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7.1.1 数系的扩充和复数的概念教学设计
一、教材内容分析
复数的引入是数系的又一次扩充，也是中学阶段数系的最后一次扩充。通过回顾从自然数系逐步扩充到实数系的过程，让学生体会到每一次数系的扩充都是与人类生产、生活、数学发展密切相关的，数学来源于生活、又服务于生活，使学生对数的概念有一个更加完整的认识。复数与平面向量、平面解析几何、三角函数等都有密切的联系，也是进一步学习数学的基础。复数在量子力学、流体力学、电学及其他学科中都有广泛的应用。
复数的概念是整章的基础知识，复数的有关概念都是围绕复数的代数表示式展开的，虚数单位、实部、虚部的命名，复数相等的含义， 以及虚数、纯虚数等概念的提出，都是在促进对复数实质的理解，即复数 a+bi 实质上是有序实数对(a,b)，为后续复数的几何意义、复数的运算、复数的三角表示等后续知识的学习奠定了基础。因此，本节具有承上启下的作用，是本章的重点内容。
二、学情分析
学生在学习本节课内容之前， 已掌握了自然数集、整数集、有理数集、实数集等数集，经历了从自然数扩充到实数的过程，
对数系的扩充有了一定的认识。但是知识比较零散，未形成完备的知识体系。
三、教学目标
1.了解引入复数的必要性；
2.了解数系扩充的一般“规则 ”， 了解从实数系扩充到复数系的过程，感受数系扩充过程中人类理性思维的作用，提升数学抽象、逻辑推理素养；
3.理解复数的代数表示式，理解复数的有关概念及分类，理解复数相等的含义。
四、教学重难点
教学重点：从实数系扩充到复数系的过程和方法，复数的概念，复数的代数表示式。
教学难点：复数系扩充过程的基本数学思想，复数的代数表示式的得出。
五、教学方法分析
本课主要采用问题串的形式， 同时结合类比、归纳的数学思想方法，引导学生讨论探究数系的扩充和复数的概念。
六、教学过程设计
（一）创设情境，引入新课
欧拉公式eip +1 =0 是数学中当之无愧的最美公式，公式中包含着深刻的数学思想，也隐含了宇宙的哲学原理，其形式相当优美和迷人。同学们感受到它的魅力了吗？高斯曾说：“如果
一个人第一次看到这个公式而不感受到它的魅力，那么他不可能成为数学家。 ”公式中 0，1，p ，e 都是我们熟悉的数，那么i 是什么呢？我们一起进入今天的课题《数系的扩充和复数的概念》。
设计意图：从欧拉公式入手，让同学们感受数学美，激发学生学习兴趣，顺利引出课题。
问题 1：下列各组方程有解吗？
（ 1 ）x +3=1，x N ； x +1=0，x Z ；
（ 2 ）2x - 1=0，x Z ； 2x - 1=0，x Q ；
（ 3 ）x2 - 2=0，x Q ； x2 - 2=0，x R ；
（ 4 ）x2 +1=0，x R ； x2 +1=0
设计意图：问题 1 中 4 组方程里前面的一个方程均无解，前 3 组里后面一个方程均有解，学生通过解方程自主发现解决方程无解的矛盾需要通过引入新数、扩充数集来实现。教师引导学生梳理数集的扩充过程，并从运算的角度发现数集的每一次扩充解决了原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾。总结归纳数系扩充的“规则”：数集扩充后，原有数集中的运算及运算律在新数集中仍然成立。
思考 1：类比从自然数集扩充到实数集的过程，怎样才能
使方程x2 +1=0 有解呢？
设计意图：通过问题 1，学生很容易得出需要引入新数，将实数集进行扩充才能使方程x2 +1=0 有解。
播放一段小视频，介绍数学家引入新数i 的过程。
设计意图：学生通过诙谐有趣的视频了解引入i 的原因及发展过程，感受引进新数在解决问题中的重要性。
（二）探究新知
试一试：根据数系扩充“规则”，i 可以和实数进行加法和乘法运算（减法和除法是加法和乘法的逆运算），就可以产生很多新数，请试写出几个，填在下面表格里。
实数与i 相乘 实数和i 相加 一个实数与另一个实数和i 相乘的结果相加
设计意图：学生通过自己举例，感受实数与新数i 之间的运
算，归纳出复数的代数表示式更加容易，认识更加深刻。
思考 2：这些数能否用一个统一的形式来表示呢？
设计意图：让学生自己归纳总结，充分体现学生的主体地位，同时引出复数的概念。
问题 2：在a +bi（a, b R）中a =0 时表示bi ，那么 b =0 时又表示什么数呢？请同学们举一些例子填在上面表格最后一列中。
设计意图：通过该问题使学生思考实数与复数的联系与区别，同时加强学生对复数的结构形式的进一步认识，为下面得出复数的相关概念打好基础。
问题 3：阅读教材 69 页，回答以下问题：
（1）复数a +bi（a, b R）中的虚数单位、实部、虚部分别是什么？所有复数构成的集合如何表示？
（2）什么是虚数和纯虚数？试举出具体例子。
设计意图：通过问题引导，指导学生阅读教材，思考并回答
问题，明确复数的基本概念，培养阅读教材的习惯和阅读理解能力。
问题 4：我们已经将实数集扩充到复数集，那么复数集 C
与实数集 R 之间有什么关系？你能对复数a +bi（a, b R）进行分类，并用 Venn 图表示吗？分组讨论。
设计意图：引导学生明确复数集和实数集之间的关系以及复数的分类，在对问题的探究中逐步自主构建新知。
（三）应用新知
课堂小练 1：说出下列复数的实部和虚部：
i ， +i ， ，- i ，i ，0
课堂小练 2：指出下列各数中，哪些是实数？哪些是虚数？
哪些是纯虚数？
, 0.618 ， i ，0 ，i ，5i +8 ， i ，i ， i例 1 实数m 取何值时，复数z =m +1+(m - 1)i满足：
（1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？
练习 1：求实数x 数的取值，使得复数z =（x2 - 3x - 4) +(x2 - 5x - 6)i （1）是实数？（2）是虚数？（3）是纯虚数？（4）是 0？
思考 3：对复数集内的任意两个复数z1 =a+bi(a, b R) 和z2 =c+di(c, d R) ，你认为什么情况下 z1 和z2 相等呢？
例 2 已知（2x - 1) +i =y - (3 - y)i ，求实数x，y 的值。
练习 2 已知z1 =（x +y) +(y - 1)i ，z2 =（2x +3y) +(2y +1)i ，则 x，y 为何值时z1 =z2 ？
设计意图：课堂小练 1、课堂小练 2、例 1 和练习 1 主要是巩固复数的分类标准，强化复数的有关概念，理解复数、实数、虚数、纯虚数之间的关系，明确复数为实数、虚数、纯虚数的
充要条件。
通过练习 1 的第 4 小题，学生很容易得出两个复数相等的充要条件，进而给出复数相等的定义，得到复数实质上是一个有序数对，为后面研究复数的几何意义和三角表示奠定基础。例 4 主要是强化复数相等的含义。
（四）反思小结
问题 5：通过本节课的学习，你有哪些收获？
设计意图：通过对数系扩充规则、扩充过程及复数相关概念等知识和方法的总结，使学生对本节课的学习有一个全面、系统的认识。
（五）作业布置
必做题：教科书第 73 页习题 7.1 第 1，2，3 题.
拓展题：
1.通过网络阅读沈致远先生的《说数》一文，并探寻文中最后提出问题的答案（数的发展史是否还有新的篇章？）。
2.搜集最美数学公式eip +1 =0 的相关资料，了解该公式美在
(
何处。
)
设计意图：必做题是使学生在课后对复数的代数形式、相关概念、分类及复数相等的含义进行巩固加强。拓展题的设计是为了让学生了解数的发展史，引起对数学更广泛的兴趣，激励学生钻研数学奥秘。
七、教学反思
学生是课堂的主体，教师是教学的组织者和引导者。本节课通过问题串的形式引导学生自主归纳总结数集的扩充过程及复数代数表示式的生成，充分体现了学生的主体地位，提升了学生学会学习数学的能力。
本节课用解方程的需求这一主线引导学生回顾总结数系的扩充过程，而将数系扩充的社会实践需求放入到课后作业中让学生自行搜集资料，既节省了时间，又突出了本节课的重心— —复数的概念。通过对数系扩充过程的“再现”，引导学生重复数学家的探索路径，感受数学“创造”之美，突出了类比、归纳的数学思想方法。

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