资源简介

2.3.4 两平行直线间的距离
教学设计
一、教学目标
1. 理解两条平行线间的距离公式的推导.
2. 掌握量平行线的距离公式, 能应用两平行线距离公式解决两平行直线的有关距离问题.
3. 通过两平行线距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力.
二、教学重难点
重点：掌握量平行线的距离公式，能应用两平行线距离公式解决两平行直线的有关距离问题.
难点：通过两平行线距离公式的探索和推导过程，培养学生运用等价转化、数形结合等数学思想方法解决问题的能力．
三、学情分析与教材分析
1. 学情分析：
学生已经学习了两点间的距离公式，点到直线的距离公式，且具备了相关的几何知识，如：交点、垂直、三角函数等. 学生对坐标法解决几何问题有初步的认识. 学生可以充分利用点到直线的距离公式探寻两平行直线的距离，学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想，化归思想和分类方法， 由浅入深，由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维. 学生的探究并不是漫无边际的探究，而是在教师引导之下的探究;教师也要提供必要的时间和空间给学生展示自己思维过程，使学生在教师和其他同学的帮助下，充分体验作为学习主体进行探索、发现和创造的乐趣.
2. 教材分析：
本节课选自《2019 人教 A 版高中数学选择性必修第一册》第二章《直
线和圆的方程》，本节课主要学习两条平行线间的距离。
学习本节的目的是让学生会求两条平行线间的距离。希望通过本节课的教学，能让学生在公式的探索过程中深刻地领悟到蕴涵其中的重要的数学思想和方法，学会利用数形结合思想 ，化归思想.和分类方法，由浅入深， 由特殊到一般地研究数学问题，培养学生的发散思维。本节重点是距离公式的推导和应用。解决问题的关键是理解距离公式的推导。
四、教学过程
1 ．复习回顾，引入新知
在一条宽阔的河流上，计划建设两座平行的桥梁以缓解交通压力。由于河流的宽度和深度，以及水流的速度，工程师们需要精确计算两座桥梁之间的安全间距，以确保在极端天气条件下（如强风、洪水） 桥梁的稳定性和安全性。这两座桥梁的走向可以看作是两条平行的直线，工程师们利用数学工具来已经确定了两座桥梁所在直线的方程。
任务：我们该如何利用桥梁所在直线的方程计算它们之间的安全间距呢？有没有一个数学公式可以直接帮助我们求出这个距离？”
学生：进行思考，并被激发学习今天内容的兴趣
教师：这就是今天我们要学习的内容 —— 两平行直线间的距离
2 ．新课探究
教师：前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式．关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的．
定义：两条平行直线间的距离是指夹在这两条平行直线间的公垂线段的长．
探究：直线 l1：x＋y－1 ＝0 上有 A(1,0) 、B(0,1) 、C(－1,2)三点，直线 l2：x＋y－2 ＝0与直线 l1 平行，那么点 A、B、C 到直线 l2 的距离分别为多少？有什么规律吗？
学生：根据点到直线的距离公式求得三个距离，并总结其中的规律
2 2 2
预设：A 、B 、C 到直线 l2 距离分别为 2 ， 2 ， 2 ；规律：距离均相等，平行线之间
的距离处处相等．
探究：已知两条平行直线l1,l2的方程，如何求l1与 l2间的距离？
学生：同桌之间进行交流讨论，并结合以上探究的答案，进行总结分析出方法。
预设：根据两条平行直线间距离的含义，在直线l1上取任一点 P（x0,y0），,点 P（x0,y0）到直线l2的距离就是直线l1与直线l2间的距离，这样求两条平行线间的距离就转化为求点到直线的距离。
教师：前面我们已经得到了两点间的距离公式、点到直线的距离公式．关于平面上的距离问题，两条平行直线间的距离也是值得研究的．
【活动预设】引导学生归纳概括出平行线间的距离定义1. 图示：
2. 定义：夹在两平行线间的 公垂线段 的长.
3. 求法：两条平行直线间的距离转化为点到直线的距离.
3 ．应用新知
例 7 已知两条平行直线l1 : 2x - 7y - 8 =0 ，l2 : 6x - 21y - 1 =0 ，求l1 与l2 间的距离．
师生：共同分析：在l1 上选取一点，如l1 与坐标轴的交点，用点到直线的距离公式求这点到
l2 的距离，即l1 与l2 间的距离．
学生：思考并与同桌交流，共同得出答案，做好分享准备
预设：先求l1 与x 轴的交点 A 的坐标．容易知道，点 A 的坐标为(4, 0) ．点 A 到直线l2 的距离d ，所以l1 与l2 间的距离为 ．
师生：根据以上例题归纳总结：“转化法”求两平行直线的距离
思路：将“两平行直线间的距离”转化为“点到直线的距离”
第一步：取点：在两条平行直线中的一条上任取一点，比如：与坐标轴的交点等；
第二步：求点到直线距离：利用点到直线的距离公式求取的点到另一条平行直线上的距离，即可求解.
跟踪练习：已知两条平行直线l1 : y =3x +5 ，l2 : 3x - y +1 =0 ，求 l1 与l2 间的距离．
师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案；
预设：先求l1 与y 轴的交点 A 的坐标．容易知道，点A 的坐标为 (0, 5) ．点A 到直线l2 的距离d ，
所以l1 与l2 间的距离为 ．
例 8 求证：两条平行直线 Ax +By +C1 =0 与 Ax +By +C2 =0 间的距离为
师生：共同分析：两条平行直线间的距离即为这两条平行直线中的一条直线上的一点到另一条直线的距离．
学生：思考并与同桌交流，结合分析，共同得出证明过程，做好分享准备.
预设：证明： 在直线 Ax +By +C1 =0 上任取一点 P(x0, y0 ) ，点 P(x0, y0 ) 到直线Ax +By +C2 =0 的 距 离 就 是 这 两 条 平 行 直 线 间 的 距 离 ， 即
因 为 点 P(x0, y0 ) 在 直 线 Ax +By +C1 =0 上 ， 所 以 Ax0 +By0 +C1 =0 ， 即Ax0 +By0 =- C1 ，因此
设计意图：通过两平行线间距离公式的推导，体会数学中的转化思想，发展学生
数学运算，数学抽象和数学建模的核心素养。
教师：板书公式：
两条平行直线 Ax +By +C1 =0 与 Ax +By +C2 =0 的距离公式：
师生：总结该公式得特点及注意事项：
（1）应用公式前，必须把直线方程要化成一般式；
（2）两直线方程中要求 x，y 的系数要对应相同，若不同要先化为相同，再应用公式
求距离.
跟踪练习：求两平行直线 l1：3x＋5y＋1＝0 和 l2：6x＋10y＋5＝0 间的距离．
师生：学生自主完成练习，教师巡视学生做题情况，并选择典型解答，分享答案；
预设：l13x +5y +1 =0 等价变形为 l1：6x +10y +2 =0
又 l2：6x +10y +5 =0
由两平行直线间的距离公式可得：
所以，平行直线 l1 与 l2 的距离为： .
师生：根据以上例题归纳总结：“公式法”求求两平行直线的距离
第一步：准备直线一般式方程：在将两平行直线化为一般式，并确保两平行直线的
A 、B 对应相等.
第二步：将 A 、B 、C1 、C2 四个值代入两平行直线的距离公式即可求解.
4 ．课堂小结
5 ．课后作业布置
作业 1：完成教材：第 79 页 练习 1,2,3
作业 2：配套辅导资料对应的《两平行直线间的距离》

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