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第二章 直线和圆的方程
2.2.1 直线的点斜式方程（教学设计）
一、 内容和内容解析
1.课程基本信息
本节课选自《2019 人教 A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直线和圆的方程》,本节课主要学习直线的点斜式方程和斜截式方程.
2.内容
直线的点斜式方程，直线的斜截式方程.
3.教材分析
本节课的主要内容是点斜式方程，并通过点斜式推导斜截式。它是在学生了解了直线的倾斜角，斜率的概念及斜率公式的基础上，来研究直线方程。直线的方程是直角坐标系中直线的代数表示，是确定直线位置几何要素的完全代数刻画.虽然倾斜角是刻画直线倾斜程度的几何要素，但它无法直接用直线上任意两点的坐标定量刻画，而倾斜角的正切值可以用直线上任意两点的坐标定量刻画，这种刻画为我们研究直线带来方便，直线的点斜式方程是经过两点的直线斜率公式的一种“变式 ”表达，表达的是直线上任意一点坐标与直线的斜率以及所经过的定点坐标之间所满足的代数关系式。
从研究直线的方程开始，学生对解析几何的学习就进入了实质性阶段，而直线与方程的关系研究，是曲线与方程的关系研究的基础，所以本节课将直接影响到整个解析几何的教学效果。
直线方程的建立过程本质上是将确定直线的几何要素（点与方向）代数化的过程，这是学生第一次系统地用坐标法刻画一个几何对象.坐标法是本单元教学的核心，本节课所涉及的主要核心素养有：数学抽象，数学运算，逻辑推理，直观想象。
4. 学情分析
学生在本节课学习之前，已经学习了倾斜角和斜率的概念以及过两点的直线斜率公式，经历了在平面直角坐标系中用代数方法刻画直线的几何特征的过程，
在本节课中，学生要通过直线方程的建立，系统地学面直角坐标系中用代数形式表示一个几何对象，体会坐标法.在这个过程中，学生对“什么是直线的方程 ”“什么是方程的直线 ”“如何建立直线方程 ”等问题缺乏认知，这是本节课教学的难点。
学生已经具备了一定的直观感知能力，也具备一次函数和直线的斜率等知识储备，上一节课其实也有通过用代数方法解决几何问题，但是还不熟悉，同时分析论证的能力有待提高，因此在概念推导中可能存在问题，需要教师引导。
二、教学目标和教学重难点
1.教学目标
1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线的点斜式方程和斜截式方程，体会坐标法（直观想象、逻辑推理、数学运算）.
2.运用点斜式方程和斜截式方程解决实际问题（直观想象、数学抽象、逻辑推理、数学运算）.
2.教学重难点
1.教学重点：直线的点斜式方程；
2.教学难点：推导直线的点斜式方程，直线的斜截式方程与一次函数的关系．
六、教学过程设计
1.复习引入
复习提问 1：在直角坐标系内确定一条直线，需要哪些条件？（点+方向）
复习提问 2：直线l的倾斜角α和斜率k之间有什么关系？（k = tan α (α ≠ 90 °)）
追问：已知直线上两个不同的点P1(x1,y1), P2(x2,y2), (x1 ≠ x2)则该直线的斜率可以如何表示？
师生活动：前面已经学习了直线的倾斜角和斜率，学生回顾并回答，然后教
师指出，直线的方程就是直线上任意一点坐标满足的关系式。
设计意图：通过对倾斜角，斜率之间关系的回忆，让学生进一步回忆起已知直线上两点的坐标的斜率公式，回忆坐标法实现数与形的转换的基本流程，为本节课直线方程的建立奠定基础.
2.探索新知 1
问题 1：如何求一条直线的方程呢？
师生活动：在学生充分思考讨论的基础上引导学生根据直线的方程的概念得出要求一条直线的方程，就是要寻找一个方程，使得对于直线上的每一个点的坐标(x,y)，都满足这个方程所对应的等量关系.
设计意图：培养学生自主探索的能力，让学生明确建立直线方程的方向，就是寻找直线上的点的坐标(x,y)所满足的等量关系.
追问：直线上任意一点的坐标(x, y)与确定直线的两个要素：一个定点P0 (x0,y0)和直线的斜率k之间有关系吗
(
y
) (
5
4
3
2
1
) (
。。
l
。。。
k
l
) (
P
(
x
,
y
)
P
0
(
x
0
,
y
0
)
)师生活动：教师引导学生思考，我们知道直线上的两个点可以确定一条直线 个点和一个方向（倾斜角和斜率）也可以确定一条直线.那么斜率和直线上两点之间是否存在什么关系呢？在学生独立思考以后顺势提出下一个问题.
(
–3 –2
–1
O
–1
–2
–3
–
4
)1 2 3 4
x
问题 2：如图，已知一条直线过点P0(x0, y0)，斜率为k，设点P(x,y)是直线上不同于P0(x0, y0)的 任 意 一 点 ， 则 ：P(x,y)、P0(x0, y0)、直线l斜率k三者之间有什么关系呢？
师生活动：教师把图展示给学生，学生通过独立思考发现可借助过两点的直
线的斜率公式得到：
设计意图：通过对直线上任意一点坐标与确定该直线的点和斜率之间关系的探究，让学生体会直线方程就是直线上任意一点的坐标满足的关系式，从而掌握根据条件求直线方程的过程。
问题 3：方程 k 是不是直线的方程呢？为什么？
师生活动：引导学生发现，这个式子不能判断P0(x0, y0)是否在直线上，根据直线方程的概念发现这不是直线的方程.学生思考后发现，如果把这个式子适当化简后就可以判断P0(x0, y0)是否在直线上了.
设计意图：学生通过对点P0(x0, y0)是否满足所得方程k 的质疑，发现方程k 的局限性，从而进一步考虑将方程变形.
追问：如果将方程k 变形为y-y0 = k(x-x0)呢？
师生活动：如果将方程变形为y-y0 = k(x-x0)后，教师引导学生发现直线上的每一个点的坐标都满足这个方程，方程y-y0 = k(x-x0)所确定的有序实数对所确定的点也都在直线上，这样自然发现，方程y-y0 = k(x-x0)就是直线的方程.从而总结直线的点斜式方程.使学生初步了解到点斜式方程的适用范围。
设计意图：学生通过对直线点斜式方程的建立过程，体会应用坐标法实现几何与代数之间的转化，同时进一步加深对直线方程的理解，体会到解析几何中直线与它的方程之间的一一对应关系.在直线上，直线上的点不比方程的解多，但也不比方程的解少。
3.巩固应用 1
例 1：直线l经过点P0( 2,3)，且倾斜角 α = 45° ,求直线l的点斜式方程，并画出直线l.
师生活动：学生容易根据确定的条件求出直线的点斜式方程，本题可以由学生独立完成后相互交流。在画直线时，学生可能一开始想不到利用直线方程找出直线
上的另一点来共同确定直线，而是直接画点并画倾斜角，对此教师要做好引导。
设计意图：使学生明确点斜式求直线方程的两个条件，即定点+方向。同时掌握画已知直线方程的方法。
4.探索新知 2
追问：把例 1 中直线l的倾斜角改为为0°时，直线的方程是什么？若改为90°呢？
(
y
) (
4
3
2
1
)□ □ l□ □ □ α=90°
(
α
P□
x
,
y□
) (
P
0
□
-2。3。
)4 y P0 □ -2。3。 3
(
□
□
l
□
□
□ α=90°
)2
P□ x,y□ 1
α
(
1
) (
2
) (
–3
–2
–1
) (
1
2
3
4
) (
O
) (
x
) (
x
) (
–1
)–5 –4 –3 –2 –1 O –1
师生活动：师生共同通过计算斜率或结合图形求得直线方程，并通过将相关条件一般化，得到直线方程的特殊形式.
设计意图：使学生进一步理解直线的点斜式方程的适用范围，并掌握特殊直线方程的表达形式。
5.探索新知 3
问题 4：如果将例1改为：直线l经过点P0(0,5)，且倾斜角 α = 45 ° ,直线l的方程又是什么呢？
师生活动：学生容易根据确定的条件求出直线的点斜式方程：y 5 = x 0，引导学生变形为：y = x + 5，接下来继续追问.
追问：你能不能将上述问题一般化，得到一般性的结论呢？即：如果将例1
改为：直线l经过点P0(0，b)，且斜率为k，求直线l的点斜式方程呢？.
师生活动:师生共同研究求得直线方程为y b = k(x 0)，通过变形为： y = kx + b，引导学生发现这就是以前学习的一次函数的解析式，同时也是直线的方程.在此基础上，师生通过交流给出截距的概念，并且将该方程命名为直
线的斜截式方程，并明确方程中k和b的几何意义.
设计意图：在解答例1的基础上，通过追问，让学生经历由一般到特殊的过程，得到直线的斜截式方程.同时从不同的角度用联系的眼光看y = kx + b，了解一次函数与直线的斜截式方程的区别与联系.
6.巩固应用 2
例2：已知直线l1：y = k1x + b1, l2：y = k2x + b2,试讨论：
(1) l1//l2时, k1与k2 ， b1与b2之间分别要满足什么关系？
(2)l1 丄 l2时, k1与k2之间又要满足什么关系？
师生活动：关于课本例2的两个小题，教师可以引导回顾上一节课两直线平行和垂直的判定，分析出直线l1和l2平行和垂直两种情况下它们的斜率所满足的关系.两个小题可由全班两个大组各完成一个.同时可以请同学上讲台板书解题过程.结束后教师及时作出评价 ，规范学生解题过程.
设计意图：通过例2的研讨，提升并强化学生从直线方程的角度判断直线位置关系的能力.
7.疑点突击，发现问题
课后思考题：直线的截距式方程y = kx + b中的纵截距b是距离吗？
设计意图：发现疑点，设置课后思考题，让学生及时提升巩固.
8.课堂总结
一、两种直线方程
直线方程 几何要素 适 用 范围
点斜式方程 y y0 = k(x x0 斜率k 直线上一点坐标( x0,y0) 直 线 存在斜率k
斜截式方程 y = kx + b 斜率k 直 线 在y轴 上 的截距b 直 线 存在斜率k
二、一种解析几何研究思路
利用确定图形的几何要素,建立图形上任一点横坐标x和纵坐标y所满足的关系式.
9.当堂检测：已知直线 l 过点 A(2，－3)．
(1)若 l 与直线 y＝－2x＋5 平行，求其方程；
(2)若 l 与直线 y＝－2x＋5 垂直，求其方程．
10.布置作业：
P61 练习： 1，2,3,4

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