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专题20 分解质因数
一、基本概念
分解质因数是小升初奥数的基础工具，是解决最大公因数（GCD）、最小公倍数（LCM）及数论问题的关键。
关键要素：
1.质数：只有1和它本身两个因数的自然数（如2、3、5、7等），1不是质数，最小的质数是2。
2.合数：除了1和它本身外还有其他因数的自然数（如4、6、8、9等）。
3.质因数：一个合数的因数中，是质数的因数称为质因数（如12的因数有1、2、3、4、6、12，其中质因数是2和3）。
4.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来（如12=2×2×3，可写作12=2 ×3）。
示例：
18的质因数分解：18=2×3×3=2×3 （2和3是质数，且18能被2和3整除）。
注意：分解质因数时，需将合数分解到所有因数都是质数为止，且质因数按从小到大顺序排列。
二、核心方法（必学）
1. 短除法（最常用）
步骤：
① 用最小的质数（从2开始）去除这个合数，若能整除，商写在下面；若不能，换更大的质数继续除。
② 重复步骤①，直到商是质数为止。
③ 将所有除数和最后的商写成连乘形式，即为分解结果。
示例：分解48的质因数
2 | 48 （用最小质数2去除48，商24）
2 | 24 （继续用2除24，商12）
2 | 12 （用2除12，商6）
2 | 6 （用2除6，商3）
3 （商3是质数，停止）
故48=2×2×2×2×3=2 ×3。
2. 树枝分解法（直观易懂）
步骤：
① 将合数分解成两个因数的乘积（可先从较小因数开始）。
② 若分解出的因数是合数，继续分解，直到所有因数都是质数。
③ 将所有质数因数连乘。
示例：分解30的质因数
30
/ \
5 6 （5是质数，6是合数，继续分解6）
/ \
2 3 （2和3都是质数）
故30=5×2×3=2×3×5（按从小到大排序）。
三、核心应用（与专题19衔接）
分解质因数是求最大公因数（GCD）和最小公倍数（LCM）的基础，具体应用如下：
1.求最大公因数（GCD）：取各数质因数中公共质因数的最低次幂相乘（如专题19所述）。
例：求（12,18），12=2 ×3，18=2×3 ，公共质因数为2 、3 ，故GCD=2×3=6。
2.求最小公倍数（LCM）：取各数质因数中所有质因数的最高次幂相乘（如专题19所述）。
例：求[12,18]，12=2 ×3，18=2×3 ，所有质因数最高次幂为2 、3 ，故LCM=2 ×3 =36。
3.判断整除性：若一个数的质因数包含另一个数的所有质因数，则前者能被后者整除（如12=2 ×3，6=2×3，12包含6的所有质因数，故12能被6整除）。
4.求因数个数：若一个数分解质因数为(N=a^m×b^n×c^p)（a、b、c为质数，m、n、p为正整数），则因数个数为((m+1)(n+1)(p+1))（每个质因数的指数加1后相乘）。
四、常见题型
1.直接分解型：直接将一个合数分解质因数。
2.反推原数型：已知质因数分解式，求原数或相关量（如因数个数）。
3.综合应用型：结合实际场景（如分组、乘积问题、整除判断），通过分解质因数解决问题。
一、基础题（直接分解法）
例1：用短除法分解72的质因数。
解题步骤：
① 用2除72，商36；再用2除36，商18；继续用2除18，商9；9不能被2整除，换质数3，3除9商3（质数）。
② 除数和商：2、2、2、3、3。
③ 结果：72=2×2×2×3×3=2 ×3 。
跟踪练习1：用树枝分解法分解56的质因数。
答案：56=2×2×2×7=2 ×7。
解析：56=7×8，8=2×4，4=2×2，故56=7×2×2×2=2 ×7。
二、进阶题（反推与因数个数）
例2：一个数分解质因数是(2^3×3^2×5)，求这个数及它的因数个数。
解题步骤：
① 求原数：(2^3×3^2×5=8×9×5=360)。
② 求因数个数：指数加1相乘，((3+1)(2+1)(1+1)=4×3×2=24)（个）。
答案：这个数是360，有24个因数。
跟踪练习2：已知一个数的质因数分解式为(3×5^2×7)，求该数及它的最小因数（除1外）。
答案：数为3×25×7=525，最小因数（除1外）是3。
解析：最小质因数是3，故最小因数为3。
三、挑战题（综合应用）
例3：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。
解题步骤：
① 分解210的质因数：210=2×3×5×7。
② 组合质因数为连续自然数：5、6（2×3）、7，5×6×7=210。
答案：这三个数是5、6、7。
例4：用分解质因数法判断135能否被15整除。
解题步骤：
① 分解135和15：135=3 ×5，15=3×5。
② 135的质因数包含15的所有质因数（3和5），故135能被15整除。
答案：能整除，135÷15=9。
跟踪练习3：有一批苹果，数量在50~100个之间，若每3个装一袋或每5个装一袋都正好装完，这批苹果可能有多少个？（用分解质因数法分析） **答案**：75个。 **解析**：苹果数是3和5的公倍数，3=3，5=5，LCM=3×5=15，50~100间15的倍数有60、75、90，分解质因数：60=2 ×3×5，75=3×5 ，90=2×3 ×5，均符合，其中最可能的是75（题目未限制唯一解，答75、60、90均可，示例取75）。
1．下列选项中，20和6的最小公倍数是（ ）。
A．20 B．30 C．120 D．60
【答案】D
【分析】几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。求解方法是分解质因数法，即把每个数分别分解质因数，再把各数中的全部公有质因数和各自独有的质因数提取出来连乘，所得的积就是这几个数的最小公倍数。
【详解】对20和6分解质因数：20＝2×2×5；6＝2×3
根据最小公倍数的求法，公有质因数是2，20独有的质因数是2和5，6独有的质因数是3，所以20和6的最小公倍数为2×2×3×5＝60
故答案为：D
2．A，B，C，D四个小朋友的年龄都小于15岁，并且他们的年龄都是不一样的数，已知他们的年龄之积为210，则他们的年龄之和可能为（ ）。
①25②23③21④19
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
【答案】D
【分析】先把210分解质因数，根据A，B，C，D四个小朋友的年龄都小于15岁，确定A，B，C，D四个小朋友各自的年龄都，然后求和即可。
【详解】210＝2×3×5×7
A，B，C，D四个小朋友的年龄可能是是2、3、7、5，和是：2＋3＋5＋7＝17（岁）
A，B，C，D四个小朋友的年龄可能是是1、6、5、7，和是：1＋6＋5＋7＝19（岁）
A，B，C，D四个小朋友的年龄可能是是1、3、10、7，和是：1＋3＋10＋7＝21（岁）
A，B，C，D四个小朋友的年龄可能是是1、3、5、14，和是：1＋3＋5＋14＝23（岁）
所以他们的年龄之和可能为17、19、21、23
故答案为：D
3．两数之和为667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120，则这两个数为（ ）。
A．123，544或552，115
B．232，435或552，115
C．322，345或610，57
D．552，115或610，57
E．610，57或232，435
【答案】B
【分析】假设这两个数分别为A，B，最大公因数为c，则设A是c的a倍，B是c的b倍，其中a与b互质，所以A＋B＝a c＋b c＝（a＋b） c＝667，根据“两数的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120”可得：a×b×c÷c＝a×b＝120，所以将667分解质因数得23×29，所以c＝23或29，分情况讨论：
当c＝23时，a＋b＝29，因为a×b＝120，即将29拆成两个数的和，且这两个数的乘积为120；
当c＝29时，a＋b＝23，因为a×b＝120，即将23拆成两个数的和，且这两个数的乘积为120；
找出符合题意的数即可。
【详解】解：设这两个数分别为A，B，最大公因数为c，则设A是c的a倍，B是c的b倍。
则A＝ac，B＝bc
A＋B＝ac＋bc＝（a＋b）c＝667
ac÷bc＝a×b×c÷c＝a×b＝120
667＝23×29
当最大公约数为23时，因为29＝24＋5，120＝24×5，所以这两个数分别为：23×24＝552，23×5＝115；
当最大公约数为29时，因为23＝8＋15，120＝8×15，所以这两个数分别为：29×8＝232，29×15＝435。
23＝8＋15，120＝8×15，所以这两个数分别为：29×8＝232，29×15＝435。
故答案为：B
4．数学家华罗庚小时候学因数与倍数时，曾经遇到过这样的问题：已知有两个数，它们的乘积是2800，其中一个数的因数个数比另一个数的因数个数多1，那么这两个数的和是（ ）。
A．190 B．185 C．191 D．192
【答案】X
【分析】先把2800分解质因数，考虑到除了完全平方数，其他数字因数的个数都是成对出现的，不会出现多1个的情况，因此找出属于完全平方数的因数的个数，再进一步分析，找出符合题意的答案。
【详解】任何一个正整数，其因数应该是成对出现的，这意味着，一般情况下，一个正整数应该有偶数个因数；完全平方数的因数个数是奇数个；
根据题意：“两个数的乘积等于2800，其中一个数的因数个数比另一个数的因数多1”，这表明：这两个数中有一个是完全平方数；
由于：2800＝2×2×2×2×5×5×7，其属于完全平方数的因数有五个：22＝4、42＝16、52＝25、102＝100、202＝400，
分别进行分析：2800＝4×700，各有3个和16个因数，不符合题意；
2800＝7×400，各有2个和15个因数，不符合题意；
2800＝16×175，各有5个和6个因数，符合题意；
2800＝25×112，各有3个和10个因数，不符合题意；
2800＝28×100，各有6个和9个因数，不符合题意；
综上所述，这两个数是16和175，这两个数的和是：16＋175＝191。
故答案选：C
5．某次小学生数学竞赛的满分为100分，小明和小光在竞赛中取得了优异成绩，成绩都不低于95分。当小记者采访他们时，小明说：”我的名次、年龄和分数的乘积等于1261”，小光说：“我的名次、年龄和分数的乘积等于 3135“。那么小明和小光两人的平均分是（ ）分。
A．94 B．98 C．96 D．97 E．99
【答案】C
【分析】将1261和3135分解后，根据得分、名次及年龄的特点进行确定；据此解答即可。
【详解】1261＝13×97＝1×13×97
所以小明的名次、年龄和分数为1、13、97；
3135＝3×5×11×19＝3×11×95
所以小光的名次、年龄和分数为3、11、95；
（97＋95）÷2
＝192÷2
＝96（分）
所以小明和小光两人的平均分是96分。
故答案选：C
6．在1至100这100个自然数中共有____个数能表示成mn＋m＋n（m，n是正整数）形式的数。
【答案】
74
【分析】因为mn＋m＋n＝（m＋1）（n＋1）－1，令mn＋m＋n＝k，则k＋1＝（m＋1）（n＋1），即k＋1一定是合数，所以在1至100这100个自然数中合数共有：100－25－1＝74（个），则对应的k也有74个。
【详解】设mn＋m＋n＝k，则k＋1＝（m＋1）（n＋1），
因此k＋1一定是合数。
在1至100这100个自然数中去掉25个质数和既不是质数也不是合数的1，
剩余的合数共有：100－25－1＝74（个），则对应的k也有74个。
在1至100个自然数中共有74个数能表示成mn＋m＋n（m，n是正整数）形式的数。
【点睛】本题重点考查质数合数判断方法及分解因数，质数的因数只有两个：1和它本身；合数的因数除了1和它本身之外还有别的因数；在用分解因式的方法时要根据题中给出的式子进行改写。
7．甲、乙、丙三个人参加了运动会的每一个项目，而且取得了每个项目的前三名（没有并列）。前三名的得分是依次减少的三个非零自然数。最后甲得了22分，乙、丙都得了9分。若丙得过一些项目的第一名，甲得过_____个项目的第一名。
【答案】4
【分析】假设每个项目第一名得分为a，第二名得分为b，第三名得分为c，已知前三名得分是依次减少的三个非零自然数，则a＋b＋c≥3＋2＋1＝6；甲，乙，丙三人参加了每一个项目且取得了每个项目的前三名，三人总得分＝参加的项目数×（第一名得分＋第二名得分＋第三名得分），三人总得分为：22＋9＋9＝40（分），40＝5×8＝5×（5＋2＋1）＝5×（4＋3＋1），由此可得三人参加五个项目，每个项目的第一名为5分，第二名为2分，第三名为1分或者第一名为4分，第二名为3分，第三名为1分；结合每个人的分数进行排除：如果第一名4分，参加五项最高分为4×5＝20（分）20＜22，不符合条件，所以得分只能为第一种情况。甲参加五项总得分为22分，22＝5＋5＋5＋5＋2可得甲得了四个项目的第一名和一个项目的第二名；乙参加五项总得分为9分，9＝2＋2＋2＋2＋1可得乙得了四个项目的第二名和一个项目的第三名；丙参加五项总得分为9分且得过一些项目的第一名，9＝5＋1＋1＋1＋1可得丙得了一个项目的第一名和四个项目的第三名，符合条件。
【详解】假设每个项目第一名得分为a，第二名得分为b，第三名得分为c，由题意可得a＋b＋c≥3＋2＋1＝6，甲乙丙三人的总成绩＝参加的项目数×（a＋b＋c）＝22＋9＋9＝40；
40＝5×8＝5×（5＋2＋1）可得a＝5，b＝2，c＝1
甲参加五个项目总分22分：22＝5＋5＋5＋5＋2，则甲取得四个项目的第一名和一个项目的第二名；
乙参加五个项目总分9分：9＝2＋2＋2＋2＋1，则乙取得四个项目的第二名和一个项目的第三名；
丙参加五个项目总分9分且丙得过一些项目的第一名：9＝5＋1＋1＋1＋1，则丙取得一个项目的第一名和四个项目的第三名；
综上可得符合甲乙丙取得每个项目的前三名（没有并列），甲得过4个项目的第一名。
【点睛】本题重点考查分类讨论问题，从分解出来的几种情况中结合题中条件找到正确的那一种。
8．两个数的最大公约数和最小公倍数分别是3和135，求这两个数的差最小是________。
【答案】12
【分析】先把135分解质因数，135＝3×3×3×5，因为这两个数的最大公约数是3，最小公倍数是135，因此这两个数分别是：3、3×3×3×5或者3×5、3×3×3，计算后即可知道这两个数分别是：3、135或者15、27。然后再相减求出这两个数的差为：135－3＝132，或者27－15＝12。比较大小后据此即可知道这两个数的差最小是12。
【详解】135＝3×3×3×5
这两个数分别是：
①一个是3，
另一个是：3×3×3×5
＝9×3×5
＝27×5
＝135
差为：135－3＝132
②一个是：3×5＝15，
另一个是：3×3×3
＝9×3
＝27
差为：27－15＝12
12＜132
因此这两个数的差最小是12。
9．从1到2024的所有自然数中，乘27后是完全平方数的数共有( )个。
【答案】25
【分析】首先，对27进行分解质因数，；设这个数为，是完全平方数，设为正整数），那么是完全平方数；然后，确定的取值范围，1≤≤2024，最小取1，最大取25，据此判断即可。
【详解】解：首先，对27进行分解质因数：
因为；设这个数为，是完全平方数；完全平方数分解质因数后，各个质因数的指数都应该是偶数；对于，要使其为完全平方数，至少应该包含一个因数3，设为正整数），那么是完全平方数；然后，确定的取值范围：因为的范围是1≤≤2024，，所以1≤≤2024；先解不等式≥1，因为是正整数，此不等式恒成立；再解不等式≤2024，两边同时除以3得≤2024÷3≈674.67；对≤674.67求解，因为＞0，所以≤；又因为是正整数，，，所以最大取25；当＝1时，；当＝2时，；当＝3时，；……；当＝25时，；所以可以取1，2，……，25，共25个正整数；所以从1到2024的所有自然数中，乘27后是完全平方数的数共有25个。
10．a，b是1～27这27个自然数中的数，如果a与b的乘积是100的倍数，那么我们称（a，b）为“希望数对”。只有在a＝b时，（a，b）与（b，a）才是同一个数对，那么1～27中一共有________个“希望数对”。
【答案】
20
【分析】如果a与b的乘积是100的倍数，那么我们称（a，b）为“希望数对”。由于100＝2 ×5 ，a和b的乘积必须至少包含两个2和两个5的因子。通过分类讨论a的质因数分解，计算对应的b的可能数量，最终统计所有符合条件的数对。
【详解】100＝2 ×5 ，
①若a仅含有1个质因数2，则b至少是：2×5×5＝50。不符合题意；
②若a含有2个质因数2，则b至少是：5×5＝25。
此时a可能是：4、8、12、16、20、24，b是25。
共有6种情况。
③若a仅含有1个质因数5，则b至少是：2×2×5＝20。
此时a可能是：5、10、15、20、25，b是20。
共有5种情况。
④若a含有1个质因数2和1个质因数5，则b至少是：2×5＝10。
此时a可能是：10、20，b是10、20。
共有4种情况。
⑤若a含有2个质因数2和1个质因数5，则b至少是：5。
此时a可能是：20，b是5、10、15、20、25。
共有5种情况。
共计：6＋5＋4＋5＝20（种）
因此1～27中一共有20个“希望数对”。
11．12和18的最小公倍数与最大公因数的差是_________。
【答案】30
【分析】用质因数分解法求最大公因数： 全部共有的质因数相乘的积就是这几个数的最大公因数。
用质因数分解法求最小公倍数的方法： 全部公有的质因数和各自独立的质因数，它们连乘的积就是这几个数的最小公倍数。
先分别求出12和18的最小公倍数与最大公因数，用最小公倍数减最大公因数即可解答。
【详解】12＝2×2×3
18＝2×3×3
2×3＝6
2×3×2×3＝6×6＝36
36－6＝30
12和18的最小公倍数与最大公因数的差是30。
12．如果a、b、c都是质数，而且，，，等于______。
【答案】20
【分析】a、b、c都是质数，，根据2是唯一的偶质数，可以推出a、b、c中必然有一个是2。因为，所以。然后可以将代入中，可以得到。再将代入中，化简即可得：。最后将1643进行分解质因数，就可以确定a、b各是多少，由此即可求出的值。
【详解】a、b、c都是质数，，，所以
将代入中，得：
将代入中，得：
，
所以。
所以
因此等于2。
13．贝贝是名中学生，他参加了全市的数学联赛（满分100分）。若贝贝的名次、分数和年龄的乘积是6786，那么贝贝获得了第_______名。
【答案】6
【分析】贝贝是名中学生，则贝贝的年龄在12岁到15岁之间。
将6786分解质因数，6786＝2×3×3×13×29，则贝贝肯定是13岁，因为满分是100分，则贝贝的分数是87分，名次就是第6名。
【详解】6786＝6×13×87
则贝贝获得了第6名。
14．2006个弹珠，平均分给若干个人，正好分完。若有1人退出，不参加分球，并且弹珠增加10个，则每人可以多分8个。问原来有多少人？
【答案】17人
【分析】题中的数量关系是弹珠总数＝人数×人均弹珠数，人数及弹珠总数的变化导致人均弹珠数的变化。先将两次弹珠总数分别进行分解质因数，再将质因数通过乘法结合律变成两数相乘的形式，其中一个乘数为人数，另一个乘数则为人均弹珠数；同理再变形多次，类比两种变形的结果，能满足人数减少1，人均弹珠数则增加8的情况即可。
【详解】2006＋10＝2016（个）
2006＝2×17×59，2016＝2×2×2×2×2×7×9
经过组合可得：2006＝17×118，2016＝16×126，
17－1＝16，118＋8＝126符合人数减少1，人均弹珠数则增加8的情况，因此原来有17人。
答：原来有17人。
15．幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分。但今天刚好又新入园一位小朋友，这样每位小朋友就要少分2个苹果。原来有多少位小朋友？
【答案】14位
【分析】题中的数量关系是苹果总数＝人数×人均苹果数，人数变化则导致人均苹果数变化，但是总的苹果数量不会发生变化。因此可以先将苹果总数进行分解质因数，再将质因数通过乘法结合律变成两数相乘的形式，其中一个乘数为人数，另一个乘数则为人均苹果数；同理再变形多次，类比两次变形的结果，能满足人数增加1，人均苹果数则减2的情况即可。
【详解】420＝2×2×3×5×7
420＝14×30，420＝15×28
15－14＝1，30－28＝2，符合人数增加1，人均苹果数减少2的情况。
故原来有14位小朋友，每位小朋友分30个苹果。
答：原来有14位小朋友。
16．学校购买一批毛笔正好用去216元，如果每支毛笔便宜1元，则可以多买3支，钱也正好用得完。请问实际购买了多少支毛笔？
【答案】24支
【分析】题中的数量关系是总价＝单价×数量，单价变化则导致数量变化，但是总价不变。先将总价进行分解质因数，再将质因数通过乘法结合律变成两数相乘的形式，其中一个乘数为单价，另一个乘数则为数量；同理再变形多次，类比两次变形的结果，能满足单价少1，数量增加3的情况即可。
【详解】216＝2×2×2×3×3×3
重新组合可得：216＝9×24，216＝8×27，
9－8＝1，27－24＝3，符合单价少1，数量增加3的情况。
因此实际每支毛笔9元，一共可以买24支。
答：实际购买了24支毛笔。
17．小明家的电话号码是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？
【答案】9699690
【分析】由题意可知这个积的末四位数是前三位数的10倍，因此可以设这个数的前三位为，则末四位为10×，整个号码可表示为：×10000＋10×＝10010×，其中为三位数（100≤≤999）；又因为整个号码是几个连续质数的乘积，而10010＝2×5×7×11×13，这些质数并非完全连续，需要进行补充，从而形成连续的质数序列，如2，3，5，7，11，13，17，19，……，因此需要补充质数3、17、19……。最后根据100≤≤999即可确定补充哪几个质数，从而确定小明家的电话号码是多少。
【详解】解：设这个数的前三位为，则末四位为10×。
整个号码可表示为：×10000＋10×＝10010×，
因为10010＝2×5×7×11×13，整个号码是几个连续质数的乘积，
所以分解质因数后一定要含有质数3。
又因为100≤≤999，
所以分解质因数后还需要有别的质数，即17、19……。
3×17＝51，不符合的取值范围；
3×17×19＝969，符合的取值范围。
因此。
整个号码为：
答：小明家的电话号码是9699690。
18．同学们进行爱心捐款。第一小组的组员总共交费12.1元，每位组员捐的钱数相同，每人都捐了三枚硬币。问：共捐了多少枚五角硬币？
【答案】22枚
【分析】12.1元＝121角，因为 121分解质因数只能是11乘11，说明每人捐11角，有11个组员；因为每人都捐了三枚硬币，11角是三枚硬币的钱数和，只能由2个5角和1个1角的硬币组成，每人捐的五角个数乘组员数即等于共捐五角硬币的个数，据此即可解答。
【详解】12.1元＝121角
121＝11×11
每人捐11角，有11个组员；
11角＝5角＋5角＋1角；
2×11＝22（枚）
答：共捐了22枚五角硬币。
19．将8个数6，24，45，65，77，78，105，110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组.
【答案】第一组：24，65，77，45.
第二组：6，78，110，105.
【详解】要想每组4个数的乘积相等，就要让每组的质因数一样，并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数.
6＝2×3
24＝23×3
45＝32×5
65＝5×13，
77＝7×11
78＝2×3×13
105＝3×5×7
110＝2×5×11
先放指数最高的质因数，把24放在第一组，为了使第二组里也有三个2的因子，必须把6，78，110放在第二组中，为了平衡质因数11和13，必须把77和65放在第一组中.看质因数7，105应放在第二组中，45放在第一组中，得到
第一组：24，65，77，45.
第二组：6，78，110，105.
20．小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？
【答案】红笔：13元 蓝笔：4元
【详解】35＝5×7.
红、蓝的单价不能是5元或7元（否则能把35元恰好用完），也不能是17-5＝12（元）和17-7＝10（元），否则另一种笔1支是5元或7元.
对笔价来说，已排除了5，7，10，12这四个数.
笔价不能是35-17=18（元）的因数.如果笔价是18的因数，就能把18元恰好都买成笔，再把17元买两种笔各一支，这样就把35元恰好用完了.因此笔价不能是18的因数：1，2，3，6，9.
当然也不能是17-1＝16，17-2＝15，17-3＝14，17-6＝11， 17-9＝8.现在笔价又排除了：1，2，3，6，8，9，11，14，15，16.
综合两次排除，只有4与13未被排除，而4＋13＝17，就知道红笔每支 13元，蓝笔每支 4元.
答：红笔每支13元，蓝笔每支4元.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题20 分解质因数
一、基本概念
分解质因数是小升初奥数的基础工具，是解决最大公因数（GCD）、最小公倍数（LCM）及数论问题的关键。
关键要素：
1.质数：只有1和它本身两个因数的自然数（如2、3、5、7等），1不是质数，最小的质数是2。
2.合数：除了1和它本身外还有其他因数的自然数（如4、6、8、9等）。
3.质因数：一个合数的因数中，是质数的因数称为质因数（如12的因数有1、2、3、4、6、12，其中质因数是2和3）。
4.分解质因数：把一个合数用质因数相乘的形式表示出来（如12=2×2×3，可写作12=2 ×3）。
示例：
18的质因数分解：18=2×3×3=2×3 （2和3是质数，且18能被2和3整除）。
注意：分解质因数时，需将合数分解到所有因数都是质数为止，且质因数按从小到大顺序排列。
二、核心方法（必学）
1. 短除法（最常用）
步骤：
① 用最小的质数（从2开始）去除这个合数，若能整除，商写在下面；若不能，换更大的质数继续除。
② 重复步骤①，直到商是质数为止。
③ 将所有除数和最后的商写成连乘形式，即为分解结果。
示例：分解48的质因数
2 | 48 （用最小质数2去除48，商24）
2 | 24 （继续用2除24，商12）
2 | 12 （用2除12，商6）
2 | 6 （用2除6，商3）
3 （商3是质数，停止）
故48=2×2×2×2×3=2 ×3。
2. 树枝分解法（直观易懂）
步骤：
① 将合数分解成两个因数的乘积（可先从较小因数开始）。
② 若分解出的因数是合数，继续分解，直到所有因数都是质数。
③ 将所有质数因数连乘。
示例：分解30的质因数
30
/ \
5 6 （5是质数，6是合数，继续分解6）
/ \
2 3 （2和3都是质数）
故30=5×2×3=2×3×5（按从小到大排序）。
三、核心应用（与专题19衔接）
分解质因数是求最大公因数（GCD）和最小公倍数（LCM）的基础，具体应用如下：
1.求最大公因数（GCD）：取各数质因数中公共质因数的最低次幂相乘（如专题19所述）。
例：求（12,18），12=2 ×3，18=2×3 ，公共质因数为2 、3 ，故GCD=2×3=6。
2.求最小公倍数（LCM）：取各数质因数中所有质因数的最高次幂相乘（如专题19所述）。
例：求[12,18]，12=2 ×3，18=2×3 ，所有质因数最高次幂为2 、3 ，故LCM=2 ×3 =36。
3.判断整除性：若一个数的质因数包含另一个数的所有质因数，则前者能被后者整除（如12=2 ×3，6=2×3，12包含6的所有质因数，故12能被6整除）。
4.求因数个数：若一个数分解质因数为(N=a^m×b^n×c^p)（a、b、c为质数，m、n、p为正整数），则因数个数为((m+1)(n+1)(p+1))（每个质因数的指数加1后相乘）。
四、常见题型
1.直接分解型：直接将一个合数分解质因数。
2.反推原数型：已知质因数分解式，求原数或相关量（如因数个数）。
3.综合应用型：结合实际场景（如分组、乘积问题、整除判断），通过分解质因数解决问题。
一、基础题（直接分解法）
例1：用短除法分解72的质因数。
解题步骤：
① 用2除72，商36；再用2除36，商18；继续用2除18，商9；9不能被2整除，换质数3，3除9商3（质数）。
② 除数和商：2、2、2、3、3。
③ 结果：72=2×2×2×3×3=2 ×3 。
跟踪练习1：用树枝分解法分解56的质因数。
答案：56=2×2×2×7=2 ×7。
解析：56=7×8，8=2×4，4=2×2，故56=7×2×2×2=2 ×7。
二、进阶题（反推与因数个数）
例2：一个数分解质因数是(2^3×3^2×5)，求这个数及它的因数个数。
解题步骤：
① 求原数：(2^3×3^2×5=8×9×5=360)。
② 求因数个数：指数加1相乘，((3+1)(2+1)(1+1)=4×3×2=24)（个）。
答案：这个数是360，有24个因数。
跟踪练习2：已知一个数的质因数分解式为(3×5^2×7)，求该数及它的最小因数（除1外）。
答案：数为3×25×7=525，最小因数（除1外）是3。
解析：最小质因数是3，故最小因数为3。
三、挑战题（综合应用）
例3：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数。
解题步骤：
① 分解210的质因数：210=2×3×5×7。
② 组合质因数为连续自然数：5、6（2×3）、7，5×6×7=210。
答案：这三个数是5、6、7。
例4：用分解质因数法判断135能否被15整除。
解题步骤：
① 分解135和15：135=3 ×5，15=3×5。
② 135的质因数包含15的所有质因数（3和5），故135能被15整除。
答案：能整除，135÷15=9。
跟踪练习3：有一批苹果，数量在50~100个之间，若每3个装一袋或每5个装一袋都正好装完，这批苹果可能有多少个？（用分解质因数法分析） **答案**：75个。 **解析**：苹果数是3和5的公倍数，3=3，5=5，LCM=3×5=15，50~100间15的倍数有60、75、90，分解质因数：60=2 ×3×5，75=3×5 ，90=2×3 ×5，均符合，其中最可能的是75（题目未限制唯一解，答75、60、90均可，示例取75）。
1．下列选项中，20和6的最小公倍数是（ ）。
A．20 B．30 C．120 D．60
2．A，B，C，D四个小朋友的年龄都小于15岁，并且他们的年龄都是不一样的数，已知他们的年龄之积为210，则他们的年龄之和可能为（ ）。
①25②23③21④19
A．①③④ B．①②④ C．①②③ D．②③④
3．两数之和为667，它们的最小公倍数除以最大公约数所得的商等于120，则这两个数为（ ）。
A．123，544或552，115
B．232，435或552，115
C．322，345或610，57
D．552，115或610，57
E．610，57或232，435
4．数学家华罗庚小时候学因数与倍数时，曾经遇到过这样的问题：已知有两个数，它们的乘积是2800，其中一个数的因数个数比另一个数的因数个数多1，那么这两个数的和是（ ）。
A．190 B．185 C．191 D．192
5．某次小学生数学竞赛的满分为100分，小明和小光在竞赛中取得了优异成绩，成绩都不低于95分。当小记者采访他们时，小明说：”我的名次、年龄和分数的乘积等于1261”，小光说：“我的名次、年龄和分数的乘积等于 3135“。那么小明和小光两人的平均分是（ ）分。
A．94 B．98 C．96 D．97 E．99
6．在1至100这100个自然数中共有____个数能表示成mn＋m＋n（m，n是正整数）形式的数。
7．甲、乙、丙三个人参加了运动会的每一个项目，而且取得了每个项目的前三名（没有并列）。前三名的得分是依次减少的三个非零自然数。最后甲得了22分，乙、丙都得了9分。若丙得过一些项目的第一名，甲得过_____个项目的第一名。
8．两个数的最大公约数和最小公倍数分别是3和135，求这两个数的差最小是________。
9．从1到2024的所有自然数中，乘27后是完全平方数的数共有( )个。
10．a，b是1～27这27个自然数中的数，如果a与b的乘积是100的倍数，那么我们称（a，b）为“希望数对”。只有在a＝b时，（a，b）与（b，a）才是同一个数对，那么1～27中一共有________个“希望数对”。
11．12和18的最小公倍数与最大公因数的差是_________。
12．如果a、b、c都是质数，而且，，，等于______。
13．贝贝是名中学生，他参加了全市的数学联赛（满分100分）。若贝贝的名次、分数和年龄的乘积是6786，那么贝贝获得了第_______名。
14．2006个弹珠，平均分给若干个人，正好分完。若有1人退出，不参加分球，并且弹珠增加10个，则每人可以多分8个。问原来有多少人？
15．幼儿园里给小朋友分苹果，420个苹果正好均分。但今天刚好又新入园一位小朋友，这样每位小朋友就要少分2个苹果。原来有多少位小朋友？
16．学校购买一批毛笔正好用去216元，如果每支毛笔便宜1元，则可以多买3支，钱也正好用得完。请问实际购买了多少支毛笔？
17．小明家的电话号码是七位数，它恰好是几个连续质数的乘积，这个积的末四位数是前三位数的10倍，请问小明家的电话号码是多少？
18．同学们进行爱心捐款。第一小组的组员总共交费12.1元，每位组员捐的钱数相同，每人都捐了三枚硬币。问：共捐了多少枚五角硬币？
19．将8个数6，24，45，65，77，78，105，110分成两组，每组4个数，并且每组4个数的乘积相等，请写出一种分组.
20．小明买红蓝两种笔各1支共用了17元.两种笔的单价都是整元，并且红笔比蓝笔贵.小强打算用35元来买这两种笔（也允许只买其中一种），可是他无论怎么买都不能把35元恰好用完，问红笔、蓝笔每支各多少元？
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