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数学活动 探索图形变化中的不变量 教学设计
学科 数学 年级 八年级 课型 新授课 单元 第十八章
课题 探索图形变化中的不变量 课时 1课时
课标要求 理解图形在运动变化过程中不变性质和变化规律的数学本质，能够从动态视角观察几何图形，通过观察、测量、推理等方法发现并验证图形变化中的不变量，体会从特殊到一般、从变化中寻找不变的数学思想方法。
教材分析 本节课是在学生系统学行四边形、矩形、菱形等特殊四边形的性质与判定之后安排的一次数学活动课。教材以菱形顶点沿对角线移动这一动态过程为线索，引导学生观察图形形状的渐变，思考在这一系列变化中哪些几何属性始终不变、哪些发生了改变。本节内容不同于常规的新授课，它更强调学生的主动探究和发现过程，旨在让学生经历“操作—观察—猜想—验证—归纳”的完整数学活动链条，培养动态几何思维。通过对图2至图4形状特征的观察与命名，还将数学学习与生活实物建立联系，增强几何直观和应用意识。
学情分析 八年级的学生已具备一定的观察、比较、归纳和简单推理能力，能够理解图形、符号和几何语言所表达的基本关系。学生在日常折纸、拼图等活动中已积累了大量关于图形对称和相等的朴素经验，但面对动点问题时，学生往往习惯于静态看待图形，对“变化过程中找不变”的思维方式还不够熟练，对图形边、角、对角线等元素之间相互制约关系的理解也还需要进一步引导。
核心素养目标 1.在观察菱形顶点移动引起图形渐变的过程中，逐步形成从动态视角分析几何问题的意识，感受变化与不变的辩证统一； 2.通过对图形边、角、对角线等元素的测量、比较和推理，发现并归纳变化过程中的不变量，培养几何直观和逻辑推理能力； 3.通过对图2、图4形状的联想与命名，体会数学与生活实际的联系。
教学重点 发现并归纳图形边、角、对角线的性质。
教学难点 从动态变化的图形中抽象出变量关系，并用几何语言准确表述。
教学准备 多媒体课件、学习资料
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
一、引新 我们已经知道一组邻边相等的平行四边形是菱形，它具有很多很好的性质：轴对称、四条边相等、两条对角线互相垂直。 现在让我们从菱形出发，让一个顶点动起来，可以发现图形的形状随之发生变化。 探索菱形变化中的不变量-初中数学 AI赋能教学素材（html交互动画） 回顾菱形的定义与性质。 激活已有知识，建立从静态到动态观察图形的认知起点。
二、探究 如图1，把菱形 的一个顶点 看成一个动点，将其沿对角线 逐渐向顶点 移动，形成如图2至图4的一系列图形。 我们可以看到，图形 的形状发生了一系列的变化，那么在这样的变化过程中，该图形的性质，有哪些始终保持不变，哪些又发生了一些变化？ 对于变化过程中的图2和图4，它们与生活中哪些物件的形状相似？你能否给它们起一个较为合适的名称呢？ 请将你的探索与发现，归纳成如下的表格： 观察生活中的一种“变化但存在不变”的现象（如：旋转门、伸缩门、折叠椅、天平、电梯等），尝试用数学语言描述其中的不变量。 伸缩门由多个相同的平行四边形铰接而成。变化的现象：门在伸缩时，平行四边形的内角不断变化，整体长度发生变化。不变量：每组对边的长度始终保持相等；每组对边始终保持平行；相邻两个平行四边形之间的连接点始终共线。数学表达：设平行四边形的一组邻边长为 、，则在伸缩过程中 、 保持不变，仅夹角 变化。伸缩门的整体长度变化规律为 （ 为平行四边形个数）。 阅读与思考 数学家 Felix Klein 在《埃尔朗根纲领》中提出：几何学是研究图形在变换群下不变性质的科学。例如：在平移、旋转、反射下，图形的长度和角度保持不变；在投影下，直线仍然变成直线，但长度和角度会改变，不过“交比”保持不变；在伸缩下，平行线仍然保持平行。 任务： 阅读材料后，回答下列问题： （1）用自己的话说一说，什么是“变换下的不变量”？你能举例说明吗？ （2）观察本节课研究的图形变化，在这个过程中，图形的不变性质是否属于材料中提到的某种变换下的不变量？为什么？ （1）变换下的不变量：当图形经过某种变化后，图形中有些属性会改变，但有些属性始终不变，这些不变的属性就叫作该变换下的不变量。举例：把一张长方形照片旋转90°，照片的长和宽不变，角度也不变——长度和角度就是旋转这个变换下的不变量。 （2）这些不变性质不属于材料中提到的任何一种标准变换（平移、旋转、反射）下的不变量。在本节课的变化中，当菱形的顶点沿对角线移动时，图形不再是某个标准变换作用的结果，而是人为限定的一种特定运动路径。在这个特殊过程中，我们通过测量和推理发现了某些关系保持不变，这属于具体几何情境中发现的不变量，而不是事先定义好的某一类变换下的不变量。 分组观察图1至图4，讨论并记录边、角、对角线的变化与不变之处；联想图2、图4的生活原型并命名；尝试填写表格。 引导学生在动态变化中自主发现变与不变，培养观察、归纳能力，建立几何与生活的联系。
三、尝试 （课堂练习） 1.如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M、N，连结MD、BN. （1） 求证：∠DMN＝∠BNM. （2） 若∠BAC＝∠DAC. 求证：四边形BMDN是菱形. 解：（1） 如图，连结BD，交AC于点O. ∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ OB＝OD. ∵ BM∥DN， ∴ ∠MBO＝∠NDO. 又∵ ∠BOM＝∠DON， ∴ △BOM ≌△DON. ∴ BM＝DN. ∴ 四边形BMDN为平行四边形. ∴ BN∥DM. ∴ ∠DMN＝∠BNM. （2）∵ 四边形ABCD是平行四边形， ∴ BC∥AD. ∴ ∠BCA＝∠DAC. ∵ ∠BAC＝∠DAC， ∴ ∠BAC＝∠BCA. ∴ AB＝BC. ∴ 四边形ABCD是菱形. ∴ AC⊥BD，即MN⊥BD. ∴ 四边形BMDN是菱形. 独立完成练习，梳理证明思路。 检验学生运用定理进行逻辑推理的能力。
四、总结提升 本节课从菱形出发，通过让一个顶点沿对角线移动，经历了一系列图形的动态变化过程。同学们在观察、比较、测量和讨论中发现，虽然图形的形状发生了明显改变——边的相等关系、角的度数、对称性等都在变化，但有些性质始终保持不变。同时，大家还根据图2和图4的形状特征联想到生活中的物品并尝试命名，体会到了数学与生活的联系。通过本节课的学习，我们认识到：在几何图形中，变化与不变是共存的，学会从动态变化中寻找不变的关系，是一种重要的数学思维方式。 认真倾听教师的总结，回顾自己本节课的学习过程，反思自己的收获和不足。 帮助学生梳理知识体系，强化重点知识，让学生对本节课的内容有更清晰、系统的认识。
板书 设计 利用简洁的文字、符号、图表等呈现本节课的新知，可以帮助学生理解掌握知识，形成完整的知识体系。
作业 设计 1.如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，延长BC至点D，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F，连结AE、AF、BE. （1） 探究OE与OF的数量关系，并说明理由. （2） 当点O运动到何处，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由. 解：（1） OE＝OF. 理由：∵ CE、CF分别是∠ACB、∠ACD的平分线， ∴ ∠ACE＝∠ECB，∠OCF＝∠DCF. ∵ MN∥BC， ∴ ∠NEC＝∠ECB，∠OFC＝∠DCF. ∴ ∠NEC＝∠ACE，∠OFC＝∠OCF. ∴ OE＝OC，OF＝OC. ∴ OE＝OF. （2）当点O运动到AC的中点处，△ABC是直角三角形，其中∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形. 理由：当点O运动到AC的中点处时，OA＝OC. 又∵ OE＝OF， ∴ 四边形AECF是平行四边形. 由（1），得OC＝OF. ∴ OA＝OC＝OE＝OF. ∴ AC＝EF. ∴ 四边形AECF是矩形. ∵ MN∥BC，∠ACB＝90°， ∴ ∠AOE＝90°. ∴ AC⊥EF. ∴ 四边形AECF是正方形. 2.如图，已知点E、F分别是平行四边形AB、CD的边BCAD上的点，且BE=DF （1）求证：四边形AECF是平行四边形. （2）若四边形AECF是菱形，且AE=2，AC=.求菱形AECF的面积. （1）证明： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，且AD=BC，∴AF∥EC， ∵BE=DF,∴AF=EC， ∴四边形AECF是平行四边形. （2）连接EF交AC于O， ∵四边形AECF是菱形， ∴EF AC,且OE=OF,OA=OC=AC=， 在Rt AOE中，OE=， ∴EF=2OE=2， ∴菱形AECF的面积为.
教学反思 本节课将学生从静态认识几何图形带入动态观察的情境中，部分学生习惯于凭直观感觉下结论，缺少测量验证的习惯，后续需要加强“猜想之后要验证”的意识培养。图2和图4的命名环节学生兴致较高，出现了“箭头形”“飞镖形”“风筝形”等多种名称，这为后续学习四边形分类做了很好的铺垫。
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第十八章 矩形、菱形与正方形
探索图形变化中的不变量
01
教学目标
02
新知导入
03
新知探究
04
课堂练习
05
课堂小结
06
作业布置
01
教学目标
在观察菱形顶点移动引起图形渐变的过程中，逐步形成从动态视角分析几何问题的意识，感受变化与不变的辩证统一；
01
通过对图形边、角、对角线等元素的测量、比较和推理，发现并归纳变化过程中的不变量，培养几何直观和逻辑推理能力；
02
通过对图2、图4形状的联想与命名，体会数学与生活实际的联系.
03
02
新知导入
我们已经知道一组邻边相等的平行四边形是菱形，它具有很多很好的性质：轴对称、四条边相等、两条对角线互相垂直。
现在让我们从菱形出发，让一个顶点动起来，可以发现图形的形状随之发生变化。
03
新知探究
如图1，把菱形 的一个顶点 看成一个动点，将其沿对角线 逐渐向顶点 移动，形成如图2至图4的一系列图形。
我们可以看到，图形 的形状发生了一系列的变化，那么在这样的变化过程中，该图形的性质，有哪些始终保持不变，哪些又发生了一些变化？
03
新知探究
对于变化过程中的图2和图4，它们与生活中哪些物件的形状相似？你能否给它们起一个较为合适的名称呢？
请将你的探索与发现，归纳成如下的表格：
图形 名称 性质 不变量 变量
图1 菱形 四条边相等；对角线垂直平分；对边平行；轴对称 无
图2 筝形 AB=AD，CB=CD；AC垂直平分BD；轴对称 AB、AD各边长；各内角度数；面积
图3 等腰三角形 AB=AD，CB=CD；AC垂直平分BD；轴对称 AB、AD各边长；各内角度数；面积
图4 四边形 AB=AD，CB=CD；轴对称 AB、AD各边长；各内角度数；面积
03
新知探究
03
新知探究
观察生活中的一种“变化但存在不变”的现象（如：旋转门、伸缩门、折叠椅、天平、电梯等），尝试用数学语言描述其中的不变量。
伸缩门由多个相同的平行四边形铰接而成，变化的现象：门在伸缩时，平行四边形的内角不断变化，整体长度发生变化。不变量：每组对边的长度始终保持相等；每组对边始终保持平行；相邻两个平行四边形之间的连接点始终共线。数学表达：设平行四边形的一组邻边长为 a、b，则在伸缩过程中 a、b 保持不变，仅夹角 变化。伸缩门的整体长度变化规律为 L=n a cos （n 为平行四边形个数）。
03
新知探究
数学家 Felix Klein 在《埃尔朗根纲领》中提出：几何学是研究图形在变换群下不变性质的科学。例如：在平移、旋转、反射下，图形的长度和角度保持不变；在投影下，直线仍然变成直线，但长度和角度会改变，不过“交比”保持不变；在伸缩下，平行线仍然保持平行。
阅读材料后，回答下列问题：
03
新知探究
（1）用自己的话说一说，什么是“变换下的不变量”？你能举例说明吗？
变换下的不变量：当图形经过某种变化后，图形中有些属性会改变，但有些属性始终不变，这些不变的属性就叫做该变换下的不变量。举例：把一张长方形照片旋转90°，照片的长和宽不变，角度也不变——长度和角度就是旋转这个变换下的不变量。
03
新知探究
（2）观察本节课研究的图形变化，在这个过程中，图形的不变性质是否属于材料中提到的某种变换下的不变量？为什么？
这些不变性质不属于材料中提到的任何一种标准变换（平移、旋转、反射）下的不变量。在本节课的变化中，当菱形的顶点沿对角线移动时，图形不再是某个标准变换作用的结果，而是人为限定的一种特定运动路径。在这个特殊过程中，我们通过测量和推理发现了某些关系保持不变，这属于具体几何情境中发现的不变量，而不是事先定义好的某一类变换下的不变量。
04
课堂练习
1.如图，四边形ABCD是平行四边形，BM∥DN，且分别交对角线AC于点M、N，连结MD、BN.
（1） 求证：∠DMN＝∠BNM.
（2） 若∠BAC＝∠DAC. 求证：四边形BMDN是菱形.
04
课堂练习
解：（1） 如图，连结BD，交AC于点O.
∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ OB＝OD.
∵ BM∥DN，
∴ ∠MBO＝∠NDO.
又∵ ∠BOM＝∠DON，
∴ △BOM ≌△DON. ∴ BM＝DN.
∴ 四边形BMDN为平行四边形.
∴ BN∥DM. ∴ ∠DMN＝∠BNM.
04
课堂练习
解：（2） ∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ BC∥AD.
∴ ∠BCA＝∠DAC.
∵ ∠BAC＝∠DAC，
∴ ∠BAC＝∠BCA. ∴ AB＝BC.
∴ 四边形ABCD是菱形.
∴ AC⊥BD，即MN⊥BD.
∴ 四边形BMDN是菱形.
05
课堂小结
探索图形变化中的不变量
变
四条边边长
角的度数
图形面积
不变
四边形
邻边相等
对称性
06
作业布置
1.如图，在△ABC中，O是边AC上的一动点，延长BC至点D，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACD的平分线于点F，连结AE、AF、BE.
（1） 探究OE与OF的数量关系，并说明理由.
（2） 当点O运动到何处，△ABC满足什么条件时，四边形AECF是正方形？请说明理由.
06
作业布置
解：（1） OE＝OF. 　
理由：∵ CE、CF分别是∠ACB、∠ACD的平分线，
∴ ∠ACE＝∠ECB，∠OCF＝∠DCF.
∵ MN∥BC，
∴ ∠NEC＝∠ECB，∠OFC＝∠DCF.
∴ ∠NEC＝∠ACE，∠OFC＝∠OCF.
∴ OE＝OC，OF＝OC.
∴ OE＝OF.
06
作业布置
（2） 当点O运动到AC的中点处，△ABC是直角三角形，
其中∠ACB为直角时，四边形AECF是正方形.
理由：当点O运动到AC的中点处时，OA＝OC.
又∵ OE＝OF，∴ 四边形AECF是平行四边形.
由（1），得OC＝OF. ∴ OA＝OC＝OE＝OF.
∴ AC＝EF. ∴ 四边形AECF是矩形.
∵ MN∥BC，∠ACB＝90°，
∴ ∠AOE＝90°.∴ AC⊥EF.
∴ 四边形AECF是正方形.
06
作业布置
2.如图，已知点E、F分别是平行四边形AB、CD的边BCAD上的点，且BE=DF
（1）求证：四边形AECF是平行四边形.
（2）若四边形AECF是菱形，且AE=2，AC=2√3.求菱形AECF的面积.
06
作业布置
（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，且AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=DF,∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形.
06
作业布置
（2）连接EF交AC于O，∵四边形AECF是菱形，
∴EF AC,且OE=OF, OA=OC=AC=，
在Rt AOE中，OE=，
∴EF=2OE=2，
∴菱形AECF的面积为，.
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学 科 数学 年 级 八 设计者
教材版本 华东师大版 册、章 下册第18章
课标要求 1.理解矩形的概念，知道矩形是特殊的平行四边形，明确矩形与平行四边形的区别与联系，探索并证明矩形的性质定理；2.探索并证明矩形的判定定理，能运用矩形的判定方法解决简单的几何证明和实际问题；3.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理，能运用这两个定理解决简单的几何证明与计算问题；4.理解菱形的概念，探索并证明菱形的性质定理，能运用菱形的性质解决简单的几何计算与推理问题；5.探索并证明菱形的判定定理，能运用菱形的判定定理解决简单的几何证明和实际问题；6.理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系，掌握正方形的概念、性质及判定方法，能运用正方形的性质解决简单的几何证明与计算问题；7.在探索矩形、菱形、正方形性质和判定的过程中，体会从一般到特殊的数学思想，经历观察、猜想、证明的完整探究过程，发展逻辑推理能力和几何直观；8.能运用矩形、菱形、正方形的性质与判定解决综合性的几何问题，体会几何图形性质与判定之间的内在联系。
内容分析 矩形、菱形与正方形这一章是在学生已经掌握了平行四边形的基础上展开的，可以看作是特殊平行四边形的集中学习。本章从矩形开始，通过改变平行四边形的内角引出“有一个角是直角”的特殊情况，再通过改变边的关系引出菱形，最后把两者结合起来得到正方形。整个编排思路很清晰，让学生体会“一般到特殊”的研究方法。每种图形都按照“性质—判定—应用”的路径来学，性质靠观察猜想证明，判定则从性质逆向思考，这样的设计符合学生的认知规律。本章还安排了直角三角形斜边上的中线这一内容，巧妙地借助矩形性质来证明，让学生感受到图形之间的相互转化。本章整体呈现了平行四边形、矩形、菱形、正方形之间的逻辑结构，帮助学生形成完整的知识体系，也为后续学习更多特殊图形打下了坚实基础。
学情分析 八年级学生已经学行四边形的概念和性质，对“对边平行且相等”“对角线互相平分”等结论比较熟悉，也具备了一定的几何推理和证明能力。但本章要学习的矩形、菱形、正方形是特殊的平行四边形，学生需要从“一般”走向“特殊”，理解“加了什么条件就变成了什么图形”，这对他们来说是一个思维上的进阶。学生在日常生活中对长方形、正方形接触较多，但对菱形和它们之间的从属关系认识不够清晰，容易混淆几种图形的性质和判定条件，比如经常误以为“对角线相等的四边形是矩形”或“四条边相等的四边形是正方形”。而且几何证明的规范性书写仍然是不少学生的薄弱环节，推理步骤跳跃、依据不充分的情况比较常见。教学中要多用对比表格和反例辨析，帮助学生理清知识脉络，同时加强证明过程的训练。
单元目标 （一）教学目标1.经历从平行四边形到矩形的演变过程，理解矩形的概念，探索并证明矩形的性质定理和判定定理，体会从一般到特殊的数学思想；2.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理，能运用这两个定理解决简单的几何问题，感受矩形与直角三角形之间的相互转化；3.经历菱形的折纸操作和观察猜想过程，理解菱形的概念，探索并证明菱形的性质定理和判定定理，发展几何直观和逻辑推理能力；4.通过矩形、菱形与正方形的对比学习，理解正方形与它们之间的从属关系，掌握正方形的性质及判定方法，形成知识网络；5.能综合运用矩形、菱形、正方形的性质和判定解决几何证明与计算问题，提升分析问题和解决问题的能力；6.在探究特殊平行四边形性质和判定的过程中，养成严谨推理、规范书写的习惯，体会几何图形之间的内在联系。（二）教学重点、难点教学重点：矩形、菱形、正方形的性质定理和判定定理的探究与证明，直角三角形斜边上的中线性质及其逆定理的掌握，三种特殊平行四边形之间的区别与联系。教学难点：从平行四边形到特殊平行四边形的逻辑转化，矩形、菱形、正方形性质和判定定理的综合运用，几何证明中辅助线的构造与规范书写。
单元知识结构框架及课时安排 （一）单元知识结构框架（二）课时安排课时编号单元主要内容课时数18.1矩形318.2菱形218.3正方形1
达成评价 课题课时目标达成评价评价任务18.1矩形1.理解矩形的概念，知道矩形是特殊的平行四边形，能说出矩形与平行四边形的区别与联系；2.探索并证明矩形的性质定理和判定定理；3.掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半及其逆定理；4.能运用矩形的性质与判定解决简单的几何证明和实际问题。1.能准确说出矩形的定义及其与平行四边形的区别；2.能完成矩形性质定理和判定定理的几何证明；3.能运用直角三角形斜边中线定理解决计算与证明问题；4.能在综合问题中灵活运用矩形的性质和判定。任务1：通过尺规作图发现改变平行四边形内角会得到矩形；任务2：完成矩形性质定理和判定定理的证明；任务3：运用矩形性质解决例题中的几何计算与证明问题；任务4：运用直角三角形斜边中线定理完成课堂练习。18.2菱形1.理解菱形的概念，知道菱形是特殊的平行四边形；2.探索并证明菱形的性质定理和判定定理；3.能运用菱形的性质与判定解决简单的几何证明和计算问题。1.能准确说出菱形的定义；2.能完成菱形性质定理和判定定理的几何证明；3.能运用菱形性质解决边长、对角线、面积等计算问题。任务1：通过折纸剪裁操作引入菱形概念；任务2：观察图形，归纳猜想菱形的特殊性质；任务3：完成菱形性质定理和判定定理的证明；任务4：运用菱形性质解决例题中的角度、边长和面积计算问题。18.3正方形1.理解正方形与矩形、菱形、平行四边形之间的关系，掌握正方形的概念和性质；2.掌握正方形的判定方法；3.能运用正方形的性质与判定解决简单的几何证明与计算问题。1.能说出正方形与矩形、菱形之间的从属关系；2.能完整说出正方形的性质并能完成相关计算；3.能判断给定的条件是否足以判定正方形。任务1：回顾并归纳正方形的性质；任务2：辨析三种检验正方形方法的合理性；任务3：完成课堂练习中的正方形性质与判定综合题。
《矩形、菱形与正方形》单元教学设计
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