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专题08 二次函数的图象与性质的基础应用
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 二次函数的图象和性质
题型02 二次函数与一元二次方程
题型03 二次函数与不等式
题型04 二次函数与其他函数图象共存问题
题型05 二次函数的图象与系数的关系
题型06 待定系数法求二次函数的解析式
题型07 二次函数中含参数的图象和性质综合问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 二次函数的图象和性质
典例引领
【典例01】（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是
C．当时，随的增大而减小 D．函数有最大值为
【答案】D
【分析】本题考查了二次函数的性质．
将二次函数配方为顶点形式，分析开口方向、顶点坐标、抛物线的增减性和最值．
【详解】解：，，
∴ 抛物线开口向下，顶点坐标为，当 时，随的增大而增大，函数最大值为 ；
故D正确．
故选：D．
【典例02】（2026·上海徐汇·一模）下表给出了二次函数中与之间的一些对应值，则下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标为 B．
C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值
【答案】D
【分析】本题考查了用待定系数法求函数解析式，二次函数的性质．
根据表中数据，得到函数的解析式，根据二次函数的性质逐项判断选项正误即可．
【详解】解：将，，代入得，
解得，
二次函数的解析式为，
顶点坐标为；，该二次函数的对称轴为直线，当时，随的增大而减小；当时，随的增大而增大；函数的最小值为；
故A，B，C错误；D正确．
故选：D．
方法透视
考向解读 1. 图象特征：考查抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，a定开口，-定对称轴。 2. 系数符号：根据图象位置判断a, b, c符号，如c为与y轴交点纵坐标。 3. 增减最值：结合开口与对称轴，判断函数增减区间，求顶点最值或区间内最值。
方法技能 1. 配方找顶点：化为y=a(x-h)2+k，直接读出顶点和对称轴，便于分析性质。 2. 符号巧判断：a, b同号对称轴在左，异号在右；c看与y轴交点位置。 3. 对称比大小：比较函数值看与对称轴距离，开口向上距离越大值越大。
变式演练
【变式01】（2025·贵州遵义·一模）已知二次函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小值是3 B．图象的对称轴是直线
C．图象开口向下 D．图象与x轴有两个交点
【答案】A
【分析】本题考查二次函数图象及其性质，涉及抛物线与x轴交点，对称轴，开口方向，二次函数的最值.先将二次函数解析式化为顶点式，即可判断A、B、C，然后计算的值即可判断D．
【详解】解：∵，
∴该抛物线开口向上，故C不符合题意；
该函数有最小值3，故A符合题意；
该抛物线对称轴是直线，故B不符合题意；
，则该抛物线与x轴没有交点，故D不符合题意．
故选：A．
【变式02】（2025·山东济南·模拟预测）若二次函数的图象与轴交于，两点，且满足，，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．抛物线开口向上
C．当时，的取值范围为
D．关于的方程的一个解小于
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟知二次函数与方程的关系是解题的关键．由二次函数与方程的关系可知，是方程的两个根，利用根与系数的关系即可判断A、B；利用抛物线的对称性及增减性可判断C；利用抛物线与直线交点的情况即可判断D．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴交于，两点，
∴，是方程的两个根，
∴，，故A选项说法正确，不符合题意；
∵，
∴，
∴，
∴抛物线开口向上，故B选项说法正确，不符合题意；
∵的对称轴为直线，
当时，，
∴时，，
∴当或时，，故C选项说法错误，符合题意；
∵抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴当时，随的增大而增小，
∵时，，时，，
故直线与抛物线的交点在轴的上方，
∴关于的方程的一个解小于，故D选项说法正确，不符合题意；
故选：C．
【变式03】（2025·内蒙古·模拟预测）对于二次函数．有下列说法：
①无论k为何值，该函数图象与x轴必有两个交点
②若，则当时，y随x的增大而增大
③无论k为何值，该函数图象一定经过点和两点
④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，则．
其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①④ D．②③
【答案】B
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质（包括与轴交点的判定、增减性、过定点问题及整数交点求解），解题的关键是熟练运用判别式判断交点个数、对称轴公式分析增减性、代入法验证定点及因式分解求交点坐标．
判断①需计算判别式，根据的取值确定交点个数是否必为两个；判断②需先求对称轴，结合时抛物线开口向上的性质，分析与对称轴的位置关系以确定增减性；判断③需将和分别代入函数解析式，验证对应函数值是否为和；判断④需先利用定点将函数因式分解，求出交点坐标，再结合为整数及“两个整数交点”的条件确定的值．
【详解】解：①∵，
∴当时，，函数与轴仅1个交点，故①错误；
②∵当时，抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴，
∴，
∴当时，在对称轴右侧，
∴随增大而增大，故②正确；
③∵当时，，
当时，，
∴函数必过和，故③正确；
④由③知函数过，因式分解得，
令，得交点和，
∵交点为整数，为整数且，
∴为整数，
∴，
当时，，两交点重合（仅1个）；
当时，，两交点为和（均为整数），故，故④正确．
综上，②③④正确．
故选：B．
题型02 二次函数与一元二次方程
典例引领
【典例01】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____．
【答案】4
【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度．
【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ，
把点 的坐标代入 ，
可得： ，
抛物线解析式为 ，
令 ，
可得方程： ，
因式分解得：，
解得：，，
抛物线与 轴交于点 和 ，
点 和点 均在 轴上，
线段 的长度为 ．
故答案为： 4．
【典例02】（2025·山东青岛·模拟预测）若抛物线与轴有两个交点，则k的取值范围是____．
【答案】且
【分析】本题考查抛物线与x轴的交点问题．该抛物线与轴有两个交点，则方程有两个不相等的实数根，可得且，进而可得答案．
【详解】解：∵抛物线与轴有两个交点，
∴，
解得且，
故答案为：且．
方法透视
考向解读 1. 交点与根：二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点横坐标即对应方程ax2+bx+c=0的根。 2. 判别式应用：△ >0两个交点，△=0一个交点，△<0无交点，用于判断根的情况。 3. 函数解不等式：利用图象在x轴上下方，解一元二次不等式，确定x的取值范围。
方法技能 1. 看图写根：由图象与x轴交点直接写出对应方程的根，交点横坐标即解。 2. △定交点：计算判别式判断交点个数，进而确定方程根的情况。 3. 上下定解集：图象在x轴上方对应y>0，下方对应y<0，直接写出不等式解集。
变式演练
【变式01】（2025·浙江宁波·三模）已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为_____．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数与轴的交点问题，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握相关知识是解题的关键．将变形为，由一元二次方程根与系数的关系得到，，，代入即可求解．
【详解】解：二次函数与轴的交点的横坐标为、，
、为方程的两个根，
，，
．
故答案为：．
【变式02】（2025·吉林长春·二模）二次函数的图象与x轴交于点A，B，，则常数m的值为______．
【答案】4或
【分析】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，求二次函数是常数，与x轴的交点坐标，令，即，解关于x的一元二次方程即可求得交点横坐标．
首先根据抛物线与x轴有两个交点求的根的判别式的符号．设，，由根与系数的关系得到，，然后由列出关于m的方程，解方程即可．
【详解】解：二次函数的图象与x轴交于点A，B，
令，即，
∴
设，，
，，
，
，
解得，．
综上所述，m的值为4或．
故答案为：4或
【变式03】（2025·安徽滁州·三模）已知抛物线 的对称轴为直线．
（1）的值为______．
（2）若抛物线 向下平移个单位长度后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是______．
【答案】
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数的平移，掌握知识点的应用是解题的关键．
（）由题意可知，求出的值即可；
（）由题意可知平移后函数解析式为，然后通过二次函数的平移，二次函数的性质即可求解．
【详解】（）由题意可知，
解得，
故答案为：；
（）由题意可知平移后函数解析式为，
当顶点在轴上时，，
解得，即需向上平移个单位长度，不符合条件；
由于抛物线关于对称，
∴抛物线在内对称，
若存在交点，始终有两个交点，若只有一个交点，则抛物线与轴交点只能在，
故当时，，解得，
当时，，解得，
∴的取值范围是，
故答案为：．
题型03 二次函数与不等式
典例引领
【典例01】（2026·上海嘉定·一模）已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是 ______ ．
【答案】
【分析】本题考查的是二次函数的图像与性质，灵活运用函数图像经过的点确定参数并结合顶点坐标求取值范围是解题的关键．根据函数过点求出，进而得到，得到函数最大值为，从而确定时的取值范围．
【详解】解：由二次函数的图象过：
，
，
，
顶点坐标为：，
所以当时，的取值范围是：．
故答案为：．
【典例02】（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是______．
【答案】/
【分析】本题考查了根据二次函数与一次函数的交点确定不等式的解集，由图象并结合交点坐标即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键．
【详解】解：∵二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，
∴由图象可得：关于x的不等式的解集是，
故答案为：．
方法透视
考向解读 1. 图象解不等式：利用二次函数图象在x轴上下方位置，解一元二次不等式 ax2+bx+c>0或<0。 2. 两函数比较：两个函数图象交点划分区间，比较y1 > y2或y1 < y2 的x范围。 3. 参数范围问题：结合不等式恒成立，利用图象最值或判别式求参数取值范围。
方法技能 1. 先找交点：求出二次函数与x轴交点或两函数交点，作为区间分界点。 2. 看图定范围：观察图象上下位置，在交点划分的区间内直接写出满足不等式的x范围。 3. 开口定方向：解ax2+bx+c>0 时，a>0取两边，a<0取中间，结合图象记忆。
变式演练
【变式01】（2026·福建泉州·模拟预测）如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是______．
【答案】或
【分析】本题考查了二次函数图象与不等式的关系，掌握二次函数图象与不等式之间的关系是解题关键．
根据图象判断函数值的大小关系即可．
【详解】解：由图象可知，在点A的左侧和点B的右侧，抛物线在直线的上方，
故当或时，，
故答案为： 或．
【变式02】（2026·河南·一模）在平面直角坐标系中，，为抛物线上任意两点，其中．
(1)当，为何值时，；
(2)若，且抛物线的顶点在轴上，求抛物线的解析式；
(3)若，，当时，求的取值范围．
【答案】(1)当，时，
(2)抛物线的解析式为或
(3)当时，的取值范围为；当时，的取值范围为
【分析】本题考查二次函数的图象与性质，掌握好相关知识是关键．
（1）令，计算出和即可；
（2）先将一般式化为顶点式，求出顶点坐标，根据顶点在轴上，计算出的值，再求出抛物线的解析式；
（3）根据的正负分两类讨论，结合二次函数的增减性，将函数值比大小转换为距离的比较，解不等式即可．
【详解】（1）解：将代入，得，
，
化简，得，
∵，
∴，
解得，，，
∴当，时，；
（2）解：将代入，得，
，
变形，得，
∴抛物线的顶点坐标为，
∵抛物线的顶点在轴上，
∴，
解得，或，
∴抛物线的解析式为或；
（3）解：抛物线的对称轴为直线，
①当时，
抛物线开口向上，离对称轴越近，函数值越小．
∵，
∴，即
∴，
解得，；
②当时，
抛物线开口向下，离对称轴越近，函数值越大．
∵，
∴，即，
∴或，
∵，
∴，即，
∴，
解得，．
综上所述，当，的取值范围为；当，的取值范围为．
【变式03】（2025·浙江杭州·三模）已知二次函数（），点，都在该二次函数的图象上
(1)用含n的代数式表示m．
(2)当时，y随x的增大而减小，求n的值范围
(3)若，求n的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
(3)或．
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，解不等式，解题的关键是理清题中多个参数，逐步根据关系列不等式求解．
（1）根据A，C两点的坐标特征以及对称轴的求法，根据对称轴的不同求法列出等式，整理即可；
（2）由题意得到抛物线开口向下，对称轴为直线，则当时，y随x的增大而减小，又当时，y随x的增大而减小，则，再由，且，即可求出n的值范围；
（3）利用（1）中结论，分别将点B和点C代入函数表达式，根据q的范围列出相应不等式，进而求解即可．
【详解】（1）解：∵都在二次函数的图象上，
∴对称轴为直线，
又对称轴为直线，
∴；
（2）解：∵（）中，，
∴抛物线开口向下，
∵对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵当时，y随x的增大而减小，
∴，
∴；
∵，且，
∴，
解得，
故；
（3）解：∵，，
∴，解得：，此时对称轴在y轴右侧，
令，则，
令，则，
解得：，则，解得：；
令，则，
∵，，
∴ ，
整理得：，
令，再令，
解得：或，
如图，二次函数开口向上，与横轴交于和，
若，则或，
综上：n的取值范围是或．
题型04 二次函数与其他函数图象共存问题
典例引领
【典例01】（2025·宁夏银川·一模）同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象的性质，根据一次函数和二次函数的解析式可得一次函数与轴的交点为，二次函数的开口向上，据此判断二次函数的图象，掌握相关知识是解题的关键．
【详解】解：当时，二次函数顶点在轴正半轴，一次函数经过一、二、四象限，
当时，二次函数顶点在轴负半轴，一次函数经过一、二、三象限，
∴符合题意的是选项，
故选：．
【典例02】（2025·河南濮阳·一模）已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了一次函数与二次函数综合判断，正确根据二次函数推出，是解题的关键．先根据二次函数图象求出，，再根据一次函数图象与其系数的关系判断出一次函数经过的象限即可得到答案．
【详解】解：由二次函数图象可知，二次函数开口向上，对称轴在y轴右侧，
∴，
∴，
∴一次函数的图象经过第一、三、四象限，
∴四个选项中只有A选项符合题意，
故选：A．
方法透视
考向解读 1. 系数一致性：同一坐标系中二次函数y= ax2+bx+c与一次函数y=kx+b或反比例函数 y=的系数符号必须一致。 2. 图象位置矛盾：根据开口方向、对称轴、与坐标轴交点等特征，排除不符合系数关系的选项。 3. 特殊点验证：取x=0、x=1等特殊值，验证两函数图象是否同时经过某些特殊点。
方法技能 1. 系数定范围：由一次函数或反比例函数图象确定系数符号，代入二次函数判断是否一致。 2. 逐项排除：先看二次函数开口方向与a符号，再看对称轴与a,b关系，逐步排除矛盾选项。 3. 特殊值检验：取x=0看y轴交点，取x=1看函数值，快速验证图象是否可能共存。
变式演练
【变式01】（2025·宁夏·模拟预测）当时，函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象和性质．根据一次函数和二次函数的图象和性质，逐项判断，即可求解．
【详解】A．由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，则，矛盾，不符合题意；
B．由一次函数的图象可知：，由二次函数的图象可知：，则，矛盾，不符合题意；
C．由一次函数的图象可知：，，则，由二次函数的图象可知：，则，一致，符合题意；
D．由一次函数的图象可知：，则，由二次函数的图象可知：，则，矛盾，不符合题意．
故选：C．
【变式02】（2025·安徽合肥·三模）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，根据反比例函数图象确定出k是负数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与y轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解．
【详解】解：∵反比例函数图象位于第二、四象限，
∴，
∴，
∴二次函数图象开口向上，
又，
∴二次函数图象与y轴的交点在y轴负半轴，
对称轴为直线，
∴对称轴在y轴左边，
纵观各选项，只有A选项符合．
故选：A．
【变式02】（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
【答案】A
【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可；
【详解】解：对于一次函数，由图象知，，
∴，，对于二次函数，
∵，，
∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C；
∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方，
∴，
∴，
∴反比例函数的图象经过一、三象限，
∴选项A符合题意，
故选：A．
题型05 二次函数的图象与系数的关系
典例引领
【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）．
①a；②；③c；④；⑤．
【答案】①②⑤
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定．根据对称轴、开口方向、可判断①②；根据图象与轴的交点位置可判断③，根据图象与轴的交点个数可判断④；根据时函数的值可判断⑤．
【详解】解：①∵抛物线开口向下，
∴，符合题意；
②∵抛物线的对称轴是直线，且，
∴，
∴， 符合题意；
③∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴，
∴，不符合题意；
④∵图象与x轴有2个交点，
∴，不符合题意；
⑤∵时，，
∴，符合题意；
故答案为：①②⑤．
【典例02】（2025·四川绵阳·三模）已知二次函数的图象如图所示，根据已知信息有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______．
【答案】①②④
【分析】本题主要考查二次函数的图象及性质，做题时会用数形结合的思想进行思考，从而判断函数解析式中各系数关系的正负性是解题的关键．由二次函数的图象及性质，逐个结论进行判段，从而解答本题．
【详解】解：由抛物线的开口方向可知：，
由对称轴的位置，可知：，
不等式两边同时乘以得：，
可得：，，
结论①正确；②正确；
由，，可知：，
由抛物线与轴的交点可知：，
，
结论③错误；
由二次函数与一元二次方程的联系得，关于的方程有两个不相等的实数根，
，
，
由上可知，，，，
，，
，
结论④正确；
综上所述：①②④正确；
故答案为：①②④．
方法透视
考向解读 1. a定开口：a>0开口向上，a<0开口向下，|a|越大开口越小。 2. a,b定对称轴：对称轴x=-，a,b同号时对称轴在y轴左侧，异号在右侧。 3. c定交点：c为抛物线与y轴交点的纵坐标，c>0交正半轴，c<0交负半轴。
方法技能 1. 看图定符号：根据开口定a，根据与y轴交点定c，根据对称轴位置定a,b同异号。 2. 特殊点代入：取 x=1、x=-1等特殊点，代入解析式得到a+b+c、a-b+c的符号。 3. 结合判别式：图象与x轴交点个数由△决定，交点位置结合对称轴分析。
变式演练
【变式01】（2025·贵州铜仁·三模）已知抛物线的图象如图所示，有下列结论：
①；
②二次函数图象的对称轴是直线；
③当时，y随x的增大而减小；
④方程的解为，．
其中正确的结论有______．
【答案】①②④
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质以及二次函数与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键；
根据函数图象可得抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于与两点，即得，，二次函数图象的对称轴是直线，方程的解为，，再进一步判断即可求解.
【详解】解：根据函数的图象可得：
抛物线开口向下，与y轴交于正半轴，与x轴交于与两点，
∴，，二次函数图象的对称轴是直线，方程的解为，，结论②④正确；
∴，当时，y随x的增大而增大，结论③错误；
∴，
∴，结论①正确；
故答案为：①②④.
【变式02】（2025·四川自贡·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下面五个结论正确的序号为_____．
①； ②； ③；④；⑤时，
【答案】②③④⑤
【分析】此题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，解题关键是注意掌握数形结合思想的应用．
根据对称轴位置及图象开口向上可判断出的符号，从而判断①；利用对称轴，可判断②；利用对称轴和开口向上，即可判断最小值，从而判断③的正误；由二次函数的性质即可判断④；由推出，，得到，即可得到，可判断⑤．
【详解】解：抛物线开口向上，
，
抛物线对称轴为直线，
，
，
，
抛物线与轴交于点在轴的负半轴，
，
，
故结论①错误；
二次函数的图象与轴交于点，对称轴为直线，抛物线与轴的另一个交点为，
，
故结论②正确；
，
，
，
，
，
故结论③正确；
对称轴为直线，
函数的最小值为，
，
，
故结论④正确；
，
，
，
，
，
，
，
，
故结论⑤正确；
综上所述，结论正确的是②③④⑤；
故答案为：②③④⑤．
【变式03】（2025·四川绵阳·一模）抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．有以下四个结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点为；④点一定在此抛物线上．其中正确的结论是______．（填序号）
【答案】②③④
【分析】本题主要考查了二次函数的图像和性质，由函数图像开口向下，与y轴交于正半轴可知：，，在根据可得出，即可判断①，由代入②即可判断②，根据二次函数的对称性可判断③，把代入得出，进而可得出，即可判断④．
【详解】解：根据函数图像开口向下，与y轴交于正半轴可知：，，
∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
∴，故①错误，
∵，
∴，故②正确．
∵点关于对称轴为直线的对称点为，
∴抛物线与x轴的另一个交点为，故③正确，
∵抛物线经过点，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴ ，
∵在抛物线上，
∴点一定在此抛物线上，故④正确．
综上：②③④正确，
故答案为：②③④
题型06 待定系数法求二次函数的解析式
典例引领
【典例01】（2026·上海黄浦·一模）已知抛物线经过点和．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)指出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明这条抛物线的变化情况．
【答案】(1)
(2)开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式以及二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是本题的关键．
（1）用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）把解析式化成顶点式，根据抛物线的性质即可求得．
【详解】（1）解：∵抛物线经过点和
∴把和代入解析式得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）解：，
∴抛物线的开口向上，对称轴为直线，顶点坐标为，
当时，y随x增大而减小，当时，y随x增大而增大．
【典例02】（2026·甘肃白银·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点在轴上，且，动点在过三点的抛物线上．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)在直线上方的抛物线上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，点的坐标为，面积的最大值为8
【分析】（1）根据点的坐标为，即可求出，，再求出点，，利用待定系数法即可求出函数的解析式；
（2）过点作轴，交于点，先求出的函数解析式为，然后设，则，即可得到，根据三角形的面积公式即可得出，根据二次函数的性质可得到当时，有最大值．
【详解】（1）解：∵点的坐标为，
∴，
∵，
∴，，
∴，，
设抛物线的函数解析式为，
将，，代入，
得 ，解得，
∴抛物线的函数解析式为．
（2）解：存在，
如图，过点作轴，交于点，
由，，易得直线的函数解析式为，
设，则，
∴，
∴，
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，有最大值，最大值为8，此时，
∴点的坐标为，面积的最大值为8．
方法透视
考向解读 1. 三点式：已知抛物线上三个点坐标，设一般式y=ax2+bx+c，代入解方程组求a,b,c。 2. 顶点式：已知顶点(h,k)和另一点，设y=a(x-h)2+k，代入另一点求a。 3. 交点式：已知与x轴交点(x1,0)、(x2,0)和另一点，设y=a(x-x1)(x-x2)，代入另一点求a。
方法技能 1. 选式看条件：已知三点设一般式，已知顶点设顶点式，已知与x轴交点设交点式，简化计算。 2. 代入求系数：将点坐标代入所设解析式，得到方程或方程组，解出待定系数。 3. 回代得解析：求出系数后代入所设形式，化为一般式或保留指定形式作为答案。
变式演练
【变式01】（2026·陕西西安·二模）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)存在，或或
【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可；
（2）根据二次函数解析式求出顶点P，利用待定系数法求出直线的解析式，从而求出点，进而求出，过点Q作x轴的垂线，交于点F，设，，可求，再根据，可得，解方程求出m的值，代入解析式求出点的纵坐标，即可求解．
【详解】（1）解：抛物线过点、，
，解得，
该抛物线的解析式为；
（2）解：存在点Q，使得与的面积相等，
，
顶点，
当时，，则，
设直线的解析式为，
过点，，
，解得，
直线的解析式为，
当时，，则，
，
与的面积相等，
，
如图，过点Q作x轴的垂线，交于点F，
设，则，
，
，
，即，
或，
解得或2或或，
，
舍去，
当时，；
当时，；
当时，；
或或．
【变式02】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线的函数表达式为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)是抛物线上第一象限内的一点，连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在轴上取点是轴上一动点，当过点的抛物线与线段有且只有一个交点时，直接写出的取值范围．
【答案】(1)抛物线的函数表达式为
(2)点的坐标为
(3)的取值范围为或
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、坐标与图形的性质、二次函数的性质、割补法求三角形的面积，解答的关键是认真审题，寻找知识点的关联点，利用待定系数法、割补法和数形结合思想进行推理、探究和计算．
（1）由待定系数法进行求解即可；
（2）过点作轴交于点，求出的表达式，当最大时，最大，求解即可
（3）根据点在抛物线上，可先得出抛物线的表达式为，先对或进行分类讨论，其中发现时，抛物线与线段无交点；时，对点与点重合、抛物线过点、抛物线与线段相切三种情况进行分类讨论，根据图像进行求解即可．
【详解】（1）解：对于，令，则，
点的坐标为．
将点代入，得．
直线的函数表达式为，
令，则，解得，
点的坐标为，
将点代入，
得，解得，
抛物线的函数表达式为．
（2）如图1，过点作轴交于点．
设点，则，
，
，
，
当时，有最大值，最大值为8，
此时点的坐标为．
（3）由（2）知，点坐标为，
又∵，
直线的函数表达式为，
抛物线过点，
可设抛物线的函数表达式为，
在抛物线上，
，
抛物线的函数表达式为，
①当时，
，
抛物线开口向上。
又，
，
抛物线与线段无交点．
②ⅰ）当，且点与点重合时，作出图形如图2所示，
此时．
抛物线与线段只有一个交点，
．
ⅱ）当，且抛物线过点时，作出图形如图3所示．
将代入，得．
抛物线与线段只有一个交点，
．
．
③当抛物线与线段相切时，
联立，
整理，得，
，
整理，得，
解得或（舍去）．
综上所述，的取值范围为或．
【变式03】（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点．
①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式；
②如果与相似，求平移的距离．
【答案】(1)，顶点
(2)①；②或5
【分析】（1）将点代入抛物线，求出，进而再求顶点坐标即可；
（2）①由题易得轴，，证，可得，即可得解；
②设抛物线向上平移了个单位，则，先求出，直线表达式，直线表达式，联立求出点，则，分两种情况讨论：当时，当时，然后分类求解即可．
【详解】（1）解：将点代入抛物线得，
，
解得，
∴抛物线的表达式为，
∴对称轴为直线，
当时，，
∴顶点；
（2）解：①对于抛物线，令，得，
，
∵，
则轴，且，
过作，交延长线于点，
，
，
，
由题可知点向上平移到点，
则轴，即，
，
平分，
，
在和中，
，
，
，
∴点向上平移 4 个单位到点，即抛物线向上平移 4 个单位，
∴平移之后的抛物线的表达式为；
②解：设抛物线向上平移了个单位，
∴，
令，得或 6 ，
∴，
设直线的表达式为，
代入可得，解得：，
故直线的表达式为，
设直线的表达式为，
代入可得，解得：，
故直线的表达式为，
联立，
解得，
即，
，
∵，轴，轴，
∴，
∴分两种情况讨论：
当时，
则，即，
解得；
当时，
则，即，
解得；
综上，平移的距离为5或个单位．
题型07 二次函数中含参数的图象和性质的综合问题
典例引领
【典例01】（2025·河北唐山·模拟预测）已知抛物线．
(1)若此抛物线与直线只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点．
①求此抛物线的解析式；
②以点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线，若这两条抛物线有公共点，求的取值范围。
(2)若，将此抛物线向上平移个单位，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由．
【答案】(1)①；②
(2)，理由见解析
【分析】（1）①联立抛物线与直线的解析式，结合两者只有一个公共点的条件，利用一元二次方程有两个相等实根的判别式求出的值，再根据二次函数向右平移1个单位的平移规律写出平移后的解析式，代入已知点求出的值，进而确定原抛物线的解析式；
②先将原抛物线配方为顶点式，再利用中点坐标公式求出原抛物线上任一点关于点的对称点坐标，代入原解析式推导出对称抛物线的解析式，联立两条抛物线解析式得到一元二次方程，结合有公共点的条件，利用一元二次方程有实数根的判别式求出的取值范围；
（2）先根据二次函数向上平移个单位的平移规律写出平移后的解析式，代入、的条件求出关于、的表达式，结合确定抛物线开口向上，再根据时且时的条件得出该区间内函数单调递减，进而得到对称轴满足的不等关系，将的表达式代入后化简推导，结合的条件比较出与1的大小．
【详解】（1）①解：联立抛物线与直线，
得：，整理为．
∵抛物线与直线只有一个公共点，
∴该一元二次方程有两个相等的实根，
判别式，解得，
解析式为：，
抛物线向右平移1个单位，平移后的解析式为：．
∵平移后的抛物线过点，
∴，即，解得．
∴原抛物线的解析式为．
②解：，
∴原抛物线的顶点为，开口向下．
设原抛物线上任意一点关于点的对称点为，
根据中点坐标公式，得，，解得，．
将，代入原抛物线解析式，
得，整理得，
即对称后的抛物线解析式为．
联立，得，
整理得．
∵该一元二次方程有实数根，
∴判别式，解得；
（2）解：，理由如下：
将抛物线向上平移个单位长度，得到的解析式为．
∵当时，，
∴将，代入得，整理得．
∵，
∴是开口向上的二次函数．
∵当时，；当时，，
∴当时，随着的增大而减小，
∴，即，
∴，整理得．
∵，
∴．
【典例02】（2026·山东滨州·一模）已知二次函数，其中a，b为常数．
(1)当，时，求该函数的顶点坐标．
(2)当，对称轴在之间时，函数的最小值为．
①求二次函数解析式；
②过点作与x轴平行的直线交该抛物线于B，C两点，当点B，C均位于y轴左侧，且点B为线段的中点时，求t的值．
【答案】(1)该函数的顶点坐标为
(2)①；②
【分析】（1）把，代入中求出二次函数解析式，再化为顶点式即可求解；
（2）①把代入中，得，得对称轴为直线，且此时，则可得，再结合对称轴在之间，即可求出a的值，即可求解；
②由题意可得点B，C的纵坐标均为t，设B的横坐标为，C的横坐标为，由对称性求得，再利用点B为线段的中点，求得，即可求解．
【详解】（1）解：把，代入中，
得，
所以该函数的顶点坐标为；
（2）解：①把代入中，
得，
所以对称轴为直线，
把代入中，得，
∵函数的最小值为，且二次项系数，
∴，
解得，
又因为对称轴在之间，
即
则，
故，
∴二次函数解析式为；
②由①知，
∴对称轴为直线，
∵点在y轴上，过点作与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，
∴点B，C的纵坐标均为t，
设B的横坐标为，C的横坐标为，
∵B，C关于直线对称，
∴，
∴，
∵点B为线段的中点，
∴，即，
∴，
∴，
将代入，
得，
∴．
方法透视
考向解读 1. 参数与图象：考查含参二次函数图象的开口、对称轴、顶点随参数变化规律，分析图象特征。 2. 参数与最值：结合参数范围，求二次函数在给定区间上的最值，需分类讨论对称轴位置。 3. 恒成立问题：利用判别式、顶点坐标或图象位置，求参数取值范围使不等式恒成立。
方法技能 1. 配方显顶点：将含参二次函数配方为顶点式，直接读出顶点坐标关于参数的表达式。 2. 分类讨论对称轴：求区间最值时，按对称轴在区间左、中、右三种情况讨论最值位置。 3. 分离参数法：恒成立问题常转化为最值问题，分离参数后求另一侧函数的最值。
变式演练
【变式01】（2026·安徽阜阳·一模）已知抛物线（a，b，c是常数，，且）的最小值是．
(1)若该抛物线的对称轴为直线，并且经过点，求抛物线对应的函数表达式．
(2)若直线经过抛物线的顶点．
①求抛物线的顶点坐标；
②，是抛物线上的两点，且，求p的取值范围．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】（1）根据题意可得抛物线的顶点为，设顶点式，再将点代入求值即可；
（2）①根据二次函数的性质可得顶点为，将代入直线解析式，根据解方程，即可解答；
②将，代入抛物线解析式，利用解不等式即可．
【详解】（1）解：根据题意，得抛物线的顶点坐标为．
设抛物线对应的函数表达式为，
把代入，可得
解得，
抛物线对应的函数表达式为；
（2）解：①根据，
可得二次函数的顶点为，
把代入，
得，
化简，得．
，
，
，
，
抛物线的顶点坐标为；
②设抛物线对应的函数表达式为．
，．
．
，
，
，
，
．
【变式02】（2026·上海长宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点．
(1)已知．
①求抛物线的表达式．
②若点为该抛物线上一点，且的重心恰好落在轴上，求点的坐标．
(2)坐标平面内有点，如果抛物线与线段有且只有一个公共点，求的值或取值范围．
【答案】(1)①抛物线的表达式为；②点B的坐标为或
(2)当或时，抛物线与线段有且只有一个公共点
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，结合三角函数、一元二次方程等知识点，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
（1）①由，判断出点的坐标，利用待定系数法求函数表达式即可；②由重心的性质，结合相似三角形即可求出点的坐标；
（2）结合函数图像，可判断当顶点恰好在线段上时满足该情况，结合图像判断，由于时，函数值，在点下方，故时，函数值应在点上方，也可满足抛物线与线段有且只有一个公共点，据此求出的取值和取值范围．
【详解】（1）解：①当时，，
故点坐标为，
∴，
∵，
∴，
∴，且在轴负半轴上，
∴点的坐标为，
代入，得，
解得，
∴抛物线的表达式为．
②解：∵重心是三角形中线的交点，且重心将中线分割成长度为的线段，若重心在轴上，则点一定在轴的下方，
令中点为，重心为点,过点作轴交轴于点，过点作x轴交轴于点，如下图所示：
由，，
得点的坐标为
假设点的坐标为，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
即，
得，
解得（图左）或（图右），
当时，，
当时，，
故点B的坐标为或．
（2）解：图象开口向下，且经过点，
由此判断当时，函数对称轴为直线，
∴当时，函数值随的增大而减小，故不可能会与线段有交点，
∴，
当抛物线时，得，
化简得
要使方程有一个解，且对应的解应在的范围内，
则，
解得或（舍去），
当时，，
解得（舍去）或（满足），
故当时，满足抛物线与线段有且只有一个公共点；
随着的增大，函数与线段有两个交点，
∵当时，函数值，在点下方，
当时，函数值应在点上方，即即可满足要求，
得，
解得，
综上所述，当或时，抛物线与线段有且只有一个公共点．
【变式03】（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当点在这个函数图象上时，
①求抛物线的函数关系式．
②抛物线上有一点到轴的距离为1，求点坐标．
(2)当时，函数图象上只有两个点到轴的距离等于2，求的取值范围．
(3)在平面直角坐标系中，点，点，连接．直接写出抛物线与线段只有一个公共点时的取值范围．
【答案】(1)①；②点的坐标为或或
(2)
(3)或或
【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法求函数解析式，运用数形结合思想是解题的关键．
（1）①代入点到，求出的值即可解答；②令或，求出对应的值即可解答；
（2）根据二次函数的性质可知图象开口向上，顶点坐标为，再结合题意列出关于的不等式，即可求解；
（3）分和两种情况讨论，结合图象列出关于的不等式，从而可求得的取值范围．
【详解】（1）解：①代入点到得：，解得，
∴抛物线的函数关系式为；
②当时，，
解得，；
当时，，
解得；
∴点的坐标为或或；
（2）解：抛物线，，
∴抛物线图象开口向上，顶点坐标为，
∵函数图象上只有两个点到轴的距离等于2，
∴，
解得；
（3）解：①当时，
当顶点在直线上，符合条件，
即，解得；
当抛物线过点时，与抛物线有两个交点，
根据函数的对称性，只要时，，即符合条件，
则，
解得；
故抛物线与线段只有一个交点时，或；
②当时，
根据函数的对称性，只要时，，即符合条件，
则，
解得；
综上，的取值范围为或或．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2025·甘肃嘉峪关·二模）下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数的性质．需验证抛物线是否经过原点（时）以及对称轴是否为直线，可通过二次函数的对称轴公式或顶点式特点逐项分析即可解答．
【详解】解：选项中，当时，，该抛物线不经过原点，不符合题意；
选项中，当时，，经过原点，又对称轴为，不符合题意；
选项中，当时，，经过原点，又对称轴为，符合题意；
选项中，当时，，该抛物线不经过原点，不符合题意；
故选：．
2．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是
【答案】D
【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可．
【详解】解：∵，
∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，，
∴抛物线与轴的交点坐标是；
当时，，
∴顶点坐标是；
综上：只有选项D正确；
故选D．
3．（2026·河南周口·一模）若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根据抛物线与x轴有且只有一个交点，得到，结合二次项的系数不为0，进行求解即可．
【详解】解：二次函数的图象与轴只有一个交点，
．
解得 ．
4．（25-26九年级上·宁夏银川·月考）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系，一次函数的图象，反比例函数的图象，
根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定，推出，可得由抛物线与y轴的交点位置确定，然后根据一次函数图象与系数的关系可判断一次函数经过第一、二、四象限，根据反比例函数的性质得到反比例函数图象在第一、三象限，由此可对各选项进行判断．
【详解】解：抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线对称轴在轴右侧，
∴，
∴，
∴，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴，
对于一次函数，图象经过第二、三、四象限；
对于反比例函数，图象分布在第二、四象限；
综上，只有选项C的图象符合题意，
故选：C．
5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与轴的交点为和点；与轴的交点在与之间（包括端点）．其中正确结论的个数是（）
①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤．
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【分析】根据二次函数的图象与轴有两个交点，得，可判断①；根据对称轴为,得，根据二次函数图象交x轴于点，得，得，可判断②；根据点，，都在抛物线上，且的对称点为，当时，y随x的增大而增大， ，得，可判断③；根据直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交，和方程无实根，可判断④；根据二次函数的图象交y轴于点，得，由，得，由顶点，得，得, 即得，可判断⑤．
【详解】解：∵二次函数的图象与轴的交点为和点，
∴，
∴①正确；
∵顶点坐标为，
∴对称轴为直线，
∵对称轴为，
∴，
∴，
把代入，
得，
∴，
∴②不正确；
∵二次函数对称轴为，开口向下，
∴当时，y随x的增大而增大，
∵点，，都在抛物线上，的对称点为，且，
∴，
∴③不正确；
∵直线在二次函数的图象上方，与二次函数图象不相交，
∴方程无实根，
∴④正确；
对，令，则，
∴二次函数的图象交y轴于点，
∴，
∵，
∴
把代入，
得.
∴，
即．
∴⑤正确．
∴正确的有①④⑤，共3个．
故选：B．
【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质．熟练掌握二次函数图象开口方向，二次函数图象与ｘ轴、y轴的交点，对称轴，顶点坐标，二次函数的对称性增减性，从函数图像中获取信息，是解题的关键．
二、填空题
6．（2026·安徽阜阳·一模）抛物线的对称轴为直线________．
【答案】1
【分析】将二次函数的一般式化为顶点式，即可求解对称轴．
【详解】解：，
抛物线的对称轴为直线．
7．（2026·上海徐汇·一模）已知是抛物线上的两点，那么______（填“”、“”或“”）．
【答案】
【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口方向向上，对称轴为直线，则离对称轴越远，函数值越大，求出两个点到对称轴的距离，比较即可得到答案．
【详解】解：∵抛物线解析式为，，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴离对称轴越远，函数值越大，
∵是抛物线上的两点，且，
∴，
故答案为：．
8．（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，二次函数与一次函数相交于、，则关于x的不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】此题考查了一次函数与二次函数图象交点问题，利用交点求不等式的解集，解答本题的关键是熟练掌握图象在上方的部分对应的函数值较大．
找到二次函数的图象在一次函数的图象下方的部分对应的x的值即可．
【详解】解：由图象交点可得，当时，，
故答案为：．
9．（2025·山东青岛·模拟预测）若二次函数与x轴有两个交点，则的取值范围是__________．
【答案】且
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，解题的关键是掌握二次函数与一元二次方程的关系．
先根据二次函数与x轴有两个交点，可知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，再根据一元二次方程的判别式可得，注意二次项系数不为0，解不等式即可求出k的取值范围．
【详解】解：此函数是二次函数，
，
二次函数与x轴有两个交点，
关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，
，
，
的取值范围是且，
故答案为：且．
10．（2025·安徽蚌埠·二模）已知和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点．
（1）若，且，则的值为______；
（2）若函数的图象与轴仅有一个交点，则的值为______．
【答案】 1
【分析】（1）根据题意是方程的两个根，且，，得到，结合，得到，因式分解即可；
（2）根据题意，得，一定是抛物线的顶点，得到，，，故，得，从而得到，解答即可．
本题考查了抛物线的顶点坐标应用，抛物线与一元二次方程，根与系数关系定理，因式分解，完全平方公式应用，熟练掌握抛物线性质，抛物线与一元二次方程的关系是解题的关键．
【详解】（1）∵和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点．
∴是方程的两个根，且，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：；
（2）解：根据题意得，
∵函数的图象与轴仅有一个交点，
∴一定是抛物线的顶点，
∴，，
∴，，
∵和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点．
∴是方程的两个根，且，，
∴，
∴，，，
∴，，，
∴，
∴，
解得，
∴，
故答案为：1．
三、解答题
11．（2025·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点和．
(1)求b，c的值；
(2)若点在函数的图象上，求m的值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】本题考查了二次函数的性质．
（1）将点和代入计算即可；
（2）将点的横坐标代入已求出的抛物线方程，计算对应的y值即得m．
【详解】（1）解：将点和代入得：
，
解得：；
（2）解：由（1）知抛物线方程为，
∵点在函数的图象上，
∴．
12．（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示．
x … 0 1 2 …
y … 0 m 4 4.5 4 2.5 0 …
(1)求m的值和二次函数的解析式；
(2)将该二次函数的图像上下或左右平移后得到新的抛物线，如果新抛物线经过原点，请直接写出三种平移的方式；
(3)选择（2）中一种平移方式说明你是如何获得解题思路的．
【答案】(1)，
(2)向下平移4个单位；向右移1个单位，下移个单位；向左移2个单位
(3)见详解
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式及二次函数的平移问题．
（1）利用二次函数对称性，和的y值相等，得对称轴，和关于对称轴对称，故m等于时的y值，再用交点式设解析式，代入已知点求系数a，展开得一般式；
（2）上下平移改变常数项，左右平移改变顶点坐标，据此得出二次函数的平移过程；
（3）选择上下平移方式，说明平移对解析式的影响，再将原抛物线顶点式展开得一般式，由上下平移改变常数项即可得出结果．
【详解】（1）解：由表可知，抛物线对称轴为，
∴顶点坐标为，
∴与时的y值相等，
∴，
设，
将代入，
∴，
∴．
（2）解：向下平移4个单位，；
向右移1个单位，再向下移个单位，；
向左移2个单位，．
（3）解：向下平移4个单位：
，
∵抛物线过原点时常数项为0，
∴向下平移4个单位即可过．
13．（2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求A、B、F三点构成的三角形的面积；
(3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)
(3)点D坐标为
【分析】本题是二次函数综合题，涉及待定系数法求函数解析式、二次函数的图象与性质、坐标与图形、相似三角形的判定与性质、解一元二次方程等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用，利用数形结合思想求解是解答的关键．
（1）利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）将解析式化为顶点式，得出，确定，然后结合图形求面积即可；
（3）设点D坐标为，则，证明得到，则，利用二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：由题意，将、代入中，
得，
解得，
∴二次函数的解析式为；
（2），
∴，
当时，，
解得：，
∴，
∴，
连接，
∴A、B、F三点构成的三角形的面积为：；
（3）解：根据题意，设点D坐标为，则，
∵、，
∴，，则，
∵，
∴，
∴，
∴，即，
∴，
∴，
∵，
∴当时，的面积最大，此时点D坐标为．
14．（2025·浙江丽水·二模）已知二次函数（a，b为常数，）的图象经过点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若时，，求m的取值范围；
(3)若时，y的最大值为，求n的值．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本题考查二次函数的表达式求解、给定区间下函数值的范围以及区间内最大值问题．
（1）利用待定系数法求解析式；
（2）通过分析函数图象和不等式确定m的范围；
（3）通过区间位置讨论最大值存在条件，并解方程求n的值．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过点，
∴代入得：
，
即，
解得，
∴二次函数的表达式为．
（2）解：∵，
∴函数最小值为，且当时，，当时，．
∵时，，且恒成立，
∴只需，即，且，
即，
∴，
∴，
又∵，
∴m的取值范围为；
（3）解：∵，
∵，
当时，函数在区间上递减，最大值在处，
∴，
设最大值为，
∴，
即，
解得或，
∵，
∴；
当时，函数的最大值在处，同理解得或，不符合题意舍去；
当时，函数的最大值不存在；
当时，即，函数在递增，函数的最大值不存在，
综上，．
15．（2025·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点
(1)若该二次函数图象的顶点坐标为，求抛物线的解析式；
(2)设该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为若，，求面积的最大值，并说明此时b的值；
(3)已知，点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，直接写出b的取值范围．
【答案】(1)
(2)S取得最大值，
(3)或或
【分析】（1）依据题意，由抛物线的顶点坐标，可设二次函数为，再利用待定系数法解答，即可得解；
（2）依据题意可得，从而抛物线为，可求出另一交点B的坐标为，与y轴交点C的坐标，进而的面积，结合在内，进而可以判断得解；
（3）依据题意可得抛物线为，再求出线段所在直线的解析式，又联立两函数解析式，可得，故，从而当判别式时， 可得，此时二次函数与线段只有一个交点，再由当方程在内仅有一根，可得，进而可以判断得解．
【详解】（1）解：∵该二次函数图象的顶点坐标为
∴设二次函数为，
又∵抛物线过点，
，
解得：，
∴抛物线的解析式为，即；
（2）解：由题意，，且抛物线过点，
，
，
∴抛物线为，
∴对称轴是直线，与y轴交点C的坐标为，
∴另一交点B的横坐标，即坐标为，
的面积，
在内，当时，S取得最大值；
（3）解：由题意，，且抛物线过点，
，
∴抛物线为，
∵点，，
线段所在直线为，
联立方程，
，
∴当判别式时，，
解得，
此时二次函数与线段只有一个交点，
当时，，
当时，，
又∵当方程在内仅有一根，
，
或，
综上，b的取值范围为或或．
【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值、待定系数法求二次函数解析式，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．
16．（2025·上海·一模）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上．
(1)当，时，
①求该抛物线的表达式；
②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值；
(2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围．
【答案】(1)①；②
(2)的取值范围为或
【分析】（1）①根据，，可得对称轴为直线，求出的值，再根据抛物线经过点，求出，从而得出抛物线解析式；
②把①解析式化为顶点式，再根据平移变换得出新抛物线解析式，然后把代入解析式即可求出的值；
（2）根据题意分对称轴在轴左侧和右侧两种情况讨论即可．
【详解】（1）解：①∵抛物线经过点，，，，且，，
，两点关于抛物线的对称轴对称，，
∴对称轴为直线，
根据对称轴公式可知：，
，
∴，
把代入得：，
解得，
∴该抛物线的表达式为；
②∵，
∴把抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线解析式为，即，
∵新抛物线经过点，
∴，
解得；
（2）解：当时，抛物线过点，且、、中有且仅有一个值小于0，
∴把代入二次函数解析式得：，
∴，
∴二次函数解析式，
当抛物线对称轴在轴左侧时，即，且经过点，大致图象如图所示：
∵点，，，在抛物线上，
∴由图象可知：，
∵，
∴由图象可知：只有当时，成立，
∴，
解得：，
当抛物线对称轴在轴右侧时，即，且经过，大致图象如图所示：
∵点，，，在抛物线上，
∴由图象可知：只有满足题意，
∴，
解得：；
当时，则对称轴为轴，且图象经过点，所以二次函数与轴的另一个交点坐标为，根据二次函数的性质可知：、、的值都大于0，故不符合题意；
综上所述，的取值范围为或．
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21世纪教育网(www.21cnjy.com)专题08 二次函数的图象与性质的基础应用
内●容●导●航
第一部分 题型破译 微观解剖，精细教学
典例引领 方法透视 变式演练
题型01 二次函数的图象和性质
题型02 二次函数与一元二次方程
题型03 二次函数与不等式
题型04 二次函数与其他函数图象共存问题
题型05 二次函数的图象与系数的关系
题型06 待定系数法求二次函数的解析式
题型07 二次函数中含参数的图象和性质综合问题
第二部分 题型训练 整合应用，模拟实战
题●型●破●译
题型01 二次函数的图象和性质
典例引领
【典例01】（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数，则下列关于这个函数图象和性质的说法，正确的是（ ）
A．图象的开口向上 B．图象的顶点坐标是
C．当时，随的增大而减小 D．函数有最大值为
【典例02】（2026·上海徐汇·一模）下表给出了二次函数中与之间的一些对应值，则下列说法正确的是（ ）
A．顶点坐标为 B．
C．当时，随的增大而增大 D．此函数有最小值
方法透视
考向解读 1. 图象特征：考查抛物线开口方向、对称轴、顶点坐标，a定开口，-定对称轴。 2. 系数符号：根据图象位置判断a, b, c符号，如c为与y轴交点纵坐标。 3. 增减最值：结合开口与对称轴，判断函数增减区间，求顶点最值或区间内最值。
方法技能 1. 配方找顶点：化为y=a(x-h)2+k，直接读出顶点和对称轴，便于分析性质。 2. 符号巧判断：a, b同号对称轴在左，异号在右；c看与y轴交点位置。 3. 对称比大小：比较函数值看与对称轴距离，开口向上距离越大值越大。
变式演练
【变式01】（2025·贵州遵义·一模）已知二次函数，则下列说法正确的是（ ）
A．函数的最小值是3 B．图象的对称轴是直线
C．图象开口向下 D．图象与x轴有两个交点
【变式02】（2025·山东济南·模拟预测）若二次函数的图象与轴交于，两点，且满足，，则下列说法错误的是（ ）
A．
B．抛物线开口向上
C．当时，的取值范围为
D．关于的方程的一个解小于
【变式03】（2025·内蒙古·模拟预测）对于二次函数．有下列说法：
①无论k为何值，该函数图象与x轴必有两个交点
②若，则当时，y随x的增大而增大
③无论k为何值，该函数图象一定经过点和两点
④若k为整数，且该二次函数的图象与x轴的两个交点都为整数点，则．
其中正确的是（ ）
A．①③④ B．②③④ C．①④ D．②③
题型02 二次函数与一元二次方程
典例引领
【典例01】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是_____．
【典例02】（2025·山东青岛·模拟预测）若抛物线与轴有两个交点，则k的取值范围是____．
方法透视
考向解读 1. 交点与根：二次函数y=ax2+bx+c与x轴交点横坐标即对应方程ax2+bx+c=0的根。 2. 判别式应用：△ >0两个交点，△=0一个交点，△<0无交点，用于判断根的情况。 3. 函数解不等式：利用图象在x轴上下方，解一元二次不等式，确定x的取值范围。
方法技能 1. 看图写根：由图象与x轴交点直接写出对应方程的根，交点横坐标即解。 2. △定交点：计算判别式判断交点个数，进而确定方程根的情况。 3. 上下定解集：图象在x轴上方对应y>0，下方对应y<0，直接写出不等式解集。
变式演练
【变式01】（2025·浙江宁波·三模）已知二次函数与轴的交点的横坐标为、，则的值为_____．
【变式02】（2025·吉林长春·二模）二次函数的图象与x轴交于点A，B，，则常数m的值为______．
【变式03】（2025·安徽滁州·三模）已知抛物线 的对称轴为直线．
（1）的值为______．
（2）若抛物线 向下平移个单位长度后，在范围内与轴只有一个交点，则的取值范围是______．
题型03 二次函数与不等式
典例引领
【典例01】（2026·上海嘉定·一模）已知二次函数的图象如图所示，当时，的取值范围是 ______ ．
【典例02】（2025·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是______．
方法透视
考向解读 1. 图象解不等式：利用二次函数图象在x轴上下方位置，解一元二次不等式 ax2+bx+c>0或<0。 2. 两函数比较：两个函数图象交点划分区间，比较y1 > y2或y1 < y2 的x范围。 3. 参数范围问题：结合不等式恒成立，利用图象最值或判别式求参数取值范围。
方法技能 1. 先找交点：求出二次函数与x轴交点或两函数交点，作为区间分界点。 2. 看图定范围：观察图象上下位置，在交点划分的区间内直接写出满足不等式的x范围。 3. 开口定方向：解ax2+bx+c>0 时，a>0取两边，a<0取中间，结合图象记忆。
变式演练
【变式01】（2026·福建泉州·模拟预测）如图：抛物线与直线交于两点，，则不等式的解集是______．
【变式02】（2026·河南·一模）在平面直角坐标系中，，为抛物线上任意两点，其中．
(1)当，为何值时，；
(2)若，且抛物线的顶点在轴上，求抛物线的解析式；
(3)若，，当时，求的取值范围．
【变式03】（2025·浙江杭州·三模）已知二次函数（），点，都在该二次函数的图象上
(1)用含n的代数式表示m．
(2)当时，y随x的增大而减小，求n的值范围
(3)若，求n的取值范围．
题型04 二次函数与其他函数图象共存问题
典例引领
【典例01】（2025·宁夏银川·一模）同一坐标系中，一次函数与二次函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【典例02】（2025·河南濮阳·一模）已知函数的图象如图所示，那么函数的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
方法透视
考向解读 1. 系数一致性：同一坐标系中二次函数y= ax2+bx+c与一次函数y=kx+b或反比例函数 y=的系数符号必须一致。 2. 图象位置矛盾：根据开口方向、对称轴、与坐标轴交点等特征，排除不符合系数关系的选项。 3. 特殊点验证：取x=0、x=1等特殊值，验证两函数图象是否同时经过某些特殊点。
方法技能 1. 系数定范围：由一次函数或反比例函数图象确定系数符号，代入二次函数判断是否一致。 2. 逐项排除：先看二次函数开口方向与a符号，再看对称轴与a,b关系，逐步排除矛盾选项。 3. 特殊值检验：取x=0看y轴交点，取x=1看函数值，快速验证图象是否可能共存。
变式演练
【变式01】（2025·宁夏·模拟预测）当时，函数与在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A． B． C． D．
【变式02】（2025·安徽合肥·三模）已知反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象大致为（ ）
A． B． C． D．
【变式02】（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（ ）
A．B．C． D．
题型05 二次函数的图象与系数的关系
典例引领
【典例01】（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是_______（写出所有正确结果的序号）．
①a；②；③c；④；⑤．
【典例02】（2025·四川绵阳·三模）已知二次函数的图象如图所示，根据已知信息有下列结论：①；②；③；④．其中正确的是______．
方法透视
考向解读 1. a定开口：a>0开口向上，a<0开口向下，|a|越大开口越小。 2. a,b定对称轴：对称轴x=-，a,b同号时对称轴在y轴左侧，异号在右侧。 3. c定交点：c为抛物线与y轴交点的纵坐标，c>0交正半轴，c<0交负半轴。
方法技能 1. 看图定符号：根据开口定a，根据与y轴交点定c，根据对称轴位置定a,b同异号。 2. 特殊点代入：取 x=1、x=-1等特殊点，代入解析式得到a+b+c、a-b+c的符号。 3. 结合判别式：图象与x轴交点个数由△决定，交点位置结合对称轴分析。
变式演练
【变式01】（2025·贵州铜仁·三模）已知抛物线的图象如图所示，有下列结论：
①；
②二次函数图象的对称轴是直线；
③当时，y随x的增大而减小；
④方程的解为，．
其中正确的结论有______．
【变式02】（2025·四川自贡·二模）如图，二次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，对称轴为直线，下面五个结论正确的序号为_____．
①； ②； ③；④；⑤时，
【变式03】（2025·四川绵阳·一模）抛物线经过点，且对称轴为直线，其部分图象如图所示．有以下四个结论：①；②；③抛物线与x轴的另一个交点为；④点一定在此抛物线上．其中正确的结论是______．（填序号）
题型06 待定系数法求二次函数的解析式
典例引领
【典例01】（2026·上海黄浦·一模）已知抛物线经过点和．
(1)求此抛物线的表达式；
(2)指出此抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标，并说明这条抛物线的变化情况．
【典例02】（2026·甘肃白银·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点在轴上，且，动点在过三点的抛物线上．
(1)求抛物线的函数解析式．
(2)在直线上方的抛物线上是否存在点，使得的面积最大？若存在，求出点的坐标及面积的最大值；若不存在，请说明理由．
方法透视
考向解读 1. 三点式：已知抛物线上三个点坐标，设一般式y=ax2+bx+c，代入解方程组求a,b,c。 2. 顶点式：已知顶点(h,k)和另一点，设y=a(x-h)2+k，代入另一点求a。 3. 交点式：已知与x轴交点(x1,0)、(x2,0)和另一点，设y=a(x-x1)(x-x2)，代入另一点求a。
方法技能 1. 选式看条件：已知三点设一般式，已知顶点设顶点式，已知与x轴交点设交点式，简化计算。 2. 代入求系数：将点坐标代入所设解析式，得到方程或方程组，解出待定系数。 3. 回代得解析：求出系数后代入所设形式，化为一般式或保留指定形式作为答案。
变式演练
【变式01】（2026·陕西西安·二模）如图，已知抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴与抛物线交于点P、与直线相交于点M，连接．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)在（1）中的抛物线上是否存在点Q，使得与的面积相等？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
【变式02】（2025·四川成都·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点，与轴相交于点，直线的函数表达式为．
(1)求抛物线的函数表达式；
(2)是抛物线上第一象限内的一点，连接、，当的面积最大时，求点的坐标；
(3)在（2）的条件下，在轴上取点是轴上一动点，当过点的抛物线与线段有且只有一个交点时，直接写出的取值范围．
【变式03】（2026·上海徐汇·一模）如图，抛物线与轴交于两点，与轴交于点．已知．
(1)求抛物线的表达式及顶点的坐标；
(2)将抛物线向上平移，设点的对应点为点，射线交线段于点．
①如果恰好平分，求平移之后的抛物线的表达式；
②如果与相似，求平移的距离．
题型07 二次函数中含参数的图象和性质的综合问题
典例引领
【典例01】（2025·河北唐山·模拟预测）已知抛物线．
(1)若此抛物线与直线只有一个公共点，且向右平移1个单位长度后，刚好过点．
①求此抛物线的解析式；
②以点为中心，作该抛物线关于点对称的抛物线，若这两条抛物线有公共点，求的取值范围。
(2)若，将此抛物线向上平移个单位，当时，；当时，．试比较与1的大小，并说明理由．
【典例02】（2026·山东滨州·一模）已知二次函数，其中a，b为常数．
(1)当，时，求该函数的顶点坐标．
(2)当，对称轴在之间时，函数的最小值为．
①求二次函数解析式；
②过点作与x轴平行的直线交该抛物线于B，C两点，当点B，C均位于y轴左侧，且点B为线段的中点时，求t的值．
方法透视
考向解读 1. 参数与图象：考查含参二次函数图象的开口、对称轴、顶点随参数变化规律，分析图象特征。 2. 参数与最值：结合参数范围，求二次函数在给定区间上的最值，需分类讨论对称轴位置。 3. 恒成立问题：利用判别式、顶点坐标或图象位置，求参数取值范围使不等式恒成立。
方法技能 1. 配方显顶点：将含参二次函数配方为顶点式，直接读出顶点坐标关于参数的表达式。 2. 分类讨论对称轴：求区间最值时，按对称轴在区间左、中、右三种情况讨论最值位置。 3. 分离参数法：恒成立问题常转化为最值问题，分离参数后求另一侧函数的最值。
变式演练
【变式01】（2026·安徽阜阳·一模）已知抛物线（a，b，c是常数，，且）的最小值是．
(1)若该抛物线的对称轴为直线，并且经过点，求抛物线对应的函数表达式．
(2)若直线经过抛物线的顶点．
①求抛物线的顶点坐标；
②，是抛物线上的两点，且，求p的取值范围．
【变式02】（2026·上海长宁·一模）在平面直角坐标系中，抛物线与轴的负半轴交于点，与轴交于点．
(1)已知．
①求抛物线的表达式．
②若点为该抛物线上一点，且的重心恰好落在轴上，求点的坐标．
(2)坐标平面内有点，如果抛物线与线段有且只有一个公共点，求的值或取值范围．
【变式03】（2026·北京·一模）在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)当点在这个函数图象上时，
①求抛物线的函数关系式．
②抛物线上有一点到轴的距离为1，求点坐标．
(2)当时，函数图象上只有两个点到轴的距离等于2，求的取值范围．
(3)在平面直角坐标系中，点，点，连接．直接写出抛物线与线段只有一个公共点时的取值范围．
题●型●训●练
一、单选题
1．（2025·甘肃嘉峪关·二模）下列抛物线中，能满足经过原点，且对称轴为直线的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（ ）
A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是
3．（2026·河南周口·一模）若二次函数的图象与轴只有一个交点，则实数的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（25-26九年级上·宁夏银川·月考）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的大致图象是（　　）
A． B． C． D．
5．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）二次函数的图象如图所示，顶点坐标为；与轴的交点为和点；与轴的交点在与之间（包括端点）．其中正确结论的个数是（）
①；②；③点，，都在抛物线上，则；④方程无实根；⑤．
A．2 B．3 C．4 D．5
二、填空题
6．（2026·安徽阜阳·一模）抛物线的对称轴为直线________．
7．（2026·上海徐汇·一模）已知是抛物线上的两点，那么______（填“”、“”或“”）．
8．（2024·甘肃定西·模拟预测）如图，二次函数与一次函数相交于、，则关于x的不等式的解集为__________．
9．（2025·山东青岛·模拟预测）若二次函数与x轴有两个交点，则的取值范围是__________．
10．（2025·安徽蚌埠·二模）已知和是二次函数图象上两个不同的点，一次函数的图象经过点．
（1）若，且，则的值为______；
（2）若函数的图象与轴仅有一个交点，则的值为______．
三、解答题
11．（2025·安徽亳州·一模）已知抛物线经过点和．
(1)求b，c的值；
(2)若点在函数的图象上，求m的值．
12．（2026·上海徐汇·一模）已知二次函数中，函数y与自变量x的部分对应值如下表所示．
x … 0 1 2 …
y … 0 m 4 4.5 4 2.5 0 …
(1)求m的值和二次函数的解析式；
(2)将该二次函数的图像上下或左右平移后得到新的抛物线，如果新抛物线经过原点，请直接写出三种平移的方式；
(3)选择（2）中一种平移方式说明你是如何获得解题思路的．
13．（2025·甘肃定西·一模）如图，已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为，点的坐标为，点F为抛物线的顶点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求A、B、F三点构成的三角形的面积；
(3)点是线段上一动点，过点作轴于点，连接，当的面积最大时，求点的坐标．
14．（2025·浙江丽水·二模）已知二次函数（a，b为常数，）的图象经过点．
(1)求二次函数的表达式；
(2)若时，，求m的取值范围；
(3)若时，y的最大值为，求n的值．
15．（2025·江苏连云港·二模）在平面直角坐标系中，二次函数的图象经过点
(1)若该二次函数图象的顶点坐标为，求抛物线的解析式；
(2)设该二次函数的图象与x轴的另一个交点为B，与y轴的交点为若，，求面积的最大值，并说明此时b的值；
(3)已知，点，，若该二次函数图象与线段只有一个交点，直接写出b的取值范围．
16．（2025·上海·一模）在平面直角坐标系中，点，，，在抛物线上．
(1)当，时，
①求该抛物线的表达式；
②将该抛物线向下平移2个单位，再向左平移个单位后，所得的新抛物线经过点，求的值；
(2)若，且、、中有且仅有一个值小于0，请结合抛物线的位置和图像特征，先写出一个满足条件的的值，再求的取值范围．
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