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专题41 错中求解
一、基本概念
错中求解，顾名思义，是指在计算过程中，由于看错数字、抄错符号或弄错运算顺序，导致计算结果发生错误。但题目通常会给出“错误的计算过程”和“由此产生的错误结果”，要求我们根据这些信息，逆向推理，求出正确的结果或原本的算式。
核心逻辑： 逆向思维（倒推法）。既然知道“因为看错导致了什么结果”，我们就要反过来想“原本应该是什么样”。
关键点： 找出“变”与“不变”。在看错的过程中，通常另一个加数、被减数、除数等未被看错的部分是不变的，这是解题的突破口。
二、核心要素（必知）
1.错误原因： 看错数字（如把6看成9）、看错运算符号（如把 看成 ）、弄错运算顺序。
2.错误结果： 题目给出的非正确答案。
3.隐藏条件： 未被看错的数值或算式中的不变量。
4.求解目标： 正确的计算结果或原算式。
三、常见题型分类
根据错误发生的场景，主要分为以下三类：
1. 加减法中的错中求解
场景： 在加法或减法竖式中，某个数位上的数字被看错。
核心规律：
加法： 一个加数增加（或减少）了多少，和就相应增加（或减少）多少。
减法：
如果被减数看大了，差就大；被减数看小了，差就小。
如果减数看大了，差就小；减数看小了，差就大。
例： 小马虎在做加法时，把一个加数个位上的6看成了9，算出的和是47。正确的和应该是多少？
2. 乘除法中的错中求解
场景： 在乘法中看错因数，导致积发生变化。
核心规律：
乘法： 一个因数不变，另一个因数扩大或缩小几倍，积也跟着扩大或缩小相同的倍数。或者利用“错误的因数 另一个因数 = 错误的积”来倒推。
例： 小明做乘法题，把一个因数23看成了32，得到的积是224。正确的积应该是多少？
3. 综合算式与逆向还原
场景： 混合运算中弄错顺序，或者利用错误结果反推原数。
核心规律： 结合四则运算各部分关系（加数+加数=和，被减数-减数=差等）进行逆向推导。
四、核心解题方法（必会）
1.关系式法（公式法）：
利用四则运算中各部分之间的关系（如：被除数 除数 = 商……余数）列出等式，代入错误数据求出不变量。
2.倒推法（逆推法）：
从错误的结果出发，逆向推导出错误的算式，再修正错误的数字或符号，最后计算正确结果。
3.抓不变量法：
在错中求解问题中，通常有一个数是未被看错的（如除法中的除数，或者加法中未被看错的那个加数），先求出这个不变量是解题关键。
五、解题三步曲（万能模板）
1.分析错误： 仔细阅读题目，明确“哪里看错了”（是数字变大了还是变小了？符号变了吗？）。
2.求不变量： 利用错误的算式和错误的结果，求出题目中没有发生变化的那个数（通常是另一个加数、除数、或者被减数等）。
3.算正确值： 将求出的不变量代入正确的算式中，计算出正确的结果。
一、基础题（加减法中的错中求解）
例1： 小华在计算两个数相加时，把第一个加数个位上的6错看成了9，把第二个加数十位上的3错看成了8，结果算出来的和是476。正确的和应该是多少？
解题步骤：
1.分析错误：
第一个加数：个位6看成9，数值增加了 。
第二个加数：十位3看成8，数值增加了 。
总共增加了 。
2.逻辑推理： 因为两个加数都看大了，所以错误的和比正确的和大了53。
3.计算正确值： 正确的和 = 错误的和 - 多加的部分 = 。
答案： 正确的和是 423。
跟踪练习1： 小马虎在计算减法时，把被减数783看成了738，得到的差是247。正确的差应该是多少？
提示： 被减数看小了（ ），差也就变小了45。正确的差 = 。
二、进阶题（乘除法中的错中求解）
例2： 小明在做一道除法题时，把除数65错写成了56，结果得到的商是13，还余52。正确的商应该是多少？
解题步骤：
1.抓不变量： 题目中被除数是不变的。先根据错误的除数、错误的商和余数求出被除数。
被除数 = 除数 商 + 余数
被除数 = 。
2.算正确值： 用求出的被除数除以正确的除数。
。
答案： 正确的商是 12。
跟踪练习2： 小红做一道乘法题，把一个因数24错看成了42，得到的积是630。正确的积应该是多少？
提示： 先求另一个不变的因数： ；再算正确积： 。
三、挑战题（符号看错与综合应用）
例3： 小丽在计算 减去一个数时，错把减号看成了加号，结果得到了240。正确的得数应该是多少？
解题步骤：
1.求不变量（即那个未知的减数）： 根据错误的算式 。
未知数 = 。
2.算正确值： 代入正确的减法算式。
。
答案： 正确的得数是 132。
跟踪练习3： 小刚在计算一道加法题时，把一个加数十位上的5错看成了3，结果算出的和是128。已知另一个加数是47，正确的和应该是多少？
提示： 十位5看成3，这个加数少算了20，和也就少了20。正确和 = 。
1．叶叶在计算一道加法算式时，把其中一个加数十位上的2看成了5，个位上的1看成了7，结果算出的和是912，正确的和应该是______。
2．小明在做一道一位小数乘一位小数的乘法时，把其中一个因数的十分位上的数字4误看成1，得出乘积是5.25；小乐却把这个因数的十分位上的数字误看成8，得出的乘积是7。正确的乘积是( )。
3．已知9个数的乘积是800，将其中一个数改为4，这9个数的乘积是200，若再将另外一个数改为30，则这9个数的乘积变为1200，则这两个被改动的数以外的7个数的乘积是________。
4．小马虎在计算一道有余数的除法算式时，把被除数247错写成了427，这样商比原来大了6，而余数正好相同。那么这个算式的除数是( )。
5．小芳在计算“”时，先算了加法，再算乘法得到的结果为8180，则这个算式的正确结果应该是( )。
6．李军在计算“203 □×12”时，先算了减法，得到的结果是2304，那么正确的结果是__________。
7．小淘气在计算有余数的除法时，把被除数当成了，结果商比正确结果大了，但余数恰好相同，则这个算式正确的商是_________。
8．一名同学在做一道加法题时，误把一个加数十位的9看成了6，另一个加数百位的1看成了7，算出的结果是962，那么正确的结果应该是( )。
9．小强在计算除法时，把除数76写成67，结果得到的商是15且余数是5，正确的商是 ( )，余数是 ( )。
10．丽丽在计算乘法时，把乘数十位上的9看成6，把乘数个位上的6看成9，使计算结果少了2052，那么这道题的另一个乘数是__________。
11．小明在计算一道除法算式时，把被除数14.7错看成17.4，得到的商比原来多4.5。则这道除法算式正确的商是多少？
12．小马虎在计算7.38除以一个数时，商的小数点向右多点了一位，这样商比原来多了22.14，这道题的除数是多少？
13．小马在计算7.38除以一个数时，由于商的小数点向左多点了一位，结果得0.492，这道题的除数是多少？
14．乐乐计算两个三位数相加时，把一个加数十位上的5错看成了8，把另一个加数百位上的9错看成了7，算得的结果是657。这道题正确的计算结果是多少？
15．小丽计算一道减法算式时，把减数17看成了71，这样算出的结果是22。正确的差是多少？
16．小虎在做一道减法题时，把减数34看成了43，结果算出来的差是29。这个算式的被减数是多少？正确的差是多少？
17．一道减法算式的被减数是905，可可计算时，把减数的百位和个位上的数字颠倒了位置，算出的结果是268。正确结果应该是多少？
18．马大哈计算78减一个两位数时，把减数十位上的2错看成了5，得到的结果是25，正确的结果是多少？
19．明明在计算54加一个数时，不小心用墨水弄脏了纸，只剩下一个4，这样计算出的结果是13。正确的结果是多少？
20．小明做一道减法题时，把被减数十位上的5看成了3，个位上的1看成了7，得到的差是24。正确的差应该是多少？
21．小关在做一道两位数减法题时，把减数十位上的3看成了5，把个位上的1看成了7，得到的差是28。正确的差是多少？
22．小优在做一道两位数加法题时，错把一个加数个位上的6看成了8，把另一个加数十位上的3看成了5，得到的结果是100。正确的结果是多少？
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题41 错中求解
一、基本概念
错中求解，顾名思义，是指在计算过程中，由于看错数字、抄错符号或弄错运算顺序，导致计算结果发生错误。但题目通常会给出“错误的计算过程”和“由此产生的错误结果”，要求我们根据这些信息，逆向推理，求出正确的结果或原本的算式。
核心逻辑： 逆向思维（倒推法）。既然知道“因为看错导致了什么结果”，我们就要反过来想“原本应该是什么样”。
关键点： 找出“变”与“不变”。在看错的过程中，通常另一个加数、被减数、除数等未被看错的部分是不变的，这是解题的突破口。
二、核心要素（必知）
1.错误原因： 看错数字（如把6看成9）、看错运算符号（如把 看成 ）、弄错运算顺序。
2.错误结果： 题目给出的非正确答案。
3.隐藏条件： 未被看错的数值或算式中的不变量。
4.求解目标： 正确的计算结果或原算式。
三、常见题型分类
根据错误发生的场景，主要分为以下三类：
1. 加减法中的错中求解
场景： 在加法或减法竖式中，某个数位上的数字被看错。
核心规律：
加法： 一个加数增加（或减少）了多少，和就相应增加（或减少）多少。
减法：
如果被减数看大了，差就大；被减数看小了，差就小。
如果减数看大了，差就小；减数看小了，差就大。
例： 小马虎在做加法时，把一个加数个位上的6看成了9，算出的和是47。正确的和应该是多少？
2. 乘除法中的错中求解
场景： 在乘法中看错因数，导致积发生变化。
核心规律：
乘法： 一个因数不变，另一个因数扩大或缩小几倍，积也跟着扩大或缩小相同的倍数。或者利用“错误的因数 另一个因数 = 错误的积”来倒推。
例： 小明做乘法题，把一个因数23看成了32，得到的积是224。正确的积应该是多少？
3. 综合算式与逆向还原
场景： 混合运算中弄错顺序，或者利用错误结果反推原数。
核心规律： 结合四则运算各部分关系（加数+加数=和，被减数-减数=差等）进行逆向推导。
四、核心解题方法（必会）
1.关系式法（公式法）：
利用四则运算中各部分之间的关系（如：被除数 除数 = 商……余数）列出等式，代入错误数据求出不变量。
2.倒推法（逆推法）：
从错误的结果出发，逆向推导出错误的算式，再修正错误的数字或符号，最后计算正确结果。
3.抓不变量法：
在错中求解问题中，通常有一个数是未被看错的（如除法中的除数，或者加法中未被看错的那个加数），先求出这个不变量是解题关键。
五、解题三步曲（万能模板）
1.分析错误： 仔细阅读题目，明确“哪里看错了”（是数字变大了还是变小了？符号变了吗？）。
2.求不变量： 利用错误的算式和错误的结果，求出题目中没有发生变化的那个数（通常是另一个加数、除数、或者被减数等）。
3.算正确值： 将求出的不变量代入正确的算式中，计算出正确的结果。
一、基础题（加减法中的错中求解）
例1： 小华在计算两个数相加时，把第一个加数个位上的6错看成了9，把第二个加数十位上的3错看成了8，结果算出来的和是476。正确的和应该是多少？
解题步骤：
1.分析错误：
第一个加数：个位6看成9，数值增加了 。
第二个加数：十位3看成8，数值增加了 。
总共增加了 。
2.逻辑推理： 因为两个加数都看大了，所以错误的和比正确的和大了53。
3.计算正确值： 正确的和 = 错误的和 - 多加的部分 = 。
答案： 正确的和是 423。
跟踪练习1： 小马虎在计算减法时，把被减数783看成了738，得到的差是247。正确的差应该是多少？
提示： 被减数看小了（ ），差也就变小了45。正确的差 = 。
二、进阶题（乘除法中的错中求解）
例2： 小明在做一道除法题时，把除数65错写成了56，结果得到的商是13，还余52。正确的商应该是多少？
解题步骤：
1.抓不变量： 题目中被除数是不变的。先根据错误的除数、错误的商和余数求出被除数。
被除数 = 除数 商 + 余数
被除数 = 。
2.算正确值： 用求出的被除数除以正确的除数。
。
答案： 正确的商是 12。
跟踪练习2： 小红做一道乘法题，把一个因数24错看成了42，得到的积是630。正确的积应该是多少？
提示： 先求另一个不变的因数： ；再算正确积： 。
三、挑战题（符号看错与综合应用）
例3： 小丽在计算 减去一个数时，错把减号看成了加号，结果得到了240。正确的得数应该是多少？
解题步骤：
1.求不变量（即那个未知的减数）： 根据错误的算式 。
未知数 = 。
2.算正确值： 代入正确的减法算式。
。
答案： 正确的得数是 132。
跟踪练习3： 小刚在计算一道加法题时，把一个加数十位上的5错看成了3，结果算出的和是128。已知另一个加数是47，正确的和应该是多少？
提示： 十位5看成3，这个加数少算了20，和也就少了20。正确和 = 。
1．叶叶在计算一道加法算式时，把其中一个加数十位上的2看成了5，个位上的1看成了7，结果算出的和是912，正确的和应该是______。
【答案】876
【分析】先算出看错后多加的数，再用错误的和减去多加的部分，即可得到正确的和。
【详解】十位上把 2 看成 5，多加了： 50－20＝30
个位上把 1 看成 7，多加了： 7－1＝6
一共多加：30＋6＝36
正确的和：912－36＝876
2．小明在做一道一位小数乘一位小数的乘法时，把其中一个因数的十分位上的数字4误看成1，得出乘积是5.25；小乐却把这个因数的十分位上的数字误看成8，得出的乘积是7。正确的乘积是( )。
【答案】
6
【分析】小明把其中一个因数的十分位上的数字4误看成1，得出乘积是5.25；小乐把这个因数的十分位上的数字误看成8，得出的乘积是7。据此可知两次乘积的差为：7－5.25＝1.75；两次看错的这个因数相差：0.8－0.1＝0.7。因此可以求出另外一个因数为：1.75÷0.7＝2.5。再用小明算出来的乘积5.25除以2.5可以求出小明将这个因数错看成了：5.25÷2.5＝2.1，据此即可知道这个因数原本为2.4，因此再用2.5乘2.4即可求出正确的乘积。
【详解】另外一个因数为：（7－5.25）÷（0.8－0.1）
＝1.75÷0.7
＝2.5
小明错看成的因数：5.25÷2.5＝2.1
正确的因数：2.4
2.5×2.4＝6
因此正确的乘积为6。
3．已知9个数的乘积是800，将其中一个数改为4，这9个数的乘积是200，若再将另外一个数改为30，则这9个数的乘积变为1200，则这两个被改动的数以外的7个数的乘积是________。
【答案】10
【分析】将其中一个数改为4，这9个数的乘积是200，据此可以求出这个数原来是：800÷200×4＝4×4＝16；若再将另外一个数改为30，则这9个数的乘积变为1200，则另外这个数原来是：30÷（1200÷200）＝30÷6＝5；最后再用800除以这两个被改动的数的乘积，据此即可求出被改动的数以外的7个数的乘积。
【详解】第一个数原来为：800÷200×4
＝4×4
＝16
第二个数原来为：30÷（1200÷200）
＝30÷6
＝5
800÷（16×5）
＝800÷80
＝10
因此这两个被改动的数以外的7个数的乘积是10。
4．小马虎在计算一道有余数的除法算式时，把被除数247错写成了427，这样商比原来大了6，而余数正好相同。那么这个算式的除数是( )。
【答案】30
【分析】被除数增加了427－247＝180，商增加了6而余数不变，说明被除数增加180会多6个除数，除数为30。
【详解】427－247＝180
180÷6＝30
【点睛】结合具体情景理解题意，理解的会更深。
5．小芳在计算“”时，先算了加法，再算乘法得到的结果为8180，则这个算式的正确结果应该是( )。
【答案】2138
【分析】根据题目的要求，得出，得出是31。再将31代到原算式得出正确结果即可。
【详解】
＝2014＋124
＝2138
则这个算式的正确结果应该是2138。
6．李军在计算“203 □×12”时，先算了减法，得到的结果是2304，那么正确的结果是__________。
【答案】
71
【分析】根据题意，李军先算减法，得到错误结果2304，即（203 ）×12＝2304。由此可求出□的值，再代入原式按正确运算顺序计算即可。
【详解】根据错误运算顺序列式：
解方程求□的值：
代入原式按正确顺序计算：
所以正确的结果是71。
7．小淘气在计算有余数的除法时，把被除数当成了，结果商比正确结果大了，但余数恰好相同，则这个算式正确的商是_________。
【答案】
12
【分析】被除数从148变为172，即被除数增加了：172－148＝24。由于除数和余数都不变，因此被除数增加的24即等于除数与商的变化量的乘积，由此可以求出除数为：24÷2＝12。最后再用正确的被除数148除以12，即可求出正确的商是多少。
【详解】被除数增加了：172－148＝24
除数为：24÷2＝12
正确的商：148÷12＝12……4
因此正确的商是12。
8．一名同学在做一道加法题时，误把一个加数十位的9看成了6，另一个加数百位的1看成了7，算出的结果是962，那么正确的结果应该是( )。
【答案】392
【分析】本题可以根据倒推还原的方法来解决。一个加数十位的9看成了6，即结果会减少：90－60＝30；另一个加数百位的1看成了7，即结果会增加：700－100＝600；算出的结果是962，因此在962的基础上加上30，然后再减去600即可求出正确结果。
【详解】90－60＝30
700－100＝600
962＋30－600
＝992－600
＝392
因此正确的结果应该是392。
9．小强在计算除法时，把除数76写成67，结果得到的商是15且余数是5，正确的商是 ( )，余数是 ( )。
【答案】 13 22
【分析】这里要运用逆向思维，将错就错，首先是把除数就当作是67，根据被除数＝除数×商＋余数，反过来推出被除数是多少，然后算出正确的商。
【详解】67×15＋5
＝1005＋5
＝1010
1010÷76＝13……22
则正确的商是13，余数是22。
10．丽丽在计算乘法时，把乘数十位上的9看成6，把乘数个位上的6看成9，使计算结果少了2052，那么这道题的另一个乘数是__________。
【答案】76
【分析】把乘数十位上的9看成6，则计算结果少了（90－60）个另一个乘数，把乘数个位上的6看成9，是计算结果多了（9－6）个另一个乘数，则一共少了27个另一个乘数就是2052，用除法得出另一个乘数。
【详解】2052÷（30－3）
＝2052÷27
＝76
那么这道题的另一个乘数是76。
【点睛】将错就错，另一个乘数不变，则找出最后的乘积少了多少个另一个乘数即可得出另一个乘数。
11．小明在计算一道除法算式时，把被除数14.7错看成17.4，得到的商比原来多4.5。则这道除法算式正确的商是多少？
【答案】24.5
【分析】根据商的变化规律，增加的被除数÷增加的商＝正确的除数，据此求出正确的除数，再用正确的被除数除以正确的除数即可。
【详解】（17.4－14.7）÷4.5
＝2.7÷4.5
＝0.6
14.7÷0.6＝24.5
答：这道除法算式正确的商是24.5。
【点睛】关键是熟悉除法各部分之间的关系，掌握并灵活运用商的变化规律。
12．小马虎在计算7.38除以一个数时，商的小数点向右多点了一位，这样商比原来多了22.14，这道题的除数是多少？
【答案】3
【分析】商小数点向右多点了一位，那么所得的商是原来的10倍，就比原来大了9倍，9倍的商等于22.14，那么商就等于22.14÷9＝2.46；再依据被除数÷商＝除数，解答即可。
【详解】22.14÷（10－1）
＝22.14÷9
＝2.46
7.38÷2.46＝3
答：这道题的除数是3。
【点睛】此题关键是根据差倍问题求出正确的商是多少。
13．小马在计算7.38除以一个数时，由于商的小数点向左多点了一位，结果得0.492，这道题的除数是多少？
【答案】1.5
【分析】由于商的小数点向左多点了一位，结果得0.492，根据小数点移动的规律可得正确结果为0.492×10＝4.92，再利用被除数÷商＝除数可以得到结果。
【详解】7.38÷（0.492×10）
＝7.38÷4.92
＝1.5
答：这道题的除数是1.5。
【点评】此题主要考查被除数、除数和商的关系，关键是熟悉被除数÷商＝除数的知识点。
14．乐乐计算两个三位数相加时，把一个加数十位上的5错看成了8，把另一个加数百位上的9错看成了7，算得的结果是657。这道题正确的计算结果是多少？
【答案】
827
【分析】十位上的5错看成了8，80－50＝多算的数；百位上的9错看成了7，900－700＝少算的数；少算的数－多算的数＝少算总数；错误结果＋少算总数＝正确结果。
【详解】80－50＝30
900－700＝200
200－30＝170
657＋170＝827
答：这道题正确的计算结果是827。
15．小丽计算一道减法算式时，把减数17看成了71，这样算出的结果是22。正确的差是多少？
【答案】76
【分析】在减法算式中，被减数－减数＝差，题目中被减数没有发生变化，只是减数看错了，根据“减数＋差＝被减数”，我们可以先利用错误的减数和错误的差求出被减数，再用被减数减去正确的减数，即可得到正确的差。
【详解】22＋71＝93
93－17＝76
答：正确的差是76。
16．小虎在做一道减法题时，把减数34看成了43，结果算出来的差是29。这个算式的被减数是多少？正确的差是多少？
【答案】72；38
【分析】本题解题的关键在于被减数在计算过程中没有变。首先，根据错误的减数和错误的差，利用关系式“被减数＝减数＋差”求出被减数；然后，利用求出的被减数和正确的减数，根据关系式“差＝被减数－减数”求出正确的差。
【详解】求被减数：43＋29＝72
求正确的差：72－34＝38
答：这个算式的被减数是72，正确的差是38。
17．一道减法算式的被减数是905，可可计算时，把减数的百位和个位上的数字颠倒了位置，算出的结果是268。正确结果应该是多少？
【答案】169
【分析】本题用“将错就错”法解答，先用被减数减去算出的差求出错误的减数；再将错误的减数百位和个位上的数字颠倒过来得到正确的减数；最后用被减数减去正确的减数求出正确的结果。
【详解】905－268＝637
905－736＝169
答：正确的结果是169。
18．马大哈计算78减一个两位数时，把减数十位上的2错看成了5，得到的结果是25，正确的结果是多少？
【答案】
55
【分析】先用被减数减去错误的结果，计算出错误的减数；错误的减数十位换成2是正确的减数，进而计算出正确的结果。
【详解】错误的减数：78－25＝53
正确的减数：23
正确的差：78－23＝55
答：正确的结果是55。
19．明明在计算54加一个数时，不小心用墨水弄脏了纸，只剩下一个4，这样计算出的结果是13。正确的结果是多少？
【答案】63
【分析】纸张弄脏让54变为4，但加的一个数不变，用错误的结果13减去4得到不变的这个数，再加54计算得到正确的结果。
【详解】13－4＝9
54＋9＝63
答：正确的结果是63。
20．小明做一道减法题时，把被减数十位上的5看成了3，个位上的1看成了7，得到的差是24。正确的差应该是多少？
【答案】38
【分析】把被减数十位上的5看成了3，少算了50－30＝20，差也就少算了20；把个位上的1看成了7，多算了7－1＝6，差也就多算了6。把少算的加上，多算的减去，就是正确的差。
【详解】50－30＝20
7－1＝6
24＋20＝44
44－6＝38
答：正确的差应该是38。
21．小关在做一道两位数减法题时，把减数十位上的3看成了5，把个位上的1看成了7，得到的差是28。正确的差是多少？
【答案】54
【分析】减数十位上多减了2个十，即20；减数个位上多减了6；一共多减了26，多减了的要加回来。
【详解】50－30＝20
7－1＝6
20＋6＝26
28＋26＝54
答：正确的差是54。
【点睛】解决减法算式中看错数字问题的方法：被减数不变，减数多减了要加回来，少减了要继续减；减数不变，被减数多算了要减去，少算了要加上。
22．小优在做一道两位数加法题时，错把一个加数个位上的6看成了8，把另一个加数十位上的3看成了5，得到的结果是100。正确的结果是多少？
【答案】78
【分析】把一个加数个位上的6看成了8，就多算了8－6＝2，结果也多算了2；把另一个加数十位上的3看成了5，就多算了50－30＝20，结果也多算了20。从得到的错误结果中去掉多算的2和20，就可以得到正确的结果。
【详解】8－6＝2
50－30＝20
20＋2＝22
100－22＝78
答：正确的结果是78。
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