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课题：3.1.1 椭圆及其标准方程(第 1 课时)
（一）课时教学内容
椭圆的概念，椭圆的标准方程.
（二）课时教学目标
1.能通过收集到的现实背景和生产、生活实例，说明圆锥曲线在刻画现实世界规律、解决实际问题中的作用；
2.通过观察平面截圆锥,知道当平面与圆锥的轴所成的角变化时，截口曲线可以分别是圆、椭圆、双曲线和抛物线；
3.能在画椭圆的过程中,抽象出椭圆的几何特征，能准确说出椭圆的定义，发展数学抽象素养；
4.能利用椭圆的几何特征建立适当的直角坐标系，能按求曲线方程的-般步骤推导椭圆的标准方程,进一步感悟坐标法，发展直观想象、数学运算等素养.
(三)教学重点与难点
1.重点:椭圆的几何特征,椭圆的定义及椭圆的标准方程；
2.难点:椭圆几何特征的准确刻画，椭圆标准方程的推导.
(四)教学过程设计
1.了解圆锥曲线的现实背景,构建先行组织者
课堂引入：我们知道,用一个垂直于圆锥的轴的平面截圆锥，截口曲线(截面与圆锥侧面的交线)是一个圆.请大家观察，改变圆锥的轴与平面所成的角，会得到怎样的截口曲线呢
师生活动：教师用动态几何软件边展示边讲解,用一个不垂直于圆锥的轴的平面截圆锥,当圆锥的轴与截面所成的角不同时，可以得到不同的截口曲线,它们分别是椭圆、抛物线和双曲线(如图)我们通常把椭圆、抛物线、双曲线统称为圆锥曲线.
然后再用信息技术展示行星绕太阳运行的轨道、发电厂冷却塔的外形线，探照灯反射镜面、卫星接收天线等,让学生感受圆锥曲线反映了大自然的规律，在生产生活中有广泛应用.在此基础上简要介绍圆锥曲线的历史背景.
问题 1:类比直线和圆的方程的研究过程，你认为我们应按怎样的路径研究圆锥曲线
师生活动:在学生独立思考的基础上，交流讨论，确定研究路径:现实背景(研究的必要性)—曲线的概念(建立曲线方程的依据)—曲线的方程(运用坐标法)—曲线的性质—实际应用.
设计意图:通过现实情境让学生了解圆锥曲线的广泛应用；通过平面截圆锥的演示使学生感受圆、圆锥曲线的内在联系；通过类比已有知识，明确研究圆锥曲线的基本路径，从而形成先行组织者.
2.动手操作,抽象椭圆定义
问题 2：下面我们先研究椭圆.请同学们探究如下问题:取一条定长的细绳，把它的两端都固定在图板的同一点,套上铅笔，拉紧绳子，移动笔尖，这时笔尖(动点)画出的轨迹是一个圆.如果把细绳的两端拉开一段距离，分别固定在图板的两点F1 、F2 ,套上铅笔,拉紧绳子,移动笔尖，画出的轨迹又是什么曲线
师生活动：学生动手画图，教师巡视观察学生画图过程，并适时地展示学生画出的不同图形,必要时提示学生画图的方法，以保证每个学生都能画出椭圆.
追问 1：笔尖(动点)移动过程中满足的几何条件是什么 由此你能抽象出确定椭圆的几何要素吗
师生活动：教师引导学生分析， 由固定的两点F1 、F2 给出了什么条件？与“取一条定长的细绳 ”相联系，“套上铅笔,拉紧绳子 ”意味着什么？通过分析得出:笔尖到两个定点F1 、F2 的距离在改变,但距离的和保持不变，都等于细绳的长度.由此得出确定椭圆的
几何要素是:两个定点F1 、F2 (由此也就给定了F1F2 ),动点到F1 、F2 的距离之和为常数.
设计意图：这个“探究 ”非常容易实施.通过探究活动，可以让学生切实感受到椭圆的生成过程.与平面截圆锥着眼于圆锥曲线的共性强调在同一背景下得出不同的圆锥曲线不同,这里突出了椭圆的“个性特征 ”,有利于学生从中发现确定椭圆的几何要素,为给出椭圆定义奠定基础.
追问 2：类比圆的定义，你能根据确定椭圆的几何要素给出椭圆的定义吗
师生活动：先让学生独立思考,并写出定义，教师将学生写出的具有典型性的定义投屏,再进行点评互动.会有学生给出定义:与两个定点F1 、F2 的距离之和等于常数的点的轨迹叫做椭圆.教师可以利用信息技术，不断调整两点F1 、F2 之间的距离，引导学生观察所画轨迹形状的变化，发现所画出的图形受“常数 ”与 F1F2 的大小关系制约,进而明确必须加上限制条件“常数大于F1F2 ”，在此基础上给出椭圆的定义， 以及椭圆的焦点、
焦距、半焦距等相关概念.
设计意图：在学生操作、观察、讨论的过程中,通过问题加追问，引导学生以确定笔尖(动点)轨迹的几何要素为基础，让学生经历从不严谨到严谨的过程,逐步完善对椭圆几何特征的理解，抽象出椭圆的概念，使学生从中体验精确定义一个数学对象的数学方式,培养学生思维的严谨性和数学抽象素养.
3.合理建系推导方程
问题 3：有了椭圆的定义,接下来要合理地建立坐标系,推导椭圆的方程.观察椭圆的形状，你认为怎样建立坐标系可使所得的椭圆方程形式简单
师生活动：先由学生独立思考,再进行班级互动交流.通过讨论得出:从椭圆形状看，它既是轴对称图形，也是中心对称图形.因此,如果以两个焦点F1 、F2 的直线为 x 轴,线段F1F2 的垂直平分线为 y 轴，建立平面直角坐标系Oxy,这时的原
点将是椭圆的对称中心，如图所示.可以想象，这时的椭圆方程也会有对称性，应该与圆的方程x2 + y2 = r2 非常相似,通过方程研究椭圆的性质会比较方便.（同时也建议学生在课下尝试其它建系所得出的方程与标准方程进行比较.）
追问 1：根据直线与圆的方程的学习经验,建立了直角坐标系后，接下来我们要按怎样的步骤得出椭圆的方程
师生活动：通过回顾直线的方程、圆的方程的建立过程，类比得出建立椭圆方程的大
致步骤 :
根据椭圆的几何特征建立适当的平面直角坐标系一根据定义明确椭圆上的点满足的几何条件一将几何条件转化为代数表示列出方程一化简方程一检验方程.
然后，让学生独立完成方程的推导过程.在学生推导方程的过程中，教师可以通过与推导步骤相配套的问题引导学生思思考简化代数推导过程的方法.
追问 2：现察方程a 的结构，你认为怎样变形有利于化简方程
追问 3：(a2 - c2)x2 + a2y2 = (a2 - c2 )a2 已经是整式方程了,还能继续化简吗
追问 4：观察下图.你能从中找出表示a 、c 、的线段吗
追 问 5 ： 回 顾 推 导 过 程 , 方 . 与 方 程 + a等价吗
追问 6：回顾推导过程，你能说说用 2a 、2c而不是a 、c 表示椭圆定义中的定长与焦距的好处吗
追问 7：你能说说方程a > b > 0)的解和椭圆上的点的坐标之间的关系吗 也就是说，方程的解为坐标的点是否一定在椭圆上 反之，椭圆上的点的坐标是否一定满足方程
师生活动：提出每一个问题后，都先让学生独立思考，再进行全班交流互动,得出正确答案后再进人到下一个问题.教师要指出,因为方程的解为坐标的点都在椭圆上，且椭圆上的点的坐标都满足方程，所以通过方程得出的结论，再转化为几何表示，就可以得出椭圆的几何性质.
设计意图：通过层层递进的系列化问题，使学生在实施代数变形之前先思考变形的方向；通过问题提示学生思考每一步代数变形蕴含的数学意义，从而提高推导过程的理性水平,在有效得出椭圆的标准方程的同时，为理解椭圆的性质打下基础，并使数学运算能力得到培养；通过思考椭圆上的点的坐标与椭圆方程的解之间的关系，深化对曲线与方程的关系的认识.
问题 4：如图,如果焦点F1 、F2 在 y 轴上,且F1 、F2 的坐标分别为(0，
-c)、 (0,c),又a与b的意义同上,那么椭圆的方程是什么 你能不做具体推导就得出结论吗
师生活动： 由学生独立思考，给出结论，再进行全班交流.通过交
流、总结，直接得出此时的椭圆方程为其理由是
两种情况下的焦点关于直线 y = x 对称，所以方程也有这种对称性.可以让学生在课后再通过推导得出方程.
设计意图：让学生利用已经得出的焦点在 x 轴上的椭圆标准方程,通过几何条件的对称性直接得出焦点在 y 轴上的椭圆标准方程，一方面可以促进学生对椭圆的几何特征(主要是对称性)的理解，另一方面可以发展学生的直观想象素养.
4.例题练习,巩固知识
例 1 已知椭圆的两个焦点坐标分别是（ — 2,0）、（2,0）,并且经过点,求它的标准方程.
师生活动：教师引导学生先分析条件,对条件之间的关系作出各种解释,再让学生独立完成解题.教师巡视，最后让学生总结解法：从椭圆的定义人手,利用 a、b、c 之间的关系直接求解；也可以从方程人手,焦点在 x 轴上，所以点满足方程
设计意图：使学生体会椭圆定义在解题中的作用,培养先分析条件,再根据条件的特征选择椭圆标准方程的形式,培养良好的解题习惯，学会用待定系数法求椭圆的标准方程，提高学生的数学运算能力.
5.回顾反思，提炼升华
（1）椭圆的概念中的要点与需要注意的地方分别是什么？
（2）推导椭圆方程时，建立直角坐标系的依据是什么？
（3）椭圆标准方程的推导给了你怎样的启示？就一般情况而言，求曲线的方程有哪些步骤？为什么是这些步骤？
6.布置作业:推导焦点在 y 轴上的椭圆方程、书本习题 3.1 第 1，2，5 题

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