资源简介

23.4 实际问题与一次函数
第1课时 建立一次函数模型
教学目标
课题 23.4 第1课时 建立一次函数模型 授课人
素养目标 1.通过实际问题经历一次函数模型的建模过程，在情境中感受数学来源于生活，发展和培养数学建模思想以及分析、解决问题的能力. 2.了解分段函数的特点，学会根据题意求出分段函数的解析式并画出函数图象，感知数形结合思想在一次函数中的应用.
教学重点 领会数学建模过程中数形结合思想、分类讨论思想在解题中的运用.
教学难点 多段一次函数在实际问题中的灵活运用.
教学活动
教学步骤 师生活动
活动一：创设情境，新课导入 【情境引入】 在日常生活中，很多问题中变量之间的对应关系可以用一次函数来刻画.在运用一次函数解决实际问题时，一般先将实际问题抽象为一次函数问题，然后根据条件求得一次函数的解析式，再结合一次函数的图象和性质分析并解决问题. 在进入本节课的学习之前，让我们先看看下面这个问题，试着解决它吧. 在弹性限度内，弹簧的长度y(单位：cm)与所挂物体的质量x(单位：kg)之间是一次函数关系，其图象如图所示，则y关于x的函数解析式为 y=0.5x+10 ，弹簧不挂物体时的长度为 10 cm. 【教学建议】 学生代表回顾旧知，教师引导学生分析函数图象，学生求出解析式并完成后面的填空，从解决简单实际问题着手逐步引申至正课的学习.
设计意图
为用函数解决实际问题做铺垫.
活动二：问题引入，自主探究 探究点 建立一次函数模型解决实际问题 例1 (教材P131例题)某玉米种子的价格为40元//kg.若一次购买不超过2kg的种子，其价格不变；若一次购买超过2kg的种子，超过部分的种子价格打六折. (1)写出付款金额关于购买量的函数解析式，并画出函数图象； (2)一次购买4kg玉米种子，需付款多少元 分析：①说一说，付款金额、种子价格、购买量三者有怎样的关系 答：付款金额=种子价格×购买量. ②通过题意我们可知，种子价格不是固定不变的，它与购买量有关，设购买xkg种子，付款金额为y元.则有： 因此，写函数解析式与画函数图象时，应分 ≤x≤2 和 x>2 讨论. 解：(1)设购买量为xkg，付款金额为y元. 当0≤x≤2时，种子价格为40元/kg，函数解析式为y=40x； 当x>2时，购买的种子中有2kg按40元/kg计价，其余的(x－2)kg(即超出2kg部分)按24元/kg(即六折)计价，函数解析式为y=40×2+24(x－2)=24x+32. 函数解析式也可以合起来表示为 函数图象如图所示. (2)因为4>2，所以y=24×4+32=128. 因此，一次购买4kg种子，需付款128元. 【对应训练】 教材P131~132练习. 【教学建议】 学习待定系数法时已初步涉及分段函数，这里学生理解此类问题没有太多障碍，教师可以适时总结此类模型：自变量在不同区间对应不同的函数，称为分段函数. 【教学建议】 (1)教师先让学生自行填表，初步认识分段函数的实际意义，然后引导学生发现自变量在不同取值范围内对应不同的一次函数，最后由学生独立思考作答. (2)告诉学生：确定分段函数解析式的关键是先找到临界点，进而通过临界点确定各分段函数自变量的取值范围，再结合题意求对应范围内的函数解析式.
设计意图
利用实际问题使学生经历一次函数模型的建模过程，体会分段函数在日常生活中的简单应用.
活动三：强化巩固，提升探究 例2 某市为了鼓励全民节约用水，制定了新的两级收费制度.按照新标准，用户每月缴纳的水费y(单位：元)与每月用水量x(单位：m )存在如图所示的函数关系. (1)求y关于x的函数解析式； (2)若某用户某月缴纳水费63元，则该用户当月的用水量是多少立方米 解：(1)当0≤x≤15时，设y关于x的函数解析式为y=mx(m≠0). 由题意，得15m=27，解得m=1.8，所以y=1.8x. 当x>15时，设y关于x的函数解析式为y=kx+b(k≠0). 由题意，得解方程组，得所以y=2.4x－9. 综上，y关于x的函数解析式为 (2)因为63>27，所以将y=63代入y=2.4x－9，得2.4x－9=63，解得x=30，则该用户当月的用水量是30m . 【对应训练】 某日，王爷爷准备了80kg苹果在市场上销售，在销售过程中，顾客均通过电子支付的方式向王爷爷支付购买费用.他按市场价售出50kg苹果后，为早点收摊回家，他将剩余苹果降价处理且全部售完.已知王爷爷电子钱包中的零钱总额y(单位：元)(含原有零钱)与售出水果的千克数x的关系如图所示，请结合图象回答问题： (1)王爷爷的电子钱包中原有零钱 80 元； (2)苹果降价前每千克 12 元，降价后每千克 10 元； (3)请求出y关于x的函数解析式. 解：由图象和(1)(2)可得，当0≤x≤50时，y=12x+80； 当50设计意图
加强对一次函数、分段函数的认识，强化从函数图象中提取信息的能力.
活动四：随堂训练，课堂总结 【随堂训练】见《创优作业》“随堂作业”册子相应课时训练. 【课堂总结】师生一起回顾本节课所学主要内容，并请学生回答以下问题： 1.你能从实际问题中构建一次函数模型，并解决相应问题吗 2.分段函数模型中，如何求各段的函数解析式并确定自变量的取值范围 【知识结构】 【作业布置】 1.教材P135~136习题23.4第1，2，3，4，5，8题. 2.《创优作业》主体本部分相应课时训练.
板书设计 23.4 实际问题与一次函数 第1课时 建立一次函数模型 1.一次函数的简单应用. 2.分段函数的应用.
教学反思 从本节课开始学习从实际问题中建立一次函数模型，进而解决问题，是对之前学过的有关一次函数的概念、图象、性质及求函数解析式的知识整合，通过在具体实例中的运用，强化学生从材料中获取信息及借助这些信息分析、解决问题的能力，进一步培养学生的建模思维.
解题大招 一次函数的应用
一次函数常与实际问题结合起来，考查学生的数学建模能力以及运用所学知识解决实际问题的能力.一次函数应用题常与几何知识、分段函数等内容联系起来，实现数与形的有机结合，体现分类讨论等数学思想.
(1)确定一次函数解析式的常见方法：①根据实际意义直接写出一次函数解析式，然后解决相应问题；②已经明确函数类型，利用待定系数法构建函数解析式；③利用问题中各个量之间的关系，变形推导所求两个变量之间的函数关系式.
(2)分段函数问题的一般解题策略：①分段函数的特征：不同的自变量区间所对应的函数解析式不同，其函数图象是一个折线，解决分段函数问题，关键是要考虑与它所对应的区间；②分段函数中“拐点”既是两段函数的分界点，同时又分别在两段函数上，在求解析式时，要用好“拐点”坐标，同时，在分析图象时还要注意“拐点”表示的实际意义；③分段函数应用广泛，在收费问题、行程问题、几何问题中都有应用.
注意：分析问题和解题时要注意：①函数图象变化的意义；②图象上拐点的意义；③函数图象的交点.
例1 已知A，B两地之间有一条长为270km的公路，甲、乙两车同时出发，甲车以60km/h的速度沿此公路从A地匀速开往B地，乙车从B地沿此公路匀速开往A地，两车分别到达目的地后停止.甲、乙两车相距的路程y(单位：km)与甲车的行驶时间x(单位：h)之间的函数关系如图所示.
(1)乙车的速度为 75 km/h，a= 3.6 ，b= 4.5 ；
(2)求甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式；
(3)当甲车到达距B地70km处时，求甲、乙两车相距的路程.
分析：(1)根据图象可得出甲、乙两车在甲车行驶2h时相遇，可设乙车的速度为vkm/h，通过方程2×60+2v=270即可得出乙车的速度，再根据甲、乙两车的速度即可求出a和b的值；
(2)根据(1)可得出点M，N，P的坐标，根据待定系数法即可求出当2(3)根据甲车的速度可得甲车到达距B地70km处时行驶的时间，进而得出甲、乙两车相距的路程.
解：(1)解析：设乙车的速度为vkm/h，根据图象可得甲、乙两车在甲车行驶2h时相遇，可得2×60+2v=270，解得v=75，所以乙车的速度为75km/h，
所以
故答案为75，3.6，4.5.
(2)如图，根据(1)可得M(2，0)，N(3.6，216)，P(4.5，270).
设当2所以当2设当3.6所以当3.6综上，甲、乙两车相遇后y与x之间的函数关系式为
(3)因为甲车的速度为60km/h，所以当甲车到达距B地70km处时行驶的时间为
所以此时甲、乙两车相距的路程为
例2 某商店销售一种产品，该产品成本价为6元/件，售价为8元/件，销售人员将该产品一个月(30天)销售情况绘成如图图象，图中的折线ODE表示日销量y(单位：件)与销售时间x(单位：天)之间的函数关系，若线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件.
(1)第25天的日销量是 325 件，这天的销售利润是 650 元；
(2)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；
(3)日销售利润不低于640元的共有多少天 销售期间日销售利润最大是多少元
解：(1)解析：340－(25－22)×5=325(件)，(8－6)×325=650(元)，
故答案为325，650.
(2)设直线OD的解析式为y=kx.
将(17，340)代入y=kx，得17k=340，解得k=20.
所以直线OD的解析式为y=20x.
设直线DE的解析式为y=mx+n.
将(22，340)，(25，325)代入y=mx+n，得解得
所以直线DE的解析式为.y=－5x+450.
联立解得
所以点D的坐标为(18，360).
所以y关于x的函数解析式为
(3)640÷(8－6)=320(件)，当y=320时，由20x=320或－5x+450=320，
解得x=16或x=26，所以26－16+1=11(天)，所以日销售利润不低于640元的共有11天.
因为折线ODE的最高点D的坐标为(18，360)，360×2=720(元)，
所以当x=18时，日销售利润最大，最大为720元.

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