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专题22 余数问题
一、基本概念
余数是指整数除法中被除数未被除尽部分，且余数的取值范围为0到除数之间（不包括除数）。
关键关系：被除数÷除数=商……余数，可表示为被除数=除数×商+余数（其中0≤余数＜除数）。
示例：10÷3=3……1，这里10是被除数，3是除数，3是商，1是余数，且1＜3；15÷5=3……0，余数为0表示整除。
二、核心性质（必学）
1.余数的可加性：(a + b) ÷ c的余数，等于a÷c的余数与b÷c的余数之和，若和大于或等于c，则再除以c取余数。
例：(7 + 8) ÷ 5，7÷5=1……2，8÷5=1……3，余数之和为2+3=5，5÷5=1……0，所以(7+8)÷5的余数为0。
2.余数的可减性：(a - b) ÷ c的余数，等于a÷c的余数减去b÷c的余数，若不够减，则先加上c再减。
例：(13 - 5) ÷ 7，13÷7=1……6，5÷7=0……5，6 - 5=1，所以(13 - 5)÷7的余数为1；(5 - 13) ÷ 7，5÷7=0……5，13÷7=1……6，5 - 6不够减，5 + 7 - 6=6，所以(5 - 13)÷7的余数为6。
3.余数的可乘性：(a × b) ÷ c的余数，等于a÷c的余数与b÷c的余数之积，若积大于或等于c，则再除以c取余数。
例：(4 × 5) ÷ 3，4÷3=1……1，5÷3=1……2，余数之积为1×2=2，2＜3，所以(4×5)÷3的余数为2；(6 × 7) ÷ 4，6÷4=1……2，7÷4=1……3，2×3=6，6÷4=1……2，所以(6×7)÷4的余数为2。
4.同余定理：若两个整数a、b除以同一个整数m所得的余数相同，则称a、b对于模m同余，记作a≡b (mod m)。此时a - b能被m整除。
例：17÷5=3……2，27÷5=5……2，17和27对于模5同余，17 - 27=-10，-10能被5整除。
5.带余除法中的周期性：对于固定的除数m，当被除数a连续变化时，余数会呈现周期性变化，周期为m。
例：被除数依次为1、2、3、4、5、6、7……，除数为3时，余数依次为1、2、0、1、2、0……，周期为3。
三、核心方法（必学）
1.带余除法公式法：直接利用被除数=除数×商+余数（0≤余数＜除数）进行计算和求解。已知其中三个量可求第四个量。
2.同余构造法：当题目中出现多个同余条件时，可设被除数为某个表达式，根据同余关系列出方程求解。
3.逐级满足法：对于多个除数的余数问题，从除数最大的那个条件开始，逐步满足其他条件，找到符合所有条件的最小被除数。
4.周期寻找法：对于具有周期性变化的余数问题，先找出余数的周期，再根据周期求解。
四、核心应用
1.已知被除数、除数，求商和余数；
2.已知除数、商、余数，求被除数；
3.已知被除数、商、余数，求除数；
4.利用同余性质解决整除问题；
5.解决周期性规律问题，如日期推算、数列循环等；
6.解同余方程组（中国剩余定理初步）。
一、基础题（理解与计算）
例1：计算下列各式的商和余数。
（1）58÷7 （2）100÷13 （3）2023÷5
解题步骤：
（1）7×8=56，58-56=2，所以58÷7=8……2。
（2）13×7=91，100-91=9，所以100÷13=7……9。
（3）5×404=2020，2023-2020=3，所以2023÷5=404……3。
答案：（1）商8余2；（2）商7余9；（3）商404余3。
跟踪练习1：计算375÷16的商和余数。答案：商23余7（16×23=368，375-368=7）。
例2：已知一个数除以9，商是12，余数是5，求这个数。
解题步骤：根据被除数=除数×商+余数，可得这个数为9×12+5=108+5=113。
答案：113。
跟踪练习2：一个数除以11，商是15，余数最大，求这个数。答案：11×15+10=165+10=175（余数最大为10，因为余数小于除数11）。
二、进阶题（性质与应用）
例3：已知28÷a=b……4，a、b均为正整数，求a的可能值。
解题步骤：由被除数=除数×商+余数，可得a×b=28-4=24。因为余数是4，所以除数a＞4。24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，其中大于4的因数有6、8、12、24，所以a可能为6、8、12、24。
答案：a可能为6、8、12、24。
跟踪练习3：已知50÷m=n……5，m、n均为正整数，求m的最小值。答案：m×n=50-5=45，m＞5，45的因数中大于5的最小因数是9，所以m的最小值为9。
例4：今天是星期一，再过100天是星期几？
解题步骤：一周有7天，周期为7。100÷7=14……2，即过了14周还多2天。星期一再过2天是星期三。
答案：星期三。
跟踪练习4：2023年10月1日是星期日，2023年12月31日是星期几？答案：10月有31天，11月有30天，从10月1日到12月31日共有31-1+30+31=91天，91÷7=13……0，所以是星期日。
三、挑战题（综合与拓展）
例5：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求满足条件的最小三位数。
解题步骤：
方法一（逐级满足法）：
先满足除以7余2的数：2、9、16、23、30、37、44、51、58、65、72、79、86、93、100、107……
在这些数中找到除以5余3的数：23（23÷5=4……3）、23+35=58（58÷5=11……3）、58+35=93（93÷5=18……3）、93+35=128（128÷5=25……3）……
再在这些数中找到除以3余2的数：23（23÷3=7……2），但23是两位数，下一个数为23+105=128（3、5、7的最小公倍数是105），128是三位数。
所以满足条件的最小三位数是128。
答案：128。
例6：证明：任意一个正整数除以3，余数只可能是0、1、2。
解题步骤：设正整数为n，根据带余除法，n=3k+r，其中k为整数，0≤r＜3，所以r只能是0、1、2，即任意一个正整数除以3，余数只可能是0、1、2。
跟踪练习5：一个数除以4余1，除以6余3，求满足条件的最小正整数。答案：9（9÷4=2……1，9÷6=1……3）。
1．有一个两位数，如果用它去除以个位数字，商为9余数为6，如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和，则商为5余数为3，求这个两位数？
2．连续写出从1开始的自然数，写到2008时停止，得到一个多位数：1234567891011…20072008，请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？
3．有一列数：1，1，2，3，5，8，13，……，即第一、 第二个数都是 1，从第三个数起，每个数都是前面两个数的和，求第 2003个数除以 3 的余数．
4．有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？
5．有三个吉利数字，888，518，666，用他们同时除以一个相同的自然数，所得的余数为a，a+7，a+10.试问这个自然数是多少？
6．从自然数1，2，3，…，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除
7．五个互不相同的非零自然数，它们当中任意两个数之和是2的倍数，任意三个数之和是3的倍数，任意四个数之和是4的倍数，最后，这五个数之和还是5的倍数。求满足条件的五个数之和的最小值。
8．传说中的一条龙有100个头，一名武士一剑可以砍掉它的15，17，20或5个头。就在这种情况下，勇士再次挥剑之前，在龙的肩上又分别会长出24，2，14或17个新的头。如果把龙的头都砍光了，龙就死了。问：龙会死吗？请说明理由。
9．阿龙喜欢把电话号码作为数学题练习。一个电话号码是八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除。阿龙只记着前六个数字是257633 。但是算了一下，他便知道后两个数字。问这个电话号码最后的两个数是什么？
10．一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和。那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？
11．在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个？（余数可以为0）
12．有两个自然数相除，商是，余数是，已知被除数、除数、商与余数之和为，则被除数是多少？
13．在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？
14．有连续的三个自然数、、，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？
15．一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？
16．不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。问最多有多少名同学？
17．数119很奇特：当被2除时，余数为1；当被3除时，余数为2；当被4除时，余数为3；当被5除时，余数为4；当被6除时，余数为5。问：具有这种性质的三位数还有几个？
18．一猴子数一堆桃子.两个两个地数剩下1个，三个三个地数剩下1个，五个五个地数剩下3个，七个七个地数剩下3个.问这堆桃子最少是多少个？
19．有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果
20．韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人，成十一行纵队，则末行十人.求兵数.
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题22 余数问题
一、基本概念
余数是指整数除法中被除数未被除尽部分，且余数的取值范围为0到除数之间（不包括除数）。
关键关系：被除数÷除数=商……余数，可表示为被除数=除数×商+余数（其中0≤余数＜除数）。
示例：10÷3=3……1，这里10是被除数，3是除数，3是商，1是余数，且1＜3；15÷5=3……0，余数为0表示整除。
二、核心性质（必学）
1.余数的可加性：(a + b) ÷ c的余数，等于a÷c的余数与b÷c的余数之和，若和大于或等于c，则再除以c取余数。
例：(7 + 8) ÷ 5，7÷5=1……2，8÷5=1……3，余数之和为2+3=5，5÷5=1……0，所以(7+8)÷5的余数为0。
2.余数的可减性：(a - b) ÷ c的余数，等于a÷c的余数减去b÷c的余数，若不够减，则先加上c再减。
例：(13 - 5) ÷ 7，13÷7=1……6，5÷7=0……5，6 - 5=1，所以(13 - 5)÷7的余数为1；(5 - 13) ÷ 7，5÷7=0……5，13÷7=1……6，5 - 6不够减，5 + 7 - 6=6，所以(5 - 13)÷7的余数为6。
3.余数的可乘性：(a × b) ÷ c的余数，等于a÷c的余数与b÷c的余数之积，若积大于或等于c，则再除以c取余数。
例：(4 × 5) ÷ 3，4÷3=1……1，5÷3=1……2，余数之积为1×2=2，2＜3，所以(4×5)÷3的余数为2；(6 × 7) ÷ 4，6÷4=1……2，7÷4=1……3，2×3=6，6÷4=1……2，所以(6×7)÷4的余数为2。
4.同余定理：若两个整数a、b除以同一个整数m所得的余数相同，则称a、b对于模m同余，记作a≡b (mod m)。此时a - b能被m整除。
例：17÷5=3……2，27÷5=5……2，17和27对于模5同余，17 - 27=-10，-10能被5整除。
5.带余除法中的周期性：对于固定的除数m，当被除数a连续变化时，余数会呈现周期性变化，周期为m。
例：被除数依次为1、2、3、4、5、6、7……，除数为3时，余数依次为1、2、0、1、2、0……，周期为3。
三、核心方法（必学）
1.带余除法公式法：直接利用被除数=除数×商+余数（0≤余数＜除数）进行计算和求解。已知其中三个量可求第四个量。
2.同余构造法：当题目中出现多个同余条件时，可设被除数为某个表达式，根据同余关系列出方程求解。
3.逐级满足法：对于多个除数的余数问题，从除数最大的那个条件开始，逐步满足其他条件，找到符合所有条件的最小被除数。
4.周期寻找法：对于具有周期性变化的余数问题，先找出余数的周期，再根据周期求解。
四、核心应用
1.已知被除数、除数，求商和余数；
2.已知除数、商、余数，求被除数；
3.已知被除数、商、余数，求除数；
4.利用同余性质解决整除问题；
5.解决周期性规律问题，如日期推算、数列循环等；
6.解同余方程组（中国剩余定理初步）。
一、基础题（理解与计算）
例1：计算下列各式的商和余数。
（1）58÷7 （2）100÷13 （3）2023÷5
解题步骤：
（1）7×8=56，58-56=2，所以58÷7=8……2。
（2）13×7=91，100-91=9，所以100÷13=7……9。
（3）5×404=2020，2023-2020=3，所以2023÷5=404……3。
答案：（1）商8余2；（2）商7余9；（3）商404余3。
跟踪练习1：计算375÷16的商和余数。答案：商23余7（16×23=368，375-368=7）。
例2：已知一个数除以9，商是12，余数是5，求这个数。
解题步骤：根据被除数=除数×商+余数，可得这个数为9×12+5=108+5=113。
答案：113。
跟踪练习2：一个数除以11，商是15，余数最大，求这个数。答案：11×15+10=165+10=175（余数最大为10，因为余数小于除数11）。
二、进阶题（性质与应用）
例3：已知28÷a=b……4，a、b均为正整数，求a的可能值。
解题步骤：由被除数=除数×商+余数，可得a×b=28-4=24。因为余数是4，所以除数a＞4。24的因数有1、2、3、4、6、8、12、24，其中大于4的因数有6、8、12、24，所以a可能为6、8、12、24。
答案：a可能为6、8、12、24。
跟踪练习3：已知50÷m=n……5，m、n均为正整数，求m的最小值。答案：m×n=50-5=45，m＞5，45的因数中大于5的最小因数是9，所以m的最小值为9。
例4：今天是星期一，再过100天是星期几？
解题步骤：一周有7天，周期为7。100÷7=14……2，即过了14周还多2天。星期一再过2天是星期三。
答案：星期三。
跟踪练习4：2023年10月1日是星期日，2023年12月31日是星期几？答案：10月有31天，11月有30天，从10月1日到12月31日共有31-1+30+31=91天，91÷7=13……0，所以是星期日。
三、挑战题（综合与拓展）
例5：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求满足条件的最小三位数。
解题步骤：
方法一（逐级满足法）：
先满足除以7余2的数：2、9、16、23、30、37、44、51、58、65、72、79、86、93、100、107……
在这些数中找到除以5余3的数：23（23÷5=4……3）、23+35=58（58÷5=11……3）、58+35=93（93÷5=18……3）、93+35=128（128÷5=25……3）……
再在这些数中找到除以3余2的数：23（23÷3=7……2），但23是两位数，下一个数为23+105=128（3、5、7的最小公倍数是105），128是三位数。
所以满足条件的最小三位数是128。
答案：128。
例6：证明：任意一个正整数除以3，余数只可能是0、1、2。
解题步骤：设正整数为n，根据带余除法，n=3k+r，其中k为整数，0≤r＜3，所以r只能是0、1、2，即任意一个正整数除以3，余数只可能是0、1、2。
跟踪练习5：一个数除以4余1，除以6余3，求满足条件的最小正整数。答案：9（9÷4=2……1，9÷6=1……3）。
1．有一个两位数，如果用它去除以个位数字，商为9余数为6，如果用这个两位数除以个位数字与十位数字之和，则商为5余数为3，求这个两位数？
【答案】78
【分析】此题可以设出这个两位数为ab，根据被除数、除数、商和余数的关系，写成10a＋b＝9b＋6，10a＋b＝5（a＋b）＋3，化简后得：5a－4b＝3，由于a、b均为一位整数，可推出a、b的值，进而得解。
【详解】设这个两位数为ab，由题意得：
10a＋b＝9b＋6，
10a＋b＝5（a＋b）＋3；
所以9b＋6＝5（a＋b）＋3，
化简，得5a－4b＝3，由于a、b均为一位整数，所以a＝3或7，b＝3或8；
但33不符合题意，因此原数为78
答：这个两位数是78。
2．连续写出从1开始的自然数，写到2008时停止，得到一个多位数：1234567891011…20072008，请说明：这个多位数除以3，得到的余数是几？为什么？
【答案】1；原因见详解
【分析】因为任意连续个自然数组成的多位数可以被整除，而是的倍数，所以是的倍数，那么只需要计算2008除以3的余数即可。
【详解】
，，所以2008除以3余数是1；
那么除以，得到的余数是。
【点睛】本题主要考查的是余数的性质，对于9有类似的结论，任意连续9个自然数组成的多位数可以被9整除。
3．有一列数：1，1，2，3，5，8，13，……，即第一、 第二个数都是 1，从第三个数起，每个数都是前面两个数的和，求第 2003个数除以 3 的余数．
【答案】2
【详解】找规律,每个数除以3的余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2,可以看出循环节长度是8,第2003个就是第3个,余数是2
4．有一串数排成一行，其中第一个数是15，第二个数是40，从第三个数起，每个数恰好是前面两个数的和，问这串数中，第1998个数被3除的余数是多少？
【答案】2
【分析】我们可以按照题目的条件把这串数写出来，再看每一个数被3除的余数有什么规律，但这样做太麻烦.根据上面说到的结论，可以采取下面的做法，从第三个数起，把前两个数被3除所得的余数相加，然后除以3，就得到这个数被3除的余数，这样就很容易算出前十个数被3除的余数，列表如下：
数的序号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 十
被3除余数 0 1 1 2 0 2 2 1 0 1
【详解】从分析表中可以看出，第九、第十两数被3除的余数与第一、第二两个数被3除的余数相同.因此这一串数被3除的余数，每八个循环一次，因为1998＝8×249＋6，
所以，第1998个数被3除的余数，应与第六个数被3除的余数一样，也就是2.
5．有三个吉利数字，888，518，666，用他们同时除以一个相同的自然数，所得的余数为a，a+7，a+10.试问这个自然数是多少？
【答案】29
【详解】略
6．从自然数1，2，3，…，1000中，最多可取出多少个数使得所取出的数中任意三个数之和能被18整除
【答案】56个
【详解】解：设a，b，c，d是所取出的数中的任意4个数，则a+b+c=18m，a+b+d=18n，其中m，n是自然数．于是c-d=18（m-n）．
上式说明所取出的数中任意2个数之差是18的倍数，即所取出的每个数除以18所得的余数均相同．设这个余数为r，则a=18a1+r，b=18b1+r，c=18c1+r，
其中a1，b1，c1是整数．于是a+b+c=18（a1+b1+c1）+3r．
因为18|（a+b+c），所以18|3r，即6|r，推知r=0，6，12．因为1000=55×18+10，所以，从1，2，…，1000中可取6，24，42，…，996共56个数，它们中的任意3个数之和能被18整除．
7．五个互不相同的非零自然数，它们当中任意两个数之和是2的倍数，任意三个数之和是3的倍数，任意四个数之和是4的倍数，最后，这五个数之和还是5的倍数。求满足条件的五个数之和的最小值。
【答案】125
【分析】根据题意，要使五个数的和尽可能的小，那么这五个数要尽量的小，它们当中任意两个数之和是2的倍数，这五个数同时是偶数或者同时是奇数；
任意三个数的和是3的倍数，即每个数除以3余1；
任意4个数的和是4的倍数，即每个数除以4余1；
则找出既除以3余1又除以4余1的数，即可得出答案。
【详解】既除以3余1又除以4余1的数有：1、13、25、37、49；
1＋13＋25＋37＋49＝125
答：满足条件的五个数之和的最小值是125。
8．传说中的一条龙有100个头，一名武士一剑可以砍掉它的15，17，20或5个头。就在这种情况下，勇士再次挥剑之前，在龙的肩上又分别会长出24，2，14或17个新的头。如果把龙的头都砍光了，龙就死了。问：龙会死吗？请说明理由。
【答案】不会死，理由见详解
【分析】头的个数模3不变，开始为1，永远如此，可得结论。
【详解】龙是不会死的，理由如下：
砍掉15个头，会长出24个新的头，相当于长出9个头；
砍掉17个头，会长出2个新的头，相当于砍掉15个头；
砍掉20个头，会长出14个新的头，相当于砍掉6个头；
砍掉5个头，会长出17个新的头，相当于长出12个头；
相当于长出或砍掉的头都是3的倍数，而100除以3余1，所以，勇士再次挥剑之前龙的头数还是除以3余1，而武士一剑砍掉15、17、20或5个头，这四个数中没有除以3余1的数，所以砍不死。最后，最少剩4个头。这4个头是指剩下的2个头和又长出的2个头，勇士是砍不掉的，因为勇士砍掉的头数中不含有4个头。
9．阿龙喜欢把电话号码作为数学题练习。一个电话号码是八位数，它被3除余1，被4除余2，被11恰好整除。阿龙只记着前六个数字是257633 。但是算了一下，他便知道后两个数字。问这个电话号码最后的两个数是什么？
【答案】86
【分析】先根据能被11整除的数的特征确定最后的两个数的差，再利用余数解决问题即可。
【详解】假设这个电话号码是257633AB；
因为能被11整除，所以2＋7＋3＋A＝5＋6＋3＋B，因此A－B＝2
所以AB只能是20、31、42…，但又要被4除余2，被3除余1，因此是86
答：这个电话号码最后的两个数是86。
10．一个三位数除以17和19都有余数，并且除以17后所得的商与余数的和等于它除以19后所得到的商与余数的和。那么这样的三位数中最大数是多少，最小数是多少？
【答案】930，154
【分析】首先根据题意，设这个三位数除以17的商是a，余数是m，这个三位数除以19的商是b，余数是n ；则17a＋m＝19b＋n，a＋m＝b＋n，据此判断出a、b的关系，判断出a、c的最大值各是多少；最后根据a＋m＝b＋n，以及被除数、除数、商的关系，判断出这样的三位数中最大数、最小数各是多少即可。
【详解】设这个三位数为s，它除以17和19的商分别为a和b，余数分别为m和n，则s＝17a＋m＝19b＋n，a＋m＝b＋n，所以s－（a＋m）＝s－（b＋n），即16a＝18b，得8a＝9b。所以a是9的倍数，b是8的倍数。此时，由a＋m＝b＋n可知，n－m＝a－b＝a－a＝a。由于s为三位数，最小为100，最大为999，所以，而，
所以，，得到，而a是9的倍数，所以a最小为9，最大为54。
当时，n－m＝a＝6，而n≤18，所以，故此时s最大为17×54＋12＝930；
当时，n－m＝a＝1，由于m≥1，所以此时s最小为17×9＋1＝154。
所以这样的三位数中最大的是930，最小的是154。
【点睛】熟练掌握被除数、除数和商之间的关系是解答本题的关键。
11．在小于1000的自然数中，分别除以18及33所得余数相同的数有多少个？（余数可以为0）
【答案】99
【分析】先求出18和33的最小公倍数是198，小于198的非0自然数中除以18和33余数相同的数有1，2，…17，198一共是18个；再求出小于1000的自然数中有多少个18和33的最小公倍数，还余几，再由此求解。
【详解】18＝2×3×3，
33＝3×11，
所以18和33的最小公倍数是：2×3×3×11＝198；
1～198之间只有1，2，3，…，17，198这18个数除以18及33所得的余数相同，
而999÷198＝5……9，
所以共有5×18＋9＝99个这样的数．
答：分别除以18及33所得余数相同的数有99个。
【点睛】解决本题关键是先求出18和33的最小公倍数，再根据循环性的规律进行求解。
12．有两个自然数相除，商是，余数是，已知被除数、除数、商与余数之和为，则被除数是多少？
【答案】1968
【详解】被除数除数商余数被除数除数+17+13=2113，所以被除数除数=2083，由于被除数是除数的17倍还多13，则由“和倍问题”可得：除数=（2083-13）÷（17+1）=115，所以被除数=2083-115=1968．
13．在200至300之间，有三个连续的自然数，其中，最小的能被3整除，中间的能被7整除，最大的能被13整除，那么这样的三个连续自然数分别是多少？
【答案】258、259、260
【分析】先找出两个连续自然数，第一个被3整除，第二个被7整除。例如，找出6和7，下一个连续自然数是8。3和7的最小公倍数是21，考虑8加上21的整数倍，使加得的数能被13整除。8＋21×12＝260，能被13整除，那么258，259，260这三个连续自然数，依次分别能被3，7，13整除，又恰好在200至300之间。由于3，7，13的最小公倍数为273，所以在200至300之间只有258，259，260这三个数满足条件。
【详解】根据分析可得：
8＋21×12
＝8＋252
＝260
所以，258，259，260这三个连续自然数，依次分别能被3，7，13整除；且在200至300之间。
【点睛】解答此类题时，可以采用逐级满足法。
14．有连续的三个自然数、、，它们恰好分别是9、8、7的倍数，求这三个自然数中最小的数至少是多少？
【答案】
【分析】由是8的倍数，得到被8除余7，由是7的倍数，得到被7除余5，现在相当于一个数除以9余0，除以8余7，除以7余5。运用中国剩余定理求（用逐步满足的方法也可以）可得：
7和8的公倍数 7和9的公倍数 8和9的公倍数
56 63 72
112 126 144
168 189 216
224 252 288
280 315
378
441
… … …
7和8的公倍数中除以9余1的最小为280；7和9的公倍数中除以8余1的最小是441；8和9的公倍数中除以7余1的最小是288，根据中国剩余定理，符合各个余数条件，但4527不是最小的，还需要减去7、8、9的公倍数，可知是满足各个余数条件的最小值，所以至少是495。
【详解】根据分析可得：
7和8的公倍数中除以9余1的最小为280；7和9的公倍数中除以8余1的最小是441；8和9的公倍数中除以7余1的最小是288，
根据中国剩余定理可得：
答：至少是495。
【点睛】正确理解剩余定理和运算的性质，是解答此题的关键。
15．一个大于10的数，除以3余1，除以5余2，除以11余7，问满足条件的最小自然数是多少？
【答案】172
【分析】仔细分析可以发现，所以这个数可以看成被3、5、11除余7，由于，所以这个数最小是。
【详解】由“除以3余1，除以5余2”得：
3×2＋1
＝6＋1
＝7
5＋2＝7
又：[3，5，11]＝165，
165＋7＝172
答：这个数最小是172。
【点睛】正确理解剩余定理的意义，是解答此题的关键。
16．不足100名同学跳集体舞时有两种组合：一种是中间一组5人，其他人按8人一组围在外圈；另一种是中间一组8人，其他人按5人一组围在外圈。问最多有多少名同学？
【答案】93名
【分析】此题实际是一个不足100的整数，减去5能被8整除，即除以8余5，减去8能被5整除，即除以5余3，求其最大值。13除以8余5，除以5余3，8和5的最小公倍数为40，13＋2×40＝93，为满足条件的整数，即最多有93名同学。
【详解】13除以8余5，除以5余3，8和5的最小公倍数为40，
13＋2×40
＝13＋80
＝93
答：最多有93名同学。
【点睛】正确理解剩余定理的意义，是解答此题的关键。
17．数119很奇特：当被2除时，余数为1；当被3除时，余数为2；当被4除时，余数为3；当被5除时，余数为4；当被6除时，余数为5。问：具有这种性质的三位数还有几个？
【答案】14个
【分析】这个三位数加上1，就能同时被2、3、4、5、6整除，即这个数同时是2、3、4、5、6的倍数，而2、3、4、5、6的最小公倍数是60，设这个数为60x－1；根据3位数的条件有：100≤60x－1≤999；解得：2≤x≤16；因为这些三位数是60x－1，2≤x≤16，所以这些三位数是119，179，239，299，359，419，479，539，599，659，719，779，839，899，959；故具有这种性质的三位数还有179，239，299，359，419，479，539，599，659，719，779，839，899，959。
【详解】设具有这种性质的三位数还有x个，所以这个三位数是60x－1，可得：
100≤60x－1≤999；解得：2≤x≤16
16－2＝14（个）
答：具有这种性质的三位数还有14个。
【点睛】[1，2，3，4，5，6]。三位数中60的倍数15个。所以，除了119外，还有（个）。
18．一猴子数一堆桃子.两个两个地数剩下1个，三个三个地数剩下1个，五个五个地数剩下3个，七个七个地数剩下3个.问这堆桃子最少是多少个？
【答案】73个
【详解】略
19．有苹果,桔子各一筐,苹果有240个,桔子有313个,把这两筐水果分给一些小朋友,已知苹果等分到最后余2个不够分,桔子分到最后还余7个桔子不够再分,求最多有多少个小朋友参加分水果
【答案】34个
【详解】略
20．韩信点兵：有兵一队，若列成五行纵队，则末行一人，成六行纵队，则末行五人，成七行纵队，则末行四人，成十一行纵队，则末行十人.求兵数.
【答案】2111人
【详解】略
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