资源简介

11.3.1 两数和乘以这两数的差
年 级 八年级 教材版本 华东师范大学出版社
新课标要求 通过探究两数和乘以这两数的差的规律，提升学生运用数学语言表达现实世界的能力，增强数学运算、逻辑推理等核心素养。
教学设计
整体设计思路 先以生活中买糖果实际问题引出多项式乘法，激发学生兴趣。接着让学生计算特殊的多项式乘法算式，引导他们观察、归纳出平方差公式(a + b)(a - b)=a2 - b2，再从代数（多项式乘法展开）和几何（图形面积变化）方面验证公式。之后通过基础练习、各类计算应用以及实际问题解决，巩固对公式的理解与运用。最后课堂小结梳理知识，作业设置基础与拓展类题目，满足不同学生需求，整个过程渗透观察、归纳、数形结合等数学思想，帮助学生掌握公式并能灵活运用。
依据说明 学生的学习应是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、自主探索、动手实践、合作交流是学习数学的重要方式。在教学过程中要引导学生从数形结合角度理解平方差公式。先引导发现，后讲评点拨。鼓励学生运用独立思考、相互交流和总结归纳的学习方法真正掌握本节课的关键----熟练运用平方差公式，从而实现由“学会”到“会学”的质的飞跃。同时，现代化多媒体教学手段的辅助应用，将大大丰富了教学内容，充分体现新课标理念中促进信息技术与数学课程融合，激发学生的想象力，提升学生的探究热情，提高学生的信息素养。
教材分析 两数和乘以这两数的差”是整式的乘除章节中的重要内容。从知识体系来看，平方差公式作为整式乘法的特殊形式，是在学生已经学习了多项式乘法的基础上进行深入探究的，它不仅是对多项式乘法的一种简化运算工具，又为后续学习因式分解、分式运算等知识奠定基础。从数学思想培养角度来说，该内容是让学生感悟换元思想，感受数学的再创造性的好教材。
学情分析 知识基础上，学生已掌握幂的运算与多项式乘法，为学习平方差公式提供储备，但多项式乘法中的符号错误、漏项问题，可能影响公式运用准确性。 认知能力上，学生处于形象思维向抽象思维过渡阶段，能通过具体实例，如(x+1)(x-1)感知规律，却难归纳规律、用数学语言表达，对公式中a、b的广泛含义理解有难度。 学习能力上，学生具备一定合作探究与独立探索能力，可通过小组合作推导公式，但公式灵活运用需更多练习与教师引导来提升。　
教学目标 1.让学生了解平方差公式的形成过程，能够用代数和几何方法证明平方差公式。 2.让学生掌握平方差公式的结构特征，学会灵活运用平方差公式进行计算，体会平方差公式结构的不变性和字母的可变性。 3.让学生总结平方差公式的研究方法，理清研究平方差公式的基本思路，为后续研究完全平方公式打好基础。 4.让学生感受数式通性，建立符号意识，体验从一般到特殊、具体到抽象的研究过程,发展几何直观素养,感受数形结合思想。
重点、难点 重点：平方差公式的探究及应用。 难点：对平方差公式结构特征的理解和几何验证。
教学方法 启发式教学法、合作探究法、讲练结合法。
学法 引导学生采用“自主探究法-合作交流法-练习巩固法-数形结合法”的学习路径，主动构建知识体系。
教学准备 多媒体课件
教学过程
教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 设计意图
一、设置情景 问题:某同学去商店买了单价是 9.8 元每千克的糖果10.2 千克，售货员刚拿起计算器，他就说出应付的钱数，与售货员计算出的结果相吻合。售货员很惊讶地说:“你好像是个神童怎么算得这么快 ”同学们，你知道他是怎么快速计算的吗 教师利用多媒体呈现，提出的问题。 学生读题，并思考问题，学生们一致认为9.8×10.2，存在简便的计算方法，由此引入新课。 创设生活背景让学生感知数学来源于生活，通过巧算激发学生兴趣。
二、回顾旧知 多项式乘以多项式的法则。 计算下列各题，你能发现什么规律？ 教师引导学生根据多项式乘以多项式的法则写答案。同时让学生思考为何积由四项变成两项？ 请三位学生在黑板上板演，师生共同分析结果。 从结果为两项的多项式相乘的式子入手，培养学生学会观察、分析、归纳的能力，剖析相乘的两个二项式中两个数的具体关系及其在计算结果中对应的位置，让学生抓住本质，更为透彻地理解平方差公式。
教学互动 问题1：上述问题中相乘的两个多项式有什么共同点？（两个数的和乘以这两个数的差） 问题2：相乘两个多项式的各项与它们的积中的各项有什么关系？（积是这两个数的平方差） 问题3：你能将发现的规律用式子表示出来吗？ 问题4：你能用文字语言叙述上述公式吗？ 问题5：你能用图形的面积说明平方差公式吗？ 思考：平方差公式的结构特征 让学生先自主观察,鼓励学生分享自己的发现，总结归纳。 引导学生为什么会有这样的关系，激发学生对规律的探索欲。 巡视时针对学生可能出现的表述问题（如字母混淆、符号错误）进行个别点拨，再请不同学生展示自己写的式子，组织全班讨论式子的合理性。 引导学生回顾字母公式，鼓励表达；针对不完整表述追问补充关键信息，明确规范表述.规范板书，两个数的和乘以这两数的差，等于这两个数的平方差 利用多媒体和教具展示边长为a的大正方形和边长为b的小正方形，以及拼接后的长方形，让学生直观感受图形与公式的联系 引导分析 1.先带领学生回顾平方差公式(a +b)(a-b)=a2 - b2的推导过程。 2.拆解公式：将公式左边和右边分别拆解，分析左边两个二项式的结构，指出都有两项,且有一项完全相同（a），另一项互为相反数（b与-b）；再看右边，是相同项的平方减去互为相反数项的平方。 学生独立思考，小组讨论，尝试着进行概括。发现相乘的两个多项式都是相同的两个数的和与这两个数的差的形式，并且这两个多项式的积刚好是这两个数的平方差。 小组内对比分析，讨论各项之间的关联，尝试解释“交叉项消失”的原因；完善对“各项关系”的总结，用自己的话描述发现。 尝试用字母（如m，n或a、b）表示规律，写出对应的式子；与同桌交流自己写的式子，说明式子中每个字母代表的含义；参与全班讨论，判断不同式子的正确性，理解标准公式中a、b的广泛意义，用式子可(a+b)(a-b)=a2-b2 听同学表述找不足，在追问下修正；对照规范表述，理解每部分关键信息，深化对公式的认知。小组合作交流，并选出代表发言。 小组交流合作完成，动手操作：学生自己动手用纸片拼摆图形，亲身体验面积的变化，从而更深刻地理解公式的几何意义。 1.认真观察平方差公式的左右两边，尝试自己总结结构特征。 2.小组讨论：与小组成员交流自己的发现，共同完善对公式结构特征的描述。 让学生通过观察、思考，经历公式的探究过程，而非被动接受，培养观察能力与归纳思维。 避免直接灌输结论，培养观察分析能力，帮助学生理解平方差公式的本质（而非死记硬背），为后续掌握公式结构特征、灵活应用公式奠定逻辑基础。 培养数学抽象与符号表达能力；通过讨论和验证，让学生理解公式的通用性和简洁性，避免机械记忆；同时，明确公式的标准形式。 避免表述流于形式，助学生理解公式本质，为后续应用奠基。 用代数法和几何法证明平方差公式，让学生感受代数和几何的内在统一性，体会数形结合的思想。让学生将符号语言转化为文字语言，发展学生的数学语言表达能力，加深对公式结构特征的理解 通过引导、拆解、帮助学生系统、清晰地认识平方差公式的结构特征，突破学生对公式结构理解的难点。学生通过自主观察、小组讨论积极参与到知识的探究过程中，不仅能更深刻地掌握平方差公式的结构特征，还能培养观察能力、合作交流能力和知识应用能力，为后续正确运用平方差公式进行计算和因式分解等操作奠定坚实基础。
知识应用 解决实际问题 六、课堂练习 例1 （1）（a+3）(a-3) （2）(2a+3b)(2a-3b) (1 - 2c)(1 + 2c) (-2x-y)(2x-y) 例2 计算: 1998 × 2002 9.8×10.2 1.下列运算中，可以用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 2.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积差是 3.运用平方差公式计算： （1） （2） 4.先化简，再求值： 其中 让学生先分析平方差公式中的a，b正确的利用平方差公式进行解题，教师板书。 教师巡视，了解学情，并利用手机投屏这一信息化技术将学生的易错问题呈现在白板上，让其他小组纠错讲解，对学生出现的共性问题教师点拨。 1.引导回忆：先引导学生回忆平方差公式结构特征，强调公式中“有一项完全相同，另一项互为相反数”的特点。 2.启发变形：展示1998x2002，启发学生思考如何将这两个数转化为符合平方差公式结构的形式，提示学生观察1998和2002与2000的关系。 按照公式写出平方差。 1.引导学生回顾平方差公式 2.巡视指导：在学生做题过程中，观察学生的解题情况。对于有困难的学生，及时给予点拨 3.总结提升：对整组题目进行总结，归纳运用平方差公式解题的一般方法和技巧，帮助学生形成系统的解题思路。 学生和老师共同完成 四名学生板演过程，其他同学独立完成，再小组讨论，集体订正。学生独立完成练习，巩固新知。 自主计算：根据自己的变形思路，运用平方差公式进行计算，在计算过程中体会公式的应用方法。与同学交流自己的变形过程和计算结果，分享解题心得，同时倾听他人的思路，完善自己的认知。 找小组代表说出答案 1.自主解题：独立完成每一道题目。用公式进行计算、判断等操作。 2.交流讨论：在完成题目后，与同桌或小组成员交流自己的解题过程和结果，分享解题心得，讨论遇到的问题和疑惑，互相学习，共同提高。 3.展示分享：积极参与课堂展示，主动分享自己的解题思路和答案，及时修正自己的错误认识。 通过例题，让学生进一步巩固平方差公式，并能熟练地加以应用。 紧扣教材，当堂解决课后练习。 强化公式应用培养数感与变形能力：体会简便运算的优势： 构建知识应用体系.构建完整的知识应用体系，明白数学公式不仅是理论知识，更是解决实际问题的有力武器。 呼应引入部分，让学生体会知识的实际应用. 让学生熟悉公式的结构特征，找准哪个数或式子相当于公式中的第一个数a，哪个数或式子相当于公式中的第二个数；运用公式进行计算。
七、课堂小结
八、作业布置 分层练习，梳理知识点，巩固新知。 作业布置： 必做： 课本37页练习第2题 课本44页第1题。 选做： 已知x2 - y2 = 20，且x + y = 5，求x - y的值；再进一步，求x和y的值。 教师对小组的课堂表现进行全面评价，评选最佳小组。 教师出示巩固性作业和挑战性作业。 逆向运用平方差公式计算。 学生查缺补漏，熟练掌握本节内容。 组内根据答案互评互讲。 提高学生数学计算的核心素养，并能及时反馈学生的学习效果，让教师掌握学生对本节课知识掌握的情况。 通过分层作业让不同层次的学生的达到不同程度的提高。 选做题供学有余力的学生挑战，满足不同层次学生的学习需求，让基础好的学生能更深入地运用知识。
九、板书设计 平方差公式 两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差。 字母表达式 几何验证： 例1 例2
教学反思 本节课根据学生的认知情况：从生活的情境引入，而后通过几何图形面积的不同表示方法得出平方差公式。由此引导学生主动提出问题、分析问题、发现问题、解决问题。从数学知识内部出发，让学生经历归纳概括事物本质的过程，使学生学会用数学的方法认识问题，用数学的眼光观察现实世界，这也是落实数学抽象、直观想象的重要途径。 重视公式的辨析及应用过程。例如用公式进行简便运算，即构建平方差公式模型解决问题，并通过分析式子的结构特征、从数据中挖掘信息等，还有公式的文字、符号、图形语言的描述，这些其实都是用数学的语言表达现实世界，提升了学生的模型观念和数据观念。

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