资源简介

第二十章 勾股定理
20.1 勾股定理及其应用
第 1 课时 验证勾股定理
教学设计
教学目标
课题 20.1 第1课时 验证勾股定理 授课人
素养目标 1.了解勾股定理，探索勾股定理的证明过程，学会利用几何图形的截、割、补证明勾股定理. 2.能叙述勾股定理，并能应用它进行简单的计算. 3.通过拼图活动，体会数形结合的思想方法，培养学生的动手实践和创新能力.
教学重点 运用割补、拼图的方法证明勾股定理的正确性，并能进行简单计算.
教学难点 “数形结合”思想方法的理解和应用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，导入新课 【情境导入】 直角三角形作为一种特殊的三角形，它的三个角满足其中一个角是直角、其余两个角互余.对于直角三角形的三条边，它们之间有什么特殊关系呢 在《周髀算经》的开篇……(其他内容见教材P23探究上方内容) 【教学建议】 给学生说明，从 一个直角三角形中得出的结论，还需更一般的验证.
设计意图
介绍我国古代数学成就，激发学生的学习兴趣.
活动二：问题引入，自主探究 探究点勾股定理的认识与证明 1.直角三角形中勾股定理的探究(教材P23探究) (1)如图，每个小方格的面积均为1，图中正方形 A ，B ，C 的面积之间有什么关系 A ,B ,C 呢 A ,B ,C 呢 请你通过计算相关图形的面积进行说明. 解： 所以 所以 所以 (2)以格点为顶点，在方格纸中任意画一个直角三角形，类似地作出三个正方形，这三个正方形的面积有什么关系 答：可以发现，以直角三角形两条直角边为边的正方形的面积之和，等于以斜边为边的正方形的面积. 【教学建议】 可提示学生利用 割补法计算图中正方形 C ,C ,C 的面积(等于某个正方形的面积减去 4个直角三角形的面积).
设计意图
引导学生探索、发现、证明勾股定理.
八年级数学下册 23
教学步骤 师生活动
(3)你能得出关于直角三角形三边关系的猜想吗 答：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为 c，那么 2.勾股定理的证明 阅读教材P24，了解我国古代数学家赵爽是如何利用拼图的方法来证明上述猜想的，我国把它称为 勾股定理 ，感兴趣的同学可以自己拼图试一试.
活动三：知识运用，典例讲练 例1 (教材 P25 探究)根据“赵爽弦图”，你能通过计算弦图的面积推导出勾股定理吗 解：整个图形的面积可以表示为c . 整个图形的面积还可以表示为四个直角三角形的面积与小正方形的面积之和，即 所以 化简，得 勾股定理得证. 例2 (教材 P25 例1)如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长. 解:(1)在 Rt△ABC 中,根据勾股定理, ,所以 AB=10. (2)在 Rt△DEF 中,根据勾股定理,DE + 从而 ,所以 DE=8. 【对应训练】 1.教材 P25~26 练习. 2.如图是传说中毕达哥拉斯的证法，利用这两个图形证明勾股定理.(提示：图①中拼成的正方形与图②中拼成的正方形面积相等) 证明：从图上可以看到，这两个大正方形的边长都是a+b，所以面积相等. 所以 化简整理，得 【教学建议】 (1)告诉学生用 拼图方法证明勾股定理通常有两种情况：①一个图形就利用它的两种不同面积表示方法列等式；②两个图形就利用它们的面积相等列等式. (2)提醒学生牢 记直角所对的边是斜边，并要掌握勾股定理公式的其他变形(直角边为a，b，斜边为c时的情况)：
设计意图
帮助学生巩固对勾股定理的认识.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题：什么是勾股定理 你知道几种证明它的方法 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P30习题20.1第1题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
24 名师教学设计
教学步骤 师生活动
板书设计 20.1勾股定理及其应用 第1课时 验证勾股定理 1.勾股定理：如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么 2.勾股定理的证明：“赵爽弦图”.
教学反思 本节课以“情境导入一从特殊到一般一假设猜想一拼图验证”为主线，使学生亲身体验勾股定理的探索和验证过程，达到更好的学习效果.勾股定理的证明是本节课的难点，可以设计一些拼图活动，让学生从图形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究，从而突破这一难点.
备课素材
解题大招
解题大招一 勾股定理的证明方法
例1 以a，b为直角边，以c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积都等于 ab，把这两个直角三角形拼成如图所示的形状，使A，E，B三点在一条直线上.求证：
证明:∵Rt△EAD≌Rt△CBE,∴∠ADE=∠BEC,ED=CE.
∵∠AED+∠ADE=90°,∴∠AED+∠BEC=90°.
∴∠DEC=180°-(∠AED+∠BEC)=90°.
∴△DEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于
又
∴四边形 ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于
例2 作三个边长分别为a，b，c的正方形，把它们拼成如图所示的形状，H，C，B三点在一条直线上,连接BF,CD.求证:
证明:如图,过点C作CL⊥DE 于点L,交AB 于点M.
∵∠FAC=∠BAD=90°,∴∠FAC+∠CAB=∠BAD+∠CAB,即∠FAB=∠CAD.
又AF=AC,AB=AD,∴△FAB≌△CAD(SAS),∴S△FAB=S△CAD.
∵△FAB 的面积等于 的面积等于 (即长方形ADLM 面积的一半),∴ 长方形 ADLM 的面积=a .
如图,连接AK,CE,同理易证△ABK≌△EBC,∴易得长方形 MLEB 的面积=b .
∵正方形ADEB 的面积=长方形ADLM 的面积+长方形 MLEB 的面积,
即
解题大招二 利用勾股定理求边长
应用勾股定理求直角三角形的边长时(直角边长为a，b，斜边长为c)，经常利用 和其变式：
例3 在△ABC中,AB=10,AC=2 ,BC边上的高AD=6,则另一边 BC等于(C)
A.10 B.8 C.10或6 D.10或8
分析：本题要分两种情况考虑，分别在两个图形中利用勾股定理求出BD和CD，从而可求出BC的长.
解析：如图①，由勾股定理，得 ,所以BC=BD+CD=8+2=10.
八年级数学下册 25
如图②，由勾股定理，得 ,所以BC=BD-CD=8-2=6.
综上所述，BC 的长为10或6.故选C.
例4 已知直角三角形的两边长x，y满足 ，则第三边长为(D)
A. C. D. ,
解析：因为 所以
所以x=2或-2(舍去),y=3或1.
①当直角三角形的两边长为2和3时，
若两直角边的长分别是2，3，则第三边的长为
若3为斜边长，则第三边的长为
②当直角三角形的两边长为2和1时，
若两直角边的长分别是2，1，则第三边的长为
若2为斜边长，则第三边的长为
综上所述，第三边的长为 , 故选 D.
注意：解题时注意分类讨论思想的应用，考虑问题不全面就会导致漏解.
培优计划
培优点 勾股定理的证明
例1 如图,在△ABD中,AC⊥BD于点C,E为AC上一点,连接BE,DE,延长DE交AB 于点F,已知DE=AB,∠CAD=45°.
(1)求证:DF⊥AB;
(2)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明.
已知:在△ABC中,∠ACB=90°,BC=a,AC=b,AB=c,求证:
证明:(1)∵AC⊥BD,∠CAD=45°,
∴AC=DC,∠ACB=∠DCE=90°.
在 Rt△ABC 和 Rt△DEC 中,
∴Rt△ABC≌Rt△DEC(HL),
∴∠BAC=∠EDC.
∵∠BAC+∠ABC=90°,∴∠EDC+∠ABC=90°.
∴∠BFD=90°,∴DF⊥AB.
(2)由(1)知Rt△ABC≌Rt△DEC,DF⊥AB,
∴EC=BC=a,DC=AC=b,DE=AB=c.
由阴影部分面积，得
又AC⊥BD,DF⊥AB,
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