资源简介

8. 6. 3 平面与平面垂直（第 1 课时）平面与平面垂直的判定 教学设计
一、课时教学内容
本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教版必修必修第二册第八章《立体几何初步》第六节《空间直线、平面的垂直》，主要为两个平面互相垂直的定义、两个平面互相垂直的判定定理，是一节新授课。
平面与平面的垂直关系是“立体几何初步 ”章节中的又一个重点，是继直线、平面的平行关系，直线与平面的垂直关系之后的迁移与拓展，是“类比 ”与“转化 ”思想的又一重要体现。这一节的学习对理顺“立体几何初步 ”章节的知识结构体系、提高学生的综合能力起着十分重要的作用。
平面与平面垂直是平面与平面相交的特殊情况，生活中平面与平面垂直的例子大量存在，引导学生观察、发现大量实例， 通过类比直线、平面平行关系的判定以及直线与平面垂直的判定，提出“平面与平面垂直判 ”判定的猜想，选择“如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面互相垂直 ”等典型猜想进行说理。本节课中， 几何直观、空间想象、合情推理和论证推理的结合有助于学生数学核心素养的培养。
二、课时教学目标
1.理解二面角的有关概念，会作二面角的平面角，能求简单二面角平面角的大小．
2.了解面面垂直的定义，掌握面面垂直的判定定理，初步学会用定理证明垂直关系．
3.熟悉线线垂直、线面垂直的转化。
三、教学重点、难点
1.教学重点：面面垂直的判定定理；
2.教学难点：求简单二面角平面角的大小，用定理证明垂直关系。
四、教学过程设计
环节一 创设情境，引入课题
（1）探究、建构二面角及其平面角的概念
像研究直线与平面垂直一样，我们首先应给出平面与平面垂直的定义．那么，该如何定义呢 不妨回顾一下直线与平面垂直、 直线与直线垂直的定义过程．
在定义直线与平面垂直时，我们利用了直线与直线的垂直．所以，直线与直线垂直是研究直线、平面垂直问题的基础．
在平面几何中，我们先定义了角的概念，利用角刻画两条相交直线的位置关系，进而研究直线与直线互相垂直这种特殊情况．
问题 1：在平面几何中，我们通过引入“角”的概念来刻画两条相交直线的位置关系，你能在空间中引入类似的概念来刻画两个相交平面的位置关系吗？
【设计意图】教师出示问题， 学教师直观展示生活中二面角的实例图片，介绍二面角的相关概念、符号记法和图形表示法．生回答
类似地，我们需要先引进二面角的概念，用以刻画两个相交平面的位置关系，进而研究两个平面互相垂直．
如图 8.6-21，从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角
(dihedral angle)．这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的
面．棱为AB ，面分别为a ， b 的二面角记作二面角a - AB - b ．有时为了方便，也可在a ， b 内(棱以外的半平面部分)分别取点P ，Q ，将这个二面角记作二面角P - AB - Q ． 如果棱记作l ，那么这个二面角记作二面角a - l - b 或P - l - Q ．
(
b
)Q
B
(
P
)l
A
a
图8.6-21
平面内的一条直线把平面分成两部分，这两部分通常称为半平面．
环节二 观察分析，感知概念
思考：虽然都是平面与平面相交，但在直观感觉上，两平面的“开合程度 ”并不一样．比如日常生活中，常说“把门开大一些 ”，这说明门与墙面所形成的角度有不同的状态．那么该如何定量地刻画两平面的位置关系呢？根据前面研究异面直线所成的角和直线与平面所成的角的经验，我们可以用一个平面角来度量二面角的大小．这样的平面角该如何建构呢？
(
思考
如图
8.6-22，在日常生活中，我们常说“把门开大一些
”，
是指哪个角大一些？受此启发，你认为应该怎样
刻画二面角的大小呢？
)
(
图
8.6-22
)如图 8.6-23，在二面角a - l - b 的棱l 上任取一点O ，以点O 为垂足，在半平面a 和b 内分别作垂直于棱l 的射线OA 和OB ，则射线OA 和OB 构成的曰AOB 叫做二面角的平面角．
(
b
)B
(
O
) (
A
)l
a
图8.6-23
曰AOB 的大小与点O 在l 上的位置有关吗？为什么？
问题 3 二面角的平面角的取值范围为，其中平面角为的二面角叫做直二面角．若两个平面相交，且它们所成的二面角是直二面角，则称两个平面互相垂直．你能给出一些生活中直观上平面与平面垂直的例子吗？
【师生活动】学生举例回答， 教师介绍平面与平面垂直的记法、图形表示等基础知识．
二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角，二面角的平面角a的取值范围是0 ° ≤ a ≤ 180 ° .
【设计意图】引入平面与平面垂直的概念，并结合生活实例让学生对平面与平面垂直有一个感性、直观的认识．
环节三 抽象概括，形成概念
观察
教室相邻的两个墙面与地面可以构成几个二面角 分别指出构成这些二面角的面、棱、平面角及其度数．
教室里的墙面所在平面与地面所在平面相交，它们所成的二面角是直二面角，我们常说墙面直立于地面上．
一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．平面a 与b 垂直，记作a ^b ．
(
b
) (
a
)如图 8.6-24，画两个互相垂直的平面时，通常把表示平面的两个平行四边形的一组边画成垂直．
b
(
a
)
图8.6-24
在明确了两个平面互相垂直的定义的基础上，我们研究两个平面垂直的判定和性质．先研究平面与平面垂直的判定．
环节四 辨析理解，深化概念
问题 4：对于两相交平面，除了根据定义，通过度量其二面角的平面角的大小来判定它们是否垂直外，是否存在其他的判定方法呢？如图 1，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，就认为墙面垂直于地面．你能分析其中蕴含的道理并总结出相应的结论吗？
【师生活动】教师提出问题， 除了生活实例外，还可以提供长方体模型帮助
学生获得结论：如果一个平面经过另一平面的垂线，那么这两个平面垂直．
观察
如图 8.6-25，建筑工人在砌墙时，常用铅锤来检测所砌的墙面与地面是否垂直．如果系有铅锤的细线紧贴墙面，工人师傅就认为墙面垂直于地面，否则他就认为墙面不垂直于地面．这种方法说明了什么道理？
这种方法告诉我们，如果墙面经过地面的垂线，那么墙面与地面垂直．类似的结论也可以在教室中发现．
一般地，我们有下面判定两个平面互相垂直的定理：
定理 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直．
这个定理说明，可以由直线与平面垂直证明平面与平面垂直．
平面与平面垂直判定定理：
一如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直。
符号语言： 图形语言
环节五 概念应用，巩固内化
辨析：判断正误.
(1)如果平面α内有一条直线垂直于平面内β的一条直线， 则α⊥β . ( × )
(2)应用面面垂直的判定定理的关键在于，在其中一个平面内找到或作出另一个平面的垂线，即实现面面垂直向线面垂直的转化. ( √ )
练习巩固：例 7、例 8、练习 1、变式 1
环节六 归纳总结，反思提升
1．二面角的平面角的概念及做二面角的平面角的方法；
平面与平面垂直的判定方法：定义法、两个平面互相垂直的判定定理
2．数学思想方法：
（1）比较与类比
类比面面平行判定定理归纳过程归纳面面垂直判定定理
（2）转化与化归
“面面垂直”转化为“线面垂直”
空间问题”转化为“平面问题”
【设计意图】通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的数学运算能力和逻辑推理能力。
环节七 目标检测，作业布置

展开更多......

收起↑