资源简介

简单随机抽样
教学设计
（一）课时教学内容
简单随机抽样（第一课时）
（二）课时教学目标
1.了解普查与抽样调查的概念，知道两种调查方法的优缺点，能结合实际问题选择恰当的数据调查方法；
2.了解总体、样本、样本量的概念，了解抽样调查的随机性；
3.结合具体的实际问题情境，理解解简单随机抽样的含义及其解决问题的过程，能根据问题实际恰当选择抽签法或随机数法设计抽样过程，了解随机抽样的必要性和重要性。
（三）教学重点与难点
重点：普查与抽样调查的意义，总体与样本的意义，简单随机抽样及其应用.
难点：简单随机抽样的应用.
（四）教学过程设计
教学环节一：概念梳理
问题1：在现实生活中，我们经常会接触到各种统计数据，例如，人口总量、经济增长率、就业状况、物价指数、产品的合格率、商品的销售额、农作物的产量、人均水资源、居民人均年收入、电视台节目的收视率、学生的平均身高等，要正确阅读并理解这些数据，需要具备一些统计学的知识。本章我们将在初中学过的统计与概率知识的基础上，进一步深入学习。请大家阅读教材章引言及章头图、173—174页上方内容后填空。
师生活动：教师提醒学生阅读教材章引言及章头图、173—174页上方内容，了解统计学的概念及解决统计问题的一般过程，进一步了解全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量等概念，梳理概念并填空。
例1 在以下调查中，总体、个体各是什么？哪些适合用全面调查？哪些适合用抽样调查？
①调查一个班级学生每周的体育锻炼时间；
②调查一个地区结核病的发病率；
③调查一批炮弹的杀伤半径；
④调查一个水库所有鱼中草鱼所占的比例.
师生活动：提问学生回答，其余学生点评补充。
追问：你能总结全面调查和抽样调查的优缺点和适用范围吗？
师生活动：学生分析总结，教师可适当总结补充，完成表格。
全面调查（普查） 抽样调查
优点 调查结果全面、系统 迅速及时、节约人力
缺点 工作量大，有时费时费力 调查结果不如普查全面、系统
适用范 围 1.调查对象少； 2.调查对象多，但是调查结果要求必须全面、系统、准确时 1.调查对象太多，且不必要普查； 2.调查方式有破坏性
完成表格后引导学生进一步理解，统计的基本思想方法就是用样本估计总体，即通常不直接去研究总体，而是通过从总体中抽取一个样本，根据样本的情况去估计总体的情况。在此基础上，进一步提出问题，如何抽样才能抽取到一个“好”的样本呢？引导学生进行下一个环节的学习。
【设计意图】通过现实生活中的统计指标举例，让学生感受统计就在我们身边，体会学习统计的必要性，激发学生对本章的学习兴趣。通过阅读课本内容和概念提炼，让学生明确全章学习内容，了解统计解决问题的基本思路，了解全面调查、抽样调查、总体、个体、样本、样本量等概念，并关注两种调查方式优缺点、适用范围等，进而引入抽样调查的内容。
教学环节二：简单随机抽样的引入
问题2 ：假设口袋中有红色和白色共1000个小球，除颜色外，小球的大小、质地完全相同，你能通过抽样调查的方法估计袋中红球所占的比例吗？
师生活动：教师提出问题，并给出两种不同方案：
方案1：从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后放回，摇匀后再摸出一个球，如此重复n次；
方案2：从袋中随机地摸出一个球，记录颜色后不再放回袋中，每次摸球都在余下的球中随机摸取，如此n次；
请同学们分组讨论：以上两种方案能否估计出红球的比例，说明理由，并比较两种方案（引导学生用初中统计知识进行表述）。
在学生思考与讨论的基础上，师生共同总结得到结论：方案1的缺点是同一小球可能被重复摸中，极端情况可能一直被摸到；方案2可避免同一小球被重复摸中。引导学生认识到不放回摸球要比有放回摸球效率更高。然后给出放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样以及简单随机抽样的概念.
简单随机抽样：一般地，设一个总体含有N(N为正整数)个个体，从中逐个抽n(1≤n＜N)个个体作为样本，如果抽取是放回的，且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等，这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样。如果抽取是不放回的，且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等，这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样。放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样。通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本.
提醒学生注意：逐个不放回随机抽取n个等价于一次性批量随机抽取n个。不放回抽取的效率更高，除特殊说明，一般默认简单随机抽样为不放回的。
追问：你能总结出简单随机抽样的特点吗？
师生活动：学生尝试归纳，教师修正并板书。有限性：总体的个数是有限；逐一性：样本的抽取是逐一进行的，每次只抽取一个个体；等可能性：每个个体被抽到的机会都相等，抽样具有公平性。
【设计意图】让学生通过自己的思考、讨论，了解放回简单随机抽样、不放回简单随机抽样以及简单随机抽样的概念，理解简单随机抽样中，在每次抽取时，总体内各个个体被抽到的概率都相等.强调除非特殊说明，本章所说的简单随机抽样指不放回简单随机抽样.
教学环节三：简单随机抽样的两种常用方法
问题3：一家家具厂要为树人中学高一年级制作课桌椅,他们事先想了解全体高一年级学生的平均身高,以便设定可调节课桌椅的标准高度。已知树人中学高一年级有712名学生,如果要通过简单随机抽样的方法调查高一年级学生的平均身高,应该怎么抽取样本？
追问1：这个问题中的总体、个体及调查的变量分别是什么？
师生活动：提问学生回答。
追问2：怎么抽取样本？
师生活动：在学生思考与讨论的基础上，教师给出简单随机抽样的两种常用方法：抽签法与随机数法。然后安排学生阅读教材，理解抽签法与随机数法的过程与步骤.
追问3：你能归纳总结抽签法的一般步骤吗？
师生活动：先独立思考，再合作交流。归纳抽签法的一般步骤如下：
(1)编号：给总体中所有的个体编号；
(2)制签：将1 ～ N这N个号码写在相同的号签上；
(3)搅拌：将号签放在一个不透明的容器中，搅拌均匀；
(4)抽签：每次从容器中不放回地抽取一个号签，并记录其编号，连续抽取n次；
(5)取样：从总体中，将与抽到的号签编号一致的个体取出。
【设计意图】在具体情境中再次回顾统计学基本概念，结合教材内容用生活中最常见的抽签法解决问题，并尝试概括抽签法的一般步骤，从中体会其优缺点及适用范围。
问题4：如果将上面的问题改成“要为全市高一年级学生制作课桌椅，需了解全市高一年级学生的平均身高”，你认为用抽签法还合适吗？（引出随机数法）有其他更合适的方法吗？
师生活动：学生阅读教材后概括随机数法的一般步骤：
(1)编号：给总体中所有的个体编号；
(2)选号：用随机数工具产生编号范围内的整数随机数，把产生的随机数作为抽中的编号，使与编号对应的个体进入样本。重复上述过程，直到抽足样本所需要的个体数。如果生成的随机数有重复，即同一编号被多次抽到，可以剔除重复的编号，并重新产生随机数，直到产生的不同编号个数等于样本所需要的个体数；
(3)取样：把选定的号码对应的n个个体作为样本。
追问：生成随机数的方法有哪些？
师生活动：学生阅读教材内容，了解生成随机数的方法：用随机试验生成与用信息技术生成.
（1）随机试验生成随机数（学生动手操作）
①准备十个大小、质地一样的小球，小球上面分别写0，1，2，...，9，把它们放到一个不透明的袋中；
②有放回地摸取3次，每次摸取前充分搅拌；
③把第一、二、三次摸到的数字分别作为百、十、个位数，这样就生成了一个三位随机数；
④如果这个三位数在范围内，则抽中对应编号的学生，否则舍弃，重复的数剔除。
（2）用信息技术生成随机数（演示）
①用计算器生成随机数：RandInt#(1,712)
②用电子表格软件生成随机数：=RANDBETWEEN(1,712)
③用R统计软件生成随机数：=sample(1:712,50,replace=F)
【设计意图】将问题稍作变式后让学生发现抽签法的局限性，从而引入随机数法。通过课堂上演示随机数生成的过程，让学生感受信息技术产生随机数的方便快捷。
问题5：抽签法与随机数法作为简单随机抽样的两种常用方法，是怎样确保在每次抽取时，总体内各个个体被抽到的概率都相等的？
师生活动：学生独立思考、小组讨论，教师点评、概括。抽签法号签充分搅拌能使在每次抽取时，总体内各个个体被抽到的概率都相等；随机数法中各个数字都是等可能出现的。
【设计意图】了解简单随机抽样的两种常用方法后，再次深化简单随机抽样的概念。
问题6：抽签法与随机数法各有何特点，它们的适用范围分别是什么？
师生活动：学生尝试归纳并填表。
抽样方法 优点 缺点 适用范围
抽签法 简单易行 总体量较大时，操作起来较麻烦 适用于总体中个体数不多的情形
随机数法 简单易行，很好地解决了总体量较大时用抽签法制签困难的问题 总体量较大，样本量也很大时，利用随机数法抽取样本仍然不方便 适用于总体量大、样本量较小的情形
【设计意图】通过用简单随机抽样解决问题的过程，比较抽签法和随机数法两种简单随机抽样的常用方法，学会根据具体问题选择恰当的抽样方法。
问题7：用简单随机抽样方法抽取样本，样本量是否越大越好？
师生活动：学生独立思考、小组讨论、小组代表回答，教师点评、概括。一般来说，样本量大的会好于样本量小的。但在实际抽样中，样本量的增大会导致调查的人力、费用、时间等成本的增加。因此，抽样调查中样本量的选择要根据实际问题的需要，并不是越大越好.
【设计意图】让学生学会联系实际思考问题，最优化解决问题。
教学环节四：课堂小结
问题8：回顾本节课所学内容，回答下列问题：
统计调查中有哪些收集数据的方法？
简单随机抽样有哪两种常用方法？
上述两种方法如何操作，各有何优缺点？
师生活动：学生回答上述问题，其他学生进行点评补充。
【设计意图】通过对本节课内容进行梳理小结，提高学生的概括总结能力，进一步加深学生对简单随机抽样概念的理解，提升数学抽象与数据分析的素养。
教学环节五：布置作业
教科书第177页—178页练习第3，4，5题；习题9.1第2，3题。
目标检测设计
1．下列情况中哪些适合用全面调查，哪些适合用抽样调查？说明理由
（1）了解某城市居民的食品消费结构；
（2）调查一个县各村的粮食播种面积；
（3）了解某地区小学生中患沙眼的人数；
（4）了解一批玉米种子的发芽率；
（5）调查一条河流的水质；
（6）某企业想了解其产品在市场的占有率.
【设计意图】考查学生对普查与抽样调查的合理选择。
2．下列从总体中抽得的样本是否为简单随机样本？
（1）总体编号为1~75.在0~99中产生随机整数r.若或.则舍弃，重新抽取.
（2）总体编号为1~75.在0~99中产生随机整数r，r除以75的余数作为抽中的编号，若余数为0.则抽中75.
（3）总体编号为6001~6876.在1~876范围内产生一个随机整数r，把r+6000作为抽中的编号.
【设计意图】考查对简单随机抽样概念、特征的掌握程度，判断可能性是否相等是解题的关键。
3.如图，由均匀材质制成的一个正20面体（每个面都是正三角形），将20个面平分成10组，第1组标上0，第2组标上1，…，第10组标上9.
（1）投掷正20面体，若把朝上一面的数字作为投掷结果，则出现0，1，2，…，9是等可能的吗？
（2）三个正20面体分别涂上红、黄、蓝三种颜色，分别代表百位、十位、个位，同时投掷可以产生一个三位数（百位为0的也看作三位数），它是000~999范围内的随机数吗？
【设计意图】考查学生对简单随机抽样中随机数法的掌握程度。
第二课时
课时教学内容
简单随机抽样（第二课时）
（二）课时教学目标
1.会求总体平均数、样本平均数；
2.通过探究活动的开展，学生学会用样本平均数去估计总体平均数、用样本中的比例去估计总体中的比例；
3.能对现实生活中的实际问题进行均值计算，感知应用数学知识解决问题的方法，能了解样本与总体之间的关系，让学生认识到数学知识的逻辑性和紧密性，逐步培养学生的逻辑思维能力和数据分析素养。
（三）教学重点与难点
重点：用样本估计总体的意义。
难点：数据的平均数的概念及意义。
（四）教学过程设计
教学环节一：复习回顾
问题1：回顾并梳理简单随机抽样的相关知识。
师生活动：学生尝试回顾梳理第一课时知识，并用知识结构图表示。
【设计意图】回顾上一节简单随机抽样的知识结构，这是获取数据的方法，在此基础上，引出问题：如何通过样本来推断总体的性质。明确这节课要突破和学习的重点知识内容.
教学环节二：探究总体均值与样本均值的关系
问题2：下面是用随机数法从树人中学高一年级学生中抽取的一个容量为50的简单随机样本，他们的身高变量值(单位:cm)如下，样本的平均数是多少？由此可以估计树人中学高一年级学生的平均身高吗？
师生活动：学生由样本观测数据，计算出样本的平均数为.由此可以估计树人中学高一年级学生的平均身高为164.3cm左右.
总结：通过简单随机抽样得到部分学生的平均身高，并把样本平均身高作为树人中学高一年级所有学生平均身高的估计值。即用样本平均数估计总体平均数。
概念形成：总体均值（总体平均数）、加权平均数、样本均值（样本平均数）。
在简单随机抽样中，我们常用样本平均数去估计总体平均数。
问题3：小明想考察一下简单随机抽样的估计效果。他从树人中学医务室得到了高一年级学生身高的所有数据，计算出整个年级学生的平均身高为165.0。然后，小明用简单随机抽样的方法，从这些数据中抽取了样本容量为50和100的样本各10个，分别计算出样本平均数，如表所示。从小明多次抽样所得的结果中，你有什么发现？
10个样本的平均数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
样本量为50 165.2 162.8 164.4 164.4 165.6 164.8 165.3 164.7 165.7 165.0
样本量为100 164.4 165.0 164.7 164.9 164.6 164.9 165.1 165.2 165.1 165.2
师生活动：先独立思考，再小组内交流。
追问：为了更方便观察数据，把表中数据用统计图表示出来（可以让学生自己尝试作图）。从图表中你能得出哪些结论？
注：上图中红线表示树人中学高一年级全体学生身高的平均值。
师生活动：先独立思考，再小组内交流。
教师用以下问题引导：
1. 20次试验，样本不同，平均数是否也不同？
2. 20个样本平均数与总体平均数一样吗，偏离程度大吗？
3. 两种样本的样本平均数，哪个波动程度更小呢？说明什么？
【设计意图】利用问题情境探究，理解样本平均数和总体平均数的概念，在具体问题中，探究样本和总体之间的关系，发展学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养。
例1 在学生身高的调查中，小明和小华分别独立进行了简单随机抽样调查。小明调查的样本平均数为166.4，样本量为100；小华调查的样本平均数为164.7，样本量为200.你更愿意把哪个值作为总体平均数的估计？是不是你选的值一定比另一个更接近总体平均数？说明理由。
师生活动：学生思考后小组讨论、回答问题。也可安排学生课后收集班内不同样本量的身高数据，与全班同学身高平均数作比较，更进一步体会样本平均数的随机性。
【设计意图】让学生体会由于样本的选取是随机的，因此样本平均数也具有随机性。
教学环节三：某类个体在总体中所占比例
问题4：眼睛是心灵的窗口，保护好视力非常重要。树人中学在“全国爱眼日”前，想通过简单随机抽样的方法，了解一下全校2174名学生中视力不低于5.0的学生所占的比例，你觉得该怎么做？
师生活动：师生共同分析问题：总体—全校学生，个体—每一位学生，变量—学生的视力。
记“视力不低于5.0”为1，“视力低于5.0”为0，则第i个(i=1，2，...，2174)
学生的视力变量值为=
于是，在总体中， “视力不低于5.0”的人数所占的比例p就是学生视力变量的总体平均数
若抽取容量为n的样本，则样本中“视力不低于5.0”的人数所占的比例p就是学生视力变量的样本平均数
可以用 估计，用样本中的比例p估计总体中的比例P.
问题5：现在，我们从树人中学所有学生中抽取一个容量为50的简单随机样本，其视力变量取值如下：
1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 0 1 1
1 1 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0
你可以估计全校学生中视力不低于5.0的学生所占的比例吗？
师生活动：学生计算出样本平均数为=0.54，由样本平均数，我们估计在树人中学全体学生中，“视力不低于5.0”的比例约为0.54.
【设计意图】通过具体实例，理解某类个体在总体中所占比例的计算方法。
教学环节四：简单随机抽样的优缺点
问题6：请同学们尝试以表格或结构框图的形式总结简单随机抽样的优缺点。
师生活动：独立思考，小组内交流，并汇报展示.
总结：简单随机抽样的优缺点
优点 缺点
简单随机抽样 简单随机抽样方法简单、直观 当总体很大时，编号等准备工作耗费时间、人工，甚至难以做到；
用样本平均数估计总体平均数也比较方便 抽中个体较为分散，要找到样本中的个体进行调查会遇到很多困难.
简单随机抽样是一种基本抽样方法，是其他抽样方法的基础. 简单随机抽样没有利用其他辅助信息，估计效率不是很高.
【设计意图】通过总结，让学生了解简单随机抽样的优点及局限性，以便在具体情境中选择恰当的抽样方法，为下一节学习分层随机抽样做铺垫。
教学环节五：课堂小结
问题7：回顾本节课的内容，你都学到了什么？
师生活动：学生回答，其他学生做补充。1.数据的平均数的概念及意义，能用样本估计总体；2.用样本平均数去估计总体平均数、用样本中的比例去估计总体中的比例，用样本估计总体的思想解决问题；3.总体平均数、样本平均数的计算方法，并熟悉应用。（展示知识结构图）
【设计意图】通过对本节知识的梳理，提高学生总结概括能力，明确这节课要突破和学习的重点内容。
教学环节六：布置作业
教科书第181页练习第3题；习题9.1第6题。
（五）目标检测设计
1.为了合理调配电力资源，某市欲了解全市50000户居民的日用电量.若通过简单随机抽样从中抽取了300户进行调查，得到其日用电量的平均数为，则可以推测全市居民用户日用电量的平均数（ ）.
A．一定为 B．高于
C．低于 D．约为
【设计意图】考查样本平均数和总体平均数的关系，让学生体会由样本估计总体的思想。
2.已知样本数据的均值为=5，则样本数据的均值为（ ）
A.5 B.10 C.7 D.12
【设计意图】考查学生对平均数概念的掌握程度。
3.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为________石 (精确到小数点后一位数字)
【设计意图】考查学生对“某类个体在总体中所占的比例”的理解和掌握。

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