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同步探究学案
课题 22.2 函数的表示（第2课时） 单元 第二十二章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．能读懂实际背景下的函数图象，提取时间、距离、温度等信息． 2．会根据图象分析变化过程，计算速度、时长、最值等实际量． 3．提升用图象解决行程、温度、水位等实际问题的能力．
重点 读懂实际背景下的函数图象，能提取关键信息并分析变化过程，解决简单的实际问题．
难点 理解函数图象各段的实际意义，准确将图象的变化与实际情境对应，计算相关实际量．
探究过程
导入新课 【引入思考】 1．什么是函数的图象？ 2．说一说用描点法画函数图象的一般步骤．
新知探究 本节课来研究： 本节我们利用函数图象解决一些实际问题。 思考：如图所示是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？ 分析：由图可以看出，气温T随时间t的变化而变化，对于时间t的每一个确定的值，气温T都有唯一确定的值与其对应．因此，气温T是时间t的函数，如图所示是这个函数的图象． 例2：如图1所示，李明家、食堂、图书馆在同一条直线上．李明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查资料，然后回家．图2中反映了这个过程中，李明离家的距离y与时间x之间的对应关系． 图1 图2 根据图象回答下列问题： （1）食堂离李明家多远？李明从家到食堂用了多长时间？ （2）李明吃早餐用了多长时间？ （3）食堂离图书馆多远？李明从食堂到图书馆用了多长时间？ （4）李明查资料用了多长时间？ （5）图书馆离李明家多远？李明从图书馆回家的平均速度是多少？ 分析：李明离家的距离y是时间x的函数．由图象中有两段平行于x轴的线段可知，李明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里． 归纳：获取函数图象信息的“三个技巧” （1）弄清函数图象横、纵坐标分别表示什么及图象上最高点、最低点、转折点的意义． （2）从左向右上升的线表示函数值随自变量的增大而增大，从左向右下降的线表示函数值随自变量的增大而减小，水平线表示函 数值不随自变量的变化而变化． （3）直线倾斜程度大，表示函数值随自变量变化迅速；直线倾斜程度小，表示函数值随自变量变化缓慢． 探究：构建合适的问题情境，使其中的变量之间的函数关系可以分别用图1和图2中的图象来表示． 图1 图2
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图象，这一天气温最高的时刻是（ ） A．0时 B．4时 C．14时 D．24时 2．如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度随飞行时间的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为__________． 3．人的正常体温一般在左右，但一天中的不同时刻不尽相同．某人在一天24小时内体温随时间的变化情况如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)这一天中，这个人最低体温是多少？最高体温是多少？ (2)这一天中，这个人在什么时段内的体温逐渐降低？ 选做题： 4．甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行米，先到终点的人留在原地休息．已知甲先出发分钟，甲、乙两人之间的距离（米）与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A．甲步行的平均速度为米/分 B．乙步行的平均速度为米/分 C．当时，乙到达终点 D．乙比甲提前分钟到达终点 【综合拓展类练习】 5．石家庄市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)由图象可得，________，________，________． (2)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为y元，请写出y与x之间的关系式． (3)小明乘坐出租车行驶了21千米，那么他应付多少乘车费？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．马莱卡正在山上滑雪．下图显示了她沿着小径滑雪时以山脚为基准的海拔高度（单位为米）．问她在4米到7米之间的高度共停留了多少秒？ A．6 B．8 C．10 D．12 E．14 2．潮汐图能精准预判潮高变化，帮助港口划定“安全通航时段”．下图是江苏一港口某日的潮汐图，已知当潮水高度不低于时，货轮能够安全进出该港口．若一艘货轮想在白天进入该港口，那么安全通航的时长为_______小时． 3．适当强度的运动有益身体健康，小圣为了保持身体健康，坚持每天适当运动．某次运动中，小圣的心率P与运动时间t之间的变化关系如图所示，根据图象回答问题： (1)图中点M表示的实际意义是小圣运动时间在第40分钟时，心率为_____次/分． (2)小圣通过查阅资料了解到：对于青少年，心率控制在120次/分～175次/分之间能达到最佳的运动效果．问：本次运动中达到最佳运动效果的时间约持续了多久？ 选做题： 4．房山区某中学举办班级比赛，在初二男子组米的项目中，参赛选手在米的环形跑道上进行比赛，如图记录了甲、乙两位选手跑步过程（甲跑完了全程），其中表示甲的跑步时间，表示甲、乙两位选手之间的距离，给出下面四个结论： ①甲到达终点时，乙还有米未跑； ②甲跑完全程用时； ③起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手共相遇两次； ④出发后甲、乙两位选手第一次相遇比第二次相遇所用的时间长． 上述结论中，所有正确结论的个数是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 【综合拓展类作业】 5．某物流中心对三种新购入的智能分拣机，，进行调试，开机后三种机型均需要空转预热后才能开始进行上件分拣，的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟．上件分拣后，若每半分钟记为一个周期，单个周期分拣件数记为（件），得到数据如下： 012345678910的的值（件）0816244046545656
进入上件分拣后前5个周期的单个周期分拣件数为匀速增长，5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，三种机型经过一定时间后单个周期分拣件数基本恒定．在平面直角坐标系中，描出三种机型下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到和的曲线，如图所示． (1)观察曲线上件分拣后，当第_____个周期时，首次超过35. (2)表中_____，_____，在给出的平面直角坐标系中画出的曲线； (3)①若选用，开机后至少_____分钟后，值基本恒定； ②若，，同时开机，开机后的前5分钟内（包含5分钟）的累计分拣件数分别记为，结合题目所给信息，将进行排序_____（用“＜”连接）．
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第二十二章 函数
22.2 函数的表示（第2课时）
1．能读懂实际背景下的函数图象，提取时间、距离、温度等信息．
2．会根据图象分析变化过程，计算速度、时长、最值等实际量．
3．提升用图象解决行程、温度、水位等实际问题的能力．
1．什么是函数的图象？
一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．
2．说一说用描点法画函数图象的一般步骤．
第一步，列表———表中给出一些自变量的值及其对应的函数值；
第二步，描点———在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点；
第三步，连线———按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来．
下面我们利用函数图象解决一些实际问题．
思考：如图所示是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？
分析：由图可以看出，气温T随时间t的变化而变化，对于时间t的每一个确定的值，气温T都有唯一确定的值与其对应．因此，气温T是时间t的函数，如图所示是这个函数的图象．
解：由图象可知：
（1）这一天中凌晨4时气温最低（－3℃），14时气温最高（8℃）；
（2）从0时至4时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降），从4时到14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态；
（3）我们可以从图象看出这一天中任一时刻的气温大约是多少．
例2：如图1所示，李明家、食堂、图书馆在同一条直线上．李明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查资料，然后回家．图2中反映了这个过程中，李明离家的距离y与时间x之间的对应关系．
图1
图2
根据图象回答下列问题：
（1）食堂离李明家多远？李明从家到食堂用了多长时间？
（2）李明吃早餐用了多长时间？
（3）食堂离图书馆多远？李明从食堂到图书馆用了多长时间？
（4）李明查资料用了多长时间？
（5）图书馆离李明家多远？李明从图书馆回家的平均速度是多少？
分析：李明离家的距离y是时间x的函数．由图象中有两段平行于x轴的线段可知，李明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里．
（1）食堂离李明家多远？李明从家到食堂用了多长时间？
图1
图2
解：（1）由纵坐标看出，食堂离李明家0.6km；由横坐标看出，李明从家到食堂用了8min．
（2）李明吃早餐用了多长时间？
图1
图2
（2）由横坐标看出，25－8＝17，李明吃早餐用了17min．
（3）食堂离图书馆多远？李明从食堂到图书馆用了多长时间？
图1
图2
（3）由纵坐标看出，0.8－0.6＝0.2，食堂离图书馆0.2km；由横坐标看出，28－25＝3，李明从食堂到图书馆用了3min．
（4）李明查资料用了多长时间？
图1
图2
（4）由横坐标看出，58－28＝30，李明查资料用了30min．
（5）图书馆离李明家多远？李明从图书馆回家的平均速度是多少？
图1
图2
（5）由纵坐标看出，图书馆离李明家0.8km；由横坐标看出，68－58＝10，李明从图书馆回家用了10min，由此算出李明从图书馆回家的平均速度是0.08km/min．
获取函数图象信息的“三个技巧”
（1）弄清函数图象横、纵坐标分别表示什么及图象上最高点、最低点、转折点的意义．
（2）从左向右上升的线表示函数值随自变量的增大而增大，从左向右下降的线表示函数值随自变量的增大而减小，水平线表示函 数值不随自变量的变化而变化．
（3）直线倾斜程度大，表示函数值随自变量变化迅速；直线倾斜程度小，表示函数值随自变量变化缓慢．
图1
图2
小明从家出发去距离 900m 的图书馆，以匀速行走，用了 20 分钟到达；随后立刻按原路匀速返回，用了 20 分钟回到了家．
探究：构建合适的问题情境，使其中的变量之间的函数关系可以分别用图1和图2中的图象来表示．
小红从家出发去距离 900m 的公园，匀速行走 15 分钟到达；在公园游玩了 10 分钟，再匀速走 15 分钟回到家．
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
函数图象的应用
解读函数图象信息
明确横、纵坐标含义，读懂图象的起点、终点、转折点意义
升段函数值增大，下降段减小，水平段不变
图象越陡，函数值变化越快；图象越平缓，变化越慢
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】
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分课时教学设计
第五课时《22.2 函数的表示（第2课时）》教学设计
课型 新授课 复习课口 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本课是人教版八下第22章《函数》的图象应用课，承接上一课时函数图象的画法，是将图象从“画出来”到“用起来”的关键转化．它以气温变化、行程问题等实际情境为载体，引导学生解读图象信息、分析变化过程，是数形结合思想在实际问题中的深化应用．本节课的学习，不仅能帮助学生掌握从图象中提取关键信息、解决实际问题的方法，更能提升学生的数学建模与数据分析能力，为后续一次函数、反比例函数的实际应用奠定基础，是连接抽象函数与现实问题的重要桥梁．
学习者分析 学生已掌握平面直角坐标系与函数图象的基本画法，能识别图象上的点，但对图象的实际意义解读仍存在困难．他们容易混淆图象的横纵坐标含义，对平行于坐标轴的线段、上升/下降线段代表的实际情境理解不到位，难以将图象变化与实际过程建立联系．学生的数形转化能力较弱，需要通过典型实例的分步引导，帮助他们掌握解读图象的方法，逐步建立图象与实际情境的对应关系．
教学目标 1．能读懂实际背景下的函数图象，提取时间、距离、温度等信息． 2．会根据图象分析变化过程，计算速度、时长、最值等实际量． 3．提升用图象解决行程、温度、水位等实际问题的能力．
教学重点 读懂实际背景下的函数图象，能提取关键信息并分析变化过程，解决简单的实际问题．
教学难点 理解函数图象各段的实际意义，准确将图象的变化与实际情境对应，计算相关实际量．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．能读懂实际背景下的函数图象，提取时间、距离、温度等信息． 2．会根据图象分析变化过程，计算速度、时长、最值等实际量． 3．提升用图象解决行程、温度、水位等实际问题的能力．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：新知导入教师活动2： 问题：1．什么是函数的图象？ 答案：一般地，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象． 2．说一说用描点法画函数图象的一般步骤． 答案：第一步，列表———表中给出一些自变量的值及其对应的函数值； 第二步，描点———在平面直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点； 第三步，连线———按照横坐标从小到大的顺序，把所描出的各点用平滑曲线连接起来． 导言：下面我们利用函数图象解决一些实际问题．学生活动2： 学生积极回答问题活动意图说明： 通过回顾函数图象的概念及用描点法画函数图象的一般步骤，为探究利用函数图象解决实际问题做好准备环节三：新知讲解教师活动3： 思考：如图所示是自动测温仪记录的图象，它反映了北京的春季某天气温T如何随时间t的变化而变化．你从图象中得到了哪些信息？ 分析：由图可以看出，气温T随时间t的变化而变化，对于时间t的每一个确定的值，气温T都有唯一确定的值与其对应．因此，气温T是时间t的函数，如图所示是这个函数的图象． 解：由图象可知： （1）这一天中凌晨4时气温最低（－3℃），14时气温最高（8℃）； （2）从0时至4时气温呈下降状态（即温度随时间的增长而下降），从4时到14时气温呈上升状态，从14时至24时气温又呈下降状态； （3）我们可以从图象看出这一天中任一时刻的气温大约是多少． 例2：如图1所示，李明家、食堂、图书馆在同一条直线上．李明从家去食堂吃早餐，接着去图书馆查资料，然后回家．图2中反映了这个过程中，李明离家的距离y与时间x之间的对应关系． 图1 图2 根据图象回答下列问题： （1）食堂离李明家多远？李明从家到食堂用了多长时间？ （2）李明吃早餐用了多长时间？ （3）食堂离图书馆多远？李明从食堂到图书馆用了多长时间？ （4）李明查资料用了多长时间？ （5）图书馆离李明家多远？李明从图书馆回家的平均速度是多少？ 分析：李明离家的距离y是时间x的函数．由图象中有两段平行于x轴的线段可知，李明离家后有两段时间先后停留在食堂与图书馆里． 解：（1）由纵坐标看出，食堂离李明家0.6km；由横坐标看出，李明从家到食堂用了8min． （2）由横坐标看出，25－8＝17，李明吃早餐用了17min． （3）由纵坐标看出，0.8－0.6＝0.2，食堂离图书馆0.2km；由横坐标看出，28－25＝3，李明从食堂到图书馆用了3min． （4）由横坐标看出，58－28＝30，李明查资料用了30min． （5）由纵坐标看出，图书馆离李明家0.8km；由横坐标看出，68－58＝10，李明从图书馆回家用了10min，由此算出李明从图书馆回家的平均速度是0.08km/min． 归纳：获取函数图象信息的“三个技巧” （1）弄清函数图象横、纵坐标分别表示什么及图象上最高点、最低点、转折点的意义． （2）从左向右上升的线表示函数值随自变量的增大而增大，从左向右下降的线表示函数值随自变量的增大而减小，水平线表示函 数值不随自变量的变化而变化． （3）直线倾斜程度大，表示函数值随自变量变化迅速；直线倾斜程度小，表示函数值随自变量变化缓慢． 探究：构建合适的问题情境，使其中的变量之间的函数关系可以分别用图1和图2中的图象来表示． 图1 图2 预设：图1：小明从家出发去距离900m的图书馆，以匀速行走，用了20分钟到达；随后立刻按原路匀速返回，用了20分钟回到了家． 图2：小红从家出发去距离900m的公园，匀速行走15分钟到达；在公园游玩了10分钟，再匀速走15分钟回到家．学生活动3： 学生独立思考后小组合作探究、班内汇报并认真听老师的点评和讲解活动意图说明： 以气温变化图象为载体，引导学生解读图象信息，理解各线段、关键点的实际意义，掌握图象分析方法；例题通过行程问题图象，让学生分段解读过程、计算相关量，强化图象与实际情境的对应，提升应用能力环节四：课堂小结教师活动4： 问题：本节课你都学习到了哪些知识？ 教师通过学生的回答，进行归纳 学生活动4： 学生积极回顾本节课学习到的知识活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所学的知识，将所学的知识与以前学过的知识进行紧密联系，完善认知结构和知识体系．
板书设计 课题：22.2函数的表示（第2课时）函数图象的应用 ——解读函数图象信息教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．如图是某地一天的气温随时间变化的函数图象，根据图象，这一天气温最高的时刻是（ ） A．0时 B．4时 C．14时 D．24时 答案：C 2．如图，曲线表示一只蝴蝶在飞行过程中离地面的高度随飞行时间的变化情况，则这只蝴蝶飞行的最高高度约为__________． 答案：/13米 3．人的正常体温一般在左右，但一天中的不同时刻不尽相同．某人在一天24小时内体温随时间的变化情况如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)这一天中，这个人最低体温是多少？最高体温是多少？ (2)这一天中，这个人在什么时段内的体温逐渐降低？ 解：（1）由图象可知：最低体温是，最高体温是 （2）由图象可知：这一天中，这个人在0至5时以及17至24时体温逐渐降低． 选做题： 4．甲、乙两人同起点同方向出发，匀速步行米，先到终点的人留在原地休息．已知甲先出发分钟，甲、乙两人之间的距离（米）与甲出发的时间（分钟）之间的关系如图所示，则下列说法不正确的是（ ） A．甲步行的平均速度为米/分 B．乙步行的平均速度为米/分 C．当时，乙到达终点 D．乙比甲提前分钟到达终点 答案：C 【综合拓展类练习】 5．石家庄市出租车采取分段收费方式：起步价为a元，即路程不超过b千米时收费a元，超过部分每千米收费c元．乘车费与行驶路程之间的关系如图所示，请根据图象回答下列问题： (1)由图象可得，________，________，________． (2)若乘客乘坐出租车的路程为千米时，乘车费为y元，请写出y与x之间的关系式． (3)小明乘坐出租车行驶了21千米，那么他应付多少乘车费？ 解：（1）由题意得，，； （2）由（1）得； （3）在中，当时，， 答：他应付乘车费35元．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．马莱卡正在山上滑雪．下图显示了她沿着小径滑雪时以山脚为基准的海拔高度（单位为米）．问她在4米到7米之间的高度共停留了多少秒？ A．6 B．8 C．10 D．12 E．14 答案：B 2．潮汐图能精准预判潮高变化，帮助港口划定“安全通航时段”．下图是江苏一港口某日的潮汐图，已知当潮水高度不低于时，货轮能够安全进出该港口．若一艘货轮想在白天进入该港口，那么安全通航的时长为_______小时． 答案： 3．适当强度的运动有益身体健康，小圣为了保持身体健康，坚持每天适当运动．某次运动中，小圣的心率P与运动时间t之间的变化关系如图所示，根据图象回答问题： (1)图中点M表示的实际意义是小圣运动时间在第40分钟时，心率为_____次/分． (2)小圣通过查阅资料了解到：对于青少年，心率控制在120次/分～175次/分之间能达到最佳的运动效果．问：本次运动中达到最佳运动效果的时间约持续了多久？ 解：（1）图中点M表示的实际意义是当运动时间为40分时，心率为160次/分； （2）∵心率控制在120次/分～175次/分之间能达到最佳的运动效果 ∴由图象可得，当运动10分钟时，心率达到120次/分； 当第50分钟后时，当心率低于120次/分； ∴分钟 ∴本次运动中达到最佳运动效果的时间约持续40分钟． 选做题： 4．房山区某中学举办班级比赛，在初二男子组米的项目中，参赛选手在米的环形跑道上进行比赛，如图记录了甲、乙两位选手跑步过程（甲跑完了全程），其中表示甲的跑步时间，表示甲、乙两位选手之间的距离，给出下面四个结论： ①甲到达终点时，乙还有米未跑； ②甲跑完全程用时； ③起跑后到甲到达终点时，甲、乙两位选手共相遇两次； ④出发后甲、乙两位选手第一次相遇比第二次相遇所用的时间长． 上述结论中，所有正确结论的个数是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 答案：C 【综合拓展类作业】 5．某物流中心对三种新购入的智能分拣机，，进行调试，开机后三种机型均需要空转预热后才能开始进行上件分拣，的空转预热时间分别为3分钟，3分钟，3.5分钟．上件分拣后，若每半分钟记为一个周期，单个周期分拣件数记为（件），得到数据如下： 012345678910的的值（件）0816244046545656
进入上件分拣后前5个周期的单个周期分拣件数为匀速增长，5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少，三种机型经过一定时间后单个周期分拣件数基本恒定．在平面直角坐标系中，描出三种机型下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到和的曲线，如图所示． (1)观察曲线上件分拣后，当第_____个周期时，首次超过35. (2)表中_____，_____，在给出的平面直角坐标系中画出的曲线； (3)①若选用，开机后至少_____分钟后，值基本恒定； ②若，，同时开机，开机后的前5分钟内（包含5分钟）的累计分拣件数分别记为，结合题目所给信息，将进行排序_____（用“＜”连接）． 解：（1）由图可知，当第5个周期时，首次超过35； （2）进入上件分拣后前5个周期，每个周期增长件， （件）； 5个周期后，每个周期分拣比前一个周期分拣的增加件数逐渐减少， 第5个到第6个周期增加6件，第8个周期到第9个周期增加2件， 第5个周期到第9个周期增加量依次为件，件，件，件才符合题意， ； 作图如下： （3）①由图可知开机后至少7分钟后，值基本恒定； ②由图可知开机前5分钟， 曲线在最下方，在最上方，在中间， ．
教学反思 本节课通过气温、行程等实例引导学生解读图象，多数学生能提取基本信息，但部分学生对平行线段、折线转折点的实际意义理解不深，计算时长、速度时易出错．后续教学中，可增加分段解读的专项练习，引导学生标注图象关键节点的实际意义，强化图象与情境的对应训练，提升学生的图象分析与应用能力．
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