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同步探究学案
课题 第22章 函数 章末复习 单元 第二十二章 学科 数学 年级 八年级
学习 目标 1．系统梳理常量变量、函数概念、表示法、图象与应用知识体系． 2．巩固列解析式、求取值范围、画图象、读图解题的核心技能． 3．提升综合运用函数解决实际问题的能力，强化数形结合思想．
重点 系统梳理全章知识体系，巩固函数的核心概念、表示方法与应用技能，构建完整的知识网络．
难点 整合各知识点，深化对函数本质的理解，综合运用函数知识解决实际问题，强化数形结合思想的应用．
探究过程
导入新课 【引入思考】 本章知识结构图
新知探究 本节课来研究： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧。 1．举例说明什么是常量和变量． 2．举例说明两个变量x和y满足什么条件时，y是x的函数． 3．函数有哪些表示法？它们各有什么优点？请举例说明． 4．举例说明如何利用函数解决实际问题． 考点梳理： 考点1 确定函数自变量的取值范围
例1：函数中，自变量的取值范围是（ ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 归纳：根据函数的概念，能使函数成立的自变量的值，是自变量的取值范围．求函数中自变量的取值范围一般分为两大类：一是函数解析式，二是实际问题．在函数解析式中又分为四种类型：整式、分式、零指数幂和带根号的式子．特别注意，在实际问题中要考虑实际问题的前提条件． 考点2 从函数图象中获取信息
例2：一辆货车从地开往地，一辆小汽车从地开往地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（ ） ①两车相遇时，货车离地千米； ②两车相距千米时，或； ③小汽车比货车提前到达目的地； ④小汽车到达目的地时，货车离地千米． A．①②④ B．①② C．②③④ D．①④ 归纳：图象信息题的解答方法 （1）理解题意，注意问题中变量之间的数量关系； （2）观察图象，特别是图象中的交点、拐点以及两坐标轴表示的意义等； （3）对这些信息进行处理，解决问题． 考点3 函数的三种表示方法
例3：为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间0510152025量杯中的水量01020304050
(1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 归纳：函数的三种表示方法之间的相互转化 （1）审题：明确自变量、函数，梳理变量间的等量关系； （2）定法：根据问题需求（如计算、查询 、分析趋势），选择 1-2 种核心表示法； （3）转化：按上述技巧完成不同方法间的互转，验证一致性； （4）作答：结合实际意义，用转化后的方法解决问题（如用解析式计算、用图象分析趋势）
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．函数中，自变量的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．下表是小刚给在外地工作的爸爸打长途电话的通话时间和话费记录： 通话时间/1234567…话费/元0.61.21.82.43.03.64.2…
由表格可知，当通话时间为时，需支付话费________元． 3．如图，当温度在时，水的密度（单位：）随着温度（单位：）的变化关系图象，看图象回答问题： (1)图中的自变量是什么？ (2)当温度为时，水的密度为多少？ (3)图中点表示的意义是什么？ 选做题： 4．下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　） ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽； ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 【综合拓展类练习】 5．湘绣是中国的四大名绣之一，以其浓郁的湘楚地方文化特色和高超的刺绣艺术而闻名天下．湘绣是以画稿为蓝本，“以针代笔，以线润色”，通过刺绣工艺进行艺术再创造，不但保存了画稿原有的笔墨神韵，更是增添了物象的真实性和立体感，从而使绣品更加生动逼真、栩栩如生．春假期间，小山和他爸爸两人从家出发，骑自行车沿同一条路到长沙市湘绣研究所参观学习．从小山家到长沙市湘绣研究所的路程是．他们离家的路程（单位：）与骑行时间（单位：）之间的关系如图所示，小山先出发，在途中休息了一段时间，休息后骑行的速度是原来的一半．小山爸爸始终保持匀速骑行． (1)求小山爸爸骑行的速度； (2)小山在途中休息了多长时间？ (3)小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有多远？
课堂小结 说一说：今天这节课，你都有哪些收获？
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列图象中，不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 2．函数，自变量x的取值范围是________． 3．如图是某市某一天的气温变化图，在这一天中，气温随着时间的变化而变化．请观察图象，回答下列问题： (1)上午10时、晚上20时的气温各为多少摄氏度？ (2)在这一天中（凌晨0时到深夜24时均在内），气温什么时候达到最高，最高温度为多少摄氏度？什么时间气温达到最低，最低气温是多少摄氏度？ (3)如果某旅行团这天想去登山，登山的气温最好在以上，请问该旅行团适宜登山的时间从几点开始？共有多长时间适宜登山？ 选做题： 4．如图1，在矩形中，动点从点出发，沿运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则的最大值是（ ） A．12 B．21 C．30 D．78 【综合拓展类作业】 5．如图，在梯形中，， ，动点E从点B 出发，沿着匀速运动，到达点D时停止运动．设点E的运动路程为x（），的面积为y． (1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的函数图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，当点E运动到点A时，的面积为 ．
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第二十二章 函数
第二十二章 函数
章末复习
1．系统梳理常量变量、函数概念、表示法、图象与应用知识体系．
2．巩固列解析式、求取值范围、画图象、读图解题的核心技能．
3．提升综合运用函数解决实际问题的能力，强化数形结合思想．
常量与变量
解析法
函数的概念
函数的表示
函数的应用
列表法
图象法
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
1．举例说明什么是常量和变量．
一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量．
例如：汽车油箱有汽油50L，每千米耗油0.1L，行驶路程为xkm，剩余油量为yL，关系式为y=50 0.1x．
变量：行驶路程x、剩余油量y（数值会随行驶路程而变化）
常量：初始油量50、每千米耗油量0.1（数值始终不变）
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
2．举例说明两个变量x和y满足什么条件时，y是x的函数．
一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数．
例如：正方形面积S与边长x的关系式为S=x2（x>0） ．
当x=2时，S有且只有一个值4与之对应；
当x=3时，S有且只有一个值9与之对应；
所以S是x的函数．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
3．函数有哪些表示法？它们各有什么优点？请举例说明．
解析法、列表法、图象法
解析法优点：简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的关系．
列表法优点：一目了然，由表中已有自变量的每一个值，可以直接得出相应的函数值．
图象法优点：能直观形象地表示函数关系．
例如：y=50 0.1x，能直接计算任意x对应的y值．
例如：水库水位表，可直接读出某一时刻的水位高度．
例如：气温随时间变化的图象，一眼就能看出气温的升降规律．
请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧．
4．举例说明如何利用函数解决实际问题．
利用函数解决实际问题的一般步骤是：
分析变量关系→建立函数模型→利用解析式或图象求解→结合实际意义回答问题．
例如：李明从家到食堂、图书馆的行程问题，距离y是时间x的函数，通过分析图象：
从图象的横坐标和纵坐标，读出食堂离家0.6 km，用时 8 分钟；
从水平线段的长度，算出吃早餐用了25 8=17分钟；
从下降段的时间和距离，算出回家的平均速度；
整个过程就是利用函数图象分析行程、解决实际问题的典型例子．
考点一：确定函数自变量的取值范围
根据函数的概念，能使函数成立的自变量的值，是自变量的取值范围．求函数中自变量的取值范围一般分为两大类：一是函数解析式，二是实际问题．在函数解析式中又分为四种类型：整式、分式、零指数幂和带根号的式子．特别注意，在实际问题中要考虑实际问题的前提条件．
考点一：确定函数自变量的取值范围
考点二：从函数图象中获取信息
图象信息题的解答方法
（1）理解题意，注意问题中变量之间的数量关系；
（2）观察图象，特别是图象中的交点、拐点以及两坐标轴表示的意义等；
（3）对这些信息进行处理，解决问题．
考点二：从函数图象中获取信息
考点三：函数的三种表示方法
考点三：函数的三种表示方法
函数的三种表示方法之间的相互转化
（1）审题：明确自变量、函数，梳理变量间的等量关系；
（2）定法：根据问题需求（如计算、查询 、分析趋势），选择 1-2 种核心表示法；
（3）转化：按上述技巧完成不同方法间的互转，验证一致性；
（4）作答：结合实际意义，用转化后的方法解决问题（如用解析式计算、用图象分析趋势）．
考点三：函数的三种表示方法
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】必做题：
【知识技能类练习】选做题：
【综合拓展类练习】
【综合拓展类练习】
请同学们总结一下本节课所复习的主要内容
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】必做题：
【知识技能类作业】选做题：
【综合拓展类作业】
【综合拓展类作业】中小学教育资源及组卷应用平台
分课时教学设计
第八课时《第22章 函数 章末复习》教学设计
课型 新授课口 复习课 试卷讲评课口 其他课口
教学内容分析 本节课是《函数》单元的复习课，是对全章知识的系统梳理与整合提升．它以知识结构图为框架，串联起常量与变量、函数概念、三种表示法及实际应用等核心内容，帮助学生构建完整的知识网络．本节课既是对前几课时零散知识的巩固强化，也是对函数核心思想与方法的提炼升华，通过回顾与思考引导学生深化对函数本质的理解，强化数形结合思想，为后续一次函数、反比例函数的学习奠定坚实基础，同时提升学生运用函数解决实际问题的综合能力，实现知识的系统化与能力的进阶化．
学习者分析 学生已学完函数全章内容，对常量变量、函数概念、三种表示法及图象应用有了初步认识，但知识较为零散，缺乏系统性梳理，对各知识点间的内在联系理解不足．部分学生在列解析式、求自变量取值范围、解读图象信息等技能上仍存在薄弱环节，综合运用函数解决实际问题的能力有待提升，对“数形结合”思想的理解也不够深入，需要通过系统复习查漏补缺，构建完整的知识体系．
教学目标 1．系统梳理常量变量、函数概念、表示法、图象与应用知识体系． 2．巩固列解析式、求取值范围、画图象、读图解题的核心技能． 3．提升综合运用函数解决实际问题的能力，强化数形结合思想．
教学重点 系统梳理全章知识体系，巩固函数的核心概念、表示方法与应用技能，构建完整的知识网络．
教学难点 整合各知识点，深化对函数本质的理解，综合运用函数知识解决实际问题，强化数形结合思想的应用．
学习活动设计
教师活动学生活动环节一：学习目标教师活动1： 师出示学习目标： 1．系统梳理常量变量、函数概念、表示法、图象与应用知识体系． 2．巩固列解析式、求取值范围、画图象、读图解题的核心技能． 3．提升综合运用函数解决实际问题的能力，强化数形结合思想．学生活动1： 学生齐声读本课的学习目标活动意图说明： 明确本节课的学习目标，使教师的教和学生的学有效结合在一起，激发学生的学习动力，提高学生课堂参与的兴趣与积极性．环节二：知识框图教师活动2： 出示知识框图 学生活动2： 学生认真听老师的讲本章知识架构活动意图说明： 通过出示本章知识框图，让学生对本章所学内容有明确的了解，为进一步进行知识回顾做好准备环节三：回顾思考教师活动3： 请你带着下面的问题，复习一下全章的内容吧． 1．举例说明什么是常量和变量． 预设：一般地，在一个变化过程中，我们称数值始终不变的量为常量，数值发生变化的量为变量． 例如：汽车油箱有汽油50L，每千米耗油0.1L，行驶路程为xkm，剩余油量为yL，关系式为y=50 0.1x． 变量：行驶路程x、剩余油量y（数值会随行驶路程而变化） 常量：初始油量50、每千米耗油量0.1（数值始终不变） 2．举例说明两个变量x和y满足什么条件时，y是x的函数． 预设：一般地，在一个变化过程中，如果有两个变量x与y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说x是自变量，y是x的函数． 例如：正方形面积S与边长x的关系式为S=x2（x>0） ． 当x=2时，S有且只有一个值4与之对应； 当x=3时，S有且只有一个值9与之对应； 所以S是x的函数． 3．函数有哪些表示法？它们各有什么优点？请举例说明． 预设：解析法、列表法、图象法 解析法优点：简单明了，能准确地反映整个变化过程中自变量与函数的关系． 例如：y=50 0.1x，能直接计算任意x对应的y值． 列表法优点：一目了然，由表中已有自变量的每一个值，可以直接得出相应的函数值． 例如：水库水位表，可直接读出某一时刻的水位高度． 图象法优点：能直观形象地表示函数关系． 例如：气温随时间变化的图象，一眼就能看出气温的升降规律． 4．举例说明如何利用函数解决实际问题． 预设：利用函数解决实际问题的一般步骤是： 分析变量关系→建立函数模型→利用解析式或图象求解→结合实际意义回答问题． 例如：李明从家到食堂、图书馆的行程问题，距离y是时间x的函数，通过分析图象： 从图象的横坐标和纵坐标，读出食堂离家0.6 km，用时 8 分钟； 从水平线段的长度，算出吃早餐用了25 8=17分钟； 从下降段的时间和距离，算出回家的平均速度； 整个过程就是利用函数图象分析行程、解决实际问题的典型例子．学生活动3： 学生先独立思考，然后在小组合作探究中完成老师提出的问题活动意图说明： 以问题串的形式创设情境，引起学生的认知冲突，使学生对旧知识设疑并回顾，从而激发学生的学习兴趣和求知欲望环节四：考点梳理教师活动4： 考点1 确定函数自变量的取值范围
例1：函数中，自变量的取值范围是（ ） A．且 B．且 0 C．且 D．且 0且 答案：D 解：∵函数 有意义， ∴需满足： (1)平方根被开方数非负：，即 ； (2)分式分母不为零：； (3)零次幂底数不为零：，即 . 综上， 且 且 . 故选：D. 归纳：根据函数的概念，能使函数成立的自变量的值，是自变量的取值范围．求函数中自变量的取值范围一般分为两大类：一是函数解析式，二是实际问题．在函数解析式中又分为四种类型：整式、分式、零指数幂和带根号的式子．特别注意，在实际问题中要考虑实际问题的前提条件． 考点2 从函数图象中获取信息
例2：一辆货车从地开往地，一辆小汽车从地开往地，同时出发，都匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示，下列说法中正确的是（ ） ①两车相遇时，货车离地千米； ②两车相距千米时，或； ③小汽车比货车提前到达目的地； ④小汽车到达目的地时，货车离地千米． A．①②④ B．①② C．②③④ D．①④ 答案：B 归纳：图象信息题的解答方法 （1）理解题意，注意问题中变量之间的数量关系； （2）观察图象，特别是图象中的交点、拐点以及两坐标轴表示的意义等； （3）对这些信息进行处理，解决问题． 考点3 函数的三种表示方法
例3：为了调查漏水量与漏水时间的关系，小宁同学在滴水的水龙头下放置了一个足够大的且能显示水量的量杯，每记录一次容器中的水量，如下表． 时间0510152025量杯中的水量01020304050
(1)请根据上表的信息，在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，并用平滑曲线连接这些点． (2)观察平面直角坐标系中各点的分布规律，试求出关于的函数解析式． (3)请根据（2）中所求的函数解析式，估算这种漏水状态下小时的漏水量． 解：（1）如图所示． （2）根据图象得，y是关于t 的正比例函数， 设函数解析式为． 把代入， 得． 解得． ∴y 关于t 的函数解析式为； （3）当， 答：这种漏水状态下12小时的漏水量为 归纳：函数的三种表示方法之间的相互转化 （1）审题：明确自变量、函数，梳理变量间的等量关系； （2）定法：根据问题需求（如计算、查询 、分析趋势），选择 1-2 种核心表示法； （3）转化：按上述技巧完成不同方法间的互转，验证一致性； （4）作答：结合实际意义，用转化后的方法解决问题（如用解析式计算、用图象分析趋势）．学生活动4： 学生先独立完成例题，然后小组合作交流，并派代表班内汇报交流活动意图说明： 通过例题，考查查学生对本章所学知识的掌握情况，提高学生综合运用知识解决相关问题能力．环节五：课堂小结教师活动5： 问题：请同学们总结一下本节课所复习的主要内容？ 教师通过学生的回答，进行归纳学生活动5： 学生积极对本节课所复习的内容进行总结活动意图说明： 通过学生自己回顾、总结、梳理所复习的知识，将所学的知识进一步整合，完善本章知识体系．
板书设计 课题：第22章函数章末复习一、知识框图 二、考点梳理 1.确定函数自变量的取值范围 2.从函数图象中获取信息 3.函数的三种表示方法教师板演区学生展示区
课堂练习 【知识技能类练习】 必做题： 1．函数中，自变量的取值范围是（ ） A． B． C． D． 答案：D 2．下表是小刚给在外地工作的爸爸打长途电话的通话时间和话费记录： 通话时间/1234567…话费/元0.61.21.82.43.03.64.2…
由表格可知，当通话时间为时，需支付话费________元． 答案：5.4 3．如图，当温度在时，水的密度（单位：）随着温度（单位：）的变化关系图象，看图象回答问题： (1)图中的自变量是什么？ (2)当温度为时，水的密度为多少？ (3)图中点表示的意义是什么？ 解：（1）由图可知，自变量是温度． （2）由图可知，当温度为时，水的密度为． （3）由图可知，点表示当温度时，水的密度． 选做题： 4．下列三个问题中的两个变量与之间的函数关系可以用如图表示的是（　　） ①用长度一定的绳子围成一个长方形，这个长方形的面积与它的宽； ②汽车从A地匀速驶向B地，汽车离B地的路程与行驶时间； ③将水箱中的水匀速放出，直至放完，水箱中剩余的水量与放水时间． A．①② B．②③ C．①③ D．①②③ 答案：B 【综合拓展类练习】 5．湘绣是中国的四大名绣之一，以其浓郁的湘楚地方文化特色和高超的刺绣艺术而闻名天下．湘绣是以画稿为蓝本，“以针代笔，以线润色”，通过刺绣工艺进行艺术再创造，不但保存了画稿原有的笔墨神韵，更是增添了物象的真实性和立体感，从而使绣品更加生动逼真、栩栩如生．春假期间，小山和他爸爸两人从家出发，骑自行车沿同一条路到长沙市湘绣研究所参观学习．从小山家到长沙市湘绣研究所的路程是．他们离家的路程（单位：）与骑行时间（单位：）之间的关系如图所示，小山先出发，在途中休息了一段时间，休息后骑行的速度是原来的一半．小山爸爸始终保持匀速骑行． (1)求小山爸爸骑行的速度； (2)小山在途中休息了多长时间？ (3)小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有多远？ 解：（1）根据图象可得，， 答：小山爸爸骑行的速度为； （2）小山原来的速度为：， 小山后来的速度为：， 小山休息后骑行的时间为：， ． 答：小山在途中休息了0.5小时； （3）根据题意列方程，得， 解得，， ， 答：小山爸爸追上小山时，离长沙市湘绣研究所还有．
作业设计 【知识技能类作业】 必做题： 1．下列图象中，不能表示是的函数的是（　　） A． B． C． D． 答案：D 2．函数，自变量x的取值范围是________． 答案：且 3．如图是某市某一天的气温变化图，在这一天中，气温随着时间的变化而变化．请观察图象，回答下列问题： (1)上午10时、晚上20时的气温各为多少摄氏度？ (2)在这一天中（凌晨0时到深夜24时均在内），气温什么时候达到最高，最高温度为多少摄氏度？什么时间气温达到最低，最低气温是多少摄氏度？ (3)如果某旅行团这天想去登山，登山的气温最好在以上，请问该旅行团适宜登山的时间从几点开始？共有多长时间适宜登山？ 解：（1）上午10时的气温为，晚上20时的气温为； （2）在这一天中（凌晨0时到深夜24时均在内），下午14时气温达到最高，最高温为；深夜24时气温达到最低，最低温度为； （3）该旅行团适宜登山的时间从上午9时开始，共有9小时适宜登山． 选做题： 4．如图1，在矩形中，动点从点出发，沿运动至点停止．设点运动的路程为，的面积为，如果关于的函数图象如图2所示，则的最大值是（ ） A．12 B．21 C．30 D．78 答案：B 【综合拓展类作业】 5．如图，在梯形中，， ，动点E从点B 出发，沿着匀速运动，到达点D时停止运动．设点E的运动路程为x（），的面积为y． (1)请直接写出y与x之间的函数表达式，并注明自变量x的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中画出该函数的函数图象，并写出函数y的一条性质； (3)结合函数图象，当点E运动到点A时，的面积为 ． 解：（1）当点在上，即时，则， 即 ， 当点在上，即时，，则 ， 即 ， 综上所述，y与x之间的函数表达式为：； （2）如图： 观察函数图象可知， 当时，随的增大而减小； （3）观察图象可知，当点E运动到点A时，即时，， 故此时面积为8．
教学反思 本节课通过知识结构图与回顾问题引导学生梳理全章内容，多数学生能回忆起核心知识点，但部分学生对各知识点间的联系仍不清晰，综合解题能力有待提升．后续复习可增加综合性例题与错题整理环节，帮助学生查漏补缺，同时通过对比辨析强化对易混点的理解，进一步提升学生的知识整合与应用能力．
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