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专题35 时钟问题
一、基本概念
时钟问题通常出现在小升初奥数的“行程问题”板块，核心是将时钟的指针运动转化为“追及问题”来处理。
时针 (Hour Hand)：走得慢的指针。12小时转一圈（360度），每小时走30度，每分钟走0.5度。
分针 (Minute Hand)：走得快的指针。1小时转一圈（360度），每分钟走6度。
核心逻辑：分针每分钟比时针多走 度。这个差值是解决时钟问题的“黄金钥匙”。
二、 常见题型分类
重合问题：时针与分针在什么时刻重合？（夹角为0度）
成直线问题：时针与分针在什么时刻成180度（反向成直线）？
成直角问题：时针与分针在什么时刻成90度（互相垂直）？
求时间问题：已知夹角，求具体时刻。
快慢钟问题：一个钟表走快了或走慢了，求标准时间或误差时间。
三、 核心公式（必背）
（1）角度计算公式
分针角度 =
时针角度 =
夹角公式 =
注意：如果计算出的夹角大于180度，需要用 夹角，取较小的那个角。
（2）追及问题公式（求时刻）
解决“几时几分，两针夹角为X度”的通用公式：
重合（追上）：初始角度差 =
成直线（相差180度）：初始角度差 =
成直角（相差90度）：初始角度差 =
四、快慢钟问题核心逻辑
比例法：快慢钟每小时快（或慢）的分钟数是固定的。
公式：
五、 核心解题方法
1. 度数转化法（基础）
这是解决标准时钟问题的“万能钥匙”。
步骤：
① 确定起始时刻（通常是整点），计算此时时针与分针的夹角（初始路程）。
② 确定目标状态（重合、成直线、成直角等），计算需要追及的总路程。
③ 利用速度差 ，计算所需时间 。
④ 得出具体时刻。
2. 代数方程法（进阶）
当题目涉及复杂的夹角或非整点起始时使用。
步骤：
① 设经过 分钟。
② 列出时针角度表达式和分针角度表达式。
③ 根据题意（如差值为90度）列方程求解。
3. 比例估算法（快慢钟）
步骤：
① 找出坏钟与标准钟的速度比。
② 根据坏钟显示经过的时间，推算出标准时间经过的时间。
一、 基础题（整点追及）
例 1： 3点整的时候，时针与分针的夹角是90度。请问：3点多少分时，时针与分针第一次重合？
解题步骤：
1.确定类型：整点出发的追及问题（重合）。
2.分析初始状态：3点整时，时针在 处，分针在 处。分针落后时针 。
3.确定追及路程：要重合，分针必须追上这 的差距。
4.计算时间：
速度差 =
时间
（分）
5.答案：3点 分时，两针第一次重合。
跟踪练习 1： 4点整时，时针与分针成120度角。请问：4点多少分时，时针与分针成一条直线（180度）？
答案提示：分针需要比时针多走 度。 分。
二、 进阶题（成直角问题）
例 2： 在9点与10点之间，什么时刻时针与分针互相垂直（成90度角）？
解题步骤：
1.确定类型：非整点重合，成直角问题。注意：一小时内通常有2次垂直。
2.分析初始状态：9点整时，时针在 （或看作领先分针 的另一侧，即 ），分针在 。
3.分析过程：
第一次垂直：分针追上时针，使得夹角缩小到 。
追及路程 =
（分）
第二次垂直：分针超过时针，使得夹角拉开到 。
追及路程 =
（分）（注：此时间超过60分，实际在10点后，故9点到10点之间只有一次垂直）
4.答案：9点 分时，两针互相垂直。
跟踪练习 2： 从时针指向4点开始，经过多少分钟，时针与分针第一次重合？
答案提示：4点整，时针领先 。 分。
三、 挑战题（快慢钟问题）
例 3： 小明家有一个钟，每小时慢2分钟。早上9点整，小明把钟对准了标准时间。请问：当这个钟走到中午12点整时，标准时间是几点几分？
解题步骤：
1.确定类型：快慢钟问题（比例法）。
2.分析速度比：
标准钟：60分钟走一圈（标准）。
坏钟：58分钟走一圈（因为每小时慢2分）。
速度比（坏钟 : 标准钟）=
3.计算经过时间：
坏钟从9点走到12点，经过了3小时 = 180分钟。
设标准钟经过了 分钟。
根据比例：
解得：
分钟。
4.换算时刻：
186.2分钟 = 3小时6.2分钟 3小时6分12秒。
标准时间 = 9:00 + 3小时6分 = 12点06分。
5.答案：标准时间是12点06分。
跟踪练习 3： 一个钟每小时快3分钟。在中午12点把它校准。当标准时间是下午5点时，这个钟显示的是几点几分？
答案提示：标准钟走了5小时=300分。坏钟速度：63分/小时。比例： 。解得 分 = 5小时15分。钟显示 12+5:15 = 17:15。
1．有三个古董钟，它们的时针都掉了，只剩下分针，且都走得较快，这三个钟每小时分别快了3分钟、6分钟及8分钟。若在正中午将这三个钟的分针都调整指向12，请问至少几小时后这三个钟的分针会指向相同的分钟数字？
【答案】60小时
【分析】先计算前两个钟重合需要的时间，当第2个钟比第一个钟多走一圈，即60分钟的时候，两个分针重合在一起，用用时60÷（6－3）＝20（小时），即每过20小时，前两个分针重合一次；同样的道理，第二个和第三个每隔60÷（8－6）＝30小时重合一次，所以，找20和30的最小公倍数60即为3针重合的时候。
【详解】前两个分针每重合一次，需用时：60÷（6－3）＝20（小时）
后两个分针每重合一次，需用时：60÷（8－6）＝30（小时）
[20，30]＝60
即每60小时，三分针重合一次，也就是同时指向同一个数字。
答：至少60小时后这三个钟的分针会指向相同的分钟数字
2．在9点到10点之间的某一时刻，分针5分钟前的位置与时针五分钟后的位置相同。那么此刻是9点几分？
【答案】9点55分
【分析】分针5分钟前的位置与时针五分钟后的位置相同，时针5分钟后移动5×0.5＝2.5°，分针5分钟移动5×6＝30°，即此时，分针和时针之间的夹角为32.5°，从9点整开始，分针和时针之间的距离是270°，分针追上时针，并超过时针32.5°，这期间，分针比时针多走了270＋32.5＝302.5°，需用时302.5÷（6－0.5）＝55分钟，即此时为9点55分。
【详解】此时分针与时针之间的夹角为：5×0.5＋5×6＝32.5°
从9点整开始到现在，分针比时针多走：270＋32.5＝302.5°
用时：302.5÷（6－0.5）＝55分钟
答：此刻是9点55分。
3．小王8时整骑摩托车从甲地出发前往乙地，8时15分追上一个早已从甲地出发的骑车人。小李8时15分开大客车从甲地出发前往乙地，8时30分追上这个骑车人。9时整，小王、小李同时到达乙地。已知小王、小李、骑车人的速度始终不变，骑车人从甲地出发时是几时几分？
【答案】7时30分
【分析】小王8时出发，9时整到达乙地共用60分，而追上骑车人用15分，因此小王追上骑车人时行了全程的；
小李8时15分出发，9时整到达乙地共用了45分，而追上骑车人用15分，因此小李追上骑车人时，行了全程的；
骑车人在甲到乙方向处被小王追上，15分钟后在甲到乙方向处被小李追上，因此骑车人15分钟行了甲到乙的距离的，即骑车人每行驶甲到乙的距离的时需要15分钟，则当汽车人到达甲到乙的距离的时，里面有3个，也就是3个15分钟，即骑车人从甲出发走到全程处时已用了45分钟，而此时正好是8时15分，可得出骑车人7点30分从甲地出发。
【详解】9时－8时＝1（小时）
1小时＝60（分）
8时15分－8时＝15（分钟）
15÷60＝
8时30分－8时15分＝15（分钟）
9时－8时15分＝45（分钟）
15÷45＝
（分钟）
8时15分－45＝7时30分。
答：骑车人从甲地出发时是7时30分。
【点睛】找出每个时间点小王和小李行驶的全程的几分之几，再得出相差的时间点骑车人行驶了全程的几分之几所用的时间，即可得出骑车人出发的时间。
4．古董店有两个还在走的古老时钟，一个每天快15分钟，另一个每天慢24分钟，现将两个古老时钟同时调到标准时间，则至少需要经过多少天才能同时显现出标准时间？
【答案】240天
【分析】要使得两个古老时钟同时显现出标准时间，那么其与标准时间相差的是12小时的整数倍，12小时是720分钟，一个每天快15分钟720除以15得到48，48天后第一次显现出标准时间；另一个每天慢24分钟，720除以24得到30，30天后第一次显现出标准时间，求二者的最小公倍数即可。
【详解】（分）
（天）
（天）
48和30的最小公倍数是240；
答：至少需要经过240天才能同时显现出标准时间。
【点睛】本题实质上考查的是公倍数的问题，理解坏钟显现出标准时间这个条件是解题的关键。
5．某工厂的一只走时不够准确的计时钟需要69分（标准时间）时针与分钟才能重合一次，工人每天的正常工作时间是8小时，在此期间内，每工作1小时付给工资4元，而若超出规定时间加班，则每小时付给工资6元，如果一个工人照此钟工作8小时，那么他实际上应得到工资多少元？
【答案】34.6元
【分析】根据题意先求出正常钟表的时针和分针重合一次需要的时间，再求出不准确的钟表走8小时，实际上是走的时间，最后即可求出答案。
【详解】正常钟表的时针和分针重合一次需要的时间：（小时），
小时分钟，
不准确的钟表走8小时，实际上所走的时间：（小时），
应得工资为：（元），
答：他实际上应得到工资是34.6元。
故答案为：34.6元
【点睛】解答此题的关键是，根据题意知道，只要求出不准确的钟表走8小时，实际上所走的时间，即可求出答案。
6．在早晨6点到7点之间有一时刻，钟面上的“6”字恰好在时针与分针的正中央．请问：这一时刻是6点多少分？
【答案】27分．
【详解】试题分析：在早晨6点到7点之间有一个时刻，钟面上的“6”恰好在时针与分针的正中央，这时时针超过了6的格子数，和分针离6的格子数相等，即可看成分针和时针从12走的格子数是30个格，再根据路程问题除以分针和时针的速度和，可求出分针走的格子数，然后可知此时的时间是多少．
解：30÷（1+）×1
=30××1
=27（分）
27分+6时=6时27分
答：这时是6点27分．
点评：本题的关键是让学生理解：钟面上的数字“6”恰好在时针与分针的正中央时，这时时针和分针走的格子数是30个．
7．下午6点多时冬冬吃完晚饭开始看动画片，动画片开始时他看手表，发现时针和分针的夹角为110°．在新闻联播前动画片放完了，冬冬又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°．那么动画片一共放了多少分钟？
【答案】40分钟．
【详解】试题分析：根据题意，设冬冬看动画片时时针走了x°，则分针走了（2×110°+x°），可得到时针的度数，又因为时针每小时走30°，故动画片一共放的时间可求．
解：设看动画片时时针走了x°，则分针走了（2×110°+x°）
由题意，得
解得x=20°
因时针每小时走30°
则小时，即动画片一共放的时间是40分钟．
答：动画片一共放了40分钟．
方法二：分针走一分走了6度，即分针的角速度是：6度/分，时针一分走0.5度，即角速度是：0.5度/分
开始时分针在时针后面110度，后来是分针在时针前面110度，
这是一个追及问题
设共用了X分
（6﹣0.5）x="110+110"
5.5x=220
x="40"
答：动画片一共放了40分钟．
点评：本题考查钟表时针与分针的夹角．在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形．
8．小悦早上6点半起床，赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线，那么小悦到达学校的时间是几点几分？
【答案】7点5分．
【详解】试题分析：6点时，分针和时针正好张开成一条直线，因此，分针要比时针多走60个，才能再次出现时针和分针张开成一条直线，即再过60÷（1﹣）=65分钟，所以小悦到达学校的时间是7点5分．
解：60÷（1﹣）=65（分钟）=1时5分钟
6时+1时5分钟=7点5分．
答：小悦到达学校的时间是7点5分．
点评：此题解答的关键在于求出再次出现时针和分针张开成一条直线时经过的时间．
9．小悦的手表比家里的闹钟走得要快一些．这天中午12点时，小悦把手表和闹钟校准，但当闹钟走到下午1点时，手表显示的时间是1点5分．请问：
（1）当闹钟显示当天下午5点的时候，手表显示的时间是几点几分？
（2）当手表显示当天下午6点半的时候，闹钟显示的时间是几点几分？
【答案】（1）5时25分．（2）6时．
【详解】试题分析：（1）根据题意可知闹钟走60分，手表走了60+5=65分，闹钟小时走的分钟数同手表走的分钟数的比是一定的，闹钟多12点到下午5点共走了5×60=300分，据此可列出比例求出手表显示的时间．
（2）当手表显示当天下午6点半的时候，手表走了6×60+30=390分，据此可列出比例求出闹钟显示的时间．
解：（1）设手表走过的时间是x分
60：65=（5×60）：x
60x=65×300
x=
x=325
325÷60=5小时25分
答：手表显示的时间是5时25分．
（2）设闹钟过了y分
60：65=y：（6×60+30）
65y=60×390
y=
y=
÷60=6（小时）
答：闹钟显示的时间是6时．
点评：本题的关键是根据闹钟和手表每小时走的时间的比一定来列出比例进行解答．
10．实验室里有两只不同的怪钟，每只钟只有一枚指针，而且都是每分钟跳一次，第一只钟一圈有12个格，格线上依次标着0﹣11，指针一次跳过2个格（例如从4跳到6）；第二只钟一圈有7个格，格线上依次标着0至6，指针一次跳过3个格．开始时两个指针都指向0，如果把这看作两个指针第1次指向同一个标数，那么当两个指针第30次指向同一个标数时，它们的指针指着哪个数字？
【答案】6.
【详解】试题分析：第一只钟的数字是0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11一周，每分钟跳过2个格，从0开始，跳过的格依次是2、4、6、8、10、0、2、4、6、8、10、0…规律是6分钟一个循环；
第二只钟的数字是0、1、2、3、4、5、6一周，每分钟跳过3个格，从0开始，跳过的格依次是3、6、2、5、1、4、0、3、6…规律是7分钟一个循环，6和7的最小公倍数42分钟两个钟循环一次是42分钟，一个循环有4次指向同一个数字，分别是0、6、4、2，如下所画出的表格所示，找到指向同一个标数时的规律，即可得解．
解：如图，
根据以上分析，42分钟一个循环，有4次指向相同的数字，分别是0、6、4、2；
30÷4=7…2
那么当两个指针第30次指向同一个标数时，是第8个循环的第二个，即它们的指针指着数字6；
答：它们的指针指着6．
点评：认真分析，找出规律“42分钟一个循环，有4次指向相同的数字，分别是0、6、4、2”是解决此题的关键．
11．钟敏家有一个闹钟，每时比标准时间快2分．星期天上午9点整，钟敏对准了闹钟，然后定上铃，想让闹钟在11点半闹铃，提醒她帮助妈妈做饭．钟敏应当将闹钟的铃定在几点几分上？
【答案】11点35分
【详解】闹钟与标准时间的速度比是62:60="31:30," 11点半与9点相差 150分， 根据十字交叉法，闹钟走了 150×31÷30=155(分),所以 闹钟的铃应当定在11点35分上．
12．在一天的24小时之中，时钟的时针、分针和秒针完全重合在一起的时候有几次？都分别是什么时间？你怎样算出来的？
【答案】只有两次
【详解】假设时针的角速度是ω（ω=π/6每小时），则分针的角速度为12ω，秒针的角速度为72ω．分针与时针再次重合的时间为t，则有12ωt-ωt=2π，t=12/11小时，换算成时分秒为1小时5分27.3秒，显然秒针不与时针分针重合，同样可以算出其它10次分针与时针重合时秒针都不能与它们重合．只有在正12点和0点时才会重．
证明：将时针视为静止，考察分针，秒针对它的相对速度：
12个小时作为时间单位“1”，“圈/12小时”作为速度单位，
则分针速度为11，秒针速度为719．
由于11与719互质，记12小时/（11*719）为时间单位Δ，
则分针与时针重合当且仅当 t=719kΔ k∈Z
秒针与时针重合当且仅当 t=11jΔ j∈Z
而719与11的最小公倍数为11*719，所以若t=0时三针重合，则下一次三针重合必然在t=11*719*Δ时，即t=12点．
13．某科学家设计了只怪钟，这只怪钟每昼夜10时，每时100分（如右图所示）．当这只钟显示5点时，实际上是中午12点；当这只钟显示6点75分时，实际上是什么时间？
【答案】4点12分
【详解】标准钟一昼夜是24×60=1440（分）,怪钟一昼夜是100×10=1000（分）,怪钟从5点到6点75分，经过175分，根据十字交叉法，1440×175÷1000=252（分）,即4点12分．
14．小明家有两个旧挂钟，一个每天快20分，另一个每天慢30分。现在将这两个旧挂钟同时调到标准时间，它们至少要经过多少天才能再次同时显示标准时间？
【答案】72天
【分析】速度×时间＝路程，路程÷速度＝时间，路程÷时间＝速度；1小时＝60分钟，时钟走1圈是12个小时；快的挂钟与标准时间的速度差是20分/天，慢的挂钟与标准时间的速度差是30分/天，慢的每标准一次需要12×60÷30＝24（天），快的每标准一次需要12×60÷20＝36（天），求出24与36的最小公倍数，也就是求出它们至少要经过多少天才能再次同时显示标准时间；据此解答。
【详解】时钟走1圈是12个小时
1小时＝60分钟
12×60÷30＝24（天）
12×60÷20＝36（天）
24＝2×2×2×3
36＝2×3×2×3
2×2×3×2×3＝72
24与36的最小公倍数是72
答：它们至少要经过72天才能再次同时显示标准时间。
【点睛】掌握时钟的基本概念，以及路程、时间和速度的关系，还有求最小公倍数的方法，是解答本题的关键。
15．有一只表分不清长针和短针了，多数情况下可根据两针所指的位置判断出正确的时间．但有时也会出现两种情况，使你判断不出正确的时间．请问从中午12点到夜里12点这段时间会遇到多少次判断不出的情况？（注：不包括中午12点和夜里12点）
【答案】132次．
【详解】试题分析：当表在某点某分时，经过一段时间后，如果时针恰好走到原来分针的位置，而分针恰好走到原来时针的位置，即两针位置互换，由于分针、时针分辨不清，所以凡能发生两针位置互换的两个时刻都不能正确的判断当时的时间．
解：两针位置互换，当时针、分针共走60格时，由于时针走1格，分针走12格，所以两针位置互换的时间间隔是：
60×=55分钟，
可以出现在中午12点多至1点多，1点多至2点多，2点多至3点多…夜里10点多至11点多，共11次．
同样可以算出两针位置互换时针、分针共走120、180、240、300、360、420、480、540、600、660格时，可以出现两针位置互换的次数分别是10、9、8、7、6、5、4、3、2、1次，所以分辨不出正确时间的次数共有：
（11+10+9+8+7+6+5+4+3+2+1）×2=132次．
答：从中午12点到夜里12点这段时间会遇到132次判断不出的情况．
点评：本题的关键是让学生理解时针和分针交换位置后，这是判断不出正确的时间，然后再分别计算间隔60、120、180、240、300、360、420、480、540、600、660格时，两针交换位置的次数进行解答．
16．费叔叔有一只手表和一个闹钟，他发现闹钟每走一个小时，他的手表会多走30秒，但闹钟却比标准时间每小时慢30秒．在今天中午12点费叔叔把手表和标准时间校准，那么明天中午12点时，费叔叔的手表显示的时间是几点几分几秒？
【答案】11点59分54秒．
【详解】试题分析：根据闹钟比标准时间每小时慢30秒，可知标准时间过1小时，即3600秒，那么闹钟过3570秒，再根据手表比家里的闹钟每小时快30秒，知闹钟过3600秒时，手表过3630秒，再求出当闹钟过3570秒时，手表过的秒数，进一步求出手表比标准时间每小时慢的秒数，今天中午12点到明天中午12点是24小时，由此得出手表一昼夜比标准时间相差的秒数．即可求出现在的手表显示几点几分几秒．
解：标准时间过1小时，即3600秒，那么闹钟过3600﹣30=3570（秒），当闹钟过3600秒时，手表过3600+30=3630（秒），
那么当闹钟过3570秒时，手表过3630×3570÷3600=3599.75（秒），即手表比标准时间每小时慢3600﹣3599.75=0.25（秒），
今天中午12点到明天中午12点是24小时，所以手表比标准时间差：0.25×24=6（秒 ），所以费叔叔的手表显示为11点59分54秒．
答：费叔叔的手表显示为11点59分54秒．
点评：解决此题关键是先算出手表比标准时间每小时慢的秒数，再算出手表一昼夜比标准时间相差的秒数．
17．早晨晓龙看到镜中的表指针指在6时20分，他赶快起床出去跑步，可跑回来妈妈告诉他刚到6点20分，问晓龙起床时实际是什么时刻？
【答案】5点40分
【分析】造成晓龙与妈妈看到的钟面为同一时刻的原因在于：晓龙看到的是反射在镜面上的钟面，时针、分针经过镜面的反射其位置改变了．
【详解】如下图，反射前后钟面左右位置发生了互换．所以晓龙起床的实际时刻为5点40分．
18．李叔叔要在下午3点钟上班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12点10分就停了.他开足发条却忘了拨指针，匆匆离家，到工厂一看钟，离上班时间还有10分钟.夜里11点下班，李叔叔马上离厂回到家里，一看钟才9点整.假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多少时间（上发条所用时间忽略不计）？
【答案】2小时20分
【详解】解法一：到厂时看钟是2点50分，离家看钟是12点10分，相差2小时40分，这是停钟的时间和路上走的时间加在一起产生的．就有：钟停的时间+路上用的时间=160（分钟）
晚上下班时，厂里钟是11点，到家看钟是9点，相差2小时.这是由于钟停的时间中，有一部分时间，被回家路上所用时间抵消了.
因此钟停的时间-路上用的时间=120（分钟）
钟停的时间=（160＋120）÷2＝140（分钟）
路上用的时间=160-140＝20（分钟）
答：李叔叔的钟停了2小时20分.
解法二：以李叔叔家的钟计算，他在12点10分出门，晚上9点到家，在外共8小时50分钟，其中8小时上班，10分钟等待上班，剩下的时间就是他上班来回共用的时间，所以
上班路上所用时间=（8小时50分钟-8小时-10分钟）÷2＝20（分钟）.
钟停时间=2小时 40分钟-20分钟=2小时20分钟
答：李叔叔的钟停了2小时20分.
19．某科学家在做一次实验。实验开始后10分钟听到钟声，整个实验听到12下钟声，结束时时针和分针正好重合，整个实验的时间是多少？（只有整点打钟，几点钟打几下）
【答案】10分钟或157分钟
【分析】我们由题意知：实验开始后10分钟听到敲钟声，说明开始时间是某点50分；听到共敲了12下，这说明有一种极端情况是从11：50开始，到12点结束，正好敲12下，这种情况下会议开了10分钟就结束了。另一种情况，因为钟声是整点的时候敲，所以每次敲钟总是比上一次多1声，所以每小时敲钟数这个数列是一个连续自然数列。而把12分解成连续自然数的和只有一种分法为3＋4＋5，所以应该是从2：50开始开会，一直开到5点多，然后再据“时针和分针在0：00首次重合，以后每过（1＋）小时重合一次”，即可求解。
【详解】（1）11点50分开始，12点结束，共用12：00－11：50＝10（分钟）
（2）12＝3＋4＋5，即从2点50分开始，5点多结束；
5×（1）＝5（小时）
即5点60分结束
60×2＋10157（分钟）
答：整个实验的时间为10分钟或157分钟。
20．有一个老钟表匠很粗心，有一次，他给一个教堂安装钟表。结果他由于粗心把钟表的短针和长针装反了，短针走的速度反而是长针的12倍。由于装的时候是上午6点，钟表匠把短针指在“6“上，长针指在“12“上。装过后，钟表匠就回家了。结果细心的市民发现钟表这会儿还是7点，没过一会儿就8点了。人们通知钟表匠过来看看。钟表匠比较忙，就说下午去看看，等钟表匠赶到的时候已经是下午7点多钟。钟表匠看教堂的时间也不错，就回家了。但钟表依旧8点、9点的走，人们又去找钟表匠。钟表匠第二天早晨8点多赶来用表一对，仍旧没错。请你思考一下他对表的时候是7点几分和8点几分？
【答案】7点38.2分；8点43.6分
【分析】12个小时后，无论是错的钟还是对的钟，时针还是分针，12个小时前后，针的相对位置是没有发生变化的，
这道题只需要计算6点走到7点x分时，长针和短针所走的角度一样就可以了。
所以我们可以列方程：（7）÷12，
解这个方程即可，求解第二次也是同理可得。
【详解】设第一次对表是7时x分，
则得（7）÷12
x＝38.2
第一次对表是7点38.2分
第二次对表是8时x分
（8）÷12
x＝43.6
所以第二次对表是8点43.6分。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题35 时钟问题
一、基本概念
时钟问题通常出现在小升初奥数的“行程问题”板块，核心是将时钟的指针运动转化为“追及问题”来处理。
时针 (Hour Hand)：走得慢的指针。12小时转一圈（360度），每小时走30度，每分钟走0.5度。
分针 (Minute Hand)：走得快的指针。1小时转一圈（360度），每分钟走6度。
核心逻辑：分针每分钟比时针多走 度。这个差值是解决时钟问题的“黄金钥匙”。
二、 常见题型分类
重合问题：时针与分针在什么时刻重合？（夹角为0度）
成直线问题：时针与分针在什么时刻成180度（反向成直线）？
成直角问题：时针与分针在什么时刻成90度（互相垂直）？
求时间问题：已知夹角，求具体时刻。
快慢钟问题：一个钟表走快了或走慢了，求标准时间或误差时间。
三、 核心公式（必背）
（1）角度计算公式
分针角度 =
时针角度 =
夹角公式 =
注意：如果计算出的夹角大于180度，需要用 夹角，取较小的那个角。
（2）追及问题公式（求时刻）
解决“几时几分，两针夹角为X度”的通用公式：
重合（追上）：初始角度差 =
成直线（相差180度）：初始角度差 =
成直角（相差90度）：初始角度差 =
四、快慢钟问题核心逻辑
比例法：快慢钟每小时快（或慢）的分钟数是固定的。
公式：
五、 核心解题方法
1. 度数转化法（基础）
这是解决标准时钟问题的“万能钥匙”。
步骤：
① 确定起始时刻（通常是整点），计算此时时针与分针的夹角（初始路程）。
② 确定目标状态（重合、成直线、成直角等），计算需要追及的总路程。
③ 利用速度差 ，计算所需时间 。
④ 得出具体时刻。
2. 代数方程法（进阶）
当题目涉及复杂的夹角或非整点起始时使用。
步骤：
① 设经过 分钟。
② 列出时针角度表达式和分针角度表达式。
③ 根据题意（如差值为90度）列方程求解。
3. 比例估算法（快慢钟）
步骤：
① 找出坏钟与标准钟的速度比。
② 根据坏钟显示经过的时间，推算出标准时间经过的时间。
一、 基础题（整点追及）
例 1： 3点整的时候，时针与分针的夹角是90度。请问：3点多少分时，时针与分针第一次重合？
解题步骤：
1.确定类型：整点出发的追及问题（重合）。
2.分析初始状态：3点整时，时针在 处，分针在 处。分针落后时针 。
3.确定追及路程：要重合，分针必须追上这 的差距。
4.计算时间：
速度差 =
时间
（分）
5.答案：3点 分时，两针第一次重合。
跟踪练习 1： 4点整时，时针与分针成120度角。请问：4点多少分时，时针与分针成一条直线（180度）？
答案提示：分针需要比时针多走 度。 分。
二、 进阶题（成直角问题）
例 2： 在9点与10点之间，什么时刻时针与分针互相垂直（成90度角）？
解题步骤：
1.确定类型：非整点重合，成直角问题。注意：一小时内通常有2次垂直。
2.分析初始状态：9点整时，时针在 （或看作领先分针 的另一侧，即 ），分针在 。
3.分析过程：
第一次垂直：分针追上时针，使得夹角缩小到 。
追及路程 =
（分）
第二次垂直：分针超过时针，使得夹角拉开到 。
追及路程 =
（分）（注：此时间超过60分，实际在10点后，故9点到10点之间只有一次垂直）
4.答案：9点 分时，两针互相垂直。
跟踪练习 2： 从时针指向4点开始，经过多少分钟，时针与分针第一次重合？
答案提示：4点整，时针领先 。 分。
三、 挑战题（快慢钟问题）
例 3： 小明家有一个钟，每小时慢2分钟。早上9点整，小明把钟对准了标准时间。请问：当这个钟走到中午12点整时，标准时间是几点几分？
解题步骤：
1.确定类型：快慢钟问题（比例法）。
2.分析速度比：
标准钟：60分钟走一圈（标准）。
坏钟：58分钟走一圈（因为每小时慢2分）。
速度比（坏钟 : 标准钟）=
3.计算经过时间：
坏钟从9点走到12点，经过了3小时 = 180分钟。
设标准钟经过了 分钟。
根据比例：
解得：
分钟。
4.换算时刻：
186.2分钟 = 3小时6.2分钟 3小时6分12秒。
标准时间 = 9:00 + 3小时6分 = 12点06分。
5.答案：标准时间是12点06分。
跟踪练习 3： 一个钟每小时快3分钟。在中午12点把它校准。当标准时间是下午5点时，这个钟显示的是几点几分？
答案提示：标准钟走了5小时=300分。坏钟速度：63分/小时。比例： 。解得 分 = 5小时15分。钟显示 12+5:15 = 17:15。
1．有三个古董钟，它们的时针都掉了，只剩下分针，且都走得较快，这三个钟每小时分别快了3分钟、6分钟及8分钟。若在正中午将这三个钟的分针都调整指向12，请问至少几小时后这三个钟的分针会指向相同的分钟数字？
2．在9点到10点之间的某一时刻，分针5分钟前的位置与时针五分钟后的位置相同。那么此刻是9点几分？
3．小王8时整骑摩托车从甲地出发前往乙地，8时15分追上一个早已从甲地出发的骑车人。小李8时15分开大客车从甲地出发前往乙地，8时30分追上这个骑车人。9时整，小王、小李同时到达乙地。已知小王、小李、骑车人的速度始终不变，骑车人从甲地出发时是几时几分？
4．古董店有两个还在走的古老时钟，一个每天快15分钟，另一个每天慢24分钟，现将两个古老时钟同时调到标准时间，则至少需要经过多少天才能同时显现出标准时间？
5．某工厂的一只走时不够准确的计时钟需要69分（标准时间）时针与分钟才能重合一次，工人每天的正常工作时间是8小时，在此期间内，每工作1小时付给工资4元，而若超出规定时间加班，则每小时付给工资6元，如果一个工人照此钟工作8小时，那么他实际上应得到工资多少元？
6．在早晨6点到7点之间有一时刻，钟面上的“6”字恰好在时针与分针的正中央．请问：这一时刻是6点多少分？
7．下午6点多时冬冬吃完晚饭开始看动画片，动画片开始时他看手表，发现时针和分针的夹角为110°．在新闻联播前动画片放完了，冬冬又看手表，发现时针和分针的夹角仍是110°．那么动画片一共放了多少分钟？
8．小悦早上6点半起床，赶到学校时发现手表上的时针和分针恰好第一次张开成一条直线，那么小悦到达学校的时间是几点几分？
9．小悦的手表比家里的闹钟走得要快一些．这天中午12点时，小悦把手表和闹钟校准，但当闹钟走到下午1点时，手表显示的时间是1点5分．请问：
（1）当闹钟显示当天下午5点的时候，手表显示的时间是几点几分？
（2）当手表显示当天下午6点半的时候，闹钟显示的时间是几点几分？
10．实验室里有两只不同的怪钟，每只钟只有一枚指针，而且都是每分钟跳一次，第一只钟一圈有12个格，格线上依次标着0﹣11，指针一次跳过2个格（例如从4跳到6）；第二只钟一圈有7个格，格线上依次标着0至6，指针一次跳过3个格．开始时两个指针都指向0，如果把这看作两个指针第1次指向同一个标数，那么当两个指针第30次指向同一个标数时，它们的指针指着哪个数字？
11．钟敏家有一个闹钟，每时比标准时间快2分．星期天上午9点整，钟敏对准了闹钟，然后定上铃，想让闹钟在11点半闹铃，提醒她帮助妈妈做饭．钟敏应当将闹钟的铃定在几点几分上？
12．在一天的24小时之中，时钟的时针、分针和秒针完全重合在一起的时候有几次？都分别是什么时间？你怎样算出来的？
13．某科学家设计了只怪钟，这只怪钟每昼夜10时，每时100分（如右图所示）．当这只钟显示5点时，实际上是中午12点；当这只钟显示6点75分时，实际上是什么时间？
14．小明家有两个旧挂钟，一个每天快20分，另一个每天慢30分。现在将这两个旧挂钟同时调到标准时间，它们至少要经过多少天才能再次同时显示标准时间？
15．有一只表分不清长针和短针了，多数情况下可根据两针所指的位置判断出正确的时间．但有时也会出现两种情况，使你判断不出正确的时间．请问从中午12点到夜里12点这段时间会遇到多少次判断不出的情况？（注：不包括中午12点和夜里12点）
16．费叔叔有一只手表和一个闹钟，他发现闹钟每走一个小时，他的手表会多走30秒，但闹钟却比标准时间每小时慢30秒．在今天中午12点费叔叔把手表和标准时间校准，那么明天中午12点时，费叔叔的手表显示的时间是几点几分几秒？
17．早晨晓龙看到镜中的表指针指在6时20分，他赶快起床出去跑步，可跑回来妈妈告诉他刚到6点20分，问晓龙起床时实际是什么时刻？
18．李叔叔要在下午3点钟上班，他估计快到上班时间了，到屋里看钟，可是钟早在12点10分就停了.他开足发条却忘了拨指针，匆匆离家，到工厂一看钟，离上班时间还有10分钟.夜里11点下班，李叔叔马上离厂回到家里，一看钟才9点整.假定李叔叔上班和下班在路上用的时间相同，那么他家的钟停了多少时间（上发条所用时间忽略不计）？
19．某科学家在做一次实验。实验开始后10分钟听到钟声，整个实验听到12下钟声，结束时时针和分针正好重合，整个实验的时间是多少？（只有整点打钟，几点钟打几下）
20．有一个老钟表匠很粗心，有一次，他给一个教堂安装钟表。结果他由于粗心把钟表的短针和长针装反了，短针走的速度反而是长针的12倍。由于装的时候是上午6点，钟表匠把短针指在“6“上，长针指在“12“上。装过后，钟表匠就回家了。结果细心的市民发现钟表这会儿还是7点，没过一会儿就8点了。人们通知钟表匠过来看看。钟表匠比较忙，就说下午去看看，等钟表匠赶到的时候已经是下午7点多钟。钟表匠看教堂的时间也不错，就回家了。但钟表依旧8点、9点的走，人们又去找钟表匠。钟表匠第二天早晨8点多赶来用表一对，仍旧没错。请你思考一下他对表的时候是7点几分和8点几分？
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