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专题23 周期问题
一、基本概念
周期问题是小升初奥数高频考点，指事物按一定规律重复出现的现象。重复出现的固定部分称为“周期”，周期包含的元素个数称为“周期长度”。解决周期问题的核心是找到周期规律，利用周期重复的特性简化计算。
关键要素：
1.周期序列：重复出现的固定内容（如图形、数字、文字等），例：△□○△□○...的周期序列是“△□○”。
2.周期长度：一个周期包含的元素个数，用字母 ( T ) 表示（上例中 ( T=3 )）。
3.总项数：需要研究的元素总个数，用字母 ( N ) 表示（如“求第20个图形”中 ( N=20 )）。
4.余数：总项数除以周期长度的剩余量，用字母 ( r ) 表示（若整除，余数 ( r=0 )，对应周期最后一个元素）。
二、核心公式（必背）
1.求周期数与余数
总项数除以周期长度，商是完整周期数，余数是剩余元素个数（余数为0时对应周期最后一个元素）。
2.求第( N )个元素
若)，第 ( N ) 个元素是周期序列中的第 ( r ) 个元素；
若 ( r = 0 )，第 ( N ) 个元素是周期序列中的第 ( T ) 个元素（即周期最后一个元素）。
3.求某元素出现次数
[
文字理解：先算完整周期中该元素出现的总次数，再加上剩余元素中该元素的个数。
三、核心解题方法
1.找周期法（基础）
观察序列特征，确定周期序列和周期长度。关键：从第一个元素开始，找到重复的起点和终点，避免漏看或错判周期（例：“ABACABAC...”的周期是“ABAC”，长度为4，而非“AB”）。
2.定起点法（进阶）
若序列从非第一个元素开始重复（如“XABABAB...”中“X”为非周期部分），需先排除非周期元素，再以周期起点计算总项数（例：求“XABABAB...”第10个元素，需先减1个非周期元素“X”，剩余9项按周期“AB”计算）。
3.余数分析法（核心）
计算总项数除以周期长度的余数，根据余数定位元素位置。注意：余数为0时对应周期最后一个元素，而非第0个元素。
4.分类讨论法（综合）
多个周期叠加时（如“图形周期+数字周期”），分别分析每个周期的规律，再结合问题综合求解。
四、常见题型
1.图形周期型：给出图形重复序列，求第( N )个图形或某图形出现次数（如△□○△□○...）。
2.数字周期型：给出数字数列，求第( N )个数或前( N )个数的和（如1,2,3,1,2,3...）。
3.日期周期型：结合星期、月份等时间规律，求某日期是星期几（如已知2024年1月1日是星期一，求10月1日是星期几）。
4.生活应用周期型：彩灯闪烁、报数游戏、生肖循环等实际场景问题（如“100盏灯按红、黄、蓝、绿顺序闪烁，第73盏灯是什么颜色”）。
一、基础题（找周期+余数分析）
例1：一串图形按“△□○△□○△□○...”排列，第20个图形是什么？
解题步骤：
1.找周期：周期序列是“△□○”，周期长度 ( T=3 )。
2.算余数：总项数（周期数）......( 2 )（余数），即 ( r=2 )。
3.定位元素：余数为2，对应周期序列中第2个元素“□”。
答案：第20个图形是□。
跟踪练习1：数字序列“1,3,5,1,3,5,1,3,5...”中，第30个数是多少？
答案：5
解析：周期序列“1,3,5”除，( r=0 )），对应周期最后一个元素“5”。
二、进阶题（定起点+求和）
例2：数列“2,5,3,2,5,3,2,5,3...”前40个数的和是多少？
解题步骤：
1.找周期：周期序列“2,5,3”，( T=3 )，一个周期的和为 ( 2+5+3=10 )。
2.算周期数与余数数），即13个完整周期，余1个数。
3.求和：总和 = 完整周期和×周期数 + 余数中数 = ( 10×13 + 2 = 132 )。
答案：前40个数的和是132。
跟踪练习2：图形序列“☆△□☆△□☆△□...”中，前25个图形中“△”出现了多少次？
答案：9次
解析：周期“☆△□”（( T=3期）......1（余数），每个周期“△”出现1次，余数中无“△”，共 ( 8×1=8 )次？（注意：25=3×8+1，余数1对应“☆”，所以“△”出现8次？此处原解析有误，正确应为8次，跟踪练习答案修正为8次）。
三、挑战题（逆向推理+生活应用）
例3：有一列数按规律排列，已知第1个是“a”，第2个是“b”，之后重复“a,b,c”，第50个数是“c”，求周期长度可能是多少？
解题步骤：
1.确定周期起点：前2个数“a,b”为非周期部分，从第3个数开始进入周期“a,b,c”，即周期起点为第3个数，此时剩余项数为 ( 50 - 2 = 48 )（项）。
2.逆向分析余数：第50个数是周期中的第 ( r ) 个元素，且为“c”（周期“a,b,c”中第3个元素），则 ( r=3 )。设周期长度为 ( T )，则 ( 48 \div T = k )（周期数）......( 3 )（余数），即 ( 48 = kT + 3 )，( kT=45 )。
3.求可能的( T )：( T ) 需大于余数3，且为45的因数，可能的 ( T=5,9,15,45 )（验证：若 ( T=5 )，周期“a,b,c,x,y”，第3个数起“a,b,c,x,y,a,b,c...”，第50个数：48÷5=9...3，第3个元素“c”，符合题意）。
答案：周期长度可能是5,9,15,45。
例4（生活应用）：2024年1月1日是星期一，2024年10月1日是星期几？（2024年是闰年，2月有29天）
解题步骤：
1.计算总天数：1月（31天）+2月（29天）+3月（31天）+4月（30天）+5月（31天）+6月（30天）+7月（31天）+8月（31天）+9月（30天）= 31+29=60，+31=91，+30=121，+31=152，+30=182，+31=213，+31=244，+30=274（天），即从1月1日到10月1日共274天。
2.确定周期：星期周期为7（周一到周日），周期序列“一、二、三、四、五、六、日”，( T=7 )。
3.算余数：( 274 \div 7 = 39 )（周期）......1（余数），余数1对应周期第1个元素“星期一”。
答案：2024年10月1日是星期一。
跟踪练习3：小明按“红、黄、蓝、绿”顺序穿珠子，共穿了50颗，其中红珠子有多少颗？
答案：13颗
解析：周期“红、黄、蓝、绿”（( T=4 )），周期）......2（余数），每个周期红珠子1颗，余数中第1颗是红珠子，共 ( 12×1 + 1 = 13 )颗。
1．某个早晨,容器中有200个细菌,白天有光照,容器中的细菌将减少65个,夜间无光照,容器中的细菌将增加40个.则在第几个白天,容器中的细菌全部死亡？
2．按下面的摆法，摆一百个三角形，请问第100个三角形是什么颜色的？在这100个三角形中有多少个白色的三角形？
△△△▲▲▲△△△▲▲▲△△△▲▲▲……
3．流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红、再4个黄、再3个绿、在2个黑、再1个白，然后又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此继续涂下去，到第2003个小球该涂什么颜色？
4．甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊.甲第30次义诊是星期三，那么当丙首次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊几次了？
5．8个队员围成一圈做传球游戏，从⑴号开始，按顺时针方向向下一个人传球．在传球的同时，按顺序报数．当报到72时，球在几号队员手上？
6．桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问：最后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？
7．1999名学生从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某个同学报的数是一位数，后面的同学就要报出这个数与9的和；如果某个同学报的数是两位数，后面的同学就要报出这个数的个位数与6的和．现在让第一个同学报l，那么最后一个同学报的数是多少
8．某条道路上，每隔900米有一个红绿灯。所有的红绿灯都按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的时间周期同时重复变换。一辆汽车通过第一个红绿灯后，以怎样的速度行驶，可以在所有的红绿灯路口都遇到绿灯？
9．有一串数：1，1，2，3，5，8，…从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个数是5的倍数？
10．甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加1倍；经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？
11．节日的街上挂起了长长的一排彩灯，共2013盏．从第一盏开始，按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏蓝灯，2盏绿灯不断地排下去．问：
(1)第1982盏灯的颜色是什么？
(2)蓝灯共有多少盏？
12．图13中第一格内放着一个立方体木块，木块的六个面上分别写着A、B、C、D、E、F六个字母，其中A与D，B与E，C与F相对，且A面向上．如果木块沿着图中方格滚动，那么当木块滚到第21格进，木块向上的面是哪个字母？
13．正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔5米．甲、乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去（如下图），甲的速度是乙的2倍，甲在拐了两个弯之后的第5棵树与乙相遇（把角上的树看作第一棵树）．操场四周栽了多少棵树？
14．43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同．每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片．画片只有两种，3分一张和5分一张，每个人都尽量多买5分一张的画片．问他们所买的3分画片的总数是多少张？
15．在一条长100米的甬路两侧，从头到尾每隔2米栽一棵树，按2棵杨树，1棵柳树的规律栽，杨树，柳树各占植树总棵树的几分之几？
16．有、、三个蜂鸣器，每次持续鸣叫的时间比例是．每个蜂鸣器每次鸣叫完后停秒钟又开始鸣叫．最初三个蜂鸣器同时开始鸣叫，分钟后第二次同时开始鸣叫，此时蜂鸣器已是第次鸣叫了．问：最初同时开始鸣叫后的多少秒与第一次同时结束鸣叫？
17．紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如，，在9后面写2，，在2后面写8……得到一串数字：19892868…，问：这串数字从1开始，往右数，第l999个数字是几？这1999个数字的和是多少？
18．已知某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天数比星期日的天数多，那么这个月的5号是星期几？
19．如下图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影部分是圆形的水洼．一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿，它跃过水洼，飞到关于A点对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对称的2号位；接着，它飞到关于C点对称的3号位，再飞到关于A点对称的4号位，……，如此继续，一直对称地飞下去．由此推断，2004号位和0号位之间的距离是多少米？
20．如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，”，第二组是“们，”……
我 们 爱 科 学 我 们 爱 科 学 我 ……
……
⑴写出第62组是什么？
⑵如果“爱，”代表1991年，那么“科，”代表1992年……问2008年对应怎样的组？
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题23 周期问题
一、基本概念
周期问题是小升初奥数高频考点，指事物按一定规律重复出现的现象。重复出现的固定部分称为“周期”，周期包含的元素个数称为“周期长度”。解决周期问题的核心是找到周期规律，利用周期重复的特性简化计算。
关键要素：
1.周期序列：重复出现的固定内容（如图形、数字、文字等），例：△□○△□○...的周期序列是“△□○”。
2.周期长度：一个周期包含的元素个数，用字母 ( T ) 表示（上例中 ( T=3 )）。
3.总项数：需要研究的元素总个数，用字母 ( N ) 表示（如“求第20个图形”中 ( N=20 )）。
4.余数：总项数除以周期长度的剩余量，用字母 ( r ) 表示（若整除，余数 ( r=0 )，对应周期最后一个元素）。
二、核心公式（必背）
1.求周期数与余数
总项数除以周期长度，商是完整周期数，余数是剩余元素个数（余数为0时对应周期最后一个元素）。
2.求第( N )个元素
若)，第 ( N ) 个元素是周期序列中的第 ( r ) 个元素；
若 ( r = 0 )，第 ( N ) 个元素是周期序列中的第 ( T ) 个元素（即周期最后一个元素）。
3.求某元素出现次数
[
文字理解：先算完整周期中该元素出现的总次数，再加上剩余元素中该元素的个数。
三、核心解题方法
1.找周期法（基础）
观察序列特征，确定周期序列和周期长度。关键：从第一个元素开始，找到重复的起点和终点，避免漏看或错判周期（例：“ABACABAC...”的周期是“ABAC”，长度为4，而非“AB”）。
2.定起点法（进阶）
若序列从非第一个元素开始重复（如“XABABAB...”中“X”为非周期部分），需先排除非周期元素，再以周期起点计算总项数（例：求“XABABAB...”第10个元素，需先减1个非周期元素“X”，剩余9项按周期“AB”计算）。
3.余数分析法（核心）
计算总项数除以周期长度的余数，根据余数定位元素位置。注意：余数为0时对应周期最后一个元素，而非第0个元素。
4.分类讨论法（综合）
多个周期叠加时（如“图形周期+数字周期”），分别分析每个周期的规律，再结合问题综合求解。
四、常见题型
1.图形周期型：给出图形重复序列，求第( N )个图形或某图形出现次数（如△□○△□○...）。
2.数字周期型：给出数字数列，求第( N )个数或前( N )个数的和（如1,2,3,1,2,3...）。
3.日期周期型：结合星期、月份等时间规律，求某日期是星期几（如已知2024年1月1日是星期一，求10月1日是星期几）。
4.生活应用周期型：彩灯闪烁、报数游戏、生肖循环等实际场景问题（如“100盏灯按红、黄、蓝、绿顺序闪烁，第73盏灯是什么颜色”）。
一、基础题（找周期+余数分析）
例1：一串图形按“△□○△□○△□○...”排列，第20个图形是什么？
解题步骤：
1.找周期：周期序列是“△□○”，周期长度 ( T=3 )。
2.算余数：总项数（周期数）......( 2 )（余数），即 ( r=2 )。
3.定位元素：余数为2，对应周期序列中第2个元素“□”。
答案：第20个图形是□。
跟踪练习1：数字序列“1,3,5,1,3,5,1,3,5...”中，第30个数是多少？
答案：5
解析：周期序列“1,3,5”除，( r=0 )），对应周期最后一个元素“5”。
二、进阶题（定起点+求和）
例2：数列“2,5,3,2,5,3,2,5,3...”前40个数的和是多少？
解题步骤：
1.找周期：周期序列“2,5,3”，( T=3 )，一个周期的和为 ( 2+5+3=10 )。
2.算周期数与余数数），即13个完整周期，余1个数。
3.求和：总和 = 完整周期和×周期数 + 余数中数 = ( 10×13 + 2 = 132 )。
答案：前40个数的和是132。
跟踪练习2：图形序列“☆△□☆△□☆△□...”中，前25个图形中“△”出现了多少次？
答案：9次
解析：周期“☆△□”（( T=3期）......1（余数），每个周期“△”出现1次，余数中无“△”，共 ( 8×1=8 )次？（注意：25=3×8+1，余数1对应“☆”，所以“△”出现8次？此处原解析有误，正确应为8次，跟踪练习答案修正为8次）。
三、挑战题（逆向推理+生活应用）
例3：有一列数按规律排列，已知第1个是“a”，第2个是“b”，之后重复“a,b,c”，第50个数是“c”，求周期长度可能是多少？
解题步骤：
1.确定周期起点：前2个数“a,b”为非周期部分，从第3个数开始进入周期“a,b,c”，即周期起点为第3个数，此时剩余项数为 ( 50 - 2 = 48 )（项）。
2.逆向分析余数：第50个数是周期中的第 ( r ) 个元素，且为“c”（周期“a,b,c”中第3个元素），则 ( r=3 )。设周期长度为 ( T )，则 ( 48 \div T = k )（周期数）......( 3 )（余数），即 ( 48 = kT + 3 )，( kT=45 )。
3.求可能的( T )：( T ) 需大于余数3，且为45的因数，可能的 ( T=5,9,15,45 )（验证：若 ( T=5 )，周期“a,b,c,x,y”，第3个数起“a,b,c,x,y,a,b,c...”，第50个数：48÷5=9...3，第3个元素“c”，符合题意）。
答案：周期长度可能是5,9,15,45。
例4（生活应用）：2024年1月1日是星期一，2024年10月1日是星期几？（2024年是闰年，2月有29天）
解题步骤：
1.计算总天数：1月（31天）+2月（29天）+3月（31天）+4月（30天）+5月（31天）+6月（30天）+7月（31天）+8月（31天）+9月（30天）= 31+29=60，+31=91，+30=121，+31=152，+30=182，+31=213，+31=244，+30=274（天），即从1月1日到10月1日共274天。
2.确定周期：星期周期为7（周一到周日），周期序列“一、二、三、四、五、六、日”，( T=7 )。
3.算余数：( 274 \div 7 = 39 )（周期）......1（余数），余数1对应周期第1个元素“星期一”。
答案：2024年10月1日是星期一。
跟踪练习3：小明按“红、黄、蓝、绿”顺序穿珠子，共穿了50颗，其中红珠子有多少颗？
答案：13颗
解析：周期“红、黄、蓝、绿”（( T=4 )），周期）......2（余数），每个周期红珠子1颗，余数中第1颗是红珠子，共 ( 12×1 + 1 = 13 )颗。
1．某个早晨,容器中有200个细菌,白天有光照,容器中的细菌将减少65个,夜间无光照,容器中的细菌将增加40个.则在第几个白天,容器中的细菌全部死亡？
【答案】第7天
【分析】该题属于周期中的减少问题，即不完全按照周期回归.
【详解】一昼夜细菌减少65－40=25个
第6天的时候剩余细菌：200-25×6=50，则第7天就可.
2．按下面的摆法，摆一百个三角形，请问第100个三角形是什么颜色的？在这100个三角形中有多少个白色的三角形？
△△△▲▲▲△△△▲▲▲△△△▲▲▲……
【答案】黑色 51个
【详解】从图中可以看出，按照6个为一个周期，因为…4，所以第100个三角形应该是这一个周期当中的第四个，应该是黑色的．每个周期里有3个白色的，一共有16个周期就有48个白色三角形，余下的4个三角形中还有3个白色的，所以一共有个．
3．流水线上给小木球涂色的次序是：先5个红、再4个黄、再3个绿、在2个黑、再1个白，然后又依次是5红、4黄、3绿、2黑、1白……如此继续涂下去，到第2003个小球该涂什么颜色？
【答案】黄色
【详解】小木球的涂色顺序是：“5红、4黄、3绿、2黑、1白”，也就是每涂过“5红、4黄、3绿、2黑、1白”循环一次，给小木球涂色的一个周期是，因此只要用2003除以15，
…8根据余数是8就可以判断：第2003个小木球出现在上面所列一个周期中第8个，所以第2003个小球是涂黄色．
4．甲、乙、丙、丁四位医生依次每天轮流到农村卫生所义诊.甲第30次义诊是星期三，那么当丙首次在周日义诊时，丁医生已经下乡义诊几次了？
【答案】5次
【详解】甲第30次义诊是在总次数的第4×29+1=117（次），117÷7=16……5，从周三往前数5天，由周期性知甲第一次义诊时间是在星期六，甲前7次义诊分别是星期六、三、日、四、一、五、二 . 丙在周日义诊是甲周五义诊之后的两天，所以那是丙第6次去义诊.由于丁在丙后一天义诊，所以他已经去过5次.
5．8个队员围成一圈做传球游戏，从⑴号开始，按顺时针方向向下一个人传球．在传球的同时，按顺序报数．当报到72时，球在几号队员手上？
【答案】8号
【详解】将8名队员看作一组，每组报8个数，72个数可以分成几组：组，没有余数，球正好在一组的最后一位队员手中，因此球应该在8号队员手上．
6．桌子上摆了很多硬币，按一个一角，两个五角，三个一元的次序排列，一共19枚硬币．问：最后一个是多少钱的？第十四个是多少钱的？
【答案】一角 五角
【详解】…1
…2
所以,第19枚硬币是一角的,第14枚硬币是五角的．
7．1999名学生从前往后排成一列，按下面的规则报数：如果某个同学报的数是一位数，后面的同学就要报出这个数与9的和；如果某个同学报的数是两位数，后面的同学就要报出这个数的个位数与6的和．现在让第一个同学报l，那么最后一个同学报的数是多少
【答案】17
【详解】我们先写出几项，有1，10，6，17，13，9，18，14，10，6，17，…
不难看出从第2个数开始，每7个数存在10，6，17，13，9，18，14这样的循环．
而(1999－1)÷7＝285……3，所以最后一个同学报的是第285组数的第3个数，即17．
8．某条道路上，每隔900米有一个红绿灯。所有的红绿灯都按绿灯30秒、黄灯5秒、红灯25秒的时间周期同时重复变换。一辆汽车通过第一个红绿灯后，以怎样的速度行驶，可以在所有的红绿灯路口都遇到绿灯？
【答案】15米/秒
【分析】因为红绿灯变换的时间周期是60秒，所以要想让汽车在所有的红绿灯口都遇到绿灯，那么汽车通过第一个路口后，到下一个路口所花的时间必须是60秒。换句话说，只要60秒走900米，汽车就可以一路绿灯。根据路程＝速度×时间公式，速度＝路程÷时间计算即可。
【详解】900÷60＝15（米/秒）
答：汽车以每秒15米的速度行驶可以一路绿灯。
【点睛】本题考查学生利用除法计算来分析问题和解决问题的能力。
9．有一串数：1，1，2，3，5，8，…从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有几个数是5的倍数？
【答案】401
【分析】由同余定理可知，两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数，计算出这个数列中余数的周期，分析一个完整周期里有多少个数是5的倍数，再求出2009里面有多少个完整的周期，再根据余数确定不够一个完整周期时里面有多少个数能被5整除，据此解答。
【详解】由题意可知，这串数为：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987，1597，2584，4181，6765，17711，24476，42187，66663，108850，…
这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，…
分析可知，这串余数中每20个数为一个循环，且一个循环中每5个数中有五个数是5的倍数。
……4，则前2009个数中有401个是5的倍数。
答：有401个数是5的倍数。
【点睛】灵活运用同余定理是解答题目的关键。
10．甲和乙各有若干块糖，甲的糖数比乙少，每次操作由糖多的人给糖少的人一些糖，使其糖数增加1倍；经过2005次这样的操作以后，甲有10块糖，乙有8块糖，请问：两个人原来分别有多少块糖？
【答案】甲5乙13．
【详解】试题分析：本题中两人的糖数和为18，是偶数，那么两人每步手中的糖数有两种情况：全为偶、全为奇，据此列表分析解答即可．
解：
周期为6，2005÷6=334…1，说明2005次操作和一次操作的作用效果是相同的，
那么有两种情况：甲14乙4或甲5乙13，结合题中条件甲比乙少，可知甲5乙13．
点评：解答此题的关键是弄清操作周期，类似于周期性问题．
11．节日的街上挂起了长长的一排彩灯，共2013盏．从第一盏开始，按照5盏红灯，4盏黄灯，3盏蓝灯，2盏绿灯不断地排下去．问：
(1)第1982盏灯的颜色是什么？
(2)蓝灯共有多少盏？
【答案】（1）红色 （2）669盏
【详解】略
12．图13中第一格内放着一个立方体木块，木块的六个面上分别写着A、B、C、D、E、F六个字母，其中A与D，B与E，C与F相对，且A面向上．如果木块沿着图中方格滚动，那么当木块滚到第21格进，木块向上的面是哪个字母？
【答案】A
【详解】当木块沿着同一个方向滚动时，每滚动四格，会回到原来的状态．所以当木块向左滚动四格后，即在第五格的时候，状态与第一格一样．同理，当木块从第五格滚第九格时，最终状态也未改变．从而第1格、第5格、第9格、第13格、第17格、第21格的状态是一样的．因此，当木块滚到第21格时，木块向上的面是字母A．
13．正方形操场四周栽了一圈树，四个角上都栽了树，每两棵树相隔5米．甲、乙从一个角上同时出发，向不同的方向走去（如下图），甲的速度是乙的2倍，甲在拐了两个弯之后的第5棵树与乙相遇（把角上的树看作第一棵树）．操场四周栽了多少棵树？
【答案】24棵
【分析】封闭型植树问题,时间一定，路程比等于速度比
【详解】甲走了两个边长加上4个间距，乙走了两个边长减去4个间距，所以甲比乙多走了8个间距，而甲的速度是乙的2倍，所以走的路程也是乙的两倍，所以乙走了8个间距，所以一圈一共有8+8×2=24个间距，所以操场一圈一共有24个间距．操场四周一共栽了24棵树．
14．43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同．每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片．画片只有两种，3分一张和5分一张，每个人都尽量多买5分一张的画片．问他们所买的3分画片的总数是多少张？
【答案】84张
【分析】钱数与张数的关系列表如下：
从表中可以看出3分的张数正好循环，周期是5，由此解决问题．
【详解】43÷5=8…3，
所以3分画片有：（1+3+2+4）×8+1+3=84（张）
答：他们所买的3分画片的总数是84张．
15．在一条长100米的甬路两侧，从头到尾每隔2米栽一棵树，按2棵杨树，1棵柳树的规律栽，杨树，柳树各占植树总棵树的几分之几？
【答案】解：100÷2+1=51（棵）
51÷3=17（个周期）
柳树：17×1×2=34（棵）
杨树：17×2×2=68（棵）
34+68=102（棵）
34÷102=
68÷102=
答：柳树占植树总数的，杨树占植树总数的．
【详解】周期性问题
先考虑在公路一侧栽树的情况，两端都要栽，栽树的棵数=间隔数+1；再把3棵树看作一个周期，求出一侧植树的总棵数包含几个周期，进而分别求得两种树的棵数，再乘2求得两侧栽的棵数，最后分别用柳树、杨树的棵数除以植树总数即可．
16．有、、三个蜂鸣器，每次持续鸣叫的时间比例是．每个蜂鸣器每次鸣叫完后停秒钟又开始鸣叫．最初三个蜂鸣器同时开始鸣叫，分钟后第二次同时开始鸣叫，此时蜂鸣器已是第次鸣叫了．问：最初同时开始鸣叫后的多少秒与第一次同时结束鸣叫？
【答案】383秒
【详解】14分钟即秒，根据题意可知在840秒内蜂鸣器已经鸣叫了42次，也停了42次，那么蜂鸣器每一次鸣叫加停止的时间为秒，所以蜂鸣器每次鸣叫持续的时间为：秒，那么蜂鸣器每次鸣叫持续秒，蜂鸣器每次鸣叫持续秒，
则、两个蜂鸣器每次鸣叫加停止的时间分别为秒和秒，
由于，所以经过391秒之后与要第二次同时开始鸣叫，由于在此时与都停止鸣叫了8秒，所以与第一次同时结束鸣叫是在最初开始鸣叫之后的第秒．
17．紧接着1989后面写一串数字，写下的每一个数字都是它前面两个数字的乘积的个位数．例如，，在9后面写2，，在2后面写8……得到一串数字：19892868…，问：这串数字从1开始，往右数，第l999个数字是几？这1999个数字的和是多少？
【答案】6 11995
【分析】根据题意，写出这列数的前面部分数字：19892868842868842……除了开始的“1989”四个数字外，其余按“286884”周期出现，周期数为6个．
【详解】因为，所以，第l999个数字是6．
这1999个数字的和是：
18．已知某月中，星期二的天数比星期三的天数多，而星期一的天数比星期日的天数多，那么这个月的5号是星期几？
【答案】星期五
【分析】这道题表面看无从下手．实际上本题暗藏着一个重要条件：在一个月内，无论是星期几，它的天数只能是4或5，根据这个知识点，就可知道本月星期一，二都是5天，星期三，日都是4天．
【详解】用列表法可以得到答案．
所以这个月的5号是星期五．
19．如下图，是一片刚刚收割过的稻田，每个小正方形的边长是1米，A、B、C三点周围的阴影部分是圆形的水洼．一只小鸟飞来飞去，四处觅食，它最初停留在0号位，过了一会儿，它跃过水洼，飞到关于A点对称的1号位；不久，它又飞到关于B点对称的2号位；接着，它飞到关于C点对称的3号位，再飞到关于A点对称的4号位，……，如此继续，一直对称地飞下去．由此推断，2004号位和0号位之间的距离是多少米？
【答案】0米
【详解】根据题上给出的条件动手画图．四次再次回到0号位置．2004是4的倍数，所以第2004号位和0号位之间的距离是0米．
20．如图所示，每列上、下两个字（字母）组成一组，例如，第一组是“我，”，第二组是“们，”……
我 们 爱 科 学 我 们 爱 科 学 我 ……
……
⑴写出第62组是什么？
⑵如果“爱，”代表1991年，那么“科，”代表1992年……问2008年对应怎样的组？
【答案】（1）“们，” （2）“学，”
【分析】（1）要求第62组是什么数，我们要分别求出上、下两行是什么字（字母），上面一行是以“我们爱科学”五个字为一个周期，下面一行则是以“”七个字母为一个周期．
⑵2008是1991之后的第17组，现在上面一行按“科学我们爱”五个字为一个周期，下面一行则按“” 七个字母为一个周期．
【详解】（1）……2
……6
所以第62组是“们，”
⑵（组）
……2
……3
所以2008年对应的组为“学，”．
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