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专题11 逆推还原问题
一、基本概念
逆推问题（还原问题）是指已知某一数量经过一系列运算后的结果，要求最初数量的问题。其核心是“从结果出发，反向推导”，即按照运算的逆顺序逐步还原，最终求出初始状态。
关键要素：
1.运算逆序：与顺向运算顺序相反（如顺向是“加”，逆推则“减”；顺向是“乘”，逆推则“除”）。
2.结果入手：必须以最终结果为起点，逐步倒推每一步的变化。
3.逐步还原：每一步逆推需明确“谁变了”“怎么变的”，确保每一步运算准确可逆。
二、核心解题方法
1.流程图法（基础方法）
方法要点：用箭头表示顺向运算过程（如“原数→+3→×2→-5→结果”），逆推时从结果出发，对每个运算步骤进行反向操作（“结果→+5→÷2→-3→原数”）。
示例：一个数先加5，再乘2，最后减8得12，求原数。
顺向流程：原数 → +5 → ×2 → -8 → 12
逆推流程：12 → +8（逆运算）→ 20 → ÷2（逆运算）→ 10 → -5（逆运算）→ 5，原数为5。
2.线段图法（直观方法）
方法要点：用线段表示数量关系，尤其适用于涉及分数、倍数的逆推问题。通过线段长度的“还原”直观呈现每一步变化。
示例：一堆苹果，第一次吃了，第二次吃了剩下的，还剩6个，求原来有多少个？
画线段图：设原长为单位“1”，第一次吃后剩，第二次吃后剩×=，对应6个，逆推原长=6÷=18个。
3.表格法（多变量方法）
方法要点：当涉及多个量（如甲、乙、丙）的相互转移时，用表格记录每一步“给出”“得到”的数量，从最终状态倒推初始状态。
示例：甲、乙、丙各有若干本书，甲给乙3本，乙给丙5本，丙给甲2本后，三人都有10本，求原来各有多少本？
表格记录（从后往前推）：
人物 最终状态 丙给甲前 乙给丙前 甲给乙前（初始）
甲 10 10-2=8 8 8+3=11
乙 10 10 10+5=15 15-3=12
丙 10 10+2=12 12-5=7 7
4.算式倒推法（综合方法）
方法要点：将顺向运算列成综合算式，逆推时从结果出发，按“括号优先、逆运算顺序”逐步拆解算式。
示例：（原数+4）×3-6=18，求原数。
逆推：18+6=24（逆“-6”）→ 24÷3=8（逆“×3”）→ 8-4=4（逆“+4”），原数=4。
三、常见题型
1.单一变量还原：仅一个数量经过多次运算，已知结果求原数（如“一个数经过加、减、乘、除后得某数”）。
2.多变量还原：多个数量之间发生转移（如“甲给乙，乙给丙”），已知最终状态求初始状态。
3.含分数/倍数的还原：运算中涉及分数（如“吃了”）或倍数（如“扩大3倍”），需结合分数除法或倍数逆运算。
一、基础题（单一变量还原）
例1：一个数先减去8，再乘5，然后加上15，最后除以3，结果是20。求这个数。
解题步骤：
1.顺向流程：原数 → -8 → ×5 → +15 → ÷3 → 20
2.逆推计算：
结果20是“÷3”得到的，逆运算：20×3=60；
60是“+15”得到的，逆运算：60-15=45；
45是“×5”得到的，逆运算：45÷5=9；
9是“-8”得到的，逆运算：9+8=17。
答案：原数是17。
跟踪练习1：一个数先乘4，加12，再减18，最后除以2得7。求原数。
答案：（7×2+18-12）÷4=（14+18-12）÷4=20÷4=5。
二、进阶题（多变量还原）
例2：甲、乙、丙三人共有45颗糖果。甲给乙4颗，乙给丙6颗，丙给甲2颗后，三人糖果数相等。求原来甲、乙、丙各有多少颗？
解题步骤：
1.最终状态：三人糖果数相等，各有45÷3=15颗。
2.倒推每一步：
丙给甲前：甲有15-2=13颗，丙有15+2=17颗，乙仍15颗；
乙给丙前：乙有15+6=21颗，丙有17-6=11颗，甲仍13颗；
甲给乙前：甲有13+4=17颗，乙有21-4=17颗，丙仍11颗。
验证：17+17+11=45，正确。
答案：原来甲17颗，乙17颗，丙11颗。
跟踪练习2：A、B、C三箱苹果共重60千克。A箱给B箱5千克，B箱给C箱8千克，C箱给A箱3千克后，三箱重量相等。求原来A箱有多少千克？
答案：最终每箱60÷3=20千克。倒推：C给A前，A=20-3=17，C=20+3=23；B给C前，B=20+8=28，C=23-8=15；A给B前，A=17+5=22，B=28-5=23。原来A箱22千克。
三、挑战题（含分数/方程的还原）
例3：一杯盐水，第一次倒出，第二次倒出剩下的，第三次倒出剩下的，最后还剩100毫升。求原来盐水有多少毫升？
解题步骤：
1.分析分数关系：每次倒出后剩余量为上一次的（1-倒出比例）。
2.逆推计算：
第三次倒出前：100÷(1-)=100÷=150毫升（第三次倒出，剩余）；
第二次倒出前：150÷(1-)=150÷=225毫升（第二次倒出，剩余）；
第一次倒出前：225÷(1-)=225÷=300毫升（第一次倒出，剩余）。
答案：原来盐水有300毫升。
跟踪练习3：一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去剩下的，第三次剪去剩下的，还剩6米。求绳子原长。
答案：第三次剪前：6÷(1-)=6×2=12米；第二次剪前：12÷(1-)=12×=18米；第一次剪前：18÷(1-)=18×=24米。原长24米。
1．某数的6倍加上3后，再除以4得9余3，这个数是？
【答案】6
【分析】本题可以用逆推还原的方法来解决。除以4得9余3，根据“被除数＝除数×商＋余数”即可求出这个数除以4之前是：4×9＋3＝39。这个数的6倍加上3后等于39，则用39减去3的差再除以6即可求出这个数原来是多少。
【详解】4×9＋3
＝36＋3
＝39
（39－3）÷6
＝36÷6
＝6
答：这个数原来是6。
2．将一批苹果分给三年级三个班，一班分得总个数的一半少6个，二班分得余下苹果数的一半多8个，最后把剩下的40个分给三班。这批苹果共有多少个？
【答案】180个
【分析】数学上有些问题，如果顺着题目条件的叙述去求解会感到很困难，但是如果改变思考的顺序，从最后一步出发，一步一步倒着往前推算，问题就很容易解决。这种思考问题的方法叫做还原法，用还原法来解决的问题称为还原问题。
利用逆推还原法，二班分得余下苹果数的一半多8个，最后把剩下的40个分给三班，二班分得余下苹果数的一半是48个，那么余下的苹果就是96个。一班分得总个数的一半少6个是96个，则一班分得总个数的一半是90个，则这批苹果的总个数就是180个。
【详解】40＋8＝48（个）
48×2＝96（个）
96－6＝90（个）
90×2＝180（个）
答：这批苹果共有180个。
3．小明、小强和小勇三个人共有故事书60本．如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等．这三个人原来各有故事书多少本？
【答案】小勇15本，小强22本，小明23本
【详解】不管这三个人如何借来借去，故事书的总本数是60本，根据结果三个人故事书本数相同，可以求最后三个人每人都有故事书60÷3=20本．如果小强不借给小勇5本，那么小强有20＋5=25本，小勇有20－5=15本；如果小强不向小明借3本，那么小强有25－3=22本，小明有20＋3=23本．
4．商店里进了一批香蕉，第一天卖出全部的，第二天卖出剩下部分的，这时还剩下48千克．这批香蕉共有多少千克？
【答案】256千克
【分析】这道题目出现了两个分率，它们所对应的单位“1”是不一样的．所对应的“1”是全部香蕉，而对应的“1”是全部香蕉减去第一天卖出的香蕉．48千克这个量同这两个单位1都可以联系上．把全部香蕉减去第一天卖出的香蕉当做“1”，就易求出48千克所对应的分率是，进而，求出全部香蕉减去第二天卖出的香蕉是（千克）．这192千克香蕉占全部香蕉的分率是，则全部香蕉的总重量就是（千克．）
【详解】
答：这批香蕉共有256千克．
5．A有若干本书，B借走一半加一本；C借走剩下书的一半加两本；D借走再剩下书的一半加3本；最后A还有2本书．问A原有多少本书？
【答案】50本
【详解】方法一：
解：设A原有x本书
B借走了；C借走了；D借走了；最后A剩下了，即，x=50
答：A原有50本书．
方法二：用倒退还原法解题．
D借前，A还有书：（2+3）×2=10（本）
C借前，A还有书：（10+2）×2=24（本）
B借前，A有书：（24+1）×2=50（本），这就是A原来有的书的本数．
答：A原有50本书．
6．A、B、C三个桶内都有水，如果把A桶内的水倒入B桶，再把B桶内的水倒入C桶，最后再把C桶内的水倒入A桶，这时各桶内的水都是12升，求每个桶内原有水多少升？
【答案】A：15升 B：11升 C：10升
【分析】该题直接计算比较困难，可以采用逆向思维，利用倒推法来解题，最后桶的水都是12升，往回推，假设C不倒给A，可以算出这时C和A桶内水的体积，然后再假设B不倒给C，可以算出这时B和C内水的体积，再假设A不倒给B，可以算出这时A和B水的体积．
【详解】解:C不倒给A，这时C有水：12÷（1-）=14（升），A有水：12-14×=10（升）
B不倒给C，这时B有水：12÷（1-）=16（升），C有水：14-16×=10（升）
A不倒给B，这时A有水：10÷（1-）=15（升），B有水：16-15×=11（升）
【点睛】“倒推法“可以使解题过程简化，有时与列表法结合更加一目了然．利用倒推法时，注意分数的单位“1”是原来的水，所以这里应该用分数除法而不是分数乘法，对应的分率也应该是（1-）而不是（1+）．
7．第一次在一盒珠子中，取走总数的又4个，第二次取出余下的又3个，第三次取出余下的又2个，第四次取出余下的又1个，这时盒里还剩1个？问盒内原有珠子多少个﹖
【答案】解：第三次拿走后余下的是：（1+1）÷（1﹣）=4（个）
出第二次余下的是：（4+2）÷（1﹣）=9（个）
第一次余下的是：（9+3）÷（1﹣）=16（个）
这盒珠子原来的个数是：（16+4）÷（1﹣）=25（个）
答：盒内原有珠子25个．
【详解】【分析】从最后剩下的1个珠子入手，向前推，如果加上1个，正好是第三次取出后余下的一半，据此求出第三次拿走后余下的是（1+1）÷（1﹣）=4个珠子，这个结果再加上2个正好是第二次取出后余下的，据此可得出第二次余下的是：（4+2）÷（1﹣）=9个，这个结果再加上3个，就是第一次余下的1﹣=， 据此可得第一次余下的是（9+3）=16个，这个结果再加上4个，就是这盒珠子的1﹣=， 据此解决．
8．有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数也相等；此时又从丙堆中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的2倍，问：原来甲堆有多少个石子？
【答案】26
【详解】解：设甲堆原来有x个石子，那么甲堆取出8个给乙堆后，甲乙两堆都是个石子；再从乙
堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数都变成（）个石子；此时又从丙堆中取2个给甲堆，那么甲堆石子数变成（）个，丙堆石子数变成（）个，有，解得．题目中的变化过程比较多，在设立未知数后，一步步跟上分析，把每一步的变化结果都用x的式子表示出来，最后建立等量关系．
9．老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均数，如此做了7次，这时黑板上三个数的和为159.如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，且所有写过的数都是整数。请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？
【答案】1
【分析】由于最后黑板上三个数的和为159，又第三个数是前两个数的平均数，所以最后一个数为159÷3＝53，可以这么想，每相邻的三个数中，最后一个数的2倍减去中间一个数，就等于前面的数，如果52前面的数为52，可得从后向前的数依次为：63、53、54、50、58、42、74、10、138，由于开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，所以开始时老师在黑板上写的第一个数是2008﹣138﹣10＝1860.
下面说明没有其它答案：如果53前面的数为53﹣a，可依次算出从后向前的数依次为：53，53﹣a，53＋a，53﹣3a，63＋5a，53﹣11a，53＋21a，53﹣43a，53＋85a，要满足要求，只能是a＝1
【详解】最后一个数为159÷3＝53，
可以这么想，每相邻的三个数中，最后一个数的2倍减去中间一个数，就等于前面的数，如果52前面的数为52，可得从后向前的数依次为：63、53、54、50、58、42、74、10、138，
由于开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，
所以开始时老师在黑板上写的第一个数是2008﹣138﹣10＝1860.
如果53前面的数为53﹣a，可依次算出从后向前的数依次为：53，53﹣a，53＋a，53﹣3a，63＋5a，53﹣11a，53＋21a，53﹣43a，53＋85a，要满足要求，只能是a＝1
【点睛】利用倒推法，根据所给条件进行分析完成是完成本题的关键。
10．甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加1倍；经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？
【答案】甲5乙13．
【详解】试题分析：本题中两人的糖数和为18，是偶数，那么两人每步手中的糖数有两种情况：全为偶、全为奇，据此列表分析解答即可．
解：
周期为6，2005÷6=334…1，说明2005次操作和一次操作的作用效果是相同的，
那么有两种情况：甲14乙4或甲5乙13，结合题中条件甲比乙少，可知甲5乙13．
点评：解答此题的关键是弄清操作周期，类似于周期性问题．
11．甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖少的人的糖数增加一倍，经过三次这样的操作后，甲有5块糖，乙有12块糖，两个人原来的糖数分别是多少？
【答案】甲原来有7块糖，乙原来有10块糖．
【详解】试题分析：第三次操作后，甲有5块糖，乙有12块糖，那么这次操作是甲把糖给了乙，那么这之前，乙有12÷2=6块糖，甲有：5+6=11块糖；第二次操作如果是把乙的糖给甲，那么11不是2的倍数，所以不会增加1倍，所以仍是有甲给乙，那么第二次操作前，乙就有6÷2=3块糖，甲有11+3=14块糖；由于14是2的倍数，所以第一次操作是把乙的糖给甲，那么甲原来有14÷2=7（块），乙有3+7=10（块）．
解：第三次操作前，乙有：12÷2=6（块）
甲有5+6=11（块）；
6是2的倍数，而11不是2的倍数，所以第二次操作仍是甲给乙，
第二次操作前，乙有：6÷2=3（块），
甲有：11+3=14（块）；
14是2的倍数，所以第一次操作是乙给甲，
那么原来甲有：14÷2=7（块）
乙有：3+7=10（块）
答：甲原来有7块糖，乙原来有10块糖．
点评：解决本题运用逆推的方法求解，关键是判断每一次操作都是谁给谁．
12．三棵树上共有48只鸟．后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后，第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，第三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多．问：一开始三棵树上各有几只鸟？
【答案】一开始第一棵树上有12只鸟，第二棵树上有23只鸟，第三棵树上有13只鸟．
【详解】试题分析：应先从最后结果出发，最后三棵树上鸟的只数都是48÷3=16（只）；则第三棵树上没有飞走10只鸟时是16+10=26只，根据“第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上”可知第三棵树上原来有26÷2=13只，从第二棵树上飞到第三棵树上的有13只，根据“第三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上”，这时是16只，可知这10只鸟没有飞到第一棵树之前第一颗树上是16﹣10=6只，因为“第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上”，所以第一棵树上原来有6×2=12只，由此用总只数分别减去第一、二棵树上原有的只数就是第二棵树上原有鸟的只数；据此解答．
解：最后三棵树上各有鸟：
48÷3=16（只）；
第三棵树上原有：
（16+10）÷2=13（只）；
第一棵树上原有：
（16﹣10）×2=12（只）；
第二棵树上原有：
48﹣12﹣13=23（只）；
答：一开始第一棵树上有12只鸟，第二棵树上有23只鸟，第三棵树上有13只鸟．
点评：本题需要逆着思考，从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解．
13．某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？
【答案】身上有44元；箱子里有84元
【分析】由题意，这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，即第二次回来时，他身上有64元，箱子里也有64元，由此一步步向前逆推，则第二次回来前，他身上有64＋32＝96元，箱子里有64÷2＝32元；第二次过去前，他身上有96÷2＝48元，箱子里有32＋48＝80元；第一次回来前，他身上有48＋40＝88元，箱子里有80÷2＝40元；第一次过去前，他身上有88÷2＝44元，箱子里有40＋44＝84元；据此解答。
【详解】第二次回来时，他身上有64元，箱子里也有64元；
第二次回来前，他身上有64＋32＝96（元），箱子里有64÷2＝32（元）；
第二次过去前，他身上有96÷2＝48（元），箱子里有32＋48＝80（元）；
第一次回来前，他身上有48＋40＝88（元），箱子里有80÷2＝40（元）；
第一次过去前，他身上有88÷2＝44（元），箱子里有40＋44＝84（元）；
答：原来这人身上有44元，箱子里有84元。
【点睛】本题需要逆着思考，从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解。
14．有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝．这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，这天他一共遇到3家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦里的酒刚好喝完．问：原来酒葫芦里有多少两酒？
【答案】7两酒．
【详解】试题分析：由题意，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，遇到3家酒店，最后喝了8两，酒喝完了，所以最后剩余8两酒；则遇到第三家酒店时是8÷2=4两酒，遇到第二家酒店时是（4+8）÷2=6两酒，遇到第一家酒店时，原来酒葫芦里有酒 （6+8）÷2=7两；据此解答．
解：最后喝了8两，酒喝完了，所以最后剩余8两酒，
8÷2=4（两），
（4+8）÷2=6（两），
（6+8）÷2=7（两），
答：原来酒葫芦里有7两酒．
点评：本题需要逆着思考，从最后的结果向前根据数量关系，求出上一步的结果，一步步的推，进而求解．
15．同学们可能知道，歌星、影星一般都不愿意公开自己的年龄．这个小故事说的就是一个记者千方百计要从一个女影星嘴里打听出她的年龄．影星不想说谎，却又不愿意把自己的年龄讲出来，于是就对记者说：“我年后岁数的倍，减去我年前岁数的倍，正好是我现在的年龄．”记者想了半天，还是没有想出来影星的年龄．同学们开动脑筋想一想，这个影星今年到底多少岁了？
【答案】50岁.
【详解】可以假设影星现在的年龄是岁，那么她年前、年后的年龄分别是岁和岁.两者相差（岁），所以这个影星今年的年龄是岁.
同学们可以考虑一下，自己年后比年前的年龄大多少岁？自己的爸爸、妈妈年后又比年前的年龄大多少岁呢？我们会发现，都是岁.所以，这个影星今年的年龄是（岁）.
16．学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍．问：最初乐乐拿了多少棵树苗？
【答案】28棵
【详解】先求乐乐与欢欢现在各拿了多少棵树苗．学校共有树苗36棵，乐乐拿的树苗数是欢欢的2倍，所以欢欢现在拿了36÷（2＋1）=12（棵）树苗，而乐乐现在拿了12×2＝24（棵）树苗，乐乐从欢欢那里抢走了6棵后是24棵，如果不抢，那么乐乐有树苗24-6＝18（棵），欢欢看乐乐拿得太多，去抢了10棵，如果欢欢不抢，那么乐乐就有18＋10＝28（棵）．
36÷5（1＋2）×2-6＋10=28（棵）．
答：乐乐最初拿了28棵树苗．
17．、、三个试管中各盛有克、克、克水．把某种浓度的盐水克倒入中，充分混合后从中取出克倒入中，再充分混合后从中取出克倒入中，最后得到的盐水的浓度是．问开始倒入试管中的盐水浓度是百分之几？
【答案】12%
【详解】整个过程中盐水浓度在下降．倒入中后，浓度变为原来的；倒入中后，浓度变为中的；倒入中后，浓度变为中的．所以对于一开始倒入中的盐水浓度可以用倒推的方法，，即一开始倒入中的盐水浓度为．
18．有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？
【答案】85枚
【分析】棋子最少的情况是最后一次四等分时每份为1枚，由此逆推出第一次四等分之前有多少枚棋子即可。
【详解】第三次分之前有：
1×4＋1
＝4＋1
＝5（枚），
第二次分之前有：
5×4＋1
＝20＋1
＝21（枚），
第一次分之前有：
21×4＋1
＝84＋1
＝85（枚）
答：原来至少有85枚棋子。
【点睛】本题考查了还原问题，有一定的逻辑推理能力是解题的关键。
19．甲、乙、丙3人各有糖豆若干粒。甲从乙处取来一些糖豆，使自己的糖豆增加一倍；乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己的糖豆也增加一倍；丙再从甲处取来一些糖豆，也使自己的糖豆增加一倍。现在3人的糖豆一样多。如果开始时甲有5l粒糖豆，那么最初乙有糖豆多少粒？
【答案】85粒
【分析】分析题意，先利用乘法求出丙从甲取之前甲的糖豆数量。丙从甲取一些糖豆，使自己的糖豆增加1倍，并且此时三人的糖豆一样多，那么可以用甲的糖豆数量除以3乘2求出此时每个人的糖豆数量。从而利用除法求出乙未从丙处取之前的糖豆数量，再加上51粒求出乙最初有的糖豆数量。
【详解】丙从甲取之前，甲有：51×2＝102（粒）
102÷（1＋1＋1）×（1＋1）
＝102÷3×2
＝68（粒）
乙未从丙处取之前有68÷2＝34（粒）
开始时，乙有糖豆34＋51＝85（粒）
答：乙有糖豆85粒。
【点睛】本题考查了还原问题，有一定的逻辑推理能力是解题的关键。
20．甲、乙、丙3人的钱数各不相同．甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加两倍，结果丙的钱最多；最后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数各增加两倍，结果3人的钱数一样多．如果他们3人共有81元，那么3人原来的钱数分别是多少元
【答案】55,19，7
【详解】我们逐步还原：
甲 乙 丙
丙分后 27 27 27
乙分后 27÷(2+1)＝9 9 81－9－9＝63
甲分后 9÷(2+1)＝3 81－3－21＝57 63÷(2+1)＝21
甲分前 81－19－7＝55 57÷(2+1)＝19 21÷(2+1)＝7
即甲、乙、丙三人原来的钱数分别55、19、7元．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题11 逆推还原问题
一、基本概念
逆推问题（还原问题）是指已知某一数量经过一系列运算后的结果，要求最初数量的问题。其核心是“从结果出发，反向推导”，即按照运算的逆顺序逐步还原，最终求出初始状态。
关键要素：
1.运算逆序：与顺向运算顺序相反（如顺向是“加”，逆推则“减”；顺向是“乘”，逆推则“除”）。
2.结果入手：必须以最终结果为起点，逐步倒推每一步的变化。
3.逐步还原：每一步逆推需明确“谁变了”“怎么变的”，确保每一步运算准确可逆。
二、核心解题方法
1.流程图法（基础方法）
方法要点：用箭头表示顺向运算过程（如“原数→+3→×2→-5→结果”），逆推时从结果出发，对每个运算步骤进行反向操作（“结果→+5→÷2→-3→原数”）。
示例：一个数先加5，再乘2，最后减8得12，求原数。
顺向流程：原数 → +5 → ×2 → -8 → 12
逆推流程：12 → +8（逆运算）→ 20 → ÷2（逆运算）→ 10 → -5（逆运算）→ 5，原数为5。
2.线段图法（直观方法）
方法要点：用线段表示数量关系，尤其适用于涉及分数、倍数的逆推问题。通过线段长度的“还原”直观呈现每一步变化。
示例：一堆苹果，第一次吃了，第二次吃了剩下的，还剩6个，求原来有多少个？
画线段图：设原长为单位“1”，第一次吃后剩，第二次吃后剩×=，对应6个，逆推原长=6÷=18个。
3.表格法（多变量方法）
方法要点：当涉及多个量（如甲、乙、丙）的相互转移时，用表格记录每一步“给出”“得到”的数量，从最终状态倒推初始状态。
示例：甲、乙、丙各有若干本书，甲给乙3本，乙给丙5本，丙给甲2本后，三人都有10本，求原来各有多少本？
表格记录（从后往前推）：
人物 最终状态 丙给甲前 乙给丙前 甲给乙前（初始）
甲 10 10-2=8 8 8+3=11
乙 10 10 10+5=15 15-3=12
丙 10 10+2=12 12-5=7 7
4.算式倒推法（综合方法）
方法要点：将顺向运算列成综合算式，逆推时从结果出发，按“括号优先、逆运算顺序”逐步拆解算式。
示例：（原数+4）×3-6=18，求原数。
逆推：18+6=24（逆“-6”）→ 24÷3=8（逆“×3”）→ 8-4=4（逆“+4”），原数=4。
三、常见题型
1.单一变量还原：仅一个数量经过多次运算，已知结果求原数（如“一个数经过加、减、乘、除后得某数”）。
2.多变量还原：多个数量之间发生转移（如“甲给乙，乙给丙”），已知最终状态求初始状态。
3.含分数/倍数的还原：运算中涉及分数（如“吃了”）或倍数（如“扩大3倍”），需结合分数除法或倍数逆运算。
一、基础题（单一变量还原）
例1：一个数先减去8，再乘5，然后加上15，最后除以3，结果是20。求这个数。
解题步骤：
1.顺向流程：原数 → -8 → ×5 → +15 → ÷3 → 20
2.逆推计算：
结果20是“÷3”得到的，逆运算：20×3=60；
60是“+15”得到的，逆运算：60-15=45；
45是“×5”得到的，逆运算：45÷5=9；
9是“-8”得到的，逆运算：9+8=17。
答案：原数是17。
跟踪练习1：一个数先乘4，加12，再减18，最后除以2得7。求原数。
答案：（7×2+18-12）÷4=（14+18-12）÷4=20÷4=5。
二、进阶题（多变量还原）
例2：甲、乙、丙三人共有45颗糖果。甲给乙4颗，乙给丙6颗，丙给甲2颗后，三人糖果数相等。求原来甲、乙、丙各有多少颗？
解题步骤：
1.最终状态：三人糖果数相等，各有45÷3=15颗。
2.倒推每一步：
丙给甲前：甲有15-2=13颗，丙有15+2=17颗，乙仍15颗；
乙给丙前：乙有15+6=21颗，丙有17-6=11颗，甲仍13颗；
甲给乙前：甲有13+4=17颗，乙有21-4=17颗，丙仍11颗。
验证：17+17+11=45，正确。
答案：原来甲17颗，乙17颗，丙11颗。
跟踪练习2：A、B、C三箱苹果共重60千克。A箱给B箱5千克，B箱给C箱8千克，C箱给A箱3千克后，三箱重量相等。求原来A箱有多少千克？
答案：最终每箱60÷3=20千克。倒推：C给A前，A=20-3=17，C=20+3=23；B给C前，B=20+8=28，C=23-8=15；A给B前，A=17+5=22，B=28-5=23。原来A箱22千克。
三、挑战题（含分数/方程的还原）
例3：一杯盐水，第一次倒出，第二次倒出剩下的，第三次倒出剩下的，最后还剩100毫升。求原来盐水有多少毫升？
解题步骤：
1.分析分数关系：每次倒出后剩余量为上一次的（1-倒出比例）。
2.逆推计算：
第三次倒出前：100÷(1-)=100÷=150毫升（第三次倒出，剩余）；
第二次倒出前：150÷(1-)=150÷=225毫升（第二次倒出，剩余）；
第一次倒出前：225÷(1-)=225÷=300毫升（第一次倒出，剩余）。
答案：原来盐水有300毫升。
跟踪练习3：一根绳子，第一次剪去全长的，第二次剪去剩下的，第三次剪去剩下的，还剩6米。求绳子原长。
答案：第三次剪前：6÷(1-)=6×2=12米；第二次剪前：12÷(1-)=12×=18米；第一次剪前：18÷(1-)=18×=24米。原长24米。
1．某数的6倍加上3后，再除以4得9余3，这个数是？
2．将一批苹果分给三年级三个班，一班分得总个数的一半少6个，二班分得余下苹果数的一半多8个，最后把剩下的40个分给三班。这批苹果共有多少个？
3．小明、小强和小勇三个人共有故事书60本．如果小强向小明借3本后，又借给小勇5本，结果三个人有的故事书的本数正好相等．这三个人原来各有故事书多少本？
4．商店里进了一批香蕉，第一天卖出全部的，第二天卖出剩下部分的，这时还剩下48千克．这批香蕉共有多少千克？
5．A有若干本书，B借走一半加一本；C借走剩下书的一半加两本；D借走再剩下书的一半加3本；最后A还有2本书．问A原有多少本书？
6．A、B、C三个桶内都有水，如果把A桶内的水倒入B桶，再把B桶内的水倒入C桶，最后再把C桶内的水倒入A桶，这时各桶内的水都是12升，求每个桶内原有水多少升？
7．第一次在一盒珠子中，取走总数的又4个，第二次取出余下的又3个，第三次取出余下的又2个，第四次取出余下的又1个，这时盒里还剩1个？问盒内原有珠子多少个﹖
8．有甲、乙、丙三堆石子，从甲堆中取出8个给乙堆后，甲、乙两堆的石子数就相等了；再从乙堆中取出6个给丙堆，乙、丙两堆的石子数也相等；此时又从丙堆中取2个给甲堆，使甲堆石子数是丙堆石子数的2倍，问：原来甲堆有多少个石子？
9．老师在黑板上写了三个不同的整数，小明每次先擦掉第一个数，然后在最后写上另两个数的平均数，如此做了7次，这时黑板上三个数的和为159.如果开始时老师在黑板上写的三个数之和为2008，且所有写过的数都是整数。请问：开始时老师在黑板上写的第一个数是多少？
10．甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加1倍；经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？
11．甲、乙各有糖若干块，每操作一次是由糖多的人给糖少的人一些糖，使得糖少的人的糖数增加一倍，经过三次这样的操作后，甲有5块糖，乙有12块糖，两个人原来的糖数分别是多少？
12．三棵树上共有48只鸟．后来，第一棵树上有一半的鸟飞到了第二棵树上；之后，第二棵树上又有与第三棵树同样数目的鸟飞到了第三棵树上；最后，第三棵树上又有10只鸟飞到了第一棵树上，此时三棵树上的鸟一样多．问：一开始三棵树上各有几只鸟？
13．某人发现了一条魔道，下面有一个存钱的小箱子，当他从魔道走过去的时候，箱子里的一些钱会飞到人的身上使人身上的钱增加一倍，这人很高兴；当他从魔道走回来时，身上的钱会飞到箱子里，使箱子里的钱增加一倍；这人一连走了3个来回后，箱子里的钱和人身上的钱都是64枚一元的硬币，那么原来这人身上有多少元？箱子里有多少元？
14．有一个人非常喜欢喝酒，他每经过一个酒店都要买酒喝．这个人出门带了一个酒葫芦，看到一个酒店就把酒葫芦中的酒加一倍，然后喝下8两酒，这天他一共遇到3家酒店，在最后一家酒店喝完酒后，葫芦里的酒刚好喝完．问：原来酒葫芦里有多少两酒？
15．同学们可能知道，歌星、影星一般都不愿意公开自己的年龄．这个小故事说的就是一个记者千方百计要从一个女影星嘴里打听出她的年龄．影星不想说谎，却又不愿意把自己的年龄讲出来，于是就对记者说：“我年后岁数的倍，减去我年前岁数的倍，正好是我现在的年龄．”记者想了半天，还是没有想出来影星的年龄．同学们开动脑筋想一想，这个影星今年到底多少岁了？
16．学校运来36棵树苗，乐乐与欢欢两人争着去栽，乐乐先拿了若干树苗，欢欢看到乐乐拿得太多，就抢了10棵，乐乐不肯，又从欢欢那里抢回来6棵，这时乐乐拿的棵数是欢欢的2倍．问：最初乐乐拿了多少棵树苗？
17．、、三个试管中各盛有克、克、克水．把某种浓度的盐水克倒入中，充分混合后从中取出克倒入中，再充分混合后从中取出克倒入中，最后得到的盐水的浓度是．问开始倒入试管中的盐水浓度是百分之几？
18．有一堆棋子，把它四等分后剩下一枚，取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚，再取走三份又一枚；剩下的再四等分又剩一枚。问：原来至少有多少枚棋子？
19．甲、乙、丙3人各有糖豆若干粒。甲从乙处取来一些糖豆，使自己的糖豆增加一倍；乙接着从丙处取来一些糖豆，使自己的糖豆也增加一倍；丙再从甲处取来一些糖豆，也使自己的糖豆增加一倍。现在3人的糖豆一样多。如果开始时甲有5l粒糖豆，那么最初乙有糖豆多少粒？
20．甲、乙、丙3人的钱数各不相同．甲最多，他拿出一些钱给乙和丙，使乙和丙的钱数都比原来增加了两倍，结果乙的钱最多；接着乙拿出一些钱给甲和丙，使甲和丙的钱数都比原来增加两倍，结果丙的钱最多；最后丙又拿出一些钱给甲和乙，使他们的钱数各增加两倍，结果3人的钱数一样多．如果他们3人共有81元，那么3人原来的钱数分别是多少元
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