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6.2.1 向量的加法运算
一、教学内容：
通过位移，力的合成等物理背景，类比实数的加法，定义向量的加法运算，明确其几何意义，给出向量加法的三角形法则和平行四边形法则，并验证向量加法的交换律和结合律，理解向量的三角不等式.
二、教学目标：
1.理解向量加法的概念，了解向量加法的几何意义及运算律；
2.掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则，能熟练地进行向量加法运算；
3.体会类比思想在归纳发现新的数学研究对象中的作用，提升直观想象能力，抽象概括能力及数学运算能力,发展学生解决实际问题的能力.
三、教学重难点：
1.教学重点：向量加法的概念，加法法则及运算律；
2.教学难点：向量的加法概念的理解，向量加法结合律的验证.
四、教学过程：
（一）创设问题情景，提出研究问题
引导语：我们知道，实数有了运算，威力无比. 向量是否能像数一样进行运算呢？人们从向量的物理背景和数的运算中得到启发，引进了向量的运算.本节我们就来研究平面向量的运算，探索其运算性质，体会向量运算的作用.下面首先学习向量的加法.
设计意图：用具有较大的开放性和统摄性的问题开场，有利于帮助学生站在数学知识的整体高度认识问题、思考问题，并知道探究向量的运算从哪里开始，要到哪里去.
问题 1：物理中的位移、力都是向量， 他们可以合成，这给我们以向量加法运算的启示：
从位移的合成、力的合成中引入向量的加法运算.我们先来看一个与位移有关的问题：如图 1，某质点 M 从点 A 经过点 B 到点 C，质点 M 的位移如何表示？
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师生活动：学生回忆位移的合成的有关知识，通过观察、操作、思考，发现质点M 的两次位移， AB ,
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BC 的结果与它从点 A 直接到点 C 的位移 AC 的结果相同，体会位移的合成是把两个向量（矢量）“合 ”
在一起了.教师借机启发：这容易让我们想到向量可以像这样做加法运算.这就点明了本节课首先研究向量的加法运算.
设计意图：启发学生由位移的合成，引入向量的加法.
（二）借助物理背景，定义向量的加法
问题 2 ：由位移的合成，你认为可以如何进行两个向量的加法运算？
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师生活动：学生借助位移的合成，引入向量与向量之间的一种运算——向量的加法运算.教师要关注全体学生对这个问题的理解，鼓励学生独立思考，进行交流.最后，教师给出向量加法的定义及向量加法的三角形法则.对于向量加法的三角形法则，教师要关注学生对它的意义的理解，强调向量的和的大小和方向.
设计意图：由位移的合成引入向量的加法的定义及其三角形法则.
（三）多角度思考，优化认知
问题 3 ：对于矢量的合成，物理学中还有其他方法吗？请看下面的问题：
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如图 2，在光滑的平面上，一个物体同时受到两个外力F1 与F2 的作用，你能作出这
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个物体所受的合力F 吗？由此你能给出向量加法的另一个法则吗？
师生活动：学生独立思考、动手操作后，小组交流，最后师生由力的合成引入向量加法的平行四边形法则.
设计意图：继续挖掘学生头脑中的原有认知------物理中力的合成的实例，不仅帮助学生加深理解向量加法的定义，而且可以借助力的合成的平行四边形法则，引入向量加法的平行四边形法则.
（四）辨析两种加法法则的一致性
问题 4：向量加法的平行四边形法则与三角形法则一致吗？为什么？
师生活动：学生画图探索，学生代表展示并发表见解，师生共同归纳结论：向量加法的三角形法则和平行四边形法则本质上是一致的，解决具体的向量加法问题时，可以有选择地使用.
设计意图：通过该问题的探讨，进一步帮助学生理解向量加法的定义和两个加法法则，明确两个加法法则在本质上的一致性.
（五）明确向量加法的作图方法，理解其几何意义
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例 1 如图 3，已知向量 a, b ，求作向量 a +b .
师生活动：首先学生独立尝试解决问题，再进行小组交流.教师让学生代表展示向量加法的两个法则的
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作法.必要时，师生一起通过信息技术工具，改变向量a, b 的大小和方向，求作向量a +b .教师要强调向量
的和的方向，帮助学生明确向量加法的几何意义.
追问：在向量加法的作图中，你认为用三角形法则作图应该注意什么？用平行四边形法则作图呢？
师生活动：学生思考回答，教师概括：在向量加法作图时，向量起点可以在平面上任意选取，用向量的三角形法则作图时，两个向量首尾相连；而用平行四边形法则作图时，应强调向量的起点放在一起；当两个向量共线时，采用三角形法则做两个向量的和.
设计意图：与数的加法相比，向量的加法复杂了许多.为此，设置本例题，明确如何做出两个向量的和，
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进一步帮助学生理解向量加法定义、几何意义， 强化学生的作图意识，帮助学生掌握向量加法的三角形法则和平行四边形法则.
（六）联想对比，巩固新知
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问题 5：如图 4，（1）已知向量a, b 共线，他们的加法与数的加法
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有什么关系？你能做出向量a +b 吗？
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（2）结合例 1 探索 | a +b |, | a |, | b | 之间的关系.
师生活动：（1）学生自主探究，可以类比数的加法，也可以看
成是三角形法则的特例，当两个向量共线时.也符合“首尾相接，首尾连 ”的三角形法则.必要时可以借助信息技术工具演示作图的过程，使学生有更直观的认知.
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（2）学生思考、动手操作. 由例 1，借助三角形的性质（任意两边的和大于第三边）容易得到，当a, b
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不共线时，有| a +b |<|a | +| b | 成立.进一步发现，当 a, b 方向相反时， | a +b |<|a | +| b | ；当且仅当 a, b
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方向相同时，| a +b |=|a | +| b | .从而有| a +b | | a | +| b | ，当且仅当 a, b 方向相同时等号成立.
设计意图：（1）借助特例，研究向量加法与实数加法的联系与区别，帮助学生认识共线向量的加法也适合向量加法的三角形法则，这样，更容易与数的加法进行类比，加强数形结合意识的培养.（2）让学
r r r r r
生借助数形结合发现向量的和的长度与原向量长度和的关系： | a +b | | a | +| b | ，当且仅当 a, b 方向相同
时等号成立.
问题 6 ：请你用文字语言、符号语言、图形语言分别描述如何求两个向量的和.
师生活动：学生思考、交流.教师组织多个学生用三种数学语言表述如何求向量的加法，教师关注学生对向量加法的理解，帮助学生完整准确的理解向量的加法法则.
设计意图：促进学生多角度理解向量加法定义，教会学生理解一个数学概念的一般方法.
（七）从定义出发，研究向量加法的运算律
问题 7 ：从代数运算的角度理解， 向量的加法是一种新的运算，定义了一种新的运算， 自然要研究其运算律的问题，类比数的加法的运算律，你认为向量的加法是否也有运算律？ 先猜测有哪些运算律，并说明理由.
师生活动：学生自主探究，猜想并相互交流.师生借助图 5（1）（2），分别证明向量加法的交换律和结合律.对于向量加法的结合律的证明，学生可能存在一定困难，需要教师引导学生通过作图证明，并理解
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作图方法的多样性.此处可以借助信息技术工具，演示作图的两个路径（实际上是质点运动选择的路径不同，异曲同工而已）.
设计意图：使学生明确研究向量加法运算律的途径，并寻找结论成立的依据，获得研究运算律的经验，提升逻辑推理素养.
（八）向量加法的简单应用
例 2 长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输.如图 6 ，一艘船从长江南岸 A 地出发，垂直于对岸航行，航行的速度的大小为15km / h ，同时江水的速度为向东 6km / h .
（1）用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度；
()船实际航行的速度的大（小保留小数点后一位与）方（向用于江水速度间的夹角表示，精确到 1°) .
师生活动：学生做出几何图形，将问题转化为向量的加法问题，并
依据向量加法定义及平面几何知识求解，给出解答过程和结果. 由于这
是首个实际问题转化为向量问题.对有困难的学生，教师可以引导学生阅读题意，思考问题中有哪些数据，能否画出图形，与所学的哪些向量知识有联系，等等，并适当规范学生的书写.
设计意图：体现向量加法在实际生活中的应用，要求学生能够把它转化为向量的加法运算，体会其中应解决的问题是确定向量的大小及方向，发展学生解决实际问题的能力.
（九）课堂练习
教科书第 10 页练习 1~5 题.
（十）梳理小结，深化理解
问题 8： 通过这节课你学到了哪些基本知识？获得了怎样的研究问题的经验？
师生活动：学生自主总结，展示交流.
(1)学会了向量的加法的概念，加法的三角形法则和平行四边形法则，加法运算律及向量三角不等式；
(2)通过和实数加法的类比，结合物理位移的合成和力的合成得出向量的加法及运算法则和运算律,体会了类比思想及定义一种新运算，然后研究其运算法则和运算律的研究问题的经验.
设计意图：帮助学生梳理基本知识，总结研究方法，为进一步的研究铺路奠基.
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