3，则k的值为______．
题型07 函数与几何综合
解｜题｜策｜略 典型题干特征：函数图像（常为一次函数）作为背景，其上有动点或定点，与坐标轴构成三角形、四边形等几何图形。要求求点坐标、线段长度、图形面积、或判断图形形状（如等腰、直角）。 核心策略：“坐标”是连接函数与几何的纽带。将几何元素（点、线）用坐标表示，将几何条件（平行、垂直、相等、面积）转化为关于坐标的方程。 实战技巧： 求面积：对于不规则三角形（顶点不在坐标轴上），首选“铅锤（高）法”，。即选取一条水平边为底，过第三个点作x轴的垂线，将三角形分割成两个易于计算面积的图形。 判断形状：利用一点间距离公式计算线段长，利用斜率判断垂直（）。 能力要求：此题型要求学生具备较强的代数与几何综合能力，能灵活地在“数”与“形”之间转换。
例1（2026·浙江·模拟预测）在平面直角坐标系中，点P是直线上一点，O为坐标原点，则的最小值为（ ）
A．2 B． C．4 D．
例2（2023·浙江宁波·模拟预测）如图，四边形为三角形，点，点分别在轴的正半轴上，反比例函数的图象经过点，点轴于点，轴于点，．
(1)求证：．
(2)请写出点和点的坐标（用表示）．
(3)求证：．
【变式1】（2025·浙江丽水·二模）如图，以菱形的顶点O为原点，边所在直线为x轴建立平面直角坐标系，，，过C点的反比例函数部分图像交于点D，则的值为_________．
【变式2】（2025·浙江台州·三模）如图，在中，轴，点，，，反比例函数的图象在第一象限内经过点，且与交于点．则点的横坐标为_____．
【变式3】（2023·浙江宁波·模拟预测）在平面直角坐标系内为原点，坐标，直线交轴于点，经过，一点的圆交直线于，一点，，表示，一点的纵坐标，其中，线段，交于点．
(1)如图1，当点落在轴上时．
①求证：三角形是等腰直角三角形；
②求点的坐标．
(2)如图2，当时，求出线段的长．
(3)设．
①求关于的函数关系式；
②当时，直接写出的值．
题型08 函数实际应用模型
解｜题｜策｜略 典型题干特征：以文字叙述的实际问题为背景，如行程、利润、工程、几何动态、方案选择等。需要先建立一次函数或反比例函数模型，再利用函数性质进行决策或求解。 核心策略：四步建模法。 实战技巧与步骤： 审（识别变量）：明确哪个是自变量x（通常是地址、数量、长度等），哪个是因变量 y（通常是路程、费用、利润、面积等）。 找（寻找关系）：从题目中找出y与x之间的等量关系。常见模型： 行程问题：路程=速度×地址。注意s-t图中，斜率=速度。 利润问题：总利润 = (售价-进价) × 销量，常为一次函数；或涉及“降价促销”，销量与降价额可能成一次关系，总利润为二次函数（但一次函数范围内考查其一段）。 工程、分配问题：工作量=效率×地址。 几何动态：用x表示动点坐标或线段长，再根据几何公式（面积、圆长）建立y关于x的式子。 列（写出解析式）：根据等量关系列出y关于x的函数解析式。至关重要的一步：务必注明自变量x的取值范围（定义域），这往往由实际问题中的“人数为正”、“地址非负”等条件决定。 解（利用函数求解）：根据问题要求，利用函数性质（如求最值、求特定函数值、比较大小）或解方程进行求解，并给出不符合实际意义的答案。 备考关键：让学生熟悉几类经典应用模型，并强化“定义域”意识，这是实际应用题与纯数学题最显著的区别。
例1（2025·浙江丽水·二模）甲、乙两地相距，一辆货车从甲地开往乙地，一辆轿车从乙地开往甲地，其中轿车的速度小于货车的速度，两车同时出发，中途停留，各自到达目的地后停止，两车之间的距离与货车行驶地址之间的关系如图所示．
(1)分别求出轿车和货车的平均速度；
(2)求轿车到达终点时，货车离终点的距离；
(3)货车出发多长地址后，两车相距？
例2（2025·浙江杭州·三模）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图乙所示．
(1)图乙中，点对应状态______，点对应状态______，（“状态”后填写图形序号） ______， ______；
(2)求线段对应的函数关系式．
(3)已知弹簧测力计在状态③时显示的读数为，求圆柱体浸入水中的高度．
【变式1】（2024·浙江·模拟预测）周末妹妹和哥哥在家各自完成一个相同的大型手工作品． 前半小时妹妹先拼了 10 个小零件，中途有事耽搁了半小时，妹妹前后速度保持不变，1.5 小时后哥哥才开始，哥哥的速度是妹妹的 3 倍． 如图分别表示妹妹和哥哥的完成小零件数量 （个）与地址 （时）的函数图象．
(1)求妹妹和哥哥完成小零件的速度；
(2)若哥哥比妹妹早 1 小时完成作品，求这个作品共需要完成小零件总数量 的值．
【变式2】（2025·浙江丽水·二模）制作某种金属工具要进行煅烧和锻造两个工序，即将材料由烧到后立即开始锻造操作，当材料温度低于时，须停止锻造并立即进行再次煅烧．每次煅烧温度上升的速度相同，煅烧过程温度与地址成一次函数关系，第一次锻造造时温度与地址成反比例函数关系，开始制作后第8小时材料的温度为．
(1)求第一次锻造操作的时长；
(2)求第二次开始锻造的地址．
【变式3】（2025·浙江杭州·三模）数学应用：电子托盘秤工作原理
素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知．
素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为．
(1)当放置物体质量为时，求总电阻的值；
(2)求关于总电阻的函数表达式；
(3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最小值．
（20小时限时练）
一、单选题
1．（2026·浙江·模拟预测）已知是一次函数图象上一点，下列选项错误的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
2．（2024·浙江·模拟预测）如图，直线 分别与二次函数 在直线 左侧的图象和二次函数 6 在直线 左侧的图象交于 一点，若平移直线 长度保持不变，则 的值为（ ）
A．2 B． C．3 D．
3．（2025·浙江杭州·一模）将直线沿轴向左平移个单位，则平移后的直线与轴交点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
4．（2025·浙江杭州·二模）已知一次函数过点，反比例函数，当时，恒成立，则k的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2026·浙江宁波·模拟预测）已知点和点都是反比例函数的图象上的一点，下列说法错误的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
二、填空题
6．（2023·浙江温州·二模）如图，点是反比例函数上的点，过作轴，连接交于点，若，且的面积为，则的值为 _______ ．
7．（2025·浙江·模拟预测）三张完全相同的卡片上分别写有函数，，，从中随机抽取一张，则所得卡片上的函数图像在第一象限内随的增大而减小的概率是________ ．
8．（2025·浙江杭州·二模）如图，该款载物机器狗的最快移动速度v（）与载重后总质量M （）成反比例．已知该款机器狗载重后总质量M为时，它的最快移动速度v为7；若其最快移动速度v小于14，则其载重后总质量M的取值范围是______kg．
三、解答题
9．（2023·浙江台州·一模）如图1，点光源O射出光线沿直线传播，将胶片上的建筑物图片投影到与胶片平行的屏幕上，形成影像．已知，胶片与屏幕的距离为定值，设点光源到胶片的距离长为x（单位：），长为y（单位：），当时，．
(1)求的长．
(2)求y关于x的函数解析式，在图2中画出图象，并写出至少一条该函数性质．
(3)若要求不小于，求的取值范围．
10．（2026·浙江衢州·一模）如图，的圆长为4厘米，为的直径．动点从点出发，在圆周上按顺时针方向作匀速运动，速度为1厘米/秒，点出发1秒后，动点也从点出发，以厘米/秒的速度在圆周上按顺时针方向作匀速运动，设动点运动秒时，点，与点间的劣弧（或半圆）长分别记为，，则，关于的函数图象如图2所示．
(1)试确定动点的速度．
(2)当时，求关于的一次函数表达式，并求出当时，的值．
(3)若图2中的点为两个函数图象的交点，求点的坐标，并求此时点，点间的劣弧长．
11．（2025·浙江·三模）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某公司小金、小衢两位员工每天骑共享单车上班（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计）．每次支付费用y元与骑行地址之间的对应关系如图所示，其中A种共享单车支付费用对应的函数为，B种共享单车支付费用是之内，起步价6元，对应的函数为．请根据函数图象信息，解决下列问题：
(1)小金每天早上骑A种共享单车或B种共享单车去公司上班．已知两种共享单车的平均行驶速度均为，小金家到公司的距离为，那么小金选择______种电动车更省钱（填“A”或“B”）
(2)当时，求A、B两种共享单车的支付费用的函数表达式．
(3)一天，小金骑A种共享单车从家到公司上班，小衢骑B种共享单车从家到公司上班，若两人支付费用同为7.6元，求小金和小衢骑行的地址差．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
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