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教材：人教A 版高中数学选择性必修第一册
课题：2.2.2 直线的两点式方程
一、课时教学内容与内容解析
1.内容
直线的两点式方程、截距式方程.
2.内容解析
直线方程共有四种特殊形式，本节课是学习第三、四种特殊形式， 在本大节 2.2 直线的方程中重要性略低于前两种形式，使用频率也不高。但它在体现点斜式方程的应用， 衬托点斜式方程的重要性，为学习一般式方程作铺垫，体现由特殊到一般的知识归纳提升过程有着重要意义。
两点式方程是点斜式方程的“变式 ”表达或推论，变化的依据是两点确定一条直线可以转化为一点和斜率唯一确定一条直线，而斜率可以由过这两个已知点的坐标求得.转化的关键是处理直线上任意一点的坐标（x，y）与两个已知点 P1 ，P2 的坐标之间的关系，从而建立直线的两点式方程.
在两点式方程中，截距式方程是其特例，其特别之处在于这两点是直线与两条坐标轴的交点，它在具体问题中应用广泛.
结合以上分析，确定本节课的教学重点：掌握直线的两点式方程及应用并掌握求直线方程的两种基本方法．
二、课时教学目标与目标解析
1.课时教学目标
（1）能根据两定点的坐标，由点斜式方程推导建立直线的两点式方程；能由一般到特殊，由两点式方程推导出截距式方程.
（2）能从代数方程的角度认识直线方程四种不同形式本质上的共性.
2.目标解析
达成上述目标的标志是：
（1）学生经历由直线的点斜式方程自主探究建立直线的两点式方程、截距式方程的过程，知道两点式方程是直线点斜式方程的一种变式表达；知道截距式方程是两点式方程的特例；会根据两点坐标写出直线的两点式方程.
（2）学生会根据确定直线的几何要素写出直线方程，能说出直线的点斜式、斜截式、两点式、
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截距式方程中相关要素的几何意义，知道点斜式方程是其它所有形式方程的基础，能进行不同形式方程的转化.
三、课时教学问题诊断分析
通过前一小节的学习，学生能体会到斜率在建立直线方程的过程中居于核心地位.在本小节中，斜率是搭建点斜式方程和两点式方程之间的桥梁.教学时，要引导学生分析两点确定一条直线，与一点和斜率确定一条直线之间的联系，把两点确定一条直线转化为一点和斜率确定一条直线.
直线的两点式方程形式很美，但是不太好记忆.教学时不要求学生死记两点式方程的形式，而是加强理解，在理解的基础上记忆.
上一小节，已经介绍直线与 y 轴交点的纵坐标称为直线在 y 轴上的截距.本小节，通过例 3建立了两点式方程的一个特例：截距式方程.特殊在这两点是直线与两条坐标轴的交点（a ，0）， （0，b），把 a 称为直线在 x 轴上的截距，由两个截距 a，b 确定的方程称为直线的截距式方程，教学时要注意强调 a ，b 都不能为 0，方程的右边是 1，不是 0.
直线的点斜式、斜截式、两点式、截距式方程都有明确的几何意义， 都涉及确定直线位置的两个基本要素：两个点或一点和斜率.这些直线的方程，虽然形式不同，但是本质一致，它们都是对直线的代数刻画.在解决具体问题的时候，学生要根据题目条件及个人偏好灵活选择.
本节课的教学难点是：两点式方程的建立及两点式、截距式的适用范围.
四、教学支持条件分析
为调动学生的学习兴趣，可以借助微课、学案等形式， 提前布置课前学习任务，课上由学生分享、呈现，教师引导补充.
五、教学方法与教学手段
问题引导教学法、启发式教学、小组合作学习.
六、教学过程设计
（一）知识回顾，提出对象
问题 1：已知点 P1（x1，y1），P2（x2，y2），x1 x2 ，如何求直线 AB 的斜率？
师生活动：k 直线的点斜式方程是经过两点的斜率公式的一种变式表达.
问题 2：经过点 P0（x0，y0），且斜率为 k 的直线 l 的方程是什么？
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师生活动：y - y0 =k (x - x0 ). 直线的方程一方面表示直线上点的坐标都满足这个方程，另一方面表示满足这个方程的解为坐标的点都在这条直线上.
设计意图：通过回顾，明确解析几何学的研究对象，使学生对坐标法形成初步印象，并引
出第二单元中第二课时：直线的两点式方程.
本节的知识框图如下：
（二）创设情境、构建概念
问题 3：已知直线 l 经过两点 P1（x1，y1），P2（x2，y2 ）（x1≠x2，y1≠y2），因为两点确定一条直线，所以直线 l是唯一确定的.也就是说，对于直线 l 上的任意一点 P（x，y），它的坐标与点 P1 ，P2 的坐标之间具有唯一确定的关系.这一关系是什么呢？
追问 1：直线的斜率如何通过直线两点 P1（x1，y1 ），P2（x2，y2 ）（x1≠x2，y1≠y2 ）的坐标表示呢？
师生活动：当 x1≠x2 时，经过两点 P1（x1，y1），P2（x2，y2）的直线的斜率 k
追问 2：已知直线上点 P1（x1，y1），斜率为 k，如何写出直线的点斜式方程呢？
师生活动：由直线的点斜式方程，得y y1 k(x x1 ) ．
追问 3：已知直线上两点 P1（x1，y1 ），P2（x2，y2 ）（x1≠x2，y1≠y2 ），如何用这两点坐标表示直线方程呢？
师生活动：（1）学生自主按以下两步完成解答.当然，只讨论x1 1 x2 的情形，x1 =x2 另当别
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论.
①已知两点的坐标P1 (x1, y1 ) ，P2 (x2, y2 ) ，（ x1 1 x2 ），求出直线 l 的斜率k ；
②将点P1 (x1, y1 ) 及斜率k 代入直线l 的点斜式方程，得y - y
综上，y - y 就是过两点P1 (x1, y1 ) ，P2 (x2, y2 ) （ x1 1 x2 ）的直线 l 的方程.
（2）教师追问：能不能和要不要将方程 y - y 结果变形为 = ？
（3）学生讨论后给出回答.应该会有以下两种主流意见.
①不能.因为变形为 = ，除了不能表示x1 =x2 的情形，连y1 =y2 也不能表示了适用范围更小了.
②能，而且一定要变形为 = ，才能被称为直线的两点式方程.教材上就是这样做的.
（4）教师指导学生继续讨论.明确指出：我们选择放弃对y1 =y2 时的直线的刻画，选择将直线方程就变形为 = ，并称为直线的两点式方程，简称两点式.
也就是说，两点式方程仅适用于直线的斜率存在且不为 0 的情形.
（5）教师引导学生思考上面的叙述有没有什么不妥之处？我们是不是还没有证明，以方程 = 的解为坐标的点都在过两点P1 (x1, y1 ) ，P2 (x2, y2 ) ，（其中 x1 1 x2 ，且 y1 1 y2 ）的直线上？
现在的问题是：要不要证？如果要证，如何证？
经学生们的讨论，应该得出的结论是“不用证”.因为，我们的两点式，本质上来自于点斜式的同解变形（事先排除分母为零的情形）.
（6）师生共同讨论：x1 =x2 或y1 =y2 时怎么办？
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x1 =x2 时，直线与y 轴平行（或重合），它的倾斜角为90o，这样的直线没有两点式方程，但是，x =x1 是它的方程；
y1 =y2 时，直线与x 轴平行（或重合），它的倾斜角为0o ，这样的直线没有两点式方程，但是，y =y1 是它的方程.
师生活动：当 x1 ≠x2 时，经过两点 P1（ x1，y1），P2（ x2，y2）的直线的斜率 k 任取 P1，P2 中的一点，例如取点 P1（x1，y1），由直线的点斜式方程，得y - y 当y1≠y2 时，上式可写为 = .称为直线的两点式方程，简称两点式.
（三）抽象概念、表示概念
直线的两点式方程定义：经过两点P1 (x1, y1 ) ，P2 (x2, y2 ) ，其中 x1 1 x2 ，且 y1 1 y2 的直线方程
y - y1 = x - x1 称为直线的两点式方程，简称两点式.
y2 - y1 x2 - x1
问题 4：过两点P1 (x1, y1 ) ，P2 (x2, y2 ) ，其中x1 1 x2 ，且y1 1 y2 的两点式方程为 = .那么 = 是不是这个两点式呢？ = 呢？
师生活动：（1）视学生情况不同，如果学生的基础较好的话，可引导学生完成以下证明：
因为 y - y1 = x - x1 ，所以 ，整理得 (y - y1 ) - (y2 - y1 ) =(x - x1 ) - (x2 - x1 ) ，即y2 - y1 x2 - x1 y2 - y1 x2 - x1 y2 - y1 x2 - x1
= .所以 = 也是这条直线的两点式.
（2）如果学生的基础不是太好的话，向学生说明 = 是选择 点 P1 (x1, y1 ) 写 点斜式 的结果 ，而 =是选择 点P2 (x2, y2 ) 写点斜式的结果即可（如图）.
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但是， = 并不是直线的两点式.具体表现的不是“以这个方程的解为坐标的点不在过两点的直线上 ”，而是表现为“过两点的直线上有一个点 P2 (x2, y2 ) 的坐标不是这个方程的解”.
设计意图：这个问题细小而重要，直观想象及逻辑推理核心素养水平不同的学生，可以选择从不同的角度完成自己的解释.而试图从多个角度理解这个问题，不仅仅帮助学生完成对两点式方程的细节的识记与记忆，更是发展学生们直观想象或逻辑推理核心素养的机会.事实上，同一条直线的两点式还可以有其他无数种形式.这也从另一个角度向学生们解释了例 1 为什么将结果转化为斜截式是件很自然的事情——简洁是一个方面，另一个方面是结果是唯一的.
问题 5：在点斜式方程的探究中，我们从一般到特殊，对条件的特殊情形作了研究，得到了直线的斜截式方程.类似地，对于直线的两点式方程，我们也可用特殊的两点建立两点式方程.那么，这两个点应该如何选取呢？这样的两个点又会建立起什么样的方程呢？
师生活动：（1）有上一课时的铺垫，学生们应该会想到在两个坐标轴上找这两个特殊点.
这样的话，接下来要解决的问题就成了：如果已知直线l 上的两点分别落在x 轴、y 轴上，即已知点 A(a, 0) ,B(0, b) ，其中 a 1 0, b 1 0 ，如何表示这条直线 l ？
（2）特殊的两点，也是两个点.结合直线的两点式方程，学生自主探究，应该会有若干不同的结论（可以邀请一些学生板演过程，或用智慧课堂设备收集学生的探究结果），教师引导学生们形成统一的结果：将 A(a, 0) ，B(0, b) ，a 1 0, b 1 0 ，代入直线的两点式方程 = ，得到： = ， ，也就是 .
（3）教师引导学生总结：该式中的 a, b 分别为直线与x 轴交点的横坐标和直线与y 轴交点的纵坐标；b叫做直线l 在y 轴上的截距；a叫做直线l 在x 轴上的截距；我们将称为直线的截距式方程，简称截距式.需要强调的事情是 并不是截距式，将它整理为是 才被称为截距式，它（避免用“它对应的直线 ”的说法）的截距分别是 2 和 - 3 ，同样的 也不是截距式.
直线的截距式方程是特殊的两点式方程，但与同一直线的两点式可以有无数种的表现形式不同，同一直线的截距式只有一种形式.
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（4）教师强调截距式两个要点：
①格式的要求.等式左侧为直线上任意点的横纵坐标与直线分别在x 轴， y 轴上截距的比值的和，右侧是常数 1.
②适用范围.截距式方程作为特殊的两点式方程，除了不能表示平行于x 轴和y 轴的直线外，当 a ，b 都不为0 时，直线还不能过原点.
设计意图：教师直接引导学生回顾直线的斜截式的探究过程，为学生们的类比活动提供了明确的思维方向，降低了类比的难度，提高的类比成功的可能，有利于保障学生们成就感的获得.有利于让学生们完整的经历了自主提出问题，并探究解决问题的过程，有利于提升发现问题、提出问题的意识与能力.同时，加强学生对数学研究问题基本思想与方法（类比思想、特殊化思想）
的认识.至于，学生们能不能将自己认定的最后的结果整理成 的形式，不仅仅是对数学运算核心素养的一个检测，也是学生们对数学的对称美的一个追求.
问题 6：学生们在面对不同问题时，能准确的选取合适的直线方程的不同形式解题么？这些形式可不可以通用？
师生活动：学生在教师的指导下完成以下例题：
求经过下列两点的直线的两点式方程，再化成斜截式方程.
① P(2,1), Q(0,3) ② C(4,11), D(1,1) ③ A(0,5), B(2,0)
设计意图：.在这三个题中，对于直线的不同形式的方程，在一定条件下，可以相互转化.
（四）理解概念、例题互动
例 1.已知△ ABC 的三个顶点 A(- 5, 0) ，B(3, - 3) ， C(0, 2) ，求边BC 以及边BC 上的中线 AM
所在的直线的方程.
解：如图，过B(3, - 3) ， C(0, 2) 的两点式方程为 = ，可整理得y ，这就是边 BC 所在的直线的方程.
边 BC 上的中线是顶点 A 与边 BC 中点 M 所连线段， 由中点坐标公式，可得点M 的坐标为 ，即 M .
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过 A(- 5, 0) ，M 的直线的两点式方程为 ，整理得 y .
设计意图：我们知道，已知直线上的一点和直线的方向，或者已知直线上的两个点，都可以确定一条直线.而且，我们在上一课时，探究了第一种情形，知道了可以用点斜式及其特殊斜截式刻画“已知直线上的一点和直线的方向”的直线.现在的问题是，“已知直线上的两个点”怎么办？
虽然直线的两点式完全可以在直线的点斜式的基础推导出来，但是在目前的情形下，教师在提出问题的同时，列示一个图形是有必要的。在这里， 我们“不失一般性 ”的给出一个方向为左上方的直线，是有助于学生们谈到直线，习惯上“不失一般性 ”以方向为右上的直线为例的缺陷.
让学生经历由直线点斜式方程自主探究建立直线的两点式方程的过程.一方面是对直线的点斜式方程的复习，另一方面也有助于理解直线两点式方程是直线点斜式方程的一种“变式 ”表达.
由于直线方程的两点式，事实上来自直线的点斜式的同解变形（斜率为 0 的情形事先排除后），所以，并不需要另行证明所求方程的解为坐坐标的点都在直线上.然而，这个结论是需要思考后认定的结果，而不该成为学生们忽略的过程.这里的差别正好是逻辑推理核心素养所要面对的问题，教师在教学中应该给予足够的重视.所以，反复引导学生关注“直线上任意一点的坐标都是方程的解，以方程的解为坐标的点都在直线上 ”这两点，对落实学生对概念的理解，培养其思维的严谨性,发展学生逻辑推理核心素养是很有必要的．
至于两点式明明应该化为可以涵盖全部情形（含斜率不存在）的整式：(x2 - x1 )(y - y1 )
=(y2 - y1 )(x - x1 ) .这个式子不仅漂亮，而且可以用直线的方向向量、法向量做出解释.为什么要放弃 y1 =y2 对 y1 =y2 时的直线的刻画，而选择 =
这样一个比式？这个问题，各种文本并没有定论.一个可能的原因就是这种“ 比式 ”策应了平面几何（欧氏几何）里普遍使用的“相似 ”（如图）所呈现的“对应成比例”（需注意正负号）.
另外，令 t ，直线的参数方程也就呼之欲
y2 - y1 x2 - x1
出了.当然，直线的两点式方程也在具有结构上的对称美.这些话题，在必要的情况下，结合学生的表现，选择在课堂或课后给学生做一个说明.这样的数学课堂会不会更加的有血有肉呢？
例题 1 是教材中原有的例题.这个问题选自教材的例题.检测学生对直线的两点式的应用能力.要求学生能够在已知条件中找出或算出两点式所要求的两点，继而写出两点.
一个没有铺垫但显而易见的事情是，我们将所求的直线方程的两点式整理为斜截式，它明显
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比直线的两点式更易于接受，而教材更是直接整理为一般式，应该也是很自然的.
（五）收获感悟、总结提高
通过本节课的学习,你有哪些收获呢？同时指出下节课所学内容.
（1）直线的两点式 = 是直线的点斜式 y - y 的“变式 ”，直线的截距式 是两点式的特殊形式.
（2）直线的两点式不能用于斜率不存在及斜率等 0 的情形，而直线的截距式除上述两种情况外，还不能用于过原点的情形.
（3）截距式所涉截距一方面与斜截式所涉截距一样，可正可负可为 0；另一方面，这里有两个截距，一是和斜截式一样的在 y 轴上的
截距 b ，又称纵截距，一个是在 x 轴上的截距a ，又称横截距.
（4）不同的问题情境下，要善于选择不同形式的直线方程，也要善于在不同形式的直线方程间进行转换.
设计意图：通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力.
（六）布置作业
基础巩固：习题 2.2 第 3、4、9 题.
素养提升： 过 点 P（ 2， 1）作直 线 l 分 别 交 x 轴 、y 轴 的 正 半轴 于 A、B两 点 ,求| OA | | OB | 最小时直线l 的方程.
拓广探索：不利用点斜式方程，你能求出直线的两点式方程吗？请把你的想法和大家分享.
设计意图：通过练习巩固本节所学知识，让学生加深对利用两点式和截距式求解直线方程的方法，提升运用能力。发展学生数学抽象、直观想象、逻辑推理的核心素养。
（七）教学设计板书
2.2.2 直线的两点式方程
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1.直线的两点式方程定义 3.直线的截距式方程定义 例 1.
2.探究：两点式方程成立的条件 4.探究：截距式方程成立的条件. 例 2.
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