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专题47 进位制问题
一、基本概念
进位制是一种计数方式，指“逢n进一”（n为基数）的计数规则，如日常生活中的十进制（逢10进一）。核心术语包括：
基数：进制的“底数”，n进制的基数为n（n≥2，且为整数），表示每个数位上最多有n个数字（0~n-1）。
位权：每个数位的“权重”，n进制中从右往左第k位（首位为第1位）的位权为n^(k-1)。例如十进制数123中，“1”的位权是10 （100），“2”的位权是10 （10），“3”的位权是10 （1）。
表示方法：n进制数通常写成(abc)_n的形式，其中a、b、c为0~n-1的数字，且首位a≠0（如二进制数(101)_2、八进制数(56)_8）。
常见进制：十进制（基数10，数字0-9）、二进制（基数2，数字0-1）、八进制（基数8，数字0-7）、十六进制（基数16，数字0-9及A-F，A=10，B=11，…，F=15）。
二、核心要素（必知）
1.数字取值范围：n进制中，每个数位上的数字只能是0~n-1（如二进制只能用0和1，八进制不能出现8或9），且多位数的首位数字不能为0（如(012)_n是无效的n进制数）。
2.进位规则：“逢n进一”，即某数位上的数字之和等于或超过n时，向高位进1，本位保留余数。例如二进制中1+1=10（逢2进一），八进制中7+1=10（逢8进一）。
3.借位规则：“借一当n”，即做减法时，某数位不够减需向高位借1，借来的1相当于本位的n。例如十进制中10-3=7（借1当10），二进制中10-1=1（借1当2）。
4.进制转换关系：任意进制数都可与十进制互转，不同进制间可通过十进制间接转换（如二进制转八进制：先转十进制，再转八进制）。
三、常见题型分类
1.进制转换类
n进制转十进制（如(101)_2→十进制）；
十进制转n进制（如53→二进制）；
不同进制互转（如二进制转八进制、十六进制转十进制）。
2.进制运算类
n进制下的加法（如(110)_2 + (11)_2）；
n进制下的减法（如(100)_8 - (12)_8）；
n进制下的乘法（如(12)_3 × (2)_3）。
3.进制判断类
已知运算结果反推进制（如“在某进制下3×4=15，求该进制基数”）；
比较不同进制数的大小（如比较(100)_2、(5)_10、(4)_8的大小）。
四、核心解题方法（必会）
1.按权展开法（n进制转十进制）
原理：将n进制数的每一位数字乘以对应位权，再求和。
公式：(d d …d d )_n = d ×n + d ×n + … + d ×n + d ×n （d 为首位数字，d 为末位数字）。
示例：(1011)_2转十进制：1×2 + 0×2 + 1×2 + 1×2 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11。
2.除基取余法（十进制转n进制，整数部分）
步骤：将十进制数反复除以n，记录每次的余数，直到商为0，最后将余数倒序排列。
示例：将45转八进制：45÷8=5余5，5÷8=0余5，倒序得(55)_8。
3.乘基取整法（十进制转n进制，小数部分）
步骤：将十进制小数部分反复乘以n，取整数部分作为n进制小数的高位，直到小数部分为0或达到精度要求。
示例：将0.25转二进制：0.25×2=0.5（取整0），0.5×2=1.0（取整1），得(0.01)_2。
4.n进制运算法则
加法/减法：相同数位对齐，从右往左计算，逢n进一（加法）或借一当n（减法），结果按n进制表示。
乘法：按十进制乘法计算乘积，再将结果转换为n进制（或直接在n进制下按“逢n进一”累加）。
5.进制判断法
已知n进制下的算式（如a×b=c），设基数为n，将a、b、c均按n进制转十进制，列方程求解n，再验证n是否符合“数字取值范围”（各数位数字＜n）。
五、解题步骤（万能模板）
1.明确问题类型：判断是进制转换、进制运算还是进制判断，确定核心需求（如“转十进制”“求基数”）。
2.选择对应方法：转换用按权展开/除基取余，运算用n进制法则，判断用方程法。
3.分步计算：严格按方法步骤操作（如除基取余时记录余数、倒序排列），避免遗漏数位或计算错误。
4.验证结果：转换后可反向转换验证（如n转十后，再十转n看是否一致）；运算后用十进制验算（如n进制加法结果转十进制，与十进制下两数相加结果对比）。
一、基础题（n进制转十进制）
例1：将二进制数(1101)_2转换为十进制数。
解题步骤：
1.明确类型：n进制转十进制，n=2，数为(1101)_2。
2.确定位权：从右往左第1位到第4位，位权分别为2 =1、2 =2、2 =4、2 =8。
3.按权展开：1×8（第4位） + 1×4（第3位） + 0×2（第2位） + 1×1（第1位） = 8 + 4 + 0 + 1 = 13。
4.验证：将13转二进制（除基取余法）：13÷2=6余1，6÷2=3余0，3÷2=1余1，1÷2=0余1，倒序得(1101)_2，正确。
答案：(1101)_2 = 13。
跟踪练习1：将八进制数(37)_8转换为十进制数。（提示：3×8 + 7×8 = 24 + 7 = 31）
二、进阶题（十进制转n进制）
例2：将十进制数73转换为十六进制数。
解题步骤：
1.明确类型：十进制转n进制（n=16），整数部分。
2.除基取余：73÷16=4余9（第1位余数），4÷16=0余4（第2位余数）。
3.倒序排列：余数从后往前为4、9，十六进制中9直接表示，故结果为(49)_16。
4.验证：(49)_16转十进制：4×16 + 9×16 = 64 + 9 = 73，正确。
答案：(73) = (49) 。
跟踪练习2：将十进制数58转换为二进制数。（提示：58÷2=29余0，29÷2=14余1，14÷2=7余0，7÷2=3余1，3÷2=1余1，1÷2=0余1，倒序得(111010)_2）
三、挑战题（进制判断与运算综合）
例3：在某进制下，算式“5×6=33”成立，求该进制的基数。
解题步骤：
1.明确类型：进制判断，设基数为n。
2.转换十进制方程：左边5×6=30（十进制）；右边(33)_n = 3×n + 3×n = 3n + 3。
3.列方程求解：3n + 3 = 30 → 3n=27 → n=9。
4.验证：基数n=9，检查数字取值：3和3均＜9，符合n进制数字范围；9进制下5×6=30（十进制），30转9进制：30÷9=3余3，即(33)_9，正确。
答案：该进制基数为9。
跟踪练习3：在某进制下，“12 + 25 = 41”，求该进制基数。（提示：设基数n，(1n+2)+(2n+5)=4n+1 → 3n+7=4n+1 → n=6）
1．“密码学”中，我们会用到进制转换，例如二进制要经过如下转换才能得到十进制：10011（2）＝1×24+1×2+1＝19（10）那么，十进制的25换成二进制等于( )。
2．二进制数1011可用十进制表示为，二进制数1101可用十进制表示为。那么二进制数101011用十进制表示为_____。
3．＝( )2。
4．一个自然数周游列国，它在七进制王国叫，在九进制王国叫，在八进制王国用数字表示，叫( )。（注∶相同的符号表示相同的数字，不同的符号表示不同的数字）
5．勤奋智慧的中华民族在四千多年前就创造了十进制计数法，即“逢十进一”，如十进制数，世界各地的计数方法中，除十进制以外，还有十二进制、六十进制、二进制等，与计算机发展密切相关的二进制技术，就是“逢二进一”，如二进制数101等于十进制数( )，在二进制加法中，( )（结果仍用二进制表示）。
6．用a、b、c、d、e分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果，，，是由小到大排列的连续正整数，那么所表示的整数写成十进制的表示是多少？
7．小马虎将一些零件装箱，每个零件10g，装了10箱，结果发现，混进了几箱次品进去，每个次品零件9克，但从外观上看不出来，聪明的你能只称量一次就能把所有的次品零件都找出来么？
8．有10箱钢珠，每个钢珠重10克，每箱600个。如果这10箱钢珠中有1箱次品，次品钢珠每个重9克，那么，要找出这箱次品最少要称几次？
9．有一个人拿着两只空瓶，其中一只可以容纳7斤水，另外一只可以容纳5斤水．现在要从池中取出6斤水．请问，此人应当怎样用这两只空瓶取回6斤水来？
10．下式是一个八进制的除式，请在“□”中填上恰当的数字．
11．有一个三位数是8的倍数，把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位数的和恰好是1111．那么原来的三位数是多少？
12．在6进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少？
13．某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几？
14．二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？
八进制数 0 1 2 3 4 5 6 7
二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111
15．在几进制中有？
16．将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数。现有一个四位数码互不相同，且没有0的四位数，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338。求这个四位数。
17．将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数（这个数也叫原数的反序数），新数比原数大8802.求原来的四位数。
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题47 进位制问题
一、基本概念
进位制是一种计数方式，指“逢n进一”（n为基数）的计数规则，如日常生活中的十进制（逢10进一）。核心术语包括：
基数：进制的“底数”，n进制的基数为n（n≥2，且为整数），表示每个数位上最多有n个数字（0~n-1）。
位权：每个数位的“权重”，n进制中从右往左第k位（首位为第1位）的位权为n^(k-1)。例如十进制数123中，“1”的位权是10 （100），“2”的位权是10 （10），“3”的位权是10 （1）。
表示方法：n进制数通常写成(abc)_n的形式，其中a、b、c为0~n-1的数字，且首位a≠0（如二进制数(101)_2、八进制数(56)_8）。
常见进制：十进制（基数10，数字0-9）、二进制（基数2，数字0-1）、八进制（基数8，数字0-7）、十六进制（基数16，数字0-9及A-F，A=10，B=11，…，F=15）。
二、核心要素（必知）
1.数字取值范围：n进制中，每个数位上的数字只能是0~n-1（如二进制只能用0和1，八进制不能出现8或9），且多位数的首位数字不能为0（如(012)_n是无效的n进制数）。
2.进位规则：“逢n进一”，即某数位上的数字之和等于或超过n时，向高位进1，本位保留余数。例如二进制中1+1=10（逢2进一），八进制中7+1=10（逢8进一）。
3.借位规则：“借一当n”，即做减法时，某数位不够减需向高位借1，借来的1相当于本位的n。例如十进制中10-3=7（借1当10），二进制中10-1=1（借1当2）。
4.进制转换关系：任意进制数都可与十进制互转，不同进制间可通过十进制间接转换（如二进制转八进制：先转十进制，再转八进制）。
三、常见题型分类
1.进制转换类
n进制转十进制（如(101)_2→十进制）；
十进制转n进制（如53→二进制）；
不同进制互转（如二进制转八进制、十六进制转十进制）。
2.进制运算类
n进制下的加法（如(110)_2 + (11)_2）；
n进制下的减法（如(100)_8 - (12)_8）；
n进制下的乘法（如(12)_3 × (2)_3）。
3.进制判断类
已知运算结果反推进制（如“在某进制下3×4=15，求该进制基数”）；
比较不同进制数的大小（如比较(100)_2、(5)_10、(4)_8的大小）。
四、核心解题方法（必会）
1.按权展开法（n进制转十进制）
原理：将n进制数的每一位数字乘以对应位权，再求和。
公式：(d d …d d )_n = d ×n + d ×n + … + d ×n + d ×n （d 为首位数字，d 为末位数字）。
示例：(1011)_2转十进制：1×2 + 0×2 + 1×2 + 1×2 = 8 + 0 + 2 + 1 = 11。
2.除基取余法（十进制转n进制，整数部分）
步骤：将十进制数反复除以n，记录每次的余数，直到商为0，最后将余数倒序排列。
示例：将45转八进制：45÷8=5余5，5÷8=0余5，倒序得(55)_8。
3.乘基取整法（十进制转n进制，小数部分）
步骤：将十进制小数部分反复乘以n，取整数部分作为n进制小数的高位，直到小数部分为0或达到精度要求。
示例：将0.25转二进制：0.25×2=0.5（取整0），0.5×2=1.0（取整1），得(0.01)_2。
4.n进制运算法则
加法/减法：相同数位对齐，从右往左计算，逢n进一（加法）或借一当n（减法），结果按n进制表示。
乘法：按十进制乘法计算乘积，再将结果转换为n进制（或直接在n进制下按“逢n进一”累加）。
5.进制判断法
已知n进制下的算式（如a×b=c），设基数为n，将a、b、c均按n进制转十进制，列方程求解n，再验证n是否符合“数字取值范围”（各数位数字＜n）。
五、解题步骤（万能模板）
1.明确问题类型：判断是进制转换、进制运算还是进制判断，确定核心需求（如“转十进制”“求基数”）。
2.选择对应方法：转换用按权展开/除基取余，运算用n进制法则，判断用方程法。
3.分步计算：严格按方法步骤操作（如除基取余时记录余数、倒序排列），避免遗漏数位或计算错误。
4.验证结果：转换后可反向转换验证（如n转十后，再十转n看是否一致）；运算后用十进制验算（如n进制加法结果转十进制，与十进制下两数相加结果对比）。
一、基础题（n进制转十进制）
例1：将二进制数(1101)_2转换为十进制数。
解题步骤：
1.明确类型：n进制转十进制，n=2，数为(1101)_2。
2.确定位权：从右往左第1位到第4位，位权分别为2 =1、2 =2、2 =4、2 =8。
3.按权展开：1×8（第4位） + 1×4（第3位） + 0×2（第2位） + 1×1（第1位） = 8 + 4 + 0 + 1 = 13。
4.验证：将13转二进制（除基取余法）：13÷2=6余1，6÷2=3余0，3÷2=1余1，1÷2=0余1，倒序得(1101)_2，正确。
答案：(1101)_2 = 13。
跟踪练习1：将八进制数(37)_8转换为十进制数。（提示：3×8 + 7×8 = 24 + 7 = 31）
二、进阶题（十进制转n进制）
例2：将十进制数73转换为十六进制数。
解题步骤：
1.明确类型：十进制转n进制（n=16），整数部分。
2.除基取余：73÷16=4余9（第1位余数），4÷16=0余4（第2位余数）。
3.倒序排列：余数从后往前为4、9，十六进制中9直接表示，故结果为(49)_16。
4.验证：(49)_16转十进制：4×16 + 9×16 = 64 + 9 = 73，正确。
答案：(73) = (49) 。
跟踪练习2：将十进制数58转换为二进制数。（提示：58÷2=29余0，29÷2=14余1，14÷2=7余0，7÷2=3余1，3÷2=1余1，1÷2=0余1，倒序得(111010)_2）
三、挑战题（进制判断与运算综合）
例3：在某进制下，算式“5×6=33”成立，求该进制的基数。
解题步骤：
1.明确类型：进制判断，设基数为n。
2.转换十进制方程：左边5×6=30（十进制）；右边(33)_n = 3×n + 3×n = 3n + 3。
3.列方程求解：3n + 3 = 30 → 3n=27 → n=9。
4.验证：基数n=9，检查数字取值：3和3均＜9，符合n进制数字范围；9进制下5×6=30（十进制），30转9进制：30÷9=3余3，即(33)_9，正确。
答案：该进制基数为9。
跟踪练习3：在某进制下，“12 + 25 = 41”，求该进制基数。（提示：设基数n，(1n+2)+(2n+5)=4n+1 → 3n+7=4n+1 → n=6）
1．“密码学”中，我们会用到进制转换，例如二进制要经过如下转换才能得到十进制：10011（2）＝1×24+1×2+1＝19（10）那么，十进制的25换成二进制等于( )。
【答案】11001
【分析】先用2除从25开始的每次得到的商，得到商和余数，直到商为0结束，再将所有余数倒序排列，得到二进制数即可。
【详解】用25除以2，求商和余数；
（商为12，余数为1）
用商12除以2，求商和余数；
（商为6，余数为0）
用商6除以2，求商和余数；
（商为3，余数为0）
用商3除以2，求商和余数；
（商为1，余数为1）
用商1除以2，求商和余数；
（商为0，余数为1）
将所有余数倒序排列得到二进制数为：。
那么，十进制的25换成二进制等于11001。
【点睛】本题主要考查十进制转化为二进制的问题，采用2去除商，得到所有的余数，将余数倒序排列的方法。
2．二进制数1011可用十进制表示为，二进制数1101可用十进制表示为。那么二进制数101011用十进制表示为_____。
【答案】
43
【分析】将二进制数转换为十进制数的方法是：从右到左每一位上的数字乘以对应的2的次方，再将所有结果相加。
【详解】1×25＋0×24＋1×23＋0×22＋1×21＋1×20
＝32＋0＋8＋0＋2＋1
＝43
因此二进制数101011用十进制表示为43。
3．＝( )2。
【答案】
【分析】从高位开始，按照2的权重展开，逐位求和，先将二进制转成十进制，再进行运算，最后利用除2取余法，再将结果转成二进制即可。
【详解】（101）2＝1×22＋1×20＝（5）10
（1011）2＝1×23＋1×21＋1×20＝（11）10
（11011）2＝1×24＋1×23＋1×21＋1×20＝（27）10
4．一个自然数周游列国，它在七进制王国叫，在九进制王国叫，在八进制王国用数字表示，叫( )。（注∶相同的符号表示相同的数字，不同的符号表示不同的数字）
【答案】370
【分析】将七进制下的数和九进制下的数都转化成十进制后，二者相等，再确定□、△、○的值，再将其转化成八进制。
【详解】设七进制下的数是，那么九进制下的数是；
由于首位不能为0，且不能大于6，只有当，，时成立；
十进制下是248；
所以八进制下这个数是370。
【点睛】本题考查的是进制问题，倒取余数法是将十进制转化成其它进制的重要方法。
5．勤奋智慧的中华民族在四千多年前就创造了十进制计数法，即“逢十进一”，如十进制数，世界各地的计数方法中，除十进制以外，还有十二进制、六十进制、二进制等，与计算机发展密切相关的二进制技术，就是“逢二进一”，如二进制数101等于十进制数( )，在二进制加法中，( )（结果仍用二进制表示）。
【答案】 5 10101
【分析】根据十进制数的算法，二进制数，根据公式得出二进制数101等于十进制数5。在“二进制”加法中，满二进一。列出这样的竖式计算。当1＋1＝2时，写0进1。
【详解】二进制
在“二进制”加法中，满二进一。可以列出这样的竖式计算。
则如二进制数101等于十进制数5；
在二进制加法中，
6．用a、b、c、d、e分别代表五进制中5个互不相同的数字，如果，，，是由小到大排列的连续正整数，那么所表示的整数写成十进制的表示是多少？
【答案】108
【分析】五进制中的五个数分别为0，1，2，3，4由于是连续的正整数，且和，个位与十位均发生了变化，可知是发生了进位，所以c＝4，b＝0，a－d＝1，进而推算出这5个数的数值各是多少，得出
的数值，再根据其它进制化成十进制的方法求解。
【详解】由于是连续的正整数，且
，，个位与十位均发生了变化，可知是发生了进位，
因－＝1，
所以c－e＝1.
又因－＝1，即：
（5a＋b）－（5d＋c）＝1，所以5（a－d）＋（b－c）＝1；
由于a，b，c，d，e都是0至4之间的不同整数，
从而可以推知：a－d＝1，c－b＝4.
经检验，得c＝4，b＝0，e＝3，a＝2，d＝1，于是有
＝（413）5，
＝4×52＋1×51＋3×50，
＝4×25＋5＋3，
＝100＋5＋3，
＝108；
答：那么所表示的整数写成十进制的表示是108。
7．小马虎将一些零件装箱，每个零件10g，装了10箱，结果发现，混进了几箱次品进去，每个次品零件9克，但从外观上看不出来，聪明的你能只称量一次就能把所有的次品零件都找出来么？
【答案】能
【分析】解决这个问题有一个巧妙的方法：根据二进制数与十进制数的对应关系解题即可。
【详解】将10箱钢珠分别编为1～10号，然后从1号箱中取1个钢珠，从2号箱中取2个钢珠，从3号箱中取4个钢珠，从4号箱中取8个钢珠……从10号箱中取512个钢珠，共取出1＋2＋4＋8＋…＋512＝1023个钢珠，将这些钢珠放到天平上称，本来应重10230克，如果轻了n（1≤n≤10）克，就看n是由1，2，4，8，16，…512中的那些数字组成，则数字对应的那些号箱就是次品。在这个方法中，第10号箱也可不取，这样共取出511个钢珠，如果重500克，那么1，2，4号箱是次品。
答：能只称量一次就能把所有的次品零件都找出来。
【点睛】进制在生活中的运用，正确理解“不同的进制数与十进制数的对应关系”，是解答此题的关键。
8．有10箱钢珠，每个钢珠重10克，每箱600个。如果这10箱钢珠中有1箱次品，次品钢珠每个重9克，那么，要找出这箱次品最少要称几次？
【答案】1次
【分析】不同的进制数与十进制数的对应关系，即：每个十进制数都能表示成一个相应的二进制数，反之，也是。所以，解决这个问题有一个巧妙的方法。将10箱钢珠分别编为1～10号，然后从1号箱中取1个钢珠，从2号箱中取2个钢珠……，这样共取了（个）钢珠，重量是：（克），如果轻了n（1≤n≤10）克，那么第几号箱就是次品。在这个方法中，第10号箱也可不取，这样共取出45个钢珠，如果重450克，那么10号箱是次品；否则，轻几克几号箱就是次品。
【详解】将10箱钢珠分别编为1～10号，然后从1号箱中取1个钢珠，从2号箱中取2个钢珠……，这样共取了（个）钢珠，重量是：（克），如果轻了n（1≤n≤10）克，那么第几号箱就是次品。或者第10号箱也可不取，这样共取出45个钢珠，如果重450克，那么10号箱是次品；否则，轻几克几号箱就是次品。所以要找出这箱次品最少要称1次。
答：要找出这箱次品最少要称1次。
【点睛】进制在生活中的运用，正确理解“不同的进制数与十进制数的对应关系”，是解答此题的关键。
9．有一个人拿着两只空瓶，其中一只可以容纳7斤水，另外一只可以容纳5斤水．现在要从池中取出6斤水．请问，此人应当怎样用这两只空瓶取回6斤水来？
【答案】（1）用容积为5斤的空瓶装满水，倒入容积为7斤的空瓶中，这时7斤瓶中有5斤水．
（2）再用容积为5斤的空瓶装满水，往容积为7斤的瓶中倒，直到注满为止．这时，容积为5斤的瓶中还剩3斤水，而7斤的瓶中装满了水，把水倒回水池中，使7斤瓶为空瓶．
（3）把5斤瓶中的3斤水倒入7斤瓶中，然后，用5斤瓶装满水继续注入7斤瓶中，直到注满为止．这时，5斤瓶中还剩一斤水，而7斤瓶中又一次装满，将7斤瓶中水倒回水池中，使7斤瓶为空瓶．
（4）将5斤瓶中剩下的1斤水倒入7斤瓶中．然后，用5斤瓶装满水继续注入7斤瓶中，此时7斤瓶中正好装了6斤水．
【分析】本题是一个进制问题，容积为7斤的空瓶，可以装0斤、1斤、2斤……最多可以装7斤，再多装就需要“进位”（倒掉重装），这类似于八进制记数法．对容积为5斤的空瓶的情形，则类似于六进制记数法．
要得到6斤水，先从算法上实现这一步．首先把6表示成5和7的加减运算式6=5+5+5+5-7-7然后在实践中实现这个算式，“+”表示装水，“-”表示倒水．
【详解】由于6=5+5+5+5-7-7，因此可以做如下操作：
（1）用容积为5斤的空瓶装满水，倒入容积为7斤的空瓶中，这时7斤瓶中有5斤水．
（2）再用容积为5斤的空瓶装满水，往容积为7斤的瓶中倒，直到注满为止．这时，容积为5斤的瓶中还剩3斤水，而7斤的瓶中装满了水，把水倒回水池中，使7斤瓶为空瓶．
（3）把5斤瓶中的3斤水倒入7斤瓶中，然后，用5斤瓶装满水继续注入7斤瓶中，直到注满为止．这时，5斤瓶中还剩一斤水，而7斤瓶中又一次装满，将7斤瓶中水倒回水池中，使7斤瓶为空瓶．
（4）将5斤瓶中剩下的1斤水倒入7斤瓶中．然后，用5斤瓶装满水继续注入7斤瓶中，此时7斤瓶中正好装了6斤水．
10．下式是一个八进制的除式，请在“□”中填上恰当的数字．
【答案】
【分析】仔细观察式子，由商的个位数字乘除数后为1□，可知，除数为12，且商的个位数字为1．可以根据余数逐步向上递推，从而确定每个空格所表示的数字．
【详解】先把算式中的各“□”用字母表示，得算式
由于，所以A=1，G=1，L=2
由L=2，，即K=1，E=5
再由，可以推出F=7，H=1，I=0，J=6
由此推出B=1，C=0，D=7．
于是这个算式为：
11．有一个三位数是8的倍数，把它的各位数字的顺序颠倒过来所得到的新三位数与原三位数的和恰好是1111．那么原来的三位数是多少？
【答案】704
【详解】设原三位数为，则新三位数为，根据位值原理有， ，又，且为一位数，所以，；原数为8的倍数，则，所以原来的三位数是704．
12．在6进制中有三位数，化为9进制为，求这个三位数在十进制中为多少？
【答案】212
【分析】（abc）6＝a×62＋b×6＋c＝36a＋6b＋c；（cba）9＝c×92＋b×9＋a＝81c＋9b＋a；所以36a＋6b＋c＝81c＋9b＋a；于是35a＝3b＋80c；因为35a是5的倍数，80c也是5的倍数。所以3b也必须是5的倍数，又（3，5）＝1。所以，b＝0或5。
①当b＝0，则35a＝80c；则7a＝16c；（7，16）＝1，并且a、c≠0，所以a＝16，c＝7。但是在6，9进制，不可以有一个数字为16。
②当b＝5，则35a＝3×5＋80c；则7a＝3＋16c；mod 7后，3＋2c≡0.所以c＝2或者2＋7k（k为整数）。因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c＝2；35a＝15＋80×2，a＝5。所以（abc）6＝"（552）6"＝5×62＋5×6＋2＝212。这个三位数在十进制中为212。
【详解】由分析可知：
①当b＝0，则35a＝80c；则7a＝16c；（7，16）＝1，并且a、c≠0，所以a＝16，c＝7。但是在6，9进制，不可以有一个数字为16。
②当b＝5，则35a＝3×5＋80c；则7a＝3＋16c；mod 7后，3＋2c≡0.所以c＝2或者2＋7k（k为整数）。因为有6进制，所以不可能有9或者9以上的数，于是c＝2；35a＝15＋80×2，a＝5。
所以（abc）6＝"（552）6"＝5×62＋5×6＋2＝212。
答：这个三位数在十进制中为212。
【点睛】本题考查九进制和十进制的转化，明确九进制和十进制转化的方法是解题的关键。
13．某数在三进制中为12120120110110121121，则将其改写为九进制，其从左向右数第l位数字是几？
【答案】5
【分析】先将三进制数转化为十进制数，可以用每个数位上的数字乘对应的权重，累加后得出十进制，再根据“除K取余法”，降十进制数除以9，返回商继续除以9．直到商为0，然后将依次所得的余数，倒序排列即可得到答案。
【详解】（12120120110110121121）3
＝1×319＋2×318＋1×317＋2×316＋0×315＋1×314＋2×313＋0×312＋1×311＋1×310＋0×39＋1×38＋1×37＋0×36＋1×35＋2×34＋1×33＋1×32＋2×31＋1×30
＝1162261467＋774840978＋129140163＋86093442＋0＋4782969＋3188646＋0＋177147＋59049＋0＋6561＋2187＋0＋243＋162＋27＋9＋6＋1
＝（2160553057）10
2160553057÷9＝240061450……7
240061450÷9＝26673494……4
26673494÷9＝2963721……5
2963721÷9＝329302……3
329302÷9＝36589……1
36589÷9＝4065……4
4065÷9＝451……6
451÷9＝50……1
50÷9＝5……5
5÷9＝0……5
所以（2160553057）10＝（5516413547）9
所有：改写为九进制，其从左向右数第1位数字是5。
【点睛】本题考查的知识点是不同进制之间的转换，其中其它进制转为十进制方法均为累加数字×权重，十进制转换为其它进制均采用除K求余法。
14．二进制数10101011110011010101101转化为8进制数是多少？
【答案】25363255
【分析】八进制数用二进制数表示，用三位二进制数就可以了。二进制数有8种状态，依次是000、001、010、011、100、101、110、111，正好对应八进制数中的0~7。由二进制数向八进制数转化，可将二进制数从右往左，划出三位，三位为一组，前面不够就补0，最后写出由每组中三位数字对应的八进制数组合而来的数，就是8进制数了。
【详解】根据二进制与八进制之间的转化方法推导出二八对照表：
八进制数 0 1 2 3 4 5 6 7
二进制数 000 001 010 011 100 101 110 111
从后往前取三合一进行求解，可以得知（10101011110011010101101）2＝（25363255）8。
【点睛】二进制向八进制转化，可以借助口诀帮助理解记忆，“由低到高，三位一化，高位补零，按表对数”。
15．在几进制中有？
【答案】7
【分析】根据各进位制的特点进行解答即可。
【详解】注意，因为，所以一定是不到10就已经进位，才能得到16324，所以。
再注意尾数分析，，而16324的末位为4，于是进到上一位。
所以说进位制为21的约数，又小于10，也就是可能为7或3。
因为出现了6，所以只能是7。
【点睛】本题考查各进位制的特点，运用排除法是解题的关键。
16．将四位数的数字顺序重新排列后，可以得到一些新的四位数。现有一个四位数码互不相同，且没有0的四位数，它比新数中最大的小3834，比新数中最小的大4338。求这个四位数。
【答案】5917
【分析】先算出最大四位数与最小四位数的差，然后分析这个差，得到四位数的四个数字。
【详解】设组成这个四位数的四个数码为，，， （），
则有，
可得，
则，，，，，且M的四位数字分别为1、、、9，由于的个位数字为7，所以，中有一个为7，但，所以不能为7，故，，。
答：这个四位数是5917。
【点睛】此题抓住数的特征进行分析，尝试找出符合条件的数。
17．将一个四位数的数字顺序颠倒过来，得到一个新的四位数（这个数也叫原数的反序数），新数比原数大8802.求原来的四位数。
【答案】1099
【分析】设原四位数为abcd（a，b，c，d为0－9的整数，a≠0），那么dcba－abcd＝8802，d必定大于a，然后再根据减法的计算方法进行分析解答。
【详解】设原来的四位数为abcd（a，b，c，d为0－9的整数，a≠0），则新的四位数为dcba。
新数－原数＝1000d＋100c＋10b＋a－（1000a＋100b＋10c＋d）＝8802
1000（d－a）＋100（c－b）＋10（b－c）＋（a－d）＝8802
999（d－a）＋90（c－b）＝8802
111×（d－a）＋10（c－b）＝978
其中978＝888＋90，所以，111×（d－a）＋10（c－b）＝888＋90。
推理可知d－a＝8，c－b＝9，已知（a，b，c，d为0－9的整数，a≠0），且d＞a，得到d＝9，a＝1，c＝9，b＝0。那么原来的四位数为1099。
答：原来的四位数为1099。
【点睛】本题关键是设出这个四位数的每个数位上的数，然后再根据减法的计算方法进行计算并分析解答。
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