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学校 课题 椭圆及其标准方程
教材分析 “椭圆及其标准方程 ”是普通高中教课书（2019年版）选择性必修第一册3.1.1节的内容，是学生在学习“直线与圆的方程 ”以后，进一步深入学习曲线与方程的基础，起到承上启下的作用。本节课从几何学的视角探索椭圆的概念，从代数的视角，通过建立平面直角坐标系，推导椭圆的方程。
学情分析 学生学习了直线与圆的标准方程，又掌握了圆的标准方程的形成过程，对曲线与方程有了一定的认识。但在学习椭圆的过程中，依然会遇到以下三个方面的挑战： ①抽象思想欠缺，比较难将椭圆概念的几何问题转化为代数问题； ②建模思想薄弱，求椭圆标准方程的过程是个比较抽象晦涩的过程，需要学生学会迁移圆的相关研究方法； ③运算能力较差，椭圆标准方程的化简是本节课的难点内容，尤其是化简含有两个根号的式子。
教学目标 根据本节课的教学内容与构成形态，主要采用发现、分析、类比、归纳的教学方式， 以及自主实验探究、小组协作的学习方式，实现椭圆从抽象到直观，方程从复杂到简单的教学目的。 ①引导学生进行实践活动，在画图的过程中发现椭圆的生成过程，归纳椭圆的定义，提升学生的直观想象和数学抽象素养。 ②经历椭圆标准方程的推导，并学会通过观察式子特点，实现复杂式子化简，让学生的数学运算能力在点滴引导及持续的课堂渗透中得到提升 。 ③将所学的概念及公式应用在具体的数学问题解答中，实现对所学知识的巩固与落实。
教学重难点 教学重点：椭圆的几何特征，椭圆的定义及其标准方程 教学难点：椭圆标准方程的推导及其应用。
教学准备 智慧课堂平板、铅笔、图钉、实验素材
教学环节 教学内容 教师活动 学生活动 智慧课堂应用及分析 1.功能选择 2.应用价值 3.评价体现 时长
一：探究 椭圆的定 从熟悉的生 活中的椭圆 我们知道， 用一个垂直于圆锥的轴的 学生观看几何画板动画，及圆锥 利用智慧课 堂播放几何 10
义 入手，让学生体会到数学不仅是理性的，更是生活中随处可见的，让学生从熟悉的知识出发 ,为学习椭圆做好准备 。 平面截圆锥， 截口曲线是圆， 那么如果改变截面与圆锥的轴所成的角， 那会得到怎样的曲线 播放几何画板动画我们可以看到截口曲线为不同的图形 , 这些是我们接下来要学习的圆锥曲线。那么究竟具有何种特征的图形称为椭圆呢？ 这就是我们今天要探究的主题 ——椭 圆 及 其标准方程。 我们先看段简短视频。 问题1：现在同学们用准备好的实验素材， 跟着老师一起 , 我们一起来尝试 。如果把细绳的两端拉开一定距离，分别固定在两点F1, F2，套 上 笔 ，拉 紧绳子， 移动笔尖，画出的轨迹会是什么曲线呢？ 问题2：大家请思考 ：在这一过程中，移动的笔尖满足的条件是什么？ 我们把平面内到两定点距离之和（大于|F1F2|）为常数的点的轨迹称为椭圆 。两定点F1,F2称为焦点， 两定点距离|F1F2|称为焦距。 截面模型 学生通过视频了解生活中椭圆，并由圆的画法过渡到椭圆 师生一起尝试画椭圆 实验素材：一张白纸，固定的两定点，两条细绳 , 一条较长，一条较短 生：笔尖移动过程中，细绳长度保持不变， 即笔尖到两定点的距离之和为常数。 生 ： |PF1|+|PF2| =2a>2c 2a>2c时 ， 轨 迹为 以F1、F2为 焦点的椭圆 2a=2c时 ， 轨 迹为线段 2a<2c时 ， 轨 迹不存在 画板动画 利用智慧课堂播放视频直观地展示椭圆的生成过程。 能够烘托热烈的课堂氛围
问题3：如果我们把动点设为P，到两定点距离之和设为2a , 焦距|F1F2|设为2c , 上述结论可以转化为？ 为什 么要大于2c呢 如果小于2c呢？
二：探究椭圆的标准方程 引导学生通 过迁移，将 学习圆的方 程的方法运 用到学习椭圆上。 将抽象的椭 圆定义用简 洁的符号语 言表达出来 ,使学生学 会文字语言 ,图形语言 ,符号语言 之间的相互 转化，提升 学生的数学 抽象素养 引导学生根 据式子的有 根号的特征 选择对应的 化简方法， 提高运算能 力，同时积 累两个根式 和的等式的 化简经验， 体验数学的过程之美。 让学生通过 观察结构体 验推导椭圆 问题1： 同学们非常棒， 这么快研究出了椭圆的定义， 接下来我们应该研究什么呢？ 前面我们学习推导了圆的标准方程， (x-a)2 + (y-b)2 = r2， 方 程 非 常地 简洁美观。我们能不能用同样的方法研究椭圆的标准方程呢？ 问题2：现在观察椭圆的形状， 你认为该如何建立平面坐标系可能使我们的椭圆方程形式更加简单呢？ 问题3：接下来我们要进行最关键的步骤： 化简。现在大家试着独自完成化简， 看谁计算得又快又准。 问题4：化简到上式已经很美观了， 再观察所画椭图， 你能 从 中 找 到 a,c, a2-c2的线段吗？若令b= a2-c2 ，上式还能化简写成 它们之间的关系 学生回顾研究圆的标准方程的步骤，“建设现代化 ”，为研究圆做好准备。 生： ⑴建系：类比研究圆的方程，我们应该以F1F2为x轴 ， 以F1F2的 垂直 平 分 线 为y轴建系会使方程更加简洁 ⑵ 设 点 ： F1(- c,0)， F2(c,0) , P(x,y) ⑶限制条件|PF1| +|PF2|=2a>2c ⑷等量关系代数化 |PF1|+|PF2|= (x + c)2 + y2 + (x-c)2 + y2 =2a 生：直接平方化简后，项数非常多，根号内未知数的最高次数为4， 计算会很繁琐，可以移项后再平方。 学生独自尝试化 利用智慧课堂的分组讨论功能，组织学生对椭圆的标准方程进行推 导，培养学生的数学表达能力和团队协作能 力。 10
方程的过程 , 经历运算路径的选择 , 感悟其中的算理。帮助学生克服面对解析几何问题时的畏难情绪，提高运算能力。 引导学生通过迁移，将学习圆的方程的方法运用到学习椭圆上。 将抽象的椭圆定义用简洁的符号语言表达出来 ,使学生学会文字语言 ,图形语言 ,符号语言之间的相互转化，提升学生的数学抽象素养 是什么？其中a为半长轴，b为半短轴， c为半焦距 我们化简的过程中用到了两次平方，两次平方的式子两边都是非负实数，因此从①到⑤都是等价变形。 问题5：在有根号存在的时候， 用平方来化简是我们最常用、最经典的方法 , 那么推导方法是不是唯一的呢， 还有没有其他方法？请大家式子的结构特征出发， 再尝试探究其他方法。 问题6：刚刚我们都是从式子的根号或者结构特征出发挖掘的化简方法， 如果形的角度呢， 有其他推导方法吗？ 大家继续试一试。 。 简，在学生的努力和教师的引导下共同完成化简 。 移 项 ： (x + c)2 + y2 =2a- 、(x-c)2 + y2①两边平方整理： a2-cx=a (x-c)2 + y2②两边再平方整理 : (a2-c2)x2 + a2y2 = a2(a2-c2)③两 边 同 时 除 以(a2-c2)a2得 + =1④ 生 ： |OF2|=c, |PF2| = a, |OP| = a2-c2, 生 ： + =1 (a > b > 0)⑤ a2=b2+c2 即椭圆上任意一点都满足方程，以方程的解为坐标的点都在椭圆上。这就是椭圆焦点在 x 轴上的标准方程。 学生尝试用不同方法化简。教师适时引导并展示学生情况。 法二： 、(x + c)2 + y2 =a+t ① (x-c)2 + y2 =a-t ② ①2-②2得
4cx=4at,t=再 代回②式两边平方， 即可顺利化简。 法三： (x + c)2 + y2 =2asin2 θ ③ (x-c)2 + y2= 2acos2 θ ④ ③2-④2得 4cx=4 a2 (sin4θ-cos4θ) =4 a2(1-2cos2θ) 2acos2 θ = a- 再代回②式两边平方 法四：（几何法 ,勾股定理） 设 |PF1|=r1, |PF2|=r2,P(x,y)在 Rt PQF1和Rt PQF2中，有 r=(x + c)2+y2 ⑤ r=(x-c)2+y2 ⑥ ⑤2-⑥2得 r-r =4cx， 化 简 得r2= a- 再代回⑥式两边平方 法五：（余弦定理法） 令 |PF2|=t,则|PF1|=2a-t,∠ P
F2F1= α 根据余弦定理得(2a t)2 = t2 + 4c2 2 . 2c . t . cos α
三：椭圆定义及椭圆方程的应用 通过题 1 巩 固椭圆的定 义，题 2 是 通过让学生 从形化数， 再从数化形 ,将本节所 学知识转化为应用。 通过例题让 学生巩固椭 圆的定义， 是对本节课 环节一的落实。 从几何与代 数两个角度 分析题目条 件，体现了 研究几何问 题的两个不 同角度，培 养学生先分 析条件再选 择解题方法的习惯。 1.若椭圆 + = 1一点P到 椭圆一个焦点的距离 为4，则P到 另一个焦点的距离为( ) A.2 B.4 C.6 D.8 2.曲 线 方 程 x2 + (y + 4)2 + x2 + (y 4)2 = 10的化简结果为( ) x2 y2 A. 25 + 16 = 1 B. y2 x2 25 + 16 = 1 x2 y2 C. 25 + 9 = 1 D. y2 x2 25 + 9 = 1 例： 圆O的半径为定长r，A是圆O内一个定 点 ，P是 圆O上任意一 点 ， 线段AP的垂直平分线l和半径OP相交于点Q，当点P在圆上运动时，点Q的轨迹是什么？为什么？ （课本P115习题6） 跟踪训练:假设上例中 O（-2,0），A ( 2,0），并且 Q 点轨迹经过点 , ,求 T1课本P109练习1改编 T2课本P115习题1改编 平板推题 学生在平板上完成练习 学生观看几何画板动画 |PQ|=|AQ| , |AQ|+ |OQ|=|PQ|+|OQ|=r r为定值，且|AO| Q 点的轨迹的标准方程。（课本 107例 1 改编）
环节四 ：小结及课后思考 提升学生的归纳能力。 为椭圆后续 的学习做好 铺垫，埋下伏笔 同学们， 我们本节课学习了什么？ 课后思考： 若将推导方法一中 ,你能 |x c | 用数学语言刻画它的几何意义吗？ 学生小结本节内容，教师作适当补充。 学生课后思考数学代数式不同结构形式背后的几何解释 利用智慧课 堂平板的讨 论功能，激 发学生自主 地对本节课 的知识点进 行回顾与提升。 10
教学反思 优点： 1. 教学方法多样，采用启发探究式和互动式教学，体现认知心理学理论。 2. 以学生为主体，鼓励学生积极参与，完成知识转化。 3. 学生参与度高，面向全体学生，共同进步。 4. 实现“三维”课程目标，关注知识技能与情感态度价值观。 5. 注重学法指导，形成良好教学氛围。 不足之处： 1. 课堂容量偏大，学生思考时间不足，需合理安排容量。 2. 小组合作推导方程效果不佳，可提前预习，增强学生能力。 3. 部分学生计算能力较弱，需加强培养。本文通过对椭圆及其标准方程的教学过程进行详细阐述，并深入反思教学中的成功与不足之处， 旨在为提升数学教学质量提供有益参考。

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