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专题49 最佳策略问题
一、基本概念
最佳策略问题是指在特定规则下，通过分析所有可能的操作路径，选择最优方案以达成预设目标（如获胜、利益最大化、成本最小化等）的数学问题。核心逻辑：基于问题规则和目标，通过逆向推理、对称模仿、极端分析等方法，排除劣势策略，确定唯一或最优操作步骤。关键点：明确游戏规则（操作限制、胜负条件）、识别关键决策点（影响结果的核心步骤）、利用对称或周期性简化问题。
二、核心要素（必知）
1.游戏规则：问题设定的操作限制（如每次取物数量范围、移动步数限制）、胜负判定条件（如取到最后一个物品获胜/失败、先达到目标者胜）。
例：“两人轮流取石子，每次取1-3颗，取到最后一颗者胜”中，规则为“取1-3颗”“取最后一颗胜”。
2.目标：明确策略目标（赢取游戏、使时间最短、费用最低等），目标不同策略方向可能相反。
例：“取到最后一颗获胜”需控制最后一次取物，“取到最后一颗失败”则需迫使对方取最后一颗。
3.决策点：影响结果的关键步骤（如剩余物品数量、当前操作次数），需通过分析确定每个决策点的最优选择。
例：取物游戏中，“剩余4颗石子”是关键决策点，此时若对方取1颗，自己取3颗即可获胜。
4.限制条件：操作次数限制（如“最多操作3次”）、资源约束（如“时间不超过10分钟”）、对抗性（如双人游戏中对方的最优应对）。
三、常见题型分类
1.取物游戏（双人对抗）
两人轮流从物品堆中取物，每次取物数量有范围限制，规定取到最后一个物品者胜（或负）。
例：“有20颗石子，两人轮流取，每次取1-3颗，取到最后一颗者胜，如何确保获胜？”
2.报数游戏（双人对抗）
两人轮流报数，每次报数范围固定（如1-2个数），先报到指定数者胜。
例：“从1开始报数，每次报1或2个数，先报到20者胜，最优策略是什么？”
3.统筹规划（单人优化）
通过合理安排步骤使时间最短、费用最低或效率最高。
例：“小明煎3个饼，每次煎2个，每面需2分钟，最少需几分钟？”
4.对策问题（多方案选择）
面对多种可能的对方策略，选择使己方利益最大或损失最小的方案。
例：“两人猜拳，出石头、剪刀、布，赢了得2分，输了扣1分，平局0分，如何选择出拳策略使得分最高？”
四、核心解题方法（必会）
1.倒推法（取物/报数游戏核心）
从目标结果反向推导，确定每个关键剩余量时的最优操作。
原理：若“取到最后一颗获胜”，需确保留给对方的数量为（每次取数上限+1）的倍数。
例：每次取1-3颗，关键剩余量为4的倍数（1+3=4），对方取n颗，自己取4-n颗，即可控制节奏。
2.对称法（模仿策略）
当双方操作对称时，通过模仿对方操作保持平衡，使自己处于不败地位。
例：两堆石子数量相同，对方从一堆取n颗，自己从另一堆取n颗，最终必能取到最后一颗。
3.极端假设法（统筹规划）
假设所有资源集中使用或按极端情况分配，再调整优化。
例：“多任务时间最短”，优先安排耗时最长的任务，避免空闲等待。
4.分类讨论法（复杂对策）
列出所有可能的对方策略，计算己方每种应对的结果，选择最优方案。
例：对方可能出石头、剪刀、布，分别计算己方出每种的得分期望，选择期望最高的。
五、解题步骤（万能模板）
1.分析规则：明确操作限制（如取数范围、报数规则）、胜负条件（胜/负/优化目标）、对抗性（单人/双人）。
2.确定目标：明确要达成的结果（如“确保获胜”“时间最短”），目标不同策略方向不同。
3.找关键量：通过倒推或对称分析，确定关键剩余量（如取物游戏中的“制胜点”）或关键步骤（如统筹中的“瓶颈任务”）。
4.制定策略：基于关键量，设计具体操作步骤（如“每次取n颗使剩余量为4的倍数”“优先处理耗时最长的任务”）。
5.验证优化：模拟操作过程，检查策略是否在所有可能情况下有效，调整漏洞（如对方不按常规操作时的应对）。
一、基础题（取物游戏：获胜策略）
例1：有16颗糖果，甲乙两人轮流取，每次取1-2颗，取到最后一颗糖果者胜。若甲先取，甲如何确保获胜？
解题步骤：
1.分析规则：双人对抗，每次取1-2颗，取最后一颗胜，甲先取。
2.确定目标：甲需取到最后一颗，即最后一次取时剩余1-2颗。
3.找关键量：倒推制胜点。每次取1-2颗，制胜点为（1+2）=3的倍数（3,6,9,12,15）。甲需取后剩余15颗（3×5），因此第一次取1颗（16-1=15）。
4.制定策略：甲先取1颗，之后乙取n颗（1或2），甲取3-n颗，保持剩余量为3的倍数。
5.验证：甲取1→剩15；乙取1→甲取2（剩12）；乙取2→甲取1（剩12）；…最后剩3颗，乙取1甲取2，乙取2甲取1，甲胜。
答案：甲先取1颗，之后每次取（3-乙取的颗数），即可获胜。
跟踪练习1：有20颗石子，两人轮流取，每次取1-4颗，取到最后一颗胜，先取者如何确保获胜？（提示：制胜点为5的倍数，20是5的倍数，先取者需取0颗？不对，20颗时先取者取20 mod 5=0，此时后取者胜；若总数21，先取1颗，剩20，之后取5-n颗）
二、进阶题（统筹规划：时间最短）
例2：妈妈做早餐，需完成任务：熬粥（20分钟）、煎鸡蛋（5分钟）、热牛奶（3分钟）、烤面包（2分钟）。所有任务需亲手完成，最少需几分钟？
解题步骤：
1.分析规则：单人操作，任务可并行，目标时间最短。
2.确定目标：利用长耗时任务时间做短任务，减少总时间。
3.找关键任务：熬粥耗时最长（20分钟），可在熬粥期间做其他任务。
4.制定策略：先熬粥（20分钟），期间依次煎鸡蛋（5）、热牛奶（3）、烤面包（2），总时间=熬粥时间=20分钟。
5.验证：20分钟内完成所有任务，无冲突。
答案：20分钟。
跟踪练习2：小明沏茶，洗水壶1分钟，烧开水15分钟，洗茶杯2分钟，拿茶叶1分钟，沏茶1分钟，最少需几分钟？（提示：洗水壶（1）→烧开水（15，同时洗茶杯、拿茶叶）→沏茶（1），总1+15+1=17分钟）
三、挑战题（报数游戏：逆向推理）
例3：两人从1开始轮流报数，每次可报1个或2个数，谁先报到30谁胜。若甲先报，甲如何确保获胜？
解题步骤：
1.分析规则：轮流报数，每次1或2个数，报到30胜，甲先报。
2.确定目标：甲需报到30，倒推制胜点：30→27→24→…→3（每轮报数和为3）。
3.制定策略：甲先报2个数（1-2），之后乙报n个数（1或2），甲报3-n个数，确保每轮共报3个数。
4.验证：甲报1-2（到2），乙报3→甲报4-5（到5）；乙报3-4→甲报5（到5）；…最后甲报29-30，获胜。
答案：甲先报1、2，之后乙报n个数，甲报3-n个数，即可报到30获胜。
跟踪练习3：两人从1开始报数，每次报1-3个数，先报到40胜，先报者如何获胜？（提示：制胜点为4的倍数，40是4的倍数，先报者报0个数不可能，应先报40 mod 4=0，此时后取者胜；若总数41，先报1颗，剩40，之后报4-n颗）
1．黑板上写有自然数2到20，甲乙轮流擦去一个，剩下两个数时，若这两个数互质，则甲胜；若这两个数不互质，则乙胜。如果甲先擦，那么甲能保证获胜吗？如能，请给出一种获胜策略；如不能，请说明理由。
【答案】甲能保证取胜，具体策略见详解。
【分析】自然数2到20是连续的自然数，共19个数，其中偶数10个，奇数9个。根据两个相邻的自然数一定互质，因此甲先擦去一个偶数，剩余的数按相邻位置两两配对擦去即可。
【详解】甲先擦，有保证取胜的策略。具体策略如下：
甲先擦去20，然后配对{2，3}，{4，5}，{6，7}，{8，9}，{10，11}，{12，13}，{14，15}，{16，17}，{18，19}；
乙擦去任何一对中的一个数，甲擦去该对中另一个数，余下的两个数必然属于同一配对组，因此互质，甲胜。（答案不唯一）。
【点睛】本题是一个博弈问题，关键在于学生能理解互质的性质并运用到实际解题中，解题时需注意配对方式的合理性。
2．春节期间，家家都备有糖果，快跟爸爸妈妈玩一玩这个游戏吧：有15颗糖果，你和妈妈（或爸爸）两人轮流取走，每次只能取1颗或2颗，谁取到最后一颗谁就赢。试想：要确保自己获胜，你是先取还是后取？怎样取？
【答案】让妈妈（或爸爸）先取，自己后取。因为15是3的倍数，采用凑三的方法来取。先取的人不管取1颗还是2颗，只要保证每组中后取的颗数与先取的颗数之和为3颗就行。
【分析】15是3的倍数，所以对方先取，保证每次两人一共取的数是3的倍数即可。
【详解】让妈妈（或爸爸）先取，自己后取。因为15是3的倍数，采用凑三的方法来取。先取的人不管取1颗还是2颗，只要保证每组中后取的颗数与先取的颗数之和为3颗就行。
【点睛】对方先取，保证每次两人一共取的数是3的倍数即可。
3．桌子上有15个排成一排的硬币，正面朝上。甲、乙两人轮流进行操作，每次操作可以选择翻转连续的1个、2个、3个或4个硬币（翻转是指将正面朝上的硬币变为反面朝上，或将反面朝上的硬币变为正面朝上）。规定：谁操作后使得所有硬币都变为反面朝上，谁就获胜。甲先手，问：甲是否有必胜策略？如果有，请说明理由。
【答案】有；见详解
【分析】：甲有必胜策略。甲先翻转中间的3个硬币，此时硬币的状态为：正面、正面、正面、正面、正面、正面、反面、反面、反面、正面、正面、正面、正面、正面、正面。乙进行操作后，甲再翻转与乙翻转硬币数量相同的硬币，且翻转的硬币与乙翻转的硬币关于中间的3个硬币对称。由于硬币总数为15个，是奇数，且每次操作可以选择翻转连续的1个、2个、3个或4个硬币，所以甲可以通过对称操作，保证每次操作后，硬币的状态都是关于中间的3个硬币对称的。最后，当所有硬币都变为反面朝上时，甲获胜。
【详解】答：甲有必胜策略。把15个硬币看成一组。甲先翻中间3个硬币，这时候硬币就有了“对称”的样子（以这3个为中心，两边能对应上）。之后乙翻几个（1个、2个、3个或者4个）连续的硬币，甲就翻和乙翻的硬币“对称”位置的同样个数的硬币。因为硬币一共15个，是奇数，中间位置固定，这样对称着翻，每一次甲都能跟着乙的操作，把硬币往全是反面的方向变。最后肯定是甲能把所有硬币都翻成反面，甲就赢了。
【点睛】解题关键在于利用硬币总数的奇偶性，通过先操作中间硬币构建对称结构。以中间操作的硬币为对称轴，让后续乙的操作与甲的操作在对称位置进行，确保甲能模仿乙每次的操作个数，使整体变化保持对称，进而掌控局面，实现让所有硬币最终都变为反面朝上的目标。
4．下图标出了希望小学一楼教室的位置和每个教室内现有桌椅的套数，要把每个教室的桌椅套数调到一样多，怎样调整最简便？
【答案】
【分析】先计算出一共有多少套桌椅，再除以10，得出每个班的桌椅的桃树，要使调整最方便就是尽量靠近的班级的相互调整。
【详解】22＋28＋27＋20＋25＋18＋23＋27＋20＋30＝240（套）
240÷10＝24（套）
调整如下：
5．黑板上写有1993个数：2，3，4，…，1994.甲、乙二人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。问：谁必获胜？必胜的对策是什么？
【答案】甲必胜；甲先擦去1994
【分析】依据题意，甲先擦去1994，剩下（1993－1）个数，有[（1993－1）÷2]对，相邻两个数组成一对，每对数都是互质的，无论乙擦去哪个数，甲都擦去与之互质的另一个数，由此解答本题。
【详解】1993－1＝1992（个）
1992÷2＝996（对），甲先擦去1994，剩下1992个数，有996对：（2，3），（4，5）……（1992，1993），相邻两个数组成一对，每对数都是互质的，无论乙擦去某对中的一个数，甲都擦去这对数中的另一个，这样反复轮流擦，总是一对一对的擦，最后剩下的一对必互质，因此甲胜。
答：甲必胜，甲先擦去1994。
6．甲、乙两人轮流往5×5的棋盘格子里放旗子，规定每个格子只能放一枚棋子，且每人每次只能放一枚，放下的棋子不能再移动，一直放到棋盘满为止，谁能最后一枚谁就赢。如果甲想赢，是先放还是后放？放哪个格？以后怎样放？
【答案】甲想赢，先放，先占据最中间的一格，创造一个对称状态，此后每次都和乙对称着放，当放完最后一个棋子，乙已无处可放，于是获胜。
【分析】此题需用对称取胜法解决，对称取胜的关键是要能找到操作内容的对称状态，如果一开始就是对称状态，则后操作的只要每次保持对称即能获胜，但如果一开始不对称，先操作首先就要抓住机会先创造出对称状态，再在以后的操作中保持，就能获得胜利，本题中，先放的人只要先占据最中间的一格，创造一个对称状态，此后每次都和对方对称着放，当放完最后一个棋子，对手已无处可放，于是获胜。
【详解】甲想赢，先放，先占据最中间的一格，创造一个对称状态，此后每次都和乙对称着放，当放完最后一个棋子，乙已无处可放，于是获胜。
7．5×10的方格棋盘上，黑白两方，各居对角线的一角，轮流走棋。规定：每次只能沿沿横（或竖）线至少移动一步，但不许与对方棋子同在一条直线上，也不许超越对方棋子占据的两条直线。最终谁无路可走为输。问谁可获胜？取胜策略如何？
【答案】先走者可胜
【分析】先走者可胜，先走者先占据与对方占位点形成正方形的对角线的另一端点，之后，不管对方如何移动，即可取胜。
【详解】先走者可胜，设先走者为甲，另一方为乙，甲先占据与对方占位点形成正方形的对角线的另一端点，即甲的落棋点与乙占位点均在正方形对角的两段点，之后，不管乙如何移动，甲总保持“双方均处于正方形对角线两端点”之态势，甲必获胜。
8．有一只小猴子在深山中发现了一片野香蕉园，它一共摘了300根香蕉，然后要走1000米才能到家，如果它每次最多只能背100根香蕉，并且它每走10米就要吃掉一根香蕉，那么，它最多可以把( )根香蕉带回家？
【答案】54
【分析】猴子每走10米就要吃掉一根香蕉，如果猴子背着100根香蕉直接回家，总共需要吃掉100根，在到家的时候，猴子刚好吃完最后一根香蕉其他200根香蕉白白浪费了；所以我们考虑让猴子适当地往返，在半路上储存一些香蕉。
【详解】猴子每次最多只能背100根香蕉，300根香蕉猴子必然要折返3次；
我们为猴子想到一个绝妙的主意：在半路上储存一部分香蕉；
猴子的路线：
这两个储存点与就是猴子放置香蕉的地方，怎么选呢？最好的情况是：
（一）当猴子第①③④次回去时，都能在这里拿到足够到野香蕉园的香蕉。
（二）当猴子第②④次到达储存点时，都能将之前路上消耗的香蕉补充好。（即身上还有100个）
（三）点同上。
的距离为，路上消耗个香蕉。的距离为，路上消耗个香蕉。
猴子第一次到达点，还有个香蕉，回去又要消耗个，只能留下个香蕉。这个香蕉将为猴子补充②③④次路过时的消耗和需求，每次都是个，则。米，猴子将在留下60个香蕉。
那么当猴子②次到达时，身上又有了100个香蕉，到⑤时还有个，从⑤回③需要个，可在留下个，用于⑥时补充从④到⑥的消耗个。则：。
至此，猴子到家时所剩的香蕉为：。
因为猴子每走10米才吃一个香蕉，走到家时最后一个10米才走了，所以还没有吃香蕉，应该还剩下54根香蕉。
【点睛】本题考查的是最优方案的问题，这里可以转化成行程问题来求解。
9．有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根。甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴。每次至少要取走一根火柴。谁取得最后一根火柴谁胜。如果都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
【答案】甲必胜
【分析】既然规定谁取得最后一根火柴谁胜，那么可以先假设甲获胜，然后采用逆推法分析，求出每一次取，剩下的火柴可能是多少，最终倒推得到最初甲应该从那一堆里面取，该如何取。
【详解】假设甲获胜，甲最终将两堆火柴都变为0，简记（0，0）；因为甲至少取1根火柴，所以甲取之前，即乙留给甲的两堆火柴最少的几种情况是（1，0），（2，0）（1，1）；要想乙留给甲上述情况，甲应该留给乙（1，2）；再往前逆推，当甲留给乙（3，5）时，无论乙怎样取，甲都可以一次取完所有的火柴或留给乙（1，2）。所以甲先从7根火柴的一堆取出2根，留给乙（3，5），甲必胜。
答：甲会获胜。
【点睛】本题考查的是必胜策略的问题，既然都采取最佳策略，就要从最利于自己的角度来分析问题。
10．桌子上放着50根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
【答案】甲必胜
【分析】获胜方在最后一次取走最后一根；往前逆推，在倒数第二次取时，必须留给对方4根，此时无论对方取1，2或3根，获胜方都可以取走最后一根；再往前逆推，获胜方要想留给对方4根，在倒数第三次取时，必须留给对方8根……由此可知，获胜方只要每次留给对方的都是4的倍数根，则必胜。
【详解】3＋1＝4（根）
50÷4＝12……2
所以只要甲第一次取走2根，剩下48根火柴是4的倍数，以后甲总留给乙4的倍数根火柴，甲必胜。
答：甲必胜。
【点睛】本题考查的是必胜策略的问题，对于题目给出了先手是甲，所以关键是考虑如何操作。
11．1111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7个格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？
【答案】5格
【分析】一开始棋子已占一格，棋子的右面有1110个空格，由于每次移动1~7个格，那么只要甲始终留给乙8的倍数加1格，就可获胜。
【详解】1111－1＝1110（个）
1＋7＝8
所以甲第一步必须移5格，还剩下1105格，1105是8的倍数加1.以后无论以移几格，甲下次移的格数与乙移的格数之和是8，甲就必胜。
答：第一步必须移5格。
【点睛】本题考查的是必胜策略的问题，对于必胜策略的问题，首先要判断先后手，然后判断如何进行操作。
12．学校有一个长80米、宽64米的长方形大院，同学们计划用31.4米长的木栅栏围一块地作为劳动实践基地，请你设计一个方案，使基地的面积尽可能大些．
【答案】面积为78.5平方米
【详解】试题分析：根据题意，周长相等的平面图形中圆的面积最大，可根据圆的周长公式计算出这个圆的半径，然后再根据这个圆的面积公式进行计算即可得到答案．
解：圆的半径为：31.4÷3.14÷2
=10÷2，
=5（米），
圆的面积为：3.14×52=78.5（平方米），
答：要使基地的面积最大可围成圆形，围成的面积为78.5平方米．
点评：此题主要考查的知识点是周长一定的图形中，圆的面积最大．
13．甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币．规则是：每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜．如果甲先放，那么他怎样放才能取胜？
【答案】如果甲先放，他要把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处，以后总在乙上次放的硬币的对称点放置硬币，这样才能取胜．
【分析】我们用对称的思想来分析一下．圆是关于圆心对称的图形，若A是圆内除圆心外的任意一点，则圆内一定有一点B与A关于圆心对称（见右图，其中AO=OB）．所以，圆内除圆心外，任意一点都有一个（关于圆心的）对称点．由此可以想到，只要甲把第一枚硬币放在圆桌面的圆心处，以后无论乙将硬币放在何处，甲一定能找到与之对称的点放置硬币．也就是说，只要乙能放，甲就一定能放．最后无处可放硬币的必是乙．
【详解】甲的获胜策略是：
如果甲先放，他要把第一枚硬币放到圆桌面的圆心处，以后总在乙上次放的硬币的对称点放置硬币，这样才能取胜．
14．桌上有一块金帝牌巧克力，它被直线划分为排成3行7列的21个小方块．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：①每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；③谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜．如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜
【答案】12个
【详解】若想给对手留下一个小方块，必使对手上一次留给自己一行或一列才行．
这样上一次留给对手的行数必为2．因为行或列大于2，对手就不一定会留下一行或一列，要留给对手2行或2列，必须使对手上一次留下两行或两列且又不能是两列两行的情况．
……
依次类推，每次留给对手行列数相等的巧克力是必胜策略．由此可知先取者有必胜策略，只要他第一次取走3行4列的一块即12个小方块，之后按上述策略即可获胜．
15．甲和乙两人做数学游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中减去它的某个非零数字，并用所得的差替换原数．两人轮流走，谁所得到的数是零，就算谁赢．如果开始在黑板上写着数1994，并且甲先走，问谁有必胜策略
【答案】甲
【详解】获胜的人必使对方最后留下一个不为0的一位数．
那么前一次留给对方只能是10．
这又要求前一次留给对方的是11～19中的某数．所以前再前一次留给对方的只能是20．……
依次可以看出每次留给对方末位数为0的必定胜出．
即必胜策略是每次减去黑板上数的个位数字即可．
现在黑板上原始数为1994，则甲开始减去4，留下1990给乙；于是乙留下的数字只能是1981～1989中的某个，甲对应的减去这个数的个位数字，留下1980给乙；……
16．北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给武汉11台、西安5台，每台车床的运费如下图所示，单位为百元．那么总运费最少是多少元
【答案】9700元
【详解】如果有一台车床从北京运往武汉，另一台运往西安，它们的总运费为1500元．交换它们的终点，让北京的车床运往西安，上海的车床运往武汉，总运费为1300元．由此知北京运往武汉及上海运往西安的方案必不是最佳．
北京运出的车床比西安需求的多，因此有车床是从北京运往武汉，从而知最佳方案为上海的车床运往武汉，北京的车床5台运往武汉，5台运往西安，总运费为：
6×700+5×500+5×600＝9700元．
17．某车队有4辆汽车，担负A，B，C，D，E，F这6个分厂的运输任务，下图标出了各分厂所需的装卸工人数．若各分厂自派装卸工，则共需6+5+8+4+3+7=33人．现在让一部分人跟车装卸，在需要装卸工人较多的分厂再配备装卸工，那么最少需要装卸工人多少名
【答案】26名
【详解】显然每个车上跟车工人数在3～8之间．
需要工人数 6 5 8 4 3 7
每车跟车工人数 A B C D E F 车下工人数 所有工人数
还需工人数
3 3 2 5 1 0 4 15 15+3×4＝17
4 2 1 4 0 0 3 10 10+4×4＝26
5 1 0 3 0 0 2 6 6+5×4＝26
6 0 0 2 0 0 1 3 3+6×4＝27
7 0 0 1 0 0 0 1 1+7×4＝29
8 0 0 0 0 0 0 0 0+8×4＝32
由上表知，每车上跟车4名或5名工人，这样所需的装卸工人数最少为26名．
18．甲、乙两人轮流报数，每人都只能报2、3、5、7中的一个，把两人报的数累加．如果某个人报完数后，累加的和第一次为三位数，那么这个人就获胜．请问：谁有必胜策略？
【答案】甲.
【详解】试题分析：根据游戏规则得出谁报数后使和为最小的三位数100，谁第一个报大于或等于100，谁就获胜，进而分析得出，谁先报2，谁就获胜．于是得出先报者的取胜对策为：甲首先报数，甲有必胜策略，甲要抢占到92，首先报2，之后与乙配对和为5或10即可．
解：甲有必胜策略，甲要抢占到92，甲首先报2，之后与乙配对和为5或10即可，即乙选7，则跟着选3，若乙选5，则甲跟着选5，若乙选2，则甲选3…一定甲首先报92，乙即使报最大的数7，加上92，只是99，甲然后报四个中任意一个都可获胜；则甲必胜．
点评：此题主要考查了数字变化规律，根据游戏规则得出数字变化规律是解题关键．
19．如图，五角星上共有10个交点和15条小线段．甲首先将一枚棋子放在A点上，并由此出发沿某条小线段将棋子移到相邻的一个交点上，之后乙再将棋子沿某条小线段移到下一个相邻的交点上，之后甲再走，…，如此下去．如果要求每条小线段都不能重复经过，并且轮到某人无路可走时便判其失败，那么甲是否有必胜策略？
【答案】没有．乙必胜．
【分析】有5个顶点，外围有10条小线段，甲先走，从外到里，无论怎么走，乙就跟着从里到外，5次后回到原点，甲一定会走重复的路，甲没有必胜策略，且乙必胜，甲只能由角上的点走到中间，乙再走回角上的5个点．
【详解】乙必胜，甲只能由角上的点走到中间，乙再走回角上的5个点，如图所示：
20．有十个村，坐落大县城出发的一条公路上（如下图所示，距离单位是千米），要安装水管，从县城送自来水供给各村，可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村 用水，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元，把粗管和细管适当搭配、互相连接，可以降低工程的总费用，按你认为最 节约的办法，费用应是多少？
【答案】工程总费用最少为414000元
【详解】试题分析：设十个村分别为A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10，在A7之后，粗管可以换成3根或更少根细管，费用将减少，在A6和A7之间，不论安粗管还是四条细管，花的钱一样多，在A6以前如果不安粗管安细管，需要5条以上的细管，费用将增加．因此，工程的设计是：从县城到A7（A6）安一条粗管；A7、A8之间安三条细管；A8、A9之间安二条细管；A9、A10之间安一条细管这样做，工程总费用最少．
解：如图，设十个村分别为A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7、A8、A9、A10，
工程的设计是：从县城到A7（A6）安一条粗管；A7、A8之间安三条细管；A8、A9之间安二条细管；A9、A10之间安一条细管这样做，工程总费用最少．
（30+5+2+4+2+3+2）×8000+（6+4+5）×2000=414000（元）
答：工程总费用最少为414000元．
点评：粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元，4根细管的价格和1根粗管相等，3根以下细管比粗管节约是解决此题的关键．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题49 最佳策略问题
一、基本概念
最佳策略问题是指在特定规则下，通过分析所有可能的操作路径，选择最优方案以达成预设目标（如获胜、利益最大化、成本最小化等）的数学问题。核心逻辑：基于问题规则和目标，通过逆向推理、对称模仿、极端分析等方法，排除劣势策略，确定唯一或最优操作步骤。关键点：明确游戏规则（操作限制、胜负条件）、识别关键决策点（影响结果的核心步骤）、利用对称或周期性简化问题。
二、核心要素（必知）
1.游戏规则：问题设定的操作限制（如每次取物数量范围、移动步数限制）、胜负判定条件（如取到最后一个物品获胜/失败、先达到目标者胜）。
例：“两人轮流取石子，每次取1-3颗，取到最后一颗者胜”中，规则为“取1-3颗”“取最后一颗胜”。
2.目标：明确策略目标（赢取游戏、使时间最短、费用最低等），目标不同策略方向可能相反。
例：“取到最后一颗获胜”需控制最后一次取物，“取到最后一颗失败”则需迫使对方取最后一颗。
3.决策点：影响结果的关键步骤（如剩余物品数量、当前操作次数），需通过分析确定每个决策点的最优选择。
例：取物游戏中，“剩余4颗石子”是关键决策点，此时若对方取1颗，自己取3颗即可获胜。
4.限制条件：操作次数限制（如“最多操作3次”）、资源约束（如“时间不超过10分钟”）、对抗性（如双人游戏中对方的最优应对）。
三、常见题型分类
1.取物游戏（双人对抗）
两人轮流从物品堆中取物，每次取物数量有范围限制，规定取到最后一个物品者胜（或负）。
例：“有20颗石子，两人轮流取，每次取1-3颗，取到最后一颗者胜，如何确保获胜？”
2.报数游戏（双人对抗）
两人轮流报数，每次报数范围固定（如1-2个数），先报到指定数者胜。
例：“从1开始报数，每次报1或2个数，先报到20者胜，最优策略是什么？”
3.统筹规划（单人优化）
通过合理安排步骤使时间最短、费用最低或效率最高。
例：“小明煎3个饼，每次煎2个，每面需2分钟，最少需几分钟？”
4.对策问题（多方案选择）
面对多种可能的对方策略，选择使己方利益最大或损失最小的方案。
例：“两人猜拳，出石头、剪刀、布，赢了得2分，输了扣1分，平局0分，如何选择出拳策略使得分最高？”
四、核心解题方法（必会）
1.倒推法（取物/报数游戏核心）
从目标结果反向推导，确定每个关键剩余量时的最优操作。
原理：若“取到最后一颗获胜”，需确保留给对方的数量为（每次取数上限+1）的倍数。
例：每次取1-3颗，关键剩余量为4的倍数（1+3=4），对方取n颗，自己取4-n颗，即可控制节奏。
2.对称法（模仿策略）
当双方操作对称时，通过模仿对方操作保持平衡，使自己处于不败地位。
例：两堆石子数量相同，对方从一堆取n颗，自己从另一堆取n颗，最终必能取到最后一颗。
3.极端假设法（统筹规划）
假设所有资源集中使用或按极端情况分配，再调整优化。
例：“多任务时间最短”，优先安排耗时最长的任务，避免空闲等待。
4.分类讨论法（复杂对策）
列出所有可能的对方策略，计算己方每种应对的结果，选择最优方案。
例：对方可能出石头、剪刀、布，分别计算己方出每种的得分期望，选择期望最高的。
五、解题步骤（万能模板）
1.分析规则：明确操作限制（如取数范围、报数规则）、胜负条件（胜/负/优化目标）、对抗性（单人/双人）。
2.确定目标：明确要达成的结果（如“确保获胜”“时间最短”），目标不同策略方向不同。
3.找关键量：通过倒推或对称分析，确定关键剩余量（如取物游戏中的“制胜点”）或关键步骤（如统筹中的“瓶颈任务”）。
4.制定策略：基于关键量，设计具体操作步骤（如“每次取n颗使剩余量为4的倍数”“优先处理耗时最长的任务”）。
5.验证优化：模拟操作过程，检查策略是否在所有可能情况下有效，调整漏洞（如对方不按常规操作时的应对）。
一、基础题（取物游戏：获胜策略）
例1：有16颗糖果，甲乙两人轮流取，每次取1-2颗，取到最后一颗糖果者胜。若甲先取，甲如何确保获胜？
解题步骤：
1.分析规则：双人对抗，每次取1-2颗，取最后一颗胜，甲先取。
2.确定目标：甲需取到最后一颗，即最后一次取时剩余1-2颗。
3.找关键量：倒推制胜点。每次取1-2颗，制胜点为（1+2）=3的倍数（3,6,9,12,15）。甲需取后剩余15颗（3×5），因此第一次取1颗（16-1=15）。
4.制定策略：甲先取1颗，之后乙取n颗（1或2），甲取3-n颗，保持剩余量为3的倍数。
5.验证：甲取1→剩15；乙取1→甲取2（剩12）；乙取2→甲取1（剩12）；…最后剩3颗，乙取1甲取2，乙取2甲取1，甲胜。
答案：甲先取1颗，之后每次取（3-乙取的颗数），即可获胜。
跟踪练习1：有20颗石子，两人轮流取，每次取1-4颗，取到最后一颗胜，先取者如何确保获胜？（提示：制胜点为5的倍数，20是5的倍数，先取者需取0颗？不对，20颗时先取者取20 mod 5=0，此时后取者胜；若总数21，先取1颗，剩20，之后取5-n颗）
二、进阶题（统筹规划：时间最短）
例2：妈妈做早餐，需完成任务：熬粥（20分钟）、煎鸡蛋（5分钟）、热牛奶（3分钟）、烤面包（2分钟）。所有任务需亲手完成，最少需几分钟？
解题步骤：
1.分析规则：单人操作，任务可并行，目标时间最短。
2.确定目标：利用长耗时任务时间做短任务，减少总时间。
3.找关键任务：熬粥耗时最长（20分钟），可在熬粥期间做其他任务。
4.制定策略：先熬粥（20分钟），期间依次煎鸡蛋（5）、热牛奶（3）、烤面包（2），总时间=熬粥时间=20分钟。
5.验证：20分钟内完成所有任务，无冲突。
答案：20分钟。
跟踪练习2：小明沏茶，洗水壶1分钟，烧开水15分钟，洗茶杯2分钟，拿茶叶1分钟，沏茶1分钟，最少需几分钟？（提示：洗水壶（1）→烧开水（15，同时洗茶杯、拿茶叶）→沏茶（1），总1+15+1=17分钟）
三、挑战题（报数游戏：逆向推理）
例3：两人从1开始轮流报数，每次可报1个或2个数，谁先报到30谁胜。若甲先报，甲如何确保获胜？
解题步骤：
1.分析规则：轮流报数，每次1或2个数，报到30胜，甲先报。
2.确定目标：甲需报到30，倒推制胜点：30→27→24→…→3（每轮报数和为3）。
3.制定策略：甲先报2个数（1-2），之后乙报n个数（1或2），甲报3-n个数，确保每轮共报3个数。
4.验证：甲报1-2（到2），乙报3→甲报4-5（到5）；乙报3-4→甲报5（到5）；…最后甲报29-30，获胜。
答案：甲先报1、2，之后乙报n个数，甲报3-n个数，即可报到30获胜。
跟踪练习3：两人从1开始报数，每次报1-3个数，先报到40胜，先报者如何获胜？（提示：制胜点为4的倍数，40是4的倍数，先报者报0个数不可能，应先报40 mod 4=0，此时后取者胜；若总数41，先报1颗，剩40，之后报4-n颗）
1．黑板上写有自然数2到20，甲乙轮流擦去一个，剩下两个数时，若这两个数互质，则甲胜；若这两个数不互质，则乙胜。如果甲先擦，那么甲能保证获胜吗？如能，请给出一种获胜策略；如不能，请说明理由。
2．春节期间，家家都备有糖果，快跟爸爸妈妈玩一玩这个游戏吧：有15颗糖果，你和妈妈（或爸爸）两人轮流取走，每次只能取1颗或2颗，谁取到最后一颗谁就赢。试想：要确保自己获胜，你是先取还是后取？怎样取？
3．桌子上有15个排成一排的硬币，正面朝上。甲、乙两人轮流进行操作，每次操作可以选择翻转连续的1个、2个、3个或4个硬币（翻转是指将正面朝上的硬币变为反面朝上，或将反面朝上的硬币变为正面朝上）。规定：谁操作后使得所有硬币都变为反面朝上，谁就获胜。甲先手，问：甲是否有必胜策略？如果有，请说明理由。
4．下图标出了希望小学一楼教室的位置和每个教室内现有桌椅的套数，要把每个教室的桌椅套数调到一样多，怎样调整最简便？
5．黑板上写有1993个数：2，3，4，…，1994.甲、乙二人轮流擦去黑板上的一个数（甲先擦，乙后擦），如果最后剩下的两个数互质，则甲胜，否则乙胜。问：谁必获胜？必胜的对策是什么？
6．甲、乙两人轮流往5×5的棋盘格子里放旗子，规定每个格子只能放一枚棋子，且每人每次只能放一枚，放下的棋子不能再移动，一直放到棋盘满为止，谁能最后一枚谁就赢。如果甲想赢，是先放还是后放？放哪个格？以后怎样放？
7．5×10的方格棋盘上，黑白两方，各居对角线的一角，轮流走棋。规定：每次只能沿沿横（或竖）线至少移动一步，但不许与对方棋子同在一条直线上，也不许超越对方棋子占据的两条直线。最终谁无路可走为输。问谁可获胜？取胜策略如何？
8．有一只小猴子在深山中发现了一片野香蕉园，它一共摘了300根香蕉，然后要走1000米才能到家，如果它每次最多只能背100根香蕉，并且它每走10米就要吃掉一根香蕉，那么，它最多可以把( )根香蕉带回家？
9．有两堆火柴，一堆3根，另一堆7根。甲、乙两人轮流取火柴，每次可以从每一堆中取任意根火柴，也可以同时从两堆中取相同数目的火柴。每次至少要取走一根火柴。谁取得最后一根火柴谁胜。如果都采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
10．桌子上放着50根火柴，甲、乙二人轮流每次取走1～3根。规定谁取走最后一根火柴谁获胜。如果双方采用最佳方法，甲先取，那么谁将获胜？
11．1111个空格排成一行，最左端空格中放有一枚棋子，甲先乙后轮流向右移动棋子，每次移动1～7个格。规定将棋子移到最后一格者输。甲为了获胜，第一步必须向右移多少格？
12．学校有一个长80米、宽64米的长方形大院，同学们计划用31.4米长的木栅栏围一块地作为劳动实践基地，请你设计一个方案，使基地的面积尽可能大些．
13．甲、乙两人轮流往一个圆桌面上放同样大小的硬币．规则是：每人每次只能放一枚，硬币不许重叠，谁放完最后一枚硬币而使对方再也无处可放，谁就获胜．如果甲先放，那么他怎样放才能取胜？
14．桌上有一块金帝牌巧克力，它被直线划分为排成3行7列的21个小方块．现在让你和对手进行一种两人轮流切巧克力的游戏，规则如下：①每次只许沿一条直线把巧克力切成两块；②拿走其中一块，把另一块留给对手再切；③谁能留给对手恰好是一个小方块，谁就取胜．如果请你首先切巧克力，那么你第一次应该切走多少个小方块，才能使你最后获胜
15．甲和乙两人做数学游戏：在黑板上写一个自然数，轮到谁走时，谁就从该自然数中减去它的某个非零数字，并用所得的差替换原数．两人轮流走，谁所得到的数是零，就算谁赢．如果开始在黑板上写着数1994，并且甲先走，问谁有必胜策略
16．北京和上海分别制成同样型号的车床10台和6台，这些车床准备分配给武汉11台、西安5台，每台车床的运费如下图所示，单位为百元．那么总运费最少是多少元
17．某车队有4辆汽车，担负A，B，C，D，E，F这6个分厂的运输任务，下图标出了各分厂所需的装卸工人数．若各分厂自派装卸工，则共需6+5+8+4+3+7=33人．现在让一部分人跟车装卸，在需要装卸工人较多的分厂再配备装卸工，那么最少需要装卸工人多少名
18．甲、乙两人轮流报数，每人都只能报2、3、5、7中的一个，把两人报的数累加．如果某个人报完数后，累加的和第一次为三位数，那么这个人就获胜．请问：谁有必胜策略？
19．如图，五角星上共有10个交点和15条小线段．甲首先将一枚棋子放在A点上，并由此出发沿某条小线段将棋子移到相邻的一个交点上，之后乙再将棋子沿某条小线段移到下一个相邻的交点上，之后甲再走，…，如此下去．如果要求每条小线段都不能重复经过，并且轮到某人无路可走时便判其失败，那么甲是否有必胜策略？
20．有十个村，坐落大县城出发的一条公路上（如下图所示，距离单位是千米），要安装水管，从县城送自来水供给各村，可以用粗细两种水管，粗管足够供应所有各村 用水，细管只能供一个村用水，粗管每千米要用8000元，细管每千米要用2000元，把粗管和细管适当搭配、互相连接，可以降低工程的总费用，按你认为最 节约的办法，费用应是多少？
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