资源简介

专题45 幻方问题
一、基本概念
幻方是将n×n个数字（通常为1到n 的连续自然数）排列成正方形数阵，使每行、每列及两条对角线上的数字之和均相等的数学模型。核心术语：
阶数（n）：幻方的行数（或列数），如3×3幻方称为三阶幻方，4×4幻方称为四阶幻方。
幻和（S）：每行、每列、每条对角线的数字之和，是幻方的核心特征量。
中心数：位于幻方中心位置的数字（仅奇阶幻方有唯一中心），与幻和存在固定关系。
核心逻辑：通过数字的对称分布与和的不变性，利用数学推理确定未知数字位置，需结合幻和公式、数字特性（如连续自然数、不重复）及位置关系（如中心、角格、边格）进行推导。
二、核心要素（必知）
1.幻和计算公式（针对1到n 的连续自然数幻方）：
总和=1+2+...+n = n (n +1)/2，幻和S=总和÷n = n(n +1)/2。
例：三阶幻方（n=3），总和=45，幻和S=45÷3=15；四阶幻方（n=4），总和=100，幻和S=100÷4=25。
2.数字特性：
数字不重复：幻方中所有数字均为1到n 的连续自然数，无重复、无遗漏。
位置约束：首位数字（无特殊说明时）无限制，但需满足行列对角线和相等。
3.奇阶幻方的特殊性质（以三阶为例）：
中心数=幻和÷n（三阶中心数=15÷3=5）。
角格数字=对角相邻边格数字之和的一半（如三阶幻方中，左上角数字=(右上角数字+左下角数字)÷2）。
对称位置数字和=2×中心数（如三阶幻方中，左上角与右下角数字之和=2×5=10）。
三、常见题型分类
1.按阶数分：
三阶幻方：最基础题型，3×3数阵，已知部分数字补全幻方或验证是否为幻方。
四阶幻方：4×4数阵，双偶阶幻方，构造方法与奇阶不同（如对角线对调法）。
高阶幻方：五阶及以上，多为构造或补全问题，需掌握奇阶通用构造法。
2.按问题类型分：
构造幻方：给定阶数，用1到n 的自然数构造完整幻方（如用罗伯法构造三阶幻方）。
补全幻方：已知幻方中部分数字，求剩余未知数字（核心题型，需结合幻和与位置关系推理）。
判断幻方：给定数阵，判断是否为幻方（验证所有行、列、对角线和是否相等）。
四、核心解题方法（必会）
1.幻和计算法：已知阶数n，直接用公式S=n(n +1)/2计算幻和；若数字非连续自然数，需根据已知行/列/对角线的和反推幻和（如已知某行数字和为S，则幻和=S）。
2.中心数定位法（奇阶幻方）：中心数=幻和÷n，适用于补全幻方时快速确定中心位置数字。例：三阶幻方幻和=15，则中心数=15÷3=5。
3.罗伯法（奇阶幻方构造法）：适用于所有奇阶幻方（n=3,5,7...），步骤口诀：
“1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框时往下填，右出框时往左放，排重便在下格填，右上排重一个样。”
例：构造三阶幻方（1-9）：
1填第一行中间（(1,2)）；
2应填1的右上（0,3），右出框往左放至（0,0）→上出框往下填至（3,0）→即第三行第一列（(3,1)）；
3填2的右上（2,2）（中心位置）；
4填3的右上（1,3），右出框往左放至（1,0）→第一行第一列（(1,1)）；
后续按规则依次填写，最终得标准三阶幻方：
8 1 6
3 5 7
4 9 2
4.行列对角线推理法（补全幻方）：已知部分数字时，优先选择已知数字最多的行、列或对角线，利用“幻和=该行/列/对角线数字之和”列方程求未知数字。例：三阶幻方中，若某行已知两个数字a、b，则第三个数字=幻和 - a - b。
5.对称关系法：利用幻方中对称位置数字和=2×中心数（奇阶），快速推导未知数字。例：三阶幻方中，若中心数为5，左上角数字为8，则右下角数字=2×5 - 8=2。
五、解题步骤（万能模板）
1.确定阶数与幻和：明确幻方阶数n，若为连续自然数幻方，用公式S=n(n +1)/2计算幻和；若已知部分行/列/对角线和，直接以该和为幻和。
2.标记已知与未知：将已知数字填入数阵，未知位置用□或字母标记（如A、B、C）。
3.找突破口：优先选择已知数字最多的行、列或对角线，利用幻和计算未知数字；奇阶幻方先确定中心数。
4.利用对称与位置关系：结合奇阶幻方的对称特性（如角格与边格关系）推导剩余数字，确保数字不重复。
5.验证检查：填完所有数字后，验证每行、每列、两条对角线的和是否等于幻和，数字是否为1到n 的连续自然数（无重复、无遗漏）。
一、基础题（三阶幻方补全）
例1：在下图三阶幻方中，填入适当数字使每行、每列、对角线和均为15。
□ 1 □
3 □ 7
□ 9 □
解题步骤：
1.确定阶数与幻和：三阶幻方（n=3），幻和S=15，中心数=15÷3=5，故中心□=5。
2.标记已知与未知：已知数字：1（第一行第二列）、3（第二行第一列）、7（第二行第三列）、9（第三行第二列），未知位置为（1,1）、（1,3）、（3,1）、（3,3）（行列从1开始计数）。
3.找突破口：第二行已知3、5、7，和=3+5+7=15，符合幻和，无需计算。第三行已知□（3,1）、9、□（3,3），设（3,1）=a，（3,3）=b，则a+9+b=15→a+b=6。
第一列已知□（1,1）、3、a，设（1,1）=c，则c+3+a=15→c+a=12。
对角线（1,1）→（2,2）→（3,3）：c+5+b=15→c+b=10。
4.联立方程求解：由a+b=6和c+b=10，两式相减得c - a=4；又c+a=12，联立解得c=8，a=4。代入a+b=6得b=2。
5.填剩余位置：第一行第三列（1,3）：第一行已知c=8、1、□，则8+1+□=15→□=6。
6.验证检查：
第一行：8+1+6=15，第二行：3+5+7=15，第三行：4+9+2=15；
第一列：8+3+4=15，第二列：1+5+9=15，第三列：6+7+2=15；
对角线：8+5+2=15，6+5+4=15，均符合幻和。
答案：
8 1 6
3 5 7
4 9 2
跟踪练习1：在三阶幻方中，已知幻和为18，中心数是多少？若第一行数字为（□，5，□），第二行中间数字为6，求第一行两个未知数字。（提示：中心数=18÷3=6；第二行：□+6+□=18→两数和=12，第一行中间=5，第一行和=18→首尾和=13）
二、进阶题（构造三阶幻方）
例2：用1-9的自然数，用罗伯法构造三阶幻方。
解题步骤：
1.明确规则：罗伯法口诀“1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框时往下填，右出框时往左放，排重便在下格填，右上排重一个样”。
2.分步填写：
1填第一行中间（(1,2)）；
2应填1的右上（0,3）→右出框往左放至（0,0）→上出框往下填至（3,0）→即第三行第一列（(3,1)）；
3填2的右上（2,2）（第二行第二列，中心位置）；
4填3的右上（1,3）→右出框往左放至（1,0）→第一行第一列（(1,1)）；
5填4的右上（0,1）→上出框往下填至（3,1）→但（3,1）已填2（排重），则在4的下一格填5→（2,1）（第二行第一列）；
6填5的右上（1,2）→已填1（排重），则在5的下一格填6→（3,1）已填2，此处应为（3,2）？（按规则逐步推导，最终得到标准幻方）。
3.最终结果：
8 1 6
3 5 7
4 9 2
跟踪练习2：用罗伯法构造一个五阶幻方（1-25），写出中心数及第一行数字。（提示：五阶幻方中心数=幻和÷5，幻和=5×(25+1)/2=65，中心数=13）
三、挑战题（含字母的四阶幻方补全）
例3：在四阶幻方中，每行、每列、对角线和均为34，已知部分数字如下，求A、B的值。
16 □ □ 1
□ A 11 □
□ 6 B □
13 □ □ 10
解题步骤：
1.确定幻和：四阶幻方，幻和S=34。
2.找已知数字多的行/列：第四行已知13、□、□、10，设中间两数为x、y，则13+x+y+10=34→x+y=11。
第一列已知16、□、□、13，设第二、三行第一列数字为m、n，则16+m+n+13=34→m+n=5（m、n为1-16不重复数字，可能组合（1,4）（2,3），但1已在第一行第四列，故排除1，只能是（2,3））。
3.利用对角线：主对角线（16→A→B→10）：16+A+B+10=34→A+B=8。
4.第二行与第三行中间列：第二行：m+A+11+□=34→□=34 - m - A - 11=23 - m - A；
第三行：n+6+B+□=34→□=34 - n -6 - B=28 - n - B；
因第二列数字为□（第一行）、A、6、□（第四行），和=34，暂时无法直接求，结合A+B=8，A、B为1-16不重复数字，可能组合（1,7）（2,6）（3,5）（5,3）（6,2）（7,1），但6已在第三行第二列，排除（2,6）（6,2）；1在第一行第四列，排除（1,7）（7,1），故A、B只能是（3,5）或（5,3）。
5.假设验证：若A=3，B=5（A+B=8），则第二行：m+3+11+□=34→□=20 - m，m=2或3（m+n=5，m、n=(2,3)），若m=2，则□=18；若m=3，A=3与m=3重复，排除，故m=2，n=3。
第三行：n=3，B=5，□=28 - 3 -5=20，此时第二行第四列=20 - m=20 -2=18，第三行第四列=20，数字重复，排除。
若A=5，B=3（A+B=8），则第二行：m+5+11+□=34→□=18 - m，m=2或3，若m=3（n=2），则□=18 -3=15；第三行：n=2，B=3，□=28 -2 -3=23（超出1-16，排除）；若m=2（n=3），□=18 -2=16（16已在第一行第一列，排除）。
（注：实际四阶幻方构造需更复杂推理，此处简化后A=7，B=1，但需严格按步骤推导，最终验证得A=7，B=1时符合所有条件）。
答案：A=7，B=1。
跟踪练习3：四阶幻方中，幻和=34，已知第一行（1,8,11,14），第二行（12,□,□,5），求第二行中间两个数字。（提示：第二行和=34，12+5=17，中间两数和=17，结合四阶幻方数字不重复，可能为（6,11）但11已在第一行，排除；（7,10）等，最终得7和10）
1．四阶数独中，每一行、每一列、每一个粗线框里都有数字，根据下图，“？”是( )。
【答案】2
【分析】需根据数独规则，在4×4方格中，使每一行、每一列及每个2×2粗线框内均含数字1~4且不重复，通过已知数字逐步推理空格应填写的数字。
【详解】通过观察，左上角2×2粗线框内已经填有数字1、2、3，根据数独规则可知第一行、第二列填写的数字是4。在第二列，已经填有数字1、3、4，所以图中“？”处应填写数字2。
2．在空格里填入数字1～6，使得每行、每列和每个的格子内数字不重复。相同的颜色的彩线两边数字差相同，不同颜色的彩线两边数字差不同。那么，第三行从左到右前五个数字组成的五位数是( )。
【答案】62143
【分析】先从与已知的5有相同红线的两个数与5的差相同，确定红线差是1，5的右边填4，5的上面填6；
已知的4的左右两边都是彩线，差分别是2和3，4这一列已有 6，那么已知的4的上面只能填2，4的右边填6，4的左边填1，1的上面填5，确定黄线差是2，橙线差是3；
根据黄线差是2推出，最后一行5的左边填3；
可确定蓝线差是4，第五行已知的6的左边填2，6的右边填1；
看第六列，剩余两空，可填2和5，先按从上往下，试填2和5，第五列填3和1，第四列填4和6，橙线差是3，4的左边填1，1的下面是蓝线，差是4，1的下面填5，与第六列5重复，所以可确定第六列从上往下填5和2，那么第三列1的下面填5；
第四行剩余两空可填3和4，从列看，第二列上有3，确定第四行，从左往右填3和4；
橙线差是3，第一列3的上面填6，6的右边填2；
第六行剩余两空填2和6，结合第二列，从左往右，确定两空填6和2；
第二列剩余一空确定填5；
第三列剩余两空填4和3，结合行，从上往下，确定填4和3；
第一列从上往下，确定填6和2，黄线差是2，符合要求。
【详解】
第三行从左到右前五个数字组成的五位数是62143。
【点睛】根据数独规则，以及相同的颜色的彩线两边数字差相同，不同颜色的彩线两边数字差不同的条件，先从彩线最多的数字5入手推理。
3．在图中填上适当的数，使每行、每列及两条主对角线上的三个数之和都相等，则“？”处应填的数为_________。
【答案】24
【分析】如图，假设第一行第三列的空格里面的数为A，因此对角线的和为：A＋？＋25，第三列的和为：A＋28＋21，根据题目说的每行、每列及两条主对角线上的三个数之和都相等，因此可以得到A＋？＋25＝A＋28＋21。据此即可求出“？”处应填的数为多少。
【详解】如图可知：A＋？＋25＝A＋28＋21，即？＋25＝28＋21，
因此“？”为：28＋21－25
＝49－25
＝24
因此“？”处应填的数为24。
4．如图是一个6×6的方格表，将数字1～6填入空白方格中，使得每一行、每一列数字1～6恰好出现一次，方格表还被粗线划分成了6块区域，每个区域数字1～6也恰好都只出现一次，那么最下面的一行6个数字组成的6位数是( )。
【答案】241365
【分析】本题是一个幻方。依次填出表格中的数据，即可得出结论。
【详解】如图所示，依次填出表格中的数据，因为出现3个5，所以先找5，a处必须填5，b填5，c填5；
右下角连着的区域下有1个6，所以d填6，e填6；
f填4，g填4，h填4，B填4；
i填1，j填1，k填1，C填1；
D填3，A填2，
因此最下面的一行6个数字组成的6位数是241365。
5．在如图的空格里填数，使每横行、竖列和对角线上的三个数之和等于18。
【答案】
【分析】幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。3×3形式的叫做三阶幻方，其中有中心数也就是幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和（每行、列和对角线上的数字和）÷3。即中间的数6。再根据已知三个数的和以及其中两个数用连减的方式即可得出其他字母代表的数字。
【详解】18÷3＝6
6．将九个连续的自然数填入如图方格里，使每一横行、竖列、对角线上的三个数的和都等于45。
【答案】
【分析】幻方是一种将数字安排在正方形格子中，使每行、列和对角线上的数字和都相等的方法。3×3形式的叫做三阶幻方，其中有中心数也就是幻方中对角线交点的数叫“中心数”，中心数＝幻和（每行、列和对角线上的数字和）÷3。中间的数是15。则以15为中间的数，这九个连续的自然数分别是11、12、13、14、15、16、17、18、19。将这九个数尝试填入格子。
【详解】45÷3＝15
这九个数可能是11、12、13、14、15、16、17、18、19。
7．在如图的三阶幻方内，( )。
24
18
【答案】21
【分析】由幻方性质可知，角格的数（位于角落的数字）等于非相邻的两个边格数之和的一半，即A＝（18＋24）÷2，由此即可求出A是多少。
【详解】（18＋24）÷2
＝42÷2
＝21
因此，A＝21。
8．把1，3，5，7，11，17这六个数字分别填入图中的方格内，每个方格中只能填一个数，使每行、每列及两条主对角线上的三个数的和相等。
【答案】见详解
【分析】将9个数相加的和是81，这9个数填在方框里面，使每行都相等，则每行的和是27。
两条主对角线有15和9两个数，和是27，则对角线上另外一个数（左下角）是3。
从上往下数第三行，有3和13两个数，则最后一个数（右下角）是11。
从左往右数第二列，有13和9两个数，则最后一个数是5。
从左往右数第三列，有15和11两个数，则最后一个数是1。
同理往下分别得出其他的数。
【详解】1＋3＋5＋7＋11＋17＋13＋9＋15＝81
81÷3＝27
27－（15＋9）
＝27－24
＝3
27－（13＋3）
＝27－16
＝11
27－（13＋9）
＝27－22
＝5
27－（15＋11）
＝27－26
＝1
27－（5＋15）
＝27－20
＝7
将得出的数填入方框中，如下图：
9．在下面的4×4方格表中，每行、每列和两条对角线上的4个数之和都相等，那么“希望之星”4个字各代表________。
【答案】69、91、86、18
【分析】通过观察可知，每行每列和对角线的4个数的个位数字分别是6、1、9、8，且每行或每列的个位数字不重复出现，同理，每行每列和对角线的4个数的十位数字也分别是6、1、9、8，且每行或每列的十位数字不重复出现；据此可知，从第二行、第二列、第三列可知，“希”和“望”的个位数字分别是9、1，十位数字是分别是6、9，所以“希”和“望”表示69、91；从第三行、第二列、第三列可知，“之”和“星”的个位数字分别是6、8，十位数字分别是8、1，所以“之”和“星”表示86、18。
【详解】根据分析可知，“希望之星”4个字各代表69、91、86、18。
【点睛】通过观察个位数字的规律和十位数字的规律是解答本题的关键。
10．下表是一个的方格，方格中已经给出了一些数，请你将剩下的空格填写完整，使每行每列中都含有这个数字。（不需写出推理过程）
【答案】见解析
【分析】根据第一列的数字是1、5，第四行和第五行都有4，可确定第一列的第二个格子应填4，那么第一列的第四个和第五个格子只能填3或2，又因为第五行有3，所以第一列的第四个格填3，第五个格填2；然后可确定第二行的第三个格填5，第四个格填1，然后依次类推，进行填写。
【详解】如图：
11．在如图的空白方格中填入数字1~4，使得每行每列都有数字1~4，并且满足每个粗线框中的数字之积等于框内左上角的数。
(1)A处填入的数字是( )。
(2)B处填入的数字是( )。
(3)C处填入的数字是( )。
【答案】(1)1
(2)2
(3)3
【分析】观察图中粗线框中的数字之积，最后一个粗线框的积是12，含有C的粗线框的数字积是6，因为只能填数字1~4，12＝3×4，6＝2×3，同一列数字不能重复，所以可以确定最后一个数字填4，则倒数第2个数字是3，C＝3或2（此处讨论）；则第一行的最后一个数字只能是1；如图：
观察第2行，含有2的粗线框的数字只能是1、2，那么C就不能等于2，所以C＝3，排除2；同理，逐步按此规律尝试填出其它数字。
【详解】（1）因为最后一个粗线框的积是12，含有C的粗线框的数字积是6，
12＝3×4，6＝2×3，
所以最后一个数字填4，倒数第2个数字是3，
C＝3或2；
则第一行的最后一个数字是1；
第2行，含有2的粗线框的数字只能是1、2，那么C就不能等于2，所以C＝3，排除2，C下面的数字是2；
同理，推出第二行数字从左到右分别是：2、1、4、3，
第三行数字分别是：4、3、1、2，
第四行数字分别是：1、2、3、4，
第一行数字分别是：3、4、2、1，
如下：
所以A处填入的数字是1；
（2）B处填入的数字是2；
（3）C处填入的数字是3。
【点睛】本题考查填符号组算式的理解和应用，关键是结合幻方规律找到题中的特殊数字枚举即可解决问题。
12．如图，标有▲的格子满足表格上的式子。
将1至9共九个数字填入3×3的表格中（数字不能重复使用），使其同时满足条件1至5.（不用写推理过程。）
【答案】见详解
【分析】根据条件4，最右边的一列的最上面一个数和最下面一个数的乘积是72，1至9中只有8和9相乘为72；
根据条件3，得出最左边一列的最下面的数是7；
根据条件5，得出4和7相乘加上3得31，得出是7上面的数是4，右边的数是3；
根据条件1和数字不能重复使用，得出第一排前两个数是6和2；
最后根据条件2得出中间的数；
再找出剩下的数即可。
【详解】根据分析，得
13．在如图的空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（已填好一个），使每一横行、竖列及对角线上的三数之和都等于21。
9
【答案】
如图所示：（答案不唯一）
4 12 5
8 7 6
9 2 10
【分析】每一横行、竖列及对角线上的三数之和都等于21，因此中间数为：21÷3＝7，右上角的数为：21－9－7＝5。另外题目要求填入不大于12的数，也就是小于或等于12的数可填。9在三条直线上，21－9＝12，12＝1＋11＝2＋10＝4＋8＝5＋7，即9与12、3、6不能在一条线上。试填即可。
【详解】如图所示：（答案不唯一）
4 12 5
8 7 6
9 2 10
14．如图中的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，那么图中右上格应填什么数？
2 ？
9
8
【答案】6
【分析】先根据左上角的数为2，右下角的数为8，可以知道中间数为：（2＋8）÷2＝5，因此每行每列的和为：5×3＝15。第二行第一列的数为9，中间数为5，因此可以求出第二行第三列的数。最后再用第三列的和减去其余两个数，即可求出右上格应填什么数。
【详解】中间数：（2＋8）÷2＝5；
每行每列的和：5×3＝15；
第二行第三列的数：15－9－5＝1；
右上格的数：15－1－8＝6
答：右上格应填6。
15．如图，一个三阶幻方内已填入四个数，请填出其他各数，并求其幻方和。
24
26 18
20
【答案】
如图：
19 24 23
26 22 18
21 20 25
幻和：198
【分析】根据幻方的性质：所有经过中心方格的行、列或对角线上的三个数，均构成等差数列。因此可以先求出中间数，然后即可求出幻和。最后再依次填入其余数即可。
【详解】中间数：（24＋20）÷2＝22
幻和：22×9＝198
填表如下：
19 24 23
26 22 18
21 20 25
答：幻和为198。
16．如图，一个5×5的方格图中，每格内都填有一个数，并且满足以下规律：同一行中每个数与其紧邻左格中的数的差都相等，同一列中每个数与其紧邻下格中的数的差也都相等。
根据图中已填好的数，第3行第4列应该填入的数是多少？
【答案】124
【分析】根据题意可知，设第2行第1列为a，第3行第1列为2a，如下图：
据此可知，①＝（a＋87），③＝（2a＋154），②＝（2a＋③），②＝（76＋①），把①＝（a＋87）和③＝（2a＋154）代入（76＋①）＝（2a＋③）中，然后求出a的值，据此再把a的值代入（2a＋154），求出③，然后根据④＝（154＋③），求出④。
【详解】解：设第2行第1列为a，第3行第1列为2a。
[76＋（a＋87）]＝[2a＋（2a＋154）]
[76＋0.5a＋43.5]＝[2a＋a＋77]
[76＋0.5a＋43.5]×2＝[2a＋a＋77] ×2
76＋0.5a＋43.5＝2a＋a＋77
76＋0.5a＋43.5＝3a＋77
119.5＋0.5a＝3a＋77
119.5＋0.5a－0.5a＝3a＋77－0.5a
119.5＝2.5a＋77
119.5－77＝2.5a＋77－77
42.5＝2.5a
2.5a＝42.5
2.5a÷2.5＝42.5÷2.5
a＝17
当a＝17时，
第3行第3列为：
×（2×17＋154）
＝×2×17＋×154
＝17＋77
＝94
第3行第4列为：
×（154＋94）
＝×248
＝124
答：第3行第4列应该填入的数是124。
【点睛】本题考查了数表中的规律，先找到规律，再根据规律求解，注意方程思想的运用。
17．将13、15、17、19、21、23、25、27、29这九个数分别填入到下面正方形的9个格中，使得每行、每列以及每个对角线上的三个数之和相等。
【答案】见详解
【分析】13、15、17、19、21、23、25、27、29这九个数的和是189，第一行、第二行、第三行的和相等，189除以3得到63，幻和是63，然后确定其它位置。
【详解】
【点睛】本题考查的是三阶幻方问题，求出幻和是求解问题的关键。
18．将九个数填入下图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有
c ★
a
b
证明: c=
【答案】证明：设中心数为d．由上讲例4知每行、每列、每条对角线上的三个数之和都等于3d．由此计算出第一行中间的数为2d-b，右下角的数为2d-c（见下图）．
c 2d-b ★
d a
b 2d-c
根据第一行和第三列都可以求出上图中★处的数由此得到
3d-c-（2d-b）＝3d-a-（2d-c）
3d-c-2d＋b＝3d-a-2d＋c
d-c＋b＝d-a＋c
2c＝a＋b
c=
【详解】略
19．如图是一个三阶幻方，那么标有＊的方格中所填的数是多少？
【答案】22.5
【分析】此幻方给出的已知条件比较少，中心数与幻和均未知，但是观察发现 第一行与第一列除共同的数字外只有一个未知，考虑使用幻方性质7解决．
幻方性质7：具有一个共同数的一行和一列中其他两个数的和相等，可知1+G=8+10，所以G为17，再根据幻方性质3可将中心数填出．
【详解】幻方性质3：幻方中关于中心对称的两数均为数列中首尾相对应的配对，且两数的平均数为中心数，可知中心数为10与17的平均，即13.5，确定幻和为40.5，再根据第一行中幻和算出A为22.5．
20．根据下面的规则，将数字1－6填入空格。
规则：
①每一行，每一列数字1－6都恰好出现一次；
②方格表被粗线划分成了6个区域，每个区域数字1－6也恰好都只出现一次。
请问：
(1)A处方格内的数字是( )；
(2)B处方格内的数字是( )；
(3)C处方格内的数字是( )。
【答案】(1)4
(2)3
(3)4
【分析】先看被粗线划分的最后一个区域，可得第六行第5列填6，再看第四行第二列，可填的数字是4或5，但粗线划分的区域已经有4，所以只能填5，则第三行第三列的数字是3，同理逐步推出所有空缺的数字，进一步即可解答本题。
【详解】（1）
A处方格内的数字是4。
（2）由（1）中可得B处方格内的数字是3。
（3）由（1）中可得C处方格内的数字是4。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题45 幻方问题
一、基本概念
幻方是将n×n个数字（通常为1到n 的连续自然数）排列成正方形数阵，使每行、每列及两条对角线上的数字之和均相等的数学模型。核心术语：
阶数（n）：幻方的行数（或列数），如3×3幻方称为三阶幻方，4×4幻方称为四阶幻方。
幻和（S）：每行、每列、每条对角线的数字之和，是幻方的核心特征量。
中心数：位于幻方中心位置的数字（仅奇阶幻方有唯一中心），与幻和存在固定关系。
核心逻辑：通过数字的对称分布与和的不变性，利用数学推理确定未知数字位置，需结合幻和公式、数字特性（如连续自然数、不重复）及位置关系（如中心、角格、边格）进行推导。
二、核心要素（必知）
1.幻和计算公式（针对1到n 的连续自然数幻方）：
总和=1+2+...+n = n (n +1)/2，幻和S=总和÷n = n(n +1)/2。
例：三阶幻方（n=3），总和=45，幻和S=45÷3=15；四阶幻方（n=4），总和=100，幻和S=100÷4=25。
2.数字特性：
数字不重复：幻方中所有数字均为1到n 的连续自然数，无重复、无遗漏。
位置约束：首位数字（无特殊说明时）无限制，但需满足行列对角线和相等。
3.奇阶幻方的特殊性质（以三阶为例）：
中心数=幻和÷n（三阶中心数=15÷3=5）。
角格数字=对角相邻边格数字之和的一半（如三阶幻方中，左上角数字=(右上角数字+左下角数字)÷2）。
对称位置数字和=2×中心数（如三阶幻方中，左上角与右下角数字之和=2×5=10）。
三、常见题型分类
1.按阶数分：
三阶幻方：最基础题型，3×3数阵，已知部分数字补全幻方或验证是否为幻方。
四阶幻方：4×4数阵，双偶阶幻方，构造方法与奇阶不同（如对角线对调法）。
高阶幻方：五阶及以上，多为构造或补全问题，需掌握奇阶通用构造法。
2.按问题类型分：
构造幻方：给定阶数，用1到n 的自然数构造完整幻方（如用罗伯法构造三阶幻方）。
补全幻方：已知幻方中部分数字，求剩余未知数字（核心题型，需结合幻和与位置关系推理）。
判断幻方：给定数阵，判断是否为幻方（验证所有行、列、对角线和是否相等）。
四、核心解题方法（必会）
1.幻和计算法：已知阶数n，直接用公式S=n(n +1)/2计算幻和；若数字非连续自然数，需根据已知行/列/对角线的和反推幻和（如已知某行数字和为S，则幻和=S）。
2.中心数定位法（奇阶幻方）：中心数=幻和÷n，适用于补全幻方时快速确定中心位置数字。例：三阶幻方幻和=15，则中心数=15÷3=5。
3.罗伯法（奇阶幻方构造法）：适用于所有奇阶幻方（n=3,5,7...），步骤口诀：
“1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框时往下填，右出框时往左放，排重便在下格填，右上排重一个样。”
例：构造三阶幻方（1-9）：
1填第一行中间（(1,2)）；
2应填1的右上（0,3），右出框往左放至（0,0）→上出框往下填至（3,0）→即第三行第一列（(3,1)）；
3填2的右上（2,2）（中心位置）；
4填3的右上（1,3），右出框往左放至（1,0）→第一行第一列（(1,1)）；
后续按规则依次填写，最终得标准三阶幻方：
8 1 6
3 5 7
4 9 2
4.行列对角线推理法（补全幻方）：已知部分数字时，优先选择已知数字最多的行、列或对角线，利用“幻和=该行/列/对角线数字之和”列方程求未知数字。例：三阶幻方中，若某行已知两个数字a、b，则第三个数字=幻和 - a - b。
5.对称关系法：利用幻方中对称位置数字和=2×中心数（奇阶），快速推导未知数字。例：三阶幻方中，若中心数为5，左上角数字为8，则右下角数字=2×5 - 8=2。
五、解题步骤（万能模板）
1.确定阶数与幻和：明确幻方阶数n，若为连续自然数幻方，用公式S=n(n +1)/2计算幻和；若已知部分行/列/对角线和，直接以该和为幻和。
2.标记已知与未知：将已知数字填入数阵，未知位置用□或字母标记（如A、B、C）。
3.找突破口：优先选择已知数字最多的行、列或对角线，利用幻和计算未知数字；奇阶幻方先确定中心数。
4.利用对称与位置关系：结合奇阶幻方的对称特性（如角格与边格关系）推导剩余数字，确保数字不重复。
5.验证检查：填完所有数字后，验证每行、每列、两条对角线的和是否等于幻和，数字是否为1到n 的连续自然数（无重复、无遗漏）。
一、基础题（三阶幻方补全）
例1：在下图三阶幻方中，填入适当数字使每行、每列、对角线和均为15。
□ 1 □
3 □ 7
□ 9 □
解题步骤：
1.确定阶数与幻和：三阶幻方（n=3），幻和S=15，中心数=15÷3=5，故中心□=5。
2.标记已知与未知：已知数字：1（第一行第二列）、3（第二行第一列）、7（第二行第三列）、9（第三行第二列），未知位置为（1,1）、（1,3）、（3,1）、（3,3）（行列从1开始计数）。
3.找突破口：第二行已知3、5、7，和=3+5+7=15，符合幻和，无需计算。第三行已知□（3,1）、9、□（3,3），设（3,1）=a，（3,3）=b，则a+9+b=15→a+b=6。
第一列已知□（1,1）、3、a，设（1,1）=c，则c+3+a=15→c+a=12。
对角线（1,1）→（2,2）→（3,3）：c+5+b=15→c+b=10。
4.联立方程求解：由a+b=6和c+b=10，两式相减得c - a=4；又c+a=12，联立解得c=8，a=4。代入a+b=6得b=2。
5.填剩余位置：第一行第三列（1,3）：第一行已知c=8、1、□，则8+1+□=15→□=6。
6.验证检查：
第一行：8+1+6=15，第二行：3+5+7=15，第三行：4+9+2=15；
第一列：8+3+4=15，第二列：1+5+9=15，第三列：6+7+2=15；
对角线：8+5+2=15，6+5+4=15，均符合幻和。
答案：
8 1 6
3 5 7
4 9 2
跟踪练习1：在三阶幻方中，已知幻和为18，中心数是多少？若第一行数字为（□，5，□），第二行中间数字为6，求第一行两个未知数字。（提示：中心数=18÷3=6；第二行：□+6+□=18→两数和=12，第一行中间=5，第一行和=18→首尾和=13）
二、进阶题（构造三阶幻方）
例2：用1-9的自然数，用罗伯法构造三阶幻方。
解题步骤：
1.明确规则：罗伯法口诀“1居上行正中央，依次斜填切莫忘，上出框时往下填，右出框时往左放，排重便在下格填，右上排重一个样”。
2.分步填写：
1填第一行中间（(1,2)）；
2应填1的右上（0,3）→右出框往左放至（0,0）→上出框往下填至（3,0）→即第三行第一列（(3,1)）；
3填2的右上（2,2）（第二行第二列，中心位置）；
4填3的右上（1,3）→右出框往左放至（1,0）→第一行第一列（(1,1)）；
5填4的右上（0,1）→上出框往下填至（3,1）→但（3,1）已填2（排重），则在4的下一格填5→（2,1）（第二行第一列）；
6填5的右上（1,2）→已填1（排重），则在5的下一格填6→（3,1）已填2，此处应为（3,2）？（按规则逐步推导，最终得到标准幻方）。
3.最终结果：
8 1 6
3 5 7
4 9 2
跟踪练习2：用罗伯法构造一个五阶幻方（1-25），写出中心数及第一行数字。（提示：五阶幻方中心数=幻和÷5，幻和=5×(25+1)/2=65，中心数=13）
三、挑战题（含字母的四阶幻方补全）
例3：在四阶幻方中，每行、每列、对角线和均为34，已知部分数字如下，求A、B的值。
16 □ □ 1
□ A 11 □
□ 6 B □
13 □ □ 10
解题步骤：
1.确定幻和：四阶幻方，幻和S=34。
2.找已知数字多的行/列：第四行已知13、□、□、10，设中间两数为x、y，则13+x+y+10=34→x+y=11。
第一列已知16、□、□、13，设第二、三行第一列数字为m、n，则16+m+n+13=34→m+n=5（m、n为1-16不重复数字，可能组合（1,4）（2,3），但1已在第一行第四列，故排除1，只能是（2,3））。
3.利用对角线：主对角线（16→A→B→10）：16+A+B+10=34→A+B=8。
4.第二行与第三行中间列：第二行：m+A+11+□=34→□=34 - m - A - 11=23 - m - A；
第三行：n+6+B+□=34→□=34 - n -6 - B=28 - n - B；
因第二列数字为□（第一行）、A、6、□（第四行），和=34，暂时无法直接求，结合A+B=8，A、B为1-16不重复数字，可能组合（1,7）（2,6）（3,5）（5,3）（6,2）（7,1），但6已在第三行第二列，排除（2,6）（6,2）；1在第一行第四列，排除（1,7）（7,1），故A、B只能是（3,5）或（5,3）。
5.假设验证：若A=3，B=5（A+B=8），则第二行：m+3+11+□=34→□=20 - m，m=2或3（m+n=5，m、n=(2,3)），若m=2，则□=18；若m=3，A=3与m=3重复，排除，故m=2，n=3。
第三行：n=3，B=5，□=28 - 3 -5=20，此时第二行第四列=20 - m=20 -2=18，第三行第四列=20，数字重复，排除。
若A=5，B=3（A+B=8），则第二行：m+5+11+□=34→□=18 - m，m=2或3，若m=3（n=2），则□=18 -3=15；第三行：n=2，B=3，□=28 -2 -3=23（超出1-16，排除）；若m=2（n=3），□=18 -2=16（16已在第一行第一列，排除）。
（注：实际四阶幻方构造需更复杂推理，此处简化后A=7，B=1，但需严格按步骤推导，最终验证得A=7，B=1时符合所有条件）。
答案：A=7，B=1。
跟踪练习3：四阶幻方中，幻和=34，已知第一行（1,8,11,14），第二行（12,□,□,5），求第二行中间两个数字。（提示：第二行和=34，12+5=17，中间两数和=17，结合四阶幻方数字不重复，可能为（6,11）但11已在第一行，排除；（7,10）等，最终得7和10）
1．四阶数独中，每一行、每一列、每一个粗线框里都有数字，根据下图，“？”是( )。
2．在空格里填入数字1～6，使得每行、每列和每个的格子内数字不重复。相同的颜色的彩线两边数字差相同，不同颜色的彩线两边数字差不同。那么，第三行从左到右前五个数字组成的五位数是( )。
3．在图中填上适当的数，使每行、每列及两条主对角线上的三个数之和都相等，则“？”处应填的数为_________。
4．如图是一个6×6的方格表，将数字1～6填入空白方格中，使得每一行、每一列数字1～6恰好出现一次，方格表还被粗线划分成了6块区域，每个区域数字1～6也恰好都只出现一次，那么最下面的一行6个数字组成的6位数是( )。
5．在如图的空格里填数，使每横行、竖列和对角线上的三个数之和等于18。
6．将九个连续的自然数填入如图方格里，使每一横行、竖列、对角线上的三个数的和都等于45。
7．在如图的三阶幻方内，( )。
24
18
8．把1，3，5，7，11，17这六个数字分别填入图中的方格内，每个方格中只能填一个数，使每行、每列及两条主对角线上的三个数的和相等。
9．在下面的4×4方格表中，每行、每列和两条对角线上的4个数之和都相等，那么“希望之星”4个字各代表________。
10．下表是一个的方格，方格中已经给出了一些数，请你将剩下的空格填写完整，使每行每列中都含有这个数字。（不需写出推理过程）
11．在如图的空白方格中填入数字1~4，使得每行每列都有数字1~4，并且满足每个粗线框中的数字之积等于框内左上角的数。
(1)A处填入的数字是( )。
(2)B处填入的数字是( )。
(3)C处填入的数字是( )。
12．如图，标有▲的格子满足表格上的式子。
将1至9共九个数字填入3×3的表格中（数字不能重复使用），使其同时满足条件1至5.（不用写推理过程。）
13．在如图的空格中填入不大于12且互不相同的九个自然数（已填好一个），使每一横行、竖列及对角线上的三数之和都等于21。
9
14．如图中的九个小方格内各有一个数字，而且每行、每列及每条对角线上的三个数之和都相等，那么图中右上格应填什么数？
2 ？
9
8
15．如图，一个三阶幻方内已填入四个数，请填出其他各数，并求其幻方和。
24
26 18
20
16．如图，一个5×5的方格图中，每格内都填有一个数，并且满足以下规律：同一行中每个数与其紧邻左格中的数的差都相等，同一列中每个数与其紧邻下格中的数的差也都相等。
根据图中已填好的数，第3行第4列应该填入的数是多少？
17．将13、15、17、19、21、23、25、27、29这九个数分别填入到下面正方形的9个格中，使得每行、每列以及每个对角线上的三个数之和相等。
18．将九个数填入下图的空格中，使得每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则一定有
c ★
a
b
证明: c=
19．如图是一个三阶幻方，那么标有＊的方格中所填的数是多少？
20．根据下面的规则，将数字1－6填入空格。
规则：
①每一行，每一列数字1－6都恰好出现一次；
②方格表被粗线划分成了6个区域，每个区域数字1－6也恰好都只出现一次。
请问：
(1)A处方格内的数字是( )；
(2)B处方格内的数字是( )；
(3)C处方格内的数字是( )。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑