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专题50 逻辑推理
一、基本概念
逻辑推理是指从已知条件出发，通过分析、判断、演绎等思维过程，推导出未知结论的数学问题。核心逻辑：基于“条件→规则→结论”的推导链条，利用矛盾关系、因果关系、数量关系等排除干扰信息，通过“假设验证—排除矛盾—确定结论”解决问题。关键点：准确提取显性条件（直接给出的信息）和隐性条件（隐含的逻辑关系，如“只有一人说真话”“每人只说对一半”），关注条件间的关联性（如“A和B不能同时成立”“C的位置决定D的位置”）。
二、核心要素（必知）
1.已知条件：题目明确给出的信息，分为显性条件（如“甲比乙高”“A说：‘我是冠军’”）和隐性条件（需结合常识或规则推导，如“年龄为正整数”“比赛无平局”）。
2.推理对象：需判断的主体或属性，如“人物（甲、乙、丙）”“物品（红、黄、蓝球）”“位置（第一、二、三名）”“真假状态（真/假）”等。
3.限制条件：题目附加的规则，如“每人只说一句真话”“每个位置只能对应一个对象”“数字不重复”“顺序不可逆”等，是推理的重要依据。
4.结论类型：需推导的结果，如“谁是说谎者”“物品的正确顺序”“人物与属性的匹配关系”等。
三、常见题型分类
1.按推理目标分
真假判断型：通过人物的陈述（真话/假话）判断事实，如“甲说：‘乙在说谎’，乙说：‘丙在说谎’，丙说：‘甲和乙都在说谎’，只有一人说真话，谁是真话？”
顺序排列型：确定多个对象的先后顺序，如“甲、乙、丙三人比赛，甲不是第一，乙不是最后，丙比乙快，排出名次”。
匹配对应型：将不同属性的对象一一对应，如“甲、乙、丙分别来自北京、上海、广州，职业是医生、教师、律师，已知甲不是北京人，乙是医生且来自上海，求丙的职业”。
图形规律型：根据图形的变化逻辑（形状、数量、方向、位置等）推导下一个图形，如“□△○□△○□__”。
数字规律型：根据数列或数表的排列规律填数，如“1，3，7，15，31，__”（后项=前项×2+1）。
2.按条件特征分
矛盾条件型：存在两个相互矛盾的陈述（一真一假），如“A说‘是B做的’，B说‘不是我做的’”。
唯一条件型：只有一个对象满足某条件，如“三人中只有一人会游泳，甲说‘我会’，乙说‘我不会’，丙说‘甲不会’，只有一人说真话”。
多条件关联型：多个条件相互制约，需综合分析，如“甲、乙、丙分别穿红、黄、蓝衣服，甲不穿红，乙不穿黄，丙穿蓝，求三人衣服颜色”。
四、核心解题方法（必会）
1. 排除法
适用场景：选项或可能性较少，可通过已知条件逐步排除不可能的选项。
示例：“甲、乙、丙三人分别是医生、教师、律师，甲不是医生，乙不是教师，丙是律师”，则甲只能是教师，乙只能是医生（排除法：丙=律师→甲、乙只能是医生/教师；甲≠医生→甲=教师→乙=医生）。
2. 假设法
适用场景：条件存在多种可能性，假设某条件成立，推导是否矛盾，矛盾则假设不成立，反之成立。
示例：“甲说‘乙是小偷’，乙说‘丙是小偷’，丙说‘我不是小偷’，只有一人说真话”。假设甲真→乙是小偷→乙说“丙是小偷”为假（丙不是），丙说“我不是”为真，此时甲、丙均真，矛盾→甲假；假设乙真→丙是小偷→甲说“乙是小偷”假（乙不是），丙说“我不是”假（丙是），符合“只有乙真”→丙是小偷。
3. 列表法
适用场景：多对象、多属性匹配问题（如人物-职业-地区），用表格梳理关系，直观排除。
示例：甲、乙、丙来自北京、上海、广州，职业是医生、教师、律师，已知：①甲不是北京人；②乙是医生且来自上海；③丙不是律师。
人物 地区 职业
甲 广州（排除北京、上海） 教师（排除医生、律师）
乙 上海 医生
丙 北京 律师（排除教师、医生）
4. 矛盾分析法
适用场景：存在矛盾命题（如“A是”与“A不是”），利用“矛盾命题一真一假”的特性快速判断。
示例：“甲、乙、丙三人中，只有一人说真话，甲说‘是丙’，乙说‘不是我’，丙说‘不是我’”。甲和丙的话矛盾（甲：丙是；丙：丙不是），则必有一真一假→真话在甲/丙中→乙说假话→乙是。
5. 图表法（连线/画图）
适用场景：顺序排列或位置关系题，用箭头、线段表示顺序或关联。
示例：“甲在乙前面，丙在乙后面，丁在甲前面”，画图：丁→甲→乙→丙，即顺序为丁、甲、乙、丙。
五、解题步骤（万能模板）
1.识别题型：判断是真假判断、顺序排列还是匹配对应，明确推理目标（如“谁是真话”“顺序如何”）。
2.提取条件：列出所有显性条件（划重点）和隐性条件（如“每人只说一句”“不重复”）。
3.确定方法：根据题型选方法（矛盾用矛盾分析法，匹配用列表法，多可能用假设法）。
4.逐步推理：从突破口（确定条件，如“丙是律师”）入手，结合方法推导，排除矛盾选项。
5.验证结论：将结论代入所有条件，检查是否全部满足（无矛盾、符合限制条件）。
一、基础题（真假判断型）
例1：甲、乙、丙三人中有一人打碎了玻璃，老师问时：
甲说：“是乙打碎的。”
乙说：“不是我打碎的。”
丙说：“也不是我打碎的。”
已知只有一人说真话，是谁打碎了玻璃？
解题步骤：
1.识别题型：真假判断型，只有一人说真话。
2.提取条件：甲：乙打碎；乙：不是乙；丙：不是丙。
3.确定方法：矛盾分析法（甲和乙的话矛盾：甲真→乙假，甲假→乙真）。
4.逐步推理：
甲、乙矛盾→必有一真一假，因只有一人说真话→丙说假话→丙打碎玻璃。
5.验证结论：丙打碎→甲说“乙打碎”假，乙说“不是乙”真，丙说“不是丙”假→只有乙说真话，符合条件。
答案：丙打碎了玻璃。
跟踪练习1：甲、乙、丙三人比赛，甲说“我是第一”，乙说“我不是第一”，丙说“甲不是第一”，只有一人说真话，谁是第一？（提示：甲和丙矛盾→乙说假话→乙是第一）
二、进阶题（匹配对应型）
例2：甲、乙、丙分别是来自北京、上海、广州的学生，他们的爱好是篮球、足球、排球（每人爱好不同）。已知：
① 甲不是北京人，乙不是上海人；
② 北京人爱好排球；
③ 乙不爱好篮球。
求甲、乙、丙的地区和爱好。
解题步骤：
1.识别题型：匹配对应型（人物-地区-爱好），用列表法。
2.提取条件：显性条件①②③，隐性条件“每人地区、爱好不重复”。
3.确定方法：列表法，先填确定条件。
4.逐步推理：
由②“北京人爱好排球”，设地区列：北京→排球；
由①“乙不是上海人”，乙可能是北京或广州；若乙是北京→乙爱好排球（由②），结合③“乙不爱好篮球”→乙爱好排球（合理）；若乙是广州→北京人只能是甲或丙，甲不是北京人（①）→丙是北京人→丙爱好排球，乙（广州）爱好只能是足球（因乙不爱好篮球，排球被丙占），甲（上海）爱好篮球，此时也成立？需进一步排除。
重新梳理：乙不是上海人（①），若乙是北京人→乙=北京+排球，甲不是北京人→甲=上海或广州，丙=剩余地区；乙不爱好篮球（③）→乙=排球（符合）；甲若为上海，爱好只能是篮球或足球，丙=广州，爱好剩余项。但“北京人爱好排球”已确定，乙=北京+排球，甲=上海，丙=广州；甲爱好篮球（因乙排球、丙只能足球），丙=足球，符合所有条件。
5.验证结论：甲（上海，篮球）、乙（北京，排球）、丙（广州，足球），无矛盾。
答案：甲来自上海，爱好篮球；乙来自北京，爱好排球；丙来自广州，爱好足球。
跟踪练习2：甲、乙、丙三人职业是医生、教师、警察，甲比医生年龄大，乙和教师不同岁，教师比丙年龄小，求三人职业。（提示：乙≠教师，丙≠教师→甲=教师；甲（教师）比医生大，比丙小→丙＞教师（甲）＞医生→乙=医生，丙=警察）
三、挑战题（复杂排序+真假结合）
例3：甲、乙、丙、丁四人参加百米赛跑，赛后他们说：
甲：“我是第三。”
乙：“我不是第四。”
丙：“我是第一。”
丁：“丙不是第一。”
已知四人中有两人说真话，两人说假话，且没有并列名次，求四人的名次。
解题步骤：
1.识别题型：顺序排列+真假判断，4人4名次（1-4），两真两假。
2.提取条件：甲：3；乙：≠4；丙：1；丁：丙≠1。丙和丁矛盾（丙真→丁假，丙假→丁真）→丙、丁一真一假，剩余甲、乙也一真一假。
3.确定方法：假设法+排除法。
4.逐步推理：
假设丙真（丙=1）→丁假，此时甲、乙一真一假：
若甲真（甲=3）→乙假→乙=4，剩余丁=2，名次：丙1、丁2、甲3、乙4，验证：甲真、乙假、丙真、丁假→两真两假（甲、丙真；乙、丁假），符合条件。
若甲假（甲≠3）→乙真（乙≠4），甲可能=2或4，乙可能=1/2/3（但丙=1）→乙=2或3，甲=4或2，若甲=4，乙=2→丁=3，名次：丙1、乙2、丁3、甲4，此时甲假（甲≠3）、乙真（乙≠4）、丙真、丁假→两真两假（乙、丙真；甲、丁假），也符合？需验证是否唯一。
但“没有并列名次”，两种情况是否都成立？第一种：丙1、丁2、甲3、乙4；第二种：丙1、乙2、丁3、甲4。需检查甲的陈述：第一种甲说“我是第三”为真，第二种甲说“我是第三”为假，均满足甲、乙一真一假。但题目未限制唯一解，需看是否有矛盾，两种均合理？但通常此类题唯一解，重新分析：第二种中乙=2，乙说“我不是第四”为真，丙=1真，丁假，甲假→两真两假，正确。但可能题目隐含“甲的话”需结合，若第一种甲真，更符合“两人真”，但两种均可能，需看是否有其他条件。原题目无更多条件，两种均为解？但根据奥数题常规，通常唯一解，可能第一种更优（甲=3）。
5.验证结论：名次为丙1、丁2、甲3、乙4（或丙1、乙2、丁3、甲4，需根据题目是否允许多解，此处以第一种为例）。
答案：名次从第一到第四依次为丙、丁、甲、乙。
跟踪练习3：甲、乙、丙、丁四人，一人是班长，一人是学习委员，一人是劳动委员，一人是体育委员。已知：①甲不是班长；②乙不是学习委员；③丙是劳动委员或体育委员；④丁不是体育委员。若每人职务不同，且只有一人说假话（上述四句话中一句假），求四人职务。（提示：假设①假→甲=班长，其余真→乙≠学委，丙=劳委/体委，丁≠体委→丙=体委，丁=学委，乙=劳委，符合）
1．二（1）班举行朗诵比赛。王飞、李琳、程朗取得了前三名。
王飞说：“我不是第一名。”
李琳说：“我不是第二名，又没有程朗成绩好。”
他们各得了第几名？
【答案】程朗是第一名，王飞是第二名，李琳是第三名。
【分析】根据题意，李琳说“我不是第二名，又没有程朗成绩好。”那说明李琳是第三名，王飞说：“我不是第一名。”，那么由此可以推测王飞是第二名。最后可以得到程朗的名次。
【详解】根据分析，程朗是第一名，王飞是第二名，李琳是第三名。
2．开开、心心、乐乐每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们，此外：
（1）数学博士夸跳高冠军跳的高。
（2）跳高冠军和大作家常与开开一起看电影。
（3）短跑健将请小画家画贺年卡。
（4）数学博士和小画家关系很好。
（5）心心向大作家借过书。
（6）乐乐下象棋常赢心心和小画家。
问：开开、心心、乐乐各有哪两个外号吗？
【答案】
开开是小画家和歌唱家，心心是短跑健将和跳高冠军，乐乐是数学博士和大作家。
【分析】本题涉及逻辑推理，需根据六个条件逐步排除和确定每个人的外号。采用列表法分析，依据条件（2）和（5）推出乐乐是大作家；由条件（6）推出开开是小画家；进而推出开开是歌唱家；由条件（2）推出心心是跳高冠军；最后推出心心是短跑健将，乐乐是数学博士。所有条件均得到满足。
【详解】根据条件，列出表格并逐步分析：
数学博士 短跑健将 跳高冠军 小画家 大作家 歌唱家
开开 × × × √ × √
心心 × √ √ × × ×
乐乐 √ × × × √ ×
由条件（2）：跳高冠军和大作家常与开开一起看电影，可知开开不是跳高冠军，也不是大作家。填入开开行：跳高冠军×，大作家×。
由条件（5）：心心向大作家借过书，可知心心不是大作家。填入心心行：大作家×。
由条件（6）：乐乐下象棋常赢心心和小画家，可知乐乐不是小画家（因为不能赢自己），且心心和小画家不是同一个人（因为“赢心心和赢小画家”暗示两人不同）。填入乐乐行：小画家×。
因乐乐不是小画家，心心不是小画家（由条件（6）），且开开、心心、乐乐三人不同，故开开一定是小画家。填入开开行：小画家√。
由条件（3）：短跑健将请小画家画贺年卡，小画家是开开，故短跑健将≠开开。填入开开行：短跑健将×。
由条件（4）：数学博士和小画家关系很好，小画家是开开，故数学博士≠开开（关系好暗示不同人）。填入开开行：数学博士×。
开开有小画家√，且不是跳高冠军、大作家、短跑健将、数学博士，故开开一定是歌唱家（唯一剩余外号）。填入开开行：歌唱家√。
由条件（2），跳高冠军和大作家不同人，且大作家不是开开（已排除）、不是心心（已排除），故乐乐是大作家。填入乐乐行：大作家√。
由条件（2），跳高冠军≠大作家，大作家是乐乐，故跳高冠军不是乐乐。填入乐乐行：跳高冠军×。
由条件（2），跳高冠军不是开开（已排除）、不是乐乐（已排除），故跳高冠军是心心。填入心心行：跳高冠军√。
由条件（1）：数学博士夸跳高冠军，跳高冠军是心心，故数学博士≠心心。填入心心行：数学博士×。
心心是跳高冠军√，且不是大作家、数学博士、小画家（开开是）、歌唱家（开开是），故心心一定是短跑健将（唯一剩余外号）。填入心心行：短跑健将√。
剩余数学博士外号，乐乐有大作家，故乐乐是数学博士。填入乐乐行：数学博士√。
综上，开开是小画家和歌唱家，心心是短跑健将和跳高冠军，乐乐是数学博士和大作家。验证所有条件均成立。
答：开开是小画家和歌唱家，心心是短跑健将和跳高冠军，乐乐是数学博士和大作家。
3．学校组织了绘画、唱歌和舞蹈兴趣小组，乐乐、园园和海海根据自己的喜好各自参加了其中一项，每个人都不一样。园园不喜欢唱歌，乐乐喜欢绘画。他们分别参加了什么兴趣小组？（用“√”和“×”表示）
记录推理结果：
绘画 唱歌 舞蹈
乐乐
园园
海海
（ ）喜欢绘画，（ ）喜欢唱歌，（ ）喜欢舞蹈。
【答案】
绘画 唱歌 舞蹈
乐乐 √ × ×
园园 × × √
海海 × √ ×
乐乐；海海；园园
【分析】先整理已知条件，根据已知条件进行推理确认。根据“乐乐喜欢绘画”直接得出：乐乐参加绘画小组；根据“每人参加一项，且各不相同”，因为乐乐喜欢绘画，所以园园不能再选绘画，根据“园园不喜欢唱歌”，所以园园参加的只能是舞蹈小组；绘画和舞蹈已被选走，只剩下唱歌小组，因此海海参加的是唱歌小组。
【详解】
绘画 唱歌 舞蹈
乐乐
园园
海海
乐乐喜欢绘画，海海喜欢唱歌，园园喜欢舞蹈。
4．我家住几楼？（在相应的楼层填写名字）
小宇说：“我家不在一楼，也不在顶楼。”
小恒说：“我家不在一楼。”
园园说：“我家不在顶楼。”
【答案】小恒；小宇；园园
【分析】根据题意可知，小宇家不在一楼，也不在顶楼，由此得出小宇家在二楼，还剩一楼和顶楼，再根据小恒家不在一楼，那小恒家一定在顶楼，园园家不在顶楼，那园园家一定在一楼，据此解答。
【详解】由分析可知：
5．中央红军长征第一渡口位于江西省的于都县。为探寻红军足迹，重走长征路，五·一期间小王、小张、小李三位老同学恰巧在于都渡口相遇。经交谈得知他们三人分别在北京、上海、南京的大学学习文学、生物和物理，并且还知道：
（1）小王不在北京学习；
（2）小张不在上海学习；
（3）在北京学习的同学不是学物理的；
（4）在上海学习的同学是学文学的；
（5）小张不学生物。
请问三位同学各在什么城市学习什么？
【答案】
小王在上海学习文学，小张在南京学习物理，小李在北京学习生物。
【分析】本题属于逻辑推理问题，需根据给定的五个条件逐步推理。问题中包含两个需要判定的事项，一个是城市，一个是专业，因此可以考虑用列表法来帮助分析，表格中用“√”表示是，用“×”表示不是，据此即可一一推理完成。
【详解】由（1）、（2）、（5）可列下表：
由（4）可知，在上海学习的同学是学文学的，因此小张不在上海，故小张不学文学，据此即可知道小张一定是学习物理。可以完善表格为：
由（3）可知在北京学习的同学不是学物理的，小张学物理，因此小张不在北京，据此可知道小李在北京，则小王在上海，小张在南京。可以完善表格为：
由（4）可知，在上海学习的同学是学文学的，因此小王是学文学的，则小李是学生物的。表格即可完成为：
答：小王在上海学习文学，小张在南京学习物理，小李在北京学习生物。
6．在一个棋艺比赛中，有A、B、C、D、E共5人进入决赛。决赛形式如下：（1）5位决赛棋手中每一人均与其他决赛入围者各对决一局；（2）在每场决赛局中，胜者得3分，负者得1分，和局则各得2分；（3）决赛的最后排名以棋手各场决赛局得分总和而定。计算各场决赛得分后，将总分按高到低排列，A、B和C分别获得决赛的第一、第二和第三名。已知A、D和E分别得总分12分、7分和4分。而B与C对赛时，B胜出。
（1）B在决赛的总得分是______；
（2）这个比赛中有没有和局？若有，列出是在哪些棋手的对赛时出现和局。
【答案】（1）9分
（2）有；B和D
【分析】5位决赛棋手中每一人均与其他决赛入围者各对决一局，也就是说每个人都要比4局，在每场决赛局中，胜者得3分，负者得1分，和局则各得2分。
A：3×4＝12（分），所以A参赛四场结果为全胜；
E：1×4＝4（分），所以E参赛四场结果为全负；
D：肯定输给A一场得1分，赢E一场得3分，D一共得7分，此时还剩两场比赛，得（7－3－1）分，也就是3分，此时只能是一场和局，一场输；
C：赢E一场，输A一场，输B一场，此时得分是：3＋1＋1＝5（分），C获得决赛的第三名，说明C得分＞D得分，也就是C得分＞7分，此时C剩余的一场比赛只能是赢，得到3分后，总分数为5＋3＝8（分），只能是赢D一场；
B：此时D还剩一场和局，只能是和B对决时和局，也就是B赢E一场，输A一场，赢C一场，和D和局，总分就是：3＋1＋3＋2，据此解题。
【详解】（1）
3＋1＋3＋2
＝4＋3＋2
＝7＋2
＝9（分）
B在决赛的总得分是9分；
（2）这个比赛中有没有和局？若有，列出是在哪些棋手的对赛时出现和局。
答：这个比赛中有没有和局，B和D对赛时出现和局。
【点睛】本题主要是先根据A和E的得分确定其输赢，然后再根据D的分数来推导输、赢、和局的具体情况，再进一步根据排名，以及B赢C，确定C的具体情况，最后再确定B的具体情况。
7．是山脚，是山顶，是山坡上的一点，。有甲、乙两人同时从山脚出发，到达山顶后再返回山脚，如此往返运动。已知甲、乙两人的速度之比为，并且他们下山的速度都是各自上山速度的1.5倍。出发一段时间后，甲第一次在山脚看见乙在段向下走。又经过一段时间后，甲第四次在山脚看见乙在段向下走时，甲已到过山顶几次？乙到过山脚几次？
【答案】8次，7次
【分析】则设甲的速度是6，乙的速度是5，A到B的路程为1，甲上山的时间与乙上山的时间比是，设一个具体的数值，设甲上山需要15分钟，则乙上山需要18分钟，下山的速度都是各自上山速度的1.5倍， 甲下山需要10分钟，乙下山需要12分钟。，则乙从B点到C点的时间是乙下山的时间的也就是8分钟。甲从山脚到山顶是15分钟，从山顶到山脚是10分钟，则每25分钟到达山脚。乙到达山顶的时间是18分钟，一下上是12分钟，则乙经过了30分钟才再到山顶。当乙到达山顶后8分钟之内甲到达山脚，即可看到乙从BC段往下走。
甲从0开始是在山脚，每隔25分钟到达山脚，则时间是：0、25、50、75、100、125、150、175、200、…；
乙第一次到达山顶的时间是18分钟，每隔30分钟到达山顶，则时间是：18、48、78、108、138、168、198…；
其中甲是25分钟时，乙到达山顶18分钟时，相差7分钟，是第一次山脚看见乙在段向下走；
甲是50分钟时，乙到达山顶48分钟时，相差2分钟，是第二次山脚看见乙在段向下走；
甲是175分钟时，乙到达山顶168分钟时，相差7分钟，是第三次山脚看见乙在段向下走；
甲是200分钟时，乙到达山顶198分钟时，相差2分钟，是第四次山脚看见乙在段向下走；
甲出发后第25分钟、第50分钟、第175分钟、第200分钟时一共四次看到乙在BC段向下走。再看这期间甲到达几次山顶，乙到达几次山脚。
【详解】设甲上山需要15分钟，则乙上山需要18分钟。
甲下山需要：15×6÷（6×1.5）
＝90÷9
＝10（分钟）
乙下山需要：15×6÷（5×1.5）
＝90÷7.5
＝12（分钟）
甲到达山脚的时间：0、25、50、75、100、125、150、175、200、…
乙达到山顶的时间：18、48、78、108、138、168、198、…
甲出发后第25分钟、第50分钟、第175分钟、第200分钟时一共四次看到乙在BC段向下走，也就是甲第四次在山脚看见乙在BC段向下走时是第200分钟。
答：甲已到过山顶8次，乙到过山脚7次。
【点睛】根据题目提供的特征和数据，分析其中存在的规律和方法，并从特殊情况推广到一般情况，并递推出相关的关系式，从而得到问题的解决。
8．有甲、乙两个容器，其中甲容器装了800克纯酒精，乙容器装了640克纯净水。第一次将甲容器中的纯酒精倒一半给乙容器，混合后，再把乙容器中的溶液倒一半给甲容器。这样视为一次操作。连续三次操作后，甲容器中的溶液有多少克？其中含有纯酒精多少克？
【答案】957.5克，537.5克
【分析】根据题意来回操作比较复杂，这样的情况列表会比较理清题目的意思。第一次操作的过程中，开始是甲容器是800克纯酒精，乙容器是640克纯净水，甲倒入了一半的酒精也就是400克给乙，这时甲容器里面有400克的酒精，乙容器里面有400克的酒精和640克的水，这时乙溶液是混合的，倒入一半给甲时，也就是乙容器里面的酒精倒入一半给甲，水也倒入一半，这时甲里面酒精有自己的400克和乙容器里面一半的（200克）酒精，以及乙容器640克水的一半（320克）。乙里面的酒精有剩下一半的酒精（200克）和剩下的一半的水（320克），同理第二次和第三次同样的操作，列出表格。
【详解】根据题意列出如下表格：
537.5＋420＝957.5（克）
答：甲容器中的溶液有957.5克，其中含有纯酒精537.5克。
9．每张餐桌都是能坐4人的方桌。当客人在10人以上（含10人）时，餐厅允许客人将2张或3张方桌拼成一张长桌，但每张长桌不能有空位，每张方桌空位不能多于1个。如果某队有16人，共有多少种坐法？画出所有可能的情况。（提示：方桌可用正方形表示，椅子可用圆圈表示。）
【答案】6种，图见详解
【分析】一共有16个人，人数超过10人，则可以将方桌拼成长桌。用2张拼成一个长桌，则每个长桌可以坐6人。用3张拼成一个长桌，则每个长桌可以坐8人。注意方桌是可以最多有1个空位的，也就是说方桌可以坐3人，几张桌子的人数加起来的和为16即可，分情况讨论：
（1）若全是方桌，则16＝4×4＝3＋3＋3＋3＋3＋4；
（2）若至少有1张6人长桌时，由于每张长桌不能有空位，先安排6人，剩下的10人中可以有长桌，也可以有方桌。即16＝6＋6＋4＝6＋3＋3＋4；
（3）若至少有1张8人长桌，先安排好8人，剩下的8人可以是8人的长桌，也可以组合6人长桌和方桌。16＝8＋8＝8＋4＋4。
【详解】（1）全是方桌，有两种坐法；
（2）至少有1张6人长桌时，有两种坐法；
（3）至少有1张8人长桌，只有两种坐法。
2＋2＋2＝6（种）
答：共有6种坐法。
【点睛】注意题目中的方桌是可以有空位的，按照规律一一列出，才能不会漏，也不会多。
10．一次篮球比赛共有8支球队参加，赛制为单循环比赛，每胜一场积2分，负一场得0分，平局双方各得1分。已知：
①最后排名没有并列的；
②前两名的队伍都没有输过；
③获得第四的队伍积分与后四名的球队积分之和相等。
请问，从第一名到第四名，每个队的积分分别是多少？
【答案】第一名13分，第二名12分，第三名11分，第四名10分
【分析】已知每支球队都要和其他7支球队比赛一场，也就是每支球队要比赛7场，去除重复的情况，用8×7÷2即可求出比赛的总场数，也就是28场，每场两队的积分和是2分，比赛之后所有球队的总积分是（28×2）分，也就是56分，第一名最多6胜1平，也就是13分，排名没有并列，所以第二名最多12分，第三名最多11分，第四名最多10分，据此可知后4名的总分之和最少是（56－13－12－11－10）分，也就是10分，因为获得第四的队伍积分与后四名的球队积分之和相等，可知第四名最少也是10分，据此可知第四名的积分是10分，以此解答。
【详解】8×7÷＝28（场）
28×2＝56（分）
第一名最多得：
6×2＋1
＝12＋1
＝13（分）
第二名最多12分，第三名最多11分，第四名最多10分，
又第四名最少56－13－12－11－10＝10（分）
所以第四名10分，第一名13分，第二名12分，第三名11分。
答：第一名13分，第二名12分，第三名11分，第四名10分。
【点睛】本题主要考查了单循环赛的应用以及推理问题，关键是从条件中推出第四名的积分。
11．在世界杯小组赛上，每四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得分，负队得分，平局则两队各得分。小组赛结束后，总积分高的两队出线，进入下一轮比赛，如果总积分相同，还要按进一步的规则排序。那么一个队至少要积几分才能保证本队必然出线？若有一个队总积分是分，则这个队可能出线吗？
【答案】7分；有可能出线
【分析】四个队进行单循环比赛，总的比赛场次是6场，总分在12~18分之间，根据各队之间的胜负关系进行分析。
【详解】（场）
（分）
总分最高是18分；
如果某队积分，则剩下分，可能另两个队也各得分，这样就要按进一步规则排序，因此该队有可能不出线；
如果某队积分，则剩下分，这样另外三个队中不可能再有两个队积分等于或超过分，这样该队必然出线；
因此一个队为了晋级下一轮，至少要积分才能保证必然出线。
若有一个队总积分是分，则其它三个队共积（分），这个队可能排名前两名，所以有可能出线。
答：至少要积7分才能保证本队必然出线；积 5分有可能出线。
【点睛】本题考查的是体育比赛中的逻辑推理问题与最值问题，也可以结合实际情况进行探究。
12．四对夫妇坐在一起闲谈。四个女人中，吃了个梨，吃了个，吃了个，吃了个；四个男人中，甲吃的梨和他妻子一样多，乙吃的是妻子的倍，丙吃的是妻子的倍，丁吃的是妻子的倍。四对夫妇共吃了个梨。问：丙的妻子是谁？
【答案】
【分析】设甲、乙、丙、丁的妻子所吃的数量分别是a、b、c、d，那么甲、乙、丙、丁所吃的数量分别是a、2b、3c、4d，然后根据总数是32个，列方程求解。
【详解】分别设甲、乙、丙、丁吃梨的个数为a、2b、3c、4d，则有：
由题意知，，，，分别等于，，，四个数之一，且互不相同，所以
，得到。所以b与d的奇偶性相同。
假设b是1，d是3，那么c也是1，矛盾；
假设b是3，d是1，那么c也是3，矛盾；
假设b是2，d是4，，矛盾；
假设b是4，d是2，那么c也是1，符合要求，此时a取3；
由于c是1，所以丙的妻子是D。
答：丙的妻子是D。
【点睛】本题在用不定方程求解问题时，虽然未知数的个数比较多，但是都有限制，所以是比较容易求解的。
13．老师让小新把小胖、小贝、小丸子、小淘气、小马虎的作业本带回去，小新见到这五人后就一人给了一本，结果全发错了。现在知道：（1）小胖拿的不是小贝的，也不是小淘气的；（2）小贝拿的不是小丸子的，也不是小淘气的；（3）小丸子拿的不是小贝的，也不是小马虎的；（4）小淘气拿的不是小丸子的，也不是小马虎的；（5）小马虎拿的不是小淘气的，也不是小胖的。另外，没有两人相互拿错（例如小胖拿小贝的，小贝拿小胖的）。问：小丸子拿的是谁的本？小丸子的本被谁拿走了？
【答案】小丸子拿了小淘气的本，小丸子的本被小马虎拿去了。
【分析】根据全发错了这个条件，结合条件（1）～（5），可以得到小淘气的本被小丸子拿了，然后再假设小胖拿了小丸子的本，分析是否有矛盾。
【详解】根据“全发错了”及条件（1）～（5），可以得到下表：
小胖的本 小贝的本 小丸子的本 小淘气的本 小马虎
小胖 × × ×
小贝 × × ×
小丸子 × × ×
小淘气 × × ×
小马虎 × × ×
由表1看出，小淘气的本被小丸子拿了。此时，再继续推理分析不大好下手，我们可用假设法。
由上表知，小胖拿的本不是小丸子的就是小马虎的。先假设小胖拿了小丸子的本。于是得到下表，
表中小贝拿小马虎的本，小马虎拿小贝的本。两人相互拿错，不合题意。
小胖的本 小贝的本 小丸子的本 小淘气的本 小马虎
小胖 × × √ × ×
小贝 × × × × √
小丸子 × × × √ ×
小淘气 √ × × × ×
小马虎 × √ × × ×
再假设小胖拿小马虎的本。于是又可得表，经检验，下表符合题意。
小胖的本 小贝的本 小丸子的本 小淘气的本 小马虎
小胖 × × × × √
小贝 √ × × × ×
小丸子 × × × √ ×
小淘气 × √ × × ×
小马虎 × × √ × ×
所以小丸子拿了小淘气的本，小丸子的本被小马虎拿去了。
【点睛】本题考查的是复杂的逻辑推理问题，综合应用了假设法和列表法进行求解。
14．四张卡片上分别写着奥、林、匹、克四个字（一张上写一个字），取出三张字朝下放在桌上，、、三人分别猜每张卡片上是什么字，猜的情况见下表：
第一张 第二张 第三张
A 林 奥 克
B 林 匹 克
C 匹 奥 林
结果，有一人一张也没猜中，一人猜中两张，另一人猜中三张。问：这三张卡片上各写着什么字。
【答案】林、匹、克
【解析】A、B有两张猜的是一样的，必有一人全对，一人对两张，因此，C猜的全错，那么第二张就不是奥，所以B全对，A对2张。
【详解】A对2张，B全对，C全错；
第一张是林，第二张是匹，第三张是克。
答：三张卡片上各写着林、匹、克。
【点睛】本题考查的是简单的逻辑推理问题，解题的关键是分析题目给出的条件之间的逻辑关系。
15．红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行，有、、、、五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包。
猜：第二包是紫的，第三包是黄的；猜：第二包是蓝的，第四包是红的；
猜：第一包是红的，第五包是白的；猜：第三包是蓝的，第四包是白的；
猜：第二包是黄的，第五包是紫的。
猜完后，打开各纸包一看发现每人都只猜对了一包，并且每包只有一人猜对。请你判断他们各猜对了其中的哪一包？
【答案】猜对了第三包是黄的，猜对了第二包是蓝的，猜对了第一包是红的，猜对了第四包是白的，猜对了第五包是紫的。
【分析】每人只猜两包，且每人都只猜对了一包，第一包只有C猜过，所以C猜第一包是红的是正确的，那么C猜第五包是白的就是错误的，然后列表分析其余的情况。
【详解】第一包只有一人猜对，所以第一包为红色，在第一行的其余地方打上“×”第四包不为红色，第四包为白色，白色不能为第五包，第五包就为紫色，同理可知其余各包颜色。
红色 黄色 蓝色 白色 紫色
一 √ × × × ×
二 × × √ × ×
三 × √ × × ×
四 × × × √ ×
五 × × × × √
答：A猜对了第三包是黄的， B猜对了第二包是蓝的， C猜对了第一包是红的， D猜对了第四包是白的， E猜对了第五包是紫的。
【点睛】本题考查的是逻辑推理问题，先把能确定的确定下来，再考虑其它的，这是逻辑推理的一般思路。
16．宝宝、贝贝、聪聪每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们，此外：（1）数学博士夸跳高冠军跳的高（2）跳高冠军和大作家常与宝宝一起看电影（3）短跑健将请小画家画贺年卡（4）数学博士和小画家关系很好（5）贝贝向大作家借过书（6）聪聪下象棋常赢贝贝和小画家问：宝宝、贝贝、聪聪各有哪两个外号吗？
【答案】宝宝是小画家和歌唱家，贝贝是短跑健将和跳高冠军，聪聪是数学博士和大作家。
【分析】宝宝、贝贝、聪聪三个人对应6个外号，可以采用列表法进行分析，根据题目给出的条件，打“√”、“×”。
【详解】由（2）知，宝宝不是跳高冠军和大作家；由（5）知，贝贝不是大作家；由（6）知，贝贝、聪聪都不是小画家，可以得到下表：
数学博士 短跑健将 跳高冠军 小画家 大作家 歌唱家
宝宝 × √ ×
贝贝 × ×
聪聪 × √
因为宝宝是小画家，所以由（3）（4）知宝宝不是短跑健将和数学博士，推知宝宝是歌唱家，因为聪聪是大作家，所以由（2）知聪聪不是跳高冠军，推知贝贝是跳高冠军，因为贝贝是跳高冠军，所以由（1）知贝贝不是数学博士，将上面结论依次填入上表，得到下表：
数学博士 短跑健将 跳高冠军 小画家 大作家 歌唱家
宝宝 × × × √ × √
贝贝 × √ √ × × ×
聪聪 √ × × × √ ×
答：宝宝是小画家和歌唱家，贝贝是短跑健将和跳高冠军，聪聪是数学博士和大作家。
【点睛】本题考查的是复杂的逻辑推理问题，与我们常见的列表推理的问题不同的是这里三个人对应6个身份。
17．甲、乙、丙、丁每人只会中、英、法、日四种语言中的两种，其中有一种语言只有一人会说。他们在一起交谈可有趣啦：（1）乙不会说英语，当甲与丙交谈时，却请他当翻译；（2）甲会日语，丁不会日语，但他们却能相互交谈；（3）乙、丙、丁找不到三人都会的语言；（4）没有人同时会日、法两种语言。请问：甲、乙、丙、丁各会哪两种语言？
【答案】甲会中、日语，乙会中、法语，丙会英、法语，丁会中、英语
【分析】根据题目给出的信息，采用列表法进行分析，甲会日语是可以确定的，然后对于其他几个人的情况可以进行假设。
【详解】由（1）（2）（4）可得下表，其中丙不会日语是因为甲会日语，且甲与丙交谈需要翻译。由下表看出，甲会的另一种语言不是中文就是英语。
中 英 法 日
甲 × √
乙 ×
丙 ×
丁 ×
先假设甲会说中文。由（2）知，丁也会中文；由（1）知丙不会中文，再由每人会两种语言，知丙会英、法语（见左下表：由（1）（4）推知乙会中文和法语；再由（3）及每人会两种语言，推知丁会英语（见右下表）。结果符合题意。
中 英 法 日 中 英 法 日
甲 √ × × √ 甲 √ × × √
乙 × 乙 √ × √ ×
丙 × √ √ × 丙 × √ √ ×
丁 √ × 丁 √ √ × ×
再假设甲会说英语。由（2）知，丁也会英语；由（1）知丙不会英语，再由每人会两种语言，知丙会中文和法语（见左下表）；由（1）（4）推知，乙会中文和日语；再由（3）及每人会两种语言，推知丁会法语（见右下表）。右下表与“有一种语言只有一人会说”矛盾。假设不成立。
中 英 法 日 中 英 法 日
甲 × √ × √ 甲 × √ × √
乙 × 乙 √ × × √
丙 √ × √ × 丙 √ × √ ×
丁 √ × 丁 × √ √ ×
答：甲会中、日语，乙会中、法语，丙会英、法语，丁会中、英语。
【点睛】本题考查的是复杂的逻辑推理问题，综合应用了列表法和假设法进行求解。
18．甲乙丙丁四位同学在操场上踢足球，打碎了教室的玻璃窗，有人问他们时，他们的回答如下：
甲：玻璃是丙或者是丁打碎的
乙：是丁打碎的
丙：我没有打坏玻璃
丁：我才不干这种事
有三个人没说谎，是谁打碎了玻璃呢？
【答案】丁
【分析】典型的逻辑推理问题，四个人只有一人说谎，可逐一进行假设，寻找矛盾，进行排除，也可根据四个人所说的话的逻辑关系进行分析。
【详解】根据“乙：是丁打碎的”，“丁：我才不干这种事”，二者必有一人说谎，假设乙说真话，即丁打碎的玻璃，此时丁说谎话，甲、丙都说真话，没有矛盾，假设成立，所以是丁打碎的玻璃。
【点睛】假设法作为逻辑推理常用的方法，关键是合理假设，小心求证，有矛盾，则假设不成立，没有矛盾，则假设成立。
19．甲、乙、丙三人中有一个是凶案的疑犯，警察审讯三人时。
甲说：“丙是真正的凶手。”
乙说：“我什么都不知道，不关我的事情。”
丙说：“我亲眼看见是乙在行凶。”
他们三人中只有一人说谎话，谁是凶手？
【答案】丙
【分析】典型的逻辑推理问题，三个人只有一人说谎话，可逐一进行假设，寻找矛盾，进行排除，也可根据三个人所说的话的逻辑关系进行分析。
【详解】乙和丙所说的话必然一真一假，假设乙说谎话，甲、丙说真话，即乙是凶手，此时丙说真话，甲说谎，有矛盾，假设不成立；假设丙说谎，甲、乙说真话，即乙不是凶手，此时乙说真话，甲说真话，没有矛盾，丙是凶手。
【点睛】假设法作为逻辑推理常用的方法，关键是合理假设，小心求证，有矛盾，则假设不成立，没有矛盾，则假设成立。
20．A、B、C、D四人住在一个宿舍里．一天晚上回来最晚的忘了关灯，第二天宿舍管理员调查谁回来的最晚？
①A说：我回来时，C没有回来．
②B说：我回来时，D已经睡了，我也就睡了．
③C说：我进门时，B还在床上．
④D说：我回来就睡了，别的没注意．
他们说的都是实话，你知道谁回来的最晚？
【答案】C回来的最晚
【解析】略
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题50 逻辑推理
一、基本概念
逻辑推理是指从已知条件出发，通过分析、判断、演绎等思维过程，推导出未知结论的数学问题。核心逻辑：基于“条件→规则→结论”的推导链条，利用矛盾关系、因果关系、数量关系等排除干扰信息，通过“假设验证—排除矛盾—确定结论”解决问题。关键点：准确提取显性条件（直接给出的信息）和隐性条件（隐含的逻辑关系，如“只有一人说真话”“每人只说对一半”），关注条件间的关联性（如“A和B不能同时成立”“C的位置决定D的位置”）。
二、核心要素（必知）
1.已知条件：题目明确给出的信息，分为显性条件（如“甲比乙高”“A说：‘我是冠军’”）和隐性条件（需结合常识或规则推导，如“年龄为正整数”“比赛无平局”）。
2.推理对象：需判断的主体或属性，如“人物（甲、乙、丙）”“物品（红、黄、蓝球）”“位置（第一、二、三名）”“真假状态（真/假）”等。
3.限制条件：题目附加的规则，如“每人只说一句真话”“每个位置只能对应一个对象”“数字不重复”“顺序不可逆”等，是推理的重要依据。
4.结论类型：需推导的结果，如“谁是说谎者”“物品的正确顺序”“人物与属性的匹配关系”等。
三、常见题型分类
1.按推理目标分
真假判断型：通过人物的陈述（真话/假话）判断事实，如“甲说：‘乙在说谎’，乙说：‘丙在说谎’，丙说：‘甲和乙都在说谎’，只有一人说真话，谁是真话？”
顺序排列型：确定多个对象的先后顺序，如“甲、乙、丙三人比赛，甲不是第一，乙不是最后，丙比乙快，排出名次”。
匹配对应型：将不同属性的对象一一对应，如“甲、乙、丙分别来自北京、上海、广州，职业是医生、教师、律师，已知甲不是北京人，乙是医生且来自上海，求丙的职业”。
图形规律型：根据图形的变化逻辑（形状、数量、方向、位置等）推导下一个图形，如“□△○□△○□__”。
数字规律型：根据数列或数表的排列规律填数，如“1，3，7，15，31，__”（后项=前项×2+1）。
2.按条件特征分
矛盾条件型：存在两个相互矛盾的陈述（一真一假），如“A说‘是B做的’，B说‘不是我做的’”。
唯一条件型：只有一个对象满足某条件，如“三人中只有一人会游泳，甲说‘我会’，乙说‘我不会’，丙说‘甲不会’，只有一人说真话”。
多条件关联型：多个条件相互制约，需综合分析，如“甲、乙、丙分别穿红、黄、蓝衣服，甲不穿红，乙不穿黄，丙穿蓝，求三人衣服颜色”。
四、核心解题方法（必会）
1. 排除法
适用场景：选项或可能性较少，可通过已知条件逐步排除不可能的选项。
示例：“甲、乙、丙三人分别是医生、教师、律师，甲不是医生，乙不是教师，丙是律师”，则甲只能是教师，乙只能是医生（排除法：丙=律师→甲、乙只能是医生/教师；甲≠医生→甲=教师→乙=医生）。
2. 假设法
适用场景：条件存在多种可能性，假设某条件成立，推导是否矛盾，矛盾则假设不成立，反之成立。
示例：“甲说‘乙是小偷’，乙说‘丙是小偷’，丙说‘我不是小偷’，只有一人说真话”。假设甲真→乙是小偷→乙说“丙是小偷”为假（丙不是），丙说“我不是”为真，此时甲、丙均真，矛盾→甲假；假设乙真→丙是小偷→甲说“乙是小偷”假（乙不是），丙说“我不是”假（丙是），符合“只有乙真”→丙是小偷。
3. 列表法
适用场景：多对象、多属性匹配问题（如人物-职业-地区），用表格梳理关系，直观排除。
示例：甲、乙、丙来自北京、上海、广州，职业是医生、教师、律师，已知：①甲不是北京人；②乙是医生且来自上海；③丙不是律师。
人物 地区 职业
甲 广州（排除北京、上海） 教师（排除医生、律师）
乙 上海 医生
丙 北京 律师（排除教师、医生）
4. 矛盾分析法
适用场景：存在矛盾命题（如“A是”与“A不是”），利用“矛盾命题一真一假”的特性快速判断。
示例：“甲、乙、丙三人中，只有一人说真话，甲说‘是丙’，乙说‘不是我’，丙说‘不是我’”。甲和丙的话矛盾（甲：丙是；丙：丙不是），则必有一真一假→真话在甲/丙中→乙说假话→乙是。
5. 图表法（连线/画图）
适用场景：顺序排列或位置关系题，用箭头、线段表示顺序或关联。
示例：“甲在乙前面，丙在乙后面，丁在甲前面”，画图：丁→甲→乙→丙，即顺序为丁、甲、乙、丙。
五、解题步骤（万能模板）
1.识别题型：判断是真假判断、顺序排列还是匹配对应，明确推理目标（如“谁是真话”“顺序如何”）。
2.提取条件：列出所有显性条件（划重点）和隐性条件（如“每人只说一句”“不重复”）。
3.确定方法：根据题型选方法（矛盾用矛盾分析法，匹配用列表法，多可能用假设法）。
4.逐步推理：从突破口（确定条件，如“丙是律师”）入手，结合方法推导，排除矛盾选项。
5.验证结论：将结论代入所有条件，检查是否全部满足（无矛盾、符合限制条件）。
一、基础题（真假判断型）
例1：甲、乙、丙三人中有一人打碎了玻璃，老师问时：
甲说：“是乙打碎的。”
乙说：“不是我打碎的。”
丙说：“也不是我打碎的。”
已知只有一人说真话，是谁打碎了玻璃？
解题步骤：
1.识别题型：真假判断型，只有一人说真话。
2.提取条件：甲：乙打碎；乙：不是乙；丙：不是丙。
3.确定方法：矛盾分析法（甲和乙的话矛盾：甲真→乙假，甲假→乙真）。
4.逐步推理：
甲、乙矛盾→必有一真一假，因只有一人说真话→丙说假话→丙打碎玻璃。
5.验证结论：丙打碎→甲说“乙打碎”假，乙说“不是乙”真，丙说“不是丙”假→只有乙说真话，符合条件。
答案：丙打碎了玻璃。
跟踪练习1：甲、乙、丙三人比赛，甲说“我是第一”，乙说“我不是第一”，丙说“甲不是第一”，只有一人说真话，谁是第一？（提示：甲和丙矛盾→乙说假话→乙是第一）
二、进阶题（匹配对应型）
例2：甲、乙、丙分别是来自北京、上海、广州的学生，他们的爱好是篮球、足球、排球（每人爱好不同）。已知：
① 甲不是北京人，乙不是上海人；
② 北京人爱好排球；
③ 乙不爱好篮球。
求甲、乙、丙的地区和爱好。
解题步骤：
1.识别题型：匹配对应型（人物-地区-爱好），用列表法。
2.提取条件：显性条件①②③，隐性条件“每人地区、爱好不重复”。
3.确定方法：列表法，先填确定条件。
4.逐步推理：
由②“北京人爱好排球”，设地区列：北京→排球；
由①“乙不是上海人”，乙可能是北京或广州；若乙是北京→乙爱好排球（由②），结合③“乙不爱好篮球”→乙爱好排球（合理）；若乙是广州→北京人只能是甲或丙，甲不是北京人（①）→丙是北京人→丙爱好排球，乙（广州）爱好只能是足球（因乙不爱好篮球，排球被丙占），甲（上海）爱好篮球，此时也成立？需进一步排除。
重新梳理：乙不是上海人（①），若乙是北京人→乙=北京+排球，甲不是北京人→甲=上海或广州，丙=剩余地区；乙不爱好篮球（③）→乙=排球（符合）；甲若为上海，爱好只能是篮球或足球，丙=广州，爱好剩余项。但“北京人爱好排球”已确定，乙=北京+排球，甲=上海，丙=广州；甲爱好篮球（因乙排球、丙只能足球），丙=足球，符合所有条件。
5.验证结论：甲（上海，篮球）、乙（北京，排球）、丙（广州，足球），无矛盾。
答案：甲来自上海，爱好篮球；乙来自北京，爱好排球；丙来自广州，爱好足球。
跟踪练习2：甲、乙、丙三人职业是医生、教师、警察，甲比医生年龄大，乙和教师不同岁，教师比丙年龄小，求三人职业。（提示：乙≠教师，丙≠教师→甲=教师；甲（教师）比医生大，比丙小→丙＞教师（甲）＞医生→乙=医生，丙=警察）
三、挑战题（复杂排序+真假结合）
例3：甲、乙、丙、丁四人参加百米赛跑，赛后他们说：
甲：“我是第三。”
乙：“我不是第四。”
丙：“我是第一。”
丁：“丙不是第一。”
已知四人中有两人说真话，两人说假话，且没有并列名次，求四人的名次。
解题步骤：
1.识别题型：顺序排列+真假判断，4人4名次（1-4），两真两假。
2.提取条件：甲：3；乙：≠4；丙：1；丁：丙≠1。丙和丁矛盾（丙真→丁假，丙假→丁真）→丙、丁一真一假，剩余甲、乙也一真一假。
3.确定方法：假设法+排除法。
4.逐步推理：
假设丙真（丙=1）→丁假，此时甲、乙一真一假：
若甲真（甲=3）→乙假→乙=4，剩余丁=2，名次：丙1、丁2、甲3、乙4，验证：甲真、乙假、丙真、丁假→两真两假（甲、丙真；乙、丁假），符合条件。
若甲假（甲≠3）→乙真（乙≠4），甲可能=2或4，乙可能=1/2/3（但丙=1）→乙=2或3，甲=4或2，若甲=4，乙=2→丁=3，名次：丙1、乙2、丁3、甲4，此时甲假（甲≠3）、乙真（乙≠4）、丙真、丁假→两真两假（乙、丙真；甲、丁假），也符合？需验证是否唯一。
但“没有并列名次”，两种情况是否都成立？第一种：丙1、丁2、甲3、乙4；第二种：丙1、乙2、丁3、甲4。需检查甲的陈述：第一种甲说“我是第三”为真，第二种甲说“我是第三”为假，均满足甲、乙一真一假。但题目未限制唯一解，需看是否有矛盾，两种均合理？但通常此类题唯一解，重新分析：第二种中乙=2，乙说“我不是第四”为真，丙=1真，丁假，甲假→两真两假，正确。但可能题目隐含“甲的话”需结合，若第一种甲真，更符合“两人真”，但两种均可能，需看是否有其他条件。原题目无更多条件，两种均为解？但根据奥数题常规，通常唯一解，可能第一种更优（甲=3）。
5.验证结论：名次为丙1、丁2、甲3、乙4（或丙1、乙2、丁3、甲4，需根据题目是否允许多解，此处以第一种为例）。
答案：名次从第一到第四依次为丙、丁、甲、乙。
跟踪练习3：甲、乙、丙、丁四人，一人是班长，一人是学习委员，一人是劳动委员，一人是体育委员。已知：①甲不是班长；②乙不是学习委员；③丙是劳动委员或体育委员；④丁不是体育委员。若每人职务不同，且只有一人说假话（上述四句话中一句假），求四人职务。（提示：假设①假→甲=班长，其余真→乙≠学委，丙=劳委/体委，丁≠体委→丙=体委，丁=学委，乙=劳委，符合）
1．二（1）班举行朗诵比赛。王飞、李琳、程朗取得了前三名。
王飞说：“我不是第一名。”
李琳说：“我不是第二名，又没有程朗成绩好。”
他们各得了第几名？
2．开开、心心、乐乐每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们，此外：
（1）数学博士夸跳高冠军跳的高。
（2）跳高冠军和大作家常与开开一起看电影。
（3）短跑健将请小画家画贺年卡。
（4）数学博士和小画家关系很好。
（5）心心向大作家借过书。
（6）乐乐下象棋常赢心心和小画家。
问：开开、心心、乐乐各有哪两个外号吗？
由条件（2）：跳高冠军和大作家常与开开一起看电影，可知开开不是跳高冠军，也不是大作家。填入开开行：跳高冠军×，大作家×。
由条件（5）：心心向大作家借过书，可知心心不是大作家。填入心心行：大作家×。
由条件（6）：乐乐下象棋常赢心心和小画家，可知乐乐不是小画家（因为不能赢自己），且心心和小画家不是同一个人（因为“赢心心和赢小画家”暗示两人不同）。填入乐乐行：小画家×。
因乐乐不是小画家，心心不是小画家（由条件（6）），且开开、心心、乐乐三人不同，故开开一定是小画家。填入开开行：小画家√。
由条件（3）：短跑健将请小画家画贺年卡，小画家是开开，故短跑健将≠开开。填入开开行：短跑健将×。
由条件（4）：数学博士和小画家关系很好，小画家是开开，故数学博士≠开开（关系好暗示不同人）。填入开开行：数学博士×。
开开有小画家√，且不是跳高冠军、大作家、短跑健将、数学博士，故开开一定是歌唱家（唯一剩余外号）。填入开开行：歌唱家√。
由条件（2），跳高冠军和大作家不同人，且大作家不是开开（已排除）、不是心心（已排除），故乐乐是大作家。填入乐乐行：大作家√。
由条件（2），跳高冠军≠大作家，大作家是乐乐，故跳高冠军不是乐乐。填入乐乐行：跳高冠军×。
由条件（2），跳高冠军不是开开（已排除）、不是乐乐（已排除），故跳高冠军是心心。填入心心行：跳高冠军√。
由条件（1）：数学博士夸跳高冠军，跳高冠军是心心，故数学博士≠心心。填入心心行：数学博士×。
心心是跳高冠军√，且不是大作家、数学博士、小画家（开开是）、歌唱家（开开是），故心心一定是短跑健将（唯一剩余外号）。填入心心行：短跑健将√。
剩余数学博士外号，乐乐有大作家，故乐乐是数学博士。填入乐乐行：数学博士√。
综上，开开是小画家和歌唱家，心心是短跑健将和跳高冠军，乐乐是数学博士和大作家。验证所有条件均成立。
答：开开是小画家和歌唱家，心心是短跑健将和跳高冠军，乐乐是数学博士和大作家。
3．学校组织了绘画、唱歌和舞蹈兴趣小组，乐乐、园园和海海根据自己的喜好各自参加了其中一项，每个人都不一样。园园不喜欢唱歌，乐乐喜欢绘画。他们分别参加了什么兴趣小组？（用“√”和“×”表示）
记录推理结果：
绘画 唱歌 舞蹈
乐乐
园园
海海
（ ）喜欢绘画，（ ）喜欢唱歌，（ ）喜欢舞蹈。
4．我家住几楼？（在相应的楼层填写名字）
小宇说：“我家不在一楼，也不在顶楼。”
小恒说：“我家不在一楼。”
园园说：“我家不在顶楼。”
5．中央红军长征第一渡口位于江西省的于都县。为探寻红军足迹，重走长征路，五·一期间小王、小张、小李三位老同学恰巧在于都渡口相遇。经交谈得知他们三人分别在北京、上海、南京的大学学习文学、生物和物理，并且还知道：
（1）小王不在北京学习；
（2）小张不在上海学习；
（3）在北京学习的同学不是学物理的；
（4）在上海学习的同学是学文学的；
（5）小张不学生物。
请问三位同学各在什么城市学习什么？
6．在一个棋艺比赛中，有A、B、C、D、E共5人进入决赛。决赛形式如下：（1）5位决赛棋手中每一人均与其他决赛入围者各对决一局；（2）在每场决赛局中，胜者得3分，负者得1分，和局则各得2分；（3）决赛的最后排名以棋手各场决赛局得分总和而定。计算各场决赛得分后，将总分按高到低排列，A、B和C分别获得决赛的第一、第二和第三名。已知A、D和E分别得总分12分、7分和4分。而B与C对赛时，B胜出。
（1）B在决赛的总得分是______；
（2）这个比赛中有没有和局？若有，列出是在哪些棋手的对赛时出现和局。
7．是山脚，是山顶，是山坡上的一点，。有甲、乙两人同时从山脚出发，到达山顶后再返回山脚，如此往返运动。已知甲、乙两人的速度之比为，并且他们下山的速度都是各自上山速度的1.5倍。出发一段时间后，甲第一次在山脚看见乙在段向下走。又经过一段时间后，甲第四次在山脚看见乙在段向下走时，甲已到过山顶几次？乙到过山脚几次？
8．有甲、乙两个容器，其中甲容器装了800克纯酒精，乙容器装了640克纯净水。第一次将甲容器中的纯酒精倒一半给乙容器，混合后，再把乙容器中的溶液倒一半给甲容器。这样视为一次操作。连续三次操作后，甲容器中的溶液有多少克？其中含有纯酒精多少克？
9．每张餐桌都是能坐4人的方桌。当客人在10人以上（含10人）时，餐厅允许客人将2张或3张方桌拼成一张长桌，但每张长桌不能有空位，每张方桌空位不能多于1个。如果某队有16人，共有多少种坐法？画出所有可能的情况。（提示：方桌可用正方形表示，椅子可用圆圈表示。）
10．一次篮球比赛共有8支球队参加，赛制为单循环比赛，每胜一场积2分，负一场得0分，平局双方各得1分。已知：
①最后排名没有并列的；
②前两名的队伍都没有输过；
③获得第四的队伍积分与后四名的球队积分之和相等。
请问，从第一名到第四名，每个队的积分分别是多少？
11．在世界杯小组赛上，每四个队进行单循环比赛，每场比赛胜队得分，负队得分，平局则两队各得分。小组赛结束后，总积分高的两队出线，进入下一轮比赛，如果总积分相同，还要按进一步的规则排序。那么一个队至少要积几分才能保证本队必然出线？若有一个队总积分是分，则这个队可能出线吗？
12．四对夫妇坐在一起闲谈。四个女人中，吃了个梨，吃了个，吃了个，吃了个；四个男人中，甲吃的梨和他妻子一样多，乙吃的是妻子的倍，丙吃的是妻子的倍，丁吃的是妻子的倍。四对夫妇共吃了个梨。问：丙的妻子是谁？
13．老师让小新把小胖、小贝、小丸子、小淘气、小马虎的作业本带回去，小新见到这五人后就一人给了一本，结果全发错了。现在知道：（1）小胖拿的不是小贝的，也不是小淘气的；（2）小贝拿的不是小丸子的，也不是小淘气的；（3）小丸子拿的不是小贝的，也不是小马虎的；（4）小淘气拿的不是小丸子的，也不是小马虎的；（5）小马虎拿的不是小淘气的，也不是小胖的。另外，没有两人相互拿错（例如小胖拿小贝的，小贝拿小胖的）。问：小丸子拿的是谁的本？小丸子的本被谁拿走了？
14．四张卡片上分别写着奥、林、匹、克四个字（一张上写一个字），取出三张字朝下放在桌上，、、三人分别猜每张卡片上是什么字，猜的情况见下表：
第一张 第二张 第三张
A 林 奥 克
B 林 匹 克
C 匹 奥 林
结果，有一人一张也没猜中，一人猜中两张，另一人猜中三张。问：这三张卡片上各写着什么字。
15．红、黄、蓝、白、紫五种颜色的珠子各一颗，分别用纸包着，在桌子上排成一行，有、、、、五个人，猜各包珠子的颜色，每人只猜两包。
猜：第二包是紫的，第三包是黄的；猜：第二包是蓝的，第四包是红的；
猜：第一包是红的，第五包是白的；猜：第三包是蓝的，第四包是白的；
猜：第二包是黄的，第五包是紫的。
猜完后，打开各纸包一看发现每人都只猜对了一包，并且每包只有一人猜对。请你判断他们各猜对了其中的哪一包？
16．宝宝、贝贝、聪聪每人有两个外号，人们有时以“数学博士”、“短跑健将”、“跳高冠军”、“小画家”、“大作家”和“歌唱家”称呼他们，此外：（1）数学博士夸跳高冠军跳的高（2）跳高冠军和大作家常与宝宝一起看电影（3）短跑健将请小画家画贺年卡（4）数学博士和小画家关系很好（5）贝贝向大作家借过书（6）聪聪下象棋常赢贝贝和小画家问：宝宝、贝贝、聪聪各有哪两个外号吗？
17．甲、乙、丙、丁每人只会中、英、法、日四种语言中的两种，其中有一种语言只有一人会说。他们在一起交谈可有趣啦：（1）乙不会说英语，当甲与丙交谈时，却请他当翻译；（2）甲会日语，丁不会日语，但他们却能相互交谈；（3）乙、丙、丁找不到三人都会的语言；（4）没有人同时会日、法两种语言。请问：甲、乙、丙、丁各会哪两种语言？
18．甲乙丙丁四位同学在操场上踢足球，打碎了教室的玻璃窗，有人问他们时，他们的回答如下：
甲：玻璃是丙或者是丁打碎的
乙：是丁打碎的
丙：我没有打坏玻璃
丁：我才不干这种事
有三个人没说谎，是谁打碎了玻璃呢？
19．甲、乙、丙三人中有一个是凶案的疑犯，警察审讯三人时。
甲说：“丙是真正的凶手。”
乙说：“我什么都不知道，不关我的事情。”
丙说：“我亲眼看见是乙在行凶。”
他们三人中只有一人说谎话，谁是凶手？
20．A、B、C、D四人住在一个宿舍里．一天晚上回来最晚的忘了关灯，第二天宿舍管理员调查谁回来的最晚？
①A说：我回来时，C没有回来．
②B说：我回来时，D已经睡了，我也就睡了．
③C说：我进门时，B还在床上．
④D说：我回来就睡了，别的没注意．
他们说的都是实话，你知道谁回来的最晚？
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