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学校 课题 2.2基 本不等式
教材分析 本节课是人教 A 版数学必修一第二章《2.2.基本不等式》第一课时，从内容上看学生原有知识的掌握情况为：初中的勾股定理知识以及三角形相似的知识，圆的有关知识，会用作差法比较法证明简单的不等式，所以在学法上要指导学生：从代数和几何的角度理解基本不等式，引导学生学会观察几何图形，进行几何与代数的综合应用，培养学生数形结合的思想，发展学生数学抽象，直观想象，逻辑推理等数学核心新素养。
学情分析 学生已经掌握了比较两个数或者代数式大小的基本方法和不等式的性质，高中的学生已经具有较好的逻辑思维能力，因此他们希望能够自己探索，发现问题，解决问题。课堂上通过一系列的问题串引导学生观察思考，提高学生的学习热情。课堂上通过学生交流与创造发现的新课堂，更加注重学生核心素养的培养。教学合作，师生互动，让学生成为学习的主人，在宽松愉悦的学习氛围中掌握知识。
教学目标 (1) 通过代数变换, 从重要不等式推出基本不等式, 并能解释基本不等式的结构. (2) 能利用不等式的性质, 运用分析法、综合法证明基本不等式, 提升逻辑推理素养. (3) 能借助几何图形说出基本不等式的几何解释, 促进直观想象素养的发展. (4) 能结合实例, 利用基本不等式解决简单的最值问题, 发展数学运算、数学建模等素养.
教学重难点 (1) 教学重点 : 从不同角度探索基本不等式的证明过程, 会用基本不等式解决简单的最值问题. (2) 教学难点: 以数学模型的观点理解基本不等式, 用其解决两类最值问题.
教学准备 教学方法： 以学生为主体，采用智慧课堂方式教学，精讲多练。教学工具：平板，多媒体。
教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 智 慧 课 堂 应 用 及 分 析 1.功 能 选 择2. 应 用 价 值3. 评 价 体 现 时长
1. 创 设 情 境 , 生 成 问 题. 如图， 是 2002 年 8 月在北京召开的第 24 届 国 际数学家大 会的会标 ，它依据 我国著名数学家赵 爽为研究勾股定理 作的弦图进行设计 的 ，颜色的明暗使 其看起来像一个风 车。 总结 ：上述结论可 思考 1：这 图案 中含有怎样的几何图形？ 思考 2：你能发现 图案 中的相等关系或不等关系吗 根据图形，完成下列填空 (
b
a
)（ 1）大正方形边长为 ___________， 面 积 S 为 __________。 （ 2）四个直角三角形_____， 面 积 和 S’ 为 _________。 （3）S 与 S’ 的大小关系 1.三角形，正方形 2.四个全等的直角三角形 通过智慧平板让学生思考并提问 5分钟
描 述 为 ： a2 +b2 2ab( 当a, b 为任意实数时，上式还成立吗？如何证明 作差证明 。。。 。(a。b)2 。0 。a 2 。a 2。b2 。2ab(。。。。 此不等式我们称之 为重要不等式 是 _________， 故 有 (
_______
)a (4) S 与 S’ 可能相等吗？满足什么条件时相等呢？ (5) 如果a。0, b。0, 我们用、 , ·、分别代替可得到什么结论？ （ 1 ） a2。b2 ， a 2。b2 （2）全等， 2ab （ 3） S 。S ' ， a2。b2 。2ab (4) 当a =b时，S =S , ,此时无中间的小正方形。 (5) (、)2 +()2 ≥2J × a +b≥ 2
2.新课讲解 基本不等式： ·、(a >0,b >0),注： 1. a >0, b >0 2.取等条件：当且仅当a=b 3.叫正数a, b的算术平 基本不等式： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 思考：我们通过考察 a2 +b2 2ab 的特殊情况获得了基本不等式，能否直接利用不等式的性质导出基本不等式呢？ (
采用其他方法，同学们看
)时证明基本不等式，也可以均 接 下 来 的 证 明 ： (
a
+
b
)要证： ·、 2 只要证： a。b≥_______ 只要证： a。b。______ ≥0 只要证： (___。____)2 ≥0 显然, 上式是成立的.当 1.类似于重要不等式的证明，作差证明即可。 2.学生思考 小组合作 ， 智慧平板随机点小组回答 5分钟
且仅当 a=b 时取等
2.新课讲解 基本不等式的几何 解释： 如图, AB是圆的直径, O为圆心，点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦 思考 ： 点 C 在什么位置上，0D=CD,此时 a 与 b 的关系是怎样？ a +b （ 1） 2 （2）相似的性质---射影定理： ·、 （3）OD>CD 点 C 与 0 点 重 合 时， OD=CD,此时 a=b 5分钟
3. 例题讲解 例 1. 已 知x >0 ， 求x + 的最小值. x。 1 追问(1):“求 x 的最小值 ”的含义是什么 追问 (2)：本题中要求最小值的代数式有什么结构特点 是否可以利用基本 的最小值 如果能，如何求 师生活动:学生思考后回答，教师总结: 求 x。 1 x 的最小值，就是 要求出一个 (
x
0
，使
。
x
。
1
。
y
0
)y0 (。x0。 1 ) x>0，都有 x 。 师生活动 :学生 思考后回答，教师总结，本题中要求的代数式是 x与 和的形式，而且 x. 是 x 通过智慧平板拍照学生做题的过程 25分钟
追 问 (3): 在上述解答过程中，是否必须说明“ 即 x =1 , x=1 时，等号成立。 追问(4):通过本例的解答 , 你能说说满足什么条件的代数式能够利用基本不等式求最值吗 变式：若x <0, 则x +的最___值_____ 例 2.已知 x，y 都是正数 ,求证 : (1) 如果积 xy 等于定值 P， 那 么 当 x=y 时 ， 和x+y有最小值2 P; (2)如果和 x+y等于定值 S，那么当 x=y 时，积 xy有最大值； (
1
) (
与
的算术平均数
的
2
倍，而后者的几何平
均数
是一个定值
)\ x , 所以可以利用基本不等式求解。教师展示教科书第 45 页例 1 的解答过程。 师生活动:学生讨论后 回答教师总结:这是为了 说 明 “ 2” 是 的一个取值。 请同学们想想 ， 当y0<2时 ， ≥y0成立吗 这时能说y0 (x>0)的最小值吗 师生活动:学生讨论后 回答.教师总结 : 代数式是否能转化为两个正数的和或积的形式，它们的和或者积是否是一个定值，不等式中的等号是否能取到，通俗地说，就是“一正、二定 、三相等”。 最大值-2 师生活动:师生一起分析后，由学生思考并书写证明过程后展示 ，师生共同补充完善.
4.归纳小结 教师引导学生 回顾本单元的内容 , 并回答下面的问 题: (1) 什么是基木不等式 如何推导得出基本不等式 (2)基本不等式的代数特征是什么 如何从几何图形上.解释 (3)基本不等式的使用条件是什么 如何利用基本不等式解决最值问题 需要注意什么 (4)本节课有哪些数学思想方法 追问 :通过本题，你能说说用基本不等式能够解决什么样的问题吗 例3.（1）已知x >0, y >0, 2x +3y =1, 求xy的最大值 （2）已知x < , 求y =4x - 2 +的最大值 师生活动:学生思考后回答，教师总结:满足“两个正数的积为定值 , 当这两个数取什么值时，求它们的和的最小值 ”，或者“两个正数的和为定值，当这两个数取什么值时，求它们的积的最大值 ”的问题 , 能够用基本不等式解决. （师生活动）结合例 2的解答，师生一起分析后，由学生思考并书写解答过程后展示 。第（ 1）问结合和为定值，求乘积的最大值 第（2） 问结合基本不等式的使用条件：一正二定三相等求最值 5分钟
5.布 置作 业 1.教科书 习题 2.2第 1,2, 5 题. 2. (1)已 知 x>0， 的最小值及相应的x 值; (2)已 知 0板书设计 2.2 基本不等式 1.创设情境，生成问题 a +b 3 ·、(a >0,b >0), 当且仅当a=b时，等号成立 基本不等式： 2 2. 新课讲解 3. 例题讲解例1 例2 例3 4. 归纳小结 5. 布置作业
教学反思 由于学生缺少代数式证明的经验，而基本不等式的证明和推导方法很多，故能否根据学生的水平和能力，找到适合学生的切入点，从多角度引导学生去思考，分析，需要我们去思考和突破。这是本节教学的难点。尤其是基本不等式的几何解释，学生不容易想到，需要数形结合地理解，这也是教学中的难点。此外，在利用
基本不等式研究最值问题时，学生容易出现忽视使用条件，不验证等号是否成立，甚至出现没有确认和或积为定值就求最值等问题，这也是学生思维不够严谨的表现。结合学生出现的问题，设计合适的题目，让学生真正理解为什么需要满足“一正二定三相等 ”，才能利用基本不等式求最值。

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