资源简介

专题28 行程中的变速及平均速度问题
一、基本概念
行程中的变速及平均速度问题是小升初奥数行程问题的重要内容，研究物体在运动过程中速度发生变化的规律，以及如何计算全程的平均速度。核心是理解“变速”的分段性和“平均速度”的本质。
关键要素：
1.变速点：运动过程中速度发生改变的时刻或位置（如“行驶1小时后加速”“行至中点后减速”）。
2.分段路程（s , s , ..., s ）：物体以不同速度行驶的各段路程，单位通常为米（m）或千米（km）。
3.分段时间（t , t , ..., t ）：物体在各段路程中所用的时间，单位为秒（s）、分钟（min）或小时（h）。
4.分段速度（v , v , ..., v ）：物体在各段路程中的运动速度，单位为米/秒（m/s）、千米/小时（km/h）等。
5.平均速度（v_avg）：物体全程的总路程与总时间的比值，反映全程运动的平均快慢程度，不是各段速度的算术平均值。
示例：一辆汽车先以60km/h的速度行驶2小时，再以80km/h的速度行驶3小时，此过程中存在2个变速点（出发时、2小时后），分段路程分别为120km和240km，总路程360km，总时间5小时，平均速度为72km/h。
二、核心公式（必背）
1.平均速度基本公式
平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，即：
文字理解：平均速度取决于全程的总路程和总时间，与各段速度的快慢无关，不能直接用“（v + v + ... + v ）÷ n”计算。
2.分段路程与时间公式
各段路程 = 该段速度 × 该段时间，即：
总时间 = 各段时间之和：
3.往返平均速度公式（特殊场景）
若物体往返于同一路程（去程路程 = 返程路程 = s），去程速度为v ，返程速度为v ，则往返平均速度为：
文字理解：往返平均速度等于“速度的调和平均数的2倍”，与路程s的具体值无关（可假设s为1或速度的公倍数简化计算）。
三、核心解题方法
1.分段计算法（基础）
将全程按变速点分为若干段，分别计算每段的路程（或时间），再求和得到总路程和总时间，最后代入平均速度公式求解。适用于变速点明确、各段速度/时间已知的题目。
2.假设法（进阶）
当题目未给出总路程时，可假设总路程为一个具体数值（通常设为各段速度的公倍数，如1、60、120等），简化计算。例如：“一辆车先以40km/h行驶，再以60km/h行驶，求全程平均速度”，可设总路程为120km（40和60的公倍数），分别计算两段时间。
3.方程法（复杂问题）
设未知量（如总路程、某段时间、变速点位置等），根据“总路程=各段路程之和”或“总时间=各段时间之和”列方程求解。适用于含多个未知量或变速点不明确的题目。
4.图表法（辅助分析）
画线段图标注各段路程、速度、时间，直观呈现运动过程，帮助梳理分段关系。尤其适用于“中途停留”“往返变速”等复杂场景。
四、常见题型
1.基础型：单一变速与平均速度计算
已知各段速度和对应时间（或路程），直接计算总路程和总时间，求平均速度。
2.进阶型：往返变速与平均速度
涉及往返运动，去程和返程速度不同，需用往返平均速度公式或分段计算法求解。
3.复杂型：含停留/变速点未知的变速问题
运动过程中包含停留（如“行驶1小时后休息20分钟”），或变速点位置未知（如“行至全程1/3处开始加速”），需分段分析时间或路程关系。
4.综合型：变速与相遇/追及结合
两人（或物体）在运动中均存在变速，需结合相遇（路程和=总距离）或追及（路程差=初始距离）公式，分段分析各阶段的运动状态。
一、基础题（分段计算法）
例1：一辆汽车从A地到B地，前2小时以50km/h的速度行驶，后3小时以70km/h的速度行驶。求全程的平均速度。
解题步骤：
1.确定分段：共2段，第一段：v =50km/h，t =2h；第二段：v =70km/h，t =3h。
2.计算总路程：s =50×2=100km，s =70×3=210km，s总=100+210=310km。
3.计算总时间：t总=2+3=5h。
4.求平均速度：
答案：62km/h。
跟踪练习1：小明跑步从家到学校，前10分钟以120m/min的速度跑，后5分钟以80m/min的速度走，求全程平均速度。
答案：106.7m/min（保留一位小数）。
解析：总路程=120×10 + 80×5=1200+400=1600m，
二、进阶题（假设法+往返平均速度）
例2：一辆汽车往返于A、B两地，去时速度为40km/h，返回时速度为60km/h，求往返全程的平均速度。
解题步骤：
1.假设总路程：设A、B两地距离为120km（40和60的最小公倍数，方便计算）。
2.计算去程时间：t =120÷40=3h。
3.计算返程时间：t =120÷60=2h。
4.总路程与总时间：s总=120×2=240km，t总=3+2=5h。
5.求平均速度：v_avg=240÷5=48km/h。
答案：48km/h。
技巧：直接用往返平均速度公式：v往返=2×40×60÷(40+60)=48km/h，结果一致。
例3：一段路分为上坡、平路、下坡三段，各段路程比为2:3:4，某人上坡、平路、下坡速度分别为4km/h、5km/h、6km/h，求全程平均速度。
解题步骤：
1.假设各段路程：设上坡2km，平路3km，下坡4km（按比例设值，简化计算）。
2.计算各段时间：t上坡=2÷4=0.5h，t平路=3÷5=0.6h，t下坡=4÷6≈0.67h。
3.总路程与总时间：s总=2+3+4=9km，t总=0.5+0.6+0.67≈1.77h。
4.求平均速度：v_avg=9÷1.77≈5.08km/h（保留两位小数）。
答案：约5.08km/h。
三、挑战题（方程法+含停留的变速追及）
例4：甲、乙两人从同一地点出发前往3000米外的终点，甲先以100m/min的速度跑5分钟，然后休息2分钟，之后以120m/min的速度继续跑；乙始终以80m/min的速度匀速跑。问乙是否能在甲到达终点前追上甲？若能，追上时距起点多远？
解题步骤：
1.分段分析甲的运动：
第一段（0-5min）：跑100×5=500m，位置：500m，时间：5min。
第二段（5-7min）：休息，位置不变（500m），时间：2min（总时间7min）。
第三段（7min后）：速度120m/min，剩余路程3000-500=2500m，需时间2500÷120≈20.83min，甲总时间≈5+2+20.83=27.83min。
2.乙的运动：速度80m/min，若乙追上甲，设追上时间为t min（t>7min，因甲前7min仅跑500m，乙7min跑80×7=560m>500m，故追上在甲休息后）。
乙路程：80t。
甲路程：500 + 120(t-7)（t-7为第三段运动时间）。
追上时路程相等：80t = 500 + 120(t-7)
解方程：80t=500+120t-840 → 40t=340 → t=8.5min。
3.验证乙是否在甲到达前追上：甲总时间≈27.83min，乙追上时间8.5min<27.83min，能追上。
4.追上时距起点距离：80×8.5=680m。
答案：能追上，距起点680米。
跟踪练习3：一辆货车从A地到B地，前1小时以40km/h行驶，之后因故障停留15分钟，故障排除后以50km/h行驶，全程共用3小时。求A、B两地距离及全程平均速度。
答案：距离115km，平均速度38.3km/h。
解析：故障后行驶时间=3-1-0.25=1.75h，故障后路程=50×1.75=87.5km，总路程=40×1+87.5=115km，平均速度=115÷3≈38.3km/h。
1．某人从A地到B地，如果行进速度比原计划提高，就可以比预定时间早到20分钟。如果按原速行进72千米，再将速度提高，就可以比预定时间早到30分钟，求AB两地之间的距离。
【答案】180千米
【分析】第一种情况，车速即比原计划的速度提高了，即车速与原计划的车速比为10∶9，则所用时间比为9∶10，即比原计划少用1份的时间，对应20分钟，所以20分钟等于原计划时间的1份，原计划时间为：÷（10－9）×10＝（小时）；第二种情况下，按原计划的速度行驶72千米后，将车速提高，即此后车速与原来的车速比为4∶3，则此后所用时间与原计划的时间比为3∶4，即此后比原计划少用1份的时间，所以30分等于按原计划的速度行驶280千米后余下时间的1份，则按原计划的速度行驶 280 千米后余下的时间为：
÷（4－3）×4＝2（小时），所以，原计划的速度为：72÷（－2）＝54（千米/时），AB两地间的路程为：54×＝180（千米）
【详解】20分钟＝小时＝小时
第一种情况下：实际车速∶原计划车速＝10∶9
根据路程一定，速度和时间成反比
实际用时∶原计划用时＝9∶10
原计划用时＝÷（10－9）×10＝（小时）
第二种情况下，行了72千米后
实际车速∶原计划车速＝4∶3
实际用时∶原计划用时＝3∶4
原计划用时＝÷（4－3）×4＝2（小时）
即前72千米用时：－2＝（小时）
原计划速度：72÷＝54（千米/小时）
全程：54×＝180（千米）
答：AB两地间的路程是180千米。
2．有一座桥，过桥需先上坡，再走一段平路，再下坡，并且上坡、平路、下坡的路程相等，都是60米，笑笑骑自行车过桥时，上坡、平路、下坡的速度分别是3米/秒、4米/秒、6米/秒，求笑笑过桥的平均速度？
【答案】4米/秒
【分析】根据平均速度＝总路程÷总时间，先分别求出上坡、平路、下坡的时间，从而得到总时间，然后用总路程60×3＝180米，除以总时间即可。
【详解】上坡时间：60÷3＝20（秒）
平路时间：60÷4＝15（秒）
下坡时间：60÷6＝10（秒）
总时间：20＋15＋10＝45（秒）
总路程：60×3＝180（米）
平均速度：180÷45＝4（米/秒）
答：笑笑过桥的平均速度4米/秒。
3．一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20%可以提前1小时到达，如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30%，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？
【答案】
【分析】车速提高20%，即实际速度与原速度的比是6∶5，那么实际所用时间与原计划所用时间比为5∶6，所以原定时间为小时；如果按原速行驶一段距离后再提速30%，此时实际速度与原速度的比是13∶10，实际所用时间与原来所用时间的比是10∶13，所以按原速度后面这段路程需要的时间为小时．所以前面按原速度行使的时间为小时，根据速度一定，路程比等于时间之比，按原速行驶了全部路程的
【详解】第一次车速提高20%，实际车速∶原计划车速＝6∶5
根据路程一定，速度和时间成反比
实际用时∶计划用时＝5∶6
计划用时＝（小时）
第二次，按原速行驶一段路程后，提速30%，
此时，实际速度与原速度的比是13∶10
实际所用时间∶原来所用时间＝10∶13
后面这段路，原计划用时＝（小时）
前面那段路按原速度行使的时间为：小时
根据速度一定，路程比等于时间之比
按原速行驶了全部路程的
答：按原速行驶了全部路程的。
4．一辆车从甲地开往乙地。如果把车速减少10%，那么要比原定时间迟1小时到达，如果以原速行驶180千米，再把车速提高20%，那么可比原定时间早1小时到达。甲、乙两地之间的距离是多少千米？
【答案】540千米
【分析】构造均提前1小时的速度比和路程比相等的关系。
如果速度为原来的（1－10%）÷（1－10%×2）＝，就会提前1小时。如果速度为原来的1＋20%＝，也提前1小时能多行 180×20%＝36千米。所以甲乙两地之间的距离是36÷（÷－1）＝540千米。
【详解】（1－10%）÷（1－10%×2）＝；1＋20%＝
180×20%÷（÷－1）
＝36÷（÷－1）
＝36×15
＝540（千米）
答：甲、乙两地之间的距离是540千米。
【点睛】此题为较复杂的变速问题，用假设法找路程和速度之间的关系。
5．一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，则可提前到达；如果以原来速度行驶100千米后，再将速度提高30%，恰巧也可以提前同样的时间到达。甲、乙两地相距多少千米？
【答案】360千米
【分析】思路一：假设提前的时间是 1 份，原定时间是 1÷20%＋1＝6 份，行100 千米后提速30%，如果原速行需要 1÷30%＋1＝份的时间，占总时间的 ÷6＝，说明 100 千米占总路程的 1－＝，两地相距 100÷＝360 千米。
思路二：如果100 千米也提速 30%来行，用和提速 20%相同的时间，可以多行 100×30%＝30 千米。两次的路程比就是（1＋30%）∶（ 1＋20%）＝13∶12，那么全程就是 30÷（13－12）×12＝360 千米。
【详解】方法一：1÷20%＋1＝6；1÷30%＋1＝；
100÷（1－÷6）
＝100÷
＝360（千米）
方法二：（1＋30%）∶（ 1＋20%）＝13∶12
100×30%÷（13－12）×12
＝30÷1×12
＝360（千米）
答：甲、乙两地相距360千米。
【点睛】解答此类变速问题，既可以从时间方面来思考，也可以通过路程方面来思考，找出跟数量100千米相关的分率信息是解题关键。
6．冬冬家离学校3200m，有一次他以每分钟200m的骑车速度去学校上课，骑几分钟后发现如果以这样的速度骑下去一定会迟到，他马上改用每分钟250m的速度前进，途中共用了15分钟，准时到达学校．问：冬冬是在离学校多远的地方加速的？
【答案】离学校1000米处
【解析】略
7．从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路．一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米．车从甲地开往乙地需9时，从乙地到甲地需7时．问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？
【答案】210千米，140千米
【详解】解：从甲地到乙地的上坡路，就是从乙地到甲地的下坡路；从甲地到乙地下坡路，就是从乙地到甲地的上坡路．设从甲地到乙地的上坡路为x千米，下坡路为y千米，依题意得
①＋②，得(x+y)(+)=16.5
x+y=210
将y=210－x代入①式，得
=9
解得x＝140．
答：甲、乙两地间的公路有210千米，从甲地到乙地须行驶140千米的上坡路．
8．一条路全长为30公里，分为上坡、平路和下坡三段，各段路程长的比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的时间之比是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3公里。问此人走完全程共用了多少时间？
【答案】小时
【分析】根据各段路程长的比和一条路全长，求出上坡路的路程，再用上坡路的路程除以他上坡的速度，求出上坡的时间，再用上坡的时间除以上坡所占总时间的几分之几，即可求出此人走完全程的时间。
【详解】上坡路的路程为（公里）
走上坡路所用的时间为（小时）
上坡路所用时间与全程所用时间为
走完全程所用的时间为（小时）
答：此人走完全程共用小时。
【点睛】能够理解各条件之间的数量的关系，明确先算出上坡的路程，再求出上坡的时间，然后根据所用的时间比，求出总时间是解决本题关键。
9．一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去，在一开始的120千米内平均速度为40千米/小时，要使这辆车从甲地到乙地的平均速度为每小时50千米，那么剩下的路程应该以什么速度行驶？
【答案】60千米/小时
【分析】根据题意，可知剩余路程为300－120＝180（千米），这辆车路上花的总时间为300÷50＝6（小时），前120千米已经花了120÷40＝3（小时），所以剩下的180千米的路程只能在3小时内走完，再用剩下的路程除以3小时即可。
【详解】300－120＝180（千米）；
300÷50＝6（小时）；
180÷（6－120÷40）
＝180÷3
＝60（千米/小时）；
答：剩下的路程应该以60千米/小时的速度行驶。
【点睛】求出剩下的路程和还需要的时间是解答本题的关键。
10．有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等．某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为4米／秒、6米／秒和8米／秒，求他过桥的平均速度．
【答案】米/秒
【详解】要求平均速度必须知道总路程和总时间，在总路程未知的情况下，可以假设总路程，化未知为已知．
解：假设上坡、平路、下坡的长度都是“1个单位”：那么上坡、平路、下坡所花时间依次为：；；．
所花的总时间为：，总路程为：，所以他过桥的平均速度为：（米/秒）
【点睛】本道题中假设的单位长度可以随意，例如可以假设上坡、平路、下坡的长度为“24个单位”，因为24是4、6、8的最小公倍数，所以计算出来各段时间都是整数，这样更方便于计算．
11．大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？
【答案】18米
【详解】大头儿子和小头爸爸的速度和：(米/分钟)，小头爸爸的速度：(米/分钟)，大头儿子的速度：(米/分钟)．
12．小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。小明上学走两条路所用的时间一样多。已知下坡的速度是平路的2倍，那么平路的速度是上坡的多少倍？
【答案】倍
【分析】本题主要考查学生运用代数思想解决时间问题的能力，将题中所给出的内容通过代数的形式展示出来，从而解答此题。
【详解】方法一：设路程为80，则上坡和下坡均是40。设走平路的速度是2，则下坡速度是4。走下坡用时间，走平路一共用时间，所以走上坡时间是，走与上坡同样距离的平路时用时间：。因为速度与时间成反比，所以平路速度是上坡速度的（倍）。
方法二：因为距离和时间都相同，所以平均速度也相同，又因为上坡和下坡路各一半也相同，设距离是1份，时间是1份，则下坡时间，上坡时间，上坡速度，则平路速度是上坡速度的（倍）。
方法三：因为距离和时间都相同，所以路程上坡速度路程路程，得上坡速度，则平路速度是上坡速度的（倍）。
方法四：设总路程为2S，平路速度为v，那么平路时间为2S÷v，下坡时间为：S÷2v。上坡时间为：2S÷v－S÷2v。上坡速度就是：S÷（2S÷v－S÷2v）＝23v，则平路速度是上坡速度的v÷23v＝1.5（倍）。
【点睛】本题解答的重点在于学生需要学会将题中所给出的已知的内容转化为代数的形式。
13．汽车往返于A，B两地，去时速度为40千米／时，要想来回的平均速度为48千米／时，回来时的速度应为多少？
【答案】60千米/小时
【详解】① 参数法：设A、B两地相距S千米，列式为S÷(2S÷48-S÷40)=60千米.
② 最小公倍法：路程2倍既是48的倍数又是40的倍数，所以可以假设路程为〔48，40〕=240千米.根据公式变形可得 240÷2÷（240÷48-240÷2÷40）=60千米.
14．飞机以720千米／时的速度从甲地到乙地，到达后立即以480千米／时的速度返回甲地.求该飞机的平均速度.
【答案】576千米/小时
【详解】设两地距离为：（千米），从甲地到乙地的时间为：（小时），从乙地到甲地的时间为：（小时），所以该飞机的平均速度为：（千米）．
15．小明准时从家出发，以3.6千米/时的速度从家步行去学校，恰好提前5分钟到校．某天，当他走了1.2千米，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课，后来算了一下，如果小明从家开始就跑步，可以比一直步行早15分钟到学校．那么他家离学校多少千米？小明跑步的速度是每小时多少千米？
【答案】他家离学校1.8千米，小明跑步的速度是每小时7.2千米．
【详解】试题分析：设他家离学校的距离S千米，跑步速度为每小时V千米，根据题意，列出等式：…①，…②，据此，分别求出小明跑步的速度、他家离学校的距离即可．
解：设他家离学校的距离S千米，跑步速度为每小时V千米，
则…①，
…②，
由①，可得=…③，
由②，可得=…④，
由③④，可得=，
解得V=7.2，
把V=7.2代入①，可得S=1.8千米．
即他家离学校1.8千米，小明跑步的速度是每小时7.2千米．
答：他家离学校1.8千米，小明跑步的速度是每小时7.2千米．
点评：此题主要考查了行程问题中速度、时间和路程的关系：速度×时间=路程，路程÷时间=速度，路程÷速度=时间，要熟练掌握．
16．张师傅开汽车从A到B为平地（见下图），车速是36千米／时；从B到C为上山路，车速是28千米／时；从C到D为下山路，车速是42千米／时，已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，张师傅开车从A到D共需要多少时间？
【答案】2小时
【分析】本题主要考查学生运用方程思想解决实际问题的能力，将题中所给出的内容通过方程的形式展示出来，从而解答此题。
【详解】方法一：设BC距离为：（千米），所以CD距离为（千米），那么B－C－D的平均速度为：
（84＋168）÷（84÷28＋168÷42）
＝252÷（3＋4）
＝252÷7
＝36（千米/小时）
和平路的速度恰好相等，说明A－B－C－D的平均速度为36千米/小时，所以从A－D共需要的时间为：（小时）
方法二：设上山路为千米，下山路为千米，则上下山的平均速度是：
（x＋2x）÷（x÷28＋2x÷42）
＝3x÷（＋ ）
＝36（千米/时）
正好是平地的速度，所以行总路程的平均速度就是36千米/时，与平地路程的长短无关。因此共需要72÷36＝2（小时）。
【点睛】本题解答的重点在于学生需要学会将题中所给出的已知的内容转化为方程的形式。
17．小王每天用每小时15千米的速度骑车去学校，这一天由于逆风，开始三分之一路程的速度是每小时10千米，那么剩下的路程应该以怎样的速度才能与平时到校所用的时间相同？
【答案】20千米/小时
【详解】由于要求大风天和平时到校时间所用时间相同，在距离不变的情况下，平时的15千米/小时相当于平均速度.若能再把总路程“任我意”出来，在已知总距离和平均速度的情况下，总时间是可求的，例如假设总路程是30千米，从而总时间为小时.开始的三分之一路程则为10千米，所用时间为小时，可见剩下的20千米应用时1小时，从而其速度应为20千米/小时.
18．如图：从A到B是0.5千米的上坡路，从B到C是3千米的平路，从C到D是2.5千米的上坡路，下坡路速度都是每小时6千米，平路上速度都是每小时4千米，上坡速度都是每小时3千米，如果小张和小王分别从A、D两地同时出发，相向步行，几小时两人相遇？
【答案】小时
【详解】小张上坡用时：（小时）；
小王下坡用时：（小时）；
小张先走平路：（千米）；
小张和小王同时走平路：（小时）；
相遇时间：（小时）；
故答案为小时.
【点睛】此题条件较复杂，注意理清思路，细细分析．本题的难点在于：当小张走完0.5千米的上坡路时，小王还没有走完2.5千米的下坡路，在小王走下坡路的同时，小张先走平路千米，这个地方比较难理解．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题28 行程中的变速及平均速度问题
一、基本概念
行程中的变速及平均速度问题是小升初奥数行程问题的重要内容，研究物体在运动过程中速度发生变化的规律，以及如何计算全程的平均速度。核心是理解“变速”的分段性和“平均速度”的本质。
关键要素：
1.变速点：运动过程中速度发生改变的时刻或位置（如“行驶1小时后加速”“行至中点后减速”）。
2.分段路程（s , s , ..., s ）：物体以不同速度行驶的各段路程，单位通常为米（m）或千米（km）。
3.分段时间（t , t , ..., t ）：物体在各段路程中所用的时间，单位为秒（s）、分钟（min）或小时（h）。
4.分段速度（v , v , ..., v ）：物体在各段路程中的运动速度，单位为米/秒（m/s）、千米/小时（km/h）等。
5.平均速度（v_avg）：物体全程的总路程与总时间的比值，反映全程运动的平均快慢程度，不是各段速度的算术平均值。
示例：一辆汽车先以60km/h的速度行驶2小时，再以80km/h的速度行驶3小时，此过程中存在2个变速点（出发时、2小时后），分段路程分别为120km和240km，总路程360km，总时间5小时，平均速度为72km/h。
二、核心公式（必背）
1.平均速度基本公式
平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，即：
文字理解：平均速度取决于全程的总路程和总时间，与各段速度的快慢无关，不能直接用“（v + v + ... + v ）÷ n”计算。
2.分段路程与时间公式
各段路程 = 该段速度 × 该段时间，即：
总时间 = 各段时间之和：
3.往返平均速度公式（特殊场景）
若物体往返于同一路程（去程路程 = 返程路程 = s），去程速度为v ，返程速度为v ，则往返平均速度为：
文字理解：往返平均速度等于“速度的调和平均数的2倍”，与路程s的具体值无关（可假设s为1或速度的公倍数简化计算）。
三、核心解题方法
1.分段计算法（基础）
将全程按变速点分为若干段，分别计算每段的路程（或时间），再求和得到总路程和总时间，最后代入平均速度公式求解。适用于变速点明确、各段速度/时间已知的题目。
2.假设法（进阶）
当题目未给出总路程时，可假设总路程为一个具体数值（通常设为各段速度的公倍数，如1、60、120等），简化计算。例如：“一辆车先以40km/h行驶，再以60km/h行驶，求全程平均速度”，可设总路程为120km（40和60的公倍数），分别计算两段时间。
3.方程法（复杂问题）
设未知量（如总路程、某段时间、变速点位置等），根据“总路程=各段路程之和”或“总时间=各段时间之和”列方程求解。适用于含多个未知量或变速点不明确的题目。
4.图表法（辅助分析）
画线段图标注各段路程、速度、时间，直观呈现运动过程，帮助梳理分段关系。尤其适用于“中途停留”“往返变速”等复杂场景。
四、常见题型
1.基础型：单一变速与平均速度计算
已知各段速度和对应时间（或路程），直接计算总路程和总时间，求平均速度。
2.进阶型：往返变速与平均速度
涉及往返运动，去程和返程速度不同，需用往返平均速度公式或分段计算法求解。
3.复杂型：含停留/变速点未知的变速问题
运动过程中包含停留（如“行驶1小时后休息20分钟”），或变速点位置未知（如“行至全程1/3处开始加速”），需分段分析时间或路程关系。
4.综合型：变速与相遇/追及结合
两人（或物体）在运动中均存在变速，需结合相遇（路程和=总距离）或追及（路程差=初始距离）公式，分段分析各阶段的运动状态。
一、基础题（分段计算法）
例1：一辆汽车从A地到B地，前2小时以50km/h的速度行驶，后3小时以70km/h的速度行驶。求全程的平均速度。
解题步骤：
1.确定分段：共2段，第一段：v =50km/h，t =2h；第二段：v =70km/h，t =3h。
2.计算总路程：s =50×2=100km，s =70×3=210km，s总=100+210=310km。
3.计算总时间：t总=2+3=5h。
4.求平均速度：
答案：62km/h。
跟踪练习1：小明跑步从家到学校，前10分钟以120m/min的速度跑，后5分钟以80m/min的速度走，求全程平均速度。
答案：106.7m/min（保留一位小数）。
解析：总路程=120×10 + 80×5=1200+400=1600m，
二、进阶题（假设法+往返平均速度）
例2：一辆汽车往返于A、B两地，去时速度为40km/h，返回时速度为60km/h，求往返全程的平均速度。
解题步骤：
1.假设总路程：设A、B两地距离为120km（40和60的最小公倍数，方便计算）。
2.计算去程时间：t =120÷40=3h。
3.计算返程时间：t =120÷60=2h。
4.总路程与总时间：s总=120×2=240km，t总=3+2=5h。
5.求平均速度：v_avg=240÷5=48km/h。
答案：48km/h。
技巧：直接用往返平均速度公式：v往返=2×40×60÷(40+60)=48km/h，结果一致。
例3：一段路分为上坡、平路、下坡三段，各段路程比为2:3:4，某人上坡、平路、下坡速度分别为4km/h、5km/h、6km/h，求全程平均速度。
解题步骤：
1.假设各段路程：设上坡2km，平路3km，下坡4km（按比例设值，简化计算）。
2.计算各段时间：t上坡=2÷4=0.5h，t平路=3÷5=0.6h，t下坡=4÷6≈0.67h。
3.总路程与总时间：s总=2+3+4=9km，t总=0.5+0.6+0.67≈1.77h。
4.求平均速度：v_avg=9÷1.77≈5.08km/h（保留两位小数）。
答案：约5.08km/h。
三、挑战题（方程法+含停留的变速追及）
例4：甲、乙两人从同一地点出发前往3000米外的终点，甲先以100m/min的速度跑5分钟，然后休息2分钟，之后以120m/min的速度继续跑；乙始终以80m/min的速度匀速跑。问乙是否能在甲到达终点前追上甲？若能，追上时距起点多远？
解题步骤：
1.分段分析甲的运动：
第一段（0-5min）：跑100×5=500m，位置：500m，时间：5min。
第二段（5-7min）：休息，位置不变（500m），时间：2min（总时间7min）。
第三段（7min后）：速度120m/min，剩余路程3000-500=2500m，需时间2500÷120≈20.83min，甲总时间≈5+2+20.83=27.83min。
2.乙的运动：速度80m/min，若乙追上甲，设追上时间为t min（t>7min，因甲前7min仅跑500m，乙7min跑80×7=560m>500m，故追上在甲休息后）。
乙路程：80t。
甲路程：500 + 120(t-7)（t-7为第三段运动时间）。
追上时路程相等：80t = 500 + 120(t-7)
解方程：80t=500+120t-840 → 40t=340 → t=8.5min。
3.验证乙是否在甲到达前追上：甲总时间≈27.83min，乙追上时间8.5min<27.83min，能追上。
4.追上时距起点距离：80×8.5=680m。
答案：能追上，距起点680米。
跟踪练习3：一辆货车从A地到B地，前1小时以40km/h行驶，之后因故障停留15分钟，故障排除后以50km/h行驶，全程共用3小时。求A、B两地距离及全程平均速度。
答案：距离115km，平均速度38.3km/h。
解析：故障后行驶时间=3-1-0.25=1.75h，故障后路程=50×1.75=87.5km，总路程=40×1+87.5=115km，平均速度=115÷3≈38.3km/h。
1．某人从A地到B地，如果行进速度比原计划提高，就可以比预定时间早到20分钟。如果按原速行进72千米，再将速度提高，就可以比预定时间早到30分钟，求AB两地之间的距离。
2．有一座桥，过桥需先上坡，再走一段平路，再下坡，并且上坡、平路、下坡的路程相等，都是60米，笑笑骑自行车过桥时，上坡、平路、下坡的速度分别是3米/秒、4米/秒、6米/秒，求笑笑过桥的平均速度？
3．一辆汽车从甲地开往乙地，如果车速提高20%可以提前1小时到达，如果按原速行驶一段距离后，再将速度提高30%，也可以提前1小时到达，那么按原速行驶了全部路程的几分之几？
4．一辆车从甲地开往乙地。如果把车速减少10%，那么要比原定时间迟1小时到达，如果以原速行驶180千米，再把车速提高20%，那么可比原定时间早1小时到达。甲、乙两地之间的距离是多少千米？
5．一辆汽车从甲地开往乙地，如果把车速提高20%，则可提前到达；如果以原来速度行驶100千米后，再将速度提高30%，恰巧也可以提前同样的时间到达。甲、乙两地相距多少千米？
6．冬冬家离学校3200m，有一次他以每分钟200m的骑车速度去学校上课，骑几分钟后发现如果以这样的速度骑下去一定会迟到，他马上改用每分钟250m的速度前进，途中共用了15分钟，准时到达学校．问：冬冬是在离学校多远的地方加速的？
7．从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路．一辆汽车上坡时每小时行驶20千米，下坡时每小时行驶35千米．车从甲地开往乙地需9时，从乙地到甲地需7时．问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？
8．一条路全长为30公里，分为上坡、平路和下坡三段，各段路程长的比是1∶2∶3，某人走各段路程所用的时间之比是4∶5∶6，已知他上坡的速度是每小时3公里。问此人走完全程共用了多少时间？
9．一辆汽车从甲地出发到300千米外的乙地去，在一开始的120千米内平均速度为40千米/小时，要使这辆车从甲地到乙地的平均速度为每小时50千米，那么剩下的路程应该以什么速度行驶？
10．有一座桥，过桥需要先上坡，再走一段平路，最后下坡，并且上坡、平路及下坡的路程相等．某人骑自行车过桥时，上坡、走平路和下坡的速度分别为4米／秒、6米／秒和8米／秒，求他过桥的平均速度．
11．大头儿子的家距离学校3000米，小头爸爸从家去学校接大头儿子放学，大头儿子从学校回家，他们同时出发，小头爸爸每分钟比大头儿子多走24米，50分钟后两人相遇，那么大头儿子的速度是每分钟走多少米？
12．小明从家到学校有两条一样长的路，一条是平路，另一条是一半上坡路、一半下坡路。小明上学走两条路所用的时间一样多。已知下坡的速度是平路的2倍，那么平路的速度是上坡的多少倍？
13．汽车往返于A，B两地，去时速度为40千米／时，要想来回的平均速度为48千米／时，回来时的速度应为多少？
14．飞机以720千米／时的速度从甲地到乙地，到达后立即以480千米／时的速度返回甲地.求该飞机的平均速度.
15．小明准时从家出发，以3.6千米/时的速度从家步行去学校，恰好提前5分钟到校．某天，当他走了1.2千米，发现手表慢了10分钟，因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课，后来算了一下，如果小明从家开始就跑步，可以比一直步行早15分钟到学校．那么他家离学校多少千米？小明跑步的速度是每小时多少千米？
16．张师傅开汽车从A到B为平地（见下图），车速是36千米／时；从B到C为上山路，车速是28千米／时；从C到D为下山路，车速是42千米／时，已知下山路是上山路的2倍，从A到D全程为72千米，张师傅开车从A到D共需要多少时间？
17．小王每天用每小时15千米的速度骑车去学校，这一天由于逆风，开始三分之一路程的速度是每小时10千米，那么剩下的路程应该以怎样的速度才能与平时到校所用的时间相同？
18．如图：从A到B是0.5千米的上坡路，从B到C是3千米的平路，从C到D是2.5千米的上坡路，下坡路速度都是每小时6千米，平路上速度都是每小时4千米，上坡速度都是每小时3千米，如果小张和小王分别从A、D两地同时出发，相向步行，几小时两人相遇？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑