资源简介

专题40 最优化问题
一、基本概念
最优化问题是指在一定约束条件下，通过合理规划、统筹安排，使某个目标（如时间最短、成本最低、利润最高、效率最优等）达到极值（最大或最小）的一类应用题。核心逻辑是：在有限资源或条件限制下，找到“最优策略”，实现目标的最大化或最小化。
二、核心要素（必知）
1.目标函数：需要优化的量（如时间、成本、利润、面积等），是解题的最终追求。
2.约束条件：限制目标实现的条件（如资源总量、时间限制、工序要求等），是解题的前提。
3.优化策略：通过调整变量（如分配方案、操作顺序、数量配比等），使目标函数达到极值的方法。
三、常见题型分类
根据目标和约束条件的不同，可分为以下四大类及变形问题：
1.时间统筹优化：通过合理安排工序顺序，减少总时间（如“沏茶问题”“排队问题”）。
核心：找出可并行的工序，避免时间浪费。
例：妈妈做早餐，需熬粥（20分钟）、煎蛋（5分钟）、热牛奶（3分钟），如何安排最省时间？
2.物资分配优化：在资源总量固定时，分配物资使目标（如利润、效率）最大化（如“生产分配”“运输调度”）。
核心：根据单位资源的“性价比”（如单位利润、单位效率）优先分配资源。
例：用120kg材料生产A、B两种产品，A需2kg/件（利润30元），B需3kg/件（利润50元），如何分配使总利润最高？
3.最值问题优化：在几何、经济等场景中，求目标量的最大或最小值（如“面积最大”“成本最低”）。
核心：利用极端值（如几何图形的边长关系、函数顶点）或枚举法确定最值。
例：用24米篱笆围长方形菜园（一边靠墙），如何围使面积最大？
4.策略优化：通过选择最优方案解决实际问题（如“购物省钱”“路线最短”“比赛策略”）。
核心：对比不同方案的结果，选择最优解。
例：某商品A店“买3送1”（单价10元），B店打八折（单价10元），买10件去哪家更省钱？
四、核心解题方法（必会）
1.枚举法：适用于变量较少的简单问题，列举所有可能方案，对比结果选最优。
例：从A到B有3条路，B到C有2条路，选最短路线需枚举所有3×2=6种组合。
2.极端值法：适用于几何或函数类最值问题，通过分析边界条件（如“长方形周长一定时，正方形面积最大”）确定极值。
例：周长固定的长方形，长=宽时面积最大。
3.图表法：通过画流程图（时间统筹）、表格（物资分配）或线段图（路线问题），直观呈现条件，辅助分析。
例：时间统筹中用流程图标注各工序的并行关系。
4.逻辑推理法：根据“性价比优先”“减少浪费”等原则，直接推导最优策略。
例：时间统筹中，优先做耗时最长的工序，同时穿插其他短工序。
5.方程/函数法：设变量建立目标函数，通过求函数极值（如二次函数顶点）或解不等式确定最优解。
例：物资分配中，设生产数量为未知数，列利润函数求最大值。
五、解题四步曲（万能模板）
1.明确目标：确定要优化的量（求最大还是最小？如“最短时间”“最大利润”）。
2.分析约束：列出所有限制条件（如“材料总量≤120kg”“工序必须先后顺序”）。
3.选择方法：根据题型选枚举、极端值、图表等方法，设计优化方案。
4.验证结果：检查方案是否符合约束条件，确认目标是否达到极值。
一、基础题（时间统筹优化）
例1：小明帮妈妈做家务，需要做的事情及时间如下：扫地（5分钟）、擦桌子（3分钟）、烧开水（10分钟）、洗水果（2分钟）。怎样安排最省时间？最少需要多少分钟？
解题步骤：
1.明确目标：总时间最短。
2.分析约束：烧开水时无需一直操作，可同时做其他事；扫地、擦桌子、洗水果需依次或并行完成。
3.选择方法：图表法（流程图）。
烧开水（10分钟）的同时，可扫地（5分钟）+擦桌子（3分钟）+洗水果（2分钟），刚好10分钟。
4.验证结果：总时间=烧开水时间=10分钟，无冲突。
答案：先烧开水，同时扫地、擦桌子、洗水果，最少需要10分钟。
跟踪练习1：妈妈做饭，淘米（2分钟）、煮饭（20分钟）、洗菜（5分钟）、切菜（3分钟）、炒菜（10分钟）。最省时间的安排是？总时间多久？
答案提示：淘米（2分钟）→煮饭（20分钟，同时洗菜+切菜+炒菜），总时间=2+20=22分钟。
二、进阶题（物资分配优化）
例2：某工厂生产甲、乙两种零件，甲零件每个利润8元，需材料3kg；乙零件每个利润12元，需材料5kg。现有材料60kg，如何分配生产使总利润最高？
解题步骤：
1.明确目标：总利润最高。
2.分析约束：材料总量≤60kg，甲、乙零件数量为非负整数。
3.选择方法：逻辑推理法（性价比优先）+枚举法。
o计算单位材料利润：甲=8÷3≈2.67元/kg，乙=12÷5=2.4元/kg，甲性价比更高，应优先生产甲。
设生产甲x个，乙y个，3x+5y≤60，利润=8x+12y。
优先生产甲：x=20时，3×20=60kg，y=0，利润=8×20=160元；
若少生产5个甲（节省15kg材料），可生产乙3个（5×3=15kg），利润=8×15+12×3=120+36=156元＜160元。
4.验证结果：全生产甲时利润最高。
答案：生产甲零件20个，乙零件0个，总利润160元。
跟踪练习2：用100元采购A、B两种文具，A单价5元（利润2元），B单价10元（利润3元），且A数量不少于B的2倍。如何采购利润最高？
答案提示：A性价比=2/5=0.4元/元，B=3/10=0.3元/元，优先A。设B买x个，A≥2x，5×2x+10x≤100→x≤5，A=10个，B=5个，利润=2×10+3×5=35元。
三、挑战题（最值问题优化）
例3：用一根长30米的篱笆围成一个长方形养鸡场，其中一面靠墙（墙足够长），问长和宽各是多少时，养鸡场面积最大？最大面积是多少？
解题步骤：
1.明确目标：面积最大。
2.分析约束：篱笆长30米，靠墙一侧不用篱笆，设靠墙边长为x（长），宽为y，则x+2y=30，面积S=xy。
3.选择方法：函数法+极端值法。
由x=30-2y，代入面积公式：S=(30-2y)y=-2y +30y，这是开口向下的二次函数，顶点处S最大。
顶点y=-b/(2a)=-30/(2×(-2))=7.5米，此时x=30-2×7.5=15米。
4.验证结果：S=15×7.5=112.5平方米，符合条件。
答案：长15米，宽7.5米时面积最大，最大面积112.5平方米。
跟踪练习3：用24cm长的铁丝围长方形，长和宽为整数，面积最大是多少？
答案提示：长+宽=12cm，长=宽=6cm时（正方形）面积最大，6×6=36cm 。
1．有一个80人的旅游团，其中男性50人，女性30人，他们入住的酒店有11人间、7人间和5人间的三种房间，男女分别住在不同的房间，且要求每个房间均住满，他们最少要住多少个房间？
【答案】10间
【分析】要求房间的数量最少，则11人间的数量选择的多一点。
男生：总人数是50人，选择4间11人的，剩余的6人无法注满房间，
则选择3间11人的，剩余17人，可以选择7人间的1间和2间5人间的。
女生：总人数30人，选择2间11人的，剩余的8人无法注满房间，
则选择1间11人的，剩余19人，可以选择7人间的1间和1间5人间的。
【详解】男：50÷11＝4（间）……6（人）
50－3×11
＝50－33
＝17（人）
17＝1×7＋2×5
男生：3间11人的，1间7人间和2间5人间。
女生：30÷11＝2（间）……8（人）
30－11＝19（人）
19＝2×7＋5×1
女生：1间11人的，2间7人间和1间5人间。
3＋1＋2＋1＋2＋1＝10（间）
答：他们最少要住10个房间。
2．用一只平底锅煎大饼，该平底锅只能同时放4个大饼；一个大饼要烙两面，烙熟大饼的每一面都需要3分钟，而且在这3分钟内，大饼不能中途离开平底锅。现在要烙熟46个大饼，那么最少需要多少分钟？
【答案】69分钟
【分析】根据题意，我们知道：4个大饼同时烙两面，一共需要3×2＝6（分），要这样烙熟46个大饼12锅，但最后一锅只有两个；故为了节省时间不妨这样烙：前40个，都是一锅把4个大饼两面烙好，同时取出；后6个，是先放4个，过3分钟，把其中2个翻面，2个取出，接着把最后剩下的2个放入，再过3分钟，把两面都烙的取出，放入刚才取出只烙一面的2个，接着把另外2个翻面，再过3分钟，全部取出即可，可见共需要：40÷4×6＋3＋3＋3＝69（分）
【详解】3×2＝6（分）
40÷4×6＝60（分）
60＋3＋3＋3＝69（分）
答：至少需要69分钟。
3．韩梅梅的妈妈要烤面包，第一面需要烤2分钟，烤第二面时，面包比较干了，只要烤一分钟足够了，也就是说烤一片面包需要3分钟。现在要烤3片面包，一次只能放两片面包，问至少要用多长时间？
【答案】5分钟
【分析】读题可知，要使烤面包的时间最少，就要使烤锅里尽可能同时烤2片面包：第一次放入两片，2分钟后一个翻面、一个出锅，同时放入第三片；放入的第三片需要2分钟烤好一面，中途可以取出已经翻过面的面包，放入出锅未翻面的面包；待第三片烤好一面时，前两片已经完全烤好，最后只要把第三片翻面再烤1分钟结束，据此算出总时间即可。
【详解】将3片面包编号1、2、3
前2分钟：放入1、2号，
第2分钟后，取出1号，2号翻面，放入3号。
第3分钟后，2号完成，1号翻面放入。
第4分钟后，1号完成，3号翻面。
第5分钟后，3号完成，全部完成。
2＋1＋1＋1
＝3＋1＋1
＝4＋1
＝5（分钟）
答：至少要用5分钟时间。
4．个牧童骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁四头牛，甲牛过河需2分钟，乙牛过河需3分钟，丙牛过河需6分钟，丁牛过河需7分钟。每次最多赶两头牛过河，而且牧童每次都要骑在牛背上过河。要把四头牛都赶到对岸去，最少需要多少分钟？
【答案】18分钟
【分析】过河用时较少的两头牛先过河，然后骑着过河用时最少的牛回来，再让过河用时较长的两头牛一起过河，然后骑着另一头过河用时较少的牛回来，最后骑着两头过河用时较少的牛过河即可。
【详解】第1次用时2分钟和3分钟的2头牛先过河，用时3分钟，然后骑着用时2分钟的牛回到河岸，合计用时3＋2＝5（分）
第2次用时6分钟和7分钟的2头再过河，用时7分钟，然后骑着用时3分钟的牛回到河岸，合计用时7＋3＝10（分）
第3次用时2分钟和3分钟的2头牛过河，用时3分钟。
5＋10＋3＝18（分）
答：要把四头牛都赶到对岸去，最少需要18分钟。
5．早晨起床后，爸爸让小玲自己用奶粉冲一杯牛奶。洗水壶要1分钟，洗杯子和汤匙各要1分钟，烧开水要12分钟，取奶粉要2分钟，冲奶粉要1分钟。小玲应怎样安排，才能使自己尽快喝上牛奶？共需多少分钟？
【答案】14分钟
【分析】首先洗水壶要1分钟，烧开水要12分钟，在这12分钟里，可以完成洗杯子和汤匙，取奶粉，然后烧开水后冲奶粉；由此求得结果即可。
【详解】首先洗水壶，然后烧开水，在烧开水的同时，可以完成洗杯子和汤匙，取奶粉；然后烧开水后冲奶粉；这样就可以使自己尽快喝上牛奶。
1＋12＋1＝14（分钟）
答：首先洗水壶，然后烧开水，在烧开水的同时，可以完成洗杯子和汤匙，取奶粉；然后烧开水后冲奶粉；这样就可以使自己尽快喝上牛奶；共需要14分钟。
6．有5个人各拿1只水桶到水龙头前接水，水龙头给5个人的水桶注满水所需的时间分别是6分钟、4分钟、3分钟、5分钟、2分钟。现在只有一个水龙头可以接水，怎样安排，才能使他们总的等候时间最短？这个最短的时间是多少？
【答案】按照接水时间由短到长的顺序来接水；50分钟
【分析】先接水的人接水时，后面的人都要等候，所以要使他们总的等候时间最短，就应该按照接水时间由短到长的顺序来接水。
【详解】按照接水时间分别为2分钟、3分钟、4分钟、5分钟、6分钟的顺序接水，才能使他们总的等候时间最短。
2×5＋3×4＋4×3＋5×2＋6
＝10＋12＋12＋10＋6
＝50（分钟）
答：这个最短的时间是50分钟。
7．有66吨煤要从煤场运到发电厂，大卡车的载重量是5吨，耗油量是10升；小卡车的载重量是2吨，耗油量是5升．如果要使总耗油量最少，应该如何安排大小卡车．
【答案】可以派遣12辆大卡车和3辆小卡车或13辆大卡车和1辆小卡车，总耗油量最少为135升．
【详解】如果是10吨的重量，大卡车要耗油20升，而小卡车要耗油25升．所以应该尽量安排大卡车，对于最后剩下的6吨，可以有三种方案：
（1）两辆大卡车，则耗油20升；
（2）一辆大卡车和一辆小卡车，则耗油15升；
（3）三辆小卡车，则耗油15升．
综上所述，可以派遣12辆大卡车和3辆小卡车或13辆大卡车和1辆小卡车，总耗油量最少为135升．
8．某加油站每次只能对一辆车进行加油．加满一辆大卡车的油需要7分钟；加满一辆三卡车的油需要5分钟；加满一辆小汽车的油需要4分钟．现在有一辆大卡车、一辆三轮卡车、一辆小汽车同时来到加油站加油．问加油站应该怎样安排这三辆车的加油顺序，才能使总共需要的时间（包括加油及等候的时间）最省？
【答案】为了节省时间，这三辆车加油的顺序应该是：小汽车、三轮卡车、大卡车．最节省的时间是29分钟．
【分析】由于这个加油站一次只能对一辆车进行加油，因此当三辆车一起来的时候，就会发生两辆车要等候的情况．由于各辆车加油的时间是固定的，因此要尽量节省时间，只有尽量减少等候的时间．如果安排大卡车先加油，那未其他两辆车都必须等候7分钟；而如果安排小汽车先加油，那未其他两辆车都只须等4分钟．显然，小汽车先加油可节省等候时间．同样道理，第二辆加油的应该是三轮卡车，最后才给大卡车加油．
【详解】为了节省时间，这三辆车加油的顺序应该是：小汽车、三轮卡车、大卡车，这是最佳的策略．当小汽车加油时，其他两辆车各等候4分钟，当三轮卡车加油时，大卡车等候5分钟；直到大卡车加完油，总共用时间为4+（4+5）+（4+5+7）=4+9+16=29（分钟）．
答：最节省的时间是29分钟．
9．用一只平底锅煎饼，每次只能放两张饼，煎熟一只饼需要2分钟（煎熟正面反面各需要1分钟）．那么煎三只饼至少要几分钟？煎n（n≥2）只饼至少要几分钟？
【答案】煎三只饼至少要3分钟，煎n（n≥2）只饼至少要n分钟
【分析】煎三只饼若是一只一只地煎，要6分钟；但是每次可以放两只饼，可以同时煎熟两种饼，现煎第三只饼，这样共需要4分钟，但是这两种策略都不是最佳策略．
【详解】煎三只饼至少需要三分钟．因为，第一次煎两个饼，一分钟后两个饼都熟了一面，此时将第二只取出，第一只翻个面，再放入第三只．又煎了一分钟，第一只煎好取出，第三只翻个面，再将第二只放入，再煎一分钟，全部煎熟了。煎n只饼，需要n分钟．因为，当n是偶数时，每煎两个需要2分钟，可以两只两只地煎；当n是奇数时，也可以两只两只地煎，直到最后剩下三只饼时采用上面的方法就可以了．
10．有150个人要赶到90千米外的某地去执行任务．现有一辆中乘50人，时速为70千米的卡车．若这些人步行时速为10千米，请你设计一种乘车及步行的方案，使这150个人全部到达目的地所用的时间最少（上下车时间忽略不计）．
【答案】步行30千米，乘车60千米所用时间最少，为小时
【分析】由于卡车只能运送50个人，若将这50个人从起点送到终点，其他人步行到终点，这和150个人步行到终点所用的时间相同（全部到达时间）汽车没有起到省时间的作用．因此汽车应该把50个人送至某一点后，返回去接另外50个人，如此往返．另外不乘车的人也应步行前进．总之：车要不停地开，人要不停地走，最大限度地利用人力和物力．为了省时间，应该同时出发同时到达．由于卡车车座的限制，应将150个人平均分成3组，每组50个人．同时为了保证同时到达，每组乘车走的路程必须相同，步行也必须相同．所以一题的关键是每组要乘车走多少路，步行走多少路．
【详解】将150个人平均分成三组，每组50个人，为了使这三组人数到达目的地所用的时间最少，必须使每一组人都步行相同的路程，乘车相同的路．
如图所示，设每组步行x千米，则乘车（90-x）千米．卡车送完第一组走完（90-x0）千米后返回来接第二组，与第二组相遇时第二组走了千米，此时汽车走了．由于他们所用的时间相等，根据时间=路程÷速度，可列方程得，解得x=30（千米），即最省时间的方案是步行30千米，乘车60千米．所用的时间为．
11．车间内有5台机器同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次是15、8、29、7、10分钟．每台机器停产一分钟都将造成10元的经济损失．如何安排修复顺序，使经济损失最少？最少要损失多少元？
【答案】先修复修复时间短的．最少的经济损失为1560元
【分析】如果先修所需修复时间长的机器，而让修复时间短的机器等待无疑将造成较大的经济损失．
【详解】最佳方案是先修复修复时间短的，让其尽快投入生产，减少经济损失．这样总的修复时间为7×5+8×4+10×3+15×2+29=35+32+30+30+29=156（分），而最少的经济损失为10×156=1560（元）．
12．社办厂生产两种产品：制造一公斤甲种产品要花1个劳动日，用原料5公斤．制造1公斤乙种产品要花2个劳动日，用与甲同样的原料3公斤．假如甲种产品每公斤利润为700元，乙种产品每公斤利润600元，并且社办厂只有750公斤原料，生产两种产品只允许花220个劳动日，试问：甲、乙两种产品各生产多少公斤时，才能使社办厂获利最大？
【答案】甲生产120公斤，乙生产50公斤时，获得的利润最大，最大的利润是114000元．
【详解】假设生产甲种产品x公斤，为了获得最大的利润，必须充分利用劳动日和原料，从而乙种产品必定生产公斤．由于劳动日为220天，从而有，解这个方程可得x=120（公斤），从而；即甲产品要生产120公斤，乙产品要生产50公斤时，获得的利润最大，最大的利润是700×120+600×50=84000+3000=114000（元）．
13．有5位探险家计划横穿沙漠．他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶315千米的汽油．显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠．于是，他们计划在保证其余车安全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠．当然，实现这一计划需要几辆车相互借用汽油（但不允许将汽油放在途中）．问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多远的沙漠？
【答案】525千米
【详解】如下图所示，5辆车从A点一起出发，到B点时第1辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余4辆车，注意，B点的最佳选择应满足刚好使这4辆车全部加满汽油；剩下的4辆车继续前进，到C点时第2辆车留下够自己返回A点的汽油，剩下的汽油全部转给其余3辆车，使它们刚好加满汽油；剩下的3辆车继续前进……到E点时，第4辆车留下返回A点的汽油，剩下的汽油转给第5辆车．此时，第5辆车是加满汽油的，还能向前行驶315千米．
5辆车到达B点时，第1辆车要把另外4辆车消耗掉的汽油补上，加上自己往返AB的汽油，所以应把行驶315千米的汽油分成6份，2份供自己往返AB，4份给另外4辆车每辆加1份，刚好使这4辆车都加满汽油．AB长为：315÷6=52.5（千米）；
4辆车从B点继续前进，到达C点时，4辆车共消耗掉4份（BC）汽油，再加上第2辆车从C经B返回A，所以第2辆车是把汽油分成：5份BC+1份AB=315（千米），由上可知6份AB=315（千米），所以AB=BC，也就是说第2辆车仍是把汽油分成6份，3份供自己从B到C，再从C返回A，3份给另外3辆车加满汽油，由此知BC长也是52.5千米．
同理，CD=DE=52.5（千米）．
所以第5辆车最远能行驶52.5×4+315=525（千米）．
14．冬冬中午要炒一个菜，煮一锅饭，烧一壶水。用煤气炉炒菜每道工序的时间如下：切菜4分钟，准备佐料4分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟。用煤气炉烧水每道工序的时间如下：洗水壶2分钟，用火烧水15分钟，把开水灌到热水瓶中需要2分钟。用电饭锅煮饭每道工序的时间如下：淘米4分钟，煮饭18分钟。冬冬家的煤气炉只有一个煤气灶。请问：冬冬做完这三件事情最短需要多少分钟？
【答案】25分钟
【分析】因为只有一个煤气炉，所以可以先洗水壶，需要2分钟，然后烧水需要15分钟，在烧水的15分钟内，可以同时淘米4分钟，淘米后，烧水还需要15－4＝11分钟，同时用电饭锅煮饭需要18分钟，与此同时，可以完成切菜、准备佐料，节约4＋4＝8分钟；水烧开后，把开水灌到热水瓶中需要2分钟，同时烧热锅节约2分钟，再烧热油，需要2分钟，最后炒菜需要4分钟，此时饭已经煮好，据此设计所用的时间最少。
【详解】根据题干分析可得先洗水壶，需要2分钟→烧水需要15分钟（在烧水的15分钟内，可以同时淘米4分钟，淘米后，烧水还需要15－4＝11分钟，同时用电饭锅煮饭需要18分钟，与此同时，可以完成切菜、准备佐料，节约4＋4＝8分钟）→水烧开后，把开水灌到热水瓶中需要2分钟（同时烧热锅节约2分钟）→再烧热油，需要2分钟→最后炒菜需要4分钟，此时饭已经煮好。
2＋15＋2＋2＋4＝25（分钟）
答：最少需要25分钟。
【点睛】本题主要考查了推理与论证，在解题时要注意统筹方法的应用。
15．理发店里同时来了A、B、C三个顾客，A理板寸需要7分钟，B理光头需要10分钟，C烫卷发需要40分钟．请问：如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短？这个最短的时间是多少？
【答案】先理用时少的，最后理用时最多的顾客，等待时间的总和最少，等待总时间最少81分钟．
【详解】试题分析：要顾客等待时间的总和最少，应先安排用时少的先理，即先给A理板寸用时7分钟的，再给B理光头用时10分钟的，最后给C烫卷发用时40分钟，则第一人用时7分钟，第二人等待7+10分钟，第三人等待7+10+40分钟由此计算出等待总时间即可．
解：要使这三位顾客等待时间的总和最少，
应先理用时7分钟的，再理用时10分钟的，最后理用时40分钟的；
等待的总时间为：
7+（7+10）+（7+10+40）
=7+17+57
=81（分钟）
答：先理用时少的，最后理用时最多的顾客，等待时间的总和最少，等待总时间最少81分钟．
点评：明确按用时由少到多的顺序做，顾客等待时间的总和最少是完成本题的关键．
16．玩具加工厂要把小正方体形状积木的六个面染色，两个面染红色，两个面染蓝色，另两个面染黄色．厂里的机器可以同时给6个小正方体的一面染上相同的颜色，每次需要5分钟．现在有8个积木要加工，那么用这种机器至少需要多少分钟才能完成？
【答案】45分钟.
【详解】试题分析：为了便于说明问题，用1～8来标号表示8个正方体，第一次先染1～6号的一面用5分钟；第二次染1～4号的另一面和7、8号的一面用5分钟；然后再把5～8号换面染成红色，又用了5分钟；这样1～8的两面都有红色，共用5×3=15分钟；同理，两个面染蓝色，两个面染黄色的时间都是15分钟，据此计算总时间即可．
解：用1～8来标号表示8个正方体，第一次先染1～6号的一面用5分钟；
第二次染1～4号的另一面和7、8号的一面用5分钟；
第三次再把5～8号换面染成红色，又用了5分钟；
这样1～8的两面都有红色，共用5×3=15（分钟）；
同理，两个面染蓝色，两个面染黄色的时间都是15分钟，
共用：15×3=45（分钟）
答：用这种机器至少需要45分钟才能完成．
点评：本题考查了染色问题，关键是统筹安排第一次染色后剩下的两个正方体，与第一次染色后的六个交换两个染色．
17．（广州）甲、乙、丙三人都要从A地到B地去，甲有一辆摩托车每次只能带一人，甲每小时可以行36千米，乙、丙步行的速度为每小时4千米，已知A、B两地相距36千米．求三人同时到达的最短时间为多少小时？
【答案】三人同时到达的最短时间为小时
【详解】试题分析：若甲先骑摩托车带乙前行，到达某处后，放下乙，返回接丙，然后带丙前行，与乙同时到达B地：设甲乙先行了x小时，则甲乙行程为36x，丙行程为4x，甲乙，和丙相距：36x﹣4x=32x，甲丙相遇，需要：32x÷（36+4）=x小时，此时，乙和丙各自步行了：4×x=x千米；甲丙，与乙的距离还是32x，三人同时到达，即甲丙正好追上乙，据此即可解答问题．
解答：解：甲先骑摩托车带乙前行，到达某处后，放下乙，返回接丙，然后带丙前行，与乙同时到达B地．
设甲乙先行了x小时，则甲乙行程为36x，丙行程为4x，
甲乙，和丙相距：36x﹣4x=32x，
那么甲丙相遇，需要：32x÷（36+4）=x（小时）
此时，乙和丙各自步行了：4×x=x（千米）
甲丙，与乙的距离还是32x
三人同时到达，即甲丙正好追上乙，需要：
32x÷（36﹣4）=x（小时）
乙或丙的行程，就等于全程，以乙为例，列方程如下：
36x+x+4x=36
x=36
x=
所以最短用时：
x+x+x=x=×=（小时）
答：三人同时到达的最短时间为小时．
点评：此题较复杂，应抓住甲乙丙三人行驶的时间、路程以及他们各自间的距离关系这个关键，进而分析解答即可．
18．车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元．现有两名工作效率相同的修理工，
(1)怎样安排才能使得经济损失最少？
(2)怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？
【答案】（1）一人修17、20、30，另一人修18、25 ；最少的经济损失为： 910元
（2）一人修需18，17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短为55分钟．
【分析】怎样安排才能使经济损失最少，必须等待的时间少，那么我们应该把时间短的放在前面，并且使两名修理工的工作时间尽量接近．
【详解】（1）一人修17、20、30，另一人修18、25 ；最少的经济损失为：5×（17×3+20×2+30+18×2+25）=910（元）．
（2）因为（18＋30＋17＋25＋20）÷2=55（分），一人修需18，17和20分钟的三台，另一人修需30和25分钟的两台，修复时间最短为55分钟．
19．某人从金坛出发去扬州、常州、苏州、杭州各一次，最后返回金坛 ．已知各城市之间的路费如下表所示，请为他设计一条路费最省的路线 ．（表中单位：元）
【答案】金坛常州杭州苏州扬州金坛
或金坛扬州苏州杭州常州金坛
共需路费130元
【详解】将两个城市之间的路费标在它们连线上，如图
可以看到有三对城市之间路费最低，都是15元．把它们连接起来，
常州扬州苏州杭州一线
共用45元，这时可以组成方案（1）金坛常州扬州苏州杭州金坛
共需路费135元 ．这是运费最少的方案么？
方案（2）金坛常州杭州苏州扬州金坛
共需路费130元 ．
（2）比（1）小，因此，要路费最省，15元的路段至多用2条 ．当有2条15元的路段时，次低25元的路段至多有1条，因此5段路费不会少于
15+15+25+30+40=125（元）
下面来说明，总路费125元是不能达到的 ．事实上，由金坛一进一出的30+40=70元不能变动，如果变动，总路费便会增加 ．这样，在选定 金坛常州，金坛扬州 的前提下，两个15元的路段就不能取 扬州常州，而只能取扬州苏州，苏州杭州 ．这时，再选扬州杭州，或苏州常州， 哪一条都不能形成起于金坛最后又止于金坛的经过其余每个城市各一次的回路 ．所以，总路费125元是不能实现的 ．由于路费差价至少是5元，所以方案（2）的总路费130元是最省的 ．
答：路费最省的路线为金坛常州杭州苏州扬州金坛
或金坛扬州苏州杭州常州金坛
共需路费130元 ．
20．成都青年旅行社“五一”推出甲、乙两种优惠方案：
甲：成都一日游，大人每位全票80元，小朋友四折
乙：成都一日游，团体5人以上（含5人）每位六折
（1）李老师带5名小朋友游览，选哪种方案省钱？
（2） 李老师和王老师带4名小朋友游览，选哪种方案省钱？
（3） 张三、王五两位小朋友及各自的父母6人游览，选哪种方案省钱？
【答案】（1）甲方案省钱
（2）甲乙方案都可以
（3）乙方案省钱。
【分析】考查最优化问题，只要算出每种情况下，甲乙两方案各需要多少钱，进行比较就可以得出答案。
【详解】（1）李老师带5名小朋友游览，即1个大人和5个小朋友，共计6人
甲方案：1×80＋5×80×0.4
＝80＋160
＝240（元）
乙方案：（1＋5）×80×0.6
＝6×80×0.6
＝288（元）
240＜288，
答：甲方案省钱。
（2）李老师和王老师带4名小朋友游览，即2个大人和4个小朋友，共计6人
甲方案：2×80＋4×80×0.4
＝160＋128
＝288（元）
乙方案：（2＋4）×80×0.6
＝6×80×0.6
＝288（元）
答：甲乙方案都可以选。
（3）张三、王五两位小朋友及各自的父母6人游览，即4个大人和2个小朋友，共计6人
甲方案：4×80＋2×80×0.4
＝320＋64
＝384（元）
乙方案：（4＋2）×80×0.6
＝6×80×0.6
＝288（元）
384＞288，
答：乙方案省钱。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题40 最优化问题
一、基本概念
最优化问题是指在一定约束条件下，通过合理规划、统筹安排，使某个目标（如时间最短、成本最低、利润最高、效率最优等）达到极值（最大或最小）的一类应用题。核心逻辑是：在有限资源或条件限制下，找到“最优策略”，实现目标的最大化或最小化。
二、核心要素（必知）
1.目标函数：需要优化的量（如时间、成本、利润、面积等），是解题的最终追求。
2.约束条件：限制目标实现的条件（如资源总量、时间限制、工序要求等），是解题的前提。
3.优化策略：通过调整变量（如分配方案、操作顺序、数量配比等），使目标函数达到极值的方法。
三、常见题型分类
根据目标和约束条件的不同，可分为以下四大类及变形问题：
1.时间统筹优化：通过合理安排工序顺序，减少总时间（如“沏茶问题”“排队问题”）。
核心：找出可并行的工序，避免时间浪费。
例：妈妈做早餐，需熬粥（20分钟）、煎蛋（5分钟）、热牛奶（3分钟），如何安排最省时间？
2.物资分配优化：在资源总量固定时，分配物资使目标（如利润、效率）最大化（如“生产分配”“运输调度”）。
核心：根据单位资源的“性价比”（如单位利润、单位效率）优先分配资源。
例：用120kg材料生产A、B两种产品，A需2kg/件（利润30元），B需3kg/件（利润50元），如何分配使总利润最高？
3.最值问题优化：在几何、经济等场景中，求目标量的最大或最小值（如“面积最大”“成本最低”）。
核心：利用极端值（如几何图形的边长关系、函数顶点）或枚举法确定最值。
例：用24米篱笆围长方形菜园（一边靠墙），如何围使面积最大？
4.策略优化：通过选择最优方案解决实际问题（如“购物省钱”“路线最短”“比赛策略”）。
核心：对比不同方案的结果，选择最优解。
例：某商品A店“买3送1”（单价10元），B店打八折（单价10元），买10件去哪家更省钱？
四、核心解题方法（必会）
1.枚举法：适用于变量较少的简单问题，列举所有可能方案，对比结果选最优。
例：从A到B有3条路，B到C有2条路，选最短路线需枚举所有3×2=6种组合。
2.极端值法：适用于几何或函数类最值问题，通过分析边界条件（如“长方形周长一定时，正方形面积最大”）确定极值。
例：周长固定的长方形，长=宽时面积最大。
3.图表法：通过画流程图（时间统筹）、表格（物资分配）或线段图（路线问题），直观呈现条件，辅助分析。
例：时间统筹中用流程图标注各工序的并行关系。
4.逻辑推理法：根据“性价比优先”“减少浪费”等原则，直接推导最优策略。
例：时间统筹中，优先做耗时最长的工序，同时穿插其他短工序。
5.方程/函数法：设变量建立目标函数，通过求函数极值（如二次函数顶点）或解不等式确定最优解。
例：物资分配中，设生产数量为未知数，列利润函数求最大值。
五、解题四步曲（万能模板）
1.明确目标：确定要优化的量（求最大还是最小？如“最短时间”“最大利润”）。
2.分析约束：列出所有限制条件（如“材料总量≤120kg”“工序必须先后顺序”）。
3.选择方法：根据题型选枚举、极端值、图表等方法，设计优化方案。
4.验证结果：检查方案是否符合约束条件，确认目标是否达到极值。
一、基础题（时间统筹优化）
例1：小明帮妈妈做家务，需要做的事情及时间如下：扫地（5分钟）、擦桌子（3分钟）、烧开水（10分钟）、洗水果（2分钟）。怎样安排最省时间？最少需要多少分钟？
解题步骤：
1.明确目标：总时间最短。
2.分析约束：烧开水时无需一直操作，可同时做其他事；扫地、擦桌子、洗水果需依次或并行完成。
3.选择方法：图表法（流程图）。
烧开水（10分钟）的同时，可扫地（5分钟）+擦桌子（3分钟）+洗水果（2分钟），刚好10分钟。
4.验证结果：总时间=烧开水时间=10分钟，无冲突。
答案：先烧开水，同时扫地、擦桌子、洗水果，最少需要10分钟。
跟踪练习1：妈妈做饭，淘米（2分钟）、煮饭（20分钟）、洗菜（5分钟）、切菜（3分钟）、炒菜（10分钟）。最省时间的安排是？总时间多久？
答案提示：淘米（2分钟）→煮饭（20分钟，同时洗菜+切菜+炒菜），总时间=2+20=22分钟。
二、进阶题（物资分配优化）
例2：某工厂生产甲、乙两种零件，甲零件每个利润8元，需材料3kg；乙零件每个利润12元，需材料5kg。现有材料60kg，如何分配生产使总利润最高？
解题步骤：
1.明确目标：总利润最高。
2.分析约束：材料总量≤60kg，甲、乙零件数量为非负整数。
3.选择方法：逻辑推理法（性价比优先）+枚举法。
o计算单位材料利润：甲=8÷3≈2.67元/kg，乙=12÷5=2.4元/kg，甲性价比更高，应优先生产甲。
设生产甲x个，乙y个，3x+5y≤60，利润=8x+12y。
优先生产甲：x=20时，3×20=60kg，y=0，利润=8×20=160元；
若少生产5个甲（节省15kg材料），可生产乙3个（5×3=15kg），利润=8×15+12×3=120+36=156元＜160元。
4.验证结果：全生产甲时利润最高。
答案：生产甲零件20个，乙零件0个，总利润160元。
跟踪练习2：用100元采购A、B两种文具，A单价5元（利润2元），B单价10元（利润3元），且A数量不少于B的2倍。如何采购利润最高？
答案提示：A性价比=2/5=0.4元/元，B=3/10=0.3元/元，优先A。设B买x个，A≥2x，5×2x+10x≤100→x≤5，A=10个，B=5个，利润=2×10+3×5=35元。
三、挑战题（最值问题优化）
例3：用一根长30米的篱笆围成一个长方形养鸡场，其中一面靠墙（墙足够长），问长和宽各是多少时，养鸡场面积最大？最大面积是多少？
解题步骤：
1.明确目标：面积最大。
2.分析约束：篱笆长30米，靠墙一侧不用篱笆，设靠墙边长为x（长），宽为y，则x+2y=30，面积S=xy。
3.选择方法：函数法+极端值法。
由x=30-2y，代入面积公式：S=(30-2y)y=-2y +30y，这是开口向下的二次函数，顶点处S最大。
顶点y=-b/(2a)=-30/(2×(-2))=7.5米，此时x=30-2×7.5=15米。
4.验证结果：S=15×7.5=112.5平方米，符合条件。
答案：长15米，宽7.5米时面积最大，最大面积112.5平方米。
跟踪练习3：用24cm长的铁丝围长方形，长和宽为整数，面积最大是多少？
答案提示：长+宽=12cm，长=宽=6cm时（正方形）面积最大，6×6=36cm 。
1．有一个80人的旅游团，其中男性50人，女性30人，他们入住的酒店有11人间、7人间和5人间的三种房间，男女分别住在不同的房间，且要求每个房间均住满，他们最少要住多少个房间？
2．用一只平底锅煎大饼，该平底锅只能同时放4个大饼；一个大饼要烙两面，烙熟大饼的每一面都需要3分钟，而且在这3分钟内，大饼不能中途离开平底锅。现在要烙熟46个大饼，那么最少需要多少分钟？
3．韩梅梅的妈妈要烤面包，第一面需要烤2分钟，烤第二面时，面包比较干了，只要烤一分钟足够了，也就是说烤一片面包需要3分钟。现在要烤3片面包，一次只能放两片面包，问至少要用多长时间？
4．个牧童骑在牛背上赶牛过河，共有甲、乙、丙、丁四头牛，甲牛过河需2分钟，乙牛过河需3分钟，丙牛过河需6分钟，丁牛过河需7分钟。每次最多赶两头牛过河，而且牧童每次都要骑在牛背上过河。要把四头牛都赶到对岸去，最少需要多少分钟？
5．早晨起床后，爸爸让小玲自己用奶粉冲一杯牛奶。洗水壶要1分钟，洗杯子和汤匙各要1分钟，烧开水要12分钟，取奶粉要2分钟，冲奶粉要1分钟。小玲应怎样安排，才能使自己尽快喝上牛奶？共需多少分钟？
6．有5个人各拿1只水桶到水龙头前接水，水龙头给5个人的水桶注满水所需的时间分别是6分钟、4分钟、3分钟、5分钟、2分钟。现在只有一个水龙头可以接水，怎样安排，才能使他们总的等候时间最短？这个最短的时间是多少？
7．有66吨煤要从煤场运到发电厂，大卡车的载重量是5吨，耗油量是10升；小卡车的载重量是2吨，耗油量是5升．如果要使总耗油量最少，应该如何安排大小卡车．
8．某加油站每次只能对一辆车进行加油．加满一辆大卡车的油需要7分钟；加满一辆三卡车的油需要5分钟；加满一辆小汽车的油需要4分钟．现在有一辆大卡车、一辆三轮卡车、一辆小汽车同时来到加油站加油．问加油站应该怎样安排这三辆车的加油顺序，才能使总共需要的时间（包括加油及等候的时间）最省？
9．用一只平底锅煎饼，每次只能放两张饼，煎熟一只饼需要2分钟（煎熟正面反面各需要1分钟）．那么煎三只饼至少要几分钟？煎n（n≥2）只饼至少要几分钟？
10．有150个人要赶到90千米外的某地去执行任务．现有一辆中乘50人，时速为70千米的卡车．若这些人步行时速为10千米，请你设计一种乘车及步行的方案，使这150个人全部到达目的地所用的时间最少（上下车时间忽略不计）．
11．车间内有5台机器同时出了故障，从第1台到第5台的修复时间依次是15、8、29、7、10分钟．每台机器停产一分钟都将造成10元的经济损失．如何安排修复顺序，使经济损失最少？最少要损失多少元？
12．社办厂生产两种产品：制造一公斤甲种产品要花1个劳动日，用原料5公斤．制造1公斤乙种产品要花2个劳动日，用与甲同样的原料3公斤．假如甲种产品每公斤利润为700元，乙种产品每公斤利润600元，并且社办厂只有750公斤原料，生产两种产品只允许花220个劳动日，试问：甲、乙两种产品各生产多少公斤时，才能使社办厂获利最大？
13．有5位探险家计划横穿沙漠．他们每人驾驶一辆吉普车，每辆车最多能携带可供一辆车行驶315千米的汽油．显然，5个人不可能共同穿越500千米以上的沙漠．于是，他们计划在保证其余车安全返回出发点的前提下，让一辆车穿越沙漠．当然，实现这一计划需要几辆车相互借用汽油（但不允许将汽油放在途中）．问：穿越沙漠的那辆车最多能穿越多远的沙漠？
14．冬冬中午要炒一个菜，煮一锅饭，烧一壶水。用煤气炉炒菜每道工序的时间如下：切菜4分钟，准备佐料4分钟，烧热锅2分钟，烧热油2分钟，炒菜4分钟。用煤气炉烧水每道工序的时间如下：洗水壶2分钟，用火烧水15分钟，把开水灌到热水瓶中需要2分钟。用电饭锅煮饭每道工序的时间如下：淘米4分钟，煮饭18分钟。冬冬家的煤气炉只有一个煤气灶。请问：冬冬做完这三件事情最短需要多少分钟？
15．理发店里同时来了A、B、C三个顾客，A理板寸需要7分钟，B理光头需要10分钟，C烫卷发需要40分钟．请问：如何安排这三个人的理发顺序才能使得他们三人所花的时间总和最短？这个最短的时间是多少？
16．玩具加工厂要把小正方体形状积木的六个面染色，两个面染红色，两个面染蓝色，另两个面染黄色．厂里的机器可以同时给6个小正方体的一面染上相同的颜色，每次需要5分钟．现在有8个积木要加工，那么用这种机器至少需要多少分钟才能完成？
17．（广州）甲、乙、丙三人都要从A地到B地去，甲有一辆摩托车每次只能带一人，甲每小时可以行36千米，乙、丙步行的速度为每小时4千米，已知A、B两地相距36千米．求三人同时到达的最短时间为多少小时？
18．车间里有五台车床同时出现故障，已知第一台到第五台修复时间依次为18，30，17，25，20分钟，每台车床停产一分钟造成经济损失5元．现有两名工作效率相同的修理工，
(1)怎样安排才能使得经济损失最少？
(2)怎样安排才能使从开始维修到维修结束历时最短？
19．某人从金坛出发去扬州、常州、苏州、杭州各一次，最后返回金坛 ．已知各城市之间的路费如下表所示，请为他设计一条路费最省的路线 ．（表中单位：元）
20．成都青年旅行社“五一”推出甲、乙两种优惠方案：
甲：成都一日游，大人每位全票80元，小朋友四折
乙：成都一日游，团体5人以上（含5人）每位六折
（1）李老师带5名小朋友游览，选哪种方案省钱？
（2） 李老师和王老师带4名小朋友游览，选哪种方案省钱？
（3） 张三、王五两位小朋友及各自的父母6人游览，选哪种方案省钱？
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