资源简介

第2课时 一次函数的图象和性质
教学目标
课题 23.2 第2课时 一次函数的图象和性质 授课人
素养目标 1.学会用描点法或两点法画一次函数的图象，体会数形结合思想的应用. 2.通过观察具体一次函数的图象特征，抽象到一般一次函数的图象特征，用类比的方法归纳出一次函数的性质. 3.利用一次函数的性质解决数学问题.
教学重点 理解和应用一次函数的图象和性质.
教学难点 灵活利用一次函数的性质解决数学问题.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：类比分析，导入新课 【类比导入】 1.正比例函数是特殊的一次函数，正比例函数的图象是一条直线，那么一次函数的图象也会是一条直线吗 2.从解析式上看，一次函数.y=kx+b(k，b为常数，k≠0)与正比例函数y=kx(k为常数，k≠0)只相差一个常数b，体现在图象上，又会有怎样的关系 3.类比之前对正比例函数图象和性质的研究，我们应该怎样研究一次函数 请带着以上问题，我们进入本课时的学习. 【教学建议】 让学生思考讨论，类比分析，可挑选学生回答.
设计意图
引导学生回顾正比例函数的图象和性质，为突破本课时的难点做准备.
活动二：问题引入，自主探究 探究点1 一次函数的图象及其平移规律 例1 (教材P119例2)画出函数y=－3x与y=－3x+1的图象. 解：函数y=－3x与y=－3x+1中的自变量x可为任意实数. 列表表示几组对应值. 描点、连线，画出函数y=－3x与y=－3x+1的图象如图所示. 思考：比较上面两个函数的图象的相同点与不同点，填写你的观察结果： 这两个函数的图象形状都是 直线 ，并且倾斜程度 相同 .函数y=－3x的图象经过原点，函数y=－3x+1的图象与y轴交于点 (0，1) ，即它可以看作由直线y=－3x向 上 平移 1 个单位长度而得到. 问题1 比较两个函数解析式，你能说出两个函数的图象有上述关系的道理吗 答：因为函数解析式y=－3x+1相较于y=－3x，等号右边一次项完全相同，但多个常数1(1的符号为正)，所以直线y=－3x+1相当于直线y=－3x向上平移1个单位长度. 问题2 联系上面结果，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是什么形状 它与直线y=kx(k≠0)有什么关系 答：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象是一条直线，它是由直线y=kx(k≠0)经过平移得到的. 归纳总结：一次函数y=kx+b(k≠0)的图象可以由直线y=kx平移|b|个单位长度得到(当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移).一次函数y=kx+b(k≠0)的图象也是一条直线，我们称它为直线y=kx+b. 例2 (教材P120例3)画出函数y=2x－1与y=－0.5x+1的图象. 分析：由于一次函数的图象是直线，所以只要确定两个点就能画出它. 解：列表表示当x=0，x=1时两个函数的对应值. x01y=2x－1－11y=－0.5x+110.5
过点(0，－1)与(1，1)画出直线y=2x－1；过(0，1)与点(1，0.5)画出直线y=－0.5x+1(如图). 或先画直线y=2x与y=－0.5x，再分别平移它们，也能得到直线y=2x－1与y=－0.5x+1(如图). 【对应训练】 1.一次函数y=－0.5x+4的图象是由正比例函数 y=－0.5x 的图象向 上 平移 4 个单位长度得到的一条直线. 2.教材P121练习第2题. 【教学建议】 (1)引导学生先用描点法画出函数y=－3x的图象，再用描点法画出函数y=－3x+1的图象，最后两者进行对比，比较两个函数图象之间的关系. (2)告诉学生：确定一次函数的图象也是直线后，在画对应的图象时，可以用两点法画出，也可以先画对应的正比例函数图象，再通过平移得到，它们的解析式仅在常数项上有区别. 【教学建议】 教师提示：对于一次函数，为计算简便，可以选择点(0，b)和点(1，k+b)来画直线y=kx+b.教师应向学生讲明，用两点法画一次函数图象时，应结合它的解析式选点.
设计意图
通过画出具体的两个函数的图象，引出正比例函数图象与一次函数图象之间的关系.
设计意图 探究点2 一次函数的性质 例3 画出函数y=x+1，y=－x+1，y=2x+1，y=－2x+1的图象，总结它们的特性，填写表格. 解：图象如图所示. 填表： 一次函数k值正负性b值正负性图象类型图象经过的象限图象变化规律y=x+1k>0b>0经过点(0，1)的直线一、二、三从左向右上升y=－x+1k<0一、二、四从左向右下降y=2x+1k>0一、二、三从左向右上升y=－2x+1k<0一、二、四从左向右下降
由此联想：一次函数解析式y=kx+b(k，b是常数，k≠0)中，k的正负对函数图象有什么影响 你能进而归纳一次函数的性质吗 总结规律：当k>0时，直线y=kx+b从左向右上升；当k<0时，直线y=kx+b从左向右下降.一般地，一次函数y=kx+b(k，b是常数，k≠0)具有如下性质：当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小. 其他性质(了解)：1.当k>0时，k的值越大，直线与x轴所夹的锐角越大；当k<0时，k的值越小，直线与x轴所夹的锐角越大. 2.同一平面内，两条不重合的直线与当时，l ∥l ；当时，l 与l 相交. 归纳总结： 系数k，b的符号k>0，b>0k>0，b<0k<0，b>0k<0，b<0图象的大致位置图象经过的象限一、二、三一、三、四一、二、四二、三、四性质y随x的增大而增大y随x的增大而增大y随x的增大而减小y随x的增大而减小图象特征与y轴正半轴相交与y轴负半轴相交与y轴正半轴相交与y轴负半轴相交直线从左向右上升直线从左向右下降
【对应训练】 教材P121练习第1，3题. 【教学建议】 学生独立画图并观察图象，总结出一般性结论，教师对遗漏地方进行补充.再通过画函数图象的过程及观察比较，引出k对函数增减性影响的归纳. 【教学建议】 教师跟学生明确这种先通过观察发现图象(形)的规律，再根据这些规律得出关于变量数值大小的性质，这种数形结合的研究方法在数学学习中很重要.
类比探究正比例函数的性质时所用方法，探究一次函数的性质.
活动三：重点突破，提升探究 例4 已知一次函数y=(2a+4)x－(3－b). (1)当a，b取何值时，y随x的增大而增大 (2)当a，b取何值时，其图象经过第二、三、四象限 (3)当a，b取何值时，其图象与y轴的交点在x轴上方 (4)当a，b取何值时，其图象经过原点 解：(1)由题意，得2a+4>0，－(3－b)为任意实数，所以a>－2，b为任意实数. (2)由题意，得2a+4<0，－(3－b)<0，所以a<－2，b<3. (3)由题意，得2a+4≠0，－(3－b)>0，所以a≠－2，b>3. (4)由题意，得2a+4≠0，－(3－b)=0，所以a≠－2，b=3. 【对应训练】 已知一次函数y=(2m－2)x+m+1. (1)当m为何值时，图象经过原点 (2)若y随x的增大而增大，求m的取值范围； (3)若函数图象与y轴的交点在x轴下方，求m的取值范围； (4)若函数图象经过第一、二、四象限，求m的取值范围. 解：(1)由题意，得2m－2≠0，m+1=0，所以m=－1. (2)由题意，得2m－2>0，解得m>1. (3)由题意，得2m－2≠0，m+1<0，所以m<－1. (4)由题意，得解得－10时，图象与y轴的交点在x轴上方；当b=0时，即为正比例函数，图象经过原点；当b<0时，图象与y轴的交点在x轴下方.
设计意图
强化学生对一次函数y=kx+b的图象在平面直角坐标系中的位置与k，b取值关系的认知.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.一次函数与正比例函数有什么关系 怎么画一次函数的图象 2.一次函数y=kx+b的图象和性质与k，b的取值有什么关系 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P124习题23.2第3，6，7，8题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计 23.2 一次函数的图象和性质 第2课时 一次函数的图象和性质 1.一次函数的图象. 2.一次函数图象的平移规律. 3.一次函数的性质.
教学反思 本节课类比正比例函数图象的研究方法，采用改变变量k的值观察图象的变化的方法，让学生经历观察、比较、归纳的过程，再总结出一次函数y=kx+b(k≠0)的一般特点，符合学生的认知规律和教学规律.
解题大招 一次函数图象和性质的应用
1.性质拓展：
(1)直线与直线的位置关系：
与y 相交；②与y 相交于y轴上同一点(0，b )；
与y 平行；与y 重合.
(2)|k|的大小决定直线的倾斜程度：
|k|越大，直线与x轴相交成的锐角度数越大；|k|越小，直线与x轴相交成的锐角度数越小.
b决定直线与y轴交点的位置：
b>0时，直线与y轴的交点在y轴的正半轴上；b<0时，直线与y轴的交点在y轴的负半轴上.
(3)当直线平行于x轴且与y轴交点的纵坐标为b时，这条直线对应的函数解析式为y=b；
当直线平行于y轴且与x轴交点的横坐标为a时，这条直线对应的函数解析式为x=a.
2.解题方法：
(1)一次函数的图象是一条直线，要画出图象只需确定图象上的两点，这两点一般选与x轴的交点和与y轴的交点(0，b)，过这两点画直线即可.
(2)由k，b的符号可以确定直线y=kx+b的位置；反过来，由直线y=kx+b的位置也可以确定k，b的符号.
k的符号决定直线的倾斜方向，b的符号决定直线与y轴交点的位置.
例1 对于一次函数y=－3x+5，当x<－2时，函数值y的取值范围是 y>11 .
解析：因为－3<0，
所以y随x的增大而减小.
当x=－2时，y=－3×(－2)+5=11.
又x<－2，
所以函数值y的取值范围是y>11.
例2 如图，表示一次函数y=mx+n与正比例函数y=mnx(m，n是常数，mn≠0)的大致图象的是( C )
解析：
选项 判断理由 结论
A 由一次函数的图象可知m>0，n>0，故mn>0；由正比例函数的图象可知mn<0，两结论不同 错误
B 由一次函数的图象可知m>0，n<0，故mn<0；由正比例函数的图象可知mn>0，两结论不同 错误
C 由一次函数的图象可知m<0，n>0，故mn<0；由正比例函数的图象可知mn<0，两结论一致 正确
D 由一次函数的图象可知m<0，n>0，故mn<0；由正比例函数的图象可知mn>0，两结论不同 错误
例3 若一次函数y=(2m+1)x+m－3的图象不经过第二象限，则m的取值范围是( D )
B.m<3
例4 若点A(x ，－3)，B(x ，－4)，C(x ，1)在一次函数的图象上，则x ，x ，x 的大小关系是( B )
A. x1解析：因为所以y随x的增大而减小.
因为－4<－3<1，所以

展开更多......

收起↑