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专题42 巧填运算符号
一、基本概念
巧填运算符号，是指在一组已知的数字之间，填入指定的运算符号（如 、 、 、 、 等），使得最终的算式结果等于给定的数值。
核心逻辑： 凑数法与逆向思维。我们需要观察数字之间的关系，通过尝试不同的符号组合，使左边的算式等于右边的结果。
关键点： 找准突破口（通常是结果与第一个数或最后一个数的关系），以及灵活运用括号改变运算顺序。
二、核心要素（必知）
1.已知数字： 题目给出的固定数值序列。
2.可选符号： 通常包括四则运算符号，有时还包括括号、平方等。
3.目标结果： 算式最终需要达到的数值。
4.限制条件： 题目是否允许改变数字顺序，是否必须使用括号等。
三、常见题型分类
根据填空的场景，主要分为以下三类：
1. 在数字间填运算符号
场景： 在一列数字之间填入 、 ，使算式成立。
核心规律： 常用“凑数法”或“逆推法”。对于连续数字，有时利用“抵消法”。
例： 在 中填入运算符号。
2. 添括号使等式成立
场景： 数字和符号已定，但顺序不对，需要添加括号改变运算优先级。
核心规律： 括号的作用是改变运算顺序。通常先观察结果与部分积或部分和的关系。
例： 在 中添加括号。
3. 综合巧算与填数
场景： 混合运算中，需要同时填符号和括号，或者涉及特殊数字（如24点）。
核心规律： 结合数的整除性、倍数关系进行试探。
四、核心解题方法（必会）
1.凑数法：
根据得数的大小，先凑出与得数较接近的数，然后再进行调整。
2.逆推法（倒推法）：
从结果出发，思考最后一个运算步骤可能是什么，逐步向前推导。
3.逐步调整法：
先不考虑括号，按基本顺序计算，看结果与目标的差距，然后通过添加括号来调整运算顺序以达到目标。
五、解题三步曲（万能模板）
1.观察分析： 观察数字的特点（如是否接近目标值的倍数，是否有特殊乘积关系）。
2.尝试填空： 先填乘除，后填加减；或者先确定括号的位置。
3.验证检查： 严格按照四则运算顺序计算一遍，确保结果正确。
一、基础题（在数字间填运算符号）
例1（准确版）： 在下面算式中添上括号，使等式成立。
解题步骤：
1.观察分析： 目标69比较大。如果不加括号，原式 。我们需要通过括号让乘法部分变大。
2.尝试调整： 考虑让 先算，变成 ，那么 ，太大了。
考虑让 变成除数或加数。
关键思路： 接近 或 。 ，但不是整数。
尝试： 。
先算 。
。
。
。
答案：
跟踪练习1： 在 中添上括号，使等式成立。
提示： 目标84很大， ， 。考虑让 部分变大或改变顺序。尝试
二、进阶题（填运算符号）
例2： 在下列数字之间填上合适的运算符号（+、-、 、 ），使算式成立。（相邻数字可组成多位数）
解题步骤：
1.分析思路： 结果是1，比较小。左边数字较多。可以考虑“抵消法”（凑出两个相等的数相减得0，再加1），或者直接凑1。
2.尝试组合：
经典解法： 。
正解思路： 。成立！
答案：
(或者： 但只有5个数)。标准答案为上述。
跟踪练习2： 在 中填入运算符号。
提示： 可以考虑 。
三、挑战题（综合巧算）
例3： 巧算 24 点。用下面四张扑克牌上的数，通过加、减、乘、除（可加括号）算出 24。
解题步骤：
1.找突破口： 24 的常见组合： ， ， ， 等。
2.尝试组合：
思路一（ ）： 我们有8。如何用 4, 6, 9 凑出3？
，剩下4。 ，但4没用完。
，但4没用。不行。
思路二（ ）： 我们有4和6。 。剩下8和9。必须让8和9抵消（等于1或0）。 。 。
算式： 。
思路三： 不行。
思路四： 。不行。
答案：
跟踪练习3： 用 算 24 点。
提示： ， 。或者 。
1．在10 10 10 10 10的四个口中分别填入“＋”“－”、“×”、“÷”运算符号，每种只填一次，不得另添加括号，则所成算式的最大值是（ ）。
A．104 B．109 C．114 D．119
2．在算式7×9＋12÷3－2中加一对括号后，算式的最大值是（　　）
A．75 B．147 C．89 D．90
3．用四则运算符号+、﹣、×、÷（每种可用多次，也可不用），括号（如果需要的话）及四个数3、4、6、10组成算式，使最后得数为24．算式为__________
A．（10+4﹣6）×3=24 B．4+6÷3×10=24 C．3×6﹣4+10=24 D． ABC都行
4．在10口 10口 10口 10口 10的四个口中填入“＋”“﹣”“×”“÷”运算符号各一个，所成的算式的最大值是（　　）
A．104 B．109 C．114 D．119
5．把＋、－、×、÷各一个填入下面的横线上，再添一对括号，要使计算的结果最大，那么能得到的最大的结果是( )。
10 8 4 2 1
6．在合适的地方填上“＋”，使算式成立（相邻的数字可以组成一个数）。
1 2 3 4 5＝69
7．巧填运算符号：____________（____）。
8．在下面算式的3个“□”内各填入一个运算符号，使计算结果为质数，共有_________种不同的填法。（不允许添加括号）
9．在987654321或123456789中插入（或不插入）四则运算符号，使运算结果等于2024。要求不得打乱987654321或123456789的顺序，例如9×8＋7＋6×54×3×2＋1＝2024。请举出另一个例子：( )。
10．社会主义核心价值是：富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善，一共24个字，现有4、4、10、10这四个数，仅用加减乘除运算符号和括号，列出一条算式，算得结果是24．这条算式是________．
11．在下面等号左边的数字之间添上一些加号，使其结果等于99。（数的顺序不能改变，写出一种方法即可。）
9 8 7 6 5 4 3 2 1 ＝ 9 9
12．把＋、－、×、÷各一个填入下面的空格内，使得计算的结果最大，这个最大值是多少？
9□7□5□3□1
13．把＋、－、×、÷这4个运算符号不重复地填入下面的四个方框内，使得这些算式的结果都是自然数，且其中最大数与最小数的和是15，那么含有加号和乘号的那两个算式的结果的乘积是多少？
5□1＝
6□2＝
7□3＝
8□4＝
14．把＋、－、×、÷分别填在适当的圆圈中，并在方框中填上适当的整数，可以使下面的两个等式都成立，这时，方框中的数是几？
9○13○7=100
14○2○5=□
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一、基本概念
巧填运算符号，是指在一组已知的数字之间，填入指定的运算符号（如 、 、 、 、 等），使得最终的算式结果等于给定的数值。
核心逻辑： 凑数法与逆向思维。我们需要观察数字之间的关系，通过尝试不同的符号组合，使左边的算式等于右边的结果。
关键点： 找准突破口（通常是结果与第一个数或最后一个数的关系），以及灵活运用括号改变运算顺序。
二、核心要素（必知）
1.已知数字： 题目给出的固定数值序列。
2.可选符号： 通常包括四则运算符号，有时还包括括号、平方等。
3.目标结果： 算式最终需要达到的数值。
4.限制条件： 题目是否允许改变数字顺序，是否必须使用括号等。
三、常见题型分类
根据填空的场景，主要分为以下三类：
1. 在数字间填运算符号
场景： 在一列数字之间填入 、 ，使算式成立。
核心规律： 常用“凑数法”或“逆推法”。对于连续数字，有时利用“抵消法”。
例： 在 中填入运算符号。
2. 添括号使等式成立
场景： 数字和符号已定，但顺序不对，需要添加括号改变运算优先级。
核心规律： 括号的作用是改变运算顺序。通常先观察结果与部分积或部分和的关系。
例： 在 中添加括号。
3. 综合巧算与填数
场景： 混合运算中，需要同时填符号和括号，或者涉及特殊数字（如24点）。
核心规律： 结合数的整除性、倍数关系进行试探。
四、核心解题方法（必会）
1.凑数法：
根据得数的大小，先凑出与得数较接近的数，然后再进行调整。
2.逆推法（倒推法）：
从结果出发，思考最后一个运算步骤可能是什么，逐步向前推导。
3.逐步调整法：
先不考虑括号，按基本顺序计算，看结果与目标的差距，然后通过添加括号来调整运算顺序以达到目标。
五、解题三步曲（万能模板）
1.观察分析： 观察数字的特点（如是否接近目标值的倍数，是否有特殊乘积关系）。
2.尝试填空： 先填乘除，后填加减；或者先确定括号的位置。
3.验证检查： 严格按照四则运算顺序计算一遍，确保结果正确。
一、基础题（在数字间填运算符号）
例1（准确版）： 在下面算式中添上括号，使等式成立。
解题步骤：
1.观察分析： 目标69比较大。如果不加括号，原式 。我们需要通过括号让乘法部分变大。
2.尝试调整： 考虑让 先算，变成 ，那么 ，太大了。
考虑让 变成除数或加数。
关键思路： 接近 或 。 ，但不是整数。
尝试： 。
先算 。
。
。
。
答案：
跟踪练习1： 在 中添上括号，使等式成立。
提示： 目标84很大， ， 。考虑让 部分变大或改变顺序。尝试
二、进阶题（填运算符号）
例2： 在下列数字之间填上合适的运算符号（+、-、 、 ），使算式成立。（相邻数字可组成多位数）
解题步骤：
1.分析思路： 结果是1，比较小。左边数字较多。可以考虑“抵消法”（凑出两个相等的数相减得0，再加1），或者直接凑1。
2.尝试组合：
经典解法： 。
正解思路： 。成立！
答案：
(或者： 但只有5个数)。标准答案为上述。
跟踪练习2： 在 中填入运算符号。
提示： 可以考虑 。
三、挑战题（综合巧算）
例3： 巧算 24 点。用下面四张扑克牌上的数，通过加、减、乘、除（可加括号）算出 24。
解题步骤：
1.找突破口： 24 的常见组合： ， ， ， 等。
2.尝试组合：
思路一（ ）： 我们有8。如何用 4, 6, 9 凑出3？
，剩下4。 ，但4没用完。
，但4没用。不行。
思路二（ ）： 我们有4和6。 。剩下8和9。必须让8和9抵消（等于1或0）。 。 。
算式： 。
思路三： 不行。
思路四： 。不行。
答案：
跟踪练习3： 用 算 24 点。
提示： ， 。或者 。
1．在10 10 10 10 10的四个口中分别填入“＋”“－”、“×”、“÷”运算符号，每种只填一次，不得另添加括号，则所成算式的最大值是（ ）。
A．104 B．109 C．114 D．119
【答案】B
【分析】要让算式 10□10□10□10□10 的结果最大，我们要记住：乘法（×）和 加法（＋）能让数变大，所以要把 “×” “＋”用在能产生最大结果的地方。除法（÷）和减法（－） 会让数变小，所以要最小化减法和除法的影响。然后再进行尝试即可算出结果的最大值。
【详解】我们来尝试不同的符号组合，找出最大的结果，优先让乘法和加法产生最大贡献，
我们先试：10×10＋10－10÷10＝100＋10－1＝109
再试其他组合：10＋10×10－10÷10＝10＋100－1＝109
10×10＋10÷10－10＝100＋1－10＝91
10÷10＋10×10－10＝1＋100－10＝91
通过比较，我们发现最大的结果是 109。
故答案选：B
2．在算式7×9＋12÷3－2中加一对括号后，算式的最大值是（　　）
A．75 B．147 C．89 D．90
【答案】C
【分析】7×9＋12÷3-2，按照运算顺序要先算7×9和12÷3，而且尽量用较小的数来除以3，只有括出9＋12，3﹣2，7×9＋12，9＋12÷3这四种可能，分别计算这四种情况下的运算结果，再比较大小．
【详解】A．7×（9＋12）÷3－2＝7×21÷3－2＝49－2＝47
B．7×9＋12÷（3－2）＝7×9＋12÷1＝63＋12＝75
C．（7×9＋12）÷3－2＝75÷3-2＝25－2＝23
D．7×（9＋12÷3）－2＝7×13-2＝91－2＝89
23＜47＜75＜89
89最大。
故答案选：C
3．用四则运算符号+、﹣、×、÷（每种可用多次，也可不用），括号（如果需要的话）及四个数3、4、6、10组成算式，使最后得数为24．算式为__________
A．（10+4﹣6）×3=24 B．4+6÷3×10=24 C．3×6﹣4+10=24 D． ABC都行
【答案】D
【分析】只要将各选项中的算式根据四则混合运算的运算顺序计算出结果和式中算式的结果对比一下即可得出正确选项．四则混合运算的运算顺序为：先算乘除，再算加减，有括号的要先算括号里面的．
【详解】选项A、（10+4﹣6）×3=8×3=24，正确；
选项B、4+6÷3×10=4+20=24，正确；
选项C、3×6﹣4+10=18﹣4+10=24，正确；
又各选项中的算式数字及运算符号的使用符合要求，所以选项A、B、C都正确，
故选D．
4．在10口 10口 10口 10口 10的四个口中填入“＋”“﹣”“×”“÷”运算符号各一个，所成的算式的最大值是（　　）
A．104 B．109 C．114 D．119
【答案】B
【分析】题目要求只填运算符号，不加括号；那么运算顺序是先算乘除，再算加减，要使运算的结果最大只要减的数最小即可。
【详解】因为减号只能用一次，减数不能为0，那么10÷10＝1做减数时，运算的结果最大：
10×10＋10－10÷10＝100＋10－1＝109
故答案为：B
5．把＋、－、×、÷各一个填入下面的横线上，再添一对括号，要使计算的结果最大，那么能得到的最大的结果是( )。
10 8 4 2 1
【答案】118
【分析】把“＋、－、×、÷”各一个填入方框内，要使计算结果最大，就要发挥“乘号”的作用，优先考虑让较大的数参与乘法运算，同时结合括号和加号构造一个较大的数，即10×（8＋4），同时让除法的影响最小化，尽量让除法的被除数大、除数小，除以最小的就只能是除以1了，那除号就在最后一个，要使减号的作用最小，只能作用在第二小的数即2上，据此解答即可。
【详解】10×（8＋4）－2÷1
＝10×12－2
＝120－2
＝118
【点睛】解题的关键是将乘号的作用最大化，将除号和减号的作用最小化，同时可以结合括号和加号构造出一个较大的数与乘法结合计算即可。
6．在合适的地方填上“＋”，使算式成立（相邻的数字可以组成一个数）。
1 2 3 4 5＝69
【答案】1＋23＋45＝69
【分析】1＋2＋3＋4＋5＝15，距离69还差54。把个位1变成十位1可以增加9，想要多出54需要把个位数字之和6变成十位数字6，本题只有2＋4能满足。
【详解】1＋2＋3＋4＋5＝15
69－15＝54
54÷9＝6
6＝2＋4
答案为：1＋23＋45＝69
【点睛】需要思考一个数字从个位变到十位需要增加多少，就是这道题的解题关键。
7．巧填运算符号：____________（____）。
【答案】
×
×
÷
×
【分析】将原式A÷B×C÷D×E进行整理，利用乘法的交换律和结合律，可以将算式转化为A×C×E÷B÷D；再根据除法的性质，连续除以两个数等于除以这两个数的乘积，可以继续转化为：A×C×E÷（B×D）。据此即可解决。
【详解】A÷B×C÷D×E
=A×C×E÷B÷D
=A×C×E÷（B×D）
因此：。
8．在下面算式的3个“□”内各填入一个运算符号，使计算结果为质数，共有_________种不同的填法。（不允许添加括号）
【答案】8
【分析】首先分析本题不能添除号，考虑添加一个减号时，再考虑都是加号，然后再考虑1个乘号两个乘号的情况，枚举即可。
【详解】通过枚举法一一列举，考虑全部是加号的运算，计算结果为质数的情况如下，
① ，
考虑1个减号，其余都是加号时，计算结果为质数的情况如下，
②，
③，
④，
因为数据从左到右依次增大，所以不能有2个减号，
再考虑1个乘号的情况，计算结果无质数，
再考虑2个乘号的情况， 计算结果为质数的情况如下，
⑤，
⑥，
⑦，
⑧，
所以，共有8种不同的填法。
9．在987654321或123456789中插入（或不插入）四则运算符号，使运算结果等于2024。要求不得打乱987654321或123456789的顺序，例如9×8＋7＋6×54×3×2＋1＝2024。请举出另一个例子：( )。
【答案】9＋8×7＋654×3－2－1＝2024
【分析】利用加减法各部分间的关系试做。
【详解】2024﹣9﹣8×7＝1959
654×3＝1962
1962﹣2﹣1＝1959
则9＋8×7＋654×3﹣2﹣1＝2024
所以答案为：9＋8×7＋654×3﹣2﹣1＝2024。（答案不唯一）
【点睛】运用估算及加减法各部分间的关系是解决本题的关键。
10．社会主义核心价值是：富强、民主、文明、和谐；自由、平等、公正、法治；爱国、敬业、诚信、友善，一共24个字，现有4、4、10、10这四个数，仅用加减乘除运算符号和括号，列出一条算式，算得结果是24．这条算式是________．
【答案】（10×10﹣4）÷4
【分析】要使结果为24，根据给出的四个数，10、10、4、4，这四个数的特点，10×10=100，100﹣4=96，96÷4=24，由此可以得出答案．
【详解】（10×10﹣4）÷4=（100﹣4）÷4=96÷4=24，
故答案为（10×10﹣4）÷4．
11．在下面等号左边的数字之间添上一些加号，使其结果等于99。（数的顺序不能改变，写出一种方法即可。）
9 8 7 6 5 4 3 2 1 ＝ 9 9
【答案】9＋8＋7＋65＋4＋3＋2＋1＝99（答案不唯一）
【分析】根据题中数的特点并结合题目要求进行试填，进而得出结论。此题答案不唯一，解答时应根据数的特点，进行分析，可以进行试填，进而得出结论。
【详解】9＋8＋7＋65＋4＋3＋2＋1＝99（答案不唯一）
12．把＋、－、×、÷各一个填入下面的空格内，使得计算的结果最大，这个最大值是多少？
9□7□5□3□1
【答案】9×7＋5－3÷1；最大值65
【分析】要使结果最大，除数要尽量小，减数要尽量小，因此可以确定减号和除号的位置；而加数、乘数要尽量大。乘法比加法更决定结果的大小，所以首先要让乘法结果最大。
【详解】由分析可得，要使乘法结果最大，则最大的两个数相乘，即9和7之间填“×”；
要使结果最大，则除数要尽量小，则3和1之间用“÷”；
要使结果最大，减数也要尽量小，加数要尽量大，所以5前面填“＋”，3前面填“－”。
综上，要使计算结果最大，填运算符号为：9×7＋5－3÷1；
9×7＋5－3÷1
＝63＋5－3
＝65
答：算符填写为9×7＋5－3÷1；这个最大值是65。
【点睛】明确运算过程中，一般情况下乘法和加法可以使结果变大，除法和减法会让结果变小是解题关键。
13．把＋、－、×、÷这4个运算符号不重复地填入下面的四个方框内，使得这些算式的结果都是自然数，且其中最大数与最小数的和是15，那么含有加号和乘号的那两个算式的结果的乘积是多少？
5□1＝
6□2＝
7□3＝
8□4＝
【答案】60
【分析】最大数与最小数的和是15，说明最大数不会超过15，那么乘号只能填在前两个位置。分两种情况讨论即可得解。
【详解】第一种情况：乘号填在6□2，得到6×2＝12；剩下的结果不可能大于12，所以这时候最大的结果就是12，那么最小的结果为：15－12＝3，尝试发现剩下的算式都无法得到3；所以没有符合要求的填法。
第二种情况：乘号填在5□1，得到5×1＝5；剩下算式减法结果肯定是4，除法的结果一定比4小，加法的结果一定比5大，说明最大的结果是加法，最小的结果是除法；枚举可得：8＋4＝12，6÷2＝3，有12＋3＝15，所以含有加法和乘法的两个算式的计算结果分别是12和5，12×5＝60。
答：含有加号和乘号的那两个算式的结果的乘积是60。
【点睛】根据最大数和最小数的和是15，判断出乘号的位置是解答本题的突破口。
14．把＋、－、×、÷分别填在适当的圆圈中，并在方框中填上适当的整数，可以使下面的两个等式都成立，这时，方框中的数是几？
9○13○7=100
14○2○5=□
【答案】9＋13×7＝100，14÷2－5＝2
【详解】第一个等式中必须有乘号，经尝试得9＋13×7＝100，14÷2－5＝2．于是，长方形中的数是2
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