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专题38 牛吃草问题
一、 基本概念
牛吃草问题是由伟大的科学家牛顿提出的，因此也叫“牛顿问题”。
核心逻辑：这是一个 “在原有存量的基础上，一边消耗（牛吃草），一边生长（草生长）” 的动态过程。
三大核心要素：
1.原有草量：牧场最开始有的草的总量（这是固定的，我们需要求的或利用的）。
2.草的生长速度：每天新长出来的草量（假设匀速生长）。
3.牛的吃草速度：通常假设每头牛每天吃1份草。
关键特征：
变中有不变：虽然草在长，牛在吃，但 “原有草量” 是不变的。
双重变化：草的总量 = 原有草量 + 新长草量 - 牛吃掉的草量。
二、 常见题型分类
1.求时间型：已知牛的数量和草的生长情况，求多少天能把草吃完。
2.求牛数型：已知吃完草的时间，求需要多少头牛。
3.极值型（可持续发展）：求最多放多少头牛，才能保证草永远吃不完（即牛吃的速度 ≤ 草长的速度）。
4.变形问题：如“检票口进人问题”、“水库蓄水/放水问题”、“漏船舀水问题”。
三、 核心公式（必背）
牛吃草问题的本质是 “工程问题” 与 “行程问题（追及问题）” 的结合。
基础公式：
(解释：牛一边吃，草一边长，实际上牛是在“追”那堆原有的草)
推导公式（用于求草的生长速度）：
极值公式：
(如果牛的数量超过这个数，草迟早会被吃完；等于这个数，草量保持不变；小于这个数，草会越长越多)
四、 解题三大步骤（万能模板）
解决牛吃草问题，只需要按以下三步走：
1.列方程求生长量：
利用两组不同的“牛数”和“天数”数据，列出两个方程，通过相减消去“原有草量”，先求出“每天草的生长量”。
2.代入求原有量：
将求出的“生长量”代入任意一个方程，求出“原有草量”。
3.根据问题求解：
根据题目问的是“天数”、“牛数”还是“极值”，利用公式进行计算。
五、 核心解题方法
1.公式法（基础）：
直接套用上述核心公式，适合标准的牛吃草模型。
2.假设法（进阶）：
假设一部分牛专门吃每天新长的草，剩下的牛去吃原有的草。这种方法在解决“极值型”问题时非常直观。
3.方程法（通用）：
设草的生长速度为 ，原有草量为 ，根据题意列二元一次方程组求解。这是最不容易出错的方法。
一、 基础题（标准模型）
例 1： 一片牧场，草每天都在均匀地生长。如果放牧 24 头牛，则 6 天吃完牧草；如果放牧 21 头牛，则 8 天吃完牧草。那么，如果放牧 16 头牛，多少天可以吃完牧草？
解题步骤：
1.设变量：
设每头牛每天吃 1 份草，草每天生长 份。
2.找不变量（原有草量）列方程：
第一种情况：原有草量 =
第二种情况：原有草量 =
因为原有草量不变，所以：
3.解方程求 ：
(说明草每天生长 12 份)
4.求原有草量：
代入第一种情况： (份)
5.求 16 头牛吃完的时间：
设需要 天。
6.答案：放牧 16 头牛，18 天可以吃完牧草。
跟踪练习 1：
牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天。那么，可供 25 头牛吃多少天？
答案提示：先求草生长速度为 5 份/天，原有草量为 100 份。25 头牛吃 天。
二、 进阶题（极值型）
例 2： 画展 9 点开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众一样多。如果开了 3 个入场口，则 9 分钟后就不再有人排队；如果开 5 个入场口，则 5 分钟后就不再有人排队。那么第一个观众到达的时间是几点几分？
(注：这是牛吃草的变形题。“开门”相当于“牛开始吃草”，“排队的人”相当于“草”，“新来的人”相当于“生长的草”，“入场口”相当于“牛”。)
解题步骤：
1.转化模型：
设每个入场口每分钟进 1 人。
设每分钟新来的人数为 。
设开门前已经排队的人数（原有草量）为 。
2.列方程：
3 个口 9 分钟： ... ①
5 个口 5 分钟： ... ②
3.解方程组：
① - ② 得：
(每分钟来 0.5 个人)
代入 ② 求 ：
(开门前有 22.5 个人在排队)
4.求第一个观众到达时间：
既然每分钟来 0.5 个人，那么要积攒 22.5 个人，需要的时间为：
5.答案：画展 9 点开门，往前推 45 分钟，第一个观众到达的时间是 8 点 15 分。
跟踪练习 2：
一片牧场，草每天都在匀速减少（假设冬天）。如果放牧 10 头牛，20 天吃完；如果放牧 15 头牛，10 天吃完。那么如果放牧 25 头牛，几天吃完？（提示：此时草是负增长）
答案提示：设草每天减少 份。方程： 。解得 ，原有草量 300。25 头牛吃 天。
三、 挑战题（多人型与复杂逻辑）
例 3： 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 16 头牛吃 6 天。那么，可供 11 头牛吃几天？
解题步骤：
1.调整模型：
这是一个 “草在枯萎” 的问题。公式变为：
(因为草在减少，相当于牛不仅要吃掉原有的，还要“补上”草减少的量)
2.列方程求减少量：
设每天草减少 份。
(两边都等于原有草量)
3.求原有草量：
代入第一组数据： (份)
4.求 11 头牛的时间：
设吃 天。
5.答案：可供 11 头牛吃 8 天。
跟踪练习 3：
一个水池安装有排水量都相同的排水管若干根。一根进水管不断地往池里放水，每分钟的水量都相同。如果开放 3 根排水管，45 分钟可以把池中水排完；如果开放 5 根排水管，25 分钟可以把池中水排完。现在开放 8 根排水管，几分钟可以把水排完？
答案提示：这是“进水（草生长）+ 排水（牛吃草）”模型。设进水管每分钟进水 ，一根排水管每分钟排水 1 份。方程： 。解得 ，原有水量 90。8 根管排 分钟。
1．4头牛、4匹马和4只羊每天共吃草84千克，6头牛、4匹马和5只羊每天共吃草96千克，7头牛、4匹马和6只羊每天共吃草103千克；1头牛、1匹马和1只羊每天各吃草多少千克？
【答案】分别为5、14、2千克
【分析】根据题意，我们可先求出7－6＝1头牛和6－5＝1只羊一天吃草103－96＝7千克和6－4＝2头牛和5－4＝1只羊一天吃草96－84＝12千克；接着据此即可求出2－1＝1头牛每天吃草12－7＝5千克，之后便可轻松得到一只羊每天吃草7－5＝2千克和一匹马每天吃草：（84－7×4）÷4＝14千克。
【详解】7－6＝1头牛和6－5＝1只羊一天吃草103－96＝7（千克）
6－4＝2头牛和5－4＝1只羊一天吃草：96－84＝12（千克）
一头牛每天吃草：12－7＝5（千克）
一只羊每天吃草：7－5＝2（千克）
一匹马每天吃草：（84－7×4）÷4＝14（千克）
答：1头牛、1匹马和1只羊每天吃草分别为5、14、2千克。
2．一个牧场上的青草每天都匀速生长，这片青草可供15头牛吃24天，或供20头牛吃14天，现有一群牛吃了6天后卖掉1头，余下的牛又吃了3天将草吃完，这群牛原有多少头？
【答案】27头
【分析】假设每头牛每天吃1份草，因为15头牛可以吃24天，那么总共吃的草量就是15×24＝360份；20头牛吃14天，总共吃的草量就是20×14＝280份。
15头牛吃24天比20头牛吃14天多吃的草，就是多出来的24－14＝10天里新长出来的草。
用15头牛24天总共吃的草量减去20头牛14天总共吃的草量的差除以天数差，求出草每天的生长速度；
我们用15头牛吃24天的情况来算原草量。15头牛24天总共吃了15×24＝360份草，而这14天里草一共生长了8×24＝192份，用15头牛吃24天的总量减去192份求出原有青草量；
设这群牛原有x头。这群牛总共吃了6＋3＝9天，但是中途卖掉了1头，所以相当于（x－1）头牛吃了9天，再加上最开始6天里1头牛吃的量，总共吃的草量就等于原有的草量加上这9天里新长出来的草量。据此列方程解答。
【详解】根据牧场原有青草量＋生长的青草量＝牛吃掉的青草量，可列式：
原有青草量＋每天生长量×24＝1×15×24
原有青草量＋每天生长量×14＝1×20×14
每天生长量：
（15×24－20×14）÷（24－14）
＝（360－280）÷10
＝80÷10
＝8
原有青草量：
1×15×24－8×24
＝360－192
＝168
设这群牛原有x头，列方程：
168＋8×（6＋3）＝6x＋3×（x－1）
168＋8×9＝6x＋3x－3
168＋72＝9x－3
240＝9x－3
240＋3＝9x－3＋3
243＝9x
243÷9＝9x÷9
x＝27
答：这群牛原有27头。
【点睛】先通过两种不同牛数吃草的情况求出草每天的生长速度，再根据其中一种情况求出牧场原有的草量。然后根据这群牛吃草的过程列出方程，进而求出这群牛原有的头数。
3．有一片草地，草每天的生长速度不变，可供8只羊吃20天或14只羊吃10天。这片草地原有若干只羊吃了4天后又加入了6只羊，这样又吃了两天便将草吃完，求原有羊多少只？
【答案】20只
【分析】把每只羊每天吃的草看作1份，8只羊食用20天，一共吃的草为8×20＝160（份）；14只羊食用10天，一共吃的草为14×10＝140（份）；相差160－140＝20（份），是20－10＝10（天）生长出来的，所以每天生长出来的草为20÷10＝2（份）。原来这片草为8×20－2×20＝120（份）。6只羊2天吃的草为6×2＝12（份），（4＋2）天新长的草为（4＋2）×2，用草地的原草减去6只羊2天吃的草加上（4＋2）天新长的草即是（4＋2）天原有的羊吃的草，据此即可求解原有的羊只数。
【详解】设每只羊每天吃草1份。
（8×20－14×10）÷（20－10）
＝（160－140）÷10
＝20÷10
＝2（份）
8×20－2×20
＝160－40
＝120（份）
[120－6×2＋（4＋2）×2]÷（4＋2）
＝[120－12＋12]÷（4＋2）
＝120÷6
＝20（只）
答：原有羊20只。
4．有一片牧场上的草均匀地减少，如果24头牛6天或12头牛10天可以把草吃完，那么牧场上每天减少的草可供几头牛吃一天？
【答案】6头
【分析】根据题意，我们不妨设每天每头牛吃1份草，那么利用“减少量＝（较短时间×短时间牛头数－较长时间×长时间牛头数）÷（长时间－短时间）”即可求出：牧场上每天减少的草量（24×6－12×10）÷（10－6）＝6（份），这6份草可共6÷1＝6（头）牛吃一天。
【详解】设每天每头牛吃1份草，则得：
（24×6－12×10）÷（10－6）
＝24÷4
＝6（份）
6÷1＝6（头）
答：牧场上每天减少的草可供6头牛吃一天。
5．一艘轮船行驶在大海上，船长发现船底破了个小洞，发现时船舱中已经进了不少水，水还在不断地涌入船舱内，每分钟涌入的水量相等。如果让5个船员来排水，40分钟可以排完；如果让8个船员来排水，20分钟可排完。现在船长要求12分钟内必须把水排完，需要多少个船员？
【答案】12个
【分析】设每小时每人排水量为1份，根据“如果让5个船员来排水，40分钟可以排完；如果让8个船员来排水，20分钟可排完。”，先求出漏水的速度，列式为：（40×5－20×8）÷（40－20）＝2（份）；再求出船中原有的水，列式为：40×5－2×40＝120（份）；然后根据（船中原有水的份数＋2小时漏水的份数）÷时间就是12分钟排完，需要安排的人数。
【详解】设每小时每人排水量为1份，
（40×5－20×8）÷（40－20）
＝40÷20
＝2（份）
40×5－2×40
＝200－80
＝120（份）
（120＋2×12）÷12
＝144÷12
＝12（个）
答：需要12个船员。
6．一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场。三块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快。农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草。问：若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？
【答案】天
【分析】题中3块牧场面积不同，要解决这个问题，可以将3块牧场的面积统一起来；2公顷、4公顷和6公顷统一为12公顷，然后按照一般的行程问题考虑。
【详解】设1头牛1天吃草量为“1”；
将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草，相当于12公顷的牧场可供48头牛吃5天；
将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草，相当于12公顷的牧场可供24头牛吃15天；
所以12公顷的牧场每天新生长的草量为：
12公顷牧场原有草量为：
那么12公顷牧场可供16头牛吃：
（天）
答：6公顷的牧场可供8头牛吃45天。
7．三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷。第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周；第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周。问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周？
【答案】头
【分析】设1头牛1周吃草量为“1”。第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周，相当于1公顷牧场可供4头牛吃4周；第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周，相当于1公顷牧场可供2.5头牛吃8周。然后求出1公顷牧场1周新生长的草量及1公顷牧场原有草量，再考虑第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周。
【详解】1公顷牧场1周新生长的草量为：
1公顷牧场原有草量为：
24公顷牧场每天新生长的草量为，原有草量为；
若想维持18周，需要饲养：（头）牛。
答：需要饲养40头牛。
【点睛】本题考查的是复杂的牛吃草问题，求出1公顷牧场的草速及1公顷牧场原有草量是解题的关键。
8．画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个观众到达的时间．
【答案】8点15分
【分析】从表面上看这个问题与“牛吃草”问题相离很远，但仔细体会，题目中每分钟来的观众一样多，类似于“草的生长速度”，入场口的数量类似于“牛”的数量，问题就变成“牛吃草”问题了．解决一个问题的方法往往能解决一类问题，关键在于是否掌握了问题的实质．
如果把入场口看作为“牛”，开门前原有的观众为“原有草量”，每分钟来的观众为“草的增长速度”，那么本题就是一个“牛吃草”问题．
【详解】设每一个入场口每分钟通过“1”份人，那么4分钟来的人为，即1分钟来的人为，原有的人为：．这些人来到画展，所用时间为(分)．所以第一个观众到达的时间为8点15分．
9．建筑工地开工前已经运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖。如果派36个工人砌墙，24天可以把砖用完；如果派40个工人砌墙，20天可以把砖用完。现派工人若干名，砌8天后，有5名工人参加表彰大会，其余工人又工作两天，才把场上的砖用完，问原来派多少名工人？
【答案】65名
【分析】砖的总数量可以分为工地上原有的砖和新运进的砖两部分，工地上原有的砖是不变的，新运进的砖虽然在变化，但因为是匀速变化，所以工地上每天新运进的砖的数量是相同的，即每天新运进的砖的数量是不变的。可求出每天新运进的砖的数量，再求出工地上原有的砖的数量，最后求出问题。
【详解】解：假设每人每天砌砖的块数为单位“1”。
每天运进砖的数量是：（36×24-40×20）÷（24-20）
=（864-800）÷4
=16（份）
原有砖的数量：
40×20-16×20=480（份）
(3)原来派的工人数：
[480+ 16×（8+2）+5×2]÷（8+2）
=[480+ 16×10+5×2]÷（8+2）
=[480+ 160+10]÷10
=650÷10
=65（名）
答：原来派65名工人砌墙。
【点睛】求出每天新运进的砖的数量和工地上原有的砖的数量是解答本题的关键。
10．一片牧草，每天在匀速生长，现在这片牧草可供120只羊吃20天或36头牛吃15天。如果一头牛吃的草量相当与4只羊的吃草量，那么这片牧场可供40头牛和32只羊吃多少天？
【答案】10天
【分析】总草量可以分为牧场上原有的草和新长出的草两部分。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但因为是匀速生长，所以这片草地每天新长出的草的数量是相同的，即每天新长出的草量是不变的。求出每天新长出草的量。再将某一组的用草总量减去若干天的生长量，即是原有的牧草量。解题时把羊转化成牛或把牛转化成羊。
【详解】先把120只羊和32只羊转换成牛：120÷4=30（头）
32÷4=8（头）
设每头牛每天吃草量为1份。
每天新生长的草量：（30×20-36×15）÷（20-15）
=（600-540）÷5
=60÷5
=12（份）
这片牧草原有草量：
36×15-12×15=360（份）
40头牛和32只羊一共吃的天数：
360÷[（40+8）-12]
=360÷[48-12]
=360÷36
=10（天）
答：这片牧场可供40头牛和32只羊一起吃10天。
【点睛】本题是较为复杂的牛吃草问题，这种问题关键是求出草每天生长的份数和草地原有的草的份数；可以利用两种假设条件求出；本题需要注意把羊的只数转化为牛的头数便于解答。
11．春天养殖厂在2004年的夏天严重缺水，需要从离养殖厂2000米处的河里抽水，如果用3台抽水机抽6天水量刚好充足；如果用4台抽水机抽4天水量刚好充足，那么要在2天内把水量抽足，需要多少台抽水机？（途中每天水蒸发量相等）
【答案】7台
【分析】根据已知条件“用3台同样的抽水机抽6天水量刚好充足，用4台这样的抽水机抽4天水量刚好充足”可求出每天的蒸发量以及养殖场需要的水量，然后求出问题的解。
【详解】解：设每台抽水机每天的抽水量为1份。
每天的蒸发量：
（3×6-4×4）÷（6-4）
=（18-16）÷2
=2÷2
=1（份）
养殖厂需要的水量：
3×6-1×6=12（份）
2天内把水抽干需要抽水机的台数：
（12+2×1）÷2
=（12+2）÷2
=14÷2
=7（台）
答：要在2天内把水量抽足，需要7台抽水机。
【点睛】求出每天的蒸发量以及养殖场需要的水量，是解答本题的关键。
12．红旗农场有三块草地，面积分别是5、15、36公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供12头牛吃28天，第二块草地可供21头牛吃63天，第三块草地可供36头牛吃多少天？
【答案】126天
【分析】为解决这个问题，只需要将三块草地的面积统一起来，求5、15、36的最小公倍数180， 因为5公顷草地可供12头牛吃28天，180÷5=36，所以180公顷草地可供12×36=432头牛吃28天，因为15公顷草地可供21头牛吃63天，180÷15=12，所以180公顷草地可供21×12=252头牛吃63天，因为180÷36=5，所以180公顷草地可供5×36=180头牛吃多少天，因为草地面积相同，所以原题可变为：“一个牧场上的青草都匀速生长，这片青草可供432头牛吃28天，或可供252头牛吃63天，那么可供180头牛吃多少天？”
【详解】解：由分析知，本题可转化为：一个牧场上的青草都匀速生长，这片青草可供432头牛吃28天，或可供252头牛吃63天，那么可供180头牛吃多少天？
设1头牛一天吃的草为1份
①每天新长出的草量：
（252×63-432×28）÷（63－28）
=（15876-12096）÷（63－28）
=3780÷35
=108（份）
②牧场原有草量：
252×63-108×63
=15876-6804
=9072（份）
③可供180头牛吃的天数：
9072÷（180－108）
=9072÷72
﹦126（天）
答：第三块草地可供36头牛吃126天。
【点睛】解答此题的关键是将三块草地的面积统一起来，将复杂的题变为简单的基本类型的题目进行解答即可。
13．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？
【答案】9天
【详解】略
14．一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？
【答案】54分钟
【分析】水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.
【详解】先计算1个水龙头每分钟放出水量.
2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4×60= 240（立方米）.
时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240÷（5×150-8×90）=8（立方米），
8个水龙头1个半小时放出的水量是8×8×90，
其中 90分钟内流入水量是 4×90，因此原来水池中存有水8×8×90-4×90=5400（立方米）.
打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400÷（8×13-4）=54（分钟）.
答：打开13个龙头，放空水池要54分钟.
15．某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？
【答案】4天
【分析】此题相当于“牛吃草问题”，开工前运进的砖相当于“原有草量”，开工后每天运进相同的砖相当于“新生长的草”，工人砌砖相当于“牛在吃草”。所以设1名工人1天砌砖数量为“1”，那么每天运来的砖为（160×10－250×6）÷（10－6）＝25，原有砖的数量为：250×6－6×25＝1350。果120名工人砌10天，将会砌掉10天新运来的砖以及950原有的砖，还剩1350－950＝400原有的砖未用，变成120＋5＝125人来砌砖，还需要：400÷（125－25）＝4（天）。
【详解】设1名工人1天砌砖数量为1。
则每天运来的砖：
（160×10－250×6）÷（10－6）
＝100÷4
＝25
原有砖数：
250×6－6×25
＝1500－150
＝1350
120名工人砌10天后还剩的砖︰
1350－120×10＋10×25
＝1350－1200＋250
＝400
400÷（120＋5－25）
＝400÷100
＝4（天）
答∶还需要4天可以把砖用完。
【点睛】牛吃草问题的基本公式是：生长量＝（较长时间×长时间牛头数－较短时间×短时间牛头数）÷（长时间－短时间）；原有草量＝较长时间×长时间牛头数－较长时间×生长量。灵活运用公式解题，是解答本题的关键。
16．一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把一池水排空，如果同时打开进水阀和两个排水阀，则10分钟能把水池的水排空，问关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要几分钟能排空水池的水？
【答案】5分钟
【分析】本题所给条件中只给出了每次所开进水阀、出水阀的数量及排完水所需时间，没有给出进水、出水具体的数量，所以可设水池容量为１ ，每个进水阀每分钟进水量为x ，排水阀每分钟排水量为y ，两次排水量是一样的为１ ，由此可列式为　，由此求出一个进水阀和一个出水阀的效率，再据已知条件求出同时打开三个排水阀，需多少分钟才能排完水池的水。
【详解】解：设进水阀和排水阀的效率分别为x和y；
将第二个算式乘3；
则30（y＋y）－30x＝3
30x＝60y－3；
将第二个算式代入第一个算式中；
30y－（60y－3）＝1
30y＝2
；
＝1÷
＝5（分）
答：单开3个排水阀5分钟能排完水池的水。
【点睛】解答本题的关键是抓住前两次的排水量一致，分别设出排水和进水的效率，列出两个等量关系式，进而求出排水量。
17．一个牧场，草每天匀速生长，每头牛每天吃的草量相同，17头牛30天可以将草吃完，19头牛只需要24天就可以将草吃完，现有一群牛，吃了6天后，卖掉4头牛，余下的牛再吃2天就将草吃完．问没有卖掉4头牛之前，这一群牛共有多少头？
【答案】没有卖掉4头牛之前，这群牛共有40头
【详解】解：设每头牛每天吃的草量为单位1，
由“17头牛30天可将草吃完”，得知总草量为：17×30＝510（1）
再由“19头牛24天可将草吃完”，求得总草量为19×24=456（2）
因为总草量（1）与总草量（2）的差510-456＝54（单位1）
所以总草量（1）比总草量（2）多长的时间为30一24=6（天）
牧场草每天生长的草量为54÷6=9
由此可知：牧场原有的草量为510-9×30＝240或者456－9×24＝240
由于牧场的草共生长的时间为6+2=8（天）
所以牧场生长的草量为9×8=72（单位1）
进而可知牧场在8天内的总草量为240+72=312（单位1）
假设没有卖牛，即让卖掉的4头牛也吃了8天，算得总草量为312+4×2＝320（单位1）
因此，这群牛的头数为320+8＝40（头）
答：没有卖掉4头牛之前，这群牛共有40头．
18．12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草．多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？
【答案】36头
【详解】设1头牛1天吃1份牧草，则每公亩牧场上的牧草每天的生长量：（21×63÷30-12×28÷10）÷（63-28）=0.3（份），每公亩牧场上的原有草量：21×63÷30-0.3×63=25.2（份），则72公亩的牧场126天可提供牧草：（25.2+0.3×126）×72=4536（份），可供养4536÷126=36头牛
19．快、中、慢三车同时从地出发沿同一公路开往 地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人。已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米，中速车的速度是多少？
【答案】750米/分
【分析】通读题意，由两个未知量，即骑人的速度、汽车出发时骑车人与A点的距离．只要求出这个两个未知量，便可解答本题。先求出快车与慢车的距离；再求出汽车人的速度，然后求出快车出发时与骑车人的距离，即可求出中速车速度。
【详解】（1）快车与慢车的距离为：
（800－600）×7
＝200×7
＝1400（米）；
（2）骑车人的速度：
600－1400÷（14－7）
＝600－1400÷7
＝600－200
＝400（米）；
（3）快车出发时与骑车人的距离：
（800－400）×7
＝400×7
＝2800（米）；
（4）中速车速度：
400＋2800÷8
＝400＋350
＝750（米）
答：中速车的速度是750米。
【点睛】此题巧妙地安排了三个追及事件，需要考生灵活获取信息。
20．北京密云水库建有个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，个小时后水位降至安全线。根据抗洪形势，需要用个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？
【答案】8个
【分析】设每个泄洪闸每小时泄洪的量为“1”，根据“每小时增加的水量＝总量差÷时间差”，求出每小时增加的水量；再根据“原有水量超过安全线的部分＝（泄洪闸数－每小时增加的水量）×时间”，求出原有的水量超过安全线的部分；最后用原有水量÷时间＋每小时增加的水量，即可求出需要打开的泄洪闸数量。
【详解】设每个泄洪闸每小时泄洪的量为“1”，则水库每小时增加的水量为：
（1×30－2×10）÷（30－10）
＝10÷20
＝0.5
原有的水量超过安全线的部分有：
（1－0.5）×30
＝0.5×30
＝15
如果要用个小时使水位降至安全线以下，至少需要打开泄洪闸的个数：
15÷2＋0.5
＝8（个）
答：至少需要同时打开泄洪闸的数目为8个。
【点睛】解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，准确找到等量关系是解题的关键。
21．画展8：30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。
【答案】7：30
【分析】设每分钟1个入口进入的人数为1个单位。8：30到9：00共30分钟3个入口共进入。8：30到8：45共15分钟5个入口共进入，15分钟到来的人数，每分钟到来。8：30以前原有人。所以应排了（分钟），即第一个来人在7：30。
【详解】
＝
＝15
9：00－8：30＝30（分钟）
8：45－8：30＝15（分钟）
30－15＝15（分钟）
15÷15＝1
＝90－30
＝60
（分钟）
8：30－60分＝7：30
答：第一个观众到达的时间是7：30。
【点睛】解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每分新来的人的数量，再求出原有观众的数量，进而解答题中所求的问题。
22．有一个蓄水池，池中已经有一些水，一个进水管不断向池内匀速进水．如果打开10个相同的出水管放水，3小时放完；如果打开5个相同的出水管放水，8小时放完．如果要求在2小时放完，要安排多少个相同的出水管？
【答案】14个
【详解】排水问题对照“牛吃草问题”，蓄水池原注入的水量相当于“原有的草量”，打开出水管时新注入的水量相当于“新生长的草量”，每小时注入的水量相当于“每天新生长的草量”．
解：(1)每小时新注入的水量是：
（5×8-10×3）÷（10-5）
=（40-30）÷5
=10÷5
=2（个）
(2)排水前原有的水量是：
10×3-2×3
=30-6
=24（个）
（3）蓄水池2小时的总水量是：
24+2×2=28（个）
4.2小时把池内的水排完需要安排同样的出水管数是：28÷2=14（个）
答：要想2小时内把池内的水排完需要安排同样的14个出水管．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题38 牛吃草问题
一、 基本概念
牛吃草问题是由伟大的科学家牛顿提出的，因此也叫“牛顿问题”。
核心逻辑：这是一个 “在原有存量的基础上，一边消耗（牛吃草），一边生长（草生长）” 的动态过程。
三大核心要素：
1.原有草量：牧场最开始有的草的总量（这是固定的，我们需要求的或利用的）。
2.草的生长速度：每天新长出来的草量（假设匀速生长）。
3.牛的吃草速度：通常假设每头牛每天吃1份草。
关键特征：
变中有不变：虽然草在长，牛在吃，但 “原有草量” 是不变的。
双重变化：草的总量 = 原有草量 + 新长草量 - 牛吃掉的草量。
二、 常见题型分类
1.求时间型：已知牛的数量和草的生长情况，求多少天能把草吃完。
2.求牛数型：已知吃完草的时间，求需要多少头牛。
3.极值型（可持续发展）：求最多放多少头牛，才能保证草永远吃不完（即牛吃的速度 ≤ 草长的速度）。
4.变形问题：如“检票口进人问题”、“水库蓄水/放水问题”、“漏船舀水问题”。
三、 核心公式（必背）
牛吃草问题的本质是 “工程问题” 与 “行程问题（追及问题）” 的结合。
基础公式：
(解释：牛一边吃，草一边长，实际上牛是在“追”那堆原有的草)
推导公式（用于求草的生长速度）：
极值公式：
(如果牛的数量超过这个数，草迟早会被吃完；等于这个数，草量保持不变；小于这个数，草会越长越多)
四、 解题三大步骤（万能模板）
解决牛吃草问题，只需要按以下三步走：
1.列方程求生长量：
利用两组不同的“牛数”和“天数”数据，列出两个方程，通过相减消去“原有草量”，先求出“每天草的生长量”。
2.代入求原有量：
将求出的“生长量”代入任意一个方程，求出“原有草量”。
3.根据问题求解：
根据题目问的是“天数”、“牛数”还是“极值”，利用公式进行计算。
五、 核心解题方法
1.公式法（基础）：
直接套用上述核心公式，适合标准的牛吃草模型。
2.假设法（进阶）：
假设一部分牛专门吃每天新长的草，剩下的牛去吃原有的草。这种方法在解决“极值型”问题时非常直观。
3.方程法（通用）：
设草的生长速度为 ，原有草量为 ，根据题意列二元一次方程组求解。这是最不容易出错的方法。
一、 基础题（标准模型）
例 1： 一片牧场，草每天都在均匀地生长。如果放牧 24 头牛，则 6 天吃完牧草；如果放牧 21 头牛，则 8 天吃完牧草。那么，如果放牧 16 头牛，多少天可以吃完牧草？
解题步骤：
1.设变量：
设每头牛每天吃 1 份草，草每天生长 份。
2.找不变量（原有草量）列方程：
第一种情况：原有草量 =
第二种情况：原有草量 =
因为原有草量不变，所以：
3.解方程求 ：
(说明草每天生长 12 份)
4.求原有草量：
代入第一种情况： (份)
5.求 16 头牛吃完的时间：
设需要 天。
6.答案：放牧 16 头牛，18 天可以吃完牧草。
跟踪练习 1：
牧场上长满牧草，每天牧草都匀速生长。这片牧场可供 10 头牛吃 20 天，可供 15 头牛吃 10 天。那么，可供 25 头牛吃多少天？
答案提示：先求草生长速度为 5 份/天，原有草量为 100 份。25 头牛吃 天。
二、 进阶题（极值型）
例 2： 画展 9 点开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众一样多。如果开了 3 个入场口，则 9 分钟后就不再有人排队；如果开 5 个入场口，则 5 分钟后就不再有人排队。那么第一个观众到达的时间是几点几分？
(注：这是牛吃草的变形题。“开门”相当于“牛开始吃草”，“排队的人”相当于“草”，“新来的人”相当于“生长的草”，“入场口”相当于“牛”。)
解题步骤：
1.转化模型：
设每个入场口每分钟进 1 人。
设每分钟新来的人数为 。
设开门前已经排队的人数（原有草量）为 。
2.列方程：
3 个口 9 分钟： ... ①
5 个口 5 分钟： ... ②
3.解方程组：
① - ② 得：
(每分钟来 0.5 个人)
代入 ② 求 ：
(开门前有 22.5 个人在排队)
4.求第一个观众到达时间：
既然每分钟来 0.5 个人，那么要积攒 22.5 个人，需要的时间为：
5.答案：画展 9 点开门，往前推 45 分钟，第一个观众到达的时间是 8 点 15 分。
跟踪练习 2：
一片牧场，草每天都在匀速减少（假设冬天）。如果放牧 10 头牛，20 天吃完；如果放牧 15 头牛，10 天吃完。那么如果放牧 25 头牛，几天吃完？（提示：此时草是负增长）
答案提示：设草每天减少 份。方程： 。解得 ，原有草量 300。25 头牛吃 天。
三、 挑战题（多人型与复杂逻辑）
例 3： 由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长大，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可供 20 头牛吃 5 天，或可供 16 头牛吃 6 天。那么，可供 11 头牛吃几天？
解题步骤：
1.调整模型：
这是一个 “草在枯萎” 的问题。公式变为：
(因为草在减少，相当于牛不仅要吃掉原有的，还要“补上”草减少的量)
2.列方程求减少量：
设每天草减少 份。
(两边都等于原有草量)
3.求原有草量：
代入第一组数据： (份)
4.求 11 头牛的时间：
设吃 天。
5.答案：可供 11 头牛吃 8 天。
跟踪练习 3：
一个水池安装有排水量都相同的排水管若干根。一根进水管不断地往池里放水，每分钟的水量都相同。如果开放 3 根排水管，45 分钟可以把池中水排完；如果开放 5 根排水管，25 分钟可以把池中水排完。现在开放 8 根排水管，几分钟可以把水排完？
答案提示：这是“进水（草生长）+ 排水（牛吃草）”模型。设进水管每分钟进水 ，一根排水管每分钟排水 1 份。方程： 。解得 ，原有水量 90。8 根管排 分钟。
1．4头牛、4匹马和4只羊每天共吃草84千克，6头牛、4匹马和5只羊每天共吃草96千克，7头牛、4匹马和6只羊每天共吃草103千克；1头牛、1匹马和1只羊每天各吃草多少千克？
2．一个牧场上的青草每天都匀速生长，这片青草可供15头牛吃24天，或供20头牛吃14天，现有一群牛吃了6天后卖掉1头，余下的牛又吃了3天将草吃完，这群牛原有多少头？
3．有一片草地，草每天的生长速度不变，可供8只羊吃20天或14只羊吃10天。这片草地原有若干只羊吃了4天后又加入了6只羊，这样又吃了两天便将草吃完，求原有羊多少只？
4．有一片牧场上的草均匀地减少，如果24头牛6天或12头牛10天可以把草吃完，那么牧场上每天减少的草可供几头牛吃一天？
5．一艘轮船行驶在大海上，船长发现船底破了个小洞，发现时船舱中已经进了不少水，水还在不断地涌入船舱内，每分钟涌入的水量相等。如果让5个船员来排水，40分钟可以排完；如果让8个船员来排水，20分钟可排完。现在船长要求12分钟内必须把水排完，需要多少个船员？
6．一个农夫有面积为2公顷、4公顷和6公顷的三块牧场。三块牧场上的草长得一样密，而且长得一样快。农夫将8头牛赶到2公顷的牧场，牛5天吃完了草；如果农夫将8头牛赶到4公顷的牧场，牛15天可吃完草。问：若农夫将这8头牛赶到6公顷的牧场，这块牧场可供这些牛吃几天？
7．三块牧场，场上的草长得一样密，而且长得一样快，它们的面积分别是3公顷、10公顷和24公顷。第一块牧场饲养12头牛，可以维持4周；第二块牧场饲养25头牛，可以维持8周。问第三块牧场上饲养多少头牛恰好可以维持18周？
8．画展9点开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队；如果开5个入场口，9点5分就没有人排队．求第一个观众到达的时间．
9．建筑工地开工前已经运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖。如果派36个工人砌墙，24天可以把砖用完；如果派40个工人砌墙，20天可以把砖用完。现派工人若干名，砌8天后，有5名工人参加表彰大会，其余工人又工作两天，才把场上的砖用完，问原来派多少名工人？
10．一片牧草，每天在匀速生长，现在这片牧草可供120只羊吃20天或36头牛吃15天。如果一头牛吃的草量相当与4只羊的吃草量，那么这片牧场可供40头牛和32只羊吃多少天？
11．春天养殖厂在2004年的夏天严重缺水，需要从离养殖厂2000米处的河里抽水，如果用3台抽水机抽6天水量刚好充足；如果用4台抽水机抽4天水量刚好充足，那么要在2天内把水量抽足，需要多少台抽水机？（途中每天水蒸发量相等）
12．红旗农场有三块草地，面积分别是5、15、36公顷。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供12头牛吃28天，第二块草地可供21头牛吃63天，第三块草地可供36头牛吃多少天？
13．由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅不长，反而以固定的速度在减少，如果某块草地上的草可供25头牛吃4天，或可供16头牛吃6天，那么可供10头牛吃多少天？
14．一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？
15．某建筑工地开工前运进一批砖，开工后每天运进相同数量的砖，如果派250个工人砌砖墙，6天可以把砖用完，如果派160个工人，10天可以把砖用完，现在派120名工人砌了10天后，又增加5名工人一起砌，还需要再砌几天可以把砖用完？
16．一个装满了水的水池有一个进水阀及三个口径相同的排水阀，如果同时打开进水阀及一个排水阀，则30分钟能把一池水排空，如果同时打开进水阀和两个排水阀，则10分钟能把水池的水排空，问关闭进水阀并且同时打开三个排水阀，需要几分钟能排空水池的水？
17．一个牧场，草每天匀速生长，每头牛每天吃的草量相同，17头牛30天可以将草吃完，19头牛只需要24天就可以将草吃完，现有一群牛，吃了6天后，卖掉4头牛，余下的牛再吃2天就将草吃完．问没有卖掉4头牛之前，这一群牛共有多少头？
18．12头牛28天可以吃完10公亩牧场上全部牧草，21头牛63天可以吃完30公亩牧场上全部牧草．多少头牛126天可以吃完72公亩牧场上全部牧草（每公亩牧场上原有草量相等，且每公亩牧场上每天生长草量相等）？
19．快、中、慢三车同时从地出发沿同一公路开往 地，途中有骑车人也在同方向行进，这三辆车分别用7分钟、8分钟、14分钟追上骑车人。已知快车每分钟行800米，慢车每分钟行600米，中速车的速度是多少？
20．北京密云水库建有个泄洪洞，现在水库的水位已经超过安全线，并且水量还在以一个不变的速度增加，为了防洪，需要调节泄洪的速度，假设每个闸门泄洪的速度相同，经测算，若打开一个泄洪闸，个小时以后水位降至安全线；若同时打开两个泄洪闸，个小时后水位降至安全线。根据抗洪形势，需要用个小时使水位降至安全线以下，则至少需要同时打开泄洪闸的数目为多少个？
21．画展8：30开门，但早有人来排队入场，从第一个观众来到时起，若每分钟来的观众一样多，如果开3个入场口，9点就不再有人排队；如果开5个入场口，8点45分就没有人排队。求第一个观众到达的时间。
22．有一个蓄水池，池中已经有一些水，一个进水管不断向池内匀速进水．如果打开10个相同的出水管放水，3小时放完；如果打开5个相同的出水管放水，8小时放完．如果要求在2小时放完，要安排多少个相同的出水管？
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