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专题48 最值问题
一、基本概念
最值问题是指在给定约束条件下，求某个量（如和、差、积、商、周长、面积等）的最大值或最小值的数学问题。核心逻辑：通过分析问题中的变量关系、约束条件及数学性质（如不等式、几何定理、极端值特性等），确定目标量的极端取值。关键点：明确目标量与约束条件的关联，利用“极端情况分析”“范围限定”“性质推理”等方法缩小取值范围，最终锁定最值。
二、核心要素（必知）
1.目标量：需要求最值的量，如“最大和”“最小差”“最大面积”等（例：用1-9组成三位数，求最大乘积）。
2.约束条件：限制变量取值的条件，常见类型：
数字限制：数字范围（0-9）、首位不为0、数字不重复等（如“用1、2、3组成两位数，数字不重复”）；
运算限制：和/差/积/商的固定值（如“两数和为20，求积的最大值”）；
几何限制：边长为整数、周长固定、图形类型（如“长方形周长24厘米，求面积最大值”）；
实际场景限制：成本、数量、时间等（如“进货利润与销量的关系，求最大利润”）。
3.极端情况：使目标量取最大或最小的变量取值状态，如“和一定时，两数越接近积越大”“差一定时，被减数最大则差最大”。
三、常见题型分类
1.按目标量类型分
和的最值：给定数字或范围，求最大/最小和（如“用0-9组成两个三位数，和最大是多少”）。
差的最值：求两数差的最大/最小值（如“从1-10中选两数，差最大是多少”）。
积的最值：给定和或范围，求最大/最小积（如“两数和为10，积最大是多少”）。
商的最值：求除法运算中商的最大/最小值（如“被除数是两位数，除数是一位数，商最大是多少”）。
几何图形最值：求周长一定时的最大面积、面积一定时的最小周长等（如“正方形与长方形，周长相等时谁面积大”）。
2.按问题背景分
数字问题：用数字组成数、填数使算式结果最值（如“用1、3、5、7组成最大四位数”）。
运算问题：通过运算规则求最值（如“□+□×□=20，□为1-9，积最大时□分别是多少”）。
几何问题：利用几何性质求最值（如“三角形两边长为3和5，第三边为整数，周长最大是多少”）。
实际应用问题：利润、行程、工程等场景中的最值（如“租车问题：大车坐10人租金50元，小车坐6人租金30元，34人怎样租车最省钱”）。
四、核心解题方法（必会）
1.极端值分析法：直接考虑变量取最大或最小值的情况，适用于简单约束条件。
例：“从1-10中选两数，差最大是多少？”→最大数10，最小数1，差=10-1=9。
2.枚举验证法：当变量取值范围较小时，列举所有可能情况，比较后确定最值。
例：“用1、2、3组成两位数（数字不重复），求最大积。”→列举组合：12×3=36，13×2=26，21×3=63，23×1=23，31×2=62，32×1=32→最大积为63。
3.不等式法（和定积最大/积定和最小）：
和定积最大：两个数的和一定时，两数越接近（相等时），积越大（适用于整数或小数）。
例：“两数和为20，积最大是多少？”→20=10+10，积=10×10=100（若要求不同数，则9×11=99）。
积定和最小：两个数的积一定时，两数越接近（相等时），和越小。
例：“两数积为36，和最小是多少？”→36=6×6，和=6+6=12。
4.几何性质法：利用几何图形的特性求最值。
长方形：周长一定时，长=宽（正方形）面积最大；面积一定时，长=宽（正方形）周长最小。
三角形：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（已知两边，第三边取最大/最小值时周长最值）。
线段公理：两点之间线段最短；垂线段最短（如“直线l外一点A，到l的最短距离是垂线段长度”）。
5.排列组合法：对于数字组成数的问题，按“高位优先”原则排列数字（求最大数：大数字放高位；求最小数：小数字放高位，注意首位不为0）。
例：“用0、1、2、3组成最大四位数”→高位到低位依次放3、2、1、0→3210。
五、解题步骤（万能模板）
1.明确目标与约束：确定要求的是最大值还是最小值，列出所有约束条件（如数字范围、运算规则、几何限制等）。
2.分析极端情况：根据目标量类型，判断可能的极端取值方向（如求最大和→大数字放高位；求最小差→两数尽可能接近）。
3.选择方法推导：结合约束条件选择合适方法（枚举法、不等式法、几何性质法等），逐步缩小取值范围。
4.验证结果：将推导结果代入原式或约束条件，检查是否符合所有限制（如数字不重复、几何边长为正整数等），确保无矛盾。
一、基础题（数字问题：最大数与最小数）
例1：用数字0、2、5、7组成一个四位数（每个数字只能用一次），其中最大的数是多少？最小的数是多少？
解题步骤：
1.观察结构：目标量为“最大四位数”和“最小四位数”，约束条件：数字0、2、5、7各用一次，首位不为0。
2.找突破口：
最大数：高位（千位）放最大数字，依次递减排列→千位选7，百位选5，十位选2，个位选0→7520。
最小数：高位（千位）放最小非0数字，剩余数字从小到大排列→千位选2，百位选0，十位选5，个位选7→2057。
3.验证检查：7520和2057均使用0、2、5、7且无重复，首位不为0，符合条件。
答案：最大数7520，最小数2057。
跟踪练习1：用1、3、6、9组成无重复数字的三位数，最大的数是（ ），最小的数是（ ）。（提示：最大数963，最小数136）
二、进阶题（积的最值：和定积最大）
例2：一个长方形的周长是24厘米，长和宽都是整数厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？
解题步骤：
1.观察结构：目标量“面积最大”，约束条件：周长24厘米（长+宽=12厘米），长、宽为正整数且长≥宽。
2.找突破口：根据“和定积最大”，长与宽越接近，面积越大。长+宽=12，可能的（长，宽）组合：（11,1）（10,2）（9,3）（8,4）（7,5）（6,6）。
3.逐步推理：计算各组合面积：11×1=11，10×2=20，9×3=27，8×4=32，7×5=35，6×6=36→面积最大为36。
4.验证检查：长=6，宽=6时，周长=（6+6）×2=24，符合条件，且是正方形（特殊长方形），面积最大。
答案：36平方厘米。
跟踪练习2：两个自然数的和是15，这两个数的积最大是（ ）。（提示：15=7+8，积=7×8=56）
三、挑战题（实际应用：利润最值）
例3：某商店销售一种商品，每件成本40元，售价60元时每天可卖100件。经调查，每降价1元，每天多卖20件。要使每天利润最大，每件应降价多少元？最大利润是多少？
解题步骤：
1.观察结构：目标量“最大利润”，约束条件：成本40元/件，原售价60元（利润20元/件），销量100件；每降价1元，销量+20件。设降价x元（x≥0，且60-x≥40→x≤20），利润=（售价-成本）×销量=（20-x）×（100+20x）。
2.找突破口：利润表达式为二次函数y=(20-x)(100+20x)=-20x +300x+2000，开口向下，对称轴处取最大值。对称轴x=-b/(2a)=-300/(2×(-20))=7.5。因x为整数，x=7或8时利润最大。
3.逐步推理：
x=7：利润=(20-7)×(100+20×7)=13×240=3120元；
x=8：利润=(20-8)×(100+20×8)=12×260=3120元。
两者利润相同，均为最大。
4.验证检查：x=7和x=8均在0≤x≤20范围内，利润计算正确。
答案：降价7元或8元，最大利润3120元。
跟踪练习3：某长方形菜园一面靠墙（墙长10米），另三边用篱笆围成，篱笆总长20米。菜园的长和宽都是整数米，面积最大是多少平方米？（提示：设宽x米，长=20-2x≤10→x≥5，面积=x(20-2x)，x=5时面积=5×10=50；x=6时面积=6×8=48→最大50）
1．学校举办歌唱比赛满分是100分，10名同学在这次比赛中的平均得分是86分，这10名同学的得分互不相同，其中有一名同学只得66分，那么，得分排在第五名的同学至少得多少分？（这几名同学得分均为整数）
【答案】82分
【分析】要使第五名同学的得分尽可能少，就要使其他9个人的得分尽可能高，则第一名100分，第二名99分，第三名98分，第四名97分；第六名、第七名、第八名和第九名的分数尽可能与第五名相近；据此进一步解答即可。
【详解】（86×10－100－99－98－97－66）÷5＝80（分）
平均分是80且又最接近的互不相等的5个数为78、79、80、81和82.所以，排在第五名的同学至少得82分。
答：排在第五名的同学至少得82分。
2．把1、2、3、4…9这九个数字填入下面算式的九个方框中（每个数字只用一次），使三个三位数相乘的积最大。
××
【答案】941；852；763
【分析】要是乘积最大，就要使这三个数的高位上的数字尽可能地大，因此三个数的百位数字分别为9、8、7，同时每个数的后两位要用大数和百位的大数乘，积才能最大，所以7后面要跟，8后面要跟5，后面只能跟4了，个位上的1，2，3 中，3要和最大的百数乘结结才能最大，1要和最小的百位乘才不影响总数最大化。解得763和852及941是最理想的数。
【详解】根据题意，可知积最大为：941×852×763
故答案为：941，852，763
3．将0、1、4、5、8分为一个2位数和一个3位数，求这两个数的积之最小值。
【答案】4580
【分析】要使这两个数的积有最小值，那么将0、1、4、5、8组成的一个2位数和一个3位数的值差尽量大，据此解答即可。
【详解】10×458＝4580
答：这两个数的积之最小值是4580。
4．在8×8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子，使得棋盘上每行、每列及每条斜线上都有偶数枚棋子？
【答案】48枚
【分析】8×8的正方形网格，总共有64个位置，要使得每行、每列及每条斜线上都有偶数个棋子，那么先假设把6个位置全部放满，然后减少，但减少的时候每行、每列要减少偶数个，同时还要兼顾剩下的棋子最多。
【详解】因为8×8的国际象棋盘上的每行、每列都正好有偶数格，若某行（某列）有空格，必空偶数格。而斜线上的格子数有奇也有偶，不妨从左上角的斜线看起：第一条斜线只有1格，必空；第三条有3格，必至少空1格；第五、七条分别有5、7格，每条线上至少空1格。由对称性易知共有16条斜线上有奇数格，且这16条斜线没有共用的格子，故至少必空出16格。其实，空出两条主对角线上的16个格子就合题意。此时，最多可放置48枚棋子，放在除这两条主对角线外的其余格子中，如下图所示。
答：最多可以放48枚棋子。
【点睛】国际象棋的棋子是放在格子中的，而不是放在格点上，这一点与中国象棋不同，不能搞错了。
5．两个自然数的乘积是36，当这两个自然数分别是多少时，它们的和最小？最小的和是多少？
【答案】两个自然数都取6时，和最小；最小的和是12
【分析】两个自然数的乘积是36，可能是36乘1，18乘2，12乘3，9乘4，6乘6这几种情况，找出其中和最大、和最小的情况即可。
【详解】
答：当两个自然数都取6时，和最小；最小的和是12。
【点睛】两个数乘积一定，那么这两个数相差越小，它们的和就越小。
6．某大街两侧有三家大商店，从甲店经过乙店到丙店要走3000m， 从乙店经过丙店到甲店要走3500m，从丙店经过甲店到乙店要走2500m．哪两家的店距离最近？相距多远？
【答案】甲到乙最近；1000米．
【详解】解：设从乙店到丙店为x米,由题意列方程：
3000-x+3500-x=2500
解得，x=2000
所以甲到乙距离：3000-2000=1000（米）
乙到丙距离：3500-2000=1500（米）
所以甲到乙最近是1000米．
7．如果三个人的平均年龄是22岁，且没有小于18岁的，那么最大的人的年龄可能是多少？
【答案】30岁
【分析】三个人的平均年龄是22岁，那么三个人的年龄和是66岁，没有小于18岁的，可以令年龄最小的人刚好是18岁，当有两个人都是18岁时，另一人的年龄最大。
【详解】（岁）
（岁）
答：最大的人的年龄可能是30岁。
【点睛】当总数一定时，一个量增加，另一个量必然减少，当其中一个取最小值的时候，另一个取最大值。
8．甲、乙、丙三同学移动7张桌子，由于桌子的远近关系，移动桌子所花的时间分别为4分钟、5分钟、6分钟、7分钟、8分钟、9分钟和10分钟．现三人同时开始，至少要花多少时间全部移完？
【答案】17分钟
【解析】略
9．一次考试满分100分，5个同学平均得分92分，且各人得分是不相同的整数．已知分数最少的80分．那么第三名同学最少得多少分？
【答案】91分
【详解】5个同学的总分：92×5=460（分）；
另外4个同学的总分：460-80=380（分）；
要使第三名的分数最低,则其他4名的分数要尽量高；第一名最高 100 分,第二名最高99分；
第三名和第四名的分数和最低为：380-100-99=181（分）,
181÷2=90.5（分）,则第四名最高只能是90分,
第三名至少是：181-90=91（分）
10．一把钥匙只能开一把锁，现有五把钥匙、五把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁．问：最多要试开多少次才能配好全部的锁和钥匙？
【答案】10次
【详解】至少要10次才能全部配好．
第一次，5把锁，拿一把钥匙，最多4次即可确定一把相应的锁．
第二次，4把锁，拿一把钥匙，最多3次即可确定一把相应的锁．
第三次，3把锁，拿一把钥匙，最多2次即可确定一把相应的锁．
第四次，2把锁，拿一把钥匙，最多1次即可确定一把相应的锁．
第五次，1把锁，不用试，即可确定．
总共4+3+2+1=10次，5把锁即可全部确定．
11．4个人的年龄和是100岁，其中最小的17岁，且四人的年龄都不相同，那么年龄最大的最多是几岁？
【答案】46岁
【详解】要让年龄最大的人年龄最大，那么其他的人的年龄的和就要最小；最小的人17岁，那么其他2人最小是18岁和19岁；
100-17-18-19=46(岁)
12．有5位同学收集汽车票，他们共有3张1元、3张2元、2张5元和4张10元的车票，这五位同学每人的车票价钱数各不相同，问：收集汽车票价钱最多的同学最少收集了多少元的汽车票？
【答案】15元
【解析】略
13．一次一把钥匙开一把锁，现有三把钥匙、三把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁．问：最多要试多少次才知道哪把钥匙开哪把锁？
【答案】3次
【详解】最多试3次．
第一次，3把锁，拿一把钥匙，最多2次即可确定一把相应的锁．
第二次，2把锁，拿一把钥匙，最多1次即可确定一把相应的锁．
第三次，1把锁，不用试，即可确定．
总共，2+1=3次，3把锁即可全部确定．
14．在一条笔直的公路上，每隔100公里有一个仓库，共有五个．一号仓库有10吨存货，二号仓库存有20吨货物，五号仓库有40吨存货，三号和四号仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里．如果每吨货物运输1公里要1元运输费，那么最少多少运输费？
【答案】10000元
【分析】将所有货物集中存放在某一仓库的情形列出来，共有五种情况，通过枚举比较，确定要选择的仓库，再求出最少运输费，这是比较容易想到的办法．除此以外，也可以用“小往大处靠”原则求解，即如果某处货物的重量大于或等于货物总重量的一半，那么，把货物往此处集中所花的运费最少．
【详解】解法一：我们设依次计算以一、二、……、五号仓库为集中点所需要的运输费：
1×（20×100+40×400）=2000+16000=18000（元）
1×（10×100+40×300）=1000+12000=13000（元）
1×（10×200+20×100+40×200）=2000+2000+8000=12000（元）
1×（10×300+20×200+40×100）=3000+4000+4000=11000（元）
1×（10×400+20×300）=4000+6000=10000（元）
因此，把所有货物集中到五号仓库所需的运输费最少，为10000元．
解法二：由于，所以可以用“小往大处靠”原则解题．所以五号仓库为最佳集中仓库，此时运费最少，为
1×（10×400+20×300）=4000+6000=10000（元）
【点睛】要注意“小往大处靠”原则成立的前提是“某处货物的重量大于或等于货物总重量的一半”，失去这个前提条件，结论便不成立．例如将一、二、五号仓库的存货分别变为30吨、10吨、30吨，那么容易算出集中到二号仓库运输费最少．
15．将若干只鸡放入若干个笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，求最少有几个笼？
【答案】6个
【详解】解：设有x个笼，则共有（4x+1）只鸡，当每个笼中放5只鸡时，有一笼无鸡可放，这说明x个笼中有一个空笼，还有一个笼中不一定放满5只，但至少1只至多5只，有（x-2）个笼里放满5只．故1≤4x+1－5（x-2）≤5，解得6≤x≤10，由x是整数，则x最小取6，且当x=6时，有鸡25只，满足题意，故至少有6个鸡笼．
16．设四个不同的正整数构成的四数组中，最小的数与其余三数的平均值之和为17，而最大数与其余三数的平均值之和为29，在满足上述条件的所有四数组中，找出最大的那个数．
【答案】23
【分析】设四个不同的正整数从大到小依次为a，b，c，d，依题意可列出两个方程：
将这两个方程变形为：
②-①得：即 a=18+d
由a＞b＞c＞d，利用不等式的性质就可以估计d的取值范围了．
【详解】解：设此四个正整数分别为：a、b、c、d，且a＞b＞c＞d，依题意有
即：
则用这两个方程相减得：即 a=18+d
又a＞b＞c＞d，则b≥d+2，C≥d+1
由①式得：
即：7+2d≤17，d≤5，由此得a=18+d≤23
当a=23，b=7，c=6，d=5时，a取得最大值23
17．有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字恰好是它前面两个数字之和，如134，1459等等，求这类数中最大的自然数和最小的自然数．
【答案】最大的是10112358，最小的是156
【详解】要得到最大的自然数，应使得这个自然数的位数尽可能地多．如果最前面的两个数字越大，则按规则构造的位数越少，所以若想按规则构造最大的自然数，前两个数字应取10，这类数中，最小的应是三位数，先考虑百位为1的自然数，若十位数字为a，则个位数字为（a+1），只有当a+（a+1）>9时，即a≥5时，才能保证按规则构造的数是三位数，取a=5．
答：这类数中最大的是10112358，最小的是156．
【点睛】在自然数中求满足条件的某个量的最值问题（常称离散最值问题）往往解法比较灵活，要仔细分析条件，进行深入细致的推理．
18．某校六年级一班准备用100元钱买圣诞树装饰品．在花店这样的装饰品成束出售，由20朵花组成的花束每束价值4元，由35朵花组成的花束每束价值6元，由50朵花组成的花束每束价值9元，请问每种花束各买多少才能买到最多的花朵？
【答案】应买由35朵花组成的花束16束和由20朵花组成的花束1束，可使花朵数量最多：580朵．
【分析】想用100元钱买到最多的花朵，题目中有三种花束：
A种：由20朵花组成的花束价值4元
B种：由35朵花组成的花束价值6元
C种：由50朵花组成的花束每束价值9元
平均1元钱可买A种花朵5朵或B种花朵5.8朵或C种花朵5.5朵，为了买到最多的花朵，应该多买B种花束
【详解】解：经分析可知由35朵花组成的B种花束中的花朵最便宜，宜多买．由于每束6元，故100元钱可买16束，还剩4元钱，这4元钱恰好买一束由20朵花组成的A种花束，这时共买花朵：16×35+20=580（朵），若B种花束少买几束，增加A种或C种花束的数量，都不能使花朵数达到580朵．
因此，应买由35朵花组成的花束16束和由20朵花组成的花束1束，可使花朵数量最多：580朵．
解法二：此题也可设A种、B种、C种花束各买x束、y束、z束时，可使花朵最多，列方程：4x+6y+9z=100，x，y，z是自然数．可以先缩小字母的取值范围．例如12元能买3束A种花束或2束B种花束，分别得到60朵花和70朵花，于是很清楚在最优解中A种花束不应超过2束．同理，比较B种花束和C种花束，发现要使花朵最多，C种花束不应超过1束，即x≦2，z≦1，下面只有很少的几种情况了，可以一一列举，同样可以求得x=1，z=0，y=16
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题48 最值问题
一、基本概念
最值问题是指在给定约束条件下，求某个量（如和、差、积、商、周长、面积等）的最大值或最小值的数学问题。核心逻辑：通过分析问题中的变量关系、约束条件及数学性质（如不等式、几何定理、极端值特性等），确定目标量的极端取值。关键点：明确目标量与约束条件的关联，利用“极端情况分析”“范围限定”“性质推理”等方法缩小取值范围，最终锁定最值。
二、核心要素（必知）
1.目标量：需要求最值的量，如“最大和”“最小差”“最大面积”等（例：用1-9组成三位数，求最大乘积）。
2.约束条件：限制变量取值的条件，常见类型：
数字限制：数字范围（0-9）、首位不为0、数字不重复等（如“用1、2、3组成两位数，数字不重复”）；
运算限制：和/差/积/商的固定值（如“两数和为20，求积的最大值”）；
几何限制：边长为整数、周长固定、图形类型（如“长方形周长24厘米，求面积最大值”）；
实际场景限制：成本、数量、时间等（如“进货利润与销量的关系，求最大利润”）。
3.极端情况：使目标量取最大或最小的变量取值状态，如“和一定时，两数越接近积越大”“差一定时，被减数最大则差最大”。
三、常见题型分类
1.按目标量类型分
和的最值：给定数字或范围，求最大/最小和（如“用0-9组成两个三位数，和最大是多少”）。
差的最值：求两数差的最大/最小值（如“从1-10中选两数，差最大是多少”）。
积的最值：给定和或范围，求最大/最小积（如“两数和为10，积最大是多少”）。
商的最值：求除法运算中商的最大/最小值（如“被除数是两位数，除数是一位数，商最大是多少”）。
几何图形最值：求周长一定时的最大面积、面积一定时的最小周长等（如“正方形与长方形，周长相等时谁面积大”）。
2.按问题背景分
数字问题：用数字组成数、填数使算式结果最值（如“用1、3、5、7组成最大四位数”）。
运算问题：通过运算规则求最值（如“□+□×□=20，□为1-9，积最大时□分别是多少”）。
几何问题：利用几何性质求最值（如“三角形两边长为3和5，第三边为整数，周长最大是多少”）。
实际应用问题：利润、行程、工程等场景中的最值（如“租车问题：大车坐10人租金50元，小车坐6人租金30元，34人怎样租车最省钱”）。
四、核心解题方法（必会）
1.极端值分析法：直接考虑变量取最大或最小值的情况，适用于简单约束条件。
例：“从1-10中选两数，差最大是多少？”→最大数10，最小数1，差=10-1=9。
2.枚举验证法：当变量取值范围较小时，列举所有可能情况，比较后确定最值。
例：“用1、2、3组成两位数（数字不重复），求最大积。”→列举组合：12×3=36，13×2=26，21×3=63，23×1=23，31×2=62，32×1=32→最大积为63。
3.不等式法（和定积最大/积定和最小）：
和定积最大：两个数的和一定时，两数越接近（相等时），积越大（适用于整数或小数）。
例：“两数和为20，积最大是多少？”→20=10+10，积=10×10=100（若要求不同数，则9×11=99）。
积定和最小：两个数的积一定时，两数越接近（相等时），和越小。
例：“两数积为36，和最小是多少？”→36=6×6，和=6+6=12。
4.几何性质法：利用几何图形的特性求最值。
长方形：周长一定时，长=宽（正方形）面积最大；面积一定时，长=宽（正方形）周长最小。
三角形：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（已知两边，第三边取最大/最小值时周长最值）。
线段公理：两点之间线段最短；垂线段最短（如“直线l外一点A，到l的最短距离是垂线段长度”）。
5.排列组合法：对于数字组成数的问题，按“高位优先”原则排列数字（求最大数：大数字放高位；求最小数：小数字放高位，注意首位不为0）。
例：“用0、1、2、3组成最大四位数”→高位到低位依次放3、2、1、0→3210。
五、解题步骤（万能模板）
1.明确目标与约束：确定要求的是最大值还是最小值，列出所有约束条件（如数字范围、运算规则、几何限制等）。
2.分析极端情况：根据目标量类型，判断可能的极端取值方向（如求最大和→大数字放高位；求最小差→两数尽可能接近）。
3.选择方法推导：结合约束条件选择合适方法（枚举法、不等式法、几何性质法等），逐步缩小取值范围。
4.验证结果：将推导结果代入原式或约束条件，检查是否符合所有限制（如数字不重复、几何边长为正整数等），确保无矛盾。
一、基础题（数字问题：最大数与最小数）
例1：用数字0、2、5、7组成一个四位数（每个数字只能用一次），其中最大的数是多少？最小的数是多少？
解题步骤：
1.观察结构：目标量为“最大四位数”和“最小四位数”，约束条件：数字0、2、5、7各用一次，首位不为0。
2.找突破口：
最大数：高位（千位）放最大数字，依次递减排列→千位选7，百位选5，十位选2，个位选0→7520。
最小数：高位（千位）放最小非0数字，剩余数字从小到大排列→千位选2，百位选0，十位选5，个位选7→2057。
3.验证检查：7520和2057均使用0、2、5、7且无重复，首位不为0，符合条件。
答案：最大数7520，最小数2057。
跟踪练习1：用1、3、6、9组成无重复数字的三位数，最大的数是（ ），最小的数是（ ）。（提示：最大数963，最小数136）
二、进阶题（积的最值：和定积最大）
例2：一个长方形的周长是24厘米，长和宽都是整数厘米，这个长方形的面积最大是多少平方厘米？
解题步骤：
1.观察结构：目标量“面积最大”，约束条件：周长24厘米（长+宽=12厘米），长、宽为正整数且长≥宽。
2.找突破口：根据“和定积最大”，长与宽越接近，面积越大。长+宽=12，可能的（长，宽）组合：（11,1）（10,2）（9,3）（8,4）（7,5）（6,6）。
3.逐步推理：计算各组合面积：11×1=11，10×2=20，9×3=27，8×4=32，7×5=35，6×6=36→面积最大为36。
4.验证检查：长=6，宽=6时，周长=（6+6）×2=24，符合条件，且是正方形（特殊长方形），面积最大。
答案：36平方厘米。
跟踪练习2：两个自然数的和是15，这两个数的积最大是（ ）。（提示：15=7+8，积=7×8=56）
三、挑战题（实际应用：利润最值）
例3：某商店销售一种商品，每件成本40元，售价60元时每天可卖100件。经调查，每降价1元，每天多卖20件。要使每天利润最大，每件应降价多少元？最大利润是多少？
解题步骤：
1.观察结构：目标量“最大利润”，约束条件：成本40元/件，原售价60元（利润20元/件），销量100件；每降价1元，销量+20件。设降价x元（x≥0，且60-x≥40→x≤20），利润=（售价-成本）×销量=（20-x）×（100+20x）。
2.找突破口：利润表达式为二次函数y=(20-x)(100+20x)=-20x +300x+2000，开口向下，对称轴处取最大值。对称轴x=-b/(2a)=-300/(2×(-20))=7.5。因x为整数，x=7或8时利润最大。
3.逐步推理：
x=7：利润=(20-7)×(100+20×7)=13×240=3120元；
x=8：利润=(20-8)×(100+20×8)=12×260=3120元。
两者利润相同，均为最大。
4.验证检查：x=7和x=8均在0≤x≤20范围内，利润计算正确。
答案：降价7元或8元，最大利润3120元。
跟踪练习3：某长方形菜园一面靠墙（墙长10米），另三边用篱笆围成，篱笆总长20米。菜园的长和宽都是整数米，面积最大是多少平方米？（提示：设宽x米，长=20-2x≤10→x≥5，面积=x(20-2x)，x=5时面积=5×10=50；x=6时面积=6×8=48→最大50）
1．学校举办歌唱比赛满分是100分，10名同学在这次比赛中的平均得分是86分，这10名同学的得分互不相同，其中有一名同学只得66分，那么，得分排在第五名的同学至少得多少分？（这几名同学得分均为整数）
2．把1、2、3、4…9这九个数字填入下面算式的九个方框中（每个数字只用一次），使三个三位数相乘的积最大。
××
3．将0、1、4、5、8分为一个2位数和一个3位数，求这两个数的积之最小值。
4．在8×8的国际象棋盘上最多能够放置多少枚棋子，使得棋盘上每行、每列及每条斜线上都有偶数枚棋子？
5．两个自然数的乘积是36，当这两个自然数分别是多少时，它们的和最小？最小的和是多少？
6．某大街两侧有三家大商店，从甲店经过乙店到丙店要走3000m， 从乙店经过丙店到甲店要走3500m，从丙店经过甲店到乙店要走2500m．哪两家的店距离最近？相距多远？
7．如果三个人的平均年龄是22岁，且没有小于18岁的，那么最大的人的年龄可能是多少？
8．甲、乙、丙三同学移动7张桌子，由于桌子的远近关系，移动桌子所花的时间分别为4分钟、5分钟、6分钟、7分钟、8分钟、9分钟和10分钟．现三人同时开始，至少要花多少时间全部移完？
9．一次考试满分100分，5个同学平均得分92分，且各人得分是不相同的整数．已知分数最少的80分．那么第三名同学最少得多少分？
10．一把钥匙只能开一把锁，现有五把钥匙、五把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁．问：最多要试开多少次才能配好全部的锁和钥匙？
11．4个人的年龄和是100岁，其中最小的17岁，且四人的年龄都不相同，那么年龄最大的最多是几岁？
12．有5位同学收集汽车票，他们共有3张1元、3张2元、2张5元和4张10元的车票，这五位同学每人的车票价钱数各不相同，问：收集汽车票价钱最多的同学最少收集了多少元的汽车票？
13．一次一把钥匙开一把锁，现有三把钥匙、三把锁，但不知道哪把钥匙开哪把锁．问：最多要试多少次才知道哪把钥匙开哪把锁？
14．在一条笔直的公路上，每隔100公里有一个仓库，共有五个．一号仓库有10吨存货，二号仓库存有20吨货物，五号仓库有40吨存货，三号和四号仓库是空的．现在要把所有的货物集中存放在一个仓库里．如果每吨货物运输1公里要1元运输费，那么最少多少运输费？
15．将若干只鸡放入若干个笼中，若每个笼中放4只，则有一鸡无笼可放；若每个笼里放5只，则有一笼无鸡可放，求最少有几个笼？
16．设四个不同的正整数构成的四数组中，最小的数与其余三数的平均值之和为17，而最大数与其余三数的平均值之和为29，在满足上述条件的所有四数组中，找出最大的那个数．
17．有一类自然数，从第三个数字开始，每个数字恰好是它前面两个数字之和，如134，1459等等，求这类数中最大的自然数和最小的自然数．
18．某校六年级一班准备用100元钱买圣诞树装饰品．在花店这样的装饰品成束出售，由20朵花组成的花束每束价值4元，由35朵花组成的花束每束价值6元，由50朵花组成的花束每束价值9元，请问每种花束各买多少才能买到最多的花朵？
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