资源简介 八年级平行四边形常考几何模型&解题方法总结(11模型方法+4课时+课后巩固)思维导图 · 课程内容总览课程目标 · 精准把握学习方向掌握 三角形中位线定理及其应用，能熟练利用中位线解决线段平行、相等及中点问题。理解 三角形重心的性质（重心分中线2:1、面积等分），能运用重心解决几何综合题。掌握 正方形、菱形中的常见几何模型：十字架模型、半角模型、手拉手模型、对角互补模型，并能灵活运用全等三角形进行证明与计算。掌握 将军饮马模型在四边形最值问题中的应用，能利用轴对称求线段和的最小值。掌握 建系法（坐标法）将几何问题转化为代数计算，解决面积、线段长、动点等问题。掌握 平行四边形、矩形中的折叠问题，能利用轴对称性质分析翻折前后边角关系，结合勾股定理等求解。 核心思想：模型识别 · 辅助线构造 · 转化思想知识梳理 · 核心知识点☆ 三角形中位线与重心中位线定理： 三角形两边中点连线平行于第三边且等于第三边的一半。常用于证明线段平行、倍分关系，以及求线段长。重心： 三角形三条中线的交点，重心将每条中线分成2:1（重心到顶点的距离是中点距离的2倍）。重心将三角形分成六个面积相等的小三角形。☆ 十字架模型（正方形中的垂直）在正方形中，若一组对边上的两点连线与另一组对边上的两点连线垂直，则这两条线段相等。常见形式：；反之也成立。推广到矩形：当矩形长宽满足特定比例时，垂直线段相等或成比例。基本 模型模型 演变☆ 半角模型（正方形、菱形）在正方形中，，则 。常通过旋转构造全等证明。在菱形中，若 ，，则有等边三角形、全等三角形等结论。正方形内 半角模型菱形内 半角模型 若∠EDF=∠ADC=60，则DE=DF（若∠EQF=∠ADC=60，则GE=HF）☆ 对角互补模型四边形中，对角互补（），且 ，则可通过旋转构造等角，证明角平分线、线段相等。常见于“完美四边形”（邻边相等且对角互补），解法常为旋转（或补短）构造全等。图例 对角互补、一组邻边相等，构造旋转型全等☆ 手拉手模型（旋转问题）两个共顶点的正方形，旋转后构成全等三角形，如 （SAS）。可证得 ，且 ，常用于求相关线段长或证明垂直。类比到等腰直角三角形、等边三角形同样适用。图例 两个正方形共顶点，则△ABE≌△CBG，所以AE=DG，AE CG☆ 将军饮马（最值问题）直线同侧两定点，在直线上找一点使距离和最小，作对称点连线段即得。在四边形中常结合垂直平分线、对称性求线段和的最小值。☆ 建系法建立平面直角坐标系，写出关键点坐标，利用一次函数、两点间距离公式、勾股定理解几何问题。尤其适用于矩形、菱形等规则图形。☆ 平行四边形、矩形中的折叠问题折叠本质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。常结合平行线性质、勾股定理列方程求解线段长或角度。 四边形核心模型速查表模型 图形背景 常见结论 关键思路中位线 任意三角形 , 取中点连接十字架 正方形 若 ，则 全等三角形（ASA/AAS）半角模型 正方形、菱形 （正方形内45°） 旋转构造全等对角互补 四边形 ， 平分 ，（特例） 旋转或截长补短将军饮马 直线同侧两点 最小值 = 对称点连线长度 轴对称转化建系法 矩形、菱形等 将几何问题转化为坐标运算 设点坐标求解析式折叠问题 平行四边形、矩形 对应边相等，折痕垂直平分对应点连线 勾股定理列方程核心考点 ·11类模型方法【考点1】三角形中位线与重心※ 方法总结中位线定理：已知两边中点，可得平行且等于第三边一半。常用于求线段长、证明平行、中点四边形形状。重心性质：重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍；重心将中线分成2:1；重心与顶点连线将三角形分成六个面积相等的小三角形。在复杂图形中，通过连接中点构造中位线，可转移线段、建立数量关系。【典例1】 （25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，是的中位线，是的高，若，，则的长度为（ ）A．4 B．5 C．6 D．10【答案】B【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、用勾股定理解三角形【分析】根据勾股定理求出，再结合直角三角形中，斜边的中线等于斜边一半即可求解．【详解】解： 是的中位线，，为的中点，为的中点，，是的高线，，∴，为的中点，．【变式1】 （25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，平分，延长与相交于点E，下列结论中正确的为（ ）①四边形为矩形；②为的中位线；③；④≌．A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③【答案】D【知识点】与三角形中位线有关的证明、根据矩形的性质与判定求面积、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明【分析】根据平行四边形的性质和角平分线的定义证得 是等腰三角形，结合推出是的中点，进而证明四边形是矩形；利用三角形中位线定理判断的性质；利用矩形对角线互相平分及三角形面积公式判断面积关系；通过计算线段长度判断三角形全等．【详解】解：四边形是平行四边形，平分四边形是平行四边形平行四边形是矩形，故①正确；由上可得，在 中，是的中点， 是 中点是的中位线，故②正确；四边形是矩形对角线互相平分，即是中点∵矩形中，，∴∴是中点，故③正确在 Rt 中，，由勾股定理得，为中点与 不全等，故④错误综上所述，正确的结论是①②③．【典例2】 （25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，点是内一点，，，，点，，和分别是、、和的中点，若四边形的周长为17，则长为__________．【答案】6【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题【分析】由三角形中位线的性质可得，，由四边形周长求得，再由勾股定理求得即可．【详解】解：∵点，，和分别是、、和的中点，，，∵四边形的周长为17，．．．．．∵，，．【变式1】 （北京市昌平区2026年九年级第一次统一练习数学试卷）如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则_____．【答案】【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据正方形的性质求线段长、与三角形中位线有关的求解问题、根据旋转的性质求解【分析】本题主要考查了正方形的性质，三角形中位线的判定与性质，全等三角形的判定与性质．连接，先证，再证明为的中位线，问题即可得解．【详解】解：连接，如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，，，，，线段绕点逆时针旋转得到，，，，，，，，，，即，，，点为中点，为的中位线，，，，．【典例3】 （25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当四边形的对角线，满足 时，四边形是矩形；当四边形的对角线，满足 时，四边形是菱形．【答案】(1)见解析(2)，【知识点】与三角形中位线有关的证明、证明四边形是矩形、证明四边形是平行四边形、证明四边形是菱形【分析】（1）连接，首先根据三角形中位线的性质得到，且，，且，进而得到，且，即可证明出四边形是平行四边形；（2）连接，，根据三角形中位线的性质得出，确定时，即可证明矩形；根据三角形中位线的性质得出，确定当时，，即可证明菱形．【详解】（1）解：如图所示，连接∵点是的中点，点是的中点，∴，且，∵点是的中点，点是的中点，∴，且，∴，且∴四边形是平行四边形；（2）解：如图所示，连接，由（1）得，四边形是平行四边形，∵，，，分别是四边形各边的中点，∴，∴当时，，∴平行四边形是矩形；由（1）得，四边形是平行四边形，∵，，，分别是四边形各边的中点，∴，∴当时，，∴平行四边形是菱形．【典例4】 （2026·浙江丽水·一模）如图，在中，，，分别为，的中点，连接，为的中点，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连接，．(1)若，求的长；(2)证明：；(3)当时，求的值．【答案】(1)(2)见解析(3)【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、三线合一【分析】（1）根据题意可得是的中位线，推出，结合，即可求解；（2）连接，根据题意可得是的中位线，，推出，进而得到，结合推出，由是的中位线，推出，证明，根据全等三角形的性质即可得证；（3）根据为的中点，得到，再根据为的中点，得到，即可求解．【详解】（1）解： 为的中点，为的中点，为的中点，是的中位线，，，，；（2）证明：连接，为的中点，为的中点，是的中位线，，，，，，，是的中位线，，，在和中，，，；（3）解： 为的中点，，为的中点，，．【变式1】 （25-26八年级下·上海闵行·期中）【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请完成这道题的证明．(1)如图①，在四边形．中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：．(2)【教材延伸】如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．(3)【应用探究】如图③，在中，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，求的长．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、与三角形中位线有关的证明、化为最简二次根式、用勾股定理解三角形【分析】（1）根据中位线定理证明即可；（2）根据中位线定理证明即可；（3）连接，取中点，连接、，结合（1）（2）的结论证明为等腰直角三角形，进而解题．【详解】（1）证明：∵是的中点，是的中点，∴，∵是的中点，是的中点，∴，∵，∴，∴；（2）证明：如图，由（1）得，∵是的中点，是的中点，为的中点，∴，，∴，，∴；（3）证明：如图，连接，取中点，连接，，由（1）知，由（2）可知，，，∴，，∴，∵，，∴，∴，∴为等腰直角三角形，∵，由（1）知，∴．【典例5】 （25-26八年级下·北京·期中）【问题初探】(1)如图1，正方形的边长为2，且顶点O在正方形两条对角线的交点处，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？爱思考的小颖给出这样的解题思路：如图2，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化为小正方形的面积．请你写出完整的证明过程，并计算出四边形的面积．【类比探究】(2)如图3，矩形中，，，点O是边的中点，，点E在上，点F在上，则四边形的面积为______，______．【答案】(1)证明见详解，1(2)4,4【知识点】与三角形中位线有关的求解问题、根据正方形的性质与判定求线段长、根据矩形的性质求线段长、根据旋转的性质求解【分析】本题考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、中位线的判定与性质，本题综合性强，熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的性质，证明三角形全等是解题的关键．（1）由正方形的性质和全等三角形的判定与性质即可得出结论；（2）过作于点，证四边形是正方形，则，再证，得，，即可解决问题；【详解】（1）解： ，，，，四边形是矩形，，，，四边形是正方形，边长为，，，，，是的中位线，，同理：，，又∵，，，四边形是正方形，，，，故答案为：；（2）解：如图所示，过点作于点，则，四边形是矩形，，四边形是矩形，，，，，点是边的中点，，，四边形是正方形，，，，，，，，，，，【典例6】 （25-26八年级上·重庆大足·期末）在学习综合与实践活动一《确定简单平面图形的重心位置》时发现，三角形的三条中线的交点是三角形的重心，下面我们进一步探究三角形重心的性质．已知，点O是重心．【探究】（1）如图1，若的面积为m，则___________，___________；（2）在（1）的条件下，试猜想，，的值，并选择其中一个说明理由．【应用】（3）如图2，在中，若交于点O，，，求四边形的面积．（4）已知的中线，，请直接写出面积的最大值．【答案】（1），（2），，，理由见解析；（3）12（4）72【知识点】根据三角形中线求面积、重心的有关性质【分析】本题主要考查三角形重心的性质，三角形中线与三角形面积，熟练掌握相关知识是解答本题的关键．（1）设，，，根据题意可得，，即可得到,三条中线分成的六个三角形面积相等，从而可得到答案；（2）由（1）可知，三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，则，由两个三角形高相等，则，即可得出，同理可得，；（3）求出，，根据可求解；（4）设交于重心，则，,当时，面积最大，从而可求出面积的最大值．【详解】解：（1）设，，，∵是的中点，∴，∵，，，同理：，，∴，∴，∵∴，∴，∴，∴三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，∴，；故答案为：；；（2）由（1）知三条中线分成的六个三角形面积相等，每个小三角形的面积是大三角形面积的，则，∵两个三角形高相等，∴，∴，同理可得：，；（3）∵点O是重心，由（1）、（2）可知：，，∵，，∴，∴,∵，∴，，则， ∴；（4）设交于重心，则，,当时，面积最大，最大为,∴的最大面积．【考点2】十字架模型※ 方法总结核心：通过证明全等三角形（）得到 。若已知垂直，则可通过作辅助线（过点作平行线）将垂直关系转化为三角形全等。十字架模型也可用于矩形，需根据边长比例调整。折叠问题中，常出现过折痕的垂线，可构造十字架模型求线段长。【典例1】 （24-25八年级下·江苏南京·期中）【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？（1）直接判断：______（填“=”或“≠”）；在“问题情境”的基础上，继续探索：【问题探究】：（2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论：【问题拓展】：（3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm．【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）9【知识点】根据正方形的性质证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、根据矩形的性质与判定求线段长、折叠问题【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形和折叠，矩形的判定和性质．（1）证明即可得出结论；（2）过点作，证明，由此可得；（3）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案．【详解】（1）解：，，，四边形是正方形，，，，，在和中，，，．故答案为：；（2）解：，理由如下：如图2，过点作，交于点，交于点，，，四边形是正方形，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，；（3）解：∵四边形是正方形，∴，，作于P，连接，则四边形是矩形，∴，由翻折知，，∴，∵，∴（），∴，在中，由勾股定理得（cm），故答案为：9．【变式1】（2024·河南·一模）综合与实践数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：． 甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得．完成任务：（1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”）【发现问题】同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．【迁移探究】（2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立．①在图2中，已知，求证：；②在图3中，若，则的度数为多少 【拓展应用】（3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长．【答案】（1）；（2）①见解析；②；（3）的长为或或或．【知识点】用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、含30度角的直角三角形【分析】（1）先证明，结合，可知根据即可证明；（2）①作于点H，先证明，然后根据即可证明即可证明结论成立；②于点L，同理可证，从而，然后利用直角三角形两锐角互余和三角形外角的性质即可求解；（3）分四种情况讨论，利用直角三角形的性质和勾股定理列式计算即可求解．【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，∴，，∴．∵，∴，∴，∵，∴．故答案为：；（2）①作于点H， ∵四边形是正方形，∴，，∴四边形是矩形，∴，，∴．∵，∴，∴，∴，∴；②作于点L， 同理可证四边形是矩形，∴．∵，∴，∴，∴，∴．（3）解：①当N、F在边上时，如图，，作于点G，作于点H，则四边形和四边形都是矩形， 同理可证，∴．∵，∴，∴．∵，∴∵，∴，∴．设，则，∵，∴，∴（负值舍去），∴．②当N、F在的延长线上时，如图，同理可得：，，∴．③当N、F在的延长线上时，如图，同理可得：，，∴；④当N、F在的延长线上时，如图，同理可得：，，∴；综上，的长为或或或．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，以及三角形外角的性质，正确作出辅助线是解答本题的关键．【考点3】对角互补模型※ 方法总结四边形对角互补，且一组邻边相等，可考虑旋转构造全等三角形。常见操作：延长短边或截长补短，将分散的线段集中，从而证明角平分线或线段和差关系。例如：，，可证 平分 ，且 （当 时）。【典例1】 （20-21八年级下·福建三明·期中）感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明．探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示）【答案】感知：，证明见详解；探究：与的大小关系不变，理由见详解；应用：与差是．【知识点】全等三角形综合问题、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形【分析】感知：根据角平分线的性质定理即可求证；探究：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，根据角平分线的性质定理可得DE=DF，由题意可得∠B=∠DCF，进而可证△DEB≌△DFC，然后问题可求证；应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，由题意易证△DHB≌△DGC，则有DH=DG，进而可得AG=AH，然后根据等腰直角三角形的性质可得，则有，最后问题可求解．【详解】感知：，理由如下：∵，，∴，即，∵平分，∴；探究：与的大小关系不变，还是相等，理由如下：过点D作DE⊥AB于点E，DF⊥AC，交AC延长线于点F，则∠DEB=∠DFC=90°，如图所示：∵平分，∴DE=DF，∵，，∴∠B=∠DCF，∴△DEB≌△DFC（AAS），∴；应用：过点D作DH⊥AB于点H，DG⊥AC，交AC的延长线于点G，连接AD，如图所示：∵，，∴，∵，∴，∵，，∴△DHB≌△DGC（AAS），且△DHB与△DGC都为等腰直角三角形，∴，由勾股定理可得，∴，∴，在Rt△AHD和Rt△AGD中，AD=AD，DH=DG，∴Rt△AHD≌Rt△AGD（HL），∴，∴，∴．【点睛】本题主要考查角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键．【典例2】 （24-25八年级下·北京平谷·期末）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”．(1)在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 （请填序号）；(2)在“完美”四边形中，，，连接．①如图1，求证：平分；小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分；想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分．请你参考上面的想法，帮助小明证明平分；②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【答案】(1)④(2)①见解析；②，证明见解析【知识点】根据旋转的性质求解、等腰三角形的性质和判定、四边形其他综合问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）【分析】（1）由“完美四边形”定义可求解；（2）①想法一：由“”可证，可得，，由等腰三角形的性质可得结论；想法二：由旋转的性质可得，，，可证点，，在一条直线上，由等腰三角形的性质可得结论；②延长使，连接，由①可得为等腰三角形，由，可证为等腰直角三角形，即可得解．【详解】（1）解：由“完美四边形”的定义可得正方形一组邻边相等且对角互补，正方形是“完美四边形”．故答案为：④；（2）解：①想法一：延长使，连接，，，，．．即平分；想法二：将绕点顺时针旋转，使边与边重合，得到，．；；．，．点，，在一条直线上．，即平分②理由如下：延长使，连接，由 ①得为等腰三角形．，，．．【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，矩形的性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是本题的关键．考点4】将军饮马※ 方法总结利用轴对称性，将折线段转化为直线段，利用“两点之间线段最短”求最小值。在矩形、菱形中，常通过作对称点将动点问题转化。注意：当求三角形周长最小时，通常固定一边，求两动点路径和最小。【典例1】 （25-26八年级下·广东汕头·月考）如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________．【答案】【知识点】根据成轴对称图形的特征进行求解、求最短路径(勾股定理的应用)、最短路径问题、垂线段最短【分析】作点关于的对称点，连接，过点作，根据轴对称的性质可知，根据三角形三边关系可知，根据垂线段最短可知的最小值是垂线段的最小值，利用三角形的面积公式求出的值即可．【详解】解：如下图所示，作点关于的对称点，连接，过点作，则有，，当点、、三点共线时，的值最小，最小值为，垂线段最短，，，，，在中，，，，，，的最小值是．【变式1】 （24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________．【答案】【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、四边形中的线段最值问题、用勾股定理解三角形【分析】本题考查了斜中半定理，三角形中位线的性质以及运用将军饮马模型求线段和的最小值，综合运用以上知识是解题的关键．运用斜中半定理以及三角形中位线性质，证明四边形是平行四边形，求的最小值等同于求的最小值，最后运用将军饮马模型以及勾股定理求得最小值．【详解】解：∵四边形是矩形，∴，∵点M，N分别是，的中点，∴，，，∵，∴四边形是平行四边形，∵，∴，∴的最小值就是的最小值，作点C关于直线对称点Q，连接、，，当点B、P、Q三点共线时，的最小值就是的长度，在中，，，，∴，∴的最小值．故答案为：．【变式2】 （25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，,,，直线垂直平分线段，若点为边BC的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（）A．9 B．13 C．12 D．14【答案】C【知识点】线段垂直平分线的性质、三线合一【分析】本题考查了等腰三角形的三线合一、线段垂直平分线的性质等知识，掌握将军饮马模型是解题关键．连接，，推出周长的最小值为，证明，再利用三角形的面积公式列方程求出即可解决问题．【详解】解：连接，，∵直线垂直平分线段．，∵点为边的中点，，周长，周长的最小值为，，点为边的中点，∵,，，解得，周长的最小值为，故选：C．【考点5】四边形中的线段最值问题※ 方法总结动点问题中，往往通过几何变换（旋转、轴对称）找出点的轨迹，然后利用垂线段最短或三角形三边关系求最值。常见模型：正方形中边上的动点，利用全等三角形发现定角定半径圆，转化为点到圆上距离最值。也可建系用代数方法求解最值。【典例1】 （25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在边长为2的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为___________【答案】/【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、四边形中的线段最值问题【分析】根据正方形的性质可得，得到，取的中点，连接，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，点到点的距离不变，再根据两点之间线段最短得，当点，，三点共线时最小，利用勾股定理求解即可；【详解】解：四边形是正方形，，，，，，，，，即，取的中点，连接，，，，，当点，，三点共线时，取最小为，的最小值为．【变式1】 （25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点是上一点，且，连接，则的最小值为__________．【答案】2【知识点】根据正方形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、四边形中的线段最值问题【分析】连接，根据正方形的性质得到，证明，得到点的运动轨迹是射线，故当时，取最小值，此时，求出，再根据勾股定理求出答案即可．【详解】解：连接，四边形是正方形，四边形是正方形，，，，，，，点的运动轨迹是射线，故当时，取最小值，此时，，，．【变式2】 （2026·陕西西安·模拟预测）如图，四边形是菱形，连接交于点O，G为边上的动点（不与点A，D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为________．【答案】【知识点】根据矩形的性质与判定求线段长、利用菱形的性质求线段长、用勾股定理解三角形、四边形中的线段最值问题【分析】连接，根据菱形的性质得出直角以及相关线段的长度，利用勾股定理求出的长度，证明四边形为矩形，得出当时，的值最小，即的值最小，最后利用等面积法求解．【详解】解：如图，连接，∵四边形是菱形，∴，∴，由勾股定理得，∵，，∴，∴四边形为矩形，∴，当时，的值最小，即的值最小，由等面积得，即的最小值为．【考点6】四边形建系法※ 方法总结合理建立平面直角坐标系，通常将顶点置于坐标轴上。写出各关键点坐标，利用一次函数解析式求交点，利用两点间距离公式求线段长。建系法尤其适合处理面积、中点、对称、折叠等问题，能将几何问题转化为代数计算，有效避开了复杂的辅助线。【典例1】 （25-26八年级上·福建三明·月考）建系法是一种将几何问题转化为代数运算的解题方法，通过建立平面直角坐标系，将几何图形中的点用坐标表示，从而利用代数方法解决几何问题．如图，在中，，，，，，和相交于点P，求的面积．请你用建系法，通过建立适当的平面直角坐标系并解决相应问题．(1)若以BC所在直线为x轴，过A点且与BC垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，请你在原图中画出坐标系；(2)根据你画的坐标系，直接写出A，B，C，D各点的坐标；(3)利用一次函数有关知识，求出点P的坐标；(4)求出的面积．【答案】(1)作图见详解(2)，，，(3)(4)32【知识点】一次函数与几何综合、坐标与图形综合、写出直角坐标系中点的坐标、求一次函数解析式【分析】本题考查了平面直角坐标系特征及一次函数与几何的综合应用．（1）过点A作，利用矩形的判定及勾股定理得出相关线段的长度，由此得出原点在的中点O处，以点O为原点，为x轴，为y轴建立直角坐标系，即可得出；（2）由（1）可得出相关点坐标；（3）利用待定系数法分别求得直线和直线的解析式，联立两个直线的解析式即可得出点P坐标；（4）的底为，高为点P的纵坐标，利用三角形面积公式即可求出．【详解】（1）解：如图，过点A作，∵，，∴，又∵，∴四边形是矩形，∴，，在中，由勾股定理得，，∴，∴，∴原点在的中点O处，以点O为原点，为x轴，为y轴建立直角坐标系，如图所示为所求：（2）解：由（1）知，，，∴点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为．（3）解：设直线解析式为，将点A，C代入得：，解得，∴直线的解析式为，设直线解析式为，将点B，D代入得：，解得，∴直线的解析式为，联立直线和直线，得：，解得，∴点P坐标为．（4）解：∵，，∴．【变式1】 （25-26八年级上·安徽六安·月考）建系法是研究图形的一种妙招，可以计算出我们无法观察出的数值.如图，在长方形中，，，点和点分别是线段和中点，线段和相交于点.请以点为原点建立平面直角坐标系，且点坐标为并回答下列问题： (1)补全平面直角坐标系；(2)求点到的距离和三角形的面积；【答案】(1)见解析；(2)，.【知识点】求一次函数解析式、一次函数与几何综合、坐标与图形综合【分析】本题主要考查了矩形的性质、用待定系数法求一次函数的解析式．以点有原点建立平面直角坐标系；根据建立的平面直角坐标系写出各点的坐标，利用待定系数法求出直线、的解析式，根据解析式求出点的坐标，点的横坐标即为点到的距离，点到的距离即为中边上的高，根据三角形的面积公式求出的面积即可．【详解】（1）解：补全平面直角坐标系，如下图所示： （2）解： ，，点坐标为，点的坐标是，点的坐标是，点是的中点，，点的坐标是，点是的中点，，点的坐标是，设直线的解析式是，把点的坐标，点的坐标代入，可得：，解得：，直线的解析式是，设直线的解析式是，把点的坐标，点的坐标代入，可得：，解得：，直线的解析式是，解方程组，解得：，点的坐标是，点到的距离是；点到的距离是，．【变式2】（24-25八年级上·四川成都·月考）【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法把几何关系转化成代数关系．【初步运用】如图1，边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则直角梯形的面积为多少？解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案）①如图2，以直线为x轴，以直线为y轴，以点B为原点建立直角坐标系．②由题意得，点，点，可求点F坐标为，点H坐标为．③由点A和点H的坐标求出直线的关系式为．④因为点M的横坐标为6，且点M在直线上，所以代入横坐标即可求出纵坐标．⑤同理求出点N坐标，从而得到线段和线段的长，从而求出直角梯形的面积为______．【迁移探究】如图3，长方形中，，，，，，点E是边上的一点，，交于点F．（1）请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．）（2）在题（1）建立的直角坐标系基础下，点P是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由的方向移动，点Q是点P在运动过程中关于x轴的对称点，请问在点P的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图4，在题（1）建立的直角坐标系下，沿着直线折叠得到，请求点的坐标．【答案】初步运用：；迁移探究：（1）；（2）存在，或；（3）【知识点】一次函数与几何综合、全等三角形综合问题、用勾股定理解三角形、折叠问题【分析】初步运用：先求出、的坐标，得出、，再根据计算即可得解；迁移探究：（1）以直线为轴，直线为轴，以点为原点建立直角坐标系，求出直线的解析式为；同理可得：直线的解析式为，联立求解即可；（2）分三种情况：当点在边上时；当点在边上时；当点在边上时；分别求解即可；（3）由折叠可得：，，证明，从而得出，得出点、到的距离相等，推出，进而得出直线的解析式为，设，作轴于，则，，再由勾股定理计算即可得解．【详解】解：初步运用：∵直线的关系式为，∴当时，，当时，，∴，，∴，，∴；迁移探究：（1）如图，以直线为轴，直线为轴，以点为原点建立直角坐标系，，∵，，，∴，，，，设直线的解析式为，将，代入直线可得，解得：，∴直线的解析式为；同理可得：直线的解析式为，联立，解得：，∴，∴；（2）存在，∵，，∴，∵，，∴，当点在边上时，如图，，∵是一个等腰三角形，，∴，∵点、关于轴对称，∴，∴，∴；当点在边上时，，，且，此时不可能为等腰三角形；当点在边上时，如图，设，，∵是一个等腰三角形，∴，∴，解得：，∴；综上所述，或；（3）由折叠可得：，，在和中，，∴，∴，∴点、到的距离相等，∴，由（1）可得直线的解析式为，∴直线的解析式为，设，如图，作轴于，，则，，∴由勾股定理可得，，即，解得：（不符合题意，舍去）或，∴点的坐标为．【点睛】本题考查了一次函数综合、待定系数法求一次函数解析式、折叠的性质、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键．【考点7】正方形内的半角模型※ 方法总结当 时，常通过旋转 或 构造全等，得到 。推广到矩形或其它四边形，若满足对角互补且邻边相等，仍可通过旋转得到类似结论。半角模型也常用于求线段长，通过设未知数列勾股方程求解。【典例1】【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F．【探索发现】(1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______；【操作探究】(2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系；【问题解决】(3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______．【答案】(1)(2)(3)12【分析】本题考查了正方形的性质、全等三角形的性质与判定、勾股定理，学会结合图形添加辅助线构造全等三角形是解题的关键．（1）利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论；（2）在上截取，连接，利用正方形的性质证明，得到，，再证明，推出，再利用线段的和差即可得出结论；（3）过点作且，连接，通过证明，得到，，再证明，得到，再利用勾股定理求出长，再利用线段的和差即可求出的长．【详解】（1）解：正方形，，，又，，，，，，，即，，又，，，．故答案为：．（2）解：如图，在上截取，连接，正方形，，，又，，，，，，，，，又，，，，．（3）解：如图，过点作且，连接，，，，，，，，又，，，，，，，，即，，又，，，，，．故答案为：12．【变式1】如图，正方形的边长为4，为边上的一点，，为边上的一点，当时，的长为（ ）A．1.6 B．2 C．2.4 D．3【答案】C【分析】本题考查了“正方形的性质”“全等三角形的性质与判定”“勾股定理”，熟练掌握半角模型的辅助线构造是解题关键．本题是典型的半角模型，将旋转到正方形的上方，构造出与全等的三角形，从而得到，再通过勾股定理列方程求解即可．【详解】解：∵四边形是正方形，∴，．∴如图，将绕点D顺时针旋转90°，得到，点F在直线上．由旋转的性质，得，，．∵，∴．又，∴．∴．又，，∴在中，，即．解得．故选： C．【变式2】如图，在正方形中，为边上一点，为边上一点，．求的度数．【答案】45【分析】本题考查了正方形各内角均为直角，全等三角形的判定与性质，延长使得，易证，可得，进而求证可得，再求出即可解题．【详解】解：如图，延长到点，使得，连接．，．在和中，，，，即．，，即．在和中，，，．【变式3】已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N．(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系【答案】（1）见解析；（2）；【分析】（1）延长到使，连接AG，先证明，由此得到，，再根据，，可以得到，从而证明，然后根据全等三角形的性质即可证明；（2）在BM上取一点G，使得，连接AG，先证明，由此得到，，由此可得，再根据可以得到，从而证明，然后根据全等三角形的性质即可证明；【详解】（1）证明：如图，延长到使，连接AG，∵四边形ABCD是正方形，∴，，在与中，，，，，，，∴，，，在与中，，，，又∵，，；（2），理由如下：如图，在BM上取一点G，使得，连接AG，∵四边形ABCD是正方形，∴，，在与中，，，，，∴，∴，又，，在与中，，，，又∵，，∴，故答案为：；【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，能够作出正确的辅助线并能灵活运用全等三角形的判定与性质是解决本题的关键．【变式4】如图，点，分别在正方形的边，上，，点在的延长线上，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【答案】（1）证明见解析；（2）5【分析】（1）由正方形得，，由得：，得；（2）根据得：，那么可得，则可证，所以，根据勾股定理即可求得EM的长度．【详解】解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴，，在与中，，∴（SAS），∴．（2）解：由，得∴，在与中，,∴（SAS），∴，在中，，∴．【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，正确寻找全等三角形是解题的关键．【考点8】菱形内的半角模型※ 方法总结菱形中若 ，且 ，可连接对角线 ，构造等边三角形，证明 等。常利用菱形对角线垂直、角平分线性质，结合旋转构造全等三角形，得到线段相等或和差关系。【典例1】在菱形中，，点分别是边上的点．【尝试初探】（1）如图1，若，求证：【深入探究】（2）如图2，点分别是边上的点，连接与相交于点O且，求证：【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）连接，证明和都是等边三角形，可得，证明，即可得出结论；（2）连接，过点D作交于点P，交于点Q，可证，四边形和四边形都是平行四边形，得出，，由（1）可知，即可得证．【详解】解：（1）如图1，连接，∵菱形、，，，，，和都是等边三角形，，，，，，，；（2）如图2，连接，过点D作交于点P，交于点Q，则，四边形和四边形都是平行四边形，，，由（1）可知，．【点睛】本题考查了菱形的性质，平行四边形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质．【变式1】如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60，P、Q分别在BC、CD上，且∠PAQ=60，求证：PA=AQ.证明：连接AC∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC∵∠ABC=60∴AB=BC=AC，∠BCD=120∴∠ACB=∠BAC=60∴∠ACD=60∵∠PAQ=60∴∠PAB=∠CAQ=60-∠PAC∴△BAP≌△CAQ∴PA=AQ【变式2】综合与探究：如图，在菱形中，，E是射线上一动点，作射线．（1）【操作判断】如图①，，将射线绕点A逆时针旋转交于点F，根据题意在图①中画出射线，图中的度数为______度；（2）【问题探究】如图②，点E在线段上（不与点B，C重合），将射线绕点A逆时针旋转交于点F，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由：【答案】（1）图见解析，90；（2），见解析；（3）的长为或【分析】（1）根据作一个角等于已知角画出直线；根据菱形的性质得，结合外角的性质得，即可求得；（2）连接，根据菱形的性质得，进一步得是等边三角形和是等边三角形，可证明，则，即有；【详解】解：（1）画出图形如解图，∵在菱形中，，∴．∵，，∴，∴．（2），理由：如图，连接，∵四边形是菱形，∴，∵，∴是等边三角形，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∴，∴；【点睛】本题主要考查作一个角等于已知角、菱形的性质、外角的性质、等边三角形的性质和判定．解题的关键是熟悉菱形的性质．【变式3】如图，菱形 ABCD 中，∠B=60°,点 E,F分别在AB,AD 上，且∠ECF=60° .(1)求证：△ECF为等边三角形；(2)连接AC,若AC 将四边形AECF的面积分为1:2两部分，当AB=6时，则△BEC的面积为【答案】（1）见解析（2）3或6【详解】(1)连接AC∵四边形是菱形，∴，∵，∴是等边三角形，∴是等边三角形，∴，，∵，∴，∴，∴CF=CE，∴△ECF为等边三角形；过点C作CH AB于点H，∵AB=AC=6,∠B=60∴BH=3∴HC=∴若△ACF与△ACE面积比为1：2，则AF:AE=BE:AE=1:2∴=3若△ACE与△ACF面积比为1：2，则=6【考点9】手拉手模型※ 方法总结两个共顶点的正方形，旋转后构成全等三角形，如 （SAS）。可证得 ，且 ，常用于求相关线段长或证明垂直。类比到等腰直角三角形、等边三角形同样适用。【典例1】【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系．【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系．【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析【分析】（1）利用正方形的性质求得，证明，推出，根据即可求解；（2）在上截取，证明，推出，，证明是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得；（3）在上截取，证明，得到，，同理，得到是等腰直角三角形，求得，根据，即可求得．【详解】解：（1），理由如下，如图，当点G，H重合时，∵正方形与正方形，∴，，，，∴，，∴，∴，∴；（2），理由如下，由（1）得，∴，在上截取，∵，，∴，∴，，∵，，∴，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴；（3），理由如下，由（1）得，∴，，在上截取，∵，，∴，∴，，同理，是等腰直角三角形，∴，∵，∴．【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识点，作出辅助线，证明三角形全等是解本题的关键．【变式1】四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝3，求CG的长度；【答案】（1）见解析；（2）；【分析】（1）作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，证明Rt△EQF≌Rt△EPD，得到EF＝ED，根据正方形的判定定理证明即可；（2两个正方形共顶点属于典型的手拉手图形，所以可证△AED△CGD；【详解】（1）证明：如图1，作EP⊥CD于P，EQ⊥BC于Q，∵∠DCA＝∠BCA，∴EQ＝EP，∵∠QEF＋∠FEC＝45°，∠PED＋∠FEC＝45°，∴∠QEF＝∠PED，在△EQF和△EPD中，，∴△EQF≌△EPD（ASA），∴EF＝ED，∴矩形DEFG是正方形；（2）在Rt△ABC中，AC＝AB＝4，∵CE＝3，∴AE=∵∠ADC=∠EDG=90∴∠ADE=∠CDG∵AD=CD,ED=DG∴△ADE≌△CDG∴CG=AE=.【变式2】如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°（即∠EBE'＝90°），得到△CBE′（点A的对应点为点C）延长AE交CE于点F，连接DE．（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由．（2）如图2，若DA＝DE，请猜想线段CF于FE'的数量关系并加以证明．【答案】（1）正方形，理由见解析；（2）CF＝FE'，证明见解析；【分析】（1）由旋转的特征可得到∠E′＝∠AEB＝90°、∠EBE′＝90°、BE′＝BE，再由∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°，可判定四边形BE′FE是正方形；（2）过点D作DG⊥AE于点G，由DA＝DE得AG＝AE，再证明△ADG≌△BAE，且由四边形BE′FE是正方形，得到FE′＝AG＝CE′，可证得结论；【详解】解：（1）四边形BE′FE是正方形．理由如下：由旋转得，∠E′＝∠AEB＝90°，∠EBE′＝90°，∵∠BEF＝180°﹣∠AEB＝90°，∴四边形BE′FE是矩形，由旋转得，BE′＝BE，∴四边形BE′FE是正方形．（2）CF＝FE'，证明：如图2，过点D作DG⊥AE于点G，则∠DGA＝∠AEB＝90°，∵DA＝DE，∴AG＝AE，∵四边形ABCD是正方形，∴DA＝AB，∠DAB＝90°，∴∠BAE+∠DAG＝90°，∵∠ADG+∠DAG＝90°，∴∠ADG＝∠BAE，在△ADG和△BAE中，∴△ADG≌△BAE（AAS），∴AG＝BE；∵四边形BE′FE是正方形，∴BE＝FE′，∴AG＝FE′，由旋转得，AE＝CE′，∴AE＝CE′，∴FE′＝AE＝CE′，∴CF＝FE'．【考点10】平行四边形中的折叠问题※ 方法总结折叠得到对称图形，对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。利用平行四边形对边平行、对角线互相平分等性质，结合全等三角形，可证得等腰三角形、线段相等、角度相等。常通过设未知数，应用勾股定理列方程求解线段长。【典例1】如图所示，在中进行折叠操作，使得点恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为（ ）A． B． C． D．【答案】B【分析】本题考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理等；由平行四边形的性质及平行线的性质得，由折叠的性质得，由三角形的内角和定理即可求解；掌握平行四边形的性质，折叠的性质是解题的关键．【详解】解：四边形是平行四边形，，，由折叠得：，，故选：B．【变式1】如图，将 ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，则∠BAC的度数为（ ）A．40° B．50° C．60° D．80°【分析】令∠ECD＝x°，则∠ACE＝2x°，进而可得∠ACD＝3x°，由折叠可知，∠E＝∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，∠CAE＝∠BAC＝3x°，再根据三角形的内角和列出关于x的方程式即可得出答案．【解答】解：令∠ECD＝x°，则∠ACE＝2x°，∴∠ACD＝3x°，∵ABCD为平行四边形，∴∠BAC＝3x°，由折叠可知，∠E＝∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，∠CAE＝∠BAC＝3x°，在△ACE中，∠E+∠EAC+∠ACE＝180°，即80°+3x+2x＝180°，解得：x＝20，∴∠BAC＝20°×3＝60°．故选：C．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，找到等量关系是解题的关键．【典例2】如图，在 ABCD中，．BC＝10，∠A＝45°，点E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠，得到△FEB，设BF与AD交于点M，当BF与 ABCD的一边垂直时，DM的长为 ．【分析】如图1，当BF⊥AD时，如图2，当BF⊥AB时，根据折叠的性质和等腰直角三角形的判定和性质即可得到结论．【解答】解：如图1，当BF⊥AD时，∵平行四边形ABCD中，AD∥BC，∴BF⊥BC，∴∠AMB＝90°，∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB，∴∠A＝∠F＝45°，∴∠ABM＝45°，∵AB＝4，∴AM＝BM＝44，∵BC＝AD＝10，∴DM＝AD﹣AM＝10﹣4＝6；如图2，当BF⊥AB时，∵平行四边形ABCD中，AB∥DC，∴BF⊥DC，∵将△AEB沿BE翻折，得到△FEB，∴∠A＝∠EFB＝45°，∴∠ABF＝90°，此时F与点M重合，∵AB＝BF＝4，∴AF＝48，∴DM＝10﹣8＝2．综合以上可得DM的长为2或6．故答案为：2或6．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），等腰直角三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．【变式2】如图，在中，，若将沿折叠，使点与点重合，折痕为，且，则中边上的高是（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题考查了平行四边形的性质、折叠的性质以及菱形的面积公式的综合运用．关键在于利用折叠性质得出与的关系，进而求出菱形面积，再结合面积公式求出边上的高．【详解】解：由折叠性质，可知垂直平分，如图，设交点为，则，四边形是平行四边形，，，在和中，，，，四边形是平行四边形，，四边形是菱形，则，，，在中，，设边上的高为，则，即：，解得，即边上的高为： ．故选：D ．【典例3】如图，在平行四边形纸片中，，AD=3cm,将纸片沿对角线对折，折叠后的边与交于点，此时E恰为DC中点，则图中重叠部分图形的面积为 ．【答案】【分析】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题，解答本题的关键重叠部分是等腰三角形．根据翻折的性质及已知的角度，可得△DBC为直角三角形，从而得到面积．【详解】解：∵由折叠可知∠ABD=∠FBD,由四边形为平行四边形，且∠ABD=∠CBD,∴∠CBD=∠FBD,∴ED=EB∵DE=EC∴∠DBC=90∴∠ADB=90∴，∴．∴故答案为：．【考点11】矩形中的折叠问题※ 方法总结矩形折叠常见于将顶点折叠到边上，折痕是线段的中垂线。利用矩形四个角为直角，结合折叠产生的等边、等角，可证明等腰三角形、构造直角三角形利用勾股定理求解。当折痕过某顶点时，可利用轴对称性质得到线段相等，进而求解。【典例1】如图，小琼将长方形纸片对折后展开，折痕为，再将沿翻折，将点翻折到上的点处，此时的度数为（ ）A． B． C． D．【答案】D【分析】本题主要考查折叠与对称的性质，等边三角形的判定与性质．连接，由折叠与对称的性质可得，，，可判定△BCG为等边三角形，结合等边三角形的性质可求解．【详解】解：如图，连接．长方形纸片对折后展开，折痕为，再将点C翻折到上的点G处，折痕为，，，，，为等边三角形，，，，故选：D．【变式1】在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），，．点E在边上，沿折叠，点D落在边的F处．求的面积．【答案】．【分析】根据折叠的性质可得，接着在中，利用勾股定理求得，设，在中利用勾股定理列式计算求得，最后利用三角形面积公式求解即可．【详解】解：由折叠可得，∴，，∵四边形是长方形，，，∴，，，在中，，∴，设，则，在中，得，解得，，∴的面积为．【典例2】如图，矩形，将沿对角线翻折得到（如图1），交边于点，再将沿翻折得到（如图2），延长交边于点．设、．(1)求证：为等腰三角形；(2)当，四边形为正方形时，求的值；【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由矩形性质及翻折的性质，证得，从而证得为等腰三角形．（2）由四边形为正方形及翻折性质，证得与是等腰直角三角形，再由求得CF与BF的长，进而求得n的值．【详解】（1）证明：∵矩形，将沿对角线翻折得到，∴，，∵，∴在与中，，∴，∴，即为等腰三角形．（2）解：∵将沿对角线翻折得到，将沿翻折得到，∴，∵四边形为正方形，∴．∵矩形，，∴，，∵，，，∴．∵矩形，，将沿对角线翻折得到，∴，，∵，∴，∵，∴，即．【点睛】本题考查了特殊四边形的性质以及图形翻折的性质及应用，掌握矩形、正方形的性质及翻折性质，且熟练掌握解特殊直角三角形是解题的关键．【变式2】翻折是一种常见的图形操作，观察翻折前后的图形能探究和发现数学结论，经过量化分析和演绎推理能证明数学结论．点是矩形的边上一点，把沿直线翻折，使得点落在点处．(1)如图1，当点与点A重合时，交于点，判断与的数量关系，说明理由；(2)如图2，当点恰好是与的交点，且时，求的长．【答案】(1)，理由见解析(2)【分析】本题主要考查了翻折变换、矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握折叠的性质和相似三角形的判定与性质是解题的关键．（1）由证得，再根据全等三角形的性质即可证明结论；（2）设的长为x，由折叠得，再求出，然后证得到，最后代入数据计算即可．【详解】（1）解：，理由如下：∵四边形是矩形，∴，由折叠的性质得：，∴，在和中，，∴，∴．（2）解：设的长为x，由折叠得，∵四边形是矩形，∴，，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，即，解得：（不合题意，舍去），∴的长为．课后巩固 · 针对性练习题1 — 平行四边形中角平分线、等边三角形、中位线、面积计算（多项判断）。题2 — 平行四边形角平分线与中位线综合求线段长。题3 — 矩形中点、直角、中位线、勾股定理求边长。题4 — 正方形十字架模型（全等）、半角模型（旋转全等）、折叠问题（折痕长）。题5 — 正方形十字架模型、中点四边形（正方形判定）。题6 — 正方形半角模型（旋转构造全等，探究线段数量关系）。题7 — 四边形对角互补模型（正方形内半角模型推广）。题8 — 正方形内垂直动点最值、半角模型（旋转全等、勾股定理）。题9 — 菱形半角模型（60°菱形）旋转全等证明。题10 — 等腰直角三角形与正方形手拉手模型、半角模型及线段关系探究。题11 — 平行四边形折叠问题与勾股定理（已知部分边长求面积）。题12 — 矩形折叠问题与全等三角形、勾股定理（证明线段相等并求长）。 复习建议 本专题涵盖四边形中的经典几何模型，是中考压轴题的高频考点。建议首先熟练掌握中位线、重心等基础知识，再深入理解十字架、半角、手拉手等模型的构造方法，并能灵活运用旋转、轴对称、建系等工具转化问题。多练习折叠问题，培养利用勾股定理列方程的能力。1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，平行四边形中，对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③【答案】D【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题、等边三角形的判定和性质、用勾股定理解三角形【分析】①先根据角平分线和平行四边形的性质推出，则，由有一个角是60度的等腰三角形是等边三角形得：是等边三角形，由外角的性质和等腰三角形的性质得：，最后由平行线的性质可作判断；②先根据三角形中位线定理得：，，根据勾股定理计算和的长，可得的长；③因为，根据平行四边形的面积公式可作判断；④根据三角形中位线定理可作判断．【详解】解：①平分，，四边形是平行四边形，，，，，，是等边三角形，，，，，，，，，，故①正确；②，，，，，中，，四边形是平行四边形，，，，中，，，故②正确；③由②知：，，故③正确；④由②知：是的中位线，，，，故④错误；2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，平行四边形中，为对角线交点，平分，平分，，，则的长为______．【答案】【知识点】利用平行四边形的性质求解、与三角形中位线有关的求解问题、角平分线的有关计算、三线合一【分析】延长交于点，根据平行四边形的性质结合角平分线的性质证明，，根据三线合一可得是的中位线， 利用中位线定理计算即可．【详解】解：如图，延长交于点，四边形是平行四边形，，，，，，，平分，平分，，，，，，即，，，是的中位线，．3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，为的中点，连接，为的中点，连接、，若为直角，则的长为_____．【答案】8【知识点】斜边的中线等于斜边的一半、根据矩形的性质与判定求线段长、三线合一、与三角形中位线有关的求解问题【分析】连接，过点作于点，交于点，则四边形和四边形都是矩形，所以，，，而为中点，则，所以，再证明，则，，因为，求得．【详解】解：如图，连接，过点作于点，交于点，∵四边形是矩形，，．∴四边形和四边形都是矩形．，，，．，为中点，．．，．为的中点，．．．，，，，．4．【问题情境】如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？（1）直接判断：______（填“=”或“≠”）；在“问题情境”的基础上，继续探索：【问题探究】：（2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论：【问题拓展】：（3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm．【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）9【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形和折叠，矩形的判定和性质．（1）证明即可得出结论；（2）过点作，证明，由此可得；（3）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案．【详解】（1）解：，，，四边形是正方形，，，，，在和中，，，．故答案为：；（2）解：，理由如下：如图2，过点作，交于点，交于点，，，四边形是正方形，，，，，，四边形是平行四边形，，，，，，，，；（3）解：∵四边形是正方形，∴，，作于P，连接，则四边形是矩形，∴，由翻折知，，∴，∵，∴（），∴，在中，由勾股定理得（cm），故答案为：9．5．如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G．(1)求证：；(2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由；【答案】(1)见解析(2)四边形为正方形，理由见解析【分析】（1）由正方形的性质及直角三角形的性质得出，证明，由全等三角形的性质得出结论；（2）由三角形中位线定理可得出，，由平行四边形的判定可得出四边形为平行四边形，证出，，则可得出结论；【详解】（1）证明：四边形是正方形，，，，，，，在和中，，，．（2）解：四边形为正方形，理由如下：，N为的中点，为的中位线，，，同理可得，，，，，，，，四边形为平行四边形，，，四边形为菱形，，，，，，四边形为正方形．【点睛】本题属于四边形综合题，正方形的判定与性质，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的中位线定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会利用参数解决问题．6．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系． (1)把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________．(2)如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明．【答案】(1)，(2)，理由见解析【分析】（1）根据旋转的性质可得，利用判定定理可直接证明，再依据对应线段相等可求．（2）把绕点逆时针旋转，使与重合，证全等即可到结论．【详解】（1）解：，，理由如下：四边形是正方形，∴，，由旋转的性质可知，，， ，，，，，，，．（2），证明如下：如下图，把绕点逆时针旋转，与重合，，，，，，；；在和中，，∴； ∴；∵；即．【点睛】本题主要考查正方形中的半角模型，旋转的性质，全等三角形的判定，掌握类比迁移，旋转后三角形全等的证明是解决本题的关键．7.（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．【答案】（1），理由见解析；（2）成立，理由见解析【分析】（1）典型的“夹半角模型”，延长到使得，先证，再证，最后根据边的关系即可证明；（2）图形变式题可以参考第一问的思路，延长到使得，先证，再证，最后根据边的关系即可证明；【详解】解：（1）证明：延长到，使得 连接 ∵四边形是正方形 ∴， 又∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴（2）证明：延长到，使得 连接 ∵， ∴ 又∵， ∴ ∴， ∵ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确的根据“夹半角模型”作出辅助线是解题的关键．8．综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接，．过点E作交直线于点F．（1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由；（2）试猜想线段之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系．【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3），理由见解析【分析】（1）先根据正方形的性质可证得，由此可得，，再根据同角的补角相等证得，等量代换可得，由此可得，再等量代换即可得证；（2）过点E作交CB的延长线于点G，先证明，利用勾股定理可得，再证明，由此可得，最后再等量代换即可得证；（3）仿照（1）和（2）的证明即可证得．【详解】解：（1），理由如下：∵四边形是正方形，∴，，∴，∴，∴，在与中，∴，∴，，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（2），理由如下：如图，过点E作交CB的延长线于点G，∴，由（1）知：，∴，∴，∴在中，，在与中，∴，∴，又∵，∴；（3），理由如下：如图，过点E作交BC于点G，设CD与EF的交点为点P，∴，由（1）可知：，∴，∴，∴在中，，∵，∴，∴，∵，∴，又∵，∴，由（1）可知：，∴，在与中，∴，∴，又∵，∴．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质以及勾股定理的应用，作出正确的辅助线并能灵活运用相关图形的性质是解决本题的关键．9．已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角．(1)如图1，若点在线段上，连接，求证；(2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）；【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据菱形的性质以及旋转的性质证明△和△全等即可；（2）根据（1）以及角直角三角形三边的关系求解即可；【详解】（1）证明：四边形为菱形，，，，，，由旋转的性质可知，，在△和△中，，，；（2）解：如图：，四边形为菱形，，，，，又，，∴，，同理可得，，，，，，，；7．已知：，求证：．【答案】见解析【分析】过点D作的垂线交的延长线于点E，过点D作的垂线交于点F，根据证明得，再证明四边形是正方形，由勾股定理进一步得出结论．【详解】证明：过点D作的垂线交的延长线于点E，过点D作的垂线交于点F，如图．易知．∵，∴．又，∴．∵，∴．又，∴，∴又，，∴四边形是正方形，∴，∴，∴，∴．∵，∴．∵，∴．【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，正方形的判定，勾股定理等知识，由勾股定理得出是解答本题的关键．10.放在的斜边的中点处，设.（1）如图1所示，两三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为______，周长为______.（2）将如图1所示中的绕顶点逆时针旋转，得到如图2所示，此时重叠部分的面积为______，周长为______.（3）如果将绕旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形，如图3所示，请你猜想此时重叠部分的面积为______.（4）在如图3所示情况下，若，求出重叠部分图形的周长.【答案】（1）4，；（2）4，8；（3）4；（4）【分析】根据，，得出AB的值，再根据M是AB的中点，得出，求出重叠部分的面积，再根据AM，MC，AC的值即可求出周长；【详解】易得重叠部分是正方形，边长为，面积为，周长为过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂足为H、求得≌，则阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积先过点M作于点E，于点H，根据，，得出≌，从而得出，，最后根据AD和DF的值，算出，即可得出答案解：，，，是AB的中点，，，，重叠部分的面积是，周长为：；故答案为4，；重叠部分是正方形，边长为，面积为，周长为．故答案为4，8．过点M分别作AC、BC的垂线MH、ME，垂足为H、E，是斜边AB的中点，，，，，又，，，，在和中，，≌，阴影部分的面积等于正方形CEMH的面积，正方形CEMH的面积是；阴影部分的面积是4；故答案为4．如图所示， 过点M作于点E，于点H，四边形MECH是矩形，，，，，，在和中，，≌，，，，．四边形DMGC的周长为：．【点睛】此题考查了等腰直角三角形，利用等腰直角三角形的性质，等腰直角三角形的面积公式，正方形的面积公式，全等三角形的判定和性质求解．如图，将 沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，则 的面积是（ ） A． B． C． D．【答案】D【分析】根据平行四边形的性质和折叠证明即可得到，进而得到，再根据平行四边形的面积公式计算即可求解．【详解】解：四边形为平行四边形，，，，，根据折叠的性质可得，，，∴，∴，∵，∴，∴，．故选：D．【点睛】本题主要考查平行四边形的性质、全等三角形的性质与判定、折叠的性质，熟练掌握折叠的性质是解题关键．如图，把矩形沿折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若．(1)求证：(2)求的长．【答案】(1)证明见详解(2)【分析】（1）利用折叠的性质得到，再由矩形的性质求得，通过等量代换证得；（2）利用矩形的性质和已知条件得到各边长的值，再由折叠的性质得到，通过设未知数，利用勾股定理列出方程并求解未知数，进而求得的值，最后由（1）的结论即可得到结果．【详解】（1）证明：∵矩形沿折叠，∴，又∵，∴，∴，∴．（2）解：在矩形中，，∴，，又∵矩形沿折叠，∴，∴，设，则，在中，，∴，解得，∴，由（1）知，，∴．试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页八年级平行四边形常考几何模型&解题方法总结(11模型方法+4课时+课后巩固)思维导图 · 课程内容总览课程目标 · 精准把握学习方向掌握 三角形中位线定理及其应用，能熟练利用中位线解决线段平行、相等及中点问题。理解 三角形重心的性质（重心分中线2:1、面积等分），能运用重心解决几何综合题。掌握 正方形、菱形中的常见几何模型：十字架模型、半角模型、手拉手模型、对角互补模型，并能灵活运用全等三角形进行证明与计算。掌握 将军饮马模型在四边形最值问题中的应用，能利用轴对称求线段和的最小值。掌握 建系法（坐标法）将几何问题转化为代数计算，解决面积、线段长、动点等问题。掌握 平行四边形、矩形中的折叠问题，能利用轴对称性质分析翻折前后边角关系，结合勾股定理等求解。 核心思想：模型识别 · 辅助线构造 · 转化思想知识梳理 · 核心知识点☆ 三角形中位线与重心中位线定理： 三角形两边中点连线平行于第三边且等于第三边的一半。常用于证明线段平行、倍分关系，以及求线段长。重心： 三角形三条中线的交点，重心将每条中线分成2:1（重心到顶点的距离是中点距离的2倍）。重心将三角形分成六个面积相等的小三角形。☆ 十字架模型（正方形中的垂直）在正方形中，若一组对边上的两点连线与另一组对边上的两点连线垂直，则这两条线段相等。常见形式：；反之也成立。推广到矩形：当矩形长宽满足特定比例时，垂直线段相等或成比例。基本 模型模型 演变☆ 半角模型（正方形、菱形）在正方形中，，则 。常通过旋转构造全等证明。在菱形中，若 ，，则有等边三角形、全等三角形等结论。正方形内 半角模型菱形内 半角模型 若∠EDF=∠ADC=60，则DE=DF（若∠EQF=∠ADC=60，则GE=HF）☆ 对角互补模型四边形中，对角互补（），且 ，则可通过旋转构造等角，证明角平分线、线段相等。常见于“完美四边形”（邻边相等且对角互补），解法常为旋转（或补短）构造全等。图例 对角互补、一组邻边相等，构造旋转型全等☆ 手拉手模型（旋转问题）两个共顶点的正方形，旋转后构成全等三角形，如 （SAS）。可证得 ，且 ，常用于求相关线段长或证明垂直。类比到等腰直角三角形、等边三角形同样适用。图例 两个正方形共顶点，则△ABE≌△CBG，所以AE=DG，AE CG☆ 将军饮马（最值问题）直线同侧两定点，在直线上找一点使距离和最小，作对称点连线段即得。在四边形中常结合垂直平分线、对称性求线段和的最小值。☆ 建系法建立平面直角坐标系，写出关键点坐标，利用一次函数、两点间距离公式、勾股定理解几何问题。尤其适用于矩形、菱形等规则图形。☆ 平行四边形、矩形中的折叠问题折叠本质是轴对称，对应线段相等，对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。常结合平行线性质、勾股定理列方程求解线段长或角度。 四边形核心模型速查表模型 图形背景 常见结论 关键思路中位线 任意三角形 , 取中点连接十字架 正方形 若 ，则 全等三角形（ASA/AAS）半角模型 正方形、菱形 （正方形内45°） 旋转构造全等对角互补 四边形 ， 平分 ，（特例） 旋转或截长补短将军饮马 直线同侧两点 最小值 = 对称点连线长度 轴对称转化建系法 矩形、菱形等 将几何问题转化为坐标运算 设点坐标求解析式折叠问题 平行四边形、矩形 对应边相等，折痕垂直平分对应点连线 勾股定理列方程核心考点 ·11类模型方法【考点1】三角形中位线与重心※ 方法总结中位线定理：已知两边中点，可得平行且等于第三边一半。常用于求线段长、证明平行、中点四边形形状。重心性质：重心到顶点的距离等于到对边中点距离的2倍；重心将中线分成2:1；重心与顶点连线将三角形分成六个面积相等的小三角形。在复杂图形中，通过连接中点构造中位线，可转移线段、建立数量关系。【典例1】 （25-26八年级下·福建厦门·期中）如图，是的中位线，是的高，若，，则的长度为（ ）A．4 B．5 C．6 D．10【变式1】 （25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，平行四边形的对角线相交于点O，，，平分，延长与相交于点E，下列结论中正确的为（ ）①四边形为矩形；②为的中位线；③；④≌．A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①②③【典例2】 （25-26八年级下·江苏连云港·期中）如图，点是内一点，，，，点，，和分别是、、和的中点，若四边形的周长为17，则长为__________．【变式1】 （北京市昌平区2026年九年级第一次统一练习数学试卷）如图，正方形的边长为4，点是对角线上一点，连接，将线段绕点逆时针旋转得到，连接，点为中点，，垂足为，若，则_____．【典例3】 （25-26八年级下·江苏扬州·期中）如图，，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，．(1)求证：四边形是平行四边形；(2)当四边形的对角线，满足 时，四边形是矩形；当四边形的对角线，满足_____时，四边形是菱形．【典例4】 （2026·浙江丽水·一模）如图，在中，，，分别为，的中点，连接，为的中点，过点作，垂足为点，交的延长线于点，连接，．(1)若，求的长；(2)证明：；(3)当时，求的值．【变式1】 （25-26八年级下·上海闵行·期中）【教材呈现】如图是沪教版八年级下册教材第42页的第1题，请完成这道题的证明．(1)如图①，在四边形．中，，是对角线的中点，是的中点，是的中点．求证：．(2)【教材延伸】如图②，延长图①中的线段交的延长线于点，延长线段交的延长线于点，求证：．(3)【应用探究】如图③，在中，点在上，，是的中点，是的中点，连接并延长，与的延长线交于点，若，求的长．【典例5】 （25-26八年级下·北京·期中）【问题初探】(1)如图1，正方形的边长为2，且顶点O在正方形两条对角线的交点处，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合）．在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？爱思考的小颖给出这样的解题思路：如图2，考虑到正方形对角线的特征，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化为小正方形的面积．请你写出完整的证明过程，并计算出四边形的面积．【类比探究】(2)如图3，矩形中，，，点O是边的中点，，点E在上，点F在上，则四边形的面积为______，______．【典例6】 （25-26八年级上·重庆大足·期末）在学习综合与实践活动一《确定简单平面图形的重心位置》时发现，三角形的三条中线的交点是三角形的重心，下面我们进一步探究三角形重心的性质．已知，点O是重心．【探究】（1）如图1，若的面积为m，则___________，___________；（2）在（1）的条件下，试猜想，，的值，并选择其中一个说明理由．【应用】（3）如图2，在中，若交于点O，，，求四边形的面积．（4）已知的中线，，请直接写出面积的最大值．【考点2】十字架模型※ 方法总结核心：通过证明全等三角形（）得到 。若已知垂直，则可通过作辅助线（过点作平行线）将垂直关系转化为三角形全等。十字架模型也可用于矩形，需根据边长比例调整。折叠问题中，常出现过折痕的垂线，可构造十字架模型求线段长。【典例1】 （24-25八年级下·江苏南京·期中）【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题：如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？（1）直接判断：______（填“=”或“≠”）；在“问题情境”的基础上，继续探索：【问题探究】：（2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论：【问题拓展】：（3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm．【变式1】（2024·河南·一模）综合与实践数学课上，老师提出了这样一个问题：如图1，在正方形中，已知，求证：． 甲小组同学的证明思路如下： 由同角的余角相等可得．再由，，证得（依据：________），从而得． 乙小组的同学猜想，其他条件不变，若已知，同样可证得，证明思路如下： 由，可证得，可得，再根据角的等量代换即可证得．完成任务：（1）填空：上述材料中的依据是________（填“”或“”或“”或“”）【发现问题】同学们通过交流后发现，已知可证得，已知同样可证得，为了验证这个结论是否具有一般性，又进行了如下探究．【迁移探究】（2）在正方形中，点E在上，点M，N分别在上，连接交于点P．甲小组同学根据画出图形如图2所示，乙小组同学根据画出图形如图3所示．甲小组同学发现已知仍能证明，乙小组同学发现已知无法证明一定成立．①在图2中，已知，求证：；②在图3中，若，则的度数为多少 【拓展应用】（3）如图4，在正方形中，，点E在边上，点M在边上，且，点F，N分别在直线上，若，当直线与直线所夹较小角的度数为时，请直接写出的长．【考点3】对角互补模型※ 方法总结四边形对角互补，且一组邻边相等，可考虑旋转构造全等三角形。常见操作：延长短边或截长补短，将分散的线段集中，从而证明角平分线或线段和差关系。例如：，，可证 平分 ，且 （当 时）。【典例1】 （20-21八年级下·福建三明·期中）感知：如图①，平分，，．判断与的大小关系并证明．探究：如图②，平分，，，与的大小关系变吗？请说明理由．应用：如图③，四边形中，，，，则与差是多少（用含的代数式表示）【典例2】 （24-25八年级下·北京平谷·期末）我们规定：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“完美四边形”．(1)在①平行四边形，②菱形，③矩形，④正方形中，一定为“完美”四边形的是 （请填序号）；(2)在“完美”四边形中，，，连接．①如图1，求证：平分；小明通过观察、实验，提出以下两种想法，证明平分想法一：通过，可延长到，使，通过证明，从而可证平分；想法二：通过，可将绕点顺时针旋转，使与重合，得到，可证，，三点在一条直线上，从而可证平分．请你参考上面的想法，帮助小明证明平分；②如图2，当，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明．【考点4】将军饮马※ 方法总结利用轴对称性，将折线段转化为直线段，利用“两点之间线段最短”求最小值。在矩形、菱形中，常通过作对称点将动点问题转化。注意：当求三角形周长最小时，通常固定一边，求两动点路径和最小。【典例1】 （25-26八年级下·广东汕头·月考）如图，在中，，点是边上的点，且，，平分交于，点，分别是，上的动点，则的最小值为____________．【变式1】 （24-25八年级下·福建厦门·期中）如图，四边形是矩形，，，点P是边上一点（不与点A，D重合），连接，．点M，N分别是，的中点连接，，，点E在边上，，则的最小值是___________．【变式2】 （25-26八年级上·广东珠海·期末）如图，在中，,,，直线垂直平分线段，若点为边BC的中点，点为直线上一动点，则周长的最小值为（）A．9 B．13 C．12 D．14【考点5】四边形中的线段最值问题※ 方法总结动点问题中，往往通过几何变换（旋转、轴对称）找出点的轨迹，然后利用垂线段最短或三角形三边关系求最值。常见模型：正方形中边上的动点，利用全等三角形发现定角定半径圆，转化为点到圆上距离最值。也可建系用代数方法求解最值。【典例1】 （25-26八年级下·江苏徐州·期中）如图，在边长为2的正方形中，若，分别是，边上的动点，，与交于点，连接，则的最小值为___________【变式1】 （25-26八年级下·江苏宿迁·期中）如图，正方形中，，点为对角线上的动点，以为边作正方形，点是上一点，且，连接，则的最小值为__________．【变式2】 （2026·陕西西安·模拟预测）如图，四边形是菱形，连接交于点O，G为边上的动点（不与点A，D重合），于点E，于点F，若，，则的最小值为________．【考点6】四边形建系法※ 方法总结合理建立平面直角坐标系，通常将顶点置于坐标轴上。写出各关键点坐标，利用一次函数解析式求交点，利用两点间距离公式求线段长。建系法尤其适合处理面积、中点、对称、折叠等问题，能将几何问题转化为代数计算，有效避开了复杂的辅助线。【典例1】 （25-26八年级上·福建三明·月考）建系法是一种将几何问题转化为代数运算的解题方法，通过建立平面直角坐标系，将几何图形中的点用坐标表示，从而利用代数方法解决几何问题．如图，在中，，，，，，和相交于点P，求的面积．请你用建系法，通过建立适当的平面直角坐标系并解决相应问题．(1)若以BC所在直线为x轴，过A点且与BC垂直的直线为y轴，建立平面直角坐标系，请你在原图中画出坐标系；(2)根据你画的坐标系，直接写出A，B，C，D各点的坐标；(3)利用一次函数有关知识，求出点P的坐标；(4)求出的面积．【变式1】 （25-26八年级上·安徽六安·月考）建系法是研究图形的一种妙招，可以计算出我们无法观察出的数值.如图，在长方形中，，，点和点分别是线段和中点，线段和相交于点.请以点为原点建立平面直角坐标系，且点坐标为并回答下列问题： (1)补全平面直角坐标系；(2)求点到的距离和三角形的面积；【变式2】（24-25八年级上·四川成都·月考）【阅读材料】建系法：通过构建平面直角坐标，借助点坐标、函数等方法把几何关系转化成代数关系．【初步运用】如图1，边长分别为6，4，2的三个正方形拼接在一起，它们的底边在同一直线上，则直角梯形的面积为多少？解决这道题目方法很多，其中一种就是“建系法”，请补全以下解题思路．（直接写出答案）①如图2，以直线为x轴，以直线为y轴，以点B为原点建立直角坐标系．②由题意得，点，点，可求点F坐标为，点H坐标为．③由点A和点H的坐标求出直线的关系式为．④因为点M的横坐标为6，且点M在直线上，所以代入横坐标即可求出纵坐标．⑤同理求出点N坐标，从而得到线段和线段的长，从而求出直角梯形的面积为______．【迁移探究】如图3，长方形中，，，，，，点E是边上的一点，，交于点F．（1）请用“建系法”求四边形的面积．（要求：建立直角坐标系时，把长方形的边放在坐标轴上，并把长方形置于第一象限．）（2）在题（1）建立的直角坐标系基础下，点P是长方形边、边和边上的一个动点，沿着由的方向移动，点Q是点P在运动过程中关于x轴的对称点，请问在点P的运动过程中，是否存在某一时刻使得是一个等腰三角形，若存在，请求出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图4，在题（1）建立的直角坐标系下，沿着直线折叠得到，请求点的坐标．【考点7】正方形内的半角模型※ 方法总结当 时，常通过旋转 或 构造全等，得到 。推广到矩形或其它四边形，若满足对角互补且邻边相等，仍可通过旋转得到类似结论。半角模型也常用于求线段长，通过设未知数列勾股方程求解。【典例1】【问题情境】如图①，在正方形中，，，分别与，交于点E，F．【探索发现】(1)如图①，为探究线段，，之间的数量关系，小杨延长至点G，使得，连接．先证明，再证明，即可得到，，之间的数量关系为：______；【操作探究】(2)如图②，当点E，F分别在，的延长线上时，请根据上述小杨的思路，探究线段，，之间的数量关系；【问题解决】(3)如图③，在中，，，点D，E在边上，且，若，，则的长为______．【变式1】如图，正方形的边长为4，为边上的一点，，为边上的一点，当时，的长为（ ）A．1.6 B．2 C．2.4 D．3【变式2】如图，在正方形中，为边上一点，为边上一点，．求的度数．【变式3】已知四边形ABCD是正方形，一个等腰直角三角板的一个锐角顶点与A点重合，将此三角板绕A点旋转时，两边分别交直线BC，CD于M，N．(1)如图1，当M，N分别在边BC，CD上时，求证：BM+DN=MN(2)如图2，当M，N分别在边BC，CD的延长线上时，请直接写出线段BM，DN，MN之间的数量关系【变式4】如图，点，分别在正方形的边，上，，点在的延长线上，连接，．（1）求证：；（2）若，，求的长．【考点8】菱形内的半角模型※ 方法总结菱形中若 ，且 ，可连接对角线 ，构造等边三角形，证明 等。常利用菱形对角线垂直、角平分线性质，结合旋转构造全等三角形，得到线段相等或和差关系。【典例1】在菱形中，，点分别是边上的点．【尝试初探】（1）如图1，若，求证：【深入探究】（2）如图2，点分别是边上的点，连接与相交于点O且，求证：【变式1】如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60，P、Q分别在BC、CD上，且∠PAQ=60，求证：PA=AQ.【变式2】综合与探究：如图，在菱形中，，E是射线上一动点，作射线．（1）【操作判断】如图①，，将射线绕点A逆时针旋转交于点F，根据题意在图①中画出射线，图中的度数为______度；（2）【问题探究】如图②，点E在线段上（不与点B，C重合），将射线绕点A逆时针旋转交于点F，探究线段，，之间的数量关系，并说明理由：【变式3】如图，菱形 ABCD 中，∠B=60°,点 E,F分别在AB,AD 上，且∠ECF=60° .(1)求证：△ECF为等边三角形；(2)连接AC,若AC 将四边形AECF的面积分为1:2两部分，当AB=6时，则△BEC的面积为【考点9】手拉手模型※ 方法总结两个共顶点的正方形，旋转后构成全等三角形，如 （SAS）。可证得 ，且 ，常用于求相关线段长或证明垂直。类比到等腰直角三角形、等边三角形同样适用。【典例1】【提出问题】数学讨论课上，小明绘制图1所示的图形，正方形与正方形（），点E，G分别在上，根据图形提出问题：如图2，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，探究线段，，之间的数量关系．【解决问题】（1）小明将上述问题特殊化，如图3，当点G，H重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；（2）小明借鉴（1）中特殊化的解题策略后，再解决图2所示的一般化问题，当点G，H不重合时，请你写出，，之间的数量关系，并说明理由；【拓展问题】（3）小明将图2所示问题中的旋转角的范围再扩大，正方形绕点B顺时针旋转，旋转角为，直线与相交于点H，连接，请直接写出，，之间的数量关系．【变式1】四边形ABCD为正方形，点E为线段AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交射线BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．（1）如图，求证：矩形DEFG是正方形；（2）若AB＝4，CE＝3，求CG的长度；【变式2】如图1，点E为正方形ABCD内一点，∠AEB＝90°，将Rt△ABE绕点B按顺时针方向旋转90°（即∠EBE'＝90°），得到△CBE′（点A的对应点为点C）延长AE交CE于点F，连接DE．（1）试判断四边形BE′FE的形状，并说明理由．（2）如图2，若DA＝DE，请猜想线段CF于FE'的数量关系并加以证明．【考点10】平行四边形中的折叠问题※ 方法总结折叠得到对称图形，对应边相等、对应角相等，折痕垂直平分对应点连线。利用平行四边形对边平行、对角线互相平分等性质，结合全等三角形，可证得等腰三角形、线段相等、角度相等。常通过设未知数，应用勾股定理列方程求解线段长。【典例1】如图所示，在中进行折叠操作，使得点恰好落在边上的点处．已知，，那么的度数为（ ）A． B． C． D．【变式1】如图，将 ABCD沿对角线AC翻折，点B落在点E处，CE交AD于点F，若∠B＝80°，∠ACE＝2∠ECD，则∠BAC的度数为（ ）A．40° B．50° C．60° D．80°【典例2】如图，在 ABCD中，．BC＝10，∠A＝45°，点E是边AD上一动点，将△AEB沿直线BE折叠，得到△FEB，设BF与AD交于点M，当BF与 ABCD的一边垂直时，DM的长为 ．【变式2】如图，在中，，若将沿折叠，使点与点重合，折痕为，且，则中边上的高是（ ）A． B． C． D．【典例3】如图，在平行四边形纸片中，，AD=3cm,将纸片沿对角线对折，折叠后的边与交于点，此时E恰为DC中点，则图中重叠部分图形的面积为 ．【考点11】矩形中的折叠问题※ 方法总结矩形折叠常见于将顶点折叠到边上，折痕是线段的中垂线。利用矩形四个角为直角，结合折叠产生的等边、等角，可证明等腰三角形、构造直角三角形利用勾股定理求解。当折痕过某顶点时，可利用轴对称性质得到线段相等，进而求解。【典例1】如图，小琼将长方形纸片对折后展开，折痕为，再将沿翻折，将点翻折到上的点处，此时的度数为（ ）A． B． C． D．【变式1】在长方形中（长方形四个角是直角，对边平行且相等），，．点E在边上，沿折叠，点D落在边的F处．求的面积．【典例2】如图，矩形，将沿对角线翻折得到（如图1），交边于点，再将沿翻折得到（如图2），延长交边于点．设、．(1)求证：为等腰三角形；(2)当，四边形为正方形时，求的值；【变式2】翻折是一种常见的图形操作，观察翻折前后的图形能探究和发现数学结论，经过量化分析和演绎推理能证明数学结论．点是矩形的边上一点，把沿直线翻折，使得点落在点处．(1)如图1，当点与点A重合时，交于点，判断与的数量关系，说明理由；(2)如图2，当点恰好是与的交点，且时，求的长．课后巩固 · 针对性练习题1 — 平行四边形中角平分线、等边三角形、中位线、面积计算（多项判断）。题2 — 平行四边形角平分线与中位线综合求线段长。题3 — 矩形中点、直角、中位线、勾股定理求边长。题4 — 正方形十字架模型（全等）、半角模型（旋转全等）、折叠问题（折痕长）。题5 — 正方形十字架模型、中点四边形（正方形判定）。题6 — 正方形半角模型（旋转构造全等，探究线段数量关系）。题7 — 四边形对角互补模型（正方形内半角模型推广）。题8 — 正方形内垂直动点最值、半角模型（旋转全等、勾股定理）。题9 — 菱形半角模型（60°菱形）旋转全等证明。题10 — 等腰直角三角形与正方形手拉手模型、半角模型及线段关系探究。题11 — 平行四边形折叠问题与勾股定理（已知部分边长求面积）。题12 — 矩形折叠问题与全等三角形、勾股定理（证明线段相等并求长）。 复习建议 本专题涵盖四边形中的经典几何模型，是中考压轴题的高频考点。建议首先熟练掌握中位线、重心等基础知识，再深入理解十字架、半角、手拉手等模型的构造方法，并能灵活运用旋转、轴对称、建系等工具转化问题。多练习折叠问题，培养利用勾股定理列方程的能力。1．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，平行四边形中，对角线、相交于点O，平分，分别交、于点E、P，连接，，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的个数是（ ）A．①②③④ B．①②④ C．②③④ D．①②③2．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）如图，平行四边形中，为对角线交点，平分，平分，，，则的长为______．3．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）如图，在矩形中，，为的中点，连接，为的中点，连接、，若为直角，则的长为_____．4．【问题情境】如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？（1）直接判断：______（填“=”或“≠”）；在“问题情境”的基础上，继续探索：【问题探究】：（2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论：【问题拓展】：（3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm．5．如图1，在正方形中，E为上一点，连接，过点B作于点H，交于点G．(1)求证：；(2)如图2，连接，点M、N、P、Q分别是的中点，试判断四边形的形状，并说明理由；6．通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系． (1)把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________．(2)如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明．7.（1）如图①，在正方形中，、分别是、上的点，且，连接，探究、、之间的数量关系，并说明理由；（2）如图②，在四边形中，，，、分别是、上的点，且，此时（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．8．综合与实践：如图1，在正方形中，连接对角线，点O是的中点，点E是线段上任意一点（不与点A，O重合），连接，．过点E作交直线于点F．（1）试猜想线段与的数量关系，并说明理由；（2）试猜想线段之间的数量关系，并说明理由；（3）如图2，当E在线段上时（不与点C，O重合），交延长线于点F，保持其余条件不变，直接写出线段之间的数量关系．9．已知四边形为菱形，是射线上的一个动点，．连接，将线段绕点顺时针旋转得到线段，旋转角．(1)如图1，若点在线段上，连接，求证；(2)如图2，若，点恰好在边的延长线上，求的长（用含的式子表示）；7．已知：，求证：．10.放在的斜边的中点处，设.（1）如图1所示，两三角尺的重叠部分为，则重叠部分的面积为______，周长为______.（2）将如图1所示中的绕顶点逆时针旋转，得到如图2所示，此时重叠部分的面积为______，周长为______.（3）如果将绕旋转到不同于如图1所示和如图2所示的图形，如图3所示，请你猜想此时重叠部分的面积为______.（4）在如图3所示情况下，若，求出重叠部分图形的周长.如图，将 沿对角线翻折，点落在点处，交于点，若，，，则 的面积是（ ） A． B． C． D．如图，把矩形沿折叠，使点C落在点A处，点D落在点G处，若．(1)求证：(2)求的长．试卷第1页，共3页试卷第1页，共3页 展开更多...... 收起↑ 资源列表 平行四边形常考几何模型&解题方法 (11个模型方法）2025-2026学年沪教版数学八年级下册 原卷版.docx 平行四边形常考几何模型&解题方法 (11个模型方法）2025-2026学年沪教版数学八年级下册解析版.docx
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