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2.4.1 圆的标准方程(教学设计)
一、课时教学内容
圆的标准方程.
二、课时教学目标
1、 掌握确定圆的几何要素，探索并掌握圆的标准方程，利用圆的定义推导圆的标准方程，体现了数学抽象、逻辑推理、数学建模的学科素养.
2、能根据所给条件求出圆的标准方程，展现了数学运算的学科素养.
3、掌握点与圆的位置关系，并能解决相关问题，体现数学运算的学科素养.
三、教学重点与难点
重点：会用定义推导圆的标准方程，掌握圆的标准方程的特点；会根据已知条件求圆的标准方程；判断点与圆的位置关系．
难点：会根据已知条件求圆的标准方程；选择恰当的坐标系解决与圆有关实际问题.
四、教学过程设计
（一）、复习提问，导入新课(3 分钟）
问题 1：在平面直角坐标系中，如何确定一条直线？
师生活动：学生独立思考、讨论交流．
设计意图：引导学生思考在平面直角坐标系中，如何确定一条直线，如何研究直线方程，体悟解析几何基
本思想：几何问题代数化.
（古诗欣赏）
《古朗月行》唐 李白
小时不识月，呼作白玉盘。
又疑瑶台镜，飞在青云端。
设计意图：感受数学源自生活，通过阅读古诗感受月的意境，激发学生民族文化自豪感.培养学生数学直观想象的素养.
问题 2：在平面直角坐标系中，如何确定一个圆呢？圆的定义是什么？
师生活动：学生独立思考、讨论交流．确定一个圆的几何要素:圆心和半径.圆心确定圆的位置，半径确定圆的大小.圆的定义，平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫作圆，定点成为圆心，定长称为圆的半径.设计意图：确定一个圆的要素是圆心、半径.
追问：直线可以用方程表示，那圆如何用方程表示呢？
师生活动：学生独立思考、讨论交流．类比直线方程的研究方式，研究圆的方程.
设计意图：在原有知识体系中，寻找新的生长点，解决新的问题.
（二）、师生合作，共探新知（16 分钟）
问题 3：圆心在原点，半径是 2 的圆的标准方程是什么？
提示：圆心在原点，半径是 2 的圆上点M (x, y) 满足什么代数式？
师生活动：学生独立思考、讨论交流．根据两点间距离公式，
| OM ， 平 方 得 x2 +y2 =4 ， 即(x - 0)2 +(y - 0)2 =22 .
设计意图:由浅入深，由特殊圆的方程入手，熟悉圆的方程求法，为求一般圆的标准方程做铺垫.
问题 4：观察
（1）圆心位置不变，半径变化；（2）半径不变，圆心位置变化,圆的标准方程有何变化？
师生活动：通过几何画板，动态展示，圆心位置不变，半径变化，圆的方程从x2 +y2 =4 变成x2 +y2 =2.782 ；半径不变，圆心位置变化，圆的方程从 x2 +y2 =4 变成 (x -1)2 +(y - 2)2 =4 .
设计意图：利用直观探究，通过图像记忆，体会圆的标准方程与圆心坐标和半径之间的关系.
问题 5：圆心 C(a, b) ,半径为r 的圆的方程是什么？如何推导. (分组合作)
师生活动：根据问题 4 所研究特殊情况下圆的方程，分小组讨论，一般情况下，圆的方程又如何？类比直线方程研究，在平面直角坐标系下，设圆上一动点 M (x, y) ，根据圆的定义，利用两点间距离公式有| MC |=r
即 r ，平方可得 (x - a)2 +(y -b)2 =r2 (1).
由上述过程可知，若点M (x, y) 在圆 C 上，点M 的坐标满足方程（1）；反过来，若点 M 的坐标 (x, y) 满足方程（1），就说明点M 与圆心 C 间的距离为 r ，点M 就在圆 C 上.这时，我们把方程（1）称为圆心为 C(a, b) ，半径为 r 的圆的标准方程.
另一方面，可能有学生通过问题 4 的理解结合图像变换得到圆的标准方程.
设计意图：特殊到一般，预设两种方法：坐标法，图形变换法，学生可能遇到的困难：忘记两点间距离公式，可用学生板演讲解、提问等解决.
追问：
（1）圆心在原点，半径为 r 的圆的方程是什么？
（2）圆心在 x 轴，半径为r 的圆的方程是什么？
（3）圆心在 y 轴，半径为r 的圆的方程是什么？
师生活动：根据问题 5 的研究，学生可以轻松思考回答并总结这些问题.
圆心在原点，半径为r 的圆的方程：x2 +y2 =r2 (r >0) ；
圆心在x 轴，半径为r 的圆的方程： (x - a)2 +y2 =r2 (r >0) ；
圆心在y 轴，半径为r 的圆的方程：x2 +(y -b)2 =r2 (r >0) .
设计意图：培养学生从特殊到一般再到特殊的联想、迁移能力.
（三）、应用举例，巩固提高（18 分钟）
1、直接应用，内化新知
练习 1：由圆的标准方程 (x +7)2 +(y - 4)2 =(-6)2 ，求圆的圆心坐标和半径.
练习 2：说出下列各圆的标准方程：
（1）圆心在原点，半径为 3 的圆；（2）圆心为 (1,2) 半径为 5 的圆.
师生活动：学生独立思考、讨论交流，举手回答，练习 1 根据圆的标准方程的特征可知，圆心 (-7,4) ，半径为 6；练习 2 根据学生总结的特殊位置圆的标准方程可知（1）的圆的标准方程： x2 +y2 =9 ，（2）的标准方程为 (x -1)2 +(y - 2)2 =25 .
设计意图：让学生从正反两个方面熟练掌握圆的标准方程与圆心坐标和半径的关系，突出本节课的重点，为后续求圆的标准方程做准备.
2、灵活应用，能力提升
例 1：求圆心为 A(2,-3) ，半径为 5 的圆的标准方程.
追问：
（1）判断点 M1 (5,-7), M2 (-2,-1) 是否在该圆上.
（2）若该圆上有一点M (2, a) ，求 a 的值.
（3）探讨点 P(x0, y0 ) 在圆 (x - a)2 +(y -b)2 =r2 内的条件是什么？在圆外的条件是什么？
师生活动：学生独立思考、讨论交流，举手回答（1）圆的标准方程为 (x - 2)2 +(y +3)2 =25；针对（2）学生思考，将点M (2, a) 带入圆的方程，解出a =2或-8；针对问题（3）分组讨论，结合图形，利用两点间 距 离 公 式 ， 可 得 ， 点 在 圆 内 ， | PC |r 即(x0 - a)2 +(y0 -b)2 >r2 .
设计意图：突破难点：会根据不同已知条件求圆的标准方程，掌握圆的标准方程的特征,可以提高学生运算
能力；追问的探究，从正反两个方面理解点与圆位置关系，理解曲线上的点与方程的解的关系.
例 2： △ABC 的三个顶点坐标分别为 A(5,1) ，B(7,-3) ， C(2,-8) ，求三角形 △ABC 外接圆的标准方程.
师生活动：学生独立思考、讨论交流,上黑板板书，
解法 1：设所求圆的标准方程为 (x - a)2 +(y -b)2 =r2 .因为 A(5,1) ， B(7,-3) ， C(2,-8) 三点都在圆上，所以满足方程.得
(
(7
-
a)
2
+
(
-
3
-
b)
2
=
r
2
(2
-
a)
2
+
(
-
8
-
b)
2
=
r
2
){ (5-a)2 + (1-b)2 = r2
观察上面的式子，我们发现，三式两两相减，可以消去 a2，b2，r2 ，得到关于 a, b 的二元一次方程组
{aa=1
解方程组，得a =2, b =-3 ；带入 (5 - a)2 +(1- b)2 =r2 .得r 2 =25 .
所以三角形 △ABC 外接圆的标准方程是 (x - 2)2 +(y +3)2 =25 .
解法 2：可考虑两条边的中垂线，联立即得圆心，然后再求半径.
线段 AB 的中点D(6,-1) ， AB 的斜率为kAB =-2 ，直线 AB 的中垂线斜率为 ，直线 AB 的中垂线方程：
y ；同理BC 的中垂线方程：y =-x -1 ；所以联立方程y x - 4 和y =-x -1 ，得圆心坐标 (2,-3) ,圆的半径 r ，圆的标准方程是 (x - 2)2 +(y +3)2 =25 .
(
y
)设计意图：突破难点：会根据不同已知条件求圆的标准方程，两种方法，可以提高学生运算能力及优化解题策略的能力.
3、实际应用，回归自然
例 3：已知隧道的截面是半径为 4m 的半圆，车辆只能在道路中心线一侧行驶，一辆宽为3m ，高为 3.5m 的货车能否驶入这个隧道.
师生活动：选择恰当坐标系，求出半圆的方程： x2 +y2 =16(y ≥ 0) ，当 x =3 时带入圆的方程得， y ， 所以在离中心线 3m处，隧道的高度低于货车的高度，货车不能驶入这个隧道.
设计意图：使学生学会如何转化建模，解决实际问题.突破难点：选择恰当坐标系优化解题过程，解决与圆
有关的实际问题.
（四）、师生总结，感受收获（2 分钟）
1、圆的标准方程（圆心 C(a, b) 半径r ）： (x - a)2 +(y - b)2 =r2 .
特别的：圆心在原点的圆的标准方程：x2 +y2 =r2 .
2、求圆的标准方程方法（具备三个独立条件才可能求出圆的方程）
（1）待定系数法
（2）几何法
3、本节课运用了哪些数学思想和方法？
研究路径是：几何图形----抽象概括（下定义）----建构方程----方程求解----方程应用.
设计意图：让学生自主归纳总结本节课重点内容，并从中提炼出用代数法解决几何问题的解析几何思想.
（五）、分层作业，激发新疑（1 分钟）
1、分层作业
(A)巩固型作业
课本 P85：第二题，第四题；
(B)思维拓展型作业
已知：一个圆的直径的两个端点是 A(x1, y1 ), B(x2, y2 ), 证明：
圆的方程是 (x - x1 )(x - x2 )+(y - y1 )(y - y2 ) =0
设计意图：分层作业是给每一位学生用武之地，让每一位学生体验学习数学的兴趣，成功的喜悦.
2、激发新疑
（1）圆的标准方程 (x - a)2 +(y -b)2 =r2 展开后是什么形式？
（2）方程 x2 +y2 - 6x +8y +20 =0 表示什么图形？
设计意图：本节知识的巩固和延伸，为下一节研究圆的一般方程做准备.

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