资源简介

专题46 数阵问题
一、基本概念
数阵问题是指将数字（通常为连续自然数或给定数字）按照特定规则排列在预设图形（如十字形、三角形、九宫格等）中，使图形中每条线上（如横行、竖列、对角线、封闭边等）的数字之和相等（或满足其他特定条件）的数学问题。核心逻辑：利用数字总和、重叠数（被重复计算的数字）与每条线数字和（幻和）的关系，通过“分析结构—计算关键量—确定重叠数—填充数字”的步骤逆向推导，结合数字特性（如奇偶性、大小范围）解决问题。关键点：找准重叠数（数阵中被多条线共用的数字，是推理的核心），明确幻和与数字总和的数量关系，利用限制条件（如数字不重复、取值范围）缩小可能性。
二、核心要素（必知）
1.数阵类型：按图形结构分为辐射型（有一个中心数，多条线从中心延伸，如十字形、星形）、封闭型（首尾相连的封闭图形，如三角形、四边形）、复合型（结合辐射与封闭特征，如九宫格、多层数阵）。
2.幻和：每条线上的数字之和，是数阵问题的核心等量关系（用字母S表示）。
3.重叠数：在数阵中被多条线共用的数字（如辐射型的中心数、封闭型的顶点数），其重叠次数等于包含它的线数（如十字形中心数被2条线共用，重叠次数为2）。
4.数字范围：通常为连续自然数（如1~n）或给定数字集合，需满足“数字不重复”（同一数阵中每个数字仅出现一次）、“首位不为0”（若涉及多位数，但数阵中多为一位数）。
5.限制条件：题目附加的特殊规则，如“每条线和相等”“数字为1~9且不重复”“中心数为奇数”等，需优先满足。
三、常见题型分类
1.按数阵形状分
辐射型数阵：以一个中心数为核心，有多条线（如2条、3条、5条）从中心延伸，每条线包含中心数和若干周边数。例如：十字形数阵（2条线：横行和竖行）、五角星数阵（5条线，每条线3个数，中心数共用）。
封闭型数阵：由封闭图形的边构成，每条边包含若干数字，顶点数字被两条边共用。例如：三角形数阵（3条边，每条边3个数，3个顶点数重叠）、四边形数阵（4条边，每条边4个数，4个顶点数重叠）。
复合型数阵：融合辐射与封闭特征，或包含多层结构。例如：九宫格（3×3方阵，横行、竖列、对角线共8条线，中心数被4条线共用）、多层三角形数阵（外层三角形和内层三角形嵌套）。
2.按数字要求分
填已知数字：给定数字集合（如1~5），填入数阵使每条线和相等。
求未知数字：已知部分数字和幻和，求剩余未知数字（如已知十字形数阵的中心数和幻和，求周边数字）。
构造数阵：自行设计数阵结构（如用1~9构造一个幻和为15的九宫格）。
四、核心解题方法（必会）
1.幻和计算法
根据数阵类型和数字总和计算幻和。公式：
辐射型：设中心数为a（重叠次数k），线数为m，每条线数字个数为n，数字总和为T，则幻和（因中心数被多算k-1次）。
封闭型：设顶点数之和为V（每个顶点重叠1次，共m个顶点），边数为m，每条边数字个数为n，数字总和为T，则幻（顶点数被多算1次）。
例：将1~5填入十字形数阵（2条线，每条线3个数，中心数重叠2次），数字总和T=15，设中心数a，幻和。
2.重叠数分析法
利用幻和与数字总和的关系反推重叠数。公式：
辐射型：重叠数（m为线数，k为重叠次数）。
封闭型：顶点数之和（m为边数）。
例：三角形数阵（3条边，每条边3个数），填入1~6（T=21），幻和S=9，顶点数之和V=3×9 - 21=6，故顶点数为1,2,3（1+2+3=6）。
3.尝试与排除法
根据数字范围和限制条件试填数字，排除矛盾。例如：在辐射型数阵中，确定中心数后，根据幻和计算周边数字和，从剩余数字中选取满足和的组合，若出现重复或超出范围则排除。
4.奇偶性分析法
利用“奇数+奇数=偶数”“偶数+偶数=偶数”“奇数+偶数=奇数”的性质缩小重叠数范围。例如：幻和为奇数时，若每条线有3个数，则可能是“奇+奇+奇”或“奇+偶+偶”，可据此排除不符合的重叠数。
5.整体与局部结合法
先计算所有数字的总和（整体），再结合每条线的幻和（局部），通过“整体=局部总和-重叠部分”建立等式，推导关键量（如幻和、重叠数）。
五、解题步骤（万能模板）
1.观察结构：确定数阵类型（辐射/封闭/复合）、线数、每条线数字个数、已知数字位置，明确限制条件（如数字范围、不重复）。
2.计算关键量：
求数字总和T（若为连续自然数，T=1+2+…+n=n(n+1)/2）；
根据数阵类型，利用幻和公式或重叠数公式建立等式（如辐射型
3.确定重叠数：通过等式推导或试算，确定重叠数（如中心数、顶点数），注意数字范围和奇偶性。
4.填充其他数字：根据幻和，结合已知数字和重叠数，计算每条线剩余数字之和，从剩余数字中选取组合填入，确保不重复。
5.验证检查：将填入的数字代入每条线，验证和是否等于幻和，数字是否符合限制条件（如不重复、在范围内）。
一、基础题（辐射型数阵）
例1：将1~5填入十字形数阵（中心1个格，上下左右各1个格，共5格），使横行和竖行的数字之和相等。
解题步骤：
1.观察结构：辐射型，2条线（横行、竖行），每条线3个数，中心数重叠2次，数字1~5（总和T=1+2+3+4+5=15），限制条件“数字不重复”。
2.计算关键量：设中心数为a，幻和为S。由辐射型幻和公式：15+a需为偶数，故a为奇数（1,3,5）。
3.确定重叠数：
若a=1，则S=(15+1)/2=8，横行和竖行剩余两数之和=8-1=7。剩余数字2,3,4,5，可能组合：2+5=7，3+4=7。
若a=3，则S=(15+3)/2=9，剩余两数之和=9-3=6，组合：1+5=6，2+4=6。
若a=5，则S=(15+5)/2=10，剩余两数之和=10-5=5，组合：1+4=5，2+3=5。
4.填充数字：以a=3为例，横行填1,3,5（1+3+5=9），竖行填2,3,4（2+3+4=9），数字无重复。
5.验证检查：横行1+3+5=9，竖行2+3+4=9，幻和相等，数字1~5不重复，成立。
答案：中心数为3，横行1,3,5，竖行2,3,4（或其他符合条件的组合）。
跟踪练习1：将1~7填入星形数阵（中心1个格，5条线，每条线3个数），使每条线数字之和相等。（提示：数字总和T=28，中心数a重叠5次，幻和( S = ，a=7时S=12）
二、进阶题（封闭型数阵）
例2：将1~6填入三角形数阵（3个顶点和3条边中点各1格，共6格），使每条边的3个数字之和相等，求幻和及填法。
解题步骤：
1.观察结构：封闭型，3条边，每条边3个数，3个顶点数重叠2次（每条边包含2个顶点），数字1~6（总和T=21），限制条件“数字不重复”。
2.计算关键量：设幻和为S，顶点数之和为V（3个顶点）。由封闭型公式：3S = T + V → V = 3S - 21。
3.确定顶点数：V是1~6中3个不同数字之和，最小V=1+2+3=6，最大V=4+5+6=15，故3S=21+V，S范围=（21+6）/3=9到（21+15）/3=12，即S=9,10,11,12。
试S=9：V=3×9-21=6，顶点数=1,2,3（1+2+3=6），每条边中点数=S-顶点和：边1（1,2中点）=9-1-2=6，边2（2,3中点）=9-2-3=4，边3（3,1中点）=9-3-1=5，中点数6,4,5（均在1~6且不重复）。
4.填充数字：顶点填1,2,3，中点填6,4,5，每条边1+6+2=9，2+4+3=9，3+5+1=9。
5.验证检查：三条边和均为9，数字1~6不重复，成立。
答案：幻和为9，顶点1,2,3，中点6,4,5（或其他顶点组合）。
跟踪练习2：将1~8填入四边形数阵（4个顶点和4条边中点各1格），使每条边4个数字之和相等。（提示：数字总和T=36，设幻和S，顶点和V=4S-36，V最小1+2+3+4=10，S最小11.5，取S=12，V=4×12-36=12）
三、挑战题（复合型数阵——九宫格）
例3：将1~9填入3×3九宫格（幻方），使每行、每列、每条对角线的3个数字之和相等（幻和）。
解题步骤：
1.观察结构：复合型（辐射+封闭），3行、3列、2条对角线共8条线，每条线3个数，中心数重叠4次（行、列、两对角线），数字1~9（总和T=45），限制条件“数字不重复”。
2.计算关键量：3行总和=3×幻和=45 → 幻和S=15。设中心数为a，8条线总和=8×15=120，而8条线包含中心数4次，其他数字各2次（每个数字在1行1列1对角线，共3次？修正：每个数字在1行、1列、可能1对角线，共2~3次，整体8条线总和=中心数×4 + 其他8个数×2=4a + 2×(45 - a)=2a + 90=120 → 2a=30 → a=5。
3.确定中心数：中心数a=5。剩余数字1~4,6~9，需分成4对和为10的数（1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10），分别填在相对位置（如1和9在对角线两端）。
4.填充数字：第一行1,9,5（1+9+5=15）→ 修正：九宫格标准填法为：
8 1 6
3 5 7
4 9 2 （每行、列、对角线和均为15）。
5.验证检查：8+1+6=15，3+5+7=15，4+9+2=15；8+3+4=15，1+5+9=15，6+7+2=15；8+5+2=15，6+5+4=15，符合条件。
答案：九宫格填法如上述（标准幻方）。
跟踪练习3：在九宫格中，已知中心数为5，右上角数字为6，求其他位置数字。（提示：右下角=15-5-6=4，第一行另两数和=15-6=9，结合1~9不重复试填）
1．在图中的A、B、C三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于10，那么圆圈B中应填的数是多少？
2．在图中的A、B、C、D四个圆圈内填入四个不同的自然数，使得正方形每条边上的三个数之和都等于15，那么圆圈C中应填的数是多少？
3．在图中的A、B、C三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得正方形每条边上的三个数之和都相等，那么圆圈A中应填的数是多少？
4．下图中正方形每条边上的三个数之和都相等，那么圆圈C中应填的数是多少？
5．在下图的七个圆圈内各填一个数，要求在每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现已填好两个数，求 A。

6．如图， 三个正方形组成八个三角形，现把每个正方形四个顶点上都分别填上 2， 3， 4， 5 这四个数，使得八个三角形三个顶点上数的和为连续的八个自然数，这连续的八个自然数各是多少？
7．10月1日是国庆节，下图是“10、l”两个数，请把l~18这十八个数填入图中十八个空格内，要使每一横划与竖划上所填的数的和相等．
8．1～9分别填入小三角形内（每个小三角形内只填一个数），要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等．想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些？
9．将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？
10．下图中每条直线上的三个数之和都相等，那么圆圈B中应填的数是多少？
11．请将1～8填入图中的8个方格内，使得a、b、c、d四个方格内的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格内所填数的差。其中b填7。
12．把16、18、20、22、24这5个数字填在圆圈中，使每条直线上的3个数相加的和相等。
13．请将1、2、3、4、5、6、7、8八个数字填入右图中的八块区域内，使得每一个圆圈与它相邻的区域内的数之和都相等。
14．在图中的A、B、C三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于12，那么圆圈B中应填的数是多少？
15．请将0、1、2、3、4、5六个数字填入图中的六块区域内，使得每一个圆圈与它相邻区域内的数之和都相等。
16．把1至7这七个数分别填入图中各圆圈内，使得每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等。已知中间圆圈填的数为1，那么每条直线的和是多少？
17．将1～10填入图中的十个〇中，使得每个菱形的四个顶点数之和相等。问：这个和的最大值和最小值各是多少？请各给出一种填法。
18．将1～8填入如图的八个〇中，使小正方形的四个顶点数之和是大正方形的四个顶点数之和的两倍，并且大正方形每条边上的三个数之和都相等。
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题46 数阵问题
一、基本概念
数阵问题是指将数字（通常为连续自然数或给定数字）按照特定规则排列在预设图形（如十字形、三角形、九宫格等）中，使图形中每条线上（如横行、竖列、对角线、封闭边等）的数字之和相等（或满足其他特定条件）的数学问题。核心逻辑：利用数字总和、重叠数（被重复计算的数字）与每条线数字和（幻和）的关系，通过“分析结构—计算关键量—确定重叠数—填充数字”的步骤逆向推导，结合数字特性（如奇偶性、大小范围）解决问题。关键点：找准重叠数（数阵中被多条线共用的数字，是推理的核心），明确幻和与数字总和的数量关系，利用限制条件（如数字不重复、取值范围）缩小可能性。
二、核心要素（必知）
1.数阵类型：按图形结构分为辐射型（有一个中心数，多条线从中心延伸，如十字形、星形）、封闭型（首尾相连的封闭图形，如三角形、四边形）、复合型（结合辐射与封闭特征，如九宫格、多层数阵）。
2.幻和：每条线上的数字之和，是数阵问题的核心等量关系（用字母S表示）。
3.重叠数：在数阵中被多条线共用的数字（如辐射型的中心数、封闭型的顶点数），其重叠次数等于包含它的线数（如十字形中心数被2条线共用，重叠次数为2）。
4.数字范围：通常为连续自然数（如1~n）或给定数字集合，需满足“数字不重复”（同一数阵中每个数字仅出现一次）、“首位不为0”（若涉及多位数，但数阵中多为一位数）。
5.限制条件：题目附加的特殊规则，如“每条线和相等”“数字为1~9且不重复”“中心数为奇数”等，需优先满足。
三、常见题型分类
1.按数阵形状分
辐射型数阵：以一个中心数为核心，有多条线（如2条、3条、5条）从中心延伸，每条线包含中心数和若干周边数。例如：十字形数阵（2条线：横行和竖行）、五角星数阵（5条线，每条线3个数，中心数共用）。
封闭型数阵：由封闭图形的边构成，每条边包含若干数字，顶点数字被两条边共用。例如：三角形数阵（3条边，每条边3个数，3个顶点数重叠）、四边形数阵（4条边，每条边4个数，4个顶点数重叠）。
复合型数阵：融合辐射与封闭特征，或包含多层结构。例如：九宫格（3×3方阵，横行、竖列、对角线共8条线，中心数被4条线共用）、多层三角形数阵（外层三角形和内层三角形嵌套）。
2.按数字要求分
填已知数字：给定数字集合（如1~5），填入数阵使每条线和相等。
求未知数字：已知部分数字和幻和，求剩余未知数字（如已知十字形数阵的中心数和幻和，求周边数字）。
构造数阵：自行设计数阵结构（如用1~9构造一个幻和为15的九宫格）。
四、核心解题方法（必会）
1.幻和计算法
根据数阵类型和数字总和计算幻和。公式：
辐射型：设中心数为a（重叠次数k），线数为m，每条线数字个数为n，数字总和为T，则幻和（因中心数被多算k-1次）。
封闭型：设顶点数之和为V（每个顶点重叠1次，共m个顶点），边数为m，每条边数字个数为n，数字总和为T，则幻（顶点数被多算1次）。
例：将1~5填入十字形数阵（2条线，每条线3个数，中心数重叠2次），数字总和T=15，设中心数a，幻和。
2.重叠数分析法
利用幻和与数字总和的关系反推重叠数。公式：
辐射型：重叠数（m为线数，k为重叠次数）。
封闭型：顶点数之和（m为边数）。
例：三角形数阵（3条边，每条边3个数），填入1~6（T=21），幻和S=9，顶点数之和V=3×9 - 21=6，故顶点数为1,2,3（1+2+3=6）。
3.尝试与排除法
根据数字范围和限制条件试填数字，排除矛盾。例如：在辐射型数阵中，确定中心数后，根据幻和计算周边数字和，从剩余数字中选取满足和的组合，若出现重复或超出范围则排除。
4.奇偶性分析法
利用“奇数+奇数=偶数”“偶数+偶数=偶数”“奇数+偶数=奇数”的性质缩小重叠数范围。例如：幻和为奇数时，若每条线有3个数，则可能是“奇+奇+奇”或“奇+偶+偶”，可据此排除不符合的重叠数。
5.整体与局部结合法
先计算所有数字的总和（整体），再结合每条线的幻和（局部），通过“整体=局部总和-重叠部分”建立等式，推导关键量（如幻和、重叠数）。
五、解题步骤（万能模板）
1.观察结构：确定数阵类型（辐射/封闭/复合）、线数、每条线数字个数、已知数字位置，明确限制条件（如数字范围、不重复）。
2.计算关键量：
求数字总和T（若为连续自然数，T=1+2+…+n=n(n+1)/2）；
根据数阵类型，利用幻和公式或重叠数公式建立等式（如辐射型
3.确定重叠数：通过等式推导或试算，确定重叠数（如中心数、顶点数），注意数字范围和奇偶性。
4.填充其他数字：根据幻和，结合已知数字和重叠数，计算每条线剩余数字之和，从剩余数字中选取组合填入，确保不重复。
5.验证检查：将填入的数字代入每条线，验证和是否等于幻和，数字是否符合限制条件（如不重复、在范围内）。
一、基础题（辐射型数阵）
例1：将1~5填入十字形数阵（中心1个格，上下左右各1个格，共5格），使横行和竖行的数字之和相等。
解题步骤：
1.观察结构：辐射型，2条线（横行、竖行），每条线3个数，中心数重叠2次，数字1~5（总和T=1+2+3+4+5=15），限制条件“数字不重复”。
2.计算关键量：设中心数为a，幻和为S。由辐射型幻和公式：15+a需为偶数，故a为奇数（1,3,5）。
3.确定重叠数：
若a=1，则S=(15+1)/2=8，横行和竖行剩余两数之和=8-1=7。剩余数字2,3,4,5，可能组合：2+5=7，3+4=7。
若a=3，则S=(15+3)/2=9，剩余两数之和=9-3=6，组合：1+5=6，2+4=6。
若a=5，则S=(15+5)/2=10，剩余两数之和=10-5=5，组合：1+4=5，2+3=5。
4.填充数字：以a=3为例，横行填1,3,5（1+3+5=9），竖行填2,3,4（2+3+4=9），数字无重复。
5.验证检查：横行1+3+5=9，竖行2+3+4=9，幻和相等，数字1~5不重复，成立。
答案：中心数为3，横行1,3,5，竖行2,3,4（或其他符合条件的组合）。
跟踪练习1：将1~7填入星形数阵（中心1个格，5条线，每条线3个数），使每条线数字之和相等。（提示：数字总和T=28，中心数a重叠5次，幻和( S = ，a=7时S=12）
二、进阶题（封闭型数阵）
例2：将1~6填入三角形数阵（3个顶点和3条边中点各1格，共6格），使每条边的3个数字之和相等，求幻和及填法。
解题步骤：
1.观察结构：封闭型，3条边，每条边3个数，3个顶点数重叠2次（每条边包含2个顶点），数字1~6（总和T=21），限制条件“数字不重复”。
2.计算关键量：设幻和为S，顶点数之和为V（3个顶点）。由封闭型公式：3S = T + V → V = 3S - 21。
3.确定顶点数：V是1~6中3个不同数字之和，最小V=1+2+3=6，最大V=4+5+6=15，故3S=21+V，S范围=（21+6）/3=9到（21+15）/3=12，即S=9,10,11,12。
试S=9：V=3×9-21=6，顶点数=1,2,3（1+2+3=6），每条边中点数=S-顶点和：边1（1,2中点）=9-1-2=6，边2（2,3中点）=9-2-3=4，边3（3,1中点）=9-3-1=5，中点数6,4,5（均在1~6且不重复）。
4.填充数字：顶点填1,2,3，中点填6,4,5，每条边1+6+2=9，2+4+3=9，3+5+1=9。
5.验证检查：三条边和均为9，数字1~6不重复，成立。
答案：幻和为9，顶点1,2,3，中点6,4,5（或其他顶点组合）。
跟踪练习2：将1~8填入四边形数阵（4个顶点和4条边中点各1格），使每条边4个数字之和相等。（提示：数字总和T=36，设幻和S，顶点和V=4S-36，V最小1+2+3+4=10，S最小11.5，取S=12，V=4×12-36=12）
三、挑战题（复合型数阵——九宫格）
例3：将1~9填入3×3九宫格（幻方），使每行、每列、每条对角线的3个数字之和相等（幻和）。
解题步骤：
1.观察结构：复合型（辐射+封闭），3行、3列、2条对角线共8条线，每条线3个数，中心数重叠4次（行、列、两对角线），数字1~9（总和T=45），限制条件“数字不重复”。
2.计算关键量：3行总和=3×幻和=45 → 幻和S=15。设中心数为a，8条线总和=8×15=120，而8条线包含中心数4次，其他数字各2次（每个数字在1行1列1对角线，共3次？修正：每个数字在1行、1列、可能1对角线，共2~3次，整体8条线总和=中心数×4 + 其他8个数×2=4a + 2×(45 - a)=2a + 90=120 → 2a=30 → a=5。
3.确定中心数：中心数a=5。剩余数字1~4,6~9，需分成4对和为10的数（1+9=10，2+8=10，3+7=10，4+6=10），分别填在相对位置（如1和9在对角线两端）。
4.填充数字：第一行1,9,5（1+9+5=15）→ 修正：九宫格标准填法为：
8 1 6
3 5 7
4 9 2 （每行、列、对角线和均为15）。
5.验证检查：8+1+6=15，3+5+7=15，4+9+2=15；8+3+4=15，1+5+9=15，6+7+2=15；8+5+2=15，6+5+4=15，符合条件。
答案：九宫格填法如上述（标准幻方）。
跟踪练习3：在九宫格中，已知中心数为5，右上角数字为6，求其他位置数字。（提示：右下角=15-5-6=4，第一行另两数和=15-6=9，结合1~9不重复试填）
1．在图中的A、B、C三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于10，那么圆圈B中应填的数是多少？
【答案】1
【分析】封闭型数阵图，线和是10，先求A，再求B，再求C。
【详解】A=
B=
【点睛】本题较为简单，根据数阵图的基本要求直接求解即可。
2．在图中的A、B、C、D四个圆圈内填入四个不同的自然数，使得正方形每条边上的三个数之和都等于15，那么圆圈C中应填的数是多少？
【答案】7
【分析】封闭型数阵图，1，B，C，D重复了1次，线和已知，按照D，C，B，A的顺序依次求解。
【详解】D=
C=
【点睛】本题较为简单，线和已经给出，按照线和相等这一基本原则，直接计算即可。
3．在图中的A、B、C三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得正方形每条边上的三个数之和都相等，那么圆圈A中应填的数是多少？
【答案】2
【分析】封闭型数阵图，A，7，6，10重复了1次，线和已知，根据线和相等的关系进行求解。
【详解】
A＝
【点睛】本题较为简单，关键是利用数阵图中线和相等这一基础条件来求解。
4．下图中正方形每条边上的三个数之和都相等，那么圆圈C中应填的数是多少？
【答案】9
【分析】封闭型数阵图，根据线和相等，先求出B，然后求出线和，再求A和C。
【详解】
C＝
【点睛】线和相等是数阵图的基本特征，利用这一原则列出等式求解未知数是常用方法之一。
5．在下图的七个圆圈内各填一个数，要求在每条线上的三个数中，当中的数是两边两个数的平均数，现已填好两个数，求 A。

【答案】19
【分析】根据题意，图中含有中心圆圈内的数的所有直线的两边的数之和相等；进而用A表示出其他的数，列式计算即可。
【详解】

根据题意，每一条直线上的三个数中，当中的数是两边两个的平均数，
所以图中含有数c的所有直线的两边的数之和相等，所以
b＝15×2－13
＝30－13
＝17
d＋17＝13＋A，因此d＝A－4；
15＋e＝13＋A，因此e＝A－2
2d＝13＋e
2（A－4）＝13＋A－2
解得：A＝19

【点睛】本题主要考查了凑数谜问题的解答方法，根据题意，分析出图中含有数c的所有直线的两边的数之和相等，进而用A表示出d和e是解答本题的关键所在。
6．如图， 三个正方形组成八个三角形，现把每个正方形四个顶点上都分别填上 2， 3， 4， 5 这四个数，使得八个三角形三个顶点上数的和为连续的八个自然数，这连续的八个自然数各是多少？
【答案】7、8、9、10、11、12、13、14
【详解】填数方法是（把大正方形摆正）大正方形和小正方形的左上角填2，中正方形的顶点填2，三个正方形都依次逆时针填入3、4、5。
7．10月1日是国庆节，下图是“10、l”两个数，请把l~18这十八个数填入图中十八个空格内，要使每一横划与竖划上所填的数的和相等．
【答案】或者
【分析】这个数阵图共有6划，中间“0”的四个顶点上的数，与每个笔划上所填数的和是关键．我们设四个顶点上的数分别是a、b、c、d（如图所示），每个笔划上所填数的和都是k．
可以得出：6k=（l+2+3++…+18）+（a+b+c+d）
6k=171+a+b+c+d
得k＝（171+a+b+c+d）÷6（l）
a+b+c+d=6k-171（2）
当a+b+c+d取得最小值10时，由（l）式可得k=（171+10）÷6≈30．16，所以k的最小值大于30；当a+b+c+d取得最大值66时，k=（171+66）÷6=39．5，所以k的最大值等于39，因此k=31，32，33，…，39．
【详解】由上面分析可知此题的解很多，我们只举其中的两解如下：
（1）当k=34时，由（2）式可得a+b+c+d=6×34-171=33．因为，6+8+9+10=33，经试验可知，当a=6、b=8、c=9、d=10时，可得一个基本解．
（2）当k=35时，由（2）式可得a+b+c+d=6×35-171=39．因为5+6+12+16=39．经试验可知当a=5，b=6，c=12，d=16时，可得一个基本解．
此题两个基本解如下图所示．
或者
8．1～9分别填入小三角形内（每个小三角形内只填一个数），要求靠近大三角形三条边的每五个数相加和相等．想一想，怎样填这些数才能使五个数的和尽可能大一些？
【答案】
【分析】典型数阵图，利用全部数字和相加，从整体和个体同时考虑，列出等式进行分析取值．注意计算清楚数阵图中每一个位置的相加次数．
【详解】取a=1,b=2,c=3,再用尝试法完成其他数字：剩下的六个数分成三组，并且每组中两数的和是三个连续自然数，那么可选择：4+8＝12；6+7＝13；5+9＝14．结果如下：
【点睛】1、将三个要求相等的数字和相加为3S．
2、计算每一位置的相加次数，可知a，b，c只加一次外，其他都相加两次，可以看成全部数字相加二次，再减去（a+b+c），即为（1+2+3+4+5+6+7+8+9）-（a+b+c）．
3、列出等式3S=（1+2+3+4+5+6+7+8+9）×2-（a+b+c）=90-（a+b+c）
要使S尽可能大，则a+b+c可取1+2+3=6，此时S=28．
9．将1～13这13个数字分别填入如图所示的由四个大小相同的圆分割成的13个区域中，然后把每个圆内的7个数相加，最后把四个圆的和相加，问：和最大是多少？
【答案】
【分析】越是中间，被重复计算的越多，最中心的区域被重复计算四次，由内往外，有重复计算三次的，重复计算两次的，只计算一次的，将数字按从大到小依次填写于被重复计算多的区格中。
【详解】13×4＋（12＋11＋10＋9）×3＋（8＋7＋6＋5）×2＋（4＋3＋2＋1）
＝52＋126＋52＋10
＝240
答：和最大是多少是240。
【点睛】本题将容斥问题、最值问题、数阵图问题相结合，关键是区分每一个区域重复计算的次数。
10．下图中每条直线上的三个数之和都相等，那么圆圈B中应填的数是多少？
【答案】7
【分析】封闭型数阵图，三角形顶点处的三个数重复计算，本题较为简单，根据线和相等即可求解。
【详解】具体算式如下：
【点睛】对于封闭型数阵图，往往重复计算的不止一个数，需要找出所有重复计算的位置。
11．请将1～8填入图中的8个方格内，使得a、b、c、d四个方格内的数，恰好等于它上方与之有公共边的两个方格内所填数的差。其中b填7。
【答案】
【分析】7只能是由8减去1得到的，由于a也是两数相减得到的，所以a不能是8，只能是1，可以确定7、1、8三个数的位置，其中c+d=7，并且只能是4+3、3+4、5+2、2+5这四种情况，进行分类讨论，求出最后的结果。
【详解】
当c取3时，4被重复使用，故排除；
当c取4时，6减2不等于1，故排除；
当c取2时，6减4不等于1，故排除；
当c取5时，符合要求，且3和4可以调换位置。
【点睛】对于这种特殊的数阵图问题，当情况比较多的时候，可进行分类讨论，有矛盾就排除，找出答案。
12．把16、18、20、22、24这5个数字填在圆圈中，使每条直线上的3个数相加的和相等。
【答案】
【分析】将线和和中间数设出来，中间数重复计算一次，根据线和、数和、中间数的关系，先确定中间数，然后求出线和，再进行构造，完成数阵图。
【详解】设中间数为a，线和为b，；
当，，具体填法如下：
当，，三个偶数相加不可能是奇数，排除；
当，，具体填法如下：
当，，三个偶数相加不可能是奇数，排除；
当，，具体填法如下：
【点睛】对于辐射型数阵图问题，关键是求出中间数，然后根据中间数、线和、数和的关系进行求解。
13．请将1、2、3、4、5、6、7、8八个数字填入右图中的八块区域内，使得每一个圆圈与它相邻的区域内的数之和都相等。
【答案】
【分析】复合型数阵图问题，每块区域的数都重复了一次，利用数和、线和的关系进行求解。
【详解】如图，
令；
已知a，b，c，d，e，f，g，h各自用了两次，计算数和，；
令，解得；
容易得出1+2+7+8=18，1+3+6+8=18，1+4+5+8=18，1+4+6+7=18，2+3+5+8=18，2+3+6+7=18，
2+4+5+7=18，3+4+5+6=18，
要保证每个数用两次，选择1+4+5+8=18，1+4+6+7=18，2+3+5+8=18，2+3+6+7=18这四组，并进行合理构造，得出最后的填法。
【点睛】复合型数阵图较为复杂，需要将辐射型、闭合型数阵图的方法综合起来求解，最关键的还是判断每一块的重复次数，本题还有考虑到具体的填法。
14．在图中的A、B、C三个圆圈内填入三个不同的自然数，使得三角形每条边上的三个数之和都等于12，那么圆圈B中应填的数是多少？
【答案】5
【分析】封闭型数阵图，线和是12，先求A，再求B，再求C。
【详解】A＝
B＝
【点睛】本题较为简单，根据线和相等直接求解即可，注意顶点处的数重复利用。
15．请将0、1、2、3、4、5六个数字填入图中的六块区域内，使得每一个圆圈与它相邻区域内的数之和都相等。
【答案】
【分析】复合型数阵图问题，每块区域的数都重复了一次，利用数和、线和的关系进行求解。
【详解】如图，令；
已知a，b，c，d，e，f各自用了两次，计算数和，；
令，解得；
容易得出0+1+4+5=10，0+2+3+5=10，1+2+3+4=10，如图，合理构造，得出最后的填法。
【点睛】复合型数阵图较为复杂，需要将辐射型、闭合型数阵图的方法综合起来求解，最关键的还是判断每一块的重复次数。
16．把1至7这七个数分别填入图中各圆圈内，使得每条直线上三个圆圈内所填数之和都相等。已知中间圆圈填的数为1，那么每条直线的和是多少？
【答案】10
【分析】辐射型数阵图，中间数重复了2次，根据线和、数和、中间数的关系进行求解。
【详解】1至7的总和为，，，所以每条直线上的三个数的和是10，再根据“1+2+7=10”，“1+3+6=10”，“1+4+5=10”进行合理构造，完成数阵图。
【点睛】辐射型数阵图中线和、数和及重复数的关系：“线和×直线数=数和+重复数×重复次数”。
17．将1～10填入图中的十个〇中，使得每个菱形的四个顶点数之和相等。问：这个和的最大值和最小值各是多少？请各给出一种填法。
【答案】
和的最大值是24，和的最小值是20，填法见解析。
【分析】如图所示，观察这个数阵图，发现图中a、b各计算2次，设每个菱形的四个顶点数之和为x，则可知3x＝1＋2＋……＋10＋a＋b，即3x＝55＋a＋b。问题是需要求x的最大值和最小值各是多少，也就是求a＋b的最大值和最小值各是多少。根据3x＝55＋a＋b可知，55＋a＋b必须是3的倍数，由此即可知道a＋b最大为多少，a＋b最小为多少，即可求出这个和的最大值和最小值各是多少。然后再完成数阵图的填写。
【详解】如图，设每个菱形的四个顶点数之和为x，
3x＝1＋2＋……＋10＋a＋b，
3x＝55＋a＋b
①当a＋b＝10＋7＝17或者a＋b＝9＋8＝17时，x最大，
x最大为：（55＋17）÷3
＝72÷3
＝24
填法如下（不唯一）：
②当a＋b＝1＋4＝5或者a＋b＝2＋3＝5时，x最小，
x最小为：（55＋5）÷3
＝60÷3
＝20
填法如下（不唯一）：
18．将1～8填入如图的八个〇中，使小正方形的四个顶点数之和是大正方形的四个顶点数之和的两倍，并且大正方形每条边上的三个数之和都相等。
【答案】见解析
【分析】八个〇中填入的是1～8，因此可以先求出这8个数的和，1＋2＋3＋……＋8＝（1＋8）×8÷2＝9×8÷2＝36。小正方形的四个顶点数之和是大正方形的四个顶点数之和的两倍，因此可以求出小正方形的四个顶点数之和为：36÷（2＋1）＝12。大正方形每条边上的三个数之和都相等，因此可以求出大正方形每条边上的三个数之和为：（36＋12）÷4＝12。因为1＋2＋3＋6＝12，4＋5＋7＋8＝24，因此小正方形的四个顶点数分别为1、2、3、6，大正方形的四个顶点数分别为4、5、7、8，然后进行尝试即可。
【详解】如图：
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑