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专题43 竖式数字谜
一、基本概念
竖式数字谜是指在竖式运算（如加法、减法、乘法、除法）中，部分数字被方框、字母或汉字代替，需要根据运算规则、数字特征及逻辑推理，还原出未知数字，使竖式成立的数学问题。
核心逻辑：利用四则运算的基本规则（如加法进位、减法借位、乘法口诀、除法试商）和数字特性（0-9的取值范围、不重复数字等）进行逆向推理。
关键点：找准突破口（通常是首位、末位或有明显进位/借位的位置），关注进位与借位对数字的影响，结合数字特征排除不可能的取值。
二、核心要素（必知）
1.已知数字：竖式中明确给出的固定数字，是推理的基础。
2.未知数字：用□（方框）、字母（如A、B、C）或汉字（如“学”“习”）表示的待求数字，需满足0-9的取值范围（首位数字不能为0）。
3.运算类型：加法、减法、乘法、除法（含有余数除法），或混合运算（如乘加、除减）。
4.限制条件：题目是否要求“数字不重复”“汉字代表唯一数字”“无进位/借位”等特殊规则。
三、常见题型分类
1.按运算类型分
加法竖式谜：已知部分数字，补全加法竖式（含不进位、进位、连续进位）。
减法竖式谜：已知部分数字，补全减法竖式（含不借位、借位、连续借位）。
乘法竖式谜：已知部分数字，补全乘法竖式（含一位数乘多位数、两位数乘两位数）。
除法竖式谜：已知部分数字，补全除法竖式（含整除、有余数除法）。
2.按未知表示形式分
方框数字谜：用□代替未知数字（最基础题型）。
字母数字谜：用字母代替未知数字（如A、B、C，相同字母代表相同数字）。
o汉字数字谜（虫蚀算）：用汉字代替未知数字（如“我爱数学+数学爱我=学学学学学”，相同汉字代表相同数字）。
四、核心解题方法（必会）
1.首位分析法：
加法/乘法竖式中，最高位数字不能为0，且两数相加/相乘的最高位进位最多为1（加法）或9（乘法）。
例：加法竖式中，若和的最高位是“3”，则两个加数的最高位可能是“1+2”“2+1”或“3+0”（无进位），或“1+1+1（进位）=3”。
2.末位分析法：
从个位入手，利用加减法末位数字关系（如“□+5=3”需进位，□=8）、乘法口诀末位（如“□×6=□4”，□可能是4或9，因为4×6=24、9×6=54）。
3.进位/借位分析法：
加法中，某一位数字相加≥10则进位1，和的该位数字=加数之和-10；
减法中，某一位被减数＜减数则借位1，被减数该位数字=原数字+10-减数。
4.数字特征法：
奇偶性：奇数+奇数=偶数，偶数×偶数=偶数等；
倍数关系：若乘法竖式中积是某数的倍数，可反推乘数；
数字和：如“数字不重复”时，排除已出现的数字。
5.排除法：
列出某位置可能的数字（如0-9），根据条件逐步排除不可能的取值（如首位不能为0、数字不重复等）。
五、解题步骤（万能模板）
1.观察结构：确定运算类型（加减乘除），标出已知数字和未知位置（用□或字母标记）。
2.找突破口：优先从末位、首位或有进位/借位的位置入手（如加法个位、乘法末位）。
3.逐步推理：利用上述方法推导未知数字，注意进位/借位对相邻数位的影响，记录已确定的数字。
4.验证检查：将推导出的数字填入竖式，按运算顺序重新计算，确保每一步都符合规则（无矛盾、无重复数字等）。
一、基础题（加法竖式谜）
例1：在□中填入适当数字，使竖式成立。
□ 3 □
+ 2 □ 5
= 8 2 3
解题步骤：
1.观察结构：加法竖式，三位数+三位数=三位数，已知数字：第一个加数十位3、第二个加数十位□和个位5、和的百位8、十位2、个位3。
2.找突破口：从个位入手（末位分析法）。
个位：□（第一个加数个位）+ 5 = 3。因5＞3，必有进位，所以□+5=13→□=8（个位写3，向十位进1）。
3.逐步推理：
十位：3（第一个加数十位）+ □（第二个加数十位）+ 1（进位）= 2。3+□+1=12（因和的十位是2，必有进位）→□=12-4=8（十位写2，向百位进1）。
百位：□（第一个加数百位）+ 2（第二个加数百位）+ 1（进位）= 8→□=8-3=5。
4.验证检查：538 + 285 = 823，计算正确。
答案：第一个加数为538，第二个加数为285，填入□后竖式为：
5 3 8
+ 2 8 5
= 8 2 3
跟踪练习1：在□中填入适当数字，使竖式成立。
□ 7
+ □ □
= 9 1
提示：从个位入手，7+□=11（个位1，进位1）→□=4；十位□+□+1=9→两个□之和为8，可能是（1,7）（2,6）（3,5）（4,4）（5,3）（6,2）（7,1）（8,0），需结合首位不为0（第二个加数十位不能为0）。
二、进阶题（乘法竖式谜）
例2：在□中填入适当数字，使竖式成立。
□ □
× 6
= 1 □ 4
解题步骤：
1.观察结构：两位数×一位数=三位数，乘数是6，积的个位是4，百位是1。
2.找突破口：从个位入手（乘法末位分析法）。
乘数个位□×6的末位是4，根据乘法口诀：4×6=24（末位4）、9×6=54（末位4），所以乘数个位可能是4或9。
3.分类讨论：
情况1：乘数个位=4
设乘数为“a4”（a为十位数字，a≠0），则(a×10+4)×6=60a+24=1□4。
积的百位是1，所以60a+24=100+10b+4（b为积的十位数字）→60a=80+10b→6a=8+b。
a是1-9的整数，6a=8+b，b是0-9的整数：
a=2时，6×2=12=8+b→b=4，此时积=60×2+24=144，符合“1□4”（144）。
o情况2：乘数个位=9
设乘数为“a9”，则(a×10+9)×6=60a+54=1□4。
60a=1□4-54=△0（积的个位是4，54个位4，所以1□4-54的个位是0），60a=△0→a=1时，60×1=60→60+54=114（积=114），也符合“1□4”。
验证限制条件：题目未说明“数字不重复”，但通常基础乘法竖式谜优先取较小乘数，故选择a=2，乘数=24。
4.验证检查：24×6=144，正确。
答案：乘数为24，积为144，竖式为：
2 4
× 6
= 1 4 4
跟踪练习2：在□中填入适当数字，使竖式成立。
3 □
× □
= 2 8 8
提示：乘数是一位数，3□×□=288，288的因数有32×9=288、36×8=二百八十八（36×8=288），验证36×8=288是否符合。
三、挑战题（汉字数字谜）
例3：下面竖式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字，求“学”“习”“好”各代表什么数字。
学 习
+ 学 习
= 好 学
解题步骤：
1.观察结构：两位数+两位数=两位数，设“学”=a，“习”=b，“好”=c，即(10a+b)+(10a+b)=10c+a（a、b、c为0-9的数字，a≠0，c≠0，a、b、c互不相同）。
2.转化等式：2(10a+b)=10c+a→20a+2b=10c+a→19a+2b=10c。
3.分析取值范围：
a是十位数字，a≥1；c是十位数字，c≥1；19a+2b=10c≤90（c≤9），所以19a≤90→a≤4（19×5=95＞90）。
oa=1：19×1+2b=10c→2b=10c-19，10c-19是偶数（2b为偶数），但10c是偶数，19是奇数，偶数-奇数=奇数，矛盾，排除。
oa=2：19×2+2b=10c→38+2b=10c→b=5c-19。b≥0→5c-19≥0→c≥4（c=4时，b=5×4-19=1；c=5时，b=6；c=6时，b=11，不符合b≤9）。
c=4，b=1：此时“学”=2，“习”=1，“好”=4，验证：21+21=42，符合“好 学”=42（c=4，a=2），且数字2、1、4互不相同。
a=3：19×3+2b=10c→57+2b=10c→b=5c-28.5，b不是整数，排除。
o=4：19×4+2b=10c→76+2b=10c→b=5c-38，c≥8（5×8=40→b=2），此时“学”=4，“习”=2，“好”=8，验证：42+42=84，也符合，但题目要求“不同汉字代表不同数字”，4、2、8互不相同，也是解。但通常优先取较小数字，“21+21=42”更简洁。
4.验证检查：21+21=42，“学=2”“习=1”“好=4”，数字互不重复，正确。
答案：学=2，习=1，好=4。
跟踪练习3：下面竖式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字，求“我”“爱”“数”“学”各代表什么数字。
我 爱
+ 数 学
= 数 学 我
提示：两位数+两位数=三位数，“数”=1（和的百位），则“我+数”=10+“数”（进位）→“我”=10，矛盾，说明个位相加有进位：“爱+学”=10+“我”，十位“我+数+1=10+“学””，结合“数=1”推导。
1．算一算，算式中的文字各代表什么数字？
读＝（ ） 好＝（ ） 书＝（ ）
【答案】5；7；9；
【分析】三位数加法竖式，从个位开始分析，先看“读”＋6的结果个位是1，由此推导“读”的可能值，结合进位情况确定最终数字；个位相加的进位，看2＋6加上进位后结果的十位是“书”，推导“书”的数字；最后分析百位，十位相加的进位，看2＋好加上进位后结果是9，推导“好”的数字。
【详解】算个位：读＋6的结果个位是1，说明相加满十进位了，因此读＋6＝11，得读为：，向十位进1。
算十位：第一个数十位是2，第二个数十位是6，加上个位进的1，，因此和的十位书为9，十位相加不满十，不需要向百位进位。
算百位：第一个数百位是2，第二个数百位是“好”，加上十位进的0，结果是9，因此2＋好＝9，得好为：。
验证：，完全符合竖式。也就是读＝5，好＝7，书＝9。
2．下图的竖式中，每个方框内的数字各不相同，这个竖式的得数最大是( )。
【答案】1062
【分析】观察竖式首先可以确认得数的千位一定是1，百位一定是0，加数中的那个三位数百位一定是9，然后再去分析得数最大。
要使结果最大，先将数字按照从大到小的顺序分别放在每个数的最高位，然后依次进行尝试，知道得到符合条件的结果。
【详解】由图可知，这是一个一位数加两位数加三位数等于四位数的笔算加法，由于每个方框的数字各不相同，故先将最大的数字9填入加数中唯一的百位上，再尝试将8和7分别填到三位数和两位数的十位上，最后将6、5、4分别填到三个加数的个位上，得到：
发现得数1065中的6和5重复，因此将3个加数个位的6、5、4分别减小一个数，得到：
此时10个空中都没有重复的数字，故这个数字得数最大为：1062。
3．试一试，填一填。

〇里最小能填( )。 〇里最小能填( )。
【答案】 4 3
【分析】（1）通过个位计算：4＋7＝11，个位写1（和的个位正好是1，符合条件）需向十位进1，第一行百位上是1，而下面的和是2，要让百位的和为2，十位必须向百位进1。由此可以推出十位的和必须大于等于10，才能产生进位。结合个位的进位1，可以得出要大于等于10。那么当〇填最小的时候，就最小，也就等于10。
（2）通过观察和的个位是2，那么8加一个数，尾数是2的，只能是，可以得出个位的和需向十位进1。通过百位计算，要让百位的和：，那么十位也必须向百位进1，也就是十位的和必须大于等于10，由此可以得出要大于等于10。那么当〇填最小的时候，就最小，也就等于10。
【详解】（1）
（2）
4．下面算式中相同的汉字代表相同的数，你知道这些汉字各代表数字几吗？
甲＝( ) 乙＝( ) 丁＝( ) 丙＝( )
【答案】 0 4 5 1
【分析】先看个位，甲＋甲＝甲，两个相同数字相加，个位还是它本身，只有一种可能，甲＝0；再看千位，两个三位数相加，得到一个四位数，所以四位数的千位只能是1，所以丙＝1；再看百位，百位是丁＋丁，结果是个位的甲，相同的汉字表示相同的数字丁＋丁＝10，所以丁只能是5；最后看十位，十位是乙＋丙，再加上个位没有进位，结果是百位的丁，那么乙＝丁－丙，即5－1＝4。
【详解】根据分析得出：
甲＝0 乙＝4 丁＝5 丙＝1
5．在下面的各个方框里填入合适的数字，使竖式成立。

【答案】见详解
【分析】除数是一位数的除法，从被除数的第一位除起，每次先用除数试除被除数的前一位数，如果它比除数小，再试除前两位数；除到被除数哪一位，就把商写在那一位上面，每求出一位商，余下的数必须比除数小，第一个竖式中，余数是7，除数必须比余数大，则除数可能是8或者9，除数乘商个位上的数的结果是63，9×7＝63，则除数一定是9，63加上余数7等于70，则被除数个位是0，被除数前两位除以除数后余数是7，7＋1＝8，被除数十位上是8，除数9乘商十位上的数的结果的个位上1，9×9＝81，81＋7＝88，被除数百位上是8，据此列竖式计算出880÷9即可；
小数加法的运算方法是，先把小数点上下对齐，再按照整数加法的计算方法进行计算，从低位加起，哪一位上的数相加满十，就向前一位进一，第二个竖式中，和是15.2小数点后第一位上的数是2，第二个加数小数点后第一位上的数是5，7＋5＝12，则第一个加数小数点后第一位上的数是7，0.7＋0.5＝1.2，需要向个位进1，第一个加数个位上的6加上第二个加数个位上的数，再加上1的结果是15，15－6－1＝8，据此列竖式计算出6.7＋8.5即可。
【详解】

6．下面算式中的字母分别代表什么数字？
a＝( )，b＝( )。
【答案】 7 0
【分析】三位数中百位上的3乘a得到21，得出a是多少，然后再通过计算十位数字得出b是多少。
【详解】
。
a＝7，b＝0。
7．如图的乘法竖式中，相同的汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字，那么，“迎兔年”代表的三位数是______。
【答案】958
【分析】这是一个五位数乘4，乘积是一个五位数，因此“欢”只能是1或者2。再根据乘积的个位数字是“欢”， “欢”只能是偶数，所以“欢”＝2， 则“年”＝3或8；然后分别假设“年”＝3或8，依次即可推出其余数字是多少。
【详解】根据最高位和个位分析可知“欢”＝2， 则“年”＝3或8；
（1）如果“年”＝8，那么“迎”＝9，9×4＝36，8-6＝2，个位8×4＝32，进3，则“兔”×4＋3必须进2，所以“兔”＝5或6；
如果“兔”＝6，6×4＝24，24＋3＝27，所以“喜”＝7，则千位进3，乘积就不是五位数，是六位数，不成立；
如果“兔”＝5，5×4＋3＝23，所以“喜”＝3，算式是：23958×4＝95832，符合题意。
（2）如果“年”＝3，那么“迎”＝9，9×4＝36，13-6＝7，个位3×4＝12，进1，则“兔”×4＋1必须进7，所以“兔”没有这样的值，不符合题意。
因此迎兔年”代表的三位数是958。
8．下面算式中的“车”“炮”“马”“卒”各代表0～9这十个数字中的某一个，相同的汉字代表相同的数字。这些汉字各代表哪些数字？（填一填）
＝( )＝( )
＝( )＝( )
【答案】 0 1 5 4
【分析】先看个位，卒＋卒＝卒，两个相同数字相加，个位还是它本身，只有一种可能，卒＝0；再看千位，两个三位数相加，得到一个四位数，所以四位数的首位（千位）只能是1，所以车＝1；看百位，百位上是炮＋炮，再加上十位可能的进位，结果的个位是卒，相同的汉字表示相同的数字，炮＋炮＝10，所以炮只能是5，最后看十位，十位是马＋车，再加上个位没有进位，结果的个位是炮，因为车是1，所以马只能为4。
【详解】据分析可知：卒＝0，车＝1，炮＝5，马＝4
【点睛】解决汉字数字谜的解题技巧核心是抓突破口+及规律+验答案。
9．这几个汉字分别代表几？
【答案】“春”代表3；“暖”代表8；“好”代表1；“啊”代表5
【分析】计算两位数乘两位数，把数位对齐，从个位乘起，用第二个乘数的每一位分别去乘第一个乘数，用哪一位上的数字去乘，就把积的个位与那一位对齐，乘到哪一位满几十就向前一位进几，最后把乘得的积合并起来；
从第二步乘得的积的个位是4，可知“暖”与“暖”相乘的积的个位是4，因2×2＝4或8×8＝64，则“暖”可能是2或8；如果“暖”是2，根据第一步“暖”与“春”乘得的积的个位是4，因2×2＝4，则“春”也是2，22×22＝484，不符合题意，则“暖”只能是8；再根据第一步“暖”与“春”乘得的积的个位是4，因3×8＝24或8×8＝64，可知“春”可能是3或8，但如果“春”是8，则和“暖”相同，此时7和0分别在“好”的位置，不符合题意，则“春”只能是3；再列竖式计算出38×83的过程，即可知道“好”“啊”代表的数字。据此解答。
【详解】根据分析可知：
答：“春”代表3，“暖”代表8，“好”代表1，“啊”代表5。
10．加法算式中，“我们同努力疫情定可防”分别代表0－9中10个不同的数字，要使等式成立，那么这个和的最大值是多少？
【答案】73091
【分析】已知“我们同努力疫情定可防”分别代表0－9中10个不同的数字，假设“我”＋“们”＋“同”＋“努”＋“力”＝a，“疫”＋“情”＋“定”＋“可”＋“防”＝b，则a＋b＝0＋1＋2＋3＋＋8＋9＝45，和是9的倍数；因为2＋0＋2＋2＋7＝13，13÷9＝14，则a为9的倍数多7，b为9的倍数多2。由“弃九法”可得，当两个加数相加进位1次时，则有a＋b＝45，a＋2＋2＋2＋7－9＝b，无整数解不成立；当进位次数为2次时，则有a＋b＝45，a＋2＋2＋2＋7－9×2＝b，解得a＝25，b＝20，符合条件。其中“同”＋2必然发生进位，所以“同”至少等于7，当“同”＝7时，“努”＝8或9，此时“力”＋7没有进位，则“防”大于7，无法构造；当“同”＝8时，“努”＝9，此时“定”＝“可”＝1，不符合条件；所以“力”＋7一定有进位，则“努”＋3＝“可”，“们”＋1＝“情”，当“同”＝8时，枚举可得：“力”＝4，“防”＝1，“努”＝6，“可”＝9，“们”＝2，“情”＝3，“我”＝5，“疫”＝7时符合条件，所以这个和的最大值为73091。
【详解】假设“我”＋“们”＋“同”＋“努”＋“力”＝a，“疫”＋“情”＋“定”＋“可”＋“防”＝b，由题意可得：a＋b＝0＋1＋2＋3＋＋8＋9＝45，和是9的倍数；因为2＋0＋2＋2＋7＝13，13÷9＝14，则a为9的倍数多7，b为9的倍数多2。由“弃九法”可得，当两个加数相加进位1次时，则有a＋b＝45，a＋2＋2＋2＋7－9＝b，无整数解不成立；当进位次数为2次时，则有a＋b＝45，a＋2＋2＋2＋7－9×2＝b，解得a＝25，b＝20，符合条件。其中“同”＋2必然发生进位，所以“同”至少等于7，当“同”＝7时，“努”＝8或9，此时“力”＋7没有进位，则“防”大于7，无法构造；当“同”＝8时，“努”＝9，此时“定”＝“可”＝1，不符合条件；所以“力”＋7一定有进位，则“努”＋3＝“可”，“们”＋1＝“情”，当“同”＝8时，枚举可得：“力”＝4，“防”＝1，“努”＝6，“可”＝9，“们”＝2，“情”＝3，“我”＝5，“疫”＝7时符合条件，所以这个和的最大值为73091。
答：这个和的最大值是73091。
【点睛】本题重点考查用“弃九法”解决数字谜的问题，加法中，进位1次，和的数字和比加数的数字和少1个9；同时需要结合分类讨论和枚举，根据题中的条件找到正确结果。
11．下面的汉字分别表示什么数字？
【答案】数＝3；学＝6 ；蜂＝2；蜜＝8
【分析】根据数学×数＝108，易知数＝3，则学＝6；先用推理法找出各种可能的情况；根据第一步积的个位上是6，推知符合条件的有、、、、。再用排除法找出符合要求的情况。根据第二步积的末位数字是4，即蜜×蜜的积的末位数字是4，推知符合条件的有、。即2和3、2和8、7和8。最后把符合条件的数字代入原算式中验证，找到正确答案，即。
【详解】
数＝3；学＝6
蜂＝2；蜜＝8
答：数表示3，学表示6，蜂表示2，蜜表示8。
12．在方框中填上适当的数，使竖式成立。（不需要写推理过程）
【答案】见详解
【分析】除数是 9，第二行乘积的个位是 4，只有 9×6＝54，所以商的个位是 6；第一行乘积的个位是 6，9×4＝36，所以商的十位是 4；然后再依次即可求出其余方框的数字各是多少。
【详解】
13．将下面的乘法竖式填写完整。
【答案】见详解
【分析】根据竖式可知这是两位数乘两位数的竖式计算，需要从竖式的已知数字（如个位的1、最终结果的首位1和末位1）出发，结合乘法进位规则，逆向推导每个空格的数字。
我们可以先确定乘数的个位：
观察最终积的个位是1，而第一个乘数的个位是1，根据乘法口诀符合条件的只能是1×1＝1 ，因此第二个乘数的个位应为1。
接下来确定第一个乘数的十位：
设第一个乘数为（十位为A），则×1的结果是一个两位数。
然后验证第二个乘数的十位：
第二个乘数的十位是2，与第一个乘数的十位相乘后积的首位是1，试算41×21＝861（不足1000），51×21＝1071（符合所有条件）。
最终确定所有数字：
第一个乘数：51
第二个乘数：21
第一步：51×1＝51（第一行部分积）
第二步：51×20＝1020（第二行部分积）
相加：51＋1020＝1071（符合最终积的结构）
【详解】
【点睛】从积的个位、首位等已知数字入手，结合乘法口诀和进位规则，通过试算与验证推导未知数字。优先锁定个位数字，再根据积的位数范围缩小乘数的可能值，最后通过完整计算验证。注意部分积的左移对齐，以及进位对高位数字的影响。
14．如图，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且已知三位数BAD不是3的倍数，四位数GOOD不是8的倍数，那么四位数ABGD是多少？
【答案】3810
【分析】由个位数字D＋D得D，可以直接推断出D为0。接着十位上的A＋A得O，百位上的B＋B也得O，并且向前进位，说明G只能是1，且B只能是5，6，7，8，9中的一个，B如果为5，O就为0，则A只能为0，与不同的字母代表不同的数字矛盾；B如果为6，则O为2，A为1，A与G数字相同，矛盾；B为7，则O为4，A为2，BAD为720，是3的倍数，与题目不是3的倍数矛盾；B为8，则O为6，A为3，满足；B为9，则O为8，A为4，GOOD为1880，与不是8的倍数矛盾。
【详解】由题意可得：
则A＝3，B＝8，D＝0，O＝6，G＝1
所以四位数ABGD是3810。
【点睛】解决数字迷，关键是找到突破口，然后根据不同的情况，进行逐条分析即可。同时要注意，两个数字相加，进位最高只能是1。
15．在如图所示的算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。如果CHINA所代表的五位数能被24整除，那么这个五位数是多少？
【答案】17208
【分析】先看十位，N＋N＝N，若个位没有进位，十位也没有进位，则N＝0，若个位有进位1，则N＋N＋1＝10＋N，则N＝9；再看千位，H＋K＝CH，说明百位加法有进位，且K＝9，所以，N只能等于0，因为CHINA所代表的五位数能被24整除，24＝8×3，所以也能被8整除，根据位置原则，根据8的倍数特征，能被8整除，所以能被8整除，所以能被4整除，根4的倍数特征可以得出G的值以及A的值，再根据百位相加又进位，可以求出I的值有以及O的值，最后根据3的倍数特征可以求出H的值。
【详解】先看十位，N＋N＝N，若个位没有进位，十位也没有进位，则N＝0，若个位有进位1，则N＋N＋1＝10＋N，则N＝9；；
再看千位，H＋K＝CH，说明百位加法有进位，且K＝9，所以，N只能等于0，C＝1；
因为CHINA所代表的五位数能被24整除，24＝8×3，所以也能被8整除，根据位置原则
所以能被8整除，所以，则能被4整除，因为N＝0，根据4的倍数特征，G＝4、8
因为个位没有进位，
所以G＝4，A＝8，
又因为O＋O＝10＋I， 则I只能取0、2、4、6、8，
又因为G＝4，A＝8，N＝0，
所以I只能取2或6，
若I＝6，则O＝8，与A相等不符合题意，所以I＝2，
根据3的倍数特征I＋H＋2＋0＋8＝11＋H能被3整除，
所以H＝1、4、7，
因为G＝4，C＝1，
所以H＝7，
答：这个五位数是17208。
16．已知图所示的乘法竖式成立．那么ABCDE是多少
【答案】42857
【详解】设＝x，则＝100000+x，＝10x+1，
那么有(100000+x)×3＝10x+1，即299999＝7x，方程两边同时除以7，有42857＝x．
即ABCDE为42857．
解法二：从乘法算式最后一位看起，由于积E×3的末位数字是1，我们可以断定E＝7．
于是，再根据积D×3的末位数字是7－2＝5，可以断定D为5；
同样，根据积C×3的末位数字是5－1为4，可以断定C为8；
根据积B×3的末位数字是8－2为6，可以断定B为2；
根据积A×3的末位数字是6，从而断定A为4．
那么ABCDE是42857．
17．一个四位数被一个一位数除得图①式，而被另一个一位数除得图②式，求这个四位数．
①②
【答案】1014或者1035
【详解】由①式知被除数为10**，①式的除数为3或9；②式的除数为2或5，且大于被除数的十位数字．
经验证，当①、②两式的除数分别为3和2时，被除数是1014；当①、②两式的除数分别为9和5时，被除数是1035．
有如下两种情况：
第一种情况 第二种情况
① ②； ① ②；
18．按照图中给出的各数字的奇偶性补全这个除法算式．
【答案】2466÷6＝411或4866÷6＝811
【详解】由除号下的第3、4行知，这个偶数只能是6，而对应的商的十位数字也只能是1，同理可知第5、6行的偶数只能是6，对应的商的个位数字也只能是1．
再看除号下的第1、2行，有 偶偶＝偶×6，验证2×6＝12，4×6＝24，6×6＝36，8×6＝48，只有4×6，8×6满足．
于是这个算式为2466÷6＝411或4866÷6＝811．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题43 竖式数字谜
一、基本概念
竖式数字谜是指在竖式运算（如加法、减法、乘法、除法）中，部分数字被方框、字母或汉字代替，需要根据运算规则、数字特征及逻辑推理，还原出未知数字，使竖式成立的数学问题。
核心逻辑：利用四则运算的基本规则（如加法进位、减法借位、乘法口诀、除法试商）和数字特性（0-9的取值范围、不重复数字等）进行逆向推理。
关键点：找准突破口（通常是首位、末位或有明显进位/借位的位置），关注进位与借位对数字的影响，结合数字特征排除不可能的取值。
二、核心要素（必知）
1.已知数字：竖式中明确给出的固定数字，是推理的基础。
2.未知数字：用□（方框）、字母（如A、B、C）或汉字（如“学”“习”）表示的待求数字，需满足0-9的取值范围（首位数字不能为0）。
3.运算类型：加法、减法、乘法、除法（含有余数除法），或混合运算（如乘加、除减）。
4.限制条件：题目是否要求“数字不重复”“汉字代表唯一数字”“无进位/借位”等特殊规则。
三、常见题型分类
1.按运算类型分
加法竖式谜：已知部分数字，补全加法竖式（含不进位、进位、连续进位）。
减法竖式谜：已知部分数字，补全减法竖式（含不借位、借位、连续借位）。
乘法竖式谜：已知部分数字，补全乘法竖式（含一位数乘多位数、两位数乘两位数）。
除法竖式谜：已知部分数字，补全除法竖式（含整除、有余数除法）。
2.按未知表示形式分
方框数字谜：用□代替未知数字（最基础题型）。
字母数字谜：用字母代替未知数字（如A、B、C，相同字母代表相同数字）。
o汉字数字谜（虫蚀算）：用汉字代替未知数字（如“我爱数学+数学爱我=学学学学学”，相同汉字代表相同数字）。
四、核心解题方法（必会）
1.首位分析法：
加法/乘法竖式中，最高位数字不能为0，且两数相加/相乘的最高位进位最多为1（加法）或9（乘法）。
例：加法竖式中，若和的最高位是“3”，则两个加数的最高位可能是“1+2”“2+1”或“3+0”（无进位），或“1+1+1（进位）=3”。
2.末位分析法：
从个位入手，利用加减法末位数字关系（如“□+5=3”需进位，□=8）、乘法口诀末位（如“□×6=□4”，□可能是4或9，因为4×6=24、9×6=54）。
3.进位/借位分析法：
加法中，某一位数字相加≥10则进位1，和的该位数字=加数之和-10；
减法中，某一位被减数＜减数则借位1，被减数该位数字=原数字+10-减数。
4.数字特征法：
奇偶性：奇数+奇数=偶数，偶数×偶数=偶数等；
倍数关系：若乘法竖式中积是某数的倍数，可反推乘数；
数字和：如“数字不重复”时，排除已出现的数字。
5.排除法：
列出某位置可能的数字（如0-9），根据条件逐步排除不可能的取值（如首位不能为0、数字不重复等）。
五、解题步骤（万能模板）
1.观察结构：确定运算类型（加减乘除），标出已知数字和未知位置（用□或字母标记）。
2.找突破口：优先从末位、首位或有进位/借位的位置入手（如加法个位、乘法末位）。
3.逐步推理：利用上述方法推导未知数字，注意进位/借位对相邻数位的影响，记录已确定的数字。
4.验证检查：将推导出的数字填入竖式，按运算顺序重新计算，确保每一步都符合规则（无矛盾、无重复数字等）。
一、基础题（加法竖式谜）
例1：在□中填入适当数字，使竖式成立。
□ 3 □
+ 2 □ 5
= 8 2 3
解题步骤：
1.观察结构：加法竖式，三位数+三位数=三位数，已知数字：第一个加数十位3、第二个加数十位□和个位5、和的百位8、十位2、个位3。
2.找突破口：从个位入手（末位分析法）。
个位：□（第一个加数个位）+ 5 = 3。因5＞3，必有进位，所以□+5=13→□=8（个位写3，向十位进1）。
3.逐步推理：
十位：3（第一个加数十位）+ □（第二个加数十位）+ 1（进位）= 2。3+□+1=12（因和的十位是2，必有进位）→□=12-4=8（十位写2，向百位进1）。
百位：□（第一个加数百位）+ 2（第二个加数百位）+ 1（进位）= 8→□=8-3=5。
4.验证检查：538 + 285 = 823，计算正确。
答案：第一个加数为538，第二个加数为285，填入□后竖式为：
5 3 8
+ 2 8 5
= 8 2 3
跟踪练习1：在□中填入适当数字，使竖式成立。
□ 7
+ □ □
= 9 1
提示：从个位入手，7+□=11（个位1，进位1）→□=4；十位□+□+1=9→两个□之和为8，可能是（1,7）（2,6）（3,5）（4,4）（5,3）（6,2）（7,1）（8,0），需结合首位不为0（第二个加数十位不能为0）。
二、进阶题（乘法竖式谜）
例2：在□中填入适当数字，使竖式成立。
□ □
× 6
= 1 □ 4
解题步骤：
1.观察结构：两位数×一位数=三位数，乘数是6，积的个位是4，百位是1。
2.找突破口：从个位入手（乘法末位分析法）。
乘数个位□×6的末位是4，根据乘法口诀：4×6=24（末位4）、9×6=54（末位4），所以乘数个位可能是4或9。
3.分类讨论：
情况1：乘数个位=4
设乘数为“a4”（a为十位数字，a≠0），则(a×10+4)×6=60a+24=1□4。
积的百位是1，所以60a+24=100+10b+4（b为积的十位数字）→60a=80+10b→6a=8+b。
a是1-9的整数，6a=8+b，b是0-9的整数：
a=2时，6×2=12=8+b→b=4，此时积=60×2+24=144，符合“1□4”（144）。
o情况2：乘数个位=9
设乘数为“a9”，则(a×10+9)×6=60a+54=1□4。
60a=1□4-54=△0（积的个位是4，54个位4，所以1□4-54的个位是0），60a=△0→a=1时，60×1=60→60+54=114（积=114），也符合“1□4”。
验证限制条件：题目未说明“数字不重复”，但通常基础乘法竖式谜优先取较小乘数，故选择a=2，乘数=24。
4.验证检查：24×6=144，正确。
答案：乘数为24，积为144，竖式为：
2 4
× 6
= 1 4 4
跟踪练习2：在□中填入适当数字，使竖式成立。
3 □
× □
= 2 8 8
提示：乘数是一位数，3□×□=288，288的因数有32×9=288、36×8=二百八十八（36×8=288），验证36×8=288是否符合。
三、挑战题（汉字数字谜）
例3：下面竖式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字，求“学”“习”“好”各代表什么数字。
学 习
+ 学 习
= 好 学
解题步骤：
1.观察结构：两位数+两位数=两位数，设“学”=a，“习”=b，“好”=c，即(10a+b)+(10a+b)=10c+a（a、b、c为0-9的数字，a≠0，c≠0，a、b、c互不相同）。
2.转化等式：2(10a+b)=10c+a→20a+2b=10c+a→19a+2b=10c。
3.分析取值范围：
a是十位数字，a≥1；c是十位数字，c≥1；19a+2b=10c≤90（c≤9），所以19a≤90→a≤4（19×5=95＞90）。
oa=1：19×1+2b=10c→2b=10c-19，10c-19是偶数（2b为偶数），但10c是偶数，19是奇数，偶数-奇数=奇数，矛盾，排除。
oa=2：19×2+2b=10c→38+2b=10c→b=5c-19。b≥0→5c-19≥0→c≥4（c=4时，b=5×4-19=1；c=5时，b=6；c=6时，b=11，不符合b≤9）。
c=4，b=1：此时“学”=2，“习”=1，“好”=4，验证：21+21=42，符合“好 学”=42（c=4，a=2），且数字2、1、4互不相同。
a=3：19×3+2b=10c→57+2b=10c→b=5c-28.5，b不是整数，排除。
o=4：19×4+2b=10c→76+2b=10c→b=5c-38，c≥8（5×8=40→b=2），此时“学”=4，“习”=2，“好”=8，验证：42+42=84，也符合，但题目要求“不同汉字代表不同数字”，4、2、8互不相同，也是解。但通常优先取较小数字，“21+21=42”更简洁。
4.验证检查：21+21=42，“学=2”“习=1”“好=4”，数字互不重复，正确。
答案：学=2，习=1，好=4。
跟踪练习3：下面竖式中，相同汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字，求“我”“爱”“数”“学”各代表什么数字。
我 爱
+ 数 学
= 数 学 我
提示：两位数+两位数=三位数，“数”=1（和的百位），则“我+数”=10+“数”（进位）→“我”=10，矛盾，说明个位相加有进位：“爱+学”=10+“我”，十位“我+数+1=10+“学””，结合“数=1”推导。
1．算一算，算式中的文字各代表什么数字？
读＝（ ） 好＝（ ） 书＝（ ）
2．下图的竖式中，每个方框内的数字各不相同，这个竖式的得数最大是( )。
3．试一试，填一填。

〇里最小能填( )。 〇里最小能填( )。
4．下面算式中相同的汉字代表相同的数，你知道这些汉字各代表数字几吗？
甲＝( ) 乙＝( ) 丁＝( ) 丙＝( )
5．在下面的各个方框里填入合适的数字，使竖式成立。

6．下面算式中的字母分别代表什么数字？
a＝( )，b＝( )。
7．如图的乘法竖式中，相同的汉字代表相同数字，不同汉字代表不同数字，那么，“迎兔年”代表的三位数是______。
8．下面算式中的“车”“炮”“马”“卒”各代表0～9这十个数字中的某一个，相同的汉字代表相同的数字。这些汉字各代表哪些数字？（填一填）
＝( )＝( )
＝( )＝( )
9．这几个汉字分别代表几？
10．加法算式中，“我们同努力疫情定可防”分别代表0－9中10个不同的数字，要使等式成立，那么这个和的最大值是多少？
11．下面的汉字分别表示什么数字？
12．在方框中填上适当的数，使竖式成立。（不需要写推理过程）
13．将下面的乘法竖式填写完整。
14．如图，相同的字母代表相同的数字，不同的字母代表不同的数字，并且已知三位数BAD不是3的倍数，四位数GOOD不是8的倍数，那么四位数ABGD是多少？
15．在如图所示的算式中，每个字母代表一个数字，不同的字母代表不同的数字。如果CHINA所代表的五位数能被24整除，那么这个五位数是多少？
16．已知图所示的乘法竖式成立．那么ABCDE是多少
17．一个四位数被一个一位数除得图①式，而被另一个一位数除得图②式，求这个四位数．
①②
第一种情况 第二种情况
① ②； ① ②；
18．按照图中给出的各数字的奇偶性补全这个除法算式．
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